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LOI ENTRÉE-SORTIE
Une loi entrée-sortie est une loi exprimant le(s) paramètre(s) du mouvement de sortie en fonction uniquement du(des) paramètre(s) d’entrée et des
caractéristiques géométriques invariantes du système. Elle ne fait donc pas intervenir les paramètres des mouvements intermédiaires.
Une loi entrée-sortie cinématique caractérise le comportement cinématique de composants de la chaîne d’énergie.
La géométrie du mécanisme doit être correctement paramétrée. Toutes les variables et tous les invariants sont définis.
1 - Détermination de la loi entrée-sortie d’un système à chaîne fermée
Première chose à faire : identifier le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système.
Plusieurs méthodes possibles :
Bouclage géométrique
♦ Écrire la relation vectorielle de fermeture géométrique de la chaîne de solide. On utilise la relation de Chasles en passant par les points
caractéristiques des différentes liaisons en décrivant la chaîne fermée.
♦ Projeter cette équation sur les directions d’une base unique. Le choix de la base influence la facilité du traitement du système d’équations.
♦ Éliminer les paramètres variables indésirables pour obtenir la loi cherchée.
Méthode de résolution courante : soit on élève au carré et on somme les équations, soit on fait des quotients.
On obtient bien évidemment une loi entrée-sortie géométrique qu’il convient de dériver pour trouver la loi entrée-sortie cinématique.
Bouclage cinématique
♦
Écrire la relation de bouclage cinématique V ( i / i − 1 ) +V ( i − 1 / i − 2 ) + ........ +V ( 2 / 1 ) +V (1 / i ) =0 qui permet l’écriture de deux éuquations
vectorielles.
Vérifier si la loi cherchée peut être obtenue seulement en écrivant l’équation de résultante.
♦ Si non, trouver le point où écrire les éléments de réduction de tous les torseurs. Le choix de ce point s’effectue en éliminant les points qui ne
permettent pas de faire apparaître les paramètres cherchés.
♦ Écrire l’équation vectorielle de moment au point choisi, en ne traduisant que la cinématique.
♦ Repérer les termes qui ne doivent pas apparaître dans l’équation scalaire recherchée et trouver par quoi scalairiser ces termes pour les
"éliminer".
♦ Effectuer judicieusement les produits mixtes et scalaires obtenus.
On obtient bien évidemment une loi entrée-sortie cinématique qu’il convient d’intégrer pour trouver la loi entrée-sortie géométrique.
♦
Recherche intuitive
♦
Écrire une équation qui traduit une particularité géométrique du système. En général, conservation d’un angle imposé par certaines liaisons
pendant le fonctionnement du système.
En général, on écrit Ui ⋅ U j = constante , constante qui peut être nulle si les deux vecteurs sont orthogonaux.
2 - Loi entrée-sortie des transmetteurs classiques
Roues de friction
Un système par roues de friction permet la transmission de puissance par adhérence. Les deux roues roulent sans glisser l’une par rapport à l’autre.
Le mécanisme est composé de trois solides :
(
)
♦
le bâti 0, auquel on associe le repère O1 ,x0 ,y0 ,z0
♦
la roue 1 de rayon r1 , à laquelle on associe le repère O1 ,x1 ,y1 ,z1
(
(
)
avec
)
O1O2 = ( r1 + r2 ) x0 , est en liaison pivot d’axe O1 ,z1 avec le bâti 0
♦
(
)
la roue 2 de rayon r2 , à laquelle on associe le repère O2 ,x2 ,y2 ,z2 , est
(
y0
y1
)
x2
en liaison pivot d’axe O2 ,z1 avec le bâti 0.
On a donc V ( 2 / 0 ) ≡
y2
x1
θ
ω20 z1
ω10 z1
et V ( 1 / 0 ) ≡ 

 0
 0
O2 
O1 
1
Comme il y a roulement sans glissement au point I :
V ( I ,2 / 1 ) = 0 .
Par composition de mouvement, on en déduit :
V ( I ,2 / 0 ) = V ( I ,1 / 0 ) = 0 .
x0
0
α
I
O1
O2
2
soit en utilisant la relation du champ des vecteurs vitesse : Ω (1 / 0 ) ∧ O1I = Ω ( 2 / 0 ) ∧ O2I .
Finalement, on a :
ω20
r
=− 1
ω10
r2
Remarque :
Si la puissance à transmettre est importante, il y a risque de glissement et le rapport de vitesse peut ne plus être constant. Pour remédier à ce problème
on utilise les transmissions par obstacles comme la transmission par engrenages.
Loi entrée-sortie - 1/3
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Roue 13
Engrenages
Pignon 2
Un engrenage est un ensemble constitué de deux roues dentées - on appelle pignon la roue de plus petit
diamètre. Le rôle d’un engrenage est de transmettre une puissance entre deux arbres pouvant occuper
des positions relatives quelconques.
Denture à profil en développante de cercle
Voir l’animation
Propriété
Les normales aux plans tangents aux différentes surfaces de contact sont inclinées d’un angle constant par rapport au plan tangent des surfaces
primitives. Cet angle, noté α, est appelé angle de pression et est égal à 20° - normalisé.
Par conception, un engrenage se comporte comme s’il y avait roulement sans glissement au niveau des cylindres primitifs de rayon respectif r1 et r2 .
Pour une roue dentée, les rayons primitifs sont proportionnels au nombre de dents Z : R = m
Z
avec m le module qui caractérise la résistance de la
2
denture. Pour qu’il y ait engrènement, il faut que les deux roues aient le même module.
Remarque
Le fonctionnement d’un engrenage est modélisé par le roulement sans glissement de deux cylindres l’un par rapport à l’autre.
Cependant au niveau de la denture, il y a bien glissement et frottement.
Comme il y a roulement sans glissement, le calcul du rapport de transmission s’effectue de la même manière que pour les roues de friction.
Différents types d’engrenages
Engrenages cylindriques à denture droite
Engrenages cylindriques à denture hélicoïdale
2
0
x4
1
0
Dans le cas de contact extérieur :
Dans le cas de contact intérieur :
ω20
ω
r
Z
= − 1 donc 20 = − 1
ω10
r2
ω10
Z2
ω20 r1
ω
Z
=
donc 20 = 1 .
ω10 r2
ω10 Z2
La transmission de mouvement se fait sur des axes parallèles.
Loi entrée-sortie - 2/3
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Engrenages coniques
0
0
0
2
ω30
r
=− 1
ω10
r3
1
1
ω20 r1
ω
Z
=
donc 20 = 1
ω10 r2
ω10 Z2
3
0
La transmission de mouvement se fait sur des axes concourants.
Roue et vis
Rapport de transmission :
ωroue Zvis
=
ωvis Zroue
La transmission de mouvement se fait sur des axes non concourants.
Train épicycloïdal
Pour obtenir un rapport de transmission important avec un train d’engrenage simple, il est nécessaire d’utiliser plusieurs étages, solution encombrante.
Une alternative consiste à utiliser des trains épicycloïdaux qui permettent d’obtenir de grand rapport de réduction dans un encombrement faible.
x4
B
O’
z0
B
y0
2
x4
3
3
O’
2
4
4
A
x0
A
y4
O
1
O
1
0
0
Pour déterminer la loi entrée-sortie d’un train épicycloïdal, on considère le porte satellites fixe et on prend les planétaires comme entrée et sortie.
On a alors :
ωP 3 / PS
ω
ω
Z
Z
Z
= λ = − 1 car P 3 / PS = 2 et S / PS = − 1 . λ est appelé raison basique du train.
ωP1 / PS
Z3
Z2
ωS / PS Z3
ωP1 / PS
Par composition de mouvement, on peut écrire alors :
ωP 3 / 0 − ωPS / 0
=λ
ωP1 / 0 − ωPS / 0
Ce qu’on peut encore écrire : Relation de Willis : ωP 3 / 0 − λωP1 / 0 + ( λ − 1)ωPS / 0 = 0 avec λ = −
Z1
.
Z3
Lors de l’utilisation d’un train épicycloïdal, on est obligé d’imposer deux mouvements.
Transmission par lien flexible
Dans ce genre de transmission les deux poulies ou les deux pignons tournent dans le même sens.
ω
r
On a alors 20 = 1 - on suppose que le lien est inextensible.
ω10 r2
Loi entrée-sortie - 3/3
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