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ALAIN ROBICHON
APPROCHE DESCRIPTIVE DU
FONCTIONNEMENT D’UN VÉHICULE À ROUES.
I. Le cadre de l’étude. Mise en équations générales.
1°) Le modèle.
On considère un véhicule à roues (ou à deux essieux) comme une calèche, une diligence, une
bicyclette, un vélomoteur, une moto ou une automobile à propulsion (roues arrières motrices).
Les roues R1 et R2 identiques et de même rayon r, sont articulées sur des pivots parfaits O1y et
O2y aux extrémités d’une tige de longueur O1O2 b1 b2 qui modélise le cadre du véhicule.
z
Roue
motrice

O1
y
Sens du déplacement

N1
T1
Roue
porteuse
b1
b2

G
mg
N2
O2
h
T2
x
I2
I1
On note m la masse d’une roue et J le moment d’inertie par apport à son axe.
Le plus souvent, mais pas nécessairement, on pourra considérer m négligeable devant la masse
0.
MT du système total  = {passagers + cadre + moteur + roues} et on pourra alors écrire J
Les actions du contact supposé ponctuel des roues sur le sol, en I1 et I2 sont notées :
et
R1 N1z uz T1x ux
R2
N 2z uz T2x ux
On décrit un mouvement sur une voie horizontale (direction ux ) et où l’on suppose (sauf cas
contraire !) le non glissement sur les deux roues, de telle sorte que chaque roue a le même vecteur
uy .
rotation
Dans le cas d’un véhicule tracté, un opérateur exerce une force motrice Fm
Fmux .
Dans le cas d’un véhicule motorisé, le moteur porté par l’axe O1y de la roue arrière R1 exerce sur
celle-ci un couple M
M uy constant donné.
1
C Sv 2ux
2 x
On note Fair la résistance de l’air sur le véhicule, de la forme Fair
v 2ux
(écoulement avec un nombre de Reynolds compris entre 103 et 105 ).
2°) La condition de non glissement des roues.
La condition de non glissement des roues consiste à écrire que la longueur enroulée par
une portion de pneu sur la route est égale à la distance parcourue par le véhicule
sur la route.
Pendant la durée dt , le véhicule avance de dx
vGdt , tandis que la roue a tourné de l’angle
d
dt , enroulant ainsi sur la route la longueur d
rd
r dt .
r (prendre
0 si vG
0 ).
La condition de roulement sans glissement s’écrit ainsi ici vG
Une autre façon d’établir la condition de non glissement est de définir la vitesse de glissement
du véhicule par rapport à la route au point de contact I selon :
vgl
v (I roue)/ R v (I sol )/ R .
T
Sauf tremblement de terre (non envisagé ici !), on a v (I
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T
sol )/ R
T
0.
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La loi de composition galiléenne des vitesses donne :
v (I roue)/ R
v (I roue)/R
T
vent (Rroue / RT ) .
roue
Dans le référentiel lié à la roue, le point I est animé d’un mouvement circulaire de rayon r à la
vitesse angulaire et on peut écrire : v (I roue)/R
r u
r ux (faire un dessin !).
roue
La vitesse d’entrainement du référentiel « roue », en translation par rapport au référentiel lié au
véhicule (G, x, y, z ) , vaut ainsi vent
vG
vGux (calculée par rapport à Rsol ).
0
En l’absence de glissement des roues sur le sol, on a donc vgl
r ux
vgux
0 CQFD.
Remarque : il est clair que la condition de non glissement n’est pas une condition nécessaire pour le
fonctionnement d’un véhicule à roues : on peut imaginer une situation où les roues sont bloquées, et
le véhicule continue à avancer en glissant sur le sol, ou une situation où les roues tournent mais avec
glissement si le frottement du sol sur les roues n’est pas suffisamment important.
3°) Les lois du frottement solide (ou lois de Coulomb).
On modélise les actions de contact entre deux solides S1 et S2 en considérant qu'il s’agit un
ensemble de forces de résultante 
R appliquée en un point I appartenant à la surface de contact et de
moment en I M( I ) . On parle du torseur des actions mécaniques de contact au point I.
L’action de S2 sur S1 s’écrit
R2/1
RN
RT
M (I )2/1
MN
MT
en
faisant apparaître une composante contenue dans le plan
tangent commun aux 2 solides en I et une composante
normale à ce plan (voir figure ci-contre).
RT est appelée force de frottement de glissement (ou
effort tangentiel).
RN est appelée réaction normale (ou effort normal).
MN est le moment de résistance au pivotement.
MT est le moment de résistance au roulement.
Les lois relatives aux actions de contact entre solides sont phénoménologiques. Elles ont été
énoncées par en 1779 par Charles-Augustin de COULOMB.
On les nomme aussi lois du frottement solide, par opposition aux lois du frottement visqueux
qui décrivent la résistance à l’avancement d’un solide en mouvement dans un fluide.
Pour RN :
Pour RT :
sens : force toujours répulsive

norme : dépend du problème posé.
Contact avec glissement.
Contact sans glissement.
RT et v gl colinéaires de sens contraire :
vgl
0 tant que
RT (S2/S ) vgl (S1/S )
1
RT
2
0
RT
fc RN ,
fS RN , avec fS  f .
fS : facteur d'adhérence (ou de
frottement statique).
fc : facteur de frottement cinétique de
glissement
 Deux cas particuliers importants :
Pour un glissement sans frottement, la réaction est normale au support:
RT
0 et vgl
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0
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Pour un roulement sans glissement, il existe nécessairement des frottements :
vgl
0 et RT est quelconque, pouvant être nulle !.
 Angle de frottement.
On appelle angle de frottement, l’angle
défini par tan
fc
 Cône de frottement.
R2 /1
Soit l’angle entre RN et R2/1 . On appelle cône de frottement le cône

de sommet I, d’axe la normale N et de demi angle au sommet .
Si vgl
0 : on a RT
fc RN
et
. La réaction du support
0 : on a RT
fc RN

F
S1
R2/1 est tangente au cône de frottement.
Si vgl
RN
RT
I
S2
. La réaction du support R2/1 est à l’intérieur du
et
cône de frottement tant que le solide ne glisse pas.
 Quelques valeurs de facteurs de frottement fc (ordres de grandeur):
Acier sur acier graissé
0,05
Courroie sur poulie en acier
0,27
Acier sur acier
0,10
Garniture de frein / disque acier
0,35
Bois sur bois de chêne savonné
0,16
Bois de chêne sur bois de chêne
0,40
Bronze sur bronze
0,20
Pneu sur chaussée
0,60
0,25 à 0,50
Fer sur chêne à sec
0,60
Caoutchouc sur acier
3°) Qu’est-ce qui fait avancer le véhicule ?
On rappelle que le mouvement du véhicule se fait sur un sol horizontal. Il faut distinguer les cas :
véhicule tracté et véhicule motorisé.
Les forces a priori susceptibles de provoquer l’accélération du véhicule suivant Oy sont :
pour le véhicule tracté
pour le véhicule motorisé
- Les forces de frottement tangentielles.
- La force tractrice Fm ,
- Les forces de frottement tangentielles.
Le véhicule avance grâce aux frottements !
D’un point de vue énergétique, pour le système global , le théorème de la puissance cinétique
dEC
Pint
P
mg .vG (T1 N1).vI
(T2 N 2 ).vI
(Fm Fair ).vG
s’écrit
ext , avec Pext
1
2
dt
vI
0 en l’absence de glissement) et que mg
vG , on a
(si véhicule tracté). Comme vI
1
2
pour le véhicule tracté
pour le véhicule motorisé
P
(Fm Fair ).vG .
ext
La mise en mouvement est possible même si le
véhicule constitue un solide indéformable. C’est
l’opérateur extérieur qui apporte l’énergie motrice
(à condition de compenser les frottements de
l’air).
P
Fair .vG
0.
ext
La mise en mouvement suppose que le véhicule
comporte des parties mobiles (système
déformable) (rôle du moteur !) dont le rôle est
d’au moins compenser les pertes par frottement.
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II. Cas d’un véhicule tracté (roues porteuses).
1°) Bilans des actions appliquées au véhicule.
s’écrit MT
Le théorème de la résultante cinétique appliqué au système global
donne en projection sur Ox et Oy :
MT xG
T1x
MT zG
T2x
N1z
Fm
N 2z
Fair
MT g
dvG
dt
Fext
, qui
i
.
Le théorème du moment cinétique appliqué à chaque roue en projection sur l’axe de rotation donne :
d
J
rT1x
rT2x .
dt
Le théorème du moment cinétique appliqué en G au système global et en supposant un non-décollement du
véhicule sur la route donne en projection sur Gy (système en translation) :
0
N1zb1
N 2zb2
(T1x
T2x )h
2°) Déplacement à vitesse constante avec ou sans glissement.
 Force nécessaire pour un déplacement sans glissement.
En régime stationnaire ( vG
cste ) et en l’absence de glissement (
cste ), il reste
T1x T2x
0 d’où Fm
Fair (équation 2.1).
L’opérateur doit exercer une action qui compense exactement le frottement de l’air sur le véhicule.
 Force nécessaire pour un déplacement avec glissement sur les deux roues.
Dans le cas où les deux roues glissent sur le sol, et en supposant un non –décollement des roues,
les lois de Coulomb donnent (même coefficient de frottement sur les deux roues) :
et
| T1x | fcN1z
| T2x | fcN 2z .
Les forces tangentielles étant opposées à la vitesse de glissement du véhicule / sol, on a pour un
T
| T1x |
fN 1z
mouvement vers la droite (sens des x croissants) : 1x
T2x
| T2x |
fN 2z
L’équation du mouvement donne sur Oz : MT g
0 : Fm
D’où, sur Ox avec xG
Fair
N1z
N 2z .
fcMT g (équation 2.2).
La comparaison des équations 2.1 et 2.2 montre l’intérêt de la roue (qui
tourne !) : les roues permettent de s’affranchir de l’effet résistant du frottement de
glissement.
3°) Prise en compte de la déformation des roues.
Le résultat obtenu dans le cas du non-glissement est optimiste : le résultat T
0 laisse penser que
la roue pourrait rouler indéfiniment (en cas d’absence d’une résistance de l’air).
En réalité, il faut tenir compte de la déformation du pneu : le contact n’est plus ponctuel mais
réparti sur une certaine surface autour du point de contact, entraînant un moment de la réaction
normale RN par rapport à O1y ou O2y non nul, constituant ce qu’on nomme le couple de
frottement de roulement, noté
r
r uy
, avec
r
0.
cste :
Le théorème du moment cinétique appliqué à chaque roue donne alors pour
0
rTx
r
soit Tx
r
/ r , qui conduit à Fm
Fair
r1
r2
r
.
La force de traction compense la résistance de l’air et le couple de frottement de roulement.
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III. Cas d’un véhicule motorisé (roues motrices).
1°) Bilan des actions appliquées au véhicule.
On suppose maintenant que Fm
un couple moteur
M
M uy
0 (pas d’opérateur extérieur), le mouvement étant assuré par
appliqué sur le (ou les) roue(s) motrice(s).
Ce couple provient de forces intérieures au système global et n’intervient que dans le théorème du
moment cinétique appliqué à une roue motrice.
Le bilan des actions extérieures donne en mouvement rectiligne et uniforme :
0 T1x T2x Fair
.
0 N1z N 2z MT g
Le théorème du moment cinétique pour la roue avant porteuse s’écrit, en l’absence de glissement et
avec
rT2x .
cste : 0
Même avec un frottement solide important la réaction sur une roue porteuse
est purement normale en l’absence de glissement pour un mouvement
uniforme. C’est encore vrai même si varie, à condition de pouvoir considérer la
masse de la roue comme négligeable (d’où la mise en place de jantes en alliage, plus
légères que des jantes en acier, pour minimiser la réaction tangentielle).
Le théorème du moment cinétique pour la roue arrière motrice s’écrit, en l’absence de glissement et
avec
rT1x :
cste : 0
M
La réaction tangentielle sur une roue motrice vaut en l’absence de glissement et
pour
varie si on
cste : T1x
M / r (résultat encore valable même si
peut négliger la masse de la roue motrice).
Remarque : les réactions tangentielles n’ont pas d’existence propre (T engendrée par
le couple
), contrairement aux réactions normales (qui compensent le poids).
2°) Couple moteur nécessaire à l’avancée du véhicule.
rFair
rvG2 : le couple moteur compense la
On tire des équations précédentes : M
résistance de l’air, comme attendu, et le véhicule avance grâce aux frottements.
La puissance fournie par le moteur sert à compenser la perte énergétique due à la résistance de l’air,
M vG
vG3 .
avec Pmoteur
M
r
On comprend pourquoi une baisse de vitesse limite de 10 % peut induire une
réduction de consommation de carburant de 30 %.
En négligeant la masse des roues, on a, même pour un mouvement accéléré :
d’où l’accélération du véhicule : a
dvG
dt
Fair
M
r
T1x
T2x
.
À couple moteur donné, cette accélération est d’autant plus forte que r
d’où la mise en place de pneus « taille basse » pour démarrer en tête aux feux…
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M
,
/r
0
,
ALAIN ROBICHON
3°) Possibilités de glissement et de décollement des roues.
Puisque l’on a T2x
0 pour tout régime, on en déduit qu’une roue porteuse ne peut pas se mettre
à glisser sur le sol : le glissement provient des roues motrices !
La condition de non-décollement du véhicule du sol s’écrit en absence de glissement des roues :
N1zb1
Avec N1z
Pour
M
MT g , on obtient : N 1z
N 2z
M
N 2zb2
r
h.
b2MT g
b1
M
b2
h
r et N
2z
b1MT g
b1
0 si b1MT g
M
N1z
0 ) provoquant un basculement du véhicule autour des roues avant.
Le glissement de la roue motrice se produit lorsque | T1x | fcN1z soit pour
fc
M
h
.
r
0 (freinage du véhicule), c’est cette fois la roue arrière qui peut décoller (pour
Pour
r
b2
h
r.
0 (couple moteur sur la roue arrière), on constate que N 1z ne peut pas s’annuler :
C’est la roue porteuse qui peut décoller en premier : N 2z
M
M
b2MT g
b1
M
b2
M
0 :
h
r qui donne le couple moteur maximal avant glissement :
(
M )max
fcb2MT gr
.
b1 b2 fch
On voit qu’on fait plus facilement « patiner » les roues motrices sur le sol :
- avec un coefficient de frottement plus faible (en cas de pluie par exemple),
- avec des pneus taille basse (r plus petit),
- avec un véhicule plus léger,
- avec un plus long empâtement entre les essieux ( b1
b2 plus grand),
- avec un centre d’inertie du véhicule d’autant plus haut par rapport au sol.
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