Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes Actions de Contacts Ponctuels Réels 1- Actions de liaisons ponctuelles avec frottement 1.1- Liaisons ponctuelles ou équivalentes parfaites ( Sans frottement ) → → Dans un problème plan (O, X , Y ) les liaisons ci-contre sont équivalentes : - Liaison ponctuelle de normale (A,∆) - Linéaire rectiligne de normale (A, ∆) - Liaison linéaire annulaire d’axe passant par A et perpendiculaire à ∆. ∆ ∆ ∆ 2 2 2 A 1 A 1 1 A Pour toutes ces liaisons l’action du solide 1 sur le solide 2 peut être modélisée par : Une force appliquée en A et de support (A, ∆). ∆ Remarque : Cette action a une seule inconnue 1.2- Cas des liaisons ponctuelles ou équivalentes avec frottement : Loi de Coulomb 1.2.1- Modélisation graphique dans le cas de l’adhérence Soit une liaison ponctuelle entre 1 et 2 de centre A et de normale la droite ∆. Alors si il y a adhérence entre 1 et 2, l’action de 1 sur 2 ou 2 sur 1 peut être modélisée par: → Une force F1/2 à l’intérieur du d’adhérence de demi angle au sommet ϕ0 . Remarque : Cette ϕ0 ∆ F1/2 2 cône Sens de la tendance au glissement de 2 sur 1 A 1 action a 2 inconnues pour un problème plan et 3 inconnues dans l’espace 1.2.2- Modélisation graphique dans le cas du frottement Soit une liaison ponctuelle entre 1 et 2 de centre A et de normale la droite ∆. Alors si il y a glissement de 2 sur 1, l’action de 1 sur 2 ou 2 sur 1 peut être modélisée par: ϕ ∆ 2 → Une force F1/2 sur la génératrice du cône de frottement de demi angle au sommet ϕ . Remarque : F1/2 Sens du glissement de 2 sur 1 A 1 Cette action a 1 inconnue pour un problème plan ou non Contacts Ponctuels Reels.doc page 1/4 Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes 1.2.3- Modélisation analytique Soit une liaison ponctuelle entre 1 et 2 de centre A et de → normale la droite ∆ = (A, Y ) . Alors si il y a adhérence entre 1 et 2, l’action de 1 sur 2 ou 2 sur 1 peut être modélisée par: ∆ 2 N T Une force F1/2 N où N et T sont les A 0 T composantes normales et tangentielles de la force 1 F1/2 → Sens de la tendance ou du glissement de 2 sur 1 Cas de l’adhérence : T ≤ f0 . N où f0 est le coefficient d’adhérence (f0 = tan ϕ0) Cas du frottement : T = f . N où f est le coefficient de frottement (f = tan ϕ) Remarque : Si adhérence : 2 ou 3 inconnues. Si frottement 1 inconnue. 1.3 Quelques valeurs des coefficients de frottement et d’adhérence Valeurs Adhérence : f0 = tan ϕ0 Frottement : f = tan ϕ indicatives des à sec lubrifié à sec lubrifié coefficients Acier / Acier Acier / Fonte Acier / Bronze Acier / Téflon Bitume/caoutchouc 0,15 à 0,2 0,1 à 0,13 0,2 à 0,15 0,1 à 0,12 0,15 à 0,25 0,1 à 0,15 0,04 à 0,08 Jusqu’à environ 0,8 0,12 à 0,15 0,1 à 0,16 0,15 à 0,2 0,04 à 0,08 0,6 0,08 0,04 à 0,08 0,04 à 0,08 0,3 sur sol mouillé − Le coefficient d’adhérence est toujours supérieur au coefficient de frottement. − Ces coefficients dépendent : − Des matériaux des surfaces de contact de la liaison. − De l’état de surface (rugosité) des surfaces en contact de la liaison. − De la lubrification des surfaces de contact − Dans une moindre mesure de d’autres facteurs tel la température − Ces coefficients ne dépendent pas de la taille des surfaces de contact. 2- Contacts linéaires ou ponctuels réels : Pressions de Hertz 2.1- Définition Dans le cas d’un contact réel entre deux solides, même si théoriquement le contact est linéaire ou ponctuelle, la déformation locale des pièces fait que l’on a une surface de contact s. L’effort de contact se répartie donc sur cette surface pour créer une pression de contact, appelée pression de Hertz. F1/2 2 Surface de contact : s 1 Pressions de Hertz : ph Cette pression n’est pas uniforme sur la pMax surface elle a un maximum : pMax . → L’effort de contact de la pièce 1 sur la pièce 2 : F1/2 est alors la résultante des forces élémentaires df → dues à la pression de contact sur les surfaces élémentaires ds. ||F1/2|| = ⌠ ⌡s p.ds Contacts Ponctuels Reels.doc page 2/4 Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes 2.2- Calcul de la pression de Hertz La pression de Hertz maximale dépend des paramètres suivants : Rayons de courbure des surfaces de contact ; Modules d’élasticité des matériaux des pièces ; et Effort de contact. * Si une des deux surfaces est plane alors son rayon de courbure est infini. (r2 = ∞ ou r1 = ∞) 2.2- Pression de matage Si la pression maximale de Hertz dépasse une valeur limite du matériau d’une des deux pièces alors la pièce est définitivement déformée. On par le de matage de la surface de contact. Pour éviter le matage il faut donc que la pression maximale reste inférieure aux deux pressions admissibles des matériaux des deux pièces en contact. 3- Résistance au roulement 3.1- Principe et définition Lorsque un solide, a tendance à rouler, ou roule sur un autre solide, la déformation n’est plus symétrique autour du contact. La pression de contact étant → dissymétrique, la force résultante F1/2 se trouve décalée d’une distance « d » par rapport à la normale du contact. F1/2 2 1 d Pressions dissymétriques Cette distance d reste forcément inférieure à une valeur limite « a » appelée coefficient de résistance au roulement et qui est atteinte lorsqu’il y a effectivement roulement d’une pièce sur l’autre. 3.2- Coefficient et facteur de résistance au roulement 3.2.1- Cas où il n’y a pas de roulement Soit un solide 2 qui a tendance à rouler sur le solide un mais qui reste cependant immobile par rapport au solide 1. Alors l’action du Sens de la tendance au solide 1 sur le solide 2 peut se modéliser par : roulement → Une force F1/2 dont le support est parallèle et décalé d’une distance d ≤ a de la normale du contact ponctuel ou linéaire rectiligne. Remarque : 2 1 F1/2 a d Cette action a deux ou trois inconnues Contacts Ponctuels Reels.doc page 3/4 Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes 3.2.2- Cas où il y a roulement Soit un solide 2 qui roule sur le solide 1 ; Alors l’action du Sens du solide 1 sur le solide 2 peut se modéliser par : roulement F1/2 → Une force F1/2 dont le support est parallèle et décalé d’une distance a de la normale du contact ponctuel ou linéaire rectiligne. Remarque : 2 1 a Cette action a une seule inconnue. 3.2- Coefficient et facteur de résistance au roulement 3.2.1- Le coefficient de résistance au roulement Il dépend d’un grand nombre de facteurs : Matériaux ; Rayons de courbure ; Vitesse de roulement ; Rugosité. On retient cependant en général des valeurs moyennes constantes. Dont voici quelques exemples : ⊗ Acier sur Acier : a ≈ 0,4 à 0,6 mm ⊗ Acier sur ciment : a ≈ 10 à 15 mm ⊗ Caoutchouc sur bitume : a ≈ 3 à 15 mm ⊗ Pneu de vélo sur bitume : a ≈ 1 à 4 mm ⊗ Pneu d’automobile sur bitume : a ≈ 20 à 30 mm Remarque : Ce coefficient a une unité. Souvent on le donne en mm. 3.2.2- Facteur de résistance au roulement Dans le cas du roulement d’un cylindre ou d’une sphère sur un plan (Exemple : une roue sur un plan), on définit le facteur de résistance au roulement comme étant : a Le rapport entre le coefficient de résistance au roulement et le rayon du cylindre : fR = r Voici quelques exemples de facteur de résistance au roulement : ⊗ Roue de train : fR ≈ 0,001 ⊗ Pneu de vélo sur bitume : fR ≈ 0,002 à 0,006 mm ⊗ Pneu d’automobile sur bitume : fR ≈ 0,03 à 0,05 Remarque : Ce facteur est sans unité Contacts Ponctuels Reels.doc page 4/4