A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 TD P13 – Mécanique – Energie du point matériel Exercices d’application 1 Mouvement de glissement sans frottement Savoir-faire mis en œuvre : Savoir calculer le travail d’une force (force conservative ou force de frottement) Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour trouver une inconnue 3 Pendule simple Savoir-faire mis en œuvre : Savoir calculer le travail d’une force (force conservative ou force de frottement) Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur Un pendule est constitué d’un objet de masse au bout d’un fil de longueur . Il est lâché sans vitesse initiale On considère un objet ponctuel de masse glissant sans depuis un angle mesuré à partir de la verticale. frottement à l’intérieur d’une portion circulaire (cf. figure 1) 1. Déterminer la vitesse de la masse lorsque le fil est incliné d’un angle quelconque. Est-il nécessaire de faire l’approximation des petits angles pour déterminer cette vitesse ? Faire l’application numérique pour . Déterminer l’équation différentielle du mouvement à l’aide du théorème de l’énergie cinétique. 4 Figure 1 Déterminer la vitesse minimale qu’il faut communiquer à la masse en pour qu’elle puisse atteindre . 2 Mouvement de glissement avec frottement Savoir-faire mis en œuvre : Savoir calculer le travail d’une force (force conservative ou force de frottement) Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour trouver une inconnue Chute libre Savoir-faire mis en œuvre : Distinguer force conservative et force non conservative. Utiliser le théorème de l’énergie mécanique pour trouver une inconnue On lance un objet de masse à la vitesse à , on choisit l’origine du repère au niveau de la position de départ de l’objet. Le vecteur unitaire est orienté verticalement vers le haut. Déterminer la norme de vitesse en fonction de l’altitude . En déduire l’altitude atteint par l’objet. On considère une masse glissant avec frottement sur un plan incliné d’angle (cf. figure 2). Le coefficient de frottement dynamique noté vérifie la condition suivante : . Figure 2 Déterminer la vitesse minimale qu’il faut communiquer à la masse en pour qu’elle puisse atteindre . TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel 1 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Distance d’arrêt 5 Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 On considère (figure suivante) un tunnel rectiligne , d’axe ne passant pas par et traversant la Terre. On note la distance du tunnel au centre de la Terre. Savoir-faire mis en œuvre : Distinguer force conservative et force non conservative. Utiliser le théorème de l’énergie mécanique pour trouver une inconnue Un objet de masse lâchée en , sans vitesse initiale, glisse sans frottement sur un plan incliné puis avec frottement sur un plan horizontal (cf. figure 3). Le coefficient de frottement dynamique noté vérifie la condition suivante : . Figure 4 Un véhicule, assimilé à un point matériel (masse ), glisse sans frottement dans le tunnel. Ce véhicule part du point de la surface terrestre, sans vitesse initiale. Figure 3 Calculer la distance d’arrêt 6 . Ressort vertical Savoir-faire mis en œuvre : Distinguer force conservative et force non conservative. Utiliser le théorème de l’énergie mécanique pour l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur Un objet ponctuel de masse , lié à un ressort vertical de constante de raideur et de longueur à vide , est lâché sans vitesse initiale, le ressort étant étiré initialement : longueur . A l’aide du théorème de l’énergie mécanique, déterminer l’équation différentielle du mouvement. 7 Calcul d’une énergie potentielle On définit l’énergie potentielle de gravitation. 1. Quelle est l’expression de sachant que au point ? (On prendra l’origine des au point ) 2. Quelle est sa vitesse maximale au cours de son mouvement ? Calculer sachant que 8 Graphe d’énergie potentielle et régions accessibles Savoir-faire mis en œuvre : Déduire d’un graphe d’énergie potentielle la nature de la trajectoire possible Déduire d’un graphe la position et la nature stable ou instable des positions d’équilibre Soit le graphe de l’énergie potentielle de la figure 5. Savoir-faire mis en œuvre : Etablir l’expression de l’énergie potentielle connaissant la force (dans le cas unidimensionnel). On démontre que, pour tout point de masse , situé à l’intérieur de la Terre, à la distance du centre de la Terre, l’attraction terrestre est une force agissant sur ce point, dirigée vers le centre de la Terre et de valeur : Figure 5 : graphe de l’énergie potentielle : rayon de la Terre, Données numériques : 1. En déduire l’allure du graphe donnant la variation de la force en fonction de . , , TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel 2 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices 2. Quelle est la position d’équilibre ? Est-elle stable ? Quelles sont les régions accessibles si et si ? Exercices d’entraînement 9 Jeu de foire 11 Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Amortissement Un objet de masse est lâché sans vitesse initiale depuis une altitude dans le champ de pesanteur. Dans une foire, un jeu de force consiste à taper avec une masse sur un levier qui transmet une force verticale à un objet de masse . Le joueur gagne si l’objet fait tinter (grâce au choc) une cloche située à la hauteur au dessus du levier. 1. Quelle doit être la vitesse initiale minimale transmise à l’objet pour gagner, en l’absence de frottement entre l’objet et son guide vertical ? 2. Le forain est un peu tricheur : il a placé sur le guide un Figure 7 matériau qui introduit une force de frottement opposée Afin d’amortir sa chute, on place dessous un ressort de au mouvement et de norme constante . Calculer la nouvelle vitesse initiale à communiquer à la masse constante de raideur et de longueur à vide . Déterminer de quelle longueur est au maximum comprimé le ressort. pour gagner 10 Cube On abandonne sans vitesse initiale un cube de masse sur un plan matériel incliné d’un angle avec l’horizontale. Le cube glisse sans frottement sur la ligne de plus grande pente sur une distance avant de butter sur un ressort de constante de raideur et de longueur à vide . 12 Modèle de Drude Le modèle de Drude (du nom du physicien Paul Drude) est une adaptation effectuée en 1900 de la théorie cinétique des gaz aux électrons des métaux (découverts 3 ans plus tôt, en 1897 par J.J. Thomson). Bien que se fondant sur des hypothèses démenties depuis 1. Déterminer par une analyse énergétique de combien se (description purement classique du mouvement des électrons), la modèle permet de rendre compte de plusieurs retrouve comprimé le ressort au maximum. propriétés des métaux, notamment leurs conductivités 2. Quelle est la longueur du ressort quand la vitesse du électrique et thermique. cube est maximale ? Les électrons libres du métal, qui contribuent à la conduction, sont uniformément répartis et sont animés d’un mouvement d’ensemble par des champs électriques ou magnétiques et freinés dans ce mouvement par des collisions. On note la masse d’un électron, sa charge et la densité volumique, c’est-à-dire le nombre d’électrons par . Figure 6 Les électrons sont ici soumis à l’action d’un champ électrique uniforme et à une force de frottement traduisant les chocs dans le réseau cristallin où est la durée moyenne entre deux chocs et la vitesse d’un électron dans le référentiel lié au métal, supposé galiléen et rapporté au repère ( ). 1. Etablir l’équation différentielle suivie par 2. Montrer que la vitesse de l’électron tend, en régime permanent, vers une constante notée , que l’on précisera. TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel 3 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices 3. Exprimer en régime permanent, la puissance de la force électrique, ainsi que celle de la force de frottement. Conclure. 13 Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 14 Barrière de potentiel Voiture réduite à un point matériel On s’intéresse au dispositif suivant dans lequel un ressort de raideur , de longeueur au repos et de masse On considère un véhicule, assimilé à un point matériel de négligeable, est relié par l’une des extrémités au point fixe masse , en mouvement rectiligne horizontal. Sa position et ’autre à un anneau de masse , coulissant est repérée par son abscisse et on ne considérera que les sans frottement sur un axe horizontal. composantes des forces colinéaires au vecteur base de l’axe . Dans tout le problème, on se place dans un référentiel terrestre supposé galiléen. 1. L’automobile n’est soumise qu’à l’action de son moteur qui développe une puissance constante . Elle part du repos en . Les frottements sont négligés. Déterminer, en fonction du temps, les expressions de : 1.1. La vitesse 1.2. L’accélération 1.3. L’abscisse 2. Déterminer l’expression de en fonction de la vitesse . 3. Au bout de quelle distance le véhicule aura-t-il atteint la vitesse de ? On donne : g et 4. La voiture est maintenant soumise, en plus de l’action du moteur, à une force de résistance de l’air, de norme , où est une constante positive. 4.1. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, pendant une durée infinitésimale , établir l’équation différentielle : Figure 8 : Système étudié 1. Montrer que l’énergie mécanique du système se conserve. 2. Exprimer l’énergie potentielle du système. 3. Déterminer la (les) position(s) d’équilibre du point matériel . Montrer que le comportement du système est différent pour et pour . 4. Identifier alors les profils d’énergie potentielle proposés sur la figure suivante. 1.1. En intégrant cette équation différentielle, exprimer en fonction de , sachant que et . 1.2. Montrer qu’il existe une vitesse limite . 1.3. Donner en fonction de et de . 2. On donne 2.1. Calculer la valeur de 2.2. Au bout de quelle distance atteint la vitesse de , le véhicule aura-t-il Figure 9 : Courbes d’énergie potentielle 5. Dans le cas du profil , on lance l’anneau à partir d’une position d’équilibre stable avec une vitesse . Déterminer les différents mouvements possibles en fonction de . TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel 4 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 4. Donner le développement limité au deuxième ordre de cette énergie potentielle, qu’on notera . Comment s’appelle un potentiel ayant cette forme ? et Un objet ponctuel , de masse , fixé à un ressort (raidur 5. Tracer sur un même graphe les courbes pour . , longueur à vide ) peut coulisser sans frottement,, le long d’une tige inclinée d’un angle par rapport à la 6. Quel est l’écart relatif entre ces deux verticale. L’axe est choisi dans la direction de cette potentiels ? Faire l’application numérique pour tige. . Visualiser l’écart sur le dessin précédent. Calculer en degrés. Commenter la pertinence de l’approximation faite. 7. Donner l’expression de l’énergie mécanique approchée de l’objet en fonction du seul paramètre variable . 8. Dériver l’énergie mécanique approchée par rapport au temps. En déduire la période des oscillations. 15 Oscillateur harmonique 17 Modélisation de la vibration moléculaire Une molécule diatomique est en permanente vibration : la distance interatomique oscille dans le temps. L’interaction entre les atomes est modélisée par le potentiel de Morse : Figure 10 : Système étudié où , et sont des constantes positives. On néglige l’attraction gravitationnelle entre atomes face aux autres forces du système. 1. Déterminer la position d’équilibre du système 1. Exprimer l’énergie potentielle de en fonction de . 2. En déduire la position d’équilibre. 2. Déterminer le caractère stable ou instable de cette 3. On déplace légèrement la masse de sa position position d’équilibre d’équilibre et on la lâche sans vitesse initiale. Etablir l’équation différentielle du mouvement et la période 3. Tracer l’allure de la courbe d’énergie potentielle, appelée courbe de Morse. des oscillations. 4. Déterminer l’équation de la parabole passant au plus près de la courbe de Morse au voisinage de l’équilibre. Oscillateur harmonique approché Tracer l’allure de cette courbe sur le graphe précédent. Qu’appelle-t-on constante de raideur k de ce potentiel On analyse un pendule simple constitué d’un fil harmonique ? inextensible de longueur et d’un objet de masse . Le fil 5. On admet que la deuxième loi de Newton peut fait un angle par rapport à la verticale. s’appliquer à l’atome dans le référentiel lié à l’atome 1. Rappeler sans démonstration l’expression de la période à condition de remplacer la masse de par la masse du pendule déterminée par la deuxième loi de Newton réduite . Déterminer la fréquence angulaire et dans l’approximation des petits angles. 16 des petites oscillations ainsi que sa fréquence . On se propose par la suite de retrouver ce résultat par une analyse de type oscillateur des petits angles. 6. Application numérique : Déterminer le paramètre empirique permettant de modéliser la fréquence 2. La masse constitue-t-elle un système conservatif ? mesurée expérimentalement à Justifier. 3. Donner l’expression de l’énergie potentielle de Données : la masse en fonction de l’angle . On choisira une - Energie de la liaison énergie potentielle nulle lorsque la masse passe par sa - Masses molaires position d’équilibre. - , , Constante d’Avogadro TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel 5