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Lycée Maximilien Sorre
Année 2014-2015
BTS SIO 1
TD - Calcul booléen, tableaux de Karnaugh
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Calcul booléen
Exercice 1.
En utilisant les règles du calcul booléen, simplifier les expressions suivantes :
1) A = ab(ab + ab)ab
12) L = b + bc + abc
2) B = ab + (ab + ab)ab
13) M = ab + abc
3) C = (a + a)a + b(b + b)
14) N = (a + ac)(b + ac) + b + c + c
4) D = a + ab(b + b)
15) O = (a + b)(a + b + c)
5) E = a + b a + b
16) P = a(a + b)(a + b)
6) F = a(a + b)(a + 1)
17) Q = b(a(1 + c + c) + ac)
7) G = ab(b + c) + ac(a + b)
18) R = a(bc + cc)
8) H = abc + ab + abc
19) S = a(bb + 0c + 1 + cc)
9) I = (a + c)(abc + b) + a
20) T = a(b + c)a(a + c)
10) J = (abc + abc + abc)(abc + abc + abc + abc)
21) U = a + b + c + a(b + c) + ac
11) K = abc + ac + bc + a + abc + a
22) V = (a + ab)ac + 0(a + a + 1)
Exercice 2.
Dans une algèbre de Boole, on définit l’opération nor, notée avec le symbole ↓, par :
a ↓ b = a + b = ab,
et l’opération nand, notée ↑, par :
a ↑ b = ab = a + b.
1) Montrer que a ↑ b = a ↓ b
2) Exprimer plus simplement :
a) a ↓ a
b) (a ↓ a) ↓ (b ↓ b)
c) (a ↓ b) ↓ (a ↓ b)
3) En déduire des égalités similaires pour l’opérateur ↑.
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Tableaux de Karnaugh
Exercice 3.
1) Écrire de deux façons possibles l’expression booléenne représentée par le tableau de Karnaugh suivant, chacune étant une somme de trois produits de deux variables booléennes
prises parmi a, b, c, a, b, c :
b b b b
a 1 1 0 0
a 1 0 1 1
c c c c
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2) Écrire l’expression booléenne représentée par le tableau de Karnaugh suivant sous la forme
d’une somme de deux variables booléennes prises parmi a, b, c, a, b, c :
b b b b
a 1 1 1 1
a 1 0 1 0
c c c c
Exercice 4.
Le responsable du parc informatique d’une entreprise envisage l’acquisition de nouveaux ordinateurs. Pour s’équiper, ce responsable s’adresse à une entreprise de vente de matériel
informatique qui propose des configurations prédéfinies (ordinateur et périphériques).
On définit les critères suivants :
• a : la configuration comprend un graveur de DVD,
• b : la configuration comprend une imprimante,
• c : la configuration comprend un scanner.
Les contraintes d’équipement excluent les configurations avec graveur de DVD mais sans
scanner, ainsi que les configurations sans graveur et sans imprimante.
1) Donner une expression booléenne E traduisant les contraintes d’équipement.
2) Dresser le tableau de Karnaugh de E.
3) Traduire l’expression booléenne abc sous forme d’une phrase et préciser si la configuration
correspondante peut être acceptée.
4) À partir de la table de Karnaugh obtenue précédemment, donner l’expression F simplifiée
traduisant l’acceptation d’une configuration.
5) La phrase : “Les configurations acceptées sont celles qui comportent soit un graveur et un
scanner soit pas de graveur et une imprimante” traduit-elle l’expression booléenne F ?
Exercice 5.
1) On considère un ensemble E muni d’une structure d’algèbre de Boole.
a) Soit l’expression A = abc + abc + abc, où a, b et c désignent trois éléments de E.
Simplifier A à l’aide d’un tableau de Karnaugh.
b) Montrer par calcul direct que A = ac + abc et que A = ac + bc.
2) Un immeuble comprend six logements appartenant à monsieur A, madame B ou monsieur
C, et dont les surfaces figurent dans le tableau ci-dessous :
Logement no 1
2
3
4
5
6
Superficie
55 105 112 228 247 253
Propriétaire A
B
A
B
C
C
Chaque propriétaire détient à l’assemblée des copropriétaires un nombre de voix égal à la
superficie totale de ses logements. Ainsi, monsieur A dispose de 55 + 112 = 167 voix.
Une proposition concernant le remplacement de la chaudière est mise au vote de l’assemblée. Pour être adoptée, elle doit recueillir la majorité, soit 501 voix. On note a la
proposition “A vote pour”, et on note a la proposition contraire. De même pour B et C.
a) Quelle situation de vote traduit le produit booléen : abc ?
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b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant toutes les situations de vote
possibles :
Situation Nb de voix Résultat du vote
abc
1 000
oui
abc
...
c) Écrire l’expression booléenne qui exprime la condition pour que la proposition soit
adoptée.
d) En utilisant les résultats de la première question, écrire cette condition sous forme
simplifiée, puis la traduire par une phrase explicite.
Exercice 6.
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.
Partie A
On note P l’ensemble des professeurs p enseignant dans un lycée et E l’ensemble des élèves e
de ce lycée. _ On note q(e, p) le prédicat : “L’élève e connaît le professeur p”.
1) Traduire par une phrase la proposition A suivante :“∀e ∈ E, ∃p ∈ P, q(e, p)”.
2) Écrire symboliquement la proposition B : “Il existe au moins un élève qui connaît tous les
professeurs”.
3) Écrire symboliquement puis traduire par une phrase les propositions A et B.
Partie B
Dans ce lycée, un élève peut avoir des droit d’écriture sur le site internet selon son activité.
On définit les critères suivants :
• i : “l’élève suit des cours d’informatique”,
• d : “l’élève participe au bureau des délégués”,
• s : “l’élève est dans une section de techniciens supérieurs”.
1) Bob suit des cours d’informatique et ne participe pas au bureau des délégués. Donner une
expression booléenne traduisant la situation de Bob.
2) Un élève a des droits d’écriture sur le site du lycée :
• si il suit des cours d’informatique et participe au bureau des délégués,
• ou si il ne suit pas de cours d’informatique et est en section de techniciens supérieurs,
• ou si il ne participe pas au bureau des délégués, est en section de technicien supérieur
et suit des cours d’informatique.
(a) Déterminer l’expression booléenne D traduisant les conditions qui donnent un droit
d’écriture sur le site.
(b) Bob a-t-il des droits d’écriture sur le site internet ?
3) En utilisant un tableau de Karnaugh (on mettra en évidence les regroupements utilisés)
ou une table de vérité ou le calcul booléen, montrer que D = s + di. Traduire cette égalité
par une phrase.
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