Psi 945 – 2014/2015
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Chauffe
Algèbre linéaire
Mardi 26 mai 2015
1
Questions de cours
Directement du cours :
– Comment sont définis les projecteurs et symétrie ? par quelles relations sont-ils caractérisés ? [définition]
et [preuve]
– Somme directe de (plus de deux) sous-espaces. [définition]
– Construction d’une application linéaire à l’aide de sa restriction à des supplémentaires.
– Déterminant de Vandermonde. [preuve]
Proche du cours :
– Noyaux itérés...
– Nilpotents : savoir montrer de deux façons différentes qu’ils sont trigonalisables.
– Si une matrice carrée a sa diagonale dominante (...) alors elle est inversible.
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Exercices plutôt matriciels
Exercice 1 — CCP 2014
Soit A ∈ M3 (R) telle que A2 6= 0 et A3 = 0. On note f l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A.
1. Montrer qu’il existe un vecteur x0 ∈ R3 tel que (x0 , f (x0 ), f 2 (x0 )) soit une base de R3 .


0 1 0
2. En déduire que A est semblable à 0 0 1.
0 0 0
3. Montrer que le déterminant de A + I3 est 1.
Exercice 2 — CCP 2014
Soient n un entier naturel supérieur à 2 et A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels vérifiant :
rg(A) = 1,
tr(A) = 1
Montrer : A2 = A.
Exercice 3 — TPE 2014
Soient A ∈ M3,2 (R) et B ∈ M2,3 (R) telles que :

1
AB = −2
1
1
x
−2

2
1
1
1. Déterminer la valeur de x.
2. Déterminer deux matrices A et B qui conviennent.
Exercice 4 — Centrale 2013
Soient A ∈ M3,2 (R) et B ∈ M2,3 (R) telles que :

0
AB = −1
1
−1
0
1

−1
−1
2
Calculer (AB)2 , et en déduire la valeur de BA.
Exercice 5 — Mines 2013
Soient A, B ∈ Mn (R) semblables dans Mn (C) ; montrer qu’elles sont semblables dans Mn (R).
On commencera par donner un sens raisonnable à la phrase précédente !
1
Exercice 6 — Mines 2013 In B
Soient B ∈ Mn (R), et A =
∈ M2n (R). Trouver une condition nécessaire et suffisante simple sur B
B I
pour que A soit inversible. Expliciter alors l’inverse de A.
Exercice 7 — Mines 2014 (MP)
Soient A, B ∈ Mn (R). Montrer que le déterminant de
3
A
−B
B
A
est supérieur ou égal à 0.
Exercices plutôt géométriques
Exercice 8 — CCP 2014
On considère un R-espace vectoriel E, et f un endomorphisme de E.
1. Montrer que si Im (f ) = Im (f 2 ), alors E = Im (f ) + Ker (f ).
2. Étudier la réciproque.
Exercice 9 — ICNA 2014
Soient p1 et p2 deux projecteurs d’un espace vectoriel E tels que Im (p2 ) ⊂ Ker (p1 ). On pose q = p1 +p2 −p2 ◦p1 .
1. Montrer que Im (p1 ) ∩ Im (p2 ) = {0}.
2. Montrer que q est le projecteur sur Im (p1 ) + Im (p2 ) parallèlement à Ker (p1 ) ∩ Ker (p2 ).
Exercice 10 — Mines 2013
Montrer que si deux sous-espaces admettent un supplémentaire commun, alors ils sont isomorphes. Montrer que
la réciproque est vraie en dimension finie... mais fausse en dimension infinie.
Exercice 11 — Centrale 2013
Soit n ∈ N∗ . On définit ∆ ∈ L(Rn [X]) par : ∆(P ) = P (X + 1) − P (X).
1. Montrer que ∆ est nilpotent.
2. En déduire :
n
X
n−j n
(−1)
P (X + j) = 0.
∀P ∈ Rn−1 [X],
j
j=0
Exercice 12 — Mines 2013
Soit E un espace vectoriel de dimension n > 1, et F = (e1 , ..., en ) une famille d’éléments de E. On suppose :
∀ϕ ∈ L(E, K),
ϕ(e1 ) = ϕ(e2 ) = · · · = ϕ(en ) = 0 =⇒ ϕ = 0
Montrer que F est une base de E.
Les deux derniers exercices sont plus difficiles.
Exercice 13 — Mines 2013
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, et f ∈ L(E). Montrer :
f2 = 0
⇐⇒
(∃g, h ∈ L(E); g ◦ h = f et h ◦ g = 0)
Exercice 14 — Centrale 2014 (MP)
Montrer qu’il n’existe pas d’endomorphisme f de L(R[X]) tel que f ◦ f est égal à l’opérateur de dérivation
P 7→ P 0 .
4
Indications
– Exercice 1 : prendre x0 en dehors du noyau de f 2 est probablement un bon départ.
– Exercice 2 : par exemple en prenant une base du noyau de f (canoniquement associée à A) et en complétant
pour faire une base ; ensuite : calcul par bloc.


1
0
0
– Exercice 3 : le rang de AB vaut au plus 2 ; mais c’est aussi celui de −2 x + 2 5 , donc x = 13. Ensuite,
1
−3  −1

1
0
on choisit A dont les colonnes forment une base de l’image, par exemple A = −2 5 , puis on ajuste B
1 −1
pour obtenir les bonnes combinaisons linéaires de colonnes...
2
– Exercice 4 : (AB)2 = AB. On note a ∈ L(R2 , R3 ) et b ∈ L(R3 , R2 ) ce que vous imaginez. Puisque rg(a◦b) = 2,
on a également rg(a) = 2, donc a est injective. La relation a ◦ (b ◦ a ◦ b) = a ◦ b donne alors b ◦ a ◦ b = b (check
it). De façon symétrique, on a b surjective, donc la relation (b ◦ a) ◦ b = b permet d’obtenir b ◦ a = IdE (check
it !).
– Exercice 5 : classique (sans être facile) fait en cours... On part de P = P1 + iP2 telle que P A = BP , qui
donne P1 A = BP2 et P2 A = BP2 . On aimerait P1 (ou P2 ) inversible, mais ce n’est pas forcément le cas...
l’application polynomiale (sur C) λ 7→ det(P1 + λP2 ) ne s’annule pas en i donc est non nulle, donc possède
un nombre fini de racines sur C, donc aussi sur R...
– Exercice 6 : dans le cas scalaire (n = 1 et B = b ∈ R), l’opération C2 ←
1 nous dirait que la matrice
C2 − bC
−1
b
. Ceci nous invite à faire le
est inversible si et seulement si b2 − 1 6= 0, et l’inverse serait alors b21−1
b −1
I
B
In −B
calcul n
qui nous dit que A est inversible si et seulement si I − B 2 l’est. Je serais ensuite
B In
0
In
B
2
−1 −In
tenté de regarder du coté de (B − In )
B
−In
– Exercice 7 : dans le cas où A est inversible, une manipulation sur les blocs 1 montre :
2
det(C) = det(A2 + B 2 ) = det ((A + iB)(A − iB)) = · · · = |det(A + iB)| .
–
–
–
–
–
–
–
Dans le cas où A n’est pas inversible, on peut appliquer le résultat précédent à AN = A − N1 In (pour N assez
grand, N1 n’est pas dans le spectre de A...).
Exercice 8 : pour le premier point, si Im (f ) = Im (f 2 ) et x ∈ E, alors il existe x1 tel que f (x) = f 2 (x1 ), de
sorte que f (x − f (x1 )) = 0, et il semble intéressant de regarder la décomposition x = f (x1 ) + (x − f (x1 )). La
réciproque s’établit normalement sans problème par double inclusion, l’une étant générique.
Exercice 9 : déjà, Im (p1 ) ∩ Im (p2 ) ⊂ Im (p1 ) ∩ Ker (p1 ) = {0}. Ensuite, un calcul passionnant fournit q 2 = q,
donc q est un projecteur. Pour chacune des égalités Ker (q) = Ker (p1 ) ∩ Ker (p2 ) et Im (q) = Im (p1 ) + Im (p2 ),
l’une des inclusions est simplissime, et l’autre se fait calmement sans difficulté.
Exercice 10 : sous l’hypothèse E = F1 ⊕ H = F2 ⊕ H, considérer la projection p sur F1 parallèlement à H, puis
sa restriction à F2 . La réciproque est claire en dimension finie (ben oui : F1 et F2 ont la même dimension !) ;
en dimension infinie, on peut considérer E = R[X] (comme souvent !), F1 = E et F2 l’ensemble des polynômes
de la forme XP ...
Exercice 11 : si P 6= 0, alors deg(∆(P )) < deg(P ) (on peut aussi regarder la matrice de ∆ dans la base
canonique). Ensuite, si P ∈ Rn−1 [X] alors ∆n (P ) = 0 ; on écrit alors ∆ = (∆ + Id) − Id et on binomise...
dans L(E) entre endomorphismes qui commutent.
Exercice 12 : par l’absurde : on suppose que ce n’est pas une base ; on extrait/complète, et on trouve comme
ça un hyperplan H contenant Vect(F) et f ∈ E tels que E = H ⊕ Vect(F ). On prend ensuite la forme linéaire
définie comme on peut l’imaginer sur H et sur Vect(f )...
Exercice 13 : le sens « indirect » est trivial. Pour le direct, on commence par choisir une base adaptée au
problème, à partir d’une base de Im (f ) complétée en une base 
de Ker (f ) 
elle-même complétée en une base
0 0 A
de l’espace. La matrice de f dans cette base est alors, par bloc : 0 0 0  et le théorème du rang nous dit
0 0 0
que la taille du premier blocest égal àla taille
du
troisième.
Que
se passe-t-il si on multiplie (dans les deux


A 0 0
0 0 I
sens possibles) les matrices  0 0 0 et 0 0 0 ?
0 0 0
0 0 0
Exercice : trouver une version plus géométrique !
Exercice 14 : par l’absurde, on s’intéresse au noyau d’un hypothétique f qui conviendrait : il vaut nécessairement R0 [X] (il est inclus dans Ker (f 2 ) et non trivial sans quoi f donc f 2 serait injective). Puisque
Ker (f ) = Ker (f 2 ), tous les Ker (f k ) sont égaux à Ker (f ) ; y compris Ker (f 4 ).
1. Multiplication par
In
0
−B
A
3