1. No category

Presentaci´
on
El grupo de profesores del Departamento de Matem´aticas de la Universidad
Tecnol´
ogica de Pereira que durante a˜
nos han venido orientando el primer curso
de matem´
aticas que deben tomar los alumnos que recien inician su vida en
la educaci´
on superior en los programas de: Ingenier´ıas, Tecnolog´ıas, Quimica
Industrial, Administraci´
on del medio Ambiente, y Licenciatura en Matem´aticas
y F´ısica; han puesto su experiencia y su conocimiento en la elaboraci´on de este
material con el objetivo de facilitar la comprensi´on y desarrollo de todos los temas
que se exponen en ´el.
Aqu´ı encontrar´
an gran cantidad de talleres con sus respuestas sistem´aticamente
presentados conforme se desarrolle el curso, ajustados completamente al contenido
de la asignatura; permitiendo que el alumno avance hacia la consecuci´on de las
habilidades y competencias necesarias que le dar´an la solidez matem´atica para
afrontar con solvencia las diferentes asignaturas que requieran de unas buenas bases
matem´
aticas.
Es de recalcar que los talleres aqu´ı planteados requieren fundamentalmente tan
solo de los elementos te´
oricos que el docente entregar´a en cada clase, siendo esto
ventajoso dado que le evita al alumno el gasto asociado a la compra de un texto
gu´ıa.
Finalmente se han agregado unos temas al inicio de este libro y corresponden en gran
medida a los t´
opicos fundamentales que cualquier alumno debe manejar con soltura
para poder dar inicio con responsabilidad al desarrollo de ejercicios y problemas
propuestos en este material que hemos denominado Talleres de Matem´aticas I
Profesores Matem´
aticas I
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
2 Coordenas y gr´
aficas
2.1 Taller A
2.1 Taller A
1. Obtenga una ecuaci´
on de la recta que pasa por el punto (2, 3) y que es paralela
a la recta cuya ecuaci´
on es x + 2y − 2 = 0. Dibuje las rectas.
2. Obtenga una ecuaci´
on de la recta que pasa por el punto (5, 4) y que es
perpendicular a la recta cuya ecuaci´on es −2x − y + 4 = 0. Dibuje las rectas.
3. Tres vertices consecutivos de un paralelogramo son (−4, 1), (2, 3) y (8, 9).
Determine las coordenadas del cuarto v´ertice.
4. Dados los puntos A = (2, 1), B = (6, −1) y C = (4, 5)
a) Pruebe por medio de pendientes que los tres puntos A, B y C son los
v´ertices de un tri´
angulo rect´angulo y calcule el ´area del tri´angulo.
b) Verifique que el punto A pertenece a la recta l que es perpendicular al
segmento BC en su punto medio.
5. Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de cualquier tri´angulo
rect´
angulo equidista de los tres v´ertices.
Sugerencia: Puede suponer que el tri´angulo rect´angulo tiene v´ertices en (0, 0),
(a, 0) y (0, b) con a > 0 y b > 0
6. Dados los cuatro puntos A = (2, −4), B = (8, −1), C = (6, 4) y D = (4, 3).
Demuestre por medio de pendientes que los cuatro puntos A, B, C y D son
los v´ertices de un trapecio y calcule el ´area de este trapecio.
7. Sea l1 la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (0, 4)
a) Halle la ecuaci´
on de la recta l2 que pasa por el punto (5, 4) y que es
perpendicular a la recta l1 . Ilustre gr´aficamente.
b) Halle la intersecci´
on de las rectas l1 y l2 halladas anteriormente.
52
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
c) Halle la ecuaci´
on de la circunferencia con centro en el punto (5, 4) y que
es tangente a la recta l1 dada anteriormente. Ilustre gr´aficamente.
8. Sea l una recta cuya ecuaci´on es x − 2y − 4 = 0
a) Obtenga la ecuaci´
on de la circunferencia con centro en el punto (3, 7)
y que es tangente a la recta l dada. Ilustre gr´aficamente la recta y la
circunferencia.
b) Determine los cortes con los ejes coordenados, si es que existen, de la
circunferencia obtenida en el literal a).
9. Encuentre los valores de la constante k tal que la recta:
3y − kx = 6 sea tangente a la circunferencia x2 − 2x + y 2 = 3. Ilustre
gr´
aficamente.
10. Halle la ecuaci´
on de la circunferencia que tiene el centro sobre la recta y = x+1,
y que pasa por los puntos (1,4) y (5,2). Ilustre gr´aficamente.
11. La recta y = mx + b corta a la par´abola y = x2 − 2x + 4 en el punto (3,7).
Encuentre los valores de m y b tal que la recta y = mx + b corte a la gr´afica
de y = x2 − 2x + 4 u
´nicamente en el punto (3,7).
12. La recta y = mx + b pasa por el punto (5,0) y corta a la gr´afica de y = 9 − x2 .
Encuentre los valores de m y b de tal manera que esa recta corte a la gr´afica
de y = 9 − x2 en un u
´nico punto, y adem´as halle dicho punto.
13. Dada la relaci´
on y 2 − 6y − 2x = −5
a) Halle los cortes de la relaci´on dada con los ejes coordenados.
b) Trace la gr´
afica de la relaci´on dada, y determine cual es el dominio y el
rango de esta relaci´on.
c) Represente gr´
aficamente la soluci´on del siguiente sistema de desigualdades
en dos variables
(
y 2 − 6y < 2x − 5
2x + 1 ≤ y
14. Suponga que el agua que fluye del extremo de un tubo, el cual se encuentra a
25 pies del suelo, describe una curva parab´olica, de modo que el v´ertice de la
par´
abola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo el flujo
53
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
de agua en su trayectoria curva se localiza a 8 pies de distancia de la recta
vertical que pasa por el extremo del tubo. ¿Qu´e tan alejado de esta recta llega
el agua al piso?
15. Trace la gr´
afica de 9x2 − 54x + 4y 2 − 8y = −49. Determine el dominio y el
rango de esta relaci´
on.
16. Dada la relaci´
on x2 + y 2 − 2x − 8y = −13
a) Trace su gr´
afica e indique su dominio y su rango.
b) Despeje a y en t´erminos de x, y represente gr´aficamente cada una de las
relaciones obtenidas, indicando sus respectivos dominios y rangos.
17. En cada uno de los siguientes ejercicios trace la gr´afica de la relaci´on dada e
indique su dominio y su rango.
√
a) x2 − 6x − 2y + 11 = 0
f ) y = 4 + 8 − x2 + 2x
√
b) y 2 − 4y − 2x + 6 = 0
2x − x2 + 3
√
g) y = 2 −
c) y − x − 1 = 2
2
√
√
d) y + x − 1 = 2
3 6x − x2 − 5
√
h) y = 1 +
e) y = 4 − 8 − x2 + 2x
2
54
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
3 Funciones
3.1 Taller A
3.2 Taller B - Funciones exponenciales y logaritmicas
3.1 Taller A
1. Trace la gr´
afica de cada una de las siguientes relaciones y determine cuales de
ellas son funciones y cuales no. si la relaci´on dada es funci´on, expr´esela en la
forma y = f (x), e indique su dominio y su rango.
√
2x − x2 + 3
a) x2 − 6x − 2y + 11 = 0
i) y = 2 −
2
b) y 2 − 4y − 2x + 6 = 0
√
3 6x − x2 − 5
c) x2 + y 2 − 2x − 8y = −13
j) y = 1 +
2
√
√
d) y − x − 1 = 2
2+8=2
k
)
y
−
4/3
2x
−
x
√
√
e) y + x − 1 = 2
l ) y + 4/3 2x − x2 + 8 = 2
√
2
f ) y − 2x − x = 0
x2 − 2x − 15
√
m)
y
−
=2
2
g) y = 4 − 8 − x + 2x
2
√
√
h) y = 4 + 8 − x2 + 2x
n) y − 2 x2 − 2x + 2 + 1 = 0
2. Para cada una de las siguientes funciones:
a) Determine el dominio de f y halle los puntos de intersecci´on de la gr´afica
de f con los ejes coordenados, si existen estos cortes.
b) Trace su gr´
afica.
√
i) f (x) = 2
vi) f (x) = 2 −
ii) f (x) = 2x − 1
vii) f (x) = 1 −
iii) f (x) = x2 − 6x + 5
viii) f (x) = 4 + 8 − x2 + 2x
√
ix) f (x) = 2x + 1 + 3
√
x) f (x) = 4 − 2x
iv) f (x) = x2 − 4x + 5
√
v) f (x) = 3 + x − 1
55
√
√
x−1
4x − x2 + 5
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
3. Sea f la funci´
on que tiene como regla de correspondencia:
2
f (x) = x − 2x − 3
A)
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Encuentre la ecuaci´
on de la recta que pasa por los puntos (−1, f (−1))
y (4, f (4)).
c) Encuentre
f (x + h) − f (x)
y simplifique.
h
B) Sea f la funci´
√ on que tiene como regla de correspondencia:
f (x) = 2 x − 1 − 2
a)Trace la gr´
afica de f
b)Encuentre la ecuaci´
on de la recta que pasa por los puntos (1, f (1)) y
(5, f (5))
c)Encuentre
f (x + h) − f (x)
y simplifique
h
4. Suponga que el agua que fluye del extremo de un tubo, el cual se encuentra
a 25 pies del suelo, describe una curva parab´olica, de modo que el v´ertice de
la par´
abola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo el
flujo de agua en su trayectoria curva se localiza a 8 pies de distancia de la
recta vertical que pasa por el extremo del tubo. Exprese la distancia desde la
recta vertical que pasa por el extremo del tubo hasta el flujo de agua en su
trayectoria curva, en funci´
on de b pies debajo del tubo.
5. Uno de los cables de un puente colgante pende en forma de par´abola cuando
la carga est´
a uniformemente distribuida de manera horizontal. La distancia
entre las dos torres es de 160m, los puntos de del cable estan a 24m arriba
de la carretera, y el punto m´
a bajo del cable esta a 8m sobre dicha carretera.
Determine la distancia vertical de la carretera al cable de un punto que se
encuentra a b m de la base de una torre. Exprese esta distancia vertical y,
en funci´
on de b. Indique el dominio admisible para b
56
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
6. Un arco par´
abolico tiene una altura de 25m y un ancho de 40m
en la base. Si el v´ertice de la par´abola est´a en la parte superior
del arco, a qu´e altura sobre la base tiene un ancho de b m?
7. El techo de un vest´ıbulo de 8m de ancho tiene la forma de una semielipse
de 9m de altura en el centro y 6m de altura de las paredes laterales.
Determinar la altura del techo a b m de cualquier pared. Exprese la altura
y del techo, en funci´
on de b. Indique el dominio admisible para b
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Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
8. Un telescopio refractante tiene un espejo parab´olico para el cual la distancia
del v´ertice al foco es de 30 pies, Si el diametro de la parte superior del
espejo es de b pulgadas, exprese la profundidad h del espejo en funci´on de b
9. Un dep´
osito hemisf´erico de radio R esta lleno de agua. Si empieza a gotear
agua del fondo, exprese el radio r de la superficie del agua en funci´on de la
profundidad h del casquete esf´erico, tal como se ilustra
10. Una antena de sat´elite de TV consta de un plato parab´olico con el receptor
colocado en su foco.
El plato parab´
olico puede describirse girando un trozo de par´abola con respecto
de su eje de simetr´ıa (tal como se ilustra) con −b ≤ x ≤ b donde x se mide en
pies.
a) Exprese la profundidad que tiene el plato en funci´on de b
b) ¿D´
onde debe colocarse el receptor con respecto de la parte inferior (v´ertice)
del plato?
58
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
11. El arco de un t´
unel recto en una carretera de doble sentido es semielpt´ıco
con eje mayor horizontal. La base del arco abarca los 50 pies de ancho de la
carretera y la parte m´
as alta del arco mide 16 pies en forma vertical sobre la
l´ınea central de la carretera.
a) Exprese la altura y del t´
unel en funci´on de la distancia x pies desde la
l´ınea central de la carretera (ilustrar graficamente)
b) ¿Puede un cami´
on de 15 pies de altura y 11 pies de ancho, pasar por este
t´
unel, manteni´endose a la derecha de la l´ınea central?
12. Algunos cometas siguen una orbita hiperb´olica, con el sol en uno de sus focos
(y nunca volvemos a verlos de nuevo). Se puede mostrar que el v´ertice de una
rama de una hip´erbola es el punto sobre ella m´as cercano al foco asociado a
esa rama. Dado este hecho y el que la trayectoria del cometa queda descrita
por la hip´erbola 4x2 − 3y 2 − 12 = 0, con el sol en uno de los focos (los n´
umeros
est´
an dados en t´erminos de U.A, donde 1U.A equivale a 149,6 millones de
kil´
ometros, distancia medida de la tierra al sol)
a) Determine cual es la distancia m´as corta del cometa al sol
b) Exprese la distancia del cometa al sol en funci´on de x (ver figura)
59
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
13. Dibuje la gr´
afica de la funci´
on a trozos dada y determine su dominio y su
rango.


x + 5,
si −6 ≤ x < −3,



√3 − x2 − 2x,
si −3 ≤ x ≤ 1,
f (x) =

1
si 1 < x < 2,



2x2 − 12x + 17, si 2 < x ≤ 5.
14. Dibuje la grafica de la funci´
on a trozos dada y determine su dominio y su rango
 −1

2 (x + 7),







−1,






√



3 −x2 − 4x

 3−
2
f (x) =




x + 2,






√



2 − 6x − x2 − 5,





 √
x − 5 + 2,
si x < −5
si
− 5 ≤ x < −4
si
−4≤x≤0
si
0<x<1
si
1≤x<5
si
5≤x
15. En la figura se da la gr´
afica de una funci´on f . Formada por una semirecta
horizontal, una semielipse, un segmento de recta, y un trozo de par´abola.
Defina f (x) a trozos sobre el intervalo cerrado [−2, 3].
60
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
16. En la figura se da la gr´
afica de una funci´on f . Defina f (x) a trozos sobre todo
el eje real.
17. En la figura se da la gr´afica de una funci´on f formada por una semirecta,
tres segmentos de recta, un cuarto de circunferencia y un trozo de par´abola.
Defina f (x) a trozos sobre todo el eje real
18. En la figura se da la gr´afica de una funci´on f formada por una semirecta,
una semielipse, un segmento de recta, una semicircunferencia y un trozo de
61
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
par´
abola con el v´ertice en el punto (5, 2). Defina f (x) a trozos sobre todo el
eje real
19. Al dividir el polinomio P (x) = x3 − 3kx + 1 entre x − 2, el residuo es 15.
Determine el valor de k.
20. Halle el valor de la constante k para que el polinomio: P (x) = x3 − 2kx + 3
sea divisible por x − 1
21. Halle el valor de la constante k para que el polinomio: P (x) = x3 +k 2 x2 −kx+21
sea divisible por x + 3
22. Para cada una de las siguientes funciones polinomiales:
a) Factorice la expresi´
on polinomial:
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 como producto de factores lineales o
factores cuadr´
aticos irreducibles.
b) Bosqueje la gr´
afica de la funci´on polinomial dada, indicando los cortes
con los ejes coordenados, cuando estos existen.
i) f (x) = x3 − 4x2 + 5x − 2
ii) f (x) = x4 + 2x3 − 5x2 − 4x + 6
iii) f (x) = 2x3 − x2 − 8x + 4
iv) f (x) = x4 − 5x2 − 10x − 6
v) f (x) = 2x5 − 13x4 + 20x3 + 18x2 − 54x + 27
vi) f (x) = x3 − 2x
vii) f (x) = x3 − 2x + 1
62
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
viii) f (x) = x5 + 2x4 − 2x3 − 4x2 + x + 2
ix) f (x) = 2x5 − x4 − x3 − 2x2 + x + 1
23. Para cada una de las siguientes funciones racionales
a) Factorice el denominador y el numerador. Simplifique.
b) Determine el dominio y los ceros reales de la funci´on dada.
i) f (x) =
x3
2x − 3
− 3x − 2
3x − 1
− 3x2 + 4x − 2
x2 − 3x + 2
v) f (x) = 4
x − x3 − 5x2 + 3x + 6
x3 − 2x2 − x + 2
vi) f (x) =
x2 − 3x + 2
iv) f (x) =
x2 + 2x − 3
x3 − 3x + 2
x+2
iii) f (x) = 3
x − 3x + 2
ii) f (x) =
x3
x3 − 6x2 + 5x + 12
factorice el numerador y
x−4
determine el dominio y los ceros de la funci´on dada. Adem´as, trace la gr´afica
de f .
24. Dada la funci´
on racional f (x) =
25. Para cada una de las siguientes funciones irracionales
a) Factorice el denominador
b) Determine el dominio de f y halle los puntos de intersecci´on de la gr´afica
de f con los ejes coordenados, si existen estos cortes.
√
√
x+2−x
2x − 1 − x
i) f (x) = 3
iii) f (x) = 3
x + x2 − 5x + 3
x − 4x2 + x + 6
√
√
2x − 1 − x
2x − 1
ii) f (x) = 3
iv) f (x) = 2
x − 7x + 6
x −x−2
26. Halle el dominio y los ceros reales de cada una de las siguientes funciones
irracionales:
r
√
x+3
a) f (x) = x − 1 + 2
d ) f (x) =
x−4
√
b) f (x) = 4 − 2x
1
e) f (x) = q
√
x−1
c) f (x) = x2 − x − 2
3x+1 − 1
63
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
√
r
x3 − 3x + 2
f ) f (x) =
2x2 + 5x − 3
g) f (x) =
27. Halle el dominio y trace la gr´
afica de f (x) =
√
x3 − 2x2 + 1
x−2
x2 − 2x − 3 + 2
28. Trace la gr´
afica de cada una de las siguientes funciones:
f (x) = 2x − 1
f (x) = x2 − 2x − 3
f (x) = 3x − 1
f (x) = x + 2x − 1
hh 1
ii
e) f (x) = x +
x+1
2
a)
b)
c)
d)
f ) f (x) =
2x − 1 x + 1
|x|
g) f (x) = x
x
h) f (x) = 1
2x + 1
29. Escriba cada una de las siguientes funciones como una funci´on a trozos y dibuje
su gr´
afica.
a) f (x) = 2x − 3 − x + 4
b) f (x) = x + 2 + 2x − 1 + 2x
c) f (x) = x + 2 + x − 1 − x + 4
d ) f (x) = x2 − 2x − 3 + 1
30.
Sea f una funci´on cuyo
dominio es el intervalo cerrado
[−2, 4] y su gr´afica es la que se
ilustra. Trace la gr´afica de |f |
31.
Sea f una funci´
on cuya gr´
afica se ilustra. Trace la gr´afica de |f |.
64
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
32. Dibuje la gr´
afica de la


+ 3|,
|x
f (x) =
3x − 1 ,

 2
x − 6x + 7,
funci´on dada y determine su dominio y su rango.
si −5 ≤ x < 0,
si 0 ≤ x < 1,
si 1 ≤ x ≤ 4.
33. Dibuje la gr´
afica de


0,
f (x) = −2x2 + 1,


3x + 1,
la funci´on dada y determine su dominio y su rango.
34. Dibuje la gr´
afica de


+ 5|,
|x
√
f (x) =
16 − x2 ,


x − 6,
la funci´on dada y determine su dominio y su rango.
si x < −1,
si −1 < x ≤ 0,
si 0 < x < 2.
si x ≤ −4,
si −4 < x ≤ 4,
si 4 < x.
35. Dibuje la gr´
afica de la funci´on dada y determine su dominio y su rango.


|x + 10|,
si x < −5,


√


2

 25 − x , si −5 ≤ x ≤ 0,
f (x) = 5,
si 0 < x ≤ 12 ,



2x + 1 , si 12 < x < 2,




6 − x,
si 2 ≤ x.
65
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
36. Dibuje la gr´
afica de la


−1,





x + 3,



(x − 2)2 − 1,
f (x) = 
x−3 ,





|x − 8|,



2,
funci´
on dada y determine su dominio y su rango.
si
si
si
si
si
si
x < −4,
−4 ≤ x < 0,
0 ≤ x < 3,
3 ≤ x < 6,
6 ≤ x < 10,
10 ≤ x.
37. En cada uno de los siguientes ejercicios
A. Hallar (f ◦ g)(x) y su dominio para cada par de funciones.
√
√
i) f (x) = 1 − x2 , g(x) = x
√
x2 + 2
ii) f (x) =
x2 − x − 2
,
g(x)
=
x2
√
1
x2 + x − 6
iii) f (x) = 2 , g(x) =
x
x−2
B.
a) Halle f ◦ g y su respectivo dominio.
b) Halle g ◦ f y su respectivo dominio.
√
i) f (x) = x2 + 1, g(x) = x
√
x+3
ii) f (x) = x, g(x) =
x−1
√
2x + 3
iii) f (x) = x − 1, g(x) =
x−2
√
iv) f (x) = x2 , g(x) = x2 − x − 2
√
x2
v) f (x) = 2
, g(x) = x − 1
x −1
1
2x − 1
vi) f (x) = √
, g(x) =
x+3
x−1
√
1
vii) f (x) = 2 , g(x) = x − 1
x√
x
x+3
viii) f (x) =
, g(x) =
x−2
x−1
√

si x ≤ 0,

 1x− x,
,
si 0 < x < 2,
C. Sea f (x) =
x + 1

x2 − 2x − 2, si 2 ≤ x
66
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
y g(x) =
x−2
.
x−1
Hallar (f ◦ g)(x) y su respectivo dominio
38. Sea f (x) = x2 − 2x − 1. Encuentre dos funciones g tales que:
(f ◦ g)(x) = x2 − 3x.
√
39. Sean f (x) = x2 + 1, g(x) = x y h(x) = 1 − x.
a) Encuentre [(f ◦ g) ◦ h](x) y [f ◦ (g ◦ h)](x).
b) ¿Qu´e se puede decir de (f ◦ g) ◦ h y f ◦ (g ◦ h) ?.
40. Para cada una de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
Verifique que f es uno a uno sobre su dominio.
Halle la f´
ormula de correspondencia de f −1 .
Dibuje en un mismo plano las gr´aficas de f y de f −1 .
Verifique que (f −1 ◦ f )(x) = x, y que (f ◦ f −1 )(x) = x.
√
√
i) f (x) = x − 2
iii) f (x) = 2x − 2 + 3
√
ii) f (x) = x − 2 + 3
iv) f (x) = x3 + 1
41. Para cada una de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
Verifique que f es uno a uno sobre el dominio indicado.
Halle la f´
ormula de correspondencia de f −1
Dibuje en un mismo plano las gr´aficas de f y de f −1
Verifique que (f −1 ◦ f )(x) = x, y que (f ◦ f −1 )(x) = x
i)
ii)
iii)
iv)
f (x) = x2 − 2x − 3, con x ≥ 1
√
f (x) = 4 − x2 + 1, con 0 ≤ x ≤ 2
√
f (x) = 4x − x2 − 3, con 1 ≤ x ≤ 2
√
f (x) = 4x − x2 − 3, con 2 ≤ x ≤ 3
42. Para cada una de las siguientes funciones:
a) Verifique que f es uno a uno sobre su dominio.
b) Halle la f´
ormula de correspondencia de f −1 .
c) Verifique que (f −1 ◦ f )(x) = x, y que (f ◦ f −1 )(x) = x
67
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
1
x−1
9x + 1
ii) f (x) =
3x − 2
i) f (x) =
iii) f (x) =
x+5
2x + 1
Los ejercicios que siguen tienen como objetivo manejar los siguientes aspectos
para trazar las gr´
aficas de determinados tipos de funciones:
I. Desplazamiento vertical de la gr´afica de y = f (x)
a) y = f (x) + c, donde c > 0. La gr´afica de f se desplaza verticalmente
hacia arriba una distancia c
b) y = f (x) − c, donde c > 0. La gr´afica de f se desplaza verticalmente
hacia abajo una distancia c
II. Desplazamiento horizontal de la gr´afica de y = f (x)
a) y = f (x+c), donde c > 0. La gr´afica de f se desplaza horizontalmente
hacia la izquierda una distancia c
b) y = f (x−c), donde c > 0. La gr´afica de f se desplaza horizontalmente
hacia la derecha una distancia c
III. Ampliaci´
on o compresi´
on vertical de la gr´afica de y = f (x)
a) y = cf (x), donde c > 1. La gr´afica de f se amplia verticalmente en
un factor c
b) y = cf (x), donde 0 < c < 1. La gr´afica de f se reduce verticalmente
en un factor c
IV. Ampliaci´
on o reducci´
on horizontal de la gr´afica de y = f (x)
a) y = f (cx), donde c > 1. La gr´afica de f est´a comprimida
1
horizontalmente en un factor
c
b) y = f (cx), donde 0 < c < 1. La gr´afica de f est´a expandida
1
horizontalmente en un factor
c
V. Principio de graficaci´
on para y = −f (x)
Para obtener la gr´
afica de y = −f (x), se refleja la gr´afica de y = f (x)
con respecto del eje x.
VI. Principio de graficaci´
on para y = f (−x)
Para obtener la gr´
afica de y = f (−x), se refleja la gr´afica de y = f (x)
con respecto del eje y.
68
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
43.
Utilice la gr´afica que se ilustra
de y = f (x) para obtener cada
una de las graficas solicitadas.
a)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
y
y
y
y
y
b)
i) y = f (x − 3) + 1
ii) y = −f (x − 1)
vi)
vii)
viii)
ix)
x)
= f (x) + 1
= f (x) − 2
= f (x − 2)
= f (x + 1)
= 2f (x)
y
y
y
y
y
= 13 f (x)
= f (2x)
= f ( 12 x)
= −f (x)
= f (−x)
44. Utilice la gr´
afica que se ilustra de y = f (x) para obtener cada una de las
gr´
aficas solicitadas.
√
a) Utilice la gr´
afica de f (x) = 2x − x2 + 3 para obtener la gr´afica de cada
una de las siguientes funciones:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
y
y
y
y
y
vi)
vii)
viii)
ix)
x)
= f (x) + 1
= f (x) − 2
= f (x − 1)
= f (x + 2)
= 3f (x)
y
y
y
y
y
= 12 f (x)
= f (2x)
= f ( 12 x)
= −f (x)
= f (−x)
√
b) Sea f (x) = 2x − x2 + 3. En cada uno de los siguientes casos: calcule
g(x) dado, trace la gr´afica de la funci´on g y compare la gr´afica de esta
funci´
on con la gr´
afica obtenida en el literal a) de este ejercicio.
i)
ii)
iii)
iv)
g(x) = f (x − 1), a) iii)
g(x) = f (x + 2), a) iv)
g(x) = f (2x), a) vii)
g(x) = f ( 12 x), a) viii)
69
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
v) g(x) = f (−x), a) x)
√
c) Sea f (x) = 2x − x2 + 3. En cada uno de los siguientes casos: calcule
g(x) dado y trace la gr´
afica de esta funci´on.
i) g(x) = f (2x − 1)
ii) g(x) = f (−2x + 3)
iii) g(x) = f (− 12 x + 1) + 2
45.
Utilice la gr´afica que se ilustra
de y = f (x) para obtener
la gr´afica de cada una de las
funciones solicitadas.
a) y = f (x) + 1
g) y = f (2x)
b) y = f (x) − 2
h) y = f ( 12 x)
c) y = f (x − 1)
i ) y = −f (x)
d ) y = f (x + 2)
j ) y = f (−x)
e) y = 2f (x)
k ) y = f (x + 2) + 1
f) y =
1
2 f (x)
l ) y = |f (x)| + 1
46. Utilice la gr´
afica que se ilustra de y = f (x) para obtener la gr´afica de cada
una de las funciones dadas.
70
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) y = f (x) + 2
g) y = f (2x)
b) y = f (x) − 1
h) y = f ( 12 x)
c) y = f (x − 2)
i ) y = −f (x)
d ) y = f (x + 1)
j ) y = f (−x)
e) y = 2f (x)
k ) y = −f (x − 2)
f) y =
1
2 f (x)
l ) y = |f (x)| + 2
47.
a) Si la gr´
afica dada corresponde a y = f (x − 1) + 1, trace la gr´afica de
y = f (x)
b) Si la gr´
afica dada corresponde a y = f (x + 1) − 1, trace la gr´afica de
y = f (x)
c) Si la gr´
afica dada corresponde a y = f (−x), trace la gr´afica de y = f (x)
71
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
3.2 Taller B. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
1. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones
a) f (x) =
1
f ) f (x) =
ex2 −2x−3
−1
b) f (x) = ln(x + 1)
c) f (x) = ln(x2 + x − 2)
2x − 1
d ) f (x) = ln
x+2
1
e) f (x) = ln
1 + ln x
1
(ln x)2 − 1
1
(x − 2) ln x
|x − 1|
h) f (x) = ln
2x − 1
g) f (x) =
i ) f (x) = ln(|3x − 1| − 2x)
2. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones
i) e−x = 1
xvii) ln(2x − 1) + ln(x − 1) = 0
ii) e3x−1 = 1
xviii) 2x = 4
1
xix) 2x =
4
1
xx) log1/2
=2
x
xxi) e2x − 3ex + 2 = 0
iii) e2x−1 = 4
1 x−1
=1
iv)
2
2
v) 3x +x−2 = 1
x
vi) xe 2 = 0
ln x
vii)
=0
x
1 − ln x
viii)
=0
x2
ix) (x + 2) ln x = 0
xxii) (x + 2) ln(2x − 1) = 0
1 x−1
xxiii)
=9
3
1 x−1 1
xxiv)
=
3
3
x
xxv) (x + 2) = 1
x) (ln x)2 + 2 ln x = 0
1 + ln x
xi)
=0
x
xii) ln x + 1 = 0
3
xxvi) e1−x = e9
3
xxvii) 2x +x−2 = 1
1 x+2 1 2x−1
xxviii)
=
3
3
xxix) log1/2 (3 − 2x) − log1/2 (x + 1) = 0
x2 − x − 1 xxx) ln
+ ln(2x − 3) = 0
2x − 3
xxxi) log2 (x + 3) = 1
xiii) 1 − (ln x)2 = 0
xiv) 2x ln x + x = 0
2x + 1 xv) ln
=0
x−2
xvi) log1/2 (3x − 1) = 0
72
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
|x + 1| xxxii) ln
=0
2x − 1
ex + e−x
xxxiii)
=1
2
3
xxxiv) log9 x =
2
xxxv) log4 x2 = −1
xli [[log2 (x) − 1]] = 3
3 +4)
xlii 7(x
= (74x )x (7x )
xliii log2 (2x − 1) + log2 (x + 1) = 1
xliv e2x + ex − 2 = 0
xlv log2 (x) + log2 (x + 3) = 2
x
1
−1 =0
xlvi
2
xlvii log2 (x) + log2 (x + 2) = 3
xxxvi) log1/3 x − log1/3 (x + 1) = 2
xxxvii) log2 x − log2 (x + 1) = 3 log2 4
xxxviii log2 (2x − 1) − log2 (x + 1) = −1 xlviii log(1/2) (8 − x)−log(1/2) (2 − x) =
2
log(1/2) (3)
xxxix 3(x −3x−1) = 27
xl log1/2 (x − 2) + log1/2 (x − 4) =
−3
2
xlix 23 log2 (x) − log2 [(4)x (2x )] +
log3 9 = 0
3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones
√
i) ln( x + 2 − x + 1) = 0
1
2
ii) 32x −x−1 =
3
iii) 42x = 4x + 2
ex − 3e−x
iv)
=1
2 √
√
v) ln x = ln x
3x − 10
vi) ln(x − 4) = ln
x
x
vii) (x − 1) = 1
x) ln(|3x − 1| − 2x) = 0
xi) 3x = 21−3x
√
xii) e
x+2−x
=1
x2 − x − 1 xiii) ln
=0
x+2
√
xiv) 3ex − 2 = ex
xv) x(1 − 2 ln x) = 0
xvi) ln(x2 − x − 1) = 0
x2 − x − 1 xvii) ln
+ ln(x − 3) = 0
x−3
viii) ln(1 + e2x ) = 1
ix) ln x2 = (ln x)2
4. En cada uno de los siguientes ejercicios use logaritmo natural para despejar a
x en funci´
on de y:
√
ex − e−x
a) y = e2x − 1
c) y =
2
x
e + e−x
√
d) y =
b) y = e2x + 1
2
73
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
e) y =
5.
ex − e−x
ex + e−x
ex + e−x
ex − e−x
√
g) y = 42x − 4x − 2
√
c) y = 42x − 4x − 2
f) y =
√
a) y = ln (x + x2 + 1)
1
1+x
b) y = ln
2
1−x
6. Resolver cada una de las siguientes desigualdades:
1
≤ 2x < 4
4
1
xxi) log1/2
<2
x
1
1 x−1
xxii) <
<9
3
3
xxiii) (x + 2)x > 1
i) e−x > 1
xx)
ii) e3x−1 > 2
1 x−1
iii)
>1
2
2
iv) 3(x +x−2) > 1
v) ln(x − 1) < 0
3
xxiv) e1−x < e9
1 x+2 1 3x−1
xxv)
>
3
3
xxvi) log1/2 (3 − 2x) > log1/2 (x + 1)
vi) ln(2x − 1) < 0
2x + 1 vii) ln
<0
3−x
viii) ln x + 1 > 0
ln(3x − 1)
≥0
x−2
2 ln x − 3
xxviii)
>0
x3
xxix) (ln x)(ln x + 2) > 0
ix) ln x + 1 < 0
1 + ln x
x)
>0
x
ln x
xi) 2 < 0
x
1 − ln x
xii)
>0
x2
1 − ln x
xiii)
<0
x2
xiv) x(2 ln x + 1) > 0
xxvii)
xxx ln (2x − 1) + ln (x − 1) < 0
xxxi (1/2)x
2 −x−2
>1
xxxii log2 (x − 1) < 1
(x2 −2x−4)
1
xxxiii
>3
3
xxxiv ln (2x + 1) < ln (x + 2)
xv) x(2 ln x + 1) < 0
xvi) (ln x)2 < 1
x + 1
xvii) ln
<0
x−2
xviii) log1/2 (3x − 1) > 0
xxxv log2 (x − 1) + log2 (x − 3) ≤ 3
1
3
2
xxxvi 3(x −2x −x) ≤
9
x−1
1
xxxvii 4(x+2) >
2
xix) ln(2x − 1) + ln(x + 1) > 0
74
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
7. Haciendo todo el procedimiento, en cada uno de los siguientes ejercicios:
√ !
3
1 − 4x
a) Verifique que log3
=
, para todo x real
9x
2
1
= −2x, para todo x real
b) Verifique que log2
4x
(3 log2 (x))
1
1
c) Verifique que
= 3 , para todo x > 0
2
x
!
√
2
p
4 x +1
d ) Verifique que log2
= 2 x2 + 1 − 4, para todo x real
16
!
3
7(x +4)
e) Verifique que log7
= x3 − 4x2 − x + 4, para todo x real
(74x )x (7x )
8. Sea f (x) = ln(x − 1).
a) Determine una funci´on g tal que (f ◦ g)(x) = x
b) Calcule (g ◦ f )(x)
√
9. Sea f (x) = e
x.
a) Determine una funci´on g tal que (f ◦ g)(x) = x
b) Calcule (g ◦ f )(x)
10. Crecimiento bacteriano:
Se pueden utilizar funciones exponenciales para representar el crecimiento de
alguna poblaci´
on
a) Sup´
ongase que se observa experimentalmente que el n´
umero de bacterias
en un cultivo se duplica cada d´ıa. Si al comienzo hay 1000 bacterias y si
se supone que el crecimiento es exponencial, ¿Cu´al ser´ıa la f´ormula para
predecir la cantidad f (x) de bacterias presentes en cualquier momento t?
b) El n´
umero de bacterias en determinado cultivo aument´o de 600 a 1800, de
las 7:00 a.m. a las 9:00 a.m. si se supone que el crecimiento es exponencial,
¿Cu´
al ser´ıa la f´
ormula para predecir la cantidad f (x), de bacterias t horas
despu´es de las 7:00 a.m.?
75
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
11. Desintegraci´
on radiactiva:
Algunas cantidades f´ısicas decrecen en forma exponencial. En estos casos,
si a es la base de la funci´
on exponencial, entonces 0 < a < 1. Uno de los
ejemplos m´
as comunes del decrecimiento exponencial es la desintegraci´on de
una sustancia radiactiva.
La semivida (o ”vida mediana”) de un is´otopo radiactivo es el tiempo que
tarda en desintegrarse la mitad de la cantidad original en una muestra dada.
La semivida es la caracter´ıstica principal que se usa para diferenciar una
sustancia radiactiva de otra.
El is´
otopo del polonio, Po , tiene una semivida aproximada de 140 d´ıas, es
decir, dada cualquier cantidad, la mitad de ellas se desintegrar´a en 140 d´ıas.
Otras sustancias radiactivas tienen semividas mucho m´as largas. En especial,
un subproducto de los reactores nucleares es el is´otopo radiactivo del plutonio,
Pu , cuya semivida aproximada es de 24000 a˜
nos. Este es el motivo por el
cual el destino de los desechos radiactivos es un gran problema de la sociedad
moderna.
a) Si hay al principio 20 mg de Po , ¿Cu´al ser´ıa la f´ormula para predecir la
cantidad que queda despu´es de cierto tiempo t?
76
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
4 Funciones
matem´
aticos
como
modelos
4.1 Taller A
4.1. Taller A
1.
Un granjero tiene 80 metros de tela
de alambre para cercar un corral
rectangular tal como se ilustra en la
figura.
a) Exprese el ´
area A, del corral en funci´on de x. Adem´as trace la gr´afica de
A indicando los valores admisibles de x para este problema.
b) Encuentre las dimensiones del corral que tenga como ´area 300 m2 ?
c) Encuentre los valores de x, para los cuales, el ´area del corral sea mayor o
igual a 300 m2 .
d ) Encuentre los valores de x, para los cuales, el ´area del corral sea menor o
igual a 256 m2 y mayor que 175 m2 .
e) ¿Cu´
ales son las dimensiones del corral de ´area m´axima?
2.
Sea V1 el volumen de un cubo de
arista x cent´ımetros y sea V2 el
volumen de un paralelep´ıpedo recto
rect´angular de altura x cent´ımetros,
y cuya base es un rect´angulo de ´area
3 cm2 .
a) Exprese V = V1 − V2 en funci´on de x. Adem´as, trace la gr´afica de V .
b) Encuentre los valores de x para los cuales V = −2
77
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
c) Encuentre los valores de x para los cuales V ≥ 18
3.
Suponga que una part´ıcula se lanza
verticalmente hacia arriba y que
su posici´on en pies despu´es de
t segundos, con respecto al piso,
est´a dada por s(t) = −16t2 +320t+
80.
a) ¿Para qu´e valores de t estar´a la part´ıcula a m´as de 656 pies sobre el piso?
b) ¿Cu´
al es la altura m´
axima, sobre el piso, que alcanza la part´ıcula?
4.
Se tienen 14 metros de tela de
alambre para cercar un corral
rect´angular que se ajuste a una
esquina de 2 × 4 metros como se
muestra en la figura (toda la esquina
debe ser aprovechada y no necesita
cerca).
a) ¿ Entre qu´e valores debe estar x para poder construir el corral con las
condiciones indicadas?
b) ¿ Entre qu´e valores debe estar x para que el ´area del corral rect´angular
sea mayor o igual a 16m2 ?
c) ¿ Cu´
ales son las dimensiones de x, y para que el ´area del corral sea
m´
axima?
78
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
5.
Se desea construir un tanque sin
tapa de altura y metros y de base
cuadrada de lado x metros, de tal
manera que el ´area lateral y la
del fondo suman un ´area de 9
m2 Entre qu´e valores debe estar x
para obtener un tanque con una
5
capacidad mayor o igual a m3
2
Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle la funci´on en t´erminos de la
variable especificada e indique el dominio admisible para dicha variable (esto
es, el dominio de la variable para que el problema tenga sentido). Adem´as si
la funci´
on hallada es una funci´on polinomial o una funci´on racional, bosqueje
su gr´
afica.
6.
7.
Se tienen 80 metros de malla de
alambre para cercar tres corrales
rect´angulares, tal como se ilustra en
la figura. Exprese el ´area total de los
tres corrales en t´erminos de x.
Se tienen 60 metros de malla de
alambre para construir un corral
rect´angular que se ajuste a una
esquina de 10 × 20 metros, como se
ilustra en la figura (toda la esquina
debe ser aprovechada y no necesita
malla de alambre). Exprese el ´area
del corral en t´erminos de x.
8.
Exprese el ´area de la regi´on
sombreada en t´erminos de x.
79
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
9.
Un canal´
on met´
alico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadas
y un fondo horizontal de 2 pulgadas tambi´en, con lados tornando ´angulos
iguales θ con la prolongaci´
on del fondo 0 < θ < 90◦ , ver figura.
a) Exprese el ´
area de la secci´on transversal del canal´on en t´erminos de x.
b) Exprese el ´
area de la secci´on transversal del canal´on en t´erminos de h.
10.
11.
Una central el´ectrica est´a ubicada
en la orilla de un r´ıo rectil´ıneo de
0.5 kil´ometros de ancho. En la orilla
opuesta est´a situada una f´abrica, 3
kil´ometros r´ıo abajo del punto A
que est´a directamente en frente de
la central el´ectrica. Si tender un
cable desde la central el´ectrica hasta
la f´abrica cuesta 500 d´ollares por
kil´ometro bajo el agua y 400 dolares
por kil´ometro a lo largo de la ribera
del r´ıo. Exprese el costo total en
t´erminos u
´nicamente de x, en donde
x es la distancia en kil´ometros de
la f´abrica a un punto cualquiera P
entre el punto A y la f´abrica.
Sea ABP un tri´angulo inscrito en un
semic´ırculo de radio R. Exprese el
´area del tri´angulo ABP en t´erminos
de x, en donde x es la medida del
lado BP del tri´angulo ABP .
80
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
12.
Sea ABC un tri´angulo is´osceles
inscrito en una circunferencia de
radio 5 y sea h la altura del tri´angulo
desde el v´ertice C, con 0 < h < 5.
Si x es la mitad de la medida del
lado AB :
a) Exprese la altura h del tri´angulo en t´erminos de x.
b) Exprese el ´
area del tri´angulo ABC en t´erminos de x.
13.
Sea ABC un tri´angulo is´osceles
inscrito en una circunferencia de
radio 5 y sea h la altura del tri´angulo
desde el v´ertice C, con 5 ≤ h ≤ 5.
Si x es la mitad de la medida del
lado AB :
a) Exprese la altura h del tri´angulo en t´erminos de x.
b) Exprese el ´
area del tri´angulo ABC en t´erminos de x.
14.
Un trazo de alambre de 36
cent´ımetros de longitud se va a
cotar en dos partes; una de longitud
x se doblar´a para formar una
circunferencia y la otra parte se
doblar´a para formar un tri´angulo
equil´atero. Exprese la suma de las
´areas del c´ırculo y del tri´angulo
equil´atero en t´erminos de x.
81
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
15. A partir de un alambre de 4 metros de largo se va a construir un rect´angulo
de la siguiente manera: de un pedazo de alambre de longitud x metros, con
1√ ≤ x < 4, se cortan dos lados del rect´angulo, cada uno de longitud
3
x
metros, y con el pedazo 4 − x se termina de construir el rect´angulo.
2
(a) Exprese en t´erminos de x, la cantidad de alambre que queda despu´es de
construir el rect´
angulo.
(b) Exprese en t´erminos de x el ´area del rect´angulo.
16.
Un sector circular de radio r
cent´ımetros y ´angulo en el v´ertice
Θ tiene un ´area de 100 cm2 .
Exprese el per´ımetro del sector
circular en t´erminos del radio R.
17. Un rect´
angulo tiene dos v´ertices consecutivos en el eje de las x, y los otros dos
sobre la par´
abola y = 12 − x2 , con y > 0. Exprese el ´area del rect´angulo en
t´erminos de x, con x > 0.
18.
Un rect´angulo tiene dos de sus
v´ertices sobre el eje x positivo. Los
otros dos v´ertices est´an sobre las
rectas y = 2x, y , y = 12 − x, con
0 < y < 8. Exprese el ´area del
rect´angulo en t´erminos u
´nicamente
de x.
19. Un rect´
angulo se inscribe en un semic´ırculo de radio 4, de tal manera que
dos de sus v´ertices est´
an sobre el di´ametro. Si el lado sobre el di´ametro tiene
longitud x, exprese el ´
area del rect´angulo en t´erminos de x.
82
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
20.
Una ventana tiene la forma de
un rect´angulo coronado con un
tri´angulo equilatero. El per´ımetro
de la ventana es de 4 metros. Si la
base del rect´angulo mide x metros;
exprese el ´area total de la ventana
en t´erminos de x.
21.
Ang´elica mide 6 pies de estatura y
se aleja de la luz de un poste del
alumbrado p´
ublico que est´a a 42 pies
de altura, tal como se ilustra. Si
x pies es la distancia de Ang´elica
al poste; exprese la longitud de la
sombra que proyecta Ang´elica sobre
el piso en t´erminos de x.
22. La p´
agina de un libro debe tener 27 pulg 2 de impresi´on. Las m´argenes superior,
inferior e izquierda de la p´agina, son de 2 pulgadas y la margen derecha es de 1
pulgada. Si x pulgadas es la base del rect´angulo de impresi´on; exprese el ´area
total de la p´
agina en t´erminos de x.
23.
Una pieza rect´angular de papel muy larga tiene
20 cent´ımetros de ancho. Se va a doblar la
esquina inferior derecha a lo largo del pliegue
que se muestra en la figura, de modo que la
esquina apenas toque el lado izquierdo de la
p´
agina. Exprese La longitud l del doblez en
t´erminos del x cent´ımetros que se ilustra.
83
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
24.
Una viga de acero de 27 pies de longitud
se trasporta por un pasillo de 8 pies de
ancho hasta un corredor perpendicular al
pasillo limitado por una pared movible que
se ajusta a la viga tal como se ilustra en
la figura. (Aqui suponemos que P resbala
sobre una pared y Q resbala sobre la pared
movible). Si x es la distancia de P a la
esquina E; exprese el ancho y del corredor
en t´erminos de x. No considere la anchura
horizontal de la viga.
25.
Por dos pasillos perpendiculares
entre si de 8 pies y 27 pies,
respectivamente, se transporta
una viga cuya longitud se puede
aumentar o disminuir, ver figura
(Aqui suponemos que P resbala.
sobre una pared y Q resbala sobre
la otra pared). Si x es la distancia
de P a la esquina E; exprese la
longitud y de la viga en t´erminos
de x
26.
Se desea construir una caja sin tapa, con
base rectangular, a partir de una pieza
rectangular de cart´on de 16 cent´ımetros
de ancho y 24 cent´ımetros de largo,
recortando un cuadrado de x cent´ımetros
de lado de cada esquina y doblando los
lados, tal como se ilustra en la figura.
a) Encuentre el volumen de la caja en
t´erminos de x. Bosqueje su gr´afica.
b) Encuentre el ´area de la superficie de
la caja en t´erminos de x. Adem´as,
trace su gr´afica.
84
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
27.
Un tanque de agua tiene la forma de un cono
circular recto invertido tal que su altura es de
12 pies y el radio de su base circular es de 6
pies. Si se echa agua hasta una profundidad de
h pies, con 0 < h < 12, tal como se muestra en
la figura.
a) Exprese a R como funci´on de h. Trace su
gr´afica.
b) Exprese la cantidad de agua en el tanque
en t´erminos de h. Trace su gr´afica.
28.
Un cilindro circular recto con radio de la
base R y altura h est´a inscrito en una
esfera de radio 4
a) Exprese la altura h del cilindro como
funci´on de r.
b) Exprese el ´area de la superficie lateral
del cilindro como funci´on de r.
c) Exprese el volumen del cilindro como
funci´on de r
29.
Un tanque tiene la forma que se ilustra en la figura. Si se le echa agua hasta
una profundidad h, con 0 < h < 6
a) Exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en t´erminos de h.
b) Exprese el ´
area de la superficie del agua en t´erminos de h.
85
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
30.
Un cilindro circular recto de altura
h pies y radio de la base R pies, se
inscribe en un cono circular recto de
altura 12 pies y base 6 pies de radio.
a) Exprese la altura h del cilindro
en funci´on de R.
b) Exprese el volumen del cilindro
en funci´on de R.
31.
Un cono circular recto con radio de la base R y altura h, se circunscribe
alrededor de una esfera de radio 8.
a) Exprese la altura h del cono en funci´on de R. Bosqu´eje su gr´afica.
b) Exprese el volumen del cono en funci´on de R. Bosqueje su gr´afica.
32.
Un observatorio debe tener la forma de un
cilindro circular recto, rematado por una
b´
obeda hemisf´erica, con un volumen total
de 18πm3
a) Exprese la altura h del cilindro en
funci´on de R. Bosqueje su gr´afica.
b) Si la b´oveda hemisf´erica cuesta
el doble por metro cuadrado que
el muro cil´ındrico y si el metro
cuadrado de muro cil´ındrico cuesta
a pesos. Exprese el costo del
observatorio en funci´on de R
86
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
33.
La figura muestra dos conos
circulares rectos, uno invertido
dentro del otro. Sus bases son
paralelas, y el v´ertice del cono
menor se encuentra en el centro de
la base del cono mayor.
a) Exprese el volumen del cono
menor en funci´on de R
b) Exprese el volumen del cono
menor en funci´on de h
34. Se desea fabricar un recipiente cil´ındrico de altura h con sus dos tapas circulares
de radio r, de modo que su volumen sea de 250 πcm3 . Exprese el ´area total
del recipiente cil´ındrico en funci´on de r.
35.
Se echa agua a un tanque que tiene la forma de cono truncado circular recto
hasta una profundidad h, con 0 < h < 80. El tanque tiene una altura de 80
cent´ımetros y radios inferior y superior de 20 y 40 cent´ımetros respectivamente.
Si x es el radio del c´ırculo de la superficie del agua, exprese la cantidad de agua
que hay en el tanque en funci´on de x.
87
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
36.
37.
Los extremos de un tanque de agua
de 20 pies de largo tienen la forma
de un tri´angulo equil´atero con lados
de 4 pies. Si se le echa agua hasta
una profundidad de h pies; exprese
la cantidad de agua en el tanque en
funci´on de h
Se va a hacer un cono con una pieza
circular de l´amina met´alica, de 10
metros de radio, recortando un sector
y soldando las aristas recortadas de la
pieza restante (ver figura). Si el ´angulo
θ en el v´ertice del sector suprimido
est´a dado en radianes:
a) Exprese la longitud l de la
circunferencia de la base del cono
en funci´on de θ.
b) Exprese el radio r de la base
circular del cono en funci´on de θ.
c) Exprese el ´area lateral A del cono
en funci´on de r.
d ) Exprese el ´area lateral A del cono
en funci´on de θ.
e) Exprese el volumen del cono en
funci´on de r.
88
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
5 Trigonometr´ıa
5.1 Taller A.
5.2 Taller B. Funciones trigonom´etricas inversas
5.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos
5.1. Taller A
1. Identidades b´
asicas
A.
Utilizando la circunferencia
unitaria que se ilustra,
verificar cada una de las
siguientes identidades para
todo n´
umero real t
a) cos2 (t) + sen2 (t) = 1
b) cos(t + 2π) = cos(t);
sen(t + 2π) = sen(t)
c) cos(−t) = cos(t);
sen(−t) = − sen(t)
B.
Utilizando la figura que se
ilustra, verificar que:
89
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) cos(µ − υ) = cos(µ) cos(υ) + sen(µ)sen(υ)
b) Verificar cos(µ + υ) = cos(µ) cos(υ) − sen(µ) sen(υ)
a) Utilizando la figura que se
ilustra, probar que para todo
radi´an µ,
sen(π/2 + µ) = cos(µ)
C.
b) Pruebe que para todo radi´an µ,
sen(π/2 − µ) = cos(µ)
c) Verifique que:
sen(µ + υ) = sen(µ) cos(υ) + cos(µ) sen(υ)
d) Verifique que:
sen(µ − υ) = sen(µ) cos(υ) − cos(µ) sen(υ)
Utilizando la variable x en
lugar de la variable t dada
en el ejercicio A, comprobar
cada una de las siguientes
identidades:
D.
a) cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x)
b) sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)
1 + cos(2x)
c) cos2 (x) =
2
1
−
cos(2x)
d) sen2 (x) =
2
E. Haciendo A = a + b y B = a − b se tiene que a =
Probar que:
90
A+B
A−B
, b=
.
2
2
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a+b
a−b
sen
2
2
a−b
a+b
cos
ii) sen(a) + sen(b) = 2 sen
2
2
a−b
a+b
sen
iii) cos(a) − cos(b) = −2 sen
2
2
a−b
a+b
cos
iv) cos(a) + cos(b) = 2 cos
2
2
F. Verifique cada una de las siguientes identidades
i) sen(a) − sen(b) = 2 cos
1 + tan2 (x) = sec2 (x)
1 + cot2 (x) = csc2 (x)
p
G. Demuestre que 1 − cos2 (x) = sen(x) no es una identidad en los reales.
2. Halle todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones:
a) cos x = −
1
2
g) 2 sen2 x − 7 sen x + 3 = 0
h) 2 cos2 x + cos x − 1 = 0
1
b) cos(3x) = −
2
c) sen(2x) + sen x = 0
i ) 2 sen2 (3x) + sen(3x) − 1 = 0
j ) 2 sen2 x − 5 sen x + 2 = 0
d ) 2 cos2 x − 3 cos x − 2 = 0
k ) sen(2x) − cos x = 0
e) 2 sen2 x − 3 cos x = 0
l ) 2 sen3 x + sen2 x − 2 sen x − 1 = 0
m) 2 sen2 (3x) + sen(3x) − 1 = 0
f ) 2 sen2 x − 3 sen x − 2 = 0
3. Halle todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 10 tan2 x − sec2 x = 2
b) sen(3x) − sen x = 0
c) 3 tan2 x − sec2 x = 5
d ) cos(5x) − cos(3x) = 0
e) 2 tan2 x + 3 sec x = 0
f ) sen(3x) + sen(2x) = 0
g) cos(3x) + cos x = 0
4. Halle todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones sobre el
intervalo indicado:
91
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
1
a) sen x = − , en el intervalo (0, 2π]
2
b) 2 tan x csc x + 2 csc x + tan x = −1, sobre el intervalo [0, 2π]
5. Indicando amplitud, per´ıodo, desplazamiento de fase y cortes con el eje x, trace
la gr´
afica de cada una de las siguientes funciones:
a) y = 4 cos(2x − π3 )
b) y = −3 sen(2x +
c) y =
1
2
2π
3 )
sen(2x − π3 )
d ) y = −3 cos( 12 x + π6 )
e) y = 2 sen( 31 x + π9 )
f ) y = 4 sen(2x −
2π
3 )
6. Hallando amplitud, per´ıodo, desplazamiento de fase y todos los cortes con el
eje x, trazar la gr´
afica de cada una de las siguientes funciones sobre el intervalo
cerrado dado
a) y = 3 sen(2x − 2π/3), sobre el intervalo [−π/6, 4π/3]
b) y = −4 cos(2x + π/3), sobre el intervalo [−5π/12, 4π/3]
c) y = −4 sen(2x − π/3), sobre el intervalo [−π/3, 5π/3]
d ) y = 3 cos(2x + 2π/3), sobre el intervalo [−7π/12, 5π/3]
7.
a) Hallando amplitud, per´ıodo , desplazamiento de fase y todos los cortes
con el eje x, trazar la gr´
afica de la funci´on y = 4 cos(2x − π/3) sobre el
intervalo cerrado [−7π/12, 7π/6]
b) Halle todos los cortes de la gr´afica de y = 4 cos(2x − π/3) con la recta
y = −2 Sobre el intervalo cerrado [−7π/12, 7π/6]. Ilustre gr´aficamente.
8.
a) Hallando amplitud, per´ıodo, desplazamiento de fase y todos los cortes
con el eje x, trazar la gr´
afica de la funci´on. y = sen(2x − π/6) sobre el
intervalo cerrado [−2π/3, 19π/12]
b) A partir de la gr´
afica de y = sen(2x − π/6)trazar la gr´afica de y =
sen(2x − π/6) + 1 sobre el intervalo cerrado [−2π/3, 19π/12], y hallar
todos los cortes de esta gr´afica con los ejes coordenados en el intervalo
dado
92
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
9.
a) Hallando amplitud, per´ıodo, desplazamiento de fase y todos los cortes
con el eje x, trazar la gr´afica de la funci´on. y = −2 sen(2x − π/3) sobre
el intervalo cerrado [−7π/12, 5π/3]
b) A partir de la gr´
afica de y = −2 sen(2x − π/3) trazar la gr´afica de y =
−2 sen(2x − π/3) + 1 sobre el intervalo cerrado [−7π/12, 5π/3], y hallar
todos los cortes de esta gr´afica con el eje x y con la recta y = 3 en el
intervalo dado
10.
a) Indicando amplitud, per´ıodo, desplazamiento de fase y cortes con el eje
x, trace la gr´
afica de y = cos(2x − 2π
3 ).
2π
b) Trace la gr´
afica de y = cos(2x − ).
3
afica de y = sec(2x −
c) A partir de la gr´
afica de y = cos(2x − 2π
3 ), trace la gr´
2π
),
e
indique
el
per´
ıodo
y
el
desplazamiento
de
fase.
3
11.
a) Indicando amplitud, per´ıodo, desplazamiento de fase y cortes con el eje
x, trace la gr´
afica de y = sen(2x − π2 ).
b) A partir de la gr´
afica de y = sen(2x − π2 ), trace la gr´afica de
π
y = sen(2x − 2 ) + 12 , y halle todos los cortes de esta gr´afica con el eje x.
c) Trace la gr´
afica de y = sen(2x − π ) + 1 sobre el intervalo [0, 2π].
2
2
12. En un d´ıa de primavera, con 12 horas de luz diurna, la intensidad solar I llega
a su valor m´
aximo de 510 cal/cm2 a medio d´ıa. Si t = 0 corresponde a la
salida del sol, deduzca una f´ormula del tipo I = A sen(Bt) que se ajuste a esta
informaci´
on. Haga una ilustraci´on gr´afica.
13. Suponga que la f´
ormula f (t) = a sen(bt+c)+d sirve para simular las variaciones
de temperatura durante el d´ıa, donde el tiempo t est´a en horas, la temperatura
f (t) en ◦ C y t = 0 corresponde a medianoche. Suponga que f (t) es decreciente
a medianoche.
a) Calcule los valores de a, b, c y d que se ajuste a la siguiente informaci´on:
La temperatura m´
axima es 10 ◦ C y la m´ınima es -10 ◦ C, esta u
´ltima a
las 4 A.M.
b) Trace la gr´
afica de f para 0 ≤ t ≤ 24, con la informaci´on dada.
14. En una regi´
on particular, el d´ıa m´as largo del a˜
no ocurre el 21 de junio (15
horas con luz de d´ıa); el d´ıa m´as corto es el 21 de diciembre (9 horas con luz
de d´ıa). Los equinoccios (los d´ıas en que la longitud del d´ıa y la noche son
93
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
ambos iguales a 12 horas) sucede el 21 de mayo y el 21 de septiembre. Dado
que el n´
umero de horas con luz de d´ıa se relaciona con el d´ıa del a˜
no mediante
una f´
ormula de la forma:
H(t) = A sen(Bt + C) + D, donde H(t) es el n´
umero de horas con luz del d´ıa
y t es d´ıa del a˜
no, donde t = 1 corresponde al primero de enero. Calcule los
valores de A, B, C, y D que se ajusten a la informaci´on dada anteriormente.
(Suponga que no es un a˜
no bisiesto).
15.
a) Indicando per´ıodo, el desplazamiento de fase, los cortes con el eje x, y las
as´ıntotas verticales, trace la gr´afica de:
i) y = 2 tan(3x − π2 )
ii) y = 3 cot(2x + 2π
3 )
b) Indicando per´ıodo, el desplazamiento de fase y las as´ıntotas verticales,
trace la gr´
afica de:
i) y = 3 sec( 12 x − π4 )
ii) y = csc(2x + π2 )
16.
a)
Utilizando la figura, comprobar que:
√
i) a cos x ± b sen x = a2 + b2 cos(x ∓ w)
√
ii) a sen x ± b cos x = a2 + b2 sen(x ± w)
√
b) Exprese a 2 sen(2x) − 2 3 cos(2x) en la forma:
i) A sen(Bx + C)
i) A cos(Bx + C)
c) Exprese cada una de las funciones dadas en la forma:
a) f (x) = A sen(Bx + c)
b) f (x) = A cos(Bx + c)
94
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
e indique en cada forma la amplitud, el per´ıodo y el desplazamiento de
fase. Adem´
as, trace la gr´afica de cada una de ellas utilizando la forma
f (x) = A sen(Bx + c).
i) f (x) = cos x − sen x
√
ii) f (x) = 3 sen(2x) − 3 3 cos(2x)
√
iii) f (x) = −2 3 cos(3x) − 2 sen(3x)
17. Verifique cada una de las siguientes identidades
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
18.
sen2 (x)
= 1 − cos(x)
1 + cos(x)
1 − sen(x)
cos(x)
=
cos(x)
1 + sen(x)
1 − cos(2x)
= tan(x)
sen(2x)
1 + cos(2x)
= cot(x)
sen(2x)
tan2 (x)
1 − cos(x)
=
sec(x) + 1
cos(x)
cos(5x) − cos(3x)
= − tan(x)
sen(5x) + sen(3x)
sen(2x)
= tan(x)
1 + cos(2x)
sen(3x) + sen(x)
= 2 sen(x)
1 + cos(2x)
i)
sen(x) + cos(x)
sen(x)
=
sec(x) + csc(x)
sec(x)
j)
sen(x) sec(x)
= sen2 (x)
tan(x) + cot(x)
k)
cot(x)
csc(x) − 1
=
csc(x) + 1
cot(x)
l)
sen(x) + cos(x)
sen(2x)
=
sec(x) + csc(x)
2
m)
sec(x) − cos(x)
= cos(x)
sec2 (x) − 1
n)
1 + sen(2x) + cos(2x)
= cot(x)
1 + sen(2x) − cos(2x)
n
˜)
tan3 (x) − cot3 (x)
= tan2 (x) + csc2 (x)
tan(x) − cot(x)
a) Verifique que 21 [sen(u + v) + sen(u − v)] = sen(u) cos(v)
b) Utilice el resultado anterior para expresar a sen(5x) cos(3x) como una
suma de senos.
19. Halle todas las soluciones de la ecuaci´on
√
√
3 cos x − sen x + 2 = 0
√
20. Si (−1, 3) son las coordenadas rectangulares de un punto P calcular las
coordenadas polares (r, θ) de P .
21. Dado que sen θ =
−3
5 ,
y
3π
2
< θ < 2π, determine los valores de sen( 2θ ) y cos( 2θ ).
95
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
22. Si tan θ = 34 , y θ est´
a en el tercer cuadrante, calcule el valor de las otras
funciones trigonom´etricas del a´ngulo θ.
23. Si tan θ = 21 , y θ est´
a en el tercer cuadrante, calcule los valores de cos θ, cos(2θ),
sen(2θ), sen 2θ , cos 2θ y tan 2θ .
24. Si csc θ = 2, y θ est´
a en el segundo cuadrante, calcule los valores de sen(2θ),
cos(2θ) y tan(2θ).
5.2 Taller B. Funciones Trigonom´
etricas Inversas
1. Justifique cada uno de los pasos dados en la siguiente demostraci´on de que
arccot x = π2 − arctan x para todo x real.
Demostraci´
on: Consideremos las funciones
tan : (− π2 , π2 ) −→ R, y cot : (0, π) −→ R.
Si x ∈ (0, π) entonces −x ∈ (−π, 0) y por consiguiente:
π
−π π
−x∈(
, ). Puesto que tan( π2 − x) = cot x, tomando
2
2
2
y = tan( π2 − x) = cot x vemos que π2 − x = arctan y, x = arccot(y).
Por lo tanto arccot (y) = π2 − arctan(y) para todo y real. Finalmente,
si intercambiamos los papeles de x e y, tenemos que:
arccot (x) =
π
2
− arctan(x) para todo x real.
96
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
2.
T´
u est´
as en un sal´on de
clases, sentado junto a una
pared mirando el tablero que
se encuentra al frente. Este
mide 12 pies de largo y
empieza a 3 pies de la pared
tal como se ilustra. Verifica
que tu ´
angulo de visi´on α
(dado en radianes) es: α =
x
arccot ( 15
) − arccot ( x3 ), si
est´
as a x pies de la pared del
frente.
3.
Un hombre de 6 pies de altura
parado en la cima de un acantilado
vertical, observa un bote de motor
que se aleja del pie del acantilado
con velocidad constante.
a) Si θ radianes es el a´ngulo de depresi´on de su l´ınea visual cuando el bote
est´
a a x pies de la base del acantilado y si el acantilado tiene 194 pies de
altura tal como se ilustra, exprese a θ en funci´on de x.
b) ¿Cu´
al es el ´
angulo de depresi´on en radianes, cuando:
200
x = √ pies ?
3
c) ¿Cu´
al es la distancia recorrida por el bote desde el instante en que el
angulo de depresi´
´
on es de π3 hasta el instante en que el ´angulo de depresi´on
es de π6 ?
d ) Si la velocidad del bote es de 25 pies/segundo, ¿Cu´al es el tiempo
empleado por el bote para que el ´angulo de depresi´on θ hacia el bote
sea igual:
i) a π3
ii) a π6
4. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:
97
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
3x − 2
5
1+x
b) f (x) = arc cos
1−x
√
c) f (x) = arctan( x2 + 2x − 3)
1+x
d ) f (x) = arccot
1−x
e) f (x) = arcsec(2x − 3)
a) f (x) = arc sen
f ) f (x) = arccsc(x2 + 2x − 2)
1−x
g) f (x) = arc sen √
2
r
x−1
h) f (x) = arc sen
x+2
5. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine en qu´e intervalo debe estar
θ (dado en radianes), para que:
a) arc sen(sen(θ)) = θ
b) arc cos(cos(θ)) = θ
c) arctan(tan(θ)) = θ
6. Calcule:
a) arc sen(sen(π/6))
b) arc sen(sen(2π/3))
c) arc sen(sen(−π/4))
7. Calcule:
a) arc cos(cos(π/6))
b) arc cos(cos(−π/4))
c) arc cos(cos(2π/3))
8. Calcule:
a) arctan(tan(4π/3))
b) arctan(tan(π/4))
c) arctan(tan(−π/6))
98
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
9.
Desde un punto al nivel del terreno,
a 135 pies del centro de la base de
una torre, el ´angulo de elevaci´on de
la punta de dicha torre es el ´angulo
θ que se da en cada uno de los
siguientes casos. Calcular la altura
h de la torre en cada uno de esos
casos:
a) θ = 57◦ 200
b) θ = 60◦
10.
Una mujer se encuentra parada en una ventana a 80 pies sobre el nivel del suelo.
Observa a un ni˜
no que camina directamente hacia la base del edificio, mientras
que el ´
angulo de depresi´on hacia el ni˜
no cambia de 42◦ a 65◦ . ¿Qu´e distancia
ha recorrido el ni˜
no?
11.
Desde la azotea de un edificio que
da al mar, un observador ve un bote
navegando directamente hacia el edificio.
Si el observador est´a a 100 pies sobre el
nivel del mar, y si el ´angulo de depresi´on
del bote cambia de 30◦ a 45◦ durante
el per´ıodo de observaci´on, calcular la
distancia que recorre el bote durante este
per´ıodo de observaci´on.
99
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
12. Para determinar la distancia d entre dos puntos P y Q en las orillas opuestas
de un lago, un top´
ografo localiza un punto R que est´a a 50 metros de P , de tal
modo que la recta que pasa por los puntos R y P es perpendicular a la recta
que pasa por los puntos P y Q, como se ve en la figura. A continuaci´on con
un teodolito, el top´
ografo mide el ´angulo P RQ, que resulta de 72◦ 40’. Calcule
d.
13.
Los ´angulos de elevaci´on de un
globo visto desde los puntos A y
B a nivel del suelo son 24◦ 10’y
47◦ 40’, respectivamente. Los
puntos A y B est´an separados
8.4 millas, y el globo se encuentra
entre ellos, en el mismo plano
vertical. Calcule la altura del
globo respecto al suelo.
100
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
14.
Cuando un globo aerost´atico
sube verticalmente, su ´angulo
de elevaci´on desde un punto
P , sobre terreno horizontal a
10km de distancia del punto
Q, directamente abajo del
globo, cambia de 15◦ a 30◦ .
¿Qu´e ascenso alcanza el globo
durante esas observaciones?
15.
La Gran Pir´amide de Egipto
tiene 147 metros de altura; su
base es cuadrada y mide 230
metros por lado (v´ease la figura).
Calcule el ´angulo θ que se forma
cuando un observador est´a de pie
en el punto medio de uno de los
lados y contempla el v´ertice de la
pir´amide.
16.
Un vaso c´
onico de papel se fabrica quitando un sector a un c´ırculo de 5 pulgadas
de radio, y pegando la orilla OA con la orilla OB. Calcule el ´angulo θ para
que el vaso tenga una profundidad de 4 pulgadas.
101
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
17.
Se
desea
abrir
el
tunel para una nueva
carretera,
atravesando
una monta˜
na de 260
pies de altura. A una
distancia de 200 pies de
la base de la monta˜
na,
el ´angulo de elevaci´on es
de 30◦ (v´ease la figura).
Desde una distancia de
150 pies, al otro lado, el
´angulo de elevaci´on es
45◦ . Calcule la longitud
del tunel.
18.
Cuando se ve la cumbre de una
monta˜
na desde el punto P que se
indica en la figura, el ´angulo de
elevaci´on es α. Desde un punto Q,
que est´a a d millas m´as cerca de la
monta˜
na, el ´angulo de elevaci´on se
incrementa a β. Demuestre que la
altura h de la monta˜
na es
h=
.
19.
102
d
cot α − cot β
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ´angulos de
elevaci´
on de sus extremos superiores son 30◦ y 60◦ respectivamente. Verificar
que la altura de una de las torres es el triple de la otra.
20.
Un canal´
on met´
alico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadas y un
fondo horizontal de 2 pulgadas tambi´en, con lados formando ´angulos iguales θ
con la prolongaci´
on del fondo
(0 < θ < π2 ), (ver la figura). Exprese
el ´
area A de la secci´
on transversal del canal´on en funci´on de θ.
21.
Una escalera de 30 pies de
longitud est´a apoyada contra una
pared vertical, de modo que
su extremo superior se desliza
hacia abajo. Exprese el ´angulo
θ, formado por la escalera con
el piso, en funci´on de x. Siendo
x pies la distancia del pie de
la pared al extremo inferior de
la escalera, e indique adem´as el
dominio admisible de la variable
x.
103
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
22.
Los extremos de un tanque de 20 pies de largo tienen la forma de un tri´angulo
is´osceles tal como se indica en la figura a). Si se echa agua hasta una
profundidad de 34 H pies tal como se ilustra en la figura b). Exprese el volumen
V de agua en funci´
on de θ.
23.
La f´
ormula para el volumen V de un
cono circular recto es V = 31 πr2 h. Si
r = 6, utilice el diagrama dado para
expresar el volumen V como funci´on de
θ.
24.
Dada la figura, exprese AC en t´erminos de θ.
25. Muchos sat´elites son lanzados a una ´orbita geosincr´onica, lo cual significa
que la posici´
on del sat´elite con respecto a la tierra permanece sin cambio.
Supongamos que desde uno de estos sat´elites uno observar´a un ´angulo de
41.4◦ con el horizontal, como se indica en la figura. Dado que el radio de la
tierra es de aproximadamente 4000 millas, determine la altitud del sat´elite
sobre la tierra.
104
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
26. Un alambre de soporte debe ser colocado en la punta de un poste telef´onico
de 10 metros de altura y fijado en la tierra. ¿Qu´e cantidad de alambre se
necesitar´
a para que haga un ´angulo de 60◦ con el nivel del suelo?
27.
La figura muestra dos postes
fijados por cables de soporte
a un punto en el suelo entre
ellos. Determine la distancia
entre los dos postes.
5.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos
Tri´angulos Oblicu´
angulos: Un tri´angulo oblicu´angulo es aquel en que ninguno de sus
´angulos es recto. En un tri´
angulo oblicu´angulo los tres angulos son agudos o dos son
agudos y el tercero es obtuso.
Observaci´
on: Cuando en un tri´angulo ABC, hablemos de los ´angulos A, B y C, nos
referimos a los ´
angulos α, β, Υ respectivamente.
105
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
1.
Para cada uno de los tri´
angulos dados en la figura anterior, verifique que:
a) h = a sen B = b sen A
b) k = b sen C = c sen B
2.
Para cada uno de los tri´angulos dados
en la figura, verifique que:
a2 = b2 + c2 − (2bc) cos A
3. En cada uno de los siguientes ejercicios resolver el tri´angulo ABC cuando se
conocen los datos:
a) a = 6, A = 45◦ y B = 60◦
√
√
b) a = 2 3, b = 2 2 y C = 75◦
p
√
√
c) a = 3 2, b = 3 y c = 3 2 + 3
4. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine cu´antos tri´angulos ABC se
pueden construir con la informaci´on dada, y halle en cada caso esos tri´angulos.
106
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
√
a) a = 6, b = 6 3, A = 30◦
√
√
b) a = 2, b = 3, A = 45◦
√
c) a = 3 2, b = 3, A = 135◦
√
d ) a = 2 3, b = 4, A = 60◦
e) a = 2, b = 10, A = 30◦
√
f ) a = 3 2, b = 3, A = 45◦
5.
Como se ve en la figura, un telef´erico transporta pasajeros del punto A, que
se ubica a 1 milla de un punto B en la base de la monta˜
na, y llega a la
cumbre P de ´esta. Los ´
angulos de elevaci´on de P desde A y B son 15◦ y 60◦ ,
respectivamente.
a) Determine la distancia de A a P .
b) Calcule la altura de la monta˜
na.
6.
Un guardabosque est´a en una
torre de observaci´on y observa
dos incendios a distancias de
3 y 5 millas, respectivamente,
en relaci´on con la torre. Si
el ´angulo entre las l´ıneas de
visi´on hacia los dos puntos
de fuego es de 120◦ . ¿A
qu´e distancia est´an entre si los
incendios?
107
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
7. Resolver el ejercicio 5, cambiando el dado de que el ´angulo de elevaci´on de P
desde el punto A es de 30◦ .
8.
El tri´angulo equilatero 4ABC
est´a inscrito en un c´ırculo de
radio 4. Determine el ´area de la
porci´on sombreada que se ilustra
en la figura.
9. Un poste telef´
onico se sostiene mediante dos cables sujetos a la parte superior
del poste, y adem´
as estos cables est´an sujetos al suelo en lados opuestos al
poste, en los puntos A y B que est´an a 30 metros de distancia entre s´ı. Si los
´angulos de elevaci´
on de la parte superior del poste desde los puntos A y B son
de 60◦ y 45◦ respectivamente, determine las longitudes de ambos cables y la
altura del poste.
108
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
10.
Un helic´optero vuela a una
altitud de 550 metros sobre la
cima de una monta˜
na A, con
una altura conocida de 1563
metros. Una segunda cima de
otra monta˜
na cercana B, m´as
alta, se ve desde el helic´optero. Si
el ´angulo de elevaci´on de la cima
B desde la cima A es de 30◦ y si
la distancia entre las dos cimas de
las monta˜
nas es de 450 metros,
a) Calcule la distancia del
helic´optero a la cima B.
b) Calcule la altitud de la cima
B.
11.
Un helic´optero vuela a una
altitud de 450 metros sobre la
cima de una monta˜
na A, con
una altura conocida de 1440. Una
segunda cima de otra monta˜
na
cercana B, m´as alta, es vista con
un ´angulo de depresi´on de 45◦
desde el helic´optero y con un
´angulo de elevaci´on de 15◦ desde
A. V´ease la figura. Determine la
distancia entre las dos cimas de
las monta˜
nas y la altitud de la
cima B.
12. Un globo aerost´
atico de observaci´on G y dos puntos A y B del suelo est´an en
un mismo plano vertical. El ´angulo de elevaci´on del globo, medido desde A,
es de 75◦ , y medido desde B es de 30◦ . La distancia entre A y B es de 1000
metros. Si el globo se encuentra elevado en alg´
un punto entre A y B, ¿Cu´al es
su elevaci´
on?
13. A las 2 P.M. salen de un aeropuerto dos aviones. Uno vuela al N 60◦ E a 350
109
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
km/h y el otro hacia el sur a 450 km/h. ¿Qu´e distancia hay entre ellos a las
4 P.M.?
14.
Sea el 4ABC un tri´angulo
is´
osceles
inscrito
en
una
circunferencia de radio R y
sea h la altura del tri´angulo
desde el v´ertice C, y sean θ y
α los ´angulos que se ilustran,
dados en radianes.
a) Verifique que θ = 2α.
b) Utilizando la ley de los senos, compruebe que:
a = b = 2R sen α.
c) Exprese el per´ımetro P del tri´angulo 4ABC en funci´on de α.
d ) Exprese la altura h en funci´on de α.
e) Exprese el ´
area del tri´
angulo en funci´on de α.
15. Los sism´
ologos investigan la estructura interna de la tierra analizando las ondas
s´ısmicas causadas por terremotos. Si se supone que el interior de la tierra es
homog´eneo, entonces esas ondas viajan en l´ınea recta a velocidad constante v.
La figura muestra un corte de tierra, un epicentro E y un punto de observaci´on
S. Emplee la ley de los cosenos para demostrar que el tiempo t para
que una
2R
θ
onda viaje por el interior de la tierra de E a S es t =
sen
en el cual
v
2
R es el radio de la tierra y θ es el ´angulo indicado con v´ertice en el centro de
la tierra.
110
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
111
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
6 Limite de funciones
6.1 Taller A
6.1. Taller A
1. Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
√
x−9
1 − cos x
i) l´ım √
xi) l´ım
x→9
x−3
x→0
x
x−2
1 − cos x
ii) l´ım 2
xii) l´ım
x→2 x + 2x − 8
x→0
x2
x3 + x2 − 2
tan x − sen x
iii) l´ım
xiii) l´ım
x→1
x→0
x−1
x cos x
√
2
1 − x+1
1 − cos x
xiv) l´ım
iv) l´ım
x→0
x2
x→1 x − 1
x
√
1 − cos x
x−2
xv) l´ım
v) l´ım 2
x→0
sen x
x→4 x − 3x − 4
tan x − sen x
x3 − 8
xvi) l´ım
vi) l´ım 2
x→0
x3
x→2 x − x − 2
√
1
x−1
xvii) l´ım x sen
vii) l´ım 2
x→0
x
x→1 2x + 5x − 7
x − 2x − 1
x−8
viii) l´ım √
xviii) l´ım
x→8 3 x − 2
x→2
x−3
√
√
3
x−1
x−1
xix) l´ım 3
ix) l´ım √
x→1 x + x2 − 2
x→1
x−1
1 − cos(2x)
x2 − x − 2
xx) l´ım
x) l´ım 3
2
x→0
x sen(3x)
x→2 x + 2x − 5x − 6
2. Sea
(
x2 + 1, si x ≤ 1,
f (x) =
−x + 3, si 1 < x.
112
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Calcule, l´ım f (x)
x→1
3. Sea
(
3 − x,
si x < 2,
f (x) =
2
x − 4x + 3, si 2 ≤ x.
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Calcule, si existen:
i) l´ım f (x)
x→0
ii) l´ım f (x)
x→2
iii) l´ım f (x)
x→5
4. Calcule cada uno de los siguientes l´ımites laterales, si existen:
x2 − x − 2
x − 2x − 1
x) l´ım
i) l´ım
|x − 2|
x→2+
x−3
x→2−
p
x − 2x − 1
1 − cos(x)
ii) l´ım
xi)
l´
ım
x−3
x→2+
x
x→0−
2
x − x − 3x − 2 (x − 1)
iii) l´ım
−
x2 + x − 2
x→1
x2 − x − 3x − 2 (x − 1)
iv) l´ım
x2 + x − 2
x→1+
x2 − 2|x − 1| − 1
v) l´ım
x−1
x→1−
p
2
x − 2|x − 1| − 1
1 − cos(x)
vi) l´ım
xii) l´ım
x−1
x→1+
x
x→0+
√
3
2x(x − 1)
x − x2 − 4x + 4
vii) l´ım
xviii)
l´
ım
2
x→1− |x − 3x + 2|
x2 − 2x + 1
x→1+
√
3
2x(x − 1)
x − 2x − 3x − 2 (x − 1) + 1
viii) l´ım
xiv) l´ım
x→1+ |x2 − 3x + 2|
x2 + x − 2
x→1+
2
x − 2x
x −x−2
ix) l´ım
xv) l´ım √
|x − 2|
x−1
x→2−
x→1−
113
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
x − 2x
xvi) l´ım √
x−1
x→1+
x3 − x2 − 4x + 4
xvii) l´ım
x2 − 2x + 1
x→1−
5.
xiii) l´ım
x3 − 2x −
x→1−
a) Calcule:
|x|
√
x x2 + 1
|x|
i) l´ım √
+
x→0 x x2 + 1
i) l´ım
x→0−
b) ¿Existir´
a
|x|
l´ım √
?
x x2 + 1
x→0
(
x2 + 1,
si x < 1,
6. Sea f (x) = √
x − 1 + 2, si 1 ≤ x.
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
i) l´ım f (x)
x→1−
ii) l´ım f (x)
x→1+
iii) l´ım f (x)
x→1
(
x2 ,
si x ≤ 2,
7. Sea f (x) = √
x − 2, si 2 < x.
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
i) l´ım f (x)
x→2−
ii) l´ım f (x)
x→2+
iii) l´ım f (x)
x→2
√

si x ≤ 0,
 4 − x,
8. Sea f (x) = x2 − 2x + 2, si 0 < x < 3,

√
x − 3,
si 3 ≤ x.
114
3x − 2 (x − 1) + 1
x2 + x − 2
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
i) l´ım f (x)
x→0
ii) l´ım f (x)
x→3
 3
x + x + 2
,
si x < −1,
9. Sea f (x) =
x+1
 3
x − 3x2 + 6, si −1 ≤ x.
a) Calcule:
i)
ii)
l´ım f (x)
x→−1−
l´ım f (x)
x→−1+
b) ¿Existir´
a
l´ım f (x)?
x→−1
10. Sea

2

si x < 0,
x ,
f (x) = x,
si 0 < x < 1,

 2
x + 1, si 1 ≤ x.
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
i) l´ım f (x)
x→0
ii) l´ım f (x)
x→1
11. Sea


−1,





x + 3,



2 − 4x + 3,


x
f (x) =
x−3 ,



3,





|x − 8|,




2,
si
si
si
si
si
si
si
x < −4,
−4 ≤ x < 0,
0 < x ≤ 3,
3 ≤ x < 6,
x = 6,
6 < x < 10,
x ≥ 10.
115
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
i) l´ım f (x)
v) l´ım f (x)
ii) l´ım f (x)
vi) l´ım f (x)
iii) l´ım f (x)
vii) l´ım f (x)
iv) l´ım f (x)
viii) l´ım f (x)
x→−4
x→5
x→6
x→0
x→8
x→3
x→4
x→10
12. Sea
(
ex + 1, si x ≤ 0,
f (x) =
ln x,
si 0 < x.
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
i) l´ım f (x)
x→0−
ii) l´ım f (x)
x→0+
iii) l´ım f (x)
x→0
13. Sea

x

2 ,
f (x) = log2 x,


cos(πx),
si x ≤ 0,
si 0 < x ≤ 2,
si 2 < x ≤ 4.
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
i) l´ım f (x)
iv) l´ım f (x)
ii) l´ım f (x)
v) l´ım f (x)
iii) l´ım f (x)
vi) l´ım f (x)
x→0−
x→2−
x→2+
x→0+
x→0
x→2
14. Sea
(
x2 − 2x + 2,
si 1 ≤ x,
f (x) =
2
−x + 2x − 2, si x < 1.
116
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) Trace las gr´
aficas de f y de |f |.
b) Verifique que l´ım |f (x)| = 1, pero que l´ım f (x) no existe.
x→1
x→1
15. Calcule l´ım x 3x + 2 , si existe.
x→0
16. Si l´ım
x→4
f (x) − 5
= 1, calcule l´ım f (x).
x→4
x−2
f (x) − 4
= 3, calcule l´ım f (x).
x→1 x − 1
x→1
4− x
.
18. Sea f (x) =
x−4
17. Si l´ım
a) Trace la gr´
afica de f sobre [0, 8) − {4}
b) Calcule
i) l´ım f (x)
iv) l´ım f (x)
ii) l´ım f (x)
v) l´ım f (x)
iii) l´ım f (x)
v) l´ım f (x)
x→3−
x→4+
x→5−
x→3+
x→4−
x→5+
19. Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen
1
x→3 (x − 3)2
x−1
l´ım
x→2 (x − 2)2
x−5
l´ım 2
x→2 x − 4x + 4
x+3
l´ım
x→1 x2 − 2x + 1
−2x
l´ım
x→1 (x − 1)2
1
3
l´ım
+ 2x
x→1 (x − 1)2
sen(2x)
l´ım ln(x) +
x
x→0+
l´ım (x + 4) ln(x)
a) l´ım
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
sen(2x)
x3
ln(x)
l´ım
x
x→0+
1
1
l´ım √ −
x x
x→0+
p
l´ım x( x2 + 2x − x)
x→+∞
1 − sen(x)
2
l´ım
+ tan (x)
x→π/2 (x − π/2)2
i ) l´ım
x→0
j)
k)
l)
m)
n)
n
˜)
x→0+
117
l´ım (ln(2x + 1) − ln(4x − 1))
x→+∞
2x ln(x2 + 1) − ln(2x + 1)
x→+∞ x + 1
l´ım
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
20. Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
1
x→−∞ x
1
ii) l´ım
x→+∞ x
i)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ix)
x)
xi)
xii)
l´ım
xiii)
l´ım ln
x→−∞
x+1
x−2
ln x
x
x+1
xv) l´ım ln
x→+∞
x−2
xvi) l´ım ln(3x − 1) − ln(6x + 4)
xiv) l´ım
x→0+
x2
x→−∞ 1 + x2
x2
l´ım
x→+∞ 1 + x2
x
l´ım 2
x→−∞ x − 6x + 5
x
l´ım
x→+∞ x2 − 6x + 5
4x3 + 2x2 − 5
l´ım
x→−∞ 8x3 + x + 2
34 − 7x2 + 2
l´ım
x→+∞
2x4 + 1
√
x2 + 1
l´ım
x→−∞
x
√
2
x +1
l´ım
x→+∞
x
2x − 1
l´ım √
x→−∞
x2 + x
3x − 1
l´ım √
x→−∞
x2 + 1
l´ım
x→+∞
xvii)
xviii)
xix)
xx)
xxi)
xxii)
xxiii)
xxiv)
ex − e−x
x→−∞ ex + e−x
ex − e−x
l´ım x
x→+∞ e + e−x
1+x
l´ım arctan
x→−∞
1−x
1+x
l´ım arctan
x→+∞
1−x
2x arctan x
l´ım
x→−∞
x+1
2x arctan x
l´ım
x→+∞
x+1
x
l´ım arc sen √
x→−∞
1 + x2
x
l´ım arc sen √
x→+∞
1 + x2
l´ım
21. Calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
1
1
3
1
√
−1
− 2
i) l´ım
v) l´ım
x→0 x
x −4
x→2− x − 2
1+x
p
p
ii) l´ım ( x2 + x − x)
vi) l´ım ( x2 + 3 − x)
x→+∞
x→−∞
√
p
16 − x2
iii) l´ım
vii) l´ım ( x2 + 3 − x)
−
x−4
x→4
x→+∞
2
p
2x − x − 3
iv) l´ım 3
viii)
l´
ım
x(
x2 + 1 − x)
x→−1 x + 2x2 + 6x + 5
x→+∞
118
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
ix)
x)
xi)
xii)
xiii)
xiv)
xv)
xvi)
√
3
x3 + 2x2 − 6x + 1
l´ım √
x→−∞
9x6 − 3x4 + 10
1
1
− 2
l´ım
x
x→0+ x
x − 2x − 1
l´ım
x−2
x→2+
x−3
l´ım
x→1+ x3 + x − 2
x2 − 2|x − 1| − 1
l´ım
(x − 1)2
x→1−
x2 − 2|x − 1| − 1
l´ım
(x − 1)2
x→1+
√
3
x−1
l´ım
x→1 x − 1
√
x−1
l´ım
x→1 x2 + x − 2
xvii) l´ım
x→1
x−1
x2 + x − 2
xxii)
x2 − 4x + 3
x→1+ x3 − 3x + 2
x+2
l´ım 3
x→1− x − 3x + 2
√
3
x−1
l´ım
x→+∞ x − 1
x − 2x − 1
l´ım
x−2
x→2−
p
l´ım ( x4 + 2x2 − x2 )
xxiii)
p
l´ım x( x2 + 1 + x)
xviii) l´ım
xix)
xx)
xxi)
x→+∞
x→−∞
xxiv) l´ım x2 (cot x)(csc(2x))
x→0
22. calcule cada uno de los siguientes l´ımites, si existen:
tan x
−
x→0
2 − 2 cos2 x
tan x
l´ım √
x→0+
2 − 2 cos2 x
1 − cosx
l´ım
x→0 x sen x
1 − sen x
l´ım
π
x→π/2
2 −x
tan x − sen x
l´ım
x→0
x3
arc sen x
l´ım
x→0
x
x − sen(2x)
l´ım
x→0 x + sen(3x)
1 − 2 cos x
l´ım
π − 3x
x→ π3
i) l´ım √
x)
ii)
xi)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ix) l´ım
x→−2
xii)
xiii)
xiv)
xv)
xvi)
xvii)
tan(πx)
x+2
xviii)
119
x − 3x − 1
l´ım
x2 + x − 2
x→1−
|x − 1| − x + 1
l´ım
−
x2 + x − 2
x→1
cos( π2 x)
√
l´ım
x→1 1 − x
x − 3x − 1
l´ım
x2 + x − 2
x→1+
x − 3x − 2
l´ım
x2 + x − 2
x→1−
x − 3x − 2
l´ım
x2 + x − 2
x→1+
sen x
l´ım
x→0 3x2 + 2x
x2 + 3x
l´ım
x→0 sen x
1
l´ım x cos
x→0
x
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
sen x
x−π
(cos x) sen(x − π)
xxiii) l´ım
x→π
x−π
1 − cos(2x)
x→0
4x
1 + cos x
xx) l´ım
x→π x − π
(sen x)(1 − cos x)
xxi) l´ım
x→0
x3
√
2x − 1
23. Sea f (x) = 3
. Calcule:
x − 7x + 6
xxii) l´ım
xix) l´ım
x→π
a) l´ım f (x)
x→1−
b) l´ım f (x)
x→1+
c) l´ım f (x)
x→2−
d ) l´ım f (x)
x→2+
√
24. Sea f (x) =
x2 + 7
. Verifique que:
2x − 6
a) l´ım f (x) = −∞
x→3−
b) l´ım f (x) = +∞
x→3+
c)
d)
l´ım f (x) = −
x→−∞
l´ım f (x) =
x→+∞
1
2
1
2
25.
120
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
Sea f una funci´
on cuya gr´afica se ilustra. Calcule, si existe (justificando cada
respuesta):
a)
l´ım f (x)
i ) l´ım f (x)
x→−∞
x→−1
b) f (−3)
j ) f (2)
c)
l´ım f (x)
k ) l´ım f (x)
l´ım f (x)
l ) f (4)
d)
x→−3−
x→2
x→−3+
e) l´ım f (x)
m) l´ım f (x)
f ) f (−1)
n) l´ım f (x)
g)
l´ım f (x)
n
˜) l´ım f (x)
l´ım f (x)
o)
x→4−
x→−3
h)
x→4+
x→−1−
x→4
x→−1+
l´ım f (x)
x→+∞
26.
Sea f una funci´
on cuya gr´afica se ilustra. Eval´
ue, justificando claramente su
respuesta para cada caso o explicando por qu´e no existe:
a)
b)
c)
l´ım f (x)
d ) f (−3)
l´ım f (x)
e)
l´ım f (x)
f)
x→−∞
x→−3−
x→−3+
121
l´ım f (x)
x→−2−
l´ım f (x)
x→−2+
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
g) f (−2)
m) l´ım f (x)
h) l´ım f (x)
n) l´ım f (x)
x→2
x→0
x→3
i ) f (0)
n
˜) f (3)
j ) l´ım f (x)
o) l´ım f (x)
x→1
x→4−
k ) l´ım f (x)
p) l´ım f (x)
x→2−
x→4+
l ) l´ım f (x)
q)
x→2+
122
l´ım f (x)
x→+∞
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
7 Continuidad de funciones
7.1 Taller A
7.1. Taller A
1. Determine cuales de las siguientes funciones es discontinua en a = 1. En el
caso de que la funci´
on sea discontinua en a = 1, explique por qu´e sucede esta
discontinuidad.
 3
x3 − 1
x − 1
a) f (x) =
, si x 6= 1,
c) h(x) = x − 1
(x − 1

1,
si x = 1.
x2 + 1, si x ≤ 1,
b) g(x) =
d ) F (x) = x2 + x + 1
2 − x, si 1 < x.
2.
Sea f una funci´
on cuya gr´afica se ilustra. Indique en qu´e puntos de la recta real,
f es discontinua y justifique su respuesta. Diga en cada caso si la discontinuidad
es removible o esencial.
3. Para cada una de las siguientes funciones, determine si la funci´on dada
es continua o discontinua en el punto a, justificando cada respuesta. Si la
123
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
discontinuidad es removible, redefina la funci´on en a de manera que la funci´on
resulte continua en ese punto.
√
1 − cosx
a) f (x) =
, a = 0.
x2
√
x−1
b) f (x) = 2
, a = 1.
x +x−2
(
log2 x,
si 0 < x ≤ 2,
c) f (x) =
, a = 2.
cos(πx), si 2 < x ≤ 4.

 1 − cos x , si x 6= 0,
d ) f (x) =
, a = 0.
x2
1,
si x = 0.
1 − cos x
, a = 0.
x sen
x
x − 2x − 1
f ) f (x) =
, a = 2.
x−3
e) f (x) =
4. Para cada una de las siguientes funciones:
a) Dibuje la gr´
afica de la funci´on dada.
b) Determine en que puntos la funci´on dada es discontinua e indique que
tipo de discontinuidad tiene en cada uno de esos puntos.


|x + 3|,
si −5 ≤ x < 0,




 3x − 1 ,
si 0 ≤ x < 1,
i) f (x) = x2 − 6x + 6,
si 1 < x ≤ 5,



2 − 8x + 15

x


, si 5 < x.
x−5

1

,
si x < −3, x 6= −4,



x+4

√


 9 − x2 ,
si −3 ≤ x < 0,
ii) f (x) = 2x + 3,
si 0 < x < 1,




2,
si x = 1,



 2
x − 4x + 8, si 1 < x ≤ 4.
5. Dibuje la gr´
afica de una funci´
on f que satisfaga todas las condiciones dadas a
continuaci´
on:
124
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) f es continua sobre cada uno de los intervalos (−∞, −2), [−2, 1] y
(1, +∞).
b)
l´ım f (x) = 3,
x→−∞
l´ım f (x) = 2,
x→1−
l´ım f (x) = +∞,
x→−2−
l´ım f (x) = 6,
x→1+
l´ım f (x) = 1,
x→−2+
f (0) = 4,
l´ım f (x) = −1.
x→+∞
6. Dibuje la gr´
afica de una funci´on f que satisfaga todas las condiciones dadas a
continuaci´
on:
a) f es continua sobre cada uno de los intervalos (−∞, −1), [−1, 2), [2, 4],
(4, +∞).
b)
l´ım f (x) = 1,
x→−∞
l´ım f (x) = 1,
x→2−
l´ım f (x) = +∞,
x→4+
l´ım f (x) = −∞,
x→−1−
l´ım f (x) = 3,
x→2+
l´ım f (x) = 3,
x→−1+
f (3)
=
−1.
f (0) = 0,
l´ım f (x) = 2,
x→4−
l´ım f (x) = −2
x→+∞
7. Para cada una de las siguientes funciones:
a) Halle el dominio de f .
b) Determine los n´
umeros en donde f es discontinua e indique en cada caso
el tipo de discontinuidad.
c) Determine las as´ıntotas verticales de la gr´afica de la funci´on f , si existen.
d ) Determine las as´ıntotas horizontales u oblicuas de la gr´afica de la funci´on
f , si existen.
e) Utilizando la informaci´on dada por los l´ımites y la continuidad, intente
un bosquejo de la gr´afica de la funci´on f .
i) f (x) =
ii) f (x) =
iii) f (x) =
iv) f (x) =
v) f (x) =
x2 − 2x − 3
x2 − 5x + 6
x2 − 4x + 3
x2 − 3x + 2
x+1
2
x −x−2
x2 − 2x − 8
x2 + x − 2
x3 + x2 − 14x − 24
x2 + x − 2
125
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
x3 − 2x2 − x + 2
x2 − 3x + 2
√
x − 2x − 1
f (x) = 3
x − 7x + 6
x − 2x − 1
f (x) =
x−2
1
f (x) =
(ln x)2 − 1
x arctan x
f (x) =
x−1
 x

,
si x < 1,

x−1
f (x) = x3 − 11x2 + 38x − 40


, si x ≥ 1, con x 6= 5.
x−5
x−1
f (x) = 2
x − 5x + 6
vi) f (x) =
vii)
viii)
ix)
x)
xi)
xii)
 2
 x +x−2
√
, si 0 ≤ x < 1
8. Sea f (x) =
x−1
 2 2
a x − 7ax + 18 , si 1 ≤ x
a) Escriba las condiciones que debe cumplir la funci´on f para que sea
continua en x = 1
b) Calcule l´ım f (x) y l´ım f (x)
x→1−
x→1+
c) Halle los valores de la constante a tales que la funci´on f dada sea continua
en x = 1
 2
 x − 7x + 12
√
, si 0 ≤ x < 4
9. Sea f (x) =
x−2
 2
x − 2ax + a2 , si 4 ≤ x
a) Escriba las condiciones que debe cumplir la funci´on f que sea continua
en x = 4
b) Calcule l´ım f (x) y l´ım f (x)
x→4−
x→4+
c) Halle los valores de la constante a, tales que la funci´on f dada sea continua
en x = 4
126
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
10. Determine los valores de la constante a, tales que la funci´on f sea continua en
2 y despu´es dibuje la gr´
afica de f si:
(
ax + 1,
si x < 2,
f (x) =
2
2
a − x + x, si 2 ≤ x.
11. Determine los valores de la constante a, tales que la funci´on

 x3 + x2 − 2
, si x < 1
f (x) =
Sea continua en x = 1
x
−
1
 x2 − 3ax + a2 , si 1 ≤ x
12. Para cada una de las siguientes funciones determine los valores de las
constantes a y b tales que la funci´on f sea continua en el conjunto de todos
los n´
umeros reales.


si x < 1,
ax + 2,
2
a) f (x) = x + 2ax + b, si 1 ≤ x ≤ 4,


3ax − b,
si 4 < x.


x2 + x − 2


 x − 1 , si x < 1,
b) f (x) = ax + b,
si 1 ≤ x < 2,



3x − 2,
si 2 ≤ x.
13. ¿Existir´
a un valor de b para el cual, la funci´on

x + b,
si x ≤ 0,
f (x) = 1 − cos x

, si 0 < x.
x2
sea continua en el n´
umero a = 0?
14. ¿Existir´
a un valor de b para el cual, la funci´on
 2
 x − 4x + 3
, si x < 1,
f (x) =
x−1

2bx + b2 ,
si 1 ≤ x.
sea continua en el n´
umero a = 1?
127
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
15.
Considere la funci´
on f , cuya gr´afica se ilustra.
a) Escriba una funci´
on que corresponda a la gr´afica que se ilustra.
b) Escriba la ecuaci´
on de cada as´ıntota vertical y cada as´ıntota horizontal
de la gr´
afica de f .
c) Indique todas las discontinuidades de la funci´on f y establezca en cada
caso si la discontinuidad es removible o esencial
d ) Explique si f es continua o no en el intervalo dado.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
(−∞, −3)
(−∞, −3]
(−3, −2)
[−3, −2)
[−3, −2]
(−2, 0)
[−2, 0]
viii)
ix)
x)
xi)
xii)
xiii)
xiv)
(−2, 1)
[1, 2]
(2, 4]
[2, 4]
[5, 6]
[4, +∞)
(4, +∞)
e) Determine si se puede aplicar o no el teorema del valor intermedio a la
funci´
on f en el intervalo indicado. Justifique cada respuesta.
i) [−3, −2]
ii) [−2, 0]
128
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
iii) [0, 1]
iv) [1, 2]
v) [2, 3]
16. Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que el polinomio
P (x) = x3 − x2 + x − 2
tiene un cero real en el intervalo abierto (1, 2).
17. Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que la funci´on
f (x) =
x2 + 3x − 4
x+1
tiene un cero real en el intervalo abierto (0, 2).
18. Sea f (x) =
x3 − x − 4
.
x−2
a) Vefifique que f satisface la hip´otesis del teor´ema del valor intermedio
sobre el intervalo cerrado [0, 1].
b) Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que existe un
c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 3.
19. Sea f (x) =
2 + sen(x)
1 + cos(x)
a) Verifique que f satisface la hip´otesis del teorema del valor intermedio
sobre el intervalo cerrado [0, π/2].
b) Utilice elteorema del valor intermedio para comprobar que existe un valor
c ∈ 0, π2 tal que f (c) = 2.
20. Sea f (x) = 2x + cos(x) − 2
a) Verifique que f satisface la hip´
otesis del teorema del valor intermedio
sobre el intervalo cerrado 0, π2 .
b) Utilice elteorema del valor intermedio para comprobar que existe un valor
c ∈ 0, π2 tal que f (c) = 0. (no hay que hallar el valor de c).
21. Sea f (x) = 4 ln(x) − x − 1
129
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) Verifique que f satisface la hip´otesis del teorema del valor intermedio
sobre el intervalo cerrado [1, e].
b) Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que existe un valor
c ∈ (1, e) tal que f (c) = 0. (no hay que hallar el valor de c).
22. En cada uno de los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio,
para comprobar que la funci´
on dada tiene un cero real en el intervalo dado.
i) f (x) = 3 ln(x) − x, en el intervalo (1, e).
x2 + 1
x
arctan x − , en el intervalo (−1, 1).
2
2
iii) f (x) = x + sen x − 1, en el intervalo 0, π2 .
√
iv) f (x) = arc sen(2x − 1) + 4x − 1, en el intervalo 14 , 12 .
ii) f (x) =
v f (x) =
x3 + x − 4
en el intervalo (1, 2)
x+1
130
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
8 Derivadas
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Taller
Taller
Taller
Taller
Taller
A
B. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Intermedio
C
D.
E Funciones Hiperb´olicas y sus funciones inversas
8.1. Taller A
1. Obtenga una ecuaci´
on de la recta tangente a la gr´afica de:
2
f (x) = 4 − x que sea paralela a la recta 2x + y − 5 = 0. Ilustre gr´aficamente.
2. Obtenga √
una ecuaci´
on de la recta tangente a la gr´afica de:
f (x) = x − 1 que sea perpendicular a la recta 2x + y + 1 = 0. Ilustre
gr´
aficamente.
3. Halle los valores de a pertenecientes al intervalo abierto π2 , 3π
tales que la
2
recta tangente a la gr´
afica de f (x) = sen x en el punto (a, f (a)) sea paralela a
la recta x + 2y + 2 = 0. Ilustre gr´aficamente.
4. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuaci´on de la recta tangente
y de la recta normal a la gr´afica de la funci´on dada, en el punto indicado:
a) f (x) = x2 + 3 en el punto (1, 4). Ilustre gr´aficamente.
√
b) f (x) = x − 2 + 1 en el punto (3, 2). Ilustre gr´aficamente.
5. Halle el punto sobre la gr´afica de f (x) = x2 − 2x + 3 donde la recta normal
sea paralela a la recta x + 4y = 4. Ilustre gr´aficamente.
6. Sea
(√
f (x) =
x + 2, si 0 ≤ x ≤ 1,
ax + b, si 1 < x.
a) ¿Qu´e condiciones debe cumplir f para que sea continua en x = 1?.
131
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
b) Suponiendo que f es continua en x = 1, utilice la definici´on de derivadas
laterales para calcular f−0 (1) y f+0 (1).
c) Determine los valores de a y b tales que la funci´on dada sea continua y
derivable en x = 1, y despu´es trace la gr´afica de la funci´on f .
7. Sea

 √ 2 , si −3 < x ≤ 1,
x+3
f (x) =

ax + b,
si 1 < x.
Siguiendo un procedimiento an´alogo al del ejercicio 6, determine los valores de
las constantes a y b tales que la funci´on f dada sea continua y derivable en el
punto x = 1.
8. Sea

 √ 1
+ 3 , si 1 < x ≤ 2
f (x) =
x−1
 x2 + ax + b , si 2 < x
a) ¿Qu´e condiciones debe cumplir f para que sea continua en x = 2?
b) Suponiendo que f es continua en x = 2, utilice la definici´on de derivadas
laterales para calcular f−0 (2) y f+0 (2)
c) Determine los valores de a y b tales que la funci´on dada sea continua y
derivables en x = 2.
9. Sea
√
a x + b , si 0 < x < 1
f (x) =
x2 + 3x − 2 , si 1 ≤ x
a) ¿Qu´e condiciones debe cumplir f para que sea continua en x = 1?
b) Suponiendo que f es continua en x = 1, utilice la definici´on de derivadas
laterales para calcular f−0 (1) y f+0 (1).
c) Determine los valores de ay b tales que la funci´on dada sea continua y
derivables en x = 1.
10. Sea
√

 1 − x + 2, si x ≤ 0,
f (x) = x2 − 2x + 3, si 0 < x < 3,

√
x − 3 + 1, si 3 ≤ x.
132
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) Verifique que f es continua en x = 0.
b) Utilizando la definici´on calcule f−0 (0) y f+0 (0) y determine si f 0 (0) existe
o no existe.
c) Calcule l´ım f (x) y l´ım f (x), y determine si f es continua o no en x = 3.
x→3−
x→3+
d ) Detemine por qu´e f no es derivable en x = 3.
e) Calcule f 0 (x) en donde exista.
f ) Trace la gr´
afica de f .
11. Sea
(
x2 + 1,
f (x) =
x2 + 2,
si x ≤ 1
si 1 < x
a) Calcule si existe f 0 (1).
b) Trace la gr´
afica de f .
c) Calcule f 0 (x) en donde exista.
12. Haciendo todo el procedimiento, verifique que::
7
√
1
x /2 − 1
a) Dx 2 x + 3 =
3x
x4
√
5 (x − 2) (x + 2)
√
b) Dx x x2 − 20 =
2 x
2
1
4 (1 − x)
c) Dx 10 −
3+
=
x
x
x3
h 1
i 4 (x − 1)
d ) Dx x /3 (x − 4) =
2
3x /3
hp
i
4−x
3
e) Dx
6x2 − x3 =
2
1/3
x (6 − x) /3
3
(x − 1) (x + 1) x2 + 1
−1
f ) Dx x + 3x
=
x2
2
x − 2x − 3
8
g) Dx
=
2
(x − 1)
(x − 1)3
4 (x − 1)
4 (x + 2)
h) Dx
=
2/3
5
3x
9x /3
133
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
"
i ) Dx
j)
k)
l)
m)
n)
n
˜)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
4−x
1
2
x) /3
#
=
−8
5
4
x /3 (6 − x) /3
h 2
i
2−x
/3
5
Dx x (5 − x) = /3
1
x /3
−10 1 + x
5 2−x
=
Dx
1
4
3
9
x /3
x /3
3x − 6
3 (2x + 1)
Dx √
=
3
x2 + 1
(x2 + 1) /2
1
x−4
Dx √
=
3
4
5
6x2 − x3
x /3 (6 − x) /3
"
2 #
cos(x)
2 cos(x)
Dx
=
1 − sen(x)
(1 − sen(x))2
h i
p
1
2
Dx ln x + x + 1 = √
2
x +1
1+x
1
1
Dx ln
=
2
1−x
1 − x2
x
1
√
Dx arc sen
=
2
1
+
x2
1+x
1+x
1
Dx arctan
=
1−x
1 + x2
h
x
i
p
p
Dx 4 arc sen
+ x 4 − x2 = 2 4 − x2
2
"
2 #
−2 arctan x1
1
=
Dx arctan
x
1 + x2
h
x p
i
x
Dx x arc sen
+ 4 − x2 = arc sen
2
2
x /3 (6 −
13. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule y simplifique la derivada de la
funci´
on dada.
i) f (x) =
ln(x)
x2
1
ii) f (x) = arctan
+ ln 1 + x2
x
134
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
iii) f (x) =
sen(x)
1 + cos(x)
2
iv) f (x) = xesen(2x)
1
v) f (x) =
2
1 + ecos(3x)
q
vi) f (x) = 1 + (ln x)2
vii) f (x) = x3 (ln x)2
p
viii) f (x) = 1 + sen2 (3x)
q
2 + (ln x)2
ix) f (x) =
x
x) f (x) = x (arctan (ln x))2
r
2x − 1
xi) f (x) = 3
x+2
x
xii) f (x) =
(ln x)2
p
xiii) f (x) = 1 + esen(2x)
1
xiv) f (x) =
(sec(x) + tan(x))2
1
xv) f (x) =
(csc(x) + cot(x))3
√
xvi) f (x) = sec 2x − 1
√
xvii) f (x) = tan 3 5 − 6x
3
2
3 1
xviii) f (x) = 4x − x cot
x
1
xix) f (x) = x csc
x
1
xx) f (x) = arc cos
x
p
xxi) f (x) = arc sen (1 − x) + 2x − x2
1 + x2 arctan(x) − x
xxii) f (x) =
2
135
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
1
ex
√
√
xxiv) f (x) = e x + ex
1
xxiii) f (x) = e /x +
xxv) f (x) = ln (arc sen(x))
xxvi) f (x) = x2 log2 e3x − 5x
xxvii) f (x) = 5sen(2x)
xxviii) f (x) = log1 x2 − 2x − 3
/2
xxix) f (x) =
p
x arc sen(x)
√
+ ln
1 − x2
1 − x2
2
xxx) f (x) = esen (3x)
ln(x)
1
xxxi) f (x) =
3
xxxii) f (x) = x2 csc(5x)
√
xxxiii) f (x) = 3
xxxiv) f (x) =
2x−1
−4
+ x + 1)3
2
3 1
xxxv) f (x) = x tan
x
1
xxxvi) f (x) = x sec
x
2 cos(x)
xxxvii) f (x) = p
2 + sen(x)
ln (1 + sen(x))
xxxviii) f (x) =
cos(x)
(2x2
xxxix) f (x) = tan2 (x) sec3 (x)
1
2x − 1 /3
xl) f (x) =
x+2
2 (3x)
xli) f (x) = 5cos
xlii) f (x) = arctan
1−x
2
xliii) f (x) = x sec3 (2x − 1)
2 (5x)
xliv) f (x) = ecos
136
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
xlv) f (x) = arctan
x
2
xlvi) f (x) = tan (2x − 1)
3
x
xlvii) f (x) = xe /2
2x + 1 4
xlviii) f (x) =
3x − 1
1
xlix) f (x) = 3
x −x
4x
+1
l) f (x) =
1 + x2
4x − 3
li) f (x) =
x+1
√
lii) f (x) = e 1+sen(2x)
liii) f (x) = e2x sen(x)
liv) f (x) = ln 1 + esen(x)
lv) f (x) = log10 x2 − 2x − 3
x
lvi) f (x) = 3arc sen( /2)
lvii) f (x) = sec3 (2x − 1)
lviii)f (x) = e−x arctan x2
lvix) f (x) = sen2 cos3 4x5
lx) f (x) = x arc sen2 (3x)
x
3/
lxi) f (x) = 4 − x2 2 + 9 arc sen
2
2
1 −3x2
lxii) f (x) = 2 arc sen (3x) + e
+ 3sen(x )
2
14. Calcule y simplifique cada una de las siguientes derivadas:
h sen x i
a) Dx
1 + cos x
h cos x i
b) Dx
1 − sen x
h
1 i
c) Dx arctan
x i
h
4/3
d ) Dx x − 4x1/3
137
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
e) Dx
h 2x + 1 4 i
3x − 1
x − 1 i
f ) Dx arc sen
2
h arc sen(x/2) i
g) Dx √
4 − x2
h arctan(x/2) i
h) Dx
4 + x2
h
15. Calcule cada una de las siguientes derivadas:
h x i
i
h√
2
a) Dx
h)
D
1
+
x
x
1 + x2
h
i
hp
i
b) Dx x2/3 (5 − x)
i ) Dx
1 + sen(4x)
h
i
h
i
1
c) Dx x1/3 (4 − x)
j
)
D
x
i
h√
(1 + cos(2x))3
d ) Dx 3 6x2 − x3
h
i
h
i
k ) Dx x(ln x)2
e) Dx ecos(3x)
h (ln x)2 i
h
i
2
l ) Dx
f ) Dx esen (5x)
x
i
h
i
h
g) Dx arctan(ln x)
m) Dx x(arctan x)2
16. Halle la ecuaci´
on de la recta tangente a la gr´afica de:
f (x) = ln x que sea perpendicular a la recta y+2x+4 = 0. Ilustre gr´aficamente.
17. Halle todos los puntos (a, f (a)) de la gr´afica de:
f (x) = x + 2 sen x donde la recta tangente sea paralela al eje x.
18. Halle los valores de a pertenecientes al intervalo abierto (π, 2π) tales que la
recta tangente a la gr´
afica de f (x) = cos x en el punto (a, f (a)) sea paralela a
la recta en x − 2y + 2 = 0.
19. Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle todos los puntos (a, f (a)) de la
gr´afica de la funci´
on f dada, donde la recta tangente a esa gr´afica en el punto
(a, f (a)) sea paralela a la recta dada:
a) f (x) = x2 ;
b) f (x) =
x2
y = 2x − 4
− 2x + 4;
y − 2x = 1
138
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
c) f (x) = arc sen x;
2x −
√
3y − 4 = 0
d ) f (x) = arctan x; x − 2y + 4 = 0
1
e) f (x) = arctan
; x + 2y = 4
x
1 + x
f ) f (x) = arctan
; y−x=1
1−x
g) f (x) = 2x ln x; 2x − y − 2 = 0
h) f (x) = x[(ln x)2 − 2 ln x + 2];
y−x+2=0
1
tal que la recta tangente a esa curva en
x
dicho punto corta al eje x en el punto (6, 0).
20. Encuentre el punto de la curva y =
21. Una mosca camina de izquierda a la derecha a lo largo de un camino
representado por la parte superior de la curva y = 9 − x2 . Una ara˜
na espera
2
en el punto (5, 0). Encuentre el punto sobre la gr´afica de y = 9 − x , donde la
ara˜
na y la mosca se ven por primera vez. Ilustre graficamente.
ln x
22. Halle la ecuaci´
on de la recta tangente a la gr´afica de f (x) =
en el punto
x
2
2
e , e2 .
23.
Considere la gr´afica de la funci´on
1
f (x) =
con x > 0, tal como se
x
ilustra.
a) Halle la ecuaci´on de la recta
tangente a la gr´afica de f en
el punto (a, a1 ).
b) Halle la distancia del punto A
al punto B en funci´on de a.
24. Halle todos los valores de a pertenecientes al intervalo abierto (0, π) tales que
la recta tangente a la gr´
afica de f (x) = cos x en el punto (a, f (a)) sea paralela
a la recta x − 2y + 2 = 0. Ilustre gr´aficamente.
139
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
ln x
25. Halle el punto (a, f (a)) de la gr´afica de la funci´on f (x) =
donde la recta
x
tangente a esa gr´
afica en dicho punto pase por el origen.
26. Halle el punto (a, f (a)) de la gr´afica de la funci´on f (x) = ln(x), donde la recta
tangente a esa gr´
afica en el punto (a, f (a)) pase por el punto (0, 1).
27. Halle todos los puntos (a, f (a)) de la gr´afica de la funci´on f (x) = x2 − 4x + 7,
donde la recta tangente a esa gr´afica en el punto (a, f (a)) pase por el punto
(0, 1). Ilustre gr´
aficamente.
28. Halle el punto (a, f (a)) de la gr´afica de la funci´on f (x) = x2 − 2x + 4, donde
la recta tangente a esa gr´
afica en dicho punto sea perpendicular a la recta
x + 4y − 2 = 0. Ilustre gr´
aficamente.
29. Calcule
dy
para:
dx
1
(x2 + 2x)3
p
b) y = x + sen2 (2x)
a) y =
30. Para cada una de las siguientes funciones
A) Para cada una de las siguientes funciones, calcule f 0 , f 00 , y f 000 cuando:
1
1−x
f (x) = cos2 (6x)
1+x
f (x) =
1−x
2
f (x) = e−x
1
f (x) = 2
x +1
f (x) = xex
x
f (x) =
1 + x2
ln x
x
x 1
f (x) = +
4 x
f (x) = arc sen(x)
√
f (x) = x
1
f (x) = arctan
x
f (x) = 5x2/3 − x5/3
f (x) = sen(3x)
a) f (x) =
h) f (x) =
b)
i)
c)
d)
e)
f)
g)
j)
k)
l)
m)
n)
B) Para cada una de las siguientes funciones, calcule y 0 , y 00 , y y 000 cuando:
140
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
√
h) y = ln (x + x2 + 1)
i ) y = ln x
1
j ) y = (ln 1 + x1 − x)
2
k ) y = ex sen(x)
x
l ) y = arc sen √
1 + x2
x
2
m) y = e (sen (x))
1 2
)
n) y = (arctan
x
1+x
a) y = √
x
b) y = e2 x cos(x)
sen(x)
c) y =
1 + cos(x)
d ) y = (ln x)2
cos(x)
e) y =
1 − sen(x)
f ) y = x(ln x)2
g) y = tan(x)
31. Halle la ecuaci´
on de la recta tangente y de la recta normal a la curva:
√
1 + cos x en el punto ( π2 , 1).
x+2
b) y = √
en el punto (0,1).
3 + cos2 x
a) y =
32. Suponiendo que la ecuaci´on dada define impl´ıcitamente a y como una funci´on
de x, calcule y 0 :
a) xey + ln y − x2 = 1
d ) ln(x2 y) + 3y 2 = 2x2 − x − 1
b) 3x2 y − 3y = x3 − 1
y
y
c) arc cos
= arctan
x
x
e) ln(xy 2 ) − x + y = 2
f ) ln(xy + 3) + 3x2 + y = 1
33. Suponiendo que la ecuaci´on ln(x2 y) − 3x2 + 4y = 1 define a y impl´ıcitamente
como funci´
on de x, calcule y 0 , y encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a
la curva dada en el punto (−1, 1).
34. Utilizando diferenciaci´
on impl´ıcita en cada uno de los siguientes ejercicios,
halle la ecuaci´
on de la recta tangente a la gr´afica de la curva dada en el punto
indicado:
a) ln(xy 2 ) + x2 = y + 2,
en el punto (1, −1).
b) exy + x2 = 4 − 3y 2 ,
en el punto (0, 1).
c) 2xy 2 − 3y = x3 + 1,
en el punto (1, 2).
d)
xey
+ ln y −
x2
= 0,
e) sen(xy) = x cos y,
en el punto (0, 1).
en el punto (1, π4 ).
141
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
f ) cos(xy 2 ) = 1 + sen y,
en el punto (1, 0).
π
g) arctan y = xy 2 − x2 + , en el punto (1, 1).
4
xy
2
2
h) e + x − y = 0, en el punto (0, 1).
i ) ln(xy 2 − 3) + 3x2 + 2y = −1,
en el punto (1, −2).
j ) xey + ln(1 + y) − 2y = x3 − 6,
en el punto (2, 0).
k)
x2 e y
+ ln(y) +
y2
= x + 1,
en el punto (0, 1).
35. Suponiendo que la ecuaci´
on dada define a y impl´ıcitamente como funci´on de
0
x, calcule y , y encuentre la ecuaci´on de la recta tangente y la ecuaci´on de la
recta normal a la curva dada en el punto indicado:
a) y + sen(xy 2 ) = y cos x + 2, en el punto (π, 1).
1
en el punto (0, π3 ).
b) cos(x + y) = x + ,
2
c) x cos(xy) + x2 y = sen y + y − x, en el punto (1, π).
d ) ln(xy 2 ) − x2 = y,
en el punto (1, −1).
e) exy + x2 = 4 − 3y 2 ,
en el punto (0, 1).
f ) xy 2 − 3y = 2x3 − 4,
en el punto (1, 2).
g) y +
sen(xy 2 )
= y cos x + 2,
en el punto (π, 1).
π
h) arc sen y + 3 + 2xy = 2x + , en el punto (1, 12 ).
6
y π
2
= 2x2 + x, en el punto (1, 2).
i ) ye(x +x−2) + x arctan
2
4
2
2
j ) 3y + sen(xy) = y cos x + x + 2, en el punto (0, 1).
√
36. Verifique que las hip´erbolas xy = 2, y, x2 − y 2 = 3 se intersectan en ´angulo
recto.
Sugerencia: Suponga que el punto (a, b) es un punto de intersecci´on
de las dos hip´erbolas; y utilice derivaci´on implicita para comprobar que las
rectas tangentes a las dos curvas en el punto (a, b) son perpendiculares
37. Dos rectas que pasan por el punto (−2, 8/5), son tangentes a la curva
x2 + 5y 2 − 10x − 30y = −49. Encuentre una ecuaci´on de cada una de esas
rectas tangentes.
142
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
38. La curva x2 − xy + y 2 = 16 es una elipse con centro en el origen y eje mayor
en la recta y = x. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los dos
puntos donde la elipse intersecta al eje x.
¿Que tan alto debe estar el
foco en la figura dada si el
punto (0, 2) est´a justo en el
borde de la regi´on iluminada?
39.
40. Suponga que la ecuaci´
on x2 + xy + y 2 = 1 define impl´ıcitamente a y como una
funci´
on de x, dos veces derivable. Calcule y 0 y y 00 .
41. Suponga que la ecuaci´
on x2 y − y 2 = 6x − 9 define impl´ıcitamente a y como
una funci´
on de x, dos veces derivable. Calcule y 0 y y 00 en el punto (2, 1).
42. Suponga que la ecuaci´
on 2x2 y − 4y 3 = 4 define impl´ıcitamente a y como una
funci´
on de x, dos veces derivable. Encuentre y 00 en (2, 1).
43. Utilizando derivaci´
on logar´ıtmica, calcule:
h
i
2
a) Dx (cos x)1/x
h
i
b) Dx (1 + x2 )x
h
i
c) Dx xsen x
h
i
d ) Dx (1 + x2 )1/x
h
i
3
e) Dx (sen x)1/x
44. Sea f una funci´
on cuya gr´afica, su f´ormula de correspondencia y su derivada
se dan a continuaci´
on
143
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I


(x + 6)3 + 1,





x + 7,



2


x + 1,
f (x) = −2x + 5,

√

3

6x2 − x3 ,





(x − 8)2 + 1,




2x − 16,
si
si
si
si
si
si
si

3(x + 6)2 ,





1,





2x,



f 0 (x) = −2,

4−x


,

1/3

x (6 − x)2/3





2(x − 8),



2,
x < −4
−4 ≤ x < −2
−2 ≤ x < 1
1≤x<3
3≤x<7
7≤x≤9
9<x
si
si
si
si
x < −4
−4 < x < −2
−2 < x < 1
1<x<3
si 3 < x < 7 x 6= 6
si 7 < x ≤ 9
si 9 < x
144
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) Determine en qu´e puntos c del dominio de f , la funci´on dada tiene
extremos relativos e indique que sucede con la derivada de f en cada
uno de esos puntos c
b) Determine todos los puntos cr´ıticos de la funci´on dada
45. Para cada de las siguientes funciones:
a) Halle el dominio de la funci´on dada.
b) Encuentre todos los puntos cr´ıticos de la funcion dada:
i) f (x) = x3 − 3x + 2
x
ii) f (x) =
1√+ x2
iii) f (x) = 3 6x2 − x3
iv) f (x) = x5/3 − 5x2/3
v) f (x) = ln(x2 − x − 2)
1+x
vi) f (x) = arctan
1−x
3
2
vii) f (x) = e(x −3x +2)
viii) f (x) = x(ln x)2
145
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
8.2 Taller B. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Intermedio
1. Sea f (x) = x4/3 − 3x1/3 . Verifique que las tres condiciones de la hip´otesis del
teorema de Rolle son satisfechas por la funci´on dada en el intervalo cerrado
[0, 3], y halle un valor c ∈ (0, 3) que satisfaga la conclusi´on del Teorema de
Rolle.
2
2. Sea f (x) = e(x +x−2) . Verifique que las tres condiciones de la hip´otesis del
Teorema de Rolle son satisfechas por la funci´on dada en el intervalo cerrado
[−2, 1], y halle un valor c ∈ (−2, 1) que satisfaga la conclusi´on del Teorema de
Rolle.
3. Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan empatados.
Pruebe que en alg´
un instante durante la carrera corr´ıan a la misma velocidad.
Sugerencia: considere f (t) = g(t) − h(t) en donde g y h son las funciones
posici´
on de los dos corredores.
2
4. Sea f (x) = 1 − x 3 .
a) Verifique que f (−1) = f (1), pero que f 0 (c) 6= 0 para todo c en el intervalo
abierto (−1,1) en donde f es derivable.
b) Explique por qu´e raz´
on no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la
funci´
on f dada, sobre el intervalo cerrado [−1, 1].
5. Sea f (x) = |2x − 1|. Verifique que f (0) = f (1), pero que f 0 (c) 6= 0 para todo
n´
umero c en el intervalo abierto (0, 1) en donde f es derivable. ¿Por qu´e esto
no contradice el teorema de Rolle?
6. Para cada uno de los siguientes ejercicios, verifique que las tres condiciones
de la hip´
otesis del Teorema de Rolle son satisfechas por la funci´on f en el
intervalo cerrado [a, b] indicado y encuentre todos los n´
umeros c en (a, b) que
satisfaga la conclusi´
on del Teorema de Rolle, es decir, f 0 (c) = 0.
a) f (x) = x3 − 3x2 + 5,
b) f (x) =
4x3
+
x2
en el intervalo cerrado [−1, 2].
− 4x − 1,
en el intervalo cerrado [−1, 1].
c) f (x) = x3 − 9x + 1, en el intervalo cerrado [−3, 3].
√
d ) f (x) = 3 x2 − 5x + 6, en el intervalo cerrado [2, 3].
e) f (x) = sen2 x, en el intervalo cerrado [0, π].
p
f ) f (x) = 1 + sen(2x), en el intervalo cerrado [0, π2 ].
146
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
7. Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para probar que
la ecuaci´
on:
x2 = x sen x + cos x tiene exactamente dos soluciones reales.
Sugerencia: Haga f (x) = x2 − x sen x − cos x, y utilice primero el Teorema del
valor Intermedio sobre los intervalos cerrados [−π, 0] y [0, π].
8. Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para demostrar
que la ecuaci´
on:
x5 +x3 +2x−3 = 0 tiene exactamente una ra´ız que se encuentra en el intervalo
abierto (0, 1).
√
9. Sea f (x) = x − 2x − 1. Verifique que las dos condiciones de la hip´otesis
del Teorema del valor intermedio son satisfechas por la funci´on f dada en
el intervalo cerrado [1, 5], y halle un valor
c ∈ (1, 5) que satisfaga la
conclusi´
on del Teorema del valor intermedio.
10. Para cada uno de los siguientes ejercicios:
I Determine si las dos condiciones de la hip´otesis del Teorema del valor
intermedio son satisfechas o no por la funci´on f dada sobre el intervalo
cerrado [a, b] indicado.
II Si las dos condiciones de la hip´otesis del Teorema del valor intermedio son
satisfechas por la funci´on f sobre el intervalo cerrado [a, b], halle todos
los n´
umeros c en (a, b) que satisfagan la conclusi´on del Teorema del Valor
Medio, es decir, halle todos los n´
umeros c en (a, b) para los cuales
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a).
√
a) f (x) = 4 + 2x − 1, en el intervalo cerrado [1, 5].
b) f (x) = x3 − 2x2 + x + 3,
c) f (x) = |x − 3|,
2
3
d ) f (x) = 1 − x ,
en el intervalo cerrado [−1, 1].
en el intervalo cerrado [0, 4].
en el intervalo cerrado [−1, 1].
1
3
en el intervalo cerrado [−1, 8].
1
3
en el intervalo cerrado [0, 1].
e) f (x) = 1 − 3x ,
f ) f (x) = x − 3x ,
g) f (x) = θx2 + βx + Υ, en el intervalo cerrado [a, b], en donde θ, β y Υ
son constantes con θ 6= 0.
h) f (x) = x + 2 cos x,
i ) f (x) = arc sen x,
en el intervalo cerrado [0, 2π].
en el intervalo cerrado [0, 1].
147
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
j ) f (x) = arctan x,
k ) f (x) = ln x,
en el intervalo cerrado [0, 1].
en el intervalo cerrado [1, e].
l ) f (x) = x(ln x)2 ,
(
x2 ,
m) f (x) =
x2 + 8,
en el intervalo cerrado [ 1e , e].
si x ≤ 1,
,
si 1 < x.
en el intervalo cerrado [0, 2].
(
x2 ,
si x ≤ 1,
n) f (x) =
,
2 ln x + 1, si 1 < x.
en el intervalo cerrado [0, e].
(
x2 ,
si x ≤ 1,
n
˜) f (x) =
,
5 ln x + 1, si 1 < x.
en el intervalo cerrado [0, e].
11. Emplee el Teorema del valor intermedio para demostrar que:
ex − 1 ≤ xex para todo n´
umero real x.
Sugerencia: Sea f (t) = tet − et + 1, y aplique el Teorema del valor intermedio a
la funci´
on f sobre cada intervalo cerrado de la forma [0, x] para x > 0, y [x, 0]
para x < 0.
8.3 Taller C
1. Dadas las funciones f , g, h, F y G, cuyas gr´aficas se ilustran, responder la
siguiente pregunta: ¿Qu´e hip´
otesis del criterio de la primera derivada cumple
la funci´
on dada sobre el intervalo [a, b]?. Adem´as establezca cu´ales de ellas
alcanza un valor m´
aximo relativo ´o un valor m´ınimo relativo en c, explicando
en cada caso si se puede aplicar o no el criterio de la primera derivada para
extremos relativos.
148
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
2. Sea f (x) =
x2 − 2x + 2 , si x < 1
x2 − 2x + 3 , si 1 ≤ x
a) Trace la gr´
afica de f .
b) Verifique que c = 1 es un punto cr´ıtico de f .
c) Verifique si se puede aplicar o no el criterio de la primera derivada a la
funci´
on f , para determinar si f tiene un extremo relativo en el punto
cr´ıtico c = 1. Justifique claramente la respuesta.
3. Para cada una de las siguientes funciones:
a) Halle el dominio de la funci´on dada
b) Encuentre todos los puntos cr´ıticos de la funci´on dada
c) Utilice, si se puede, el criterio de la primera derivada para determinar
en cuales de esos puntos cr´ıticos la funci´on alcanza una valor m´aximo
relativo o un valor m´ınimo relativo
149
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
d ) Utilice, si se puede, el criterio de la segunda derivada para determinar en
cuales de esos puntos cr´ıticos la funci´on alcanza un valor m´aximo relativo
o un valor m´ınimo realtivo
i) f (x) = 3x5 − 20x3
ii) f (x) = 6x2 − x3
√
x 36 − x2
iii) f (x) =
2
h3
iv) f (x) = h2 −
3
x2
v) f (x) =
x−1
√
x
vi) f (x) = x2 − 2x + 4 +
2
3
vii) f (x) = 12x − x
x4
− x3
4
ix) f (x) = x4/3 − 4x1/3
1 x
x) f (x) = +
x 2
xi) f (x) = x3 − 3x2 + 4
3
xii) f (x) = x3 +
x
xiii) f (x) = x2 + 16x−1
√
xiv) f (x) = x2 4 − x2
x
xv) f (x) = − sen x
2
xvi) f (x) = xex/2
ln x
xvii) f (x) =
x
xviii) f (x) = x(ln x)2
vii) f (x) =
xix) f (x) = x1/3 (6 − x)2/3
1 + 2 ln x
xx) f (x) =
x
√
xxi) f (x) = x − 2x − 1
150
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
x3 + 250
x
3
x
xxiii) f (x) =
x−2
4x2 + 39x + 81
xxiv) f (x) =
x
xxii) f (x) =
4. Sea f una funci´
on cuya gr´afica se ilustra
a) De acuerdo con la gr´afica dada, establezca cu´ales son los puntos cr´ıticos
de f y determine en cu´ales de esos puntos cr´ıticos la funci´on f alcanza
un valor m´
aximo relativo ´o un valor m´ınimo relativo.
b) Determine los intervalos en los que f es creciente y en los que f es
decreciente; determine los intervalos en donde la gr´afica de f es c´oncava
hacia arriba y donde es c´oncava hacia abajo. Indique adem´as los puntos
de inflexi´
on de la gr´afica de f .
c) ¿A qu´e es igual f 0 (x) y f 00 (x) sobre cada uno de los intervalos abiertos
(−4, −2) y (1, 3)?.
5. Dibuje la gr´
afica de una funci´on f continua sobre el intervalo abierto (0, 6) y
que cumpla todas las condiciones que se dan a continuaci´on:
151
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) f (0) = 2, l´ım f (x) = 4, f (2) = 6, f (3) = 5, f (4) = 4, f (5) = 3, f (6) = 1
x→0+
y l´ım f (x) = 2
x→6−
b) f 0 (x) > 0 en (0, 2), f 0 (x) < 0 en (2, 4) ∪ (4, 5).
c) f 0 (2) = f 0 (4) = 0, f 0 (5) no existe y f 0 (x) = −1 en (5, 6).
d ) f 00 (x) < 0 en (0, 3) ∪ (4, 5) y f 00 (x) > 0 en (3, 4).
6. Dibuje la gr´
afica de una funci´
on f que cumpla con todas las condiciones que
se dan a continuaci´
on:
a) f es continua sobre los intervalos abiertos (−∞, 1) y (1, +∞).
b)
l´ım f (x) = 0, f (−2) = 2, f (−1) = 4, f (0) = 3, l´ım f (x) = −∞,
x→−∞
x→1−
l´ım f (x) = 2, f (2) = 1, f (4) = −6, f (5) = −4, l´ım f (x) = −1.
c)
x→+∞
x→1+
f 0 (x)
f 0 (x)
> 0 en (−∞, −1)∪(4, +∞),
= −1 en el intervalo abierto (1, 2),
f 0 (x) < 0 en (−1, 1) ∪ (2, 4), f 0 (−1) = 0, f 0 (2) no existe y f 0 (4) = 0.
d ) f 00 (x) > 0 en (−∞, −2) ∪ (2, 5) y f 00 (x) < 0 en
(−2, 1) ∪ (5, +∞).
7. Dibuje la gr´
afica de una funci´
on f que cumpla con todas las condiciones que
se dan a continuaci´
on:
a) La funci´
on f es continua sobre los intervalos abiertos (−∞, 1) y (1, +∞).
b)
l´ım f (x) = 0, f (−3) = −3, f (−2) = −4, f (0) = 0, l´ım f (x) = +∞,
x→−∞
x→1−
l´ım f (x) = 5, f (2) = 4, f (4) = 1,
c)
x→1+
f 0 (x)
f (5) = 2, l´ım f (x) = 3.
x→+∞
f 0 (x)
< 0 en (−∞, −2) ∪ (2, 4),
= −1 en el intervalo abierto (1, 2),
> 0 en
(−2, 1) ∪ (4, +∞), f 0 (−2) = 0, f 0 (2) no existe y f 0 (4) = 0.
f 0 (x)
d ) f 00 (x) < 0 en (−∞, −3) ∪ (5, +∞), f 00 (x) > 0 en
(−3, 1) ∪ (2, 5).
8. Dibuje la gr´
afica de una funci´
on f que cumpla con todas las condiciones que
se dan a continuaci´
on:
a) f es continua sobre los intervalos abiertos (−∞, 1) y (1, +∞).
152
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
b)
l´ım f (x) = 1, f (−2) = 4, f (−1) = 5, f (0) = 3, l´ım f (x) = −∞,
x→−∞
x→1−
l´ım f (x) = 1, f (2) = 3, f (4) = −1, f (6) = 1, l´ım f (x) = 2.
c)
x→+∞
x→1+
f 0 (x)
f 0 (x)
> 0 en (−∞, −1) ∪ (4, +∞),
= 2 en el intervalo abierto (1, 2),
< 0 en
(−1, 1) ∪ (2, 4), f 0 (−1) = 0, f 0 (2) no existe y f 0 (4) = 0.
f 0 (x)
d ) f 00 (x) > 0 en (−∞, −2) ∪ (2, 6) y f 00 (x) < 0 en
(−2, 1) ∪ (6, +∞).
9. Dibuje la gr´
afica de una funci´on f continua sobre los reales y que cumpla con
todas las condiciones que se dan a continuaci´on:
a) f (x) > 0 para todo x ∈ R, f (0) = 2 y l´ım f (x) = l´ım f (x) = 2.
x→−∞
x→+∞
√
√
(1 − x)(1 + x) 00
2x(x − 3)(x + 3)
b) f 0 (x) =
, f (x) =
2
2
(x + 1)
(x2 + 1)3
10. Dibuje la gr´
afica de cada una de las siguientes funciones, determinando primero
lo siguiente: el dominio de la funci´on f , el dominio de continuidad de la funci´on
f , f 0 (x) y f 00 (x), los puntos cr´ıticos de f , los extremos relativos de f , los puntos
de inflexi´
on de la gr´
afica de f , los intervalos en que f es creciente y en los que f
es decreciente, los intervalos en donde la gr´afica de f es c´oncava hacia arriba y
donde es c´
oncava hacia abajo y las as´ıntotas verticales, horizontales y oblicuas
de la gr´
afica de la funci´
on f , si existen.
2
i) f (x) = 6x2 − x3
xi) f (x) = e(−x)
xii) f (x) = ln(x2 − x − 2)
ln x
xiii) f (x) =
x
xiv) f (x) = e−x
ii) f (x) = x3 − 3x2 + 4
iii) f (x) = x3 + 3x−1
x2 + 3
iv) f (x) =
x−1
v) f (x) = x3 − 3x2 + 5
x4
vi) f (x) =
− x3
4
1
vii) f (x) = x 3 (x − 4)
√
viii) f (x) = 3 6x2 − x3
xv) f (x) = x2 ex
xvi) f (x) = x3 − 3x + 4
xvii) f (x) = 5x2/3 − x5/3
ln x
xviii) f (x) = 2
x
xix) f (x) = xe(x/2)
2 + x2
xx) f (x) =
2x
ix) f (x) = 3x5 − 20x3
x) f (x) = x + 2 sen x
153
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
xxi) f (x) = x + 2 cos x
x3 − 5x2 + 2x + 8
x2 − 7x + 12
xxix) f (x) = arc sen(1 − x)
1
xxx) f (x) = arctan
x
3
xxxi) f (x) = ln(x − 3x + 2)
xxviii) f (x) =
xxii) f (x) = x(ln x)2
1 + x
xxiii) f (x) = arctan
1−x
xxiv) f (x) = e1/x
3x − 6
xxv) f (x) = √
x2 + 1
x
xxvi) f (x) = x
e
xxvii) f (x) = ex
xxxii) f (x) = x1/3 (6 − x)2/3
sen x
en el intervalo
xxxiii) f (x) =
2 − cos x
[−π, 3π]
2 −2x
xxxiv f (x) = (x − 1)2/3 (6 − x)
11. Una rueda con centro en el origen y 10 cent´ımetros de radio gira en sentido
contrario al de las manecillas del reloj, de tal manera que en el instante t
segundos, el ´
angulo θ que se ilustra es igual a 8πt. Un punto P en el borde
est´a en (10, 0) cuando t = 0
a) Exprese las coordenadas de P a los t segundos, en funci´on de t
b) ¿A cu´
antos radianes por segundo gira la rueda?
c) ¿A cu´
antas revoluciones por segundo gira la rueda?
d ) ¿Con qu´e rapidez se eleva P (o cae) en el instante t = 1 segundos?
12. Considere el dispositivo rueda-pist´on (ver figura). La rueda tiene un radio de
1 pie y gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de tal manera
que en el instante t segundos, el ´angulo θ que se ilustra es igual a 2t. La varilla
de conexi´
on tiene 5 pies de longitud. El punto P est´a en (1, 0) en el momento
t=0
154
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) Exprese las coordenadas de P a los t segundos, en funci´on de t
b) Encuentre la coordenada y del punto Q en el instante t segundos (la
coordenada x del punto Q siempre ser´a cero)
c) ¿A cu´
antos radianes por segundo gira la rueda?
d ) Encuentre la velocidad de Q en el instante t segundos
e) ¿Con qu´e rapidez se eleva P (o cae) en el momento t = π/6 segundos?
8.4 Taller D
1. Si la funci´
on de posici´
on de la part´ıcula P en una recta coordenada est´a dada
por
s(t) = t3 − 12t2 + 36t − 20
donde t se mide en segundos y s(t) en cent´ımetros. Describa el movimiento
de P durante el intervalo de tiempo [0, 9]. Adem´as, trace las gr´aficas de las
funciones de posici´
on, velocidad, rapidez y aceleraci´on sobre el intervalo [0, 9].
2. Suponga que un corredor en una carrera de 100 metros est´a a s metros de la
l´ınea de meta t segundos despu´es del inicio de la carrera, donde s = 100 −
1 2
(t + 33t). Determine la rapidez del corredor:
4
a) Al inicio de la carrera.
b) Cuando el corredor cruza la l´ınea de meta.
155
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
3. Suponga que una part´ıcula se lanza verticalmente hacia arriba y que su
posicici´
on en pies despu´es de t segundos, con respecto al piso, est´a dada por
s(t) = −16t2 + 320t + 80. Ve´
ase la figura.
a) ¿Para qu´e valores de t estar´a la part´ıcula a m´as de 656 pies sobre el piso?
b) ¿Cu´
al es la altura y la velocidad inicial de la part´ıcula?
c) ¿Cu´
al es la altura m´
axima que alcanza la part´ıcula y en que tiempo?
d ) ¿Cu´
al es el tiempo en el que la part´ıcula llega al suelo y la velocidad con
que llega?
e) ¿Cu´
al es la aceleraci´
on en el tiempo t?
f ) Trace la gr´
afica de la funci´on s.
8.5 Taller E. Funciones Hiperb´
olicas y sus funciones inversas
Funciones Hiperb´
olicas El seno hiperb´olico, coseno hiperb´olico, tangente
hiperb´olica, cotangente hiperb´
olica, secante hiperb´olica y cosecante hiperb´olica se
definen como:
senh(x) =
ex − e−x
,
2
coth(x) =
cosh(x)
,
senh(x)
cosh(x) =
sech(x) =
ex + e−x
,
2
1
,
cosh(x)
156
tanh(x) =
csch(x) =
senh(x)
cosh(x)
1
senh(x)
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
1. Verificar cada una de las siguientes identidades hiperb´olicas:
i) cosh2 (x) − senh2 (x) = 1
ii) tanh2 (x) + sech2 (x) = 1
iii) coth2 (x) − csch2 (x) = 1
iv) senh(−x) = − senh(x)
v) cosh(−x) = cosh(x)
vi) tanh(−x) = − tanh(x)
vii) senh(x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y)
viii) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y)
ix) senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x)
x) cosh(2x) = cosh2 (x) + senh2 (x)
xi) cosh(x) + senh(x) = ex
xii) cosh(x) − senh(x) = e−x
2. Verificar que:
i) Dx [senh(x)] = cosh(x)
iv) Dx [coth(x)] = -csch2 (x)
ii) Dx [cosh(x)] = senh(x)
v) Dx [sech(x)] = −sech(x) tanh(x)
2
vi) Dx [csch(x)] = −csch(x) coth(x)
iii) Dx [tanh(x)] = sech (x)
3. Siguiendo las indicaciones del ejercicio n´
umero 6 del Taller C, trazar la gr´afica
de cada una de las funciones hiperb´olicas senh(x), cosh(x), tanh(x) y coth(x).
4.
a) A partir de la gr´
afica de y = cosh(x) y de y = senh(x), bosquejar la
gr´
afica de y = sech(x) y de y = csch(x).
b) Siguiendo las indicaciones del ejercicio n´
umero 6 del Taller C; trazar la
gr´
afica de sech(x) y de csch(x).
5. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:
√
i) f (x) = senh( x)
iv) f (x) = coth( x1 )
ii) f (x) = cosh(3x − 2)
v) f (x) = sech(ln(x))
iii) f (x) = ln(tanh(x))
vi) f (x) = csch( x1 )
157
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
vii) f (x) = senh2 (x)
viii) f (x) =
ix) f (x) =
1
2
xvii) f (x) = coth(ln(x))
ln(tanh(x))
xviii) f (x) = ex cosh(x)
x2 tanh( x1 )
xix) f (x) = e3x senh(x)
√
xx) f (x) = tanh( x)
x) f (x) = cosh(ln(x))
xi) f (x) = coth3 (4x)
xii) f (x) = ln(senh(3x))
xxi) f (x) = tanh(sen(x))
xiii) f (x) = ln(coth(x))
√
xiv) f (x) = tanh3 ( x)
xxii) f (x) = cosh2 (3x − 1)
xxiii) f (x) = senh(cos(x))
xv) f (x) = senh(x2 )
xxiv) f (x) =
xvi) f (x) = cosh(x3 )
senh(ln(x))
x2
6. Aplicaciones: La catenaria. Si un cable flexible de densidad uniforme cuelga
libremente de dos puntos fijos a la misma altura bajo su propio peso, forma
una curva llamada catenaria (ver la figura). Adem´as, se puede colocar una
catenaria enunsistema coordenado, de modo que su ecuaci´on tome la forma
x
y = a cosh
con a > 0. Algunos cables de puentes colgantes, algunos
a
suspendidos de postes telef´
onicos y algunos otros con corriente el´ectrica para
los tranv´ıas y trolebuses penden en esta forma.
Ejercicio: Confirme anal´ıticamente que el punto m´as bajo de la catenaria
f (x) = a cosh( xa ) con a > 0 est´a en (0,a), y que la funci´on f es decreciente
cuando x < 0 y creciente cuando x > 0, y que la gr´afica es c´oncava hacia
arriba en todo punto.
7. Utilice lo m´
as que pueda las indicaciones del ejercicio n´
umero 6 del Taller C,
158
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
para trazar la gr´
afica de cada una de las siguientes funciones:
i) f (x) = senh(ln(x))
ii) f (x) = ex senh(x)
iii) f (x) = cosh(ln(x))
iv) f (x) = tanh(ln(x2 − 2x − 3))
v) f (x) = senh2 (ln(x))
vi) f (x) = sech[ln(x2 − 2x − 3)]
8.
a) Verifique que cada una de las siguientes funciones es uno a uno sobre el
conjunto indicado, utilizando para ello, la gr´afica de la funci´on dada y
el criterio de la primera derivada para funciones crecientes y funciones
decrecientes.
i. f (x) = senh(x) sobre
ii. f (x) = cosh(x) sobre
iii. f (x) = tanh(x) sobre
iv. f (x) = coth(x) sobre
R
[0, +∞)
R
R − {0}
Comentario: Las inversas de las funciones anteriores se llaman
Funciones Hiperb´
olicas Inversas y se denotan respectivamente por
−1
−1
−1
senh , cos , tanh , coth−1 , sech−1 , csch−1
b) Bosqueje la gr´
afica de las funciones hiperb´olicas inversas haciendo una
reflexi´
on de la gr´
afica de cada una de las funciones dadas en el numeral
a) de ´este ejercicio sobre la recta y = x. Adem´as, indique el Dominio y el
Rango de la respectiva funci´on hiperb´olica inversa.
9. Probar que:
a) senh−1 (x) = ln(x +
−1
√
√
x2 + 1)
x ∈ (−∞, +∞)
x2
(x) = ln(x +
− 1) x ∈ [1, +∞)
1
1+x
−1
c) tanh (x) = ln
x ∈ (−1, 1)
2
1−x
1
x+1
−1
d ) coth (x) = ln
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
2
x−1
b) cosh
159
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
(x) = ln
1
+
x
f ) csch−1 (x) = ln
1
+
x
e) sech
−1
√
√
1 − x2
x
!
1 + x2
x
!
x ∈ (0, 1]
x 6= 0
10. Probar que
1 1 + x tanh−1 (x) , si − 1 < x < 1
ln =
coth−1 (x) , si |x| > 1
2
1−x
11. Probar que
1
, |x| > 1
x
−1
−1 1
b) sech (x) = cosh
, 0<x≤1
x
−1
−1 1
c) csch (x) = senh
, x 6= 0
x
a) coth−1 (x) = tanh−1
12. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones
2x − 1
a) f (x) = cosh −1
x+2
−1 3x + 1
b) f (x) = tanh
2
−1
c) f (x) = tanh
1 − x2
−1 2x − 1
d ) f (x) = coth
x+3
−1 7x − 1
e) f (x) = sech
2
f ) f (x) = csch−1 x2 − x − 2
g) f (x) = senh−1 (3x + 1)
x
h) f (x) = cosh−1
2
−1
i ) f (x) = coth (csc x)
√
j ) f (x) = sech−1 2x − 1
160
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
k ) f (x) =
√
√
x2 − 1 + cosh−1 (2x)
x2 − 1 + cosh−1 (3 − x)
1
+ coth−1 (4x)
m) f (x) =
1 − x2
n) f (x) = ln (sech−1 (x))
l ) f (x) =
n
˜) f (x) = sech−1 (ln x)
o) f (x) = tanh−1 (ln x)
p) f (x) = tanh−1 (2 ln x)
q) f (x) = coth−1 (ln x)
13. Verificar que:
a) Dx [senh−1 (x)] = √
b) Dx [cosh−1 (x)] = √
1
x2
+1
1
x2
+1
1
1 − x2
1
d ) Dx [coth−1 (x)] =
1 − x2
c) Dx [tanh−1 (x)] =
x ∈ (−∞, +∞)
x ∈ (1, +∞)
x ∈ (−1, 1)
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
14. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:
2x − 1
x+1
−1 6x − 1
xiii) f (x) = sech
2
i) f (x) = senh−1 (2x)
xii) f (x) = coth−1
ii) f (x) = cosh−1 (2x − 1)
√
ii) f (x) = tanh−1 ( x)
√
iv) f (x) = coth−1 ( x2 + 1)
xiv) f (x) = csch−1 (x2 − 2x − 3)
v) f (x) = senh−1 (ln x)
vi) f (x) = ln(tanh−1 (x))
√
vii) f (x) = sech−1 ( 2x − 1)
xv) f (x) = tanh−1 (1 − x2 )
√
xvi) f (x) = coth−1 ( ex + 1)
viii) f (x) = csch−1 (2x)
√
ix) f (x) = senh−1 ( 2x − 1)
−1 2x − 1
x) f (x) = cosh
x+1
−1 3x + 2
xi) f (x) = tanh
2
xvii) f (x) = ln(sech−1 (x))
xviii) f (x) = sech−1 (ln x)
√
xix) f (x) = senh−1 ( e2x − 1)
x p
xx) f (x) = cosh−1
+ x2 − 4
2
p
xxi) f (x) = 4x2 − 1 + cosh−1 (2x)
161
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
xxii) f (x) = coth−1 (csc(x))
√
xxiii) f (x) = cosh−1 ( x)
3
−1 x
xxiv) f (x) =
+
coth
4 − x2
2
xxv) f (x) = tanh−1 (ln x)
√
xxvi) f (x) = tanh−1 ( ln x − 1)
xxxii) f (x) = tanh−1 (sen(2x))
xxvii) f (x) = tanh−1 (cos(2x))
xxxvii)
√ f (x)
x4 + 1
xxviii) f (x) = tanh−1 (x3 )
−1
xxix) f (x) = coth
xxxiii) f (x) = coth−1 (2 sen(x))
xxxiv) f (x) = (coth−1 (x2 ))3
xxxv) f (xt) = tanh−1 (sen(ex ))
xxxvi) f (x) = senh−1 (e2x )
=
x2 senh−1 (x2 ) −
p
xxxviii) f (x) = x senh−1 (x) − x2 + 1
p
xxxix) f (x) = ln( 1 − x2 ) + x tanh−1 (x)
p
xl) f (x) = x2 − 1 + cosh−1 (3 − x)
(x2 )
xxx)f (x) = cosh−1 (ln x)
xxxi) f (x) = tanh−1 (cos x)
15. Utilice lo m´
as que pueda las indicaciones del ejercicio 18 del taller B, para
trazar la gr´
afica de cada una de las siguientes funciones:
√
a) f (x) = senh−1 ( e2x − 1)
b) f (x) = cosh−1 (x2 − 3)
c) f (x) = tanh−1 ( 1+x
1−x )
√
d ) f (x) = ln( 1 − x2 ) + x tanh−1 (x)
√
e) f (x) = 4x2 − 1 + cosh−1 (2x)
162
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
9 Aplicaciones de la Derivada
9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas
9.2 Taller B. Optimizaci´on
9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas
1.
Ang´elica mide 6 pies de estatura y se
aleja de la luz de un poste del alumbrado
p´
ublico que est´a a 42 pies de altura, tal
como se ilustra. Si x pies es la distancia
de Ang´elica al poste:
a)
i) Exprese la longitud de la sombra que proyecta Ang´elica sobre el piso
en t´erminos de x.
ii) Exprese la punta de la sombra y en funci´on de x.
iii) Exprese tan θ en t´erminos de x.
b) Si Ang´elica se aleja del poste a raz´on de 3 pies por segundo:
i) ¿Con qu´e rapidez crece su sombra cuando Ang´elica est´a a 24 pies del
poste? ¿a 30 pies?
ii) ¿Con qu´e rapidez se mueve el extremo de la sombra?
iii) Para seguir el extremo de su sombra ¿a qu´e raz´on angular debe alzar
la cabeza cuando su sombra mide 6 pies de largo?
163
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
2.
El interior de un tanque de agua
tiene la forma de un cono circular
recto invertido tal que su altura es
de 12 pies y el radio de su base
circular es de 6 pies. Si se hecha
agua hasta una profundidad de h
pies, con 0 < h < 12, tal como se
ilustra en la figura:
a) Exprese a r como funci´
on de h. Trace su gr´afica.
b) Exprese la cantidad de agua en el tanque en terminos de h. Trace su
gr´
afica.
c) Si estando el tanque vac´ıo se le bombea agua a raz´on de 8 pies3 /min,
¿Con qu´e rapidez sube el nivel del agua cuando ´esta tiene 4 pies de
profundidad?.
3.
Una part´ıcula se mueve siguiendo la
curva y = x2 en el primer cuadrante,
de tal forma que su coordenada x
medida en metros, aumenta a una
velocidad de 10 metros/seg. ¿Con
qu´e rapidez cambia el ´angulo de
inclinaci´on θ del segmento de recta
que une la part´ıcula con el origen en
el instante en que x = 3 metros?
4.
Un tanque tiene la forma que se ilustra en la figura (Ejercicio 29 C´apitulo 4).
Si se echa agua hasta una profundidad h, con 0 < h < 6:
a) Exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en t´erminos de h.
b) Exprese el ´
area de la superficie del agua en t´erminos de h.
164
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
c) Si estando el tanque que se ilustra vac´ıo, se le vierte agua a raz´on de
9 pies3 /min,
i) ¿Con qu´e rapidez se est´a elevando el nivel del l´ıquido en el tanque
cuando la profundidadde ´este es de 4 pies?
ii) ¿Con qu´e rapidez est´a creciendo el ´area de la superficie del l´ıquido
en el instante en que la profundidad de ´este es de 4 pies?
5.
La luz de un faro que est´a retirado
1 kil´ometro de una playa rectil´ınea,
gira a 2 revoluciones por minuto.
¿Con qu´e rapidez se mueve el rayo a
lo largo de la playa cuando pasa por
un punto que est´a a 1/2 kil´ometro
con respecto a un punto en frente
del faro?
6.
Se echa agua a un tanque que tiene la forma de cono truncado circular
recto hasta una profundidad h, con 0 < h < 80. El tanque tiene una
165
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
altura de 80 cent´ımetros y radios inferior y superior de 20 y 40 cent´ımetros,
respectivamente. Si x es el radio del c´ırculo de la superficie del agua:
a) Exprese x en funci´
on de h.
b) Exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en funci´on de h.
c) Si estando el tanque que se ilustra vac´ıo, se le bombea agua a una raz´on
uniforme de 2 litros por minuto. ¿Con qu´e rapidez sube el agua cuando
la profundidad es de 30 cent´ımetros?
7.
Los extremos de un tanque de
agua de 20 pies de largo tienen
la forma de un tri´angulo
equil´atero, con lados de 4 pies.
Si se echa agua hasta una
profundidad de h pies:
a) Exprese la cantidad de agua en el tanque en funci´on de h.
b) Si estando el tanque que se ilustra vac´ıo, se le vierte agua a raz´on de
3 pies3 /min, ¿Cu´
al es la rapidez, cambio o variaci´on del nivel del agua
cuando la profundidad es de 2 pies?
8.
En lo alto de un poste de 15 metros brilla
una luz. Una pelota es soltada desde la
misma altura, a partir de un punto situado
a 9 metros de la luz. ¿Con qu´e rapidez
se mueve la sombra de la pelota sobre el
suelo 21 segundo despu´es? (Suponga que la
pelota cae una distancia de 4,9t2 metros en
t segundos).
166
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
9.
Un hombre que est´
a en un muelle tira de una cuerda atada a la proa de un
bote que se halla a 30 cent´ımetros sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobre
una polea simple que se encuentra en el muelle a 2.3 metros del agua (ve´ase
figura). Si se tira de la cuerda a raz´on de 1 metro/segundo, ¿Con qu´e rapidez
se acerca el bote al muelle en el momento en que la proa est´a a 6 metros del
punto que se encuentra directamente debajo de la polea y a 30 cent´ımetros
sobre el agua?
10.
Una l´ampara est´a situada en
el piso de una calle recta, al
fondo de la cual, y a 72 metros
de distancia de la l´ampara hay
una pared vertical. Si desde la
l´ampara a la pared se desplaza
un hombre de 1.8 metros
de estatura a una velocidad
de 12 metro por segundo. ¿
Con qu´e velocidad cambia
el tama˜
no de la sombra
proyectada en la pared en el
instante en que el hombre se
encuentra a 18 metros de la
l´ampara?
167
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
11.
Un avi´on que vuela con rapidez
constante a una altura de 10000
pies sobre una trayectoria recta que
lo llevar´a directamente sobre un
observador en tierra. En un instante
dado, el observador nota que el
´angulo de elevaci´on del avi´on es de
1
3 π rad y aumenta a una tasa de
1
60 rad/seg. Determine la rapidez del
avi´on.
12. Una escalera de 30 pies de longitud est´a apoyada contra una pared, de modo
que su extremo superior se desliza hacia abajo a una tasa de 12 pies/segundo.
a) ¿Con qu´e rapidez se desliza el extremo inferior de la escalera cuando su
extremo superior est´
a a 18 pies sobre el piso?
b) ¿Cu´
al es la tasa de variaci´on de la medida del ´angulo agudo formado por
la escalera con el piso cuando el extremo superior est´a a 18 pies sobre el
piso?
13. Una escalera apoyada contra una pared vertical est´a resbalando. Si en un
instante dado la escalera tiene su extremo inferior a 8 pies de distancia de la
pared, sobre el piso horizontal, y en ese mismo instante, el extremo inferior de
la escalera resbala con una rapidez de 3 pies/segundo y el extremo superior lo
hace a 4 pies/segundo. ¿Cu´
al es la longitud de la escalera?
14. Un controlador a´ereo sit´
ua dos aviones, el avi´on A y el avi´on B, a la misma
altitud convergiendo su vuelo hacia un mismo punto O en ´angulo recto. El
avi´on A vuela con una rapidez de 400 millas/hora y el avi´on B vuela con una
rapidez de 600 millas/hora
¿Con qu´e rapidez decrece la distancia entre los dos aviones en el instante en
que el avi´
on A est´
a a 30 millas del punto de convergencia y el avi´on B est´a a
40 millas del punto de convergencia?
15. Dos camiones, uno de los cuales viaja hacia el oeste y el otro hacia el sur,
se aproximan a un crucero. Si los dos camiones se desplazan a una tasa
168
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
√
de P Km/h, muestre que ellos se aproximan a una tasa de P 2 Km/h,
cuando cada uno de ellos se encuentra a b kil´ometros del crucero
169
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
9.2 Taller B. Optimizaci´
on
1.
Un granjero tiene 80 metros de tela
de alambre para cercar un corral
rectangular tal como se ilustra en la
figura.
a) Exprese el ´
area A, del corral en funci´on de x. Adem´as trace la gr´afica de
A indicando los valores admisibles de x para este problema.
b) Encuentre las dimensiones del corral que tenga como ´area 300m2 ?
c) Encuentre los valores de x, para los cuales, el ´area del corral sea mayor o
igual a 300 m2
d ) Encuentre los valores de x, para los cuales, el ´area del corral sea menor o
igual a 256 m2 y mayor que 175 m2
e) ¿Cu´
ales son las dimensiones del corral de ´area m´axima?
2.
Se tienen 14 metros de tela de
alambre para cercar un corral
rect´angular que se ajuste a una
esquina de 2 × 4 metros como se
muestra en la figura (toda la esquina
debe ser aprovechada y no necesita
cerca).
a) Exprese el ´
area A del corral en funci´on de x.
b) ¿ Entre qu´e valores debe estar x para poder construir el corral con las
condiciones indicadas? Adem´as trace la gr´afica de la funci´on A.
c) ¿ Entre qu´e valores debe estar x para que el ´area del corral rect´angular
sea mayor o igual a 16 m2 ?
d ) ¿ Cu´
ales son las dimensiones de x, y para que el ´area del corral sea
m´
axima?
170
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
3.
Se desea construir un tanque sin
tapa de altura y metros y de base
cuadrada de lado x metros, de tal
manera que el ´area lateral y la
del fondo suman un ´area de 9 m2
¿ Entre qu´e valores debe estar x
para obtener un tanque con una
5 3
capacidad mayor o igual a
m
2
?
a) Exprese la capacidad C del tanque en funci´on de x.
b) ¿Entre que valores debe estar x para poder construir el tanque con las
condiciones indicadas? Adem´as, trace la gr´afica de la funci´on C.
c) ¿Cu´
ales son las dimensiones de x y y para que la capacidad del tanque
sea m´
axima?
Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle la funci´on en t´erminos de la
variable especificada e indique el dominio admisible para dicha variable (esto
es, el dominio de la variable para que el problema tenga sentido). Adem´as,
trace la gr´
afica de cada una de las funciones halladas.
4.
Se tienen 80 metros de malla de
alambre para cercar tres corrales
rect´angulares, tal como se ilustra en
la figura.
a) Exprese el ´area total de los tres
corrales en t´erminos de x.
b) ¿Qu´e dimensiones deben tener
x y y para que el ´area total de
los tres corrales sea tan grande
como se pueda? ¿Y cu´al es esta
´area total?
171
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
5.
Se tienen 60 metros de malla de
alambre para construir un corral
rect´angular que se ajuste a una
esquina de 10 x 20 metros, como se
ilustra en la figura (toda la esquina
debe ser aprovechada y no necesita
malla de alambre).
a) Exprese el ´
area del corral en t´erminos de x.
b) ¿Que dimensiones deben tener x y y para que el ´area del corral sea
m´
axima?
6.
Un canal´
on met´
alico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadas
y un fondo horizontal de 2 pulgadas tambi´en, con lados tornando ´angulos
iguales θ con la prolongaci´
on del fondo 0 < θ < π/2, ver figura.
a) Exprese el ´
area de la secci´on transversal del canal´on en t´erminos de x.
b) Exprese el ´
area de la secci´on transversal del canal´on en t´erminos de h.
c) Exprese el ´
area de la secci´on transversal del canal´on en t´erminos del
angulo θ en radianes.
´
d ) ¿Cu´
anto debe valer θ para maximizar la capacidad de acarreo del canal´on?
172
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
7.
Una central el´ectrica est´a ubicada
en la orilla de un r´ıo rectil´ıneo de
0.5 kil´ometros de ancho. En la orilla
opuesta est´a situada una f´abrica, 3
kil´ometros r´ıo abajo del punto A
que est´a directamente en frente de
la central el´ectrica. Si tender un
cable desde la central el´ectrica hasta
la f´abrica cuesta 500 d´ollares por
kil´ometro bajo el agua y 400 d´ollares
por kil´ometro a lo largo de la ribera
del r´ıo.
a) Exprese el costo total para tender el cable desde la central hasta el punto
P y desde el punto P a la f´abrica en t´erminos u
´nicamente de x, en donde
x es la distancia en kil´ometros de la f´abrica a un punto cualquiera P entre
el punto A y la f´
abrica.
b) ¿Cu´
al es la ruta m´
as econ´omica que conecta la central con la f´abrica?
8.
Sea ABP un tri´angulo inscrito en
un semic´ırculo de radio R.
a) Exprese el ´area del tri´angulo
ABP en t´erminos de x, en
donde x es la medida del lado
BP del tri´angulo ABP .
b) ¿Qu´e dimensi´on debe tener x
para que el ´area del tri´angulo
sea m´axima?
173
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
9.
Sea ABC un tri´angulo is´osceles
inscrito en una circunferencia de
radio R y sea h la altura del
tri´angulo desde el v´ertice C, y sean
θ y α los ´angulos que se ilustran,
dados en radianes:
a) Verifique que θ = 2α.
b) Utilizando la ley de los senos, compruebe que a = b = 2R sen α y que
c = 2R sen(2α).
c) Exprese el per´ımetro P del tri´angulo ABC en funci´on de α.
d ) Exprese la altura h en funci´on de α.
e) Exprese el ´
area A del tri´
angulo en funci´on de α.
f ) Entre todos los tri´
angulos is´osceles inscritos en una circunferencia de radio
R, hallar el tri´
angulo con el per´ımetro m´aximo
g) Entre todos los tri´
angulos is´osceles inscritos en una circunferencia de radio
R, hallar el tri´
angulo de ´
area m´axima.
10.
Un trazo de alambre de 36
cent´ımetros de longitud se va a
cotar en dos partes; una de longitud
x se doblar´a para formar una
circunferencia y la otra parte se
doblar´a para formar un tri´angulo
equil´atero.
a) Exprese la suma de las ´areas del c´ırculo y del tri´angulo equil´atero en
t´erminos de x.
b) ¿D´
onde debe hacerse el corte de modo que la suma de las ´areas del
c´ırculo y del tri´
angulo equil´atero sea m´axima? o ¿m´ınima? (se permite la
posibilidad de que no se corte).
174
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11. A partir de un alambre de 4 metros de largo se va a construir un rect´angulo de
la siguiente manera: de un pedazo de alambre de longitud x metros,
con 1 ≤
√
3
x
x < 4, se cortan dos lados del rect´angulo, cada uno de longitud
metros,
2
y con el pedazo 4 − x se termina de construir el rect´angulo.
a) Exprese en t´erminos de x, la cantidad de alambre que queda despu´es de
construir el rect´
angulo.
b) Exprese en t´erminos de x el ´area del rect´angulo.
c) Para qu´e valor de x el ´area del rect´angulo es m´axima?
12.
Un sector circular de radio r
cent´ımetros y ´angulo en el v´ertice
Θ tiene un ´area de 100cm2 .
a) Exprese el per´ımetro del sector
circular en t´erminos del radio
r.
b) Encuentre r y θ para que el
per´ımetro P sea m´ınimo.
13. Un rect´
angulo tiene dos v´ertices consecutivos en el eje de las x, y los otros dos
sobre la par´
abola y = 12 − x2 , con y > 0.
a) Exprese el ´
area del rect´angulo en t´erminos de x, con x > 0.
b) ¿Cu´
ales son las dimensiones del rect´angulo de este tipo que tiene la
m´
axima ´
area?
14.
Un rect´angulo tiene dos de sus
v´ertices sobre el eje x positivo. Los
otros dos v´ertices est´an sobre las
rectas y = 2x, y , y = 12 − x, con
0 < y < 8.
a) Exprese el ´
area del rect´angulo en t´erminos u
´nicamente de x.
175
Departamento de Matem´
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b) Halle las dimensiones del rect´angulo de ´area m´axima que se puede
obtener.
15. Un rect´
angulo se inscribe en un semic´ırculo de radio 4, de tal manera que
dos de sus v´ertices est´
an sobre el di´ametro. Si el lado sobre el di´ametro tiene
longitud x,
a) Exprese el ´
area del rect´
angulo en t´erminos de x.
b) Cu´
ales son las dimensiones del rect´angulo de este tipo que tiene la m´axima
area?
´
16.
Una ventana tiene la forma de un rect´angulo coronado
con un tri´
angulo equilatero. El per´ımetro de la ventana
es de 4 metros. Si la base del rect´angulo mide x metros;
a) Exprese el ´
area total de la ventana en t´erminos
de x.
b) Encuentre las dimensiones del rect´angulo para el
cual el ´
area de la ventana es m´axima.
17. La p´
agina de un libro debe tener 27 pulg 2 de impresi´on. Las m´argenes superior,
inferior e izquierda de la p´
agina, son de 2 pulgadas y la margen derecha es de
1 pulgada. Si x pulgadas es la base del rect´angulo de impresi´on;
a) Exprese el ´
area total de la p´agina en t´erminos de x.
b) ¿Cu´
ales deben ser las dimensiones de la hoja para gastar la menor
cantidad de papel?
18.
Una pieza rect´angular de papel muy larga tiene
20 cent´ımetros de ancho. Se va a doblar la
esquina inferior derecha a lo largo del pliegue
que se muestra en la figura, de modo que la
esquina apenas toque el lado izquierdo de la
p´
agina.
176
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
a) Exprese la longitud l del doblez en t´erminos de los x cent´ımetros que se
ilustran.
b) ¿Para que valor de x el doblez l es lo m´as corto posible?
19.
Una viga de acero de
27 pies de longitud se
trasporta por un pasillo
de 8 pies de ancho hasta
un corredor perpendicular
al pasillo limitado por
una pared movible que
se ajusta a la viga tal
como se ilustra en la
figura. (Aqui suponemos
que p resbala sobre una
pared y Q resbala sobre la
pared movible). Si x es la
distancia de P a la esquina
E;
a) Exprese el ancho y del corredor en t´erminos de x. No considere la anchura
horizontal de la viga.
b) Si la viga de acero de 27 pies de longitud se transporta por el pasillo de
8 pies de ancho hasta un corredor perpendicular al pasillo. ¿Cu´al debe
ser el ancho del corredor para que la viga pueda doblar la esquina? No
considere la anchura horizontal de la viga.
177
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
20.
Por dos pasillos perpendiculares
entre si de 8 pies y 27 pies,
respectivamente, se transporta
una viga cuya longitud se puede
aumentar o disminuir, ver figura.
(Aqui suponemos que P resbala
sobre una pared y Q resbala sobre
la otra pared). Si x es la distancia
de P a la esquina E
a) Exprese la longitud y de la viga en t´erminos de x.
b) ¿Cu´
al es la longitud de la viga de acero m´as larga que puede transportarse
horizontalmente por los pasillos de 8 y 27 pies respectivamente, de modo
que pueda doblar la esquina? No considere la anchura horizontal de la
viga.
21. Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una
pieza rectangular de cart´
on de 16 cent´ımetros de ancho y 24 cent´ımetros de
largo, recortando un cuadrado de x cent´ımetros de lado de cada esquina y
doblando los lados.
a) Encuentre el volumen de la caja en t´erminos de x. Bosqueje su gr´afica.
b) Encuentre el ´
area de la superficie de la caja en t´erminos de x. Adem´as,
trace su gr´
afica.
c) Encuentre el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de
volumen m´
aximo.
178
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22.
Un cilindro circular recto con radio de la base
R y altura h est´a inscrito en una esfera de
radio 4.
a) Exprese la altura h del cilindro como
funci´on de r.
b) Exprese el ´area de la superficie lateral
del cilindro como funci´on de r.
c) Exprese el volumen del cilindro como
funci´on de r
d ) Encuentre las dimensiones del cilindro
circular recto de m´aximo vol´
umen que
se puede inscribir en esta esfera de radio
4.
23.
Un cilindro circular recto de altura h pies
y radio de la base R pies, se inscribe en
un cono circular recto de altura 12 pies y
base 6 pies de radio.
a) Exprese la altura h del cilindro en
funci´on de R.
b) Exprese el volumen del cilindro en
funci´on de R. Bosqueje su gr´afica.
c) Encuentre las dimensiones del
cilindro circular recto de m´aximo
vol´
umen que se puede inscribir en el
cono dado, suponiendo que los ejes
del cilindro y del cono coinciden.
179
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
24.
Un cono circular recto con radio de la base R y altura h, se circunscribe
alrededor de una esfera de radio 8.
a) Exprese la altura h del cono en funci´on de R. Bosqu´eje su gr´afica.
b) Exprese el volumen del cono en funci´on de R. Bosqueje su gr´afica.
c) Encuentre las dimensiones del cono circular recto de vol´
umen V m´ınimo
que puede ser circunscrito alrededor de la esfera dada de radio 8.
25.
Un observatorio debe tener la forma de un
cilindro circular recto, rematado por una b´obeda
hemisf´erica, con un volumen total de 18πm3
a) Exprese la altura h del cilindro en funci´on
de R. Bosqueje su gr´afica.
b) Si la b´oveda hemisf´erica cuesta el doble
por metro cuadrado que el muro cil´ındrico
y si el metro cuadrado de muro cil´ındrico
cuesta a pesos. i) Exprese el costo del
observatorio en funci´on de R. ii) ¿Cu´ales
son las proporciones m´as econ´omicas? es
decir,¿Cu´ales deben ser las dimensiones del
observatorio para que el costo sea m´ınimo?
26. Se desea fabricar un recipiente cil´ındrico de altura h con sus dos tapas circulares
de radio r, de modo que su volumen sea de 250 πcm3 .
a) Exprese la cantidad de material gastado en su fabricaci´on en funci´on de
r.
b) Determine el valor de r y h para que la cantidad de material gastado en
su fabricaci´
on sea m´ınima.
180
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
27.
La figura muestra dos conos circulares rectos, uno
invertido dentro del otro. Sus bases son paralelas, y
el v´ertice del cono menor se encuentra en el centro de
la base del cono mayor.
a) Exprese el volumen del cono menor en funci´on de
R
b) Exprese el volumen del cono menor en funci´on de
h
c) ¿Qu´e valores deben tener R y h para que el
vol´
umen del cono menor sea m´aximo?
28.
a) Trace la gr´afica de y = e−x
2
b) El rect´angulo de la ilustraci´on tiene un lado sobre el
eje y positivo, otro sobre el eje x positivo y su v´ertice
2
superior derecho est´a sobre la curva y = e−x
i) Exprese el ´area del rect´angulo en funci´on de x.
ii) ¿Con qu´e dimensiones alcanza el rect´angulo su
mayor ´area y cu´al es tal ´area?
181
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
Se va a hacer un cono con una pieza circular
de l´amina met´alica, de 10 metros de radio,
recortando un sector y soldando las aristas
recortadas de la pieza restante (ver figura). Si
el ´angulo θ en el v´ertice del sector suprimido
est´a dado en radianes:
a) Exprese la longitud l de la circunferencia
de la base del cono en funci´on de θ.
29.
b) Exprese el radio r de la base circular del
cono en funci´on de θ.
c) Exprese el ´area lateral A del cono en
funci´on de r.
d ) Exprese el ´area lateral A del cono en
funci´on de θ.
e) Exprese el volumen del cono en funci´on de
r.
f ) Cu´al es el m´aximo vol´
umen posible del
cono resultante?
30.
ln x
.
x2
b) El rect´angulo de la ilustraci´on tiene
un lado sobre el eje y positivo, otro
sobre el eje x positivo y su v´ertice
superior derecho est´a sobre la curva
ln x
y= 2 .
x
i) Exprese el ´area del rect´angulo en
funci´on de x.
ii) ¿Con qu´e dimensiones alcanza el
rect´angulo su mayor ´area y cu´al
es tal ´area?
a) Trace la gr´afica de y =
182
Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
31.
Considere la gr´afica de la funci´on:
1
f (x) =
con x > 0, tal como se
x
ilustra.
a) Halle la ecuaci´on de la recta
tangente a la gr´afica de f en
el punto (a, a1 ).
b) Halle la distancia del punto A
al punto B en funci´on de a, en
donde A y B son los cortes con
los ejes coordenados de la recta
tangente a la gr´afica de f en el
punto (a, f (a)).
c) Determine el punto (a, a1 ) de la
curva y = x1 tal que la distancia
del punto A al punto B sea
m´ınima.
32. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular recto sin
tapa con un volumen de 24 π cent´ımetros cubicos. El precio del material que
se usa para el fondo es el triple del precio del material que se usa para la parte
lateral. Encuentre las dimensiones del recipiente para los cuales el costo sea
m´ınimo.
183
Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I
33.
Dos casas A y B est´an a una
distancia de 50 metros una de la otra
y est´an situadas a un mismo lado
de una tuber´ıa principal de agua y
a una distancia de 15 y 45 metros
respectivamente de dicha tuber´ıa.
Se va a instalar agua a las casas
A y B llev´andola desde un mismo
punto P de la tuber´ıa principal. Si
el costo de cada tuber´ıa instalada
es de 20 d´olares por metro, ¿desde
que punto P de la tuber´ıa principal
deben partir las instalaciones para
que el costo de ´esta sea m´ınimo?
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