1. No category

Carlos Antonio Julio Arrieta
Geometr´ıa de Superficies
´Indice general
1. Curvas regulares elementales
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . .
1.3. Una nota sobre producto interno y norma
1.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . .
1.5. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Teor´ıa local de curvas . . . . . . . . . . . .
1.8. Expresi´on de la curvatura . . . . . . . . .
1.9. Vector normal, plano osculador y torsi´on .
1.10. F´ormula de Frenet . . . . . . . . . . . . .
1.11. Expresiones de la Torsi´on . . . . . . . . .
1.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Superficies: Teor´ıa y ejemplos elementales
2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Representaci´on param´etrica . . . . . . . . . . .
2.3. Parametrizaciones locales . . . . . . . . . . . . .
2.4. Superficies regulares y ejemplos . . . . . . . . .
2.5. Superficie regular de dimensi´on k o k−superficie
2.6. Cambio de par´ametro . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Superficies obtenidas por valores regulares . . .
2.8. Funciones diferenciables entre superficies . . . .
2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Vectores tangentes, campos vectoriales y orientaci´
on
3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. La diferencial en superficies regulares . . . . . .
3.2.2. Inmersiones, submersiones y encajes . . . . . . .
3.2.3. Espacio cotangente . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4. Fibrado tangente y cotangente . . . . . . . . . .
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4
´INDICE GENERAL
3.3. Campos vectoriales sobre k−superficies
3.3.1. Curvas integrales y flujo local .
3.3.2. Corchete de Lie . . . . . . . . .
3.3.3. Propiedades del corchete de Lie
3.4. Superficies orientables . . . . . . . . .
3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Peque˜
na introducci´
on al ´
algebra multilineal
4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Una nota sobre espacio dual . . . . . . . . . . . .
´
4.3. Algebra
tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Tensores covariantes y contravariantes . .
´
4.4. Algebra
exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Producto exterior . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Acci´on de transformaciones lineales sobre tensores
4.5.1. Traspuesta de una transformaci´on lineal .
4.5.2. Pull-back y push-forward para tensores . .
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Formas diferenciales sobre superficies
5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Formas diferenciales sobre Rn . . . . . . .
5.3. Traspuesta o Pull-back de una k−forma . . . . .
5.4. Forma de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Elemento volumen o m−volumen en Rn .
5.4.2. Forma de volumen para m−superficies . .
5.4.3. Elemento volumen de una hipersuperficie .
5.4.4. Volumen de una m−superficie . . . . . . .
5.4.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Derivaci´on exterior . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Integraci´on de formas . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1. Integraci´on sobre varias parametrizaciones
5.6.2. Dominio regular y borde . . . . . . . . . .
5.6.3. Teorema Fundamental del C´alculo . . . . .
5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6. Primera y segunda forma fundamental
6.1. Primera forma cuadr´atica fundamental . . . .
´
6.1.1. Angulos
de curvas sobre una superficie
6.1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Segunda forma cuadr´atica fundamental . . . .
6.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Curvaturas principales . . . . . . . . . . . . .
6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
´INDICE GENERAL
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´INDICE GENERAL
5
A. Particiones de la unidad
155
A.1. Particiones diferenciables de la unidad . . . . . . . . . . 155
Bibliograf´ıa
161
´INDICE GENERAL
5
6
´INDICE GENERAL
6
´INDICE GENERAL
Cap´ıtulo 1
Curvas regulares elementales
§ 1.1.
Introducci´
on
La geometr´ıa de curvas y superficies tiene dos aspectos: una, que se puede llamar Geometr´ıa Diferencial cl´asica y usa los principios del C´alculo.
Hablando a grosso modo, la Geometr´ıa Diferencial cl´asica estudia las
propiedades locales de las curvas y superficies. Por propiedades locales
de las curvas se entiende que son las propiedades que dependen del comportamiento de las curvas o superficies en una vecindad de un punto; por
esto, las curvas y superficies que se consideran en Geometr´ıa Diferencial
ser´an aquellas que se pueden derivar un cierto n´
umero de veces.
El otro aspecto es la Geometr´ıa Diferencial global donde se estudia la influencia de las propiedades locales sobre el comportamiento de la curva o
superficie entera. Posiblemente, la parte m´as interesante y representativa
de la Geometr´ıa Diferencial cl´asica es el estudio de las superficies, por lo
tanto algunas propiedades locales de las curvas aparecen naturalmente
en el estudio de las superficies.
§ 1.2.
Curvas parametrizadas
Primero se dice que una funci´on de una variable real es diferenciable
(o suave) si tiene en todos sus puntos, derivadas de todos los ordenes
(que son autom´aticamente continuas). Una primera definici´on de curva,
no enteramente satisfactoria, pero suficiente para el prop´osito de este
cap´ıtulo es:
Definici´
on 1.2.1 Una curva diferenciable parametrizada es una funci´
on
3
3
diferenciable α : I → R de un abierto I = (a, b) de R en R
La palabra diferenciable en esta definici´on significa que α es una correspondencia que envia a cada t ∈ I en un punto
α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3
5
6
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
en la que las funciones x(t), y(t), z(t) son diferenciables. La variable t se
llama par´
ametro de la curva. La palabra intervalo se toma en sentido
generalizado, esto es, puede suceder a = −∞ , b = +∞.
Si se denota por x′ (t) la primera derivada de x en el punto t y si se usa
una notaci´on similar para las funciones y, z el vector (x′ (t), y ′ (t), z ′ (t)) =
α′ (t) ∈ R3 recibe el nombre vector tangente o (vector velocidad) de la
curva α en t. La imagen α(I) ⊆ R3 se llama traza de α.
Tambi´en se usa el t´ermino infinitamente diferenciable para funciones que
tiene derivadas en todos los ´ordenes que no ser´a el caso de estas notas.
Ejemplo 1.2.1 Sea α : I = (−2, 2) → R3 dada por
α(t) = (1, t, t2 + 1)
cuya grafica en R3 es la curva sobre el paraboloide z = x2 + y 2 que se
muestra en la Figura 1.1.
z
x
Figura 1.1
y
Ejemplo 1.2.2 Una curva diferenciable dada por:
α(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ R
tiene como traza en R3 una elice que tiene tiro de 2bπ sobre el cilindro
x2 + y 2 = 1; ver Figura 1.2
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
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´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
1.2. CURVAS PARAMETRIZADAS
7
z
x
y
Figura 1.2
Ejemplo 1.2.3 La funci´on
α : R → R2
dada por α(t) = (t3 , t2 ), t ∈ R, una curva parametrizada que tiene la
Figura 1.3 como su traza α′ (0) = (0, 0)
2
1
−3
−2
−1
−1
1
2
Figura 1.3
Ejemplo 1.2.4 La funci´on α : R → R3 dada por
α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4), t ∈ R
es una curva parametrizada diferenciable Figura 1.4
Figura 1.4
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
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CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
8
Ejemplo 1.2.5 Las dos curvas parametrizadas de manera distinta
α(t) = (cos t, sin t) y β(t) = (cos 3t, sin 3t)
donde t ∈ (−ǫ, 2π + ǫ), ǫ > 0 tienen la misma traza, esto es, la circunferencia x2 + y 2 = 1. Note que el vector velocidad de la segunda curva es
el triple que el de la primera curva, ver Figura 1.5
β ′ (t)
α′ (t)
Figura 1.5
§ 1.3.
Una nota sobre producto interno y norma
Si x, y ∈ Rn x = (x1 , ..., xnh ) y y = (y1 , ..., yn ) el producto interno de x
con y, notado por hx, yi, se define:
hx, yi =
Propiedades:
n
X
xi yi
(1.1)
i=1
hx, yi = hy, xi
hλx, yi = λhx, yi
hx, y + zi = hx, yi + hx, zi
hx, xi ≥ 0 ∀x ∈ Rn y hx, xi = 0 si y s´olo si x = 0.
p
Si se define k x k= x21 + x22 + ... + x2n entonces se tiene:
hx, yi =k x k k y k cos θ,
donde θ es el ´angulo formado entre x e y
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1.4. PRODUCTO VECTORIAL
9
Si x, y son funciones vectoriales diferenciables de una variable real
de I = (a, b) en Rn , entonces
d
hx, yi = hx′ , yi + hx, y ′ i
dt
§ 1.4.
Producto vectorial
Definici´
on 1.4.1 (Producto vectorial de dos vectores) Dados los vectores a = (a1 , a2 , a3 ) y b = (b1 , b2 , b3 ) en el espacio definimos su producto
vectorial como el vector
a×b=
!
a2 a3 a1 a3 a1 a2 b2 b3 , − b1 b3 , b1 b2 .
Una forma de recordar las componentes del vector producto vectorial de
a y b es observar que corresponden al resultado de eliminar la primera,
la segunda y la tercera columna, respectivamente, de la matriz
a1 a2 a3
b1 b2 b3
teniendo siempre cuidado de que a la segunda componente es necesario
cambiarle el signo.
Otra forma de recordarlo es la siguiente: sean i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y
k = (0, 0, 1) los vectores coordenados unitarios; entonces se puede escribir
a = a1 i + a2 j + a3 k
y
b = b1 i + b2 j + b3 k
y por lo tanto de la definici´on de a × b se tiene la ecuaci´on
i j k
a × b = a1 a2 a3 b1 b2 b3 dearrolado por la primera fila. Esto indica, entonces que las propiedades
de los determinantes se trasladan naturalmente al producto vectorial entre vectores. As´ı, por ejemplo a×b = −b×a. La siguiente gr´afica muestra
la posisi´on de a × b en el orden que muestra la Figura 1.6.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
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´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
10
a×b
b
b
0
a
0
a
b×a
Figura 1.6
Ejemplo 1.4.1 Hallar el producto vctorial entre a = (1, 0, −1) y b =
(2, −1, 1). En efecto,
a×b=
!
0 −1
1 −1 1 0 −1 1 , − 2 1 , 2 −1 = (−1, −3, −1);
Proposici´
on 1.4.1 Propiedades del producto vectorial. Cualesquiera que sean los vectores a, b y c en R3 se tiene:
(a)
a × b = −b × a.
(b)
Si a y b son no nulos, a × b = 0 si y solo si a y b son paralelos
(c)
(a + b) × c = a × c + b × c.
(d)
Para el producto mixto se tiene
a1 a2 a3 ha × b, ci = b1 b2 b3 c1 c2 c3 (e)
ha × b, ai = 0 y ha × b, bi = 0.
(f)
ha × b, ci = ha, b × ci = hb, c × ai.
(g)
a × (b × c) = ha, cib − ha, bic
(h)
||a × b||2 = ||a||2 ||b||2 − ha, bi2 .
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1.4. PRODUCTO VECTORIAL
11
Demostraci´
on. Las propiedades (a), (b), (c), (d), (e) y (f) se deducen
inmediatamente de la definici´on de producto vectorial y las propiedades ya conocidas de los determinantes. Las propiedades g) y h) pueden
demostrarse directamente utilizando la definici´on de producto vectorial,
por lo tanto, s´olo se demuestra h) y g) se deja como ejercicio para le
lector. En efecto, a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) y c = (c1 , c2 , c3 )
a2 a3 2 a1 a3 2 a1 a2 2
+
||a × b|| = b1 b3 + b1 b2 b2 b3 2
=(a2 b3 − a3 b2 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2
=a22 b23 + a23 b22 + a21 b23 + a23 b21 + a21 b22 + a22 b21 −
− 2[a2 b3 a3 b2 + a1 b3 a3 b1 + a1 b2 a2 b1 ]
2
=(a1 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) − a21 b21 − a22 b22 − a23 b23
− 2[a2 b3 a3 b2 + a1 b3 a3 b1 + a1 b2 a2 b1 ]
2
=(a1 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2
=||a||2 ||b||2 − ha, bi2
X
Lo que termina la demostraci´on.
♦
Las propiedades del producto vectorial implican los siguientes resultados.
Proposici´
on 1.4.2 Area de un paralelogramo en el espacio El
´area A de un parelelogramo en el espacio determinado por dos vectores
a y b est´a dado por la siguiente f´ormula:
A = ||a × b||
(1.2)
Demostraci´
on. Sea θ el ´angulo formado entre los vectores a y b como
en la Figura 1.7
a×b
b
h
θ
a
Figura 1.7
Luego,
A = kakh = kakkbk sen θ.
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´
CARRERA DE MATEMATICAS
(1.3)
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
12
Adem´as por la identidad de Lagrange
ka × bk2 =kak2 kbk2 − ha, bi2
=kbk2 kbk2 (1 − cos2 θ)
=kak2 kbk2 sen2 θ.
(1.4)
X
♦
Lo que demuestra la proposici´on
Ejemplo 1.4.2 Encontrar el ´area del tri´angulo que tiene como v´ertices los puntos de intersecci´on del plano 2x + y + 3z = 6 con los ejes
coordenados.
Soluci´
on. Los puntos de corte del plano 2x + y + 3z = 6 con los ejes
coordenados son (ver, Figura 1.8) A = (3, 0, 0, ) B = (0, 6, 0) y C =
(0, 0, 2).
C = (0, 0, 2)
A = (3, 0, 0)
B = (0, 6, 0)
Figura 1.8
Se toman los siguientes vectores
AB = (−3, 6, 0) y AC = (−3, 0, 2)
con lo que
y por lo tanto
AB × AC = (−12, 6, 18)
√
1
1
1√
´
Area
= ||AB × AC|| = [144 + 36 + 324]1/2 =
504 = 3 14.
2
2
2
El problema que ha conducido a los resultados anteriores es el de encontrar una f´ormula para determinar el volumen de un paralelep´ıpedo en
R3 . Este problema puede ser resuelto ahora de una forma elegante.
Proposici´
on 1.4.3 Volumen de un paralelep´ıpedo. El volumen de
un paralelep´ıpedo determinado por los vectores a, b y c en el espacio
puede calcularse mediante la f´ormula
a1 a2 a3 V = |ha × b, ci| = b1 b2 b3 c1 c2 c3 donde a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) y c = (c1 , c2 , c3 ).
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1.4. PRODUCTO VECTORIAL
13
Demostraci´
on. Sea θ el ´angulo formado por los vectores a × b y c, como
en la Figura 1.9.
a×b
c
h
θ
b
a
Figura 1.9
Por lo tanto, el volumen del paralelep´ıpedo V es
V = (´area de la base) × h = ||a × b|| ||c|| cos θ = |ha × b, ci|.
X
♦
Lo que demuestra la proposici´on.
Ejemplo 1.4.3 El volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores a = (1, 2, −3), b = (0, 1, 2) y c = (1, −2, −1) es el valor absoluto
de
1 2 −3 1
2 2 −3
2 =
V = 0 1
+
= −1 + 4 + 4 + 3 = 10
−2 −1 1 2 1 −2 −1
Por lo tanto, V = 10u2
Proposici´
on 1.4.4 Sean
α(t) = (α1 (t), α2 (t), α3 (t))
y
β(t) = (β1 (t), β2 (t), β3 (t))
curvas parametrizadas diferenciables en un intervalo abierto I. Entonces
d
α(t) × β(t) = α′ (t) × β(t) + α(t) × β ′ (t).
dt
para todo t ∈ I
Demostraci´
on. Es un ejercicio simple.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
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´
CARRERA DE MATEMATICAS
(1.5)
X
♦
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
14
§ 1.5.
Curvas regulares
Sea α : I → R3 una curva parametrizada diferenciable. Para cada t ∈ I
donde α′ (t) 6= 0 existe una recta bien definida, que contiene el punto α(t)
y el vector α′ (t), esta recta recibe el nombre de recta tangente de α en
t. Para el estudio de la geometr´ıa diferencial de una curva es importante
que exista tal recta tangente en cualquier punto de la curva. Si α′ (t) = 0
entonces se dice que t es un punto singular de α
Definici´
on 1.5.1 Una curva parametrizada diferenciable α : I → R3 se
dice regular si α′ (t) =
6 0 para todo t ∈ I.
De ahora en adelante se consideran curvas parametrizadas diferenciables
regulares y por simplicidad se omite la palabra diferenciable.
§ 1.6.
Longitud de arco
Sea t ∈ I, la longitud de arco de una curva parametrizada regular α :
I → R3 desde el punto t0 es por definici´on:
Z t
s(t) =
k α′ (t) k dt
(1.6)
donde k α′ (t) k=
p
t0
[x′ (t)]2 + [y ′ (t)]2 + [z ′ (t)]2 .
Es la longitud de arco del vector α′ (t). Como α′ (t) 6= 0, la longitud de
arco s es una funci´on diferenciable y si tiene:
ds
=k α′ (t) k
(1.7)
dt
Puede suceder que el par´ametro t ya sea la medida de longitud de arco
desde alg´
un punto. En este caso:
ds
=k α′ (t) k= 1
dt
Esto es, el vector velocidad tiene longitud de arco igual a 1. Reciprocamente, si :
k α′ (t) k= 1,
entonces:
s=
Z
t
t0
dt = t − t0 .
(1.8)
y t es entonces la medida de longitud de arco para α medida desde alg´
un
punto t0 . En resumen: el par´ametro t es la medida de longitud de arco
desde alg´
un punto si y solo si k α′ (t) k= 1.
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UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
1.6. LONGITUD DE ARCO
15
para simplificar la exposici´on se restringe a curvas parametrizadas por la
longitud de arco, esta es k α′ (t) k= 1. Pero primero veamos:
Teorema 1.6.1 Sea α : I → R3 una curva regualar. Entonces existe
una reparametrizaci´on por longitud de arco para α definida por
β(s) = α(t(s))
donde t(s) es la funci´on inversa de la funci´on longitud de arco asociada
con α.
Demostraci´
on.
Por el teorema fundamental del c´alculo, cualquier funci´on de longitud de
arco s de α satisface:
Z
ds
d t
′
(t) = s (t) =
k α′ (t) k dt =k α′ (t) k
(1.9)
dt
dt t0
Puesto que α es una curva regular α′ (t) 6= 0 para todo t y por lo tanto ds
dt
es siempre positiva. El teorema de la funci´on inversa del c´alculo implica
que t → s(t) posee inversa s → t(s) y
dt =
ds s(t)
1
ds dt t(s)
Ahora, se define β por β(s) = α(t(s)). Entonces por la regla de la cadena:
β ′ (s) = α′ (t(s))
dt
.
ds
Por lo tanto
k β ′ (s) k=k α′ (t(s))
dt
dt
dt
ds
k=
k α′ (t(s)) k= (s) (t(s)) = 1
ds
ds
ds
dt
X
♦
Ejemplo 1.6.1 Obtener una reparametrizaci´on por longitud de arco de
la h´elice
x(t) = (a cos t, a sen t, bt).
Soluci´
on
Como
s = s(t) =
Z
0
t
′
||x (t)||dt =
Z
t
(a2 + b2 )1/2 dt =
√
a2 + b2 t,
0
entonces la funci´on inversa de s es
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´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
16
t = t(s) = √
s
+ b2
a2
y por el teorema anterior la reparametrizaci´on de x por longitud de arco
es
x(t(s)) = a cos √
s
s
bs
, a sen √
,√
.
a2 + b 2
a2 + b 2
a2 + b 2
Ejemplo 1.6.2 Dada la circunferencia
x(t) = (a cos θ, a sin θ),
−π ≤ θ ≤ π.
Introducir a lo largo de ella el param´etro t = tan 4θ .
Soluci´
on.
Por las identidades relativas al ´angulo medio se obtiene
θ
θ
θ
θ
+ sen4 − 6 cos2 sen2
4
4
4
4
2 θ
tan
1
1
− 6 2 θ4 .
= 4θ +
θ
4
sec 4
csc 4
sec 4
cos θ = cos4
Usando las identidades
tan2 t + 1 = sec2 t y
cot2 t + 1 = csc2 t
se obtiene
cos θ =
t4
6t2
t4 − 6t2 + 1
1
+
−
=
.
(t2 + 1)2 (t2 + 1)2 (t2 + 1)2
(t2 + 1)2
An´alogamente
θ
θ
θ
θ
cos3 − sen3 cos
4
4
4
4
3
4t
t
= 2
− 2
2
(t + 1)
(t + 1)2
4t(1 − t2 )
.
= 2
(t + 1)2
sen θ =4 sen
Por lo tanto
t4 − 6t2 + 1 4t(1 − t2 ) ,b 2
.
x(t) = a 2
(t + 1)2
(t + 1)2
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1.7. TEOR´IA LOCAL DE CURVAS
§ 1.7.
17
Teor´ıa local de curvas parametrizadas por
longitud de arco
Se presentan los resultados principales que se usar´an posteriormente.
Para tal efecto, sea α : I = (a, b) −→ R3 una curva param´etrizada por la
longitud de arco, Esto es,
1 = ||α′ (s)||,
(∀s ∈ I),
entonces ||α′′ (s)|| mide la raz´on de cambio en el ´angulo que hacen los
vectores tangentes, en una vecindad, con la tangente en s.
α′ (s)
α′′ (s)
Figura 1.10
por lo tanto, ||α′′ (s)|| proporciona una medida de rapidez con que la curva
se aleja de la tangente en s, en una vecindad de s.
Definici´
on 1.7.1 Sea α : I = (a, b) → R3 una curva par´
ametrizada por
la longitud de arco s ∈ I : El n´
umero ||α′′ (s)|| = k(s) se llama curvatura
de α en s, y el vector k(s) = α′′ (s) = k(s)n(s) con knk = 1 se llama
vector curvatura.
Ejemplo 1.7.1 Si α es una linea recta, entonces
α(s) = us + v
donde u y v son vectores constantes de R3 .
Naturalmente, ||u|| = 1 para que la recta est´e par´ametrizada por la
longitud de arco y as´ı α′′ (s) = 0.
Rec´ıprocamente, si k = 0 = kα′′ (s)k, entonces por simple integraci´on
α(s) = us + v y la curva es una l´ınea recta.
N´otese que por el cambio de orientaci´on el vector tangente cambia de
direcci´on, esto es si β(−s) = α(s), entonces
dβ
dα(s)
dα(s)
=
=−
,
d(−s)
d(−s)
d(s)
por lo tanto, α′′ (s) y la curvatura son invariantes bajo un cambio de
orientaci´on.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
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CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
18
Ejemplo 1.7.2 Sea α : I → R2 la circunferencia de radio 1, esto es,
s ∈ (−ǫ, 2π + ǫ),
α(s) = (cos s, sin s),
entonces α′′ (s) = (− cos s, − sen s), esto es, ||α′′ (s)|| = 1 = k.
Ejemplo 1.7.3 Calcular la curvatura de la h´elice circular de ecuaciones
s
s
x = a cos , y = a sen ,
c
c
√
con −∞ < s < ∞ , c = a2 + b2 .
z=
bs
c
Soluci´
on. Como
′
k(x, y, z) k =
a2 b 2
+
c2 c2
1/2
= 1,
entonces la h´elice est´a param´etrizada por la longitud de arco, luego.
a
s a
s b
s
a
s a
(x, y, z)′′ = (− sen , cos , )′ = − 2 cos , − 2 sin , 0
c
c c
c c
c
c c
c
luego
k=
§ 1.8.
r
a2
a
a
= 2 = 2
.
4
c
c
a + b2
Expresi´
on de la curvatura en funci´
on de un
par´
ametro cualquiera
Teorema 1.8.1 Sea α : I → R3 una curva param´etrizada regular (no
necesariamente por longitud de arco) y β : J → R3 una reparametrizaci´on
de α(I) por la longitud de arco medida desde t0 ∈ I. Sea t = t(s) la
2
funci´on inversa de la funci´on longitud de arco s. Si dα
= α′ , ddtα2 = α′′ ,
dt
etc. Entonces
(a) se tiene que
dt
ds
=
1
,
||α′ ||
d2 t
ds2
′
′′
i
= − hα||α,α
′ ||4 .
(b) La curvatura
k(t) =
kα′ × α′′ k
||α′ ||3
(1.10)
Demostraci´
on.
(a) Bajo hip´otesis (y usando el Teorema de la funci´on invesa)
dt
1
1
= ds =
.
ds
||α′ ||
dt
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UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ DE LA CURVATURA
1.8. EXPRESION
Tambi´en
2
19
s
1
d
d
dt
1
=
=
2
′
′
ds
ds ||α ||
ds hα , α′ i
2 hα′′ , α′ i dt
1 1 −1/2
−
=
2 hα′ , α′ i
hα′ , α′ i2 ds
||α′ || hα′ , α′′ i 1
=−
ds
||α′ ||4
dt
hα′ , α′′ i
=−
||α′ ||4
(b) Como α admite una reparametrizaci´on por la longitud de arco medida desde t0 ∈ I, t → s(t), con inversa s → t(s). Ver Figura
1.11
α(t)
α(s)
t
t = t(s)
s = s(t)
s
Figura 1.11
entonces se escribir α(t) = α(t(s)) = α(s), con lo que α(t) =
α(s(t)), luego
α′ =
y as´ı
dα
dα ds
=
dt
ds dt
d2 α ds 2 dα d2 s
d dα ds dα d2 s
+
· 2 = 2 ·
+
·
.
α =
dt dt dt
ds dt
ds
dt
ds dt2
′′
Ahora,
#
" 2 2
2
dα
d
α
dα
ds
ds
d
s
α′ × α′′ =
×
+
·
ds dt
ds2 dt
ds dt2
3
ds
dα d2 α
,
× 2
=
ds
ds
dt
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CARRERA DE MATEMATICAS
(1.11)
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
20
como
d2 α
= k n y ||n(s)|| = 1
ds2
se obtiene
3
dα
ds
α ×α =
×n k
,
ds
dt
′
′′
luego
′
′′
′
′′
hα × α , α × α i = k
2
esto es,
k2 =
Lo que muestra que
ds
dt
(1.12)
6
||α′ × α′′ ||2
.
||α′ ||6
k(t) =
||α′ × α′′ ||
||α′ ||3
X
♦
Ejemplo 1.8.1 Calcular la curvatura de la curva dada por
α(t) = (t2 , cos(t), sin(t)),
0<t<∞
Soluci´
on. Como
α′ = (2t, − sin t, cos t) y
α′′ = (2, − cos t, − sin t),
entonces
i
j
k
′
′′
cos(t)
α × α = 2t − sen(t)
2 − cos(t) − sen(t)
(1.13)
= (1,2t sin t + 2 cos t, −2t cos t + 2 sin t).
Con lo que
||α′ || =
√
4t2 + 1
y ||α′ × α′′ || =
Por lo tanto
k(t) =
√
4t2 + 5.
√
4t2 + 5
.
(4t2 + 1)3/2
Ejemplo 1.8.2 Calcular la curvatura de la curva plana situada en el
plano z = 0 dada por x = x(t), y = y(t).
Soluci´on.
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´ DE LA CURVATURA
1.8. EXPRESION
21
Sea α(t) = (x(t), y(t), 0), entonces
α′ = (x′ , y ′ , 0),
por lo tanto
α′′ = (x′′ , y ′′ , 0)

i
j
α′ × α′′ =  x′ y ′
x′′ y ′′
as´ı que
con lo que
y ||α′ || =
p
x˙ 2 + y˙ 2 ,

k
0  = (0, 0, x′ y ′′ − y ′ x′′ ),
0
||α′ × α′′ || = |x′ y ′′ − y ′ x′′ |,
k(t) =
|x′ y ′′ − y ′ x′′ |
.
(x′2 + y ′2 )3/2
Ejemplo 1.8.3 calcular la curvatura de la curva dada en forma de coordenadas polares r = r(θ).
Soluci´
on.
Derivando con respecto a θ las f´ormulas de cambio de variables
x = r(θ) cos θ, y = r(θ) sen θ
implican
dx
dr
= cosθ − r sen θ
dθ
dθ
y volviendo a derivar
y
dy
dr
=
sen θ − rcosθ
dθ
dθ
d2 r
dr
d2 x
=
cos θ − 2 sen θ − r cos θ
2
2
dθ
dθ
dθ
d2 r
dr
d2 y
=
sen θ + 2 cos θ − r sen θ.
2
2
dθ
dθ
dθ
Como
k(t) =
|x′ y ′′ − y ′ x′′ |
,
(x′2 + y ′2 )3/2
entonces
|x¨
˙ y − y¨
˙ x| =(r′ cos θ − r sin θ)(r′′ sin θ + 2r′ cos θ − r sin θ)−
(r′ sin θ − r cos θ)(r′′ cos θ + 2r′ sin θ − r cos θ)
=r2 + 2(r′ )2 − rr′′
y
x˙ 2 + y˙ 2 = (r′ cos θ − r sin θ)2 + (r′ sin θ − r cos θ)2 = (r′ )2 + r2 ,
luego
k=
|r2 + 2(r′ )2 − rr′′ |
.
[r2 + (r′ )2 ]3/2
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-
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CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
22
§ 1.9.
Vector normal, plano osculador y torsi´
on
Consid´erese de nuevo α : I → R una curva regular param´etrizada por la
longitud de arco. En los puntos donde k(s) 6= 0 el vector unitario n(s)
en direcci´on de α′′ (s) est´a bien definida mediante la ecuaci´on
α′′ (s) = k(s)n(s)
(1.14)
como hα′ (s), α′ (s)i = 1, entonces hα′′ (s), α′ (s)i = 0. Lo que muestra que
α′′ (s) es normal a α′ (s). Por lo tanto, n(s) es normal a α′ (s) y recibe
el nombre de vector normal en s. El plano determinado por el vector
tangente unitario y el vector normal, es decir por α′ (s) y n(s), recibe el
nombre de plano osculador en s. Ver Figura 1.12
t(s) = α′ (s)
n(s)
Figura 1.12
Un plano donde k(s) = 0 el vector normal (y por lo tanto el plano osculador) no est´a definido. En lo que sigue, las curvas ser´an parametrizadas por
la longitud de arco sin puntos singulares de orden 1 (esto es, α′′ (s) 6= 0).
Se denota con
t(s) = α′ (s)
(1.15)
el vector tangente unitario de α en s (Obseve que se est´a utilizando a
t de dos maneras diferentes una como param´etro y ahora como vector
tangente unitario). As´ı
t′ (s) = k(s)n(s).
(1.16)
b(s) = t(s) × n(s)
(1.17)
El vector
tiene las siguientes propiedades:
(a) b(s) es normal a t(s) y a n(s), por lo tanto, al plano osculador y
recibe el nombre de vector binormal en s, ver figura 1.13
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´
1.9. VECTOR NORMAL, PLANO OSCULADOR Y TORSION
23
b(s)
n(s)
t(s)
Figura 1.13
(b) La identidad de Lagrange implica
||b(s)||2 =||t(s) × n(s)||2
=||t(s)||2 ||n(s)||2 − ht(s), n(s)i
=1
(1.18)
(c) Como ||b(s)||2 = 1, entonces hb(s), b(s)i = 1 y as´ı
hb′ (s), b(s)i = 0,
con lo que b′ (s) ⊥ b(s).
(d) Puesto que
d
b(s) = t′ (s) × n(s) + t(s) × n′ (s) = t(s) × n′ (s),
ds
(1.19)
entonces b′ (s) ⊥ t(s), ver Figura 1.14.
b′ (s)
n′ (s)
t(s)
Figura 1.14
(e) Como n(s) ⊥ t(s) y b(s) = t(s) × n(s) se obtiene que
{t(s), n(s), b(s)}
forman una base de R3 para cada s anclado en α(s), por lo tanto,
al expresar
b′ (s) = a1 n(s) + a2 t(s) + a3 b(s)
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
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´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
24
resulta
a1 = hb′ (s), n(s)i
a2 = 0
a3 = 0
con lo que b′ (s) es paralelo a n(s) y se puede escribir
b′ (s) = −τ (s)n(s)
Como ||b(s)|| = 1 para todo s, entonces la longitud ||b′ (s)|| mide la raz´on
de cambio del plano osculador, en una vecindad de s, con respecto al
plano osculador en s. As´ı que ||b′ (s)|| mide que tan rapido la curva se
aleja del plano osculador en s, en una vecindad de s. Esto proporciona
la definici´on siguiente.
Definici´
on 1.9.1 Sea α : I → R3 una curva parametrizada por la longitud de arco, tal que α′ (s) 6= 0, s ∈ I. El n´
umero τ (s) definida por
′
b (s) = −τ (s)n(s) se llama torsi´
on de α en s.
Ejemplo 1.9.1 Por definici´on, la torsi´on de una curva regular contenida
en R2 es cero.
Ejemplo 1.9.2 Sea α : I → R3 una curva regular parametrizada no
rectil´ınea (es decir, k 6= 0). Entonces α es una curva plana si y s´
olo si
τ = 0.
Soluci´
on. Si α es una curva plana, es decir α(I) esta contenida en un
plano, entonces el plano de la curva coincide con el plano osculador y
as´ı τ = 0.
Reciprocamente se τ = 0 (k 6= 0) y usando parametrzaci´on por longitud
de arco, entonces
b′ (s) = τ n = 0n = 0
con lo que b(s) = b0 (constante en R3 ), por lo tanto
hα(s), b0 i′ = hα′ (s), b0 i
como α′ (s) ⊥ b(s) = b0 , entonces hα′ (s), b0 i = 0. Por integraci´on
hα(s), b0 i = c (constante).
Luego, para todo s1 y s2 se tiene
hα(s2 ) − α(s1 ), b0 i = c − c = 0.
Lo que demuestra que el vector con puntos estremos α(s1 ) y α(s2 ) est´a contenido en P (plano ortogonal a bo ) para todo s1 , s2 esto es α(I) ⊆ P , es
decir α es una curva plana.
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UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
1.10. FORMULA
DE FRENET
25
Ejemplo 1.9.3 Calcular la torsi´on de la h´elice vertical circular de ecuaci´on
s b
s
α(s) = a cos , a sin , s
c
c c
con s ∈ R.
Soluci´
on.
Claramente α est´a parametrizada por longitud de arco.
a
a
s a
s b
s
a
s ′
α (s) = − sen , cos ,
, α′′ (s) = − 2 cos , − 2 sen , 0 .
c
c c
c c
c
c c
c
Tambi´en
s
s
n = (− cos , − sen , 0)
c
c
as´ı que
′
b(s) = α (s) × n =
con lo que
′
b (s) =
por lo tanto
s
b
s a
b
sen , − cos ,
c
c
c
c c
b
s b
s
cos , 2 sen , 0
2
c
c c
c
=−
,
b
n
c2
b
b
= 2
2
c
a + b2
En contraste con la curvatura, la torsi´on puede ser positiva o negativa.
El signo de la torsi´on tiene una interpretaci´on geom´etrica que ser´a dada
mas tarde.
N´otese que al cambiar la orientaci´on, el vector binormal cambia de signo
ya que b = t × r. Sigue entonces que b′ (s) y por lo tanto, la torsi´on
permanece invariante bajo cambio de orientaci´on.
τ (s) =
§ 1.10.
F´
ormula de Frenet
A cada valor de el parametro s, se le ha asociado tres vectores ortogonales
unitarios:
t(s),
n(s),
b(s)
donde t(s) = α(s),
˙
α′′ (s) = k(s)n(s) y b(s) = t(s) × n(s). Estos tres
vectores ortogonales unitaros as´ı formandos se conocen como triedro de
frenet en s. Ahora bien (omitiendo el parametro s)
t′ = kn,
b′ = −τ n
As´ı que los vectores t′ y b′ quedan expresados en combinaci´on lineal de
la base {t, n, b} de R3p ≈ R3 que proporciona informaci´on geometr´ıca
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
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´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
26
(curvatura k y torsi´on τ ) sobre el comportamiento de α en una vecidad
de s. Otra informaci´on geom´etrica local la proporciona el c´alculo de n′ .
Esto es, como n = b × t, entonces en el punto s se tiene
n′ = b′ × t + b × t′ = (−τ n) × t + b × (kn)
= −τ (n × t) + k(b × n) = −τ (−b) + k(t × n) × n
= τ b + k(−t) = −kt + τ b
Como el producto vectorial satisface x × (y × z) = hx, yiy − hx, yiz entonces
(t × n) × n = −n × (t × n) = [hn, nit + hn, tin] = −t.
Por lo tanto,
o bien:
 ′
kn
t =
′
n = −kt
 ′
b =
−τ n
+ τb
(1.20)
 
 
t
0 k
0
t′


 n′  =  −k 0
n 
τ
′
b
0 −τ 0
b

´ rmula de Frenet (por conveniencia se ha omitido la letra
se llama Fo
s).
Se continua entonces con el estudio de la torsi´on para posteriormente
poder estudiar de manera directa e inversa las f´ormulas de frenet.
§ 1.11.
Expresiones de la Torsi´
on
Teorema 1.11.1 (Torsi´
on en funci´
on del parametro arco.) Sea
α : I = (a) → R3
una curva parametrizada por la longitud de arco. entonces:
τ=
hα′ , α′′ × α′′′ i
hα′′ , α′′ i
Demostraci´
on. Se va a calcular hα′ , α′′ × α′′ i. Como α′′ = kn, entonces
(omitiendo la letra s)
α′′′ = k ′ n + kn′ = k ′ n + k(−kt + τ b) = k ′ n − k 2 t + kτ b.
Tambi´en
α′′ × α′′′ = (kn) × k ′ n − k 2 t + kτ b
= 0 − k 3 (n × t) + k 2 τ (n × b)
= −k 3 (n × t) + k 2 τ (n × b).
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´
1.11. EXPRESIONES DE LA TORSION
27
Pero n × t = −b y
n × b = n × (t × n) = hn, nit − hn, tin = t + 0 = t,
asi que
α′′ × α′′′ = k 3 b + k 2 τ t,
con lo que
hα′ , α′′ × α′′′ i = ht, k 3 b + k 2 τ ti
= 0 + ht, k 2 τ ti
= k 2 τ ht, ti.
Luego
τ=
hα′ , α′′ × α′′′ i
hα′′ , α′′ i
X
♦
Teorema 1.11.2 (La torsi´
on en funci´
on de cualquier parametro).
Si α = α(t), entonces se verifica que
τ=
hα′ × α′′ , α′′′ i
kα′ × α′′ k2
(1.21)
Demostraci´
on. Para simplificar las expresiones sean
α′ =
dα
,
dt
α′′ =
α˙ =
dα
,
ds
α
¨=
al igual que
ds
,
dt
con lo que
′
′′
α × α = (α˙ × α
¨)
Como α
¨ = kn entonces:
′
α′′′ =
d3 α
dt3
d2 α
... d3 α
α = 3.
,
ds2
ds
2
ds
d2 s
′′
α =α
¨
+ α˙ 2 ,
dt
dt
Entonces:
α′ = α˙
d2 α
,
dt2
′′
α × α = (α˙ × n)k
ds
dt
3
ds
dt
3
Calculando α′′′ , en efecto:
2
d2 s
d α
¨ ds
+
α
˙
2
dt
dt
α′′′ =
dt
3
ds d2 s
ds d2 s
d3 s
... ds
+ 2¨
α · 2 +α
¨ · 2 + α˙ 2
=α
dt
dt dt
dt dt
dt
3
2
3
ds d s
ds
... ds
=α
+ 3¨
α · 2 + α˙ 2 .
dt
dt dt
dt
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
28
Como α
¨ = kn, y α˙ × n ⊥ α,
˙ entonces
...
hα × α , α i = ht × n, αik
′
′′
′′′
ds
dt
6
(1.22)
...
Ahora se calcula α , en efecto (en variable s)
2 d α
d
ds2
d(kn)
...
˙ + k n˙
α=
=
= kn
ds
ds
Para clacular n,
˙ se observa en el triedo de frenet que
b × t = (t × n) × t = ht, tin − ht, nit
as´ı que
b×t=n
luego
n˙ =
Con lo que
d(n) ˙
= b × t + b × t˙
ds
i
h
... ˙
˙
˙
α = kn + k b × t + b × t .
Como b˙ = −τ n, n = b × t; t˙ = kn. Se tiene
...
˙
α = k [b × (kn) + (−τ n) × t] + kn
˙
= k 2 (b × n) − kτ (n × t) + kn
˙
= k 2 (b × n) + kτ (t × n) + kn
como
b × n = (t × n) × n
= −n × (t × n)
= − [hn, nit − hn, tin]
= −t
entonces
...
˙
α = −k 2 t + kτ b + kn
Por lo tanto:
˙ k
hα × α , α i = ht × n, −k t + kτ b + kni
6
ds
2
.
= hb, bi(k )τ
dt
′
′′
′′′
2
Esto muestra que
′
′′
′′′
2
hα × α , α i = k τ
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
ds
dt
ds
dt
6
6
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
1.11. EXPRESIONES DE LA TORSION
y como
ds
dt
29
= kα′ k , se obtiene
hα′ × α′′ , α′′′ i
τ=
.
k 2 kα′ k6
Como
k2 =
se obtiene
τ=
kα′ × α′′ k2
,
kα′ k6
hα′ × α′′ , α′′′ i
kα′ × α′′ k2
X
♦
Ejemplo 1.11.1 Calcular la torsi´on de la h´elice dada en un par´
ametro
arbitario
α(t) = (a cos t, a sen t, bt),
−∞ < t < ∞.
Soluci´
on: Como
α(t) = (a cos t, a sen t, bt), α′ = (−a sen t, a cos t, b)
α′′ = (−a cos t, −a sen t, 0) α′′′ = (a sen t, −a cos t, 0),
entonces
y por lo tanto
α′ × α′′ = (ab sen t, −ab cos t, a2 )
2
kα′ × α′′ k = a2 b2 sen2 t + a2 b2 cos2 t + a4 = a4 (a2 + b2 ).
Tambi´en
Con lo que
hα′ × α′′ , α′′′ i = a2 b sen2 t + a2 b cos2 t = a2 b.
τ=
a2 b
b
= 2
.
4
2
2
a (a + b )
a + b2
Teorema 1.11.3 Teorema fundamental de la teor´ıa local de curvas Dada las funciones diferenciables k = k(s) y τ = τ (s), s ∈ I, existe
una curva parametrizada α : I → R3 tal que s es la longitud de arco, k es
la curvatura y τ es la torsi´on de α. Adem´
as cualquier curva α, que satisface las mismas condiciones, difiere de α por un movimiento rigido; esto
es, existe una transformaci´
on lineal ortogonal ρ de R3 con determinante
positivo y un vector c tal que
α=ρ◦α+c
Una demostraci´on completa usa el Teorema de existencia y unicidad de
soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, adem´as que usa otros
resultados de Geometr´ıa de superficies bi-dimensional. Por tal motivo la
prueba no se presentar´a en este momento. Ver, por ejemplo Do Carmo,
Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies, p´agina 309.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
30
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
§ 1.12.
Ejercicios
Curvas y producto vectorial
1. Encontrar una parametrizaci´on para cada una de las secciones c´onicas, las cuales son:
a) Par´abola
b) Circunferencia
c) Elipse
d ) Hip´erbola
2. La cicloide. Una cicloide es un lugar geom´etrico descrito por un
punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre el
eje x del plano xy (en general sobre cualquier recta en el plano
x, y), como en la Figura 1.15
α
C
D
a
P
θ
O A
B
Figura 1.15
Obs´ervese que
OB = arco P B
y que las coordenadas del punto P son
x = OA = OB − AB
y = AP = BC − DC.
Calcular una parametrizaci´on de la cicloide.
3. Hallar el ´area de la Figura 1.16, poligono de v´ertices ABCDE,
donde
A = (−2, 0),
B = (−1, −2),
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
C = (2, 1),
D = (0, 1),
E = (−1, 3)
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
1.12. EJERCICIOS
E
31
3
2
1
D
C
A
−2
−1
−1
B
1
2
−2
Figura 1.16
4. Demostrar que la distancia de un punto A = (x0 , y0 , z0 ) al plano
ax + by + cz + d = 0 es
d=
|ax0 + by0 + cy0 + d|
√
a2 + b 2 + c 2
5. Calcular el punto A del plano 5x − 14y + 2z + 9 = 0 que est´e m´as
pr´oximo al punto B = (−2, 15, −7).
6. Hallar la ecuaci´on del plano paralelo a 2x − y + 2z + 4 = 0 si el
punto (3,2,-1) equidista de ambos.
7. Dada la pir´amide de base ABCD y v´ertice E, donde A = (2, 0, 0),
B = (3, 1, 0), C = (0, 1, 0), D = (−1, 0, 0) y E = (1, 1, 3), hallar:
(a)
El ´area de la cara ABE.
(b)
El ´area de la base.
(c)
El volumen del prisma.
(d)
La distancia entre las rectas EB y DC.
(e)
El valor de la altura.
8. Hallar el volumen del prisma determinado por los vectores
a = (1, 2, −1), b = (0, 1, 2) y c = (1, 2, −3)
9. Demostrar las siguientes propiedades del producto vectorial:
(a) ha × b, ci = ha, b × ci = hb, c × ai
(b) (a × b) × c = ha, cib − hb, cia.
Curvatura, torsi´
on y pano osculador
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-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
32
10. Calcuar curvatura y torsi´on de
1
t
1
a) γ(t) =( (1 + t)3/2 , (1 − t)3/2 , √ )
3
3
2
3
4
b) γ(t) =( cos t, 1 − sen t, − cos t)
3
5
3
2
b) γ(t) =(cos t, sen t, 0)
en donde el par´ametro tenga sentido.
11. Demostrar que la curva
γ(t) = (
1−t
1 + t2
, t + 1, −
)
t
t
es planar.
12. Demostrar que en las ecuaciones de Frenet - Serret, t, n y b son
ortogonales uno al otro.
13. Sea γ(t) = (a cos t, a sen t, t), t ∈ R.
a) Reparametrizar γ por longitud de arco
b) Calcular la curvatura, torsi´on y el plano osculador en cada
punto de γ.
c) Sea γ(t) una curva con velocidad unitaria en R3 , y se asume
que la curvatura k(t) es no-cero para todo t. Se define una
nueva curva β por
d γ(t)
β(t) =
.
dt
Demostrar que β es regular y que, si s es la longitud de arco
par´ametro de β, entonces
ds
=k
dt
Probar que la cuevatura de β es
1+
’
τ 1/2
k2
14. Se considera la curva definida en forma impl´ıcita por F (x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0. Hallar la expresi´on de la recta tangente en el punto
(x0 , y0 , z0 ).
15. Hallar la recta tangente y el plano normal a la curva de ecuaciones
x2 + y 2 + z 2 = 3, 9x2 + 4y 2 − 13z 2 = 0 en el punto (1, 1, 1).
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-
´ DE CALDAS
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1.12. EJERCICIOS
33
16. Hallar la ecuaci´on del plano osculador de la curva
x = senh t,
y = cosh t,
z = 4t
en un punto generico a ella.
17. Probar que si todas las rectas tangentes a una curva que pasan por
un punto fijo la curva es una recta.
18. Calcular la expresi´on de la curvatura de la curva plana, situada en
el plano z = 0, cuando su expresi´on viene dada en
a) forma expl´ıcita y = f (x),
b) forma polar r = 3 sen θ.
19. Probar que si todas las tangentes a una curva son paralelas a un
plano, entonces la curva es planar.
20. Sea la curva x = x(s), y = y(s), z = 0 donde s es la longitud de
arco. Probar que la curvatura k verifica
k 2 = (x′ y ′′ − y ′ x′′ )2
21. Dada la curva x4 − 2x2 y 2 − xy 3 − x2 + y 2 + xy = 0, z = 0, hallar
la curvatura en x = 1 y ordenada racional.
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´
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34
CAP´ITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
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Cap´ıtulo 2
Superficies: Teor´ıa y ejemplos
elementales
§ 2.1.
Introducci´
on
Intuitivamente, se considera una superficie, como un conjunto de puntos
del espacio que localmente es como una vecindad del plano. Esto ocurre
cuando la superficie es localmente la im´agen de una funci´on suficientemente suave o diferenciable, es decir, regular desde una vecindad de un
punto del plano en puntos del espacio. Como lo que se necesita es extender y aplicar a superficies los m´etodos del C´alculo, se supone que la
funci´on es de clase C ∞ y adem´as que la superficie tiene en cada punto
un plano tangente y por lo tanto, el rango de la matriz jacobiana de la
funci´on es dos. Como en curvas regulares, las superficies tambi´en admiten
representaci´on param´etrica.
§ 2.2.
Representaci´
on param´
etrica
Definici´
on 2.2.1 Una representaci´
on param´etrica de clase C ∞ de un
3
conjunto de puntos M de R es una funci´on x = x(u, v) de un conjunto
abierto U de R2 sobre M,
tal que
(a) x es de clase C ∞ en U,
(b) Si {e1 , e2 , e3 } es una base de R3 y
x(u, v) = x1 (u, v)e1 + x2 (u, v)e2 + x3 (u, v)e3 ,
entonces para todo (u, v) ∈ U se tiene:
35
36
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES




Rango 


∂x1
∂u
∂x2
∂u
∂x3
∂u
∂x1
∂v
∂x2
∂v
∂x3
∂v




=2


(2.1)
Se recuerda que x es de clase c∞ (U ), si todas sus derivadas parciales
existen y son continuas en U y el rango de una matriz es el orden del
menor, no-nulo, m´as grande de la matriz. De esta forma, el rango de la
matriz anterior es 2, si y s´olo si uno de los siguientes determinantes:
∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v (2.2)
,
,
∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x3 ∂x3 ∂u ∂v
∂u ∂v
∂u ∂v
es no nulo.
A las variables u y v se las denomina par´ametros. Adem´as se denota
una representaci´on param´etrica mediante x = x(u, v) y sus derivadas
parciales con los simbolos:
xu =
∂x
,
∂u
xv =
∂x
,
∂v
xuu =
∂ 2x
,
∂ 2u
xuv =
∂ 2x
,
∂v∂u
···
(2.3)
Proposici´
on 2.2.1 Sea U un conjunto abierto de R2 , entonces x =
x(u, v), es una representaci´
on param´etrica regular de U sobre M si y
s´
olo si:
(a) x es de clase C ∞ en U
(b) xu × xv 6= 0, ∀(u, v) ∈ U
Demostraci´
on.
xu × xv = = e1
e2
e3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u ∂u ∂u ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂v
∂v ∂v ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂u ∂v e − ∂u ∂v e + ∂u ∂v e
∂x2 ∂x2 3 ∂x3 ∂x3 2 ∂x3 ∂x3 1
∂u ∂v
∂u ∂v
∂u ∂v
Las componentes de xu × xv difieren de los menores de orden 2 × 2 de la
matriz jacobiana para x, a lo sumo en un signo; por lo tanto el rango de
la matriz jacobiana de x es dos si y s´olo si xu × xv 6= 0. Lo que demuestra
X
la proposici´on.
♦
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-
´ DE CALDAS
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´ PARAMETRICA
´
2.2. REPRESENTACION
37
Ejemplo 2.2.1 La ecuaci´on
x(u, v) = (u, v, u2 + v 2 )
es una funci´on de R2 sobre el paraboloide z = x2 + y 2 . Se observa que x
tiene derivadas parciales continuas de todos los ordenes. Tambi´en :


e1 e2 e3
√
kxu × xv k = kdet  1 0 2u  k = 4u2 + 4v 2 + 1 6= 0
0 1 2v
Con lo que x es una representaci´on param´etrica regular de clase c∞ para
el paraboloide z = x2 + y 2
Ejemplo 2.2.2 Cuando se estudia geometr´ıa, una de las reflexiones importantes, es ver que sucede en la esfera. Para tal efecto, se define
S 2 = (x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1
(2.4)
y por coordenadas esf´ericas se puede escribir (ver Figura 2.1):
x = (cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ)
z
S
(2.5)
sen φ
2
φ
y
θ
x
Figura 2.1
define una funci´on del plano R2 de coordenadas (θ, φ) sobre la esfera:
x2 + y 2 + z 2 = 1. Al igual que el ejemplo 1, x tiene derivadas parciales
de todos los ordenes. Pero:
e1
e2
e3 0
kxθ × xφk = − sin θ sin φ cos θ sin φ
cos θ cos φ sin θ cos φ − sin φ = k(− cos θ sin2 φ, − sin θ sin2 φ, − sin φ cos φ)k
q
cos2 θ sin4 φ + sin2 θ sin4 θ + sin2 φ cos2 φ
=
q
=
| sin4 φ + sin2 φ cos2 φ|
= |sin φ|
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-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
38
que es cero en φ = nπ, n ∈ Z. Esto es, x no es regular a lo largo de las
rectas φ = nπ, n ∈ Z. Por lo tanto, el dominio de x se debe restringir a
la franja
−∞ < θ < ∞, 0 < φ < π
para que sea una representaci´on param´etrica regular de clase C ∞ de
S 2 − {N, S}, donde N es el polo norte y S el polo sur. (Ver Figura 2.2.)
z
φ
◦
π
φ = φ0
φ = φ0
θ = θ0
θ = θ0
θ
0
y
x
Figura 2.2
La familia de curvas φ = φ0 , de par´ametro θ se obtiene claramente z =
cos φ0 = constante dando como resultado una circunferencia paralela al
plano xy. Esta familia de curvas en S 2 reciben el nombre de: paralelos
de latitud. La familia de curvas θ = θ0 de par´ametro φ se llaman :
meridianos de longitud.
Los meridianos de longitud son las intersecciones de la esfera con la
familia de planos que contienen el eje z. Para calcular la ecuaci´on
de este plano, se calcula primero su vector normal, esto es:
e1
e2
e3
→
0
0
1
n = cos θ0 sin φ sin θ0 sin φ cos φ
= (sin θ0 sin φ, cos θ0 sin φ, 0) ,
D→
E
la ecuaci´on del plano buscado es n, (x, y, z) = 0, esto es,
x sin θ0 sin φ + y cos θ0 sin φ = 0,
es decir:
x sin θ0 + y cos θ0 = 0
Los paralelos de latitud y los meridianos de longitud se cortan en
´angulos rectos ya que:
xθ × xφ = h(− sin θ sin φ, cos θ sin φ, 0), (cos θ cos φ, sin θ sin φ, − sin φ)i
= − sin θ sin φ cos θ cos φ + cos θ sin φ sin θ cos φ
=0
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-
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2.3. PARAMETRIZACIONES LOCALES
§ 2.3.
39
Parametrizaciones locales
Es necesario observar que una representaci´on param´etrica regular de clase C ∞ puede solamente cubrir una parte de la superficie que se desea
estudiar. Como resultar´ıa excesivo restringirnos a considerar u
´nicamente representaciones param´etricas que sean inyectivos. Por tal motivo se
presenta la siguiente
Definici´
on 2.3.1 Parametrizaci´
on Local. Sea U un conjunto abierto
2
3
en R , y M ⊆ R , la funci´on
α : U → M,
o el par
(U, α)
se llama una parametrizaci´on local de M si
(a) α es de clase C ∞ (U )
(b) α es un homeomorfismo. Esto es x es inyectiva, continua con inversa continua.
(c) αu × αv 6= 0,
∀(u, v) ∈ U.
α(U ) recibe el nombre de vencidad coordenada.
La condici´on (c), es equivalente a que dα es 1 − 1 en cada punto p ∈ U.
Ya que para α = (x, y, z) la dαp es 1 − 1 si y s´olo si los vectores columnas
de


∂x ∂x
 ∂u ∂v 


 ∂y ∂y 


(2.6)
 ∂u ∂v 


 ∂z ∂z 
∂u ∂v
son linealmente independientes (im´agen directa e inversa de una transformacion lineal 1 − 1), equivalentemente, a que el producto vectorial.
∂α ∂α
×
6= 0
∂u
∂v
Lo que proporciona el siguiente
Lema 2.3.1 Sean U un conjunto abierto en R2 y α : U → M una
funci´on. Entonces α es una parametrizaci´on local de M si y s´
olo si
(a) α es de clase C ∞ (U )
(b) α es un homeomorfismo. Esto es x es inyectiva, continua con inversa continua.
(c) La diferencial de α es uno a uno para todo (u, v) ∈ U.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
40
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
§ 2.4.
Superficies regulares y ejemplos
Definici´
on 2.4.1 Se dice que un conjunto M ⊆ R3 es una superficie
regular si cada punto p ∈ M existe un conjunto abierto de V de R3 y una
parametrizaci´on α : U → V ∩ M de un conjunto abierto U de R2 sobre
V ∩ M ⊆ R3 tal que (ver Figura 2.3)
(a) α es de clase C ∞ (U )
(b) α es un homeomorfismo. Esto es α es inyectiva, continua con inversa continua.
(c) Para cada q, la diferencial dαq : R2 → R3 es uno a uno.
Es decir, un conjunto M ⊆ R3 es una superficie regular si cada punto
p ∈ M admite una parametrizaci´on local de clase C ∞ .
α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
z
M
v
α(u, v)
•p
•
(u, v)
U
y
u
Figura 2.3
x
1. Sea f : U → R una funci´on difernciable en un conjunto abierto U
de R2 , entonces la gr´afica de f, esto es, el subconjunto de R3 dado
por
M = {(u, v, f (u, v)),
(u, v) ∈ U }
es una superficie regular.
En efecto, la funci´on x : U → R3 definida por
x(u, v) = (u, v, f (u, v))
es una parametrizaci´on de la gr´afica de f. Adem´as su vencidad
coordenada cubre cualquier punto de M.
La condici´on (a) se satisface inmediatamente.
La condici´on (c) no es dif´ıcil ya que
xv 6= 0
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-
∂(x,y)
∂(u,v)
= 1, es decir xu ×
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2.4. SUPERFICIES REGULARES Y EJEMPLOS
41
Finalmente x claramente es 1 − 1 y continua. Como x−1 :
Im(f ) → R2 est´a dada por
x−1 (u, v, f (u, v)) = (u, v)
es uno a uno. Tambi´en es la restricci´on a M de la funci´on
continua π : R3 → R2 dada por π(u, v, w) = (u, v), por lo
tanto x−1 es continua y uno a uno.
2. Sea
S 2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1 .
Usar coordenadas rectangulares para verificar que S 2 es una superficie regular.
Soluci´
on. Primero, verifiquemos que x1 : U → R3 definida con
x1 (x, y) = (x, y,
p
1 − x2 − y 2 ),
(x, y) ∈ U
donde U = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} , es una parametrizaci´on local de S 2 , por ser la imagen de una funci´on diferenciable.
Se puede ahora terminar de cubrir la esfera S 2 con parametrizaciones locales similares como sigue
x2 (x, y) = (x, y, −
p
1 − x2 − y 2 ),
(x, y) ∈ U
entonces x1 (U ) ∪ x2 (U ) cubre S 2 menos el ecuador, usando los planos xz y zy, se define las siguientes parametrzaciones
x3 (x, z) = (x,
p
1 − x2 − y 2 , z),
x4 (x, z) = −(x,
p
1 − x2 − y 2 , z)
Con U1 = {(x, z) ∈ R2 : x2 + z 2 < 1} y
x5 (y, z) = (
p
1 − y 2 − z 2 , y, z),
x6 (y, z) = (−
p
1 − y 2 − z 2 , y, z)
Con U2 = {(y, z) : y 2 + z 2 < 1}. Estas 6 parametrizaciones cubren
completamente a S 2 , ver Figura 2.4. Por lo tanto,S 2 es una superficie regular.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
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42
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
z
S2
◦
y
x
Figura 2.4
3. El Elipsoide
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
es una superficie regular y se cubre al igual que la esfera S 2 , por
cp 2 2
cp 2 2
x1 (x, y) = (x, y,
a b − b2 x2 − a2 y 2 ), x2 (x, y) = (x, y, −
a b − b 2 x 2 − a2 y 2 )
ab
ab
con U1 = {(x, y) : b2 x2 + a2 y 2 < a2 b2 },
b√ 2 2
bp 2 2
x3 (x, z) = (x,
a c − c2 x2 − a2 z 2 ), x4 (x, z) = (x, y, −
a c − c 2 x 2 − a2 y 2 )
ac
ac
con U2 = {(x, z) : c2 x2 + a2 z 2 < a2 c2 } y con
ap 2 2
ap 2 2
x5 (y, z) = (
b c − c2 y 2 − b2 z 2 , y, z), x6 (y, z) = (−
b c − c2 y 2 − b2 z 2 , y, z)
bc
bc
con U3 = {(y, z) : c2 y 2 + b2 z 2 < b2 c2 }.
4. El hiperboloide de dos hojas
−x2 − y 2 + z 2 = 1
es una superficie regular.
En efecto (ver Figura 2.5),
z
y
x
Figura 2.5
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2.4. SUPERFICIES REGULARES Y EJEMPLOS
como
z=±
p
1 + x2 + y 2 .
Entonces se toma U = R2 y as´ı
p
x1 (x, y) = (x, y, 1 + x2 + y 2 ),
x2 (x, y) = (x, y, −
p
43
1 + x2 + y 2 ),
(x, y) ∈ U
(x, y) ∈ U
Ahora se observa que es un par de parametrizaciones que cubren al
hiperboloide de dos hojas ya que en ambos casos es la imagen de
funciones continuamente diferenciable.
Un Lema que en ocaciones es de gran utilidad es el siguiente
Lema 2.4.1 Sea p un punto de una superficie regular y sea α : U ⊆
R2 → R3 una funci´on con p ∈ α(U ) que satisface las condiciohnes (a) y
(c) de la definici´on de superficie regular. Si α es 1 − 1, entonces α−1 es
continua.
Demostraci´
on. Se escribe
α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
(u, v) ∈ U
y sea q ∈ U , por la condici´on (a) y (c), se puede admitir, intercambiando
los ejes coordenados si es necesario, que
∂(x, y)
6= 0
∂(u, v)
Sea π : R3 → R2 la proyecci´on π(x, y, z) = (x, y). Entonces π ◦ α : R2 →
R2 y
J(π ◦ α) =
∂(x, y)
6= 0
∂(u, v)
(2.7)
y por el teorema de la funci´on inversa, se obtiene vecindades V1 de q en
U y V2 de π ◦ α(q) en R2 tal que π ◦ α : V1 → V2 es un difeomorfismo
sobre V2
Se asume que α es 1 − 1. Entonces restringido a α(V1 ) y como:
α−1 = (π ◦ α)−1 ◦ π,
entonces α−1 es continua como composici´on de funciones continuas. Como
X
q es arbitrario, α−1 es continua en α(U ).
♦
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´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
44
Ejemplo 2.4.1 Considerese S 2 = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1} y
ϕ(θ, φ) = (cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ)
sus coordenaadas esf´ericas. Ya se sabe que ϕ(U ) cubre a S 2 − {N, S} si
U = {(θ, φ) : 0 < θ < ∞, 0 < φ < π} .
Entonces para que ϕ sea una parametrizaci´on regular de S 2 s´olo se necesita redefinir el dominio de ϕ para que sea 1 − 1 y entonces aplicar el
Lema anterior. Pero, para que esto suceda se toma
V = (θ, φ) : 0 < θ < 2π, 0 < φ < π
Adem´as obs´ervese que ϕ(V ) cubre a S 2 −C donde C es la semi-circunferencia
C = (x, y, z) ∈ S 2 : y = 0, x ≥ 0 .
Se nota que ϕ(u, v) s´olo omite una semi-circunferencia de S 2 (incluyendo
los dos polos) y que S 2 se puede cubrir con sus dos vecindades coordenadas de este tipo.
Ejemplo 2.4.2 El elipsoide
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
Es una superficie regular vista como sigue, se hace X = xa , Y = ay , Z =
y se obtiene
X2 + Y 2 + Z2 = 1
z
a
Usando una parametrizaci´on en coordenadas esf´ericas se tiene
X = cos θ sin φ,
Y = sin θ sin φ,
Z = cos φ
Con U = {(θ, φ) : 0 < θ < 2π, 0 < θ < π}
Esto es
(x, y, z) = (a cos θ sin φ, b sin θ sin φ, c cos φ),
con U = {(θ, φ) , 0 < θ < 2π, 0 < θ < π} . Y como en S 2 , ´esta es una
parametrizaci´on local que cube el elipsoide, excepto una semi-elipse incluyendo los polos. Para poder cubrir todo el elipsoide se necesita otra
carta similar.
Ejemplo 2.4.3 (El cilindro) En R3 la ecuaci´on x2 + y 2 = a2 para a >
0, representa un cilindro de base circular con generatrices paralelas al eje
0z (ver Figura 2.6).
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2.4. SUPERFICIES REGULARES Y EJEMPLOS
45
z
y
x
Figura 2.6
Se puede obtener un sistema de ecuaciones param´etricas a partir de las
coordenadas polares, as´ı: como x2 + y 2 = a2 entonces:
x = a cos θ,
y = a sin θ
Con 0 ≤ θ ≤ 2π. por lo tanto,
α(θ, φ) = (a cos θ, a sin θ, φ)
Con 0 < θ < 2π y −∞ < φ < ∞ es una representaci´on local del cilindro.
Para ver que se trata de una parametrizaci´on regular del cilindro, se
procede as´ı:
α es de clase c∞ , pues sus componentes lo son.
Es f´acil ver que α es 1 − 1 cuando 0 < θ < 2π y −∞ < φ < ∞ y
que α−1 es continua.
La dierencial de α es 1 − 1, ya que
i
j
k
∂α ∂α ∂θ × ∂φ = k −a sin θ a cos θ 0
0
0
1
p
=
a2 cos2 θ + a2 sin2 θ
= a2
k
Ejemplo 2.4.4 (Superficie de Revoluci´
on) Sea M ⊆ R3 el conjunto
obtenido al rotar una curva plana regular C alrededor de un eje en el
plano que no intersecta la curva.
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46
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
Se tomar´a el plano xz como plano de la curva y el eje z como eje de
rotaci´on. Sea
x = f (v),
z = g(v),
a < v < b,
f (v) > 0
la parametrzaci´on de la curva regular (ver Figura 2.7)
z
Eje de rotaci´
on
(f (v), g(v))
Meridiano
y
Paralelo
x
u
Figura 2.7
se observa que si (x, y, z) ∈ M, entonces
z = g(v),
a<v<b
y tambi´en
x = f (v) cos u,
y = f (v) sen u
2
Con
0 < u < 2π, v ∈ (a, b). Y si U = (u, v) ∈ R : 0 < u < 2π, a < v <
b ,
α(u, v) = (f (v) cos u, f (v) cos u, g(v)),
∀(u, v) ∈ U
(2.8)
es una representaci´on param´etrica del solido de revoluci´on generado por
la curva C. La idea ahora es demostrar que (U, α) es una parametrizaci´on
local regular del solido de revoluci´on M. En efecto.
Claramente α es diferenciable
La diferencial de α, d α es inyectiva. Pues,
i
j
k
∂x ∂x ∂u × ∂v = −f′ (v) sin u f ′(v) cos u ′ 0 f (v) cos u f (v) sin u g (v) = f (v)g ′ (v) cos u, f (v)g ′ (v) sin u, f ′ (v)f (v) q
=
[f (v)g ′ (v)]2 + [f ′ (v)f (v)]2
= |f (v)| k(f (v), g(v))′ k 6= 0
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2.5. SUPERFICIE REGULAR DE DIMENSION
47
α es un homeomorfismo. En efecto, primero se demostrar´a que x es 1 − 1,
como (f (v), g(v)) es una parametrizaci´on de la curva regular C, entonces
dado z y x2 +y 2 = [f (v)]2 , se determina de manera u
´nica v. esto hace que
α sea 1 − 1. Se hace notar que, como (f (v), g(v)) p
es una parametrizaci´on
regular de C, v es una funci´on continua de z y de x2 + y 2 , por lo tanto,
una funci´on continua de (x, y, z).
Para demostrar que α−1 es continua s´olo resta demostrar que u es una
funci´on continua de (x, y, z). Para ver esto, observ´ese que si u 6= π (y
usando que f (v) 6= 0) se obtiene
u
u
u
sen
2 sen cos
u
2 =
2
2 = sen u
tan
=
u
u
2
1 + cos u
cos
cos2
2
2
y
y
y
f (v)
p
=
x = f (v) + x =
x + x2 + y 2
1+
f (v)
Con lo que
y
p
x + x2 + y 2
Por lo tanto, si u 6= π, u es una funci´on continua de (x, y, z).
u = z tan−1
Usando el procedimiento, inmediatamente anterior, pero con cot u2 y u
en un intervalo peque˜
no alrededor de π, se obtiene
u = 2 cot−1
y
p
−x + x2 + y 2
as´ı que, u es una funci´on continua de (x, y, z). Esto muestra que α−1 es
continua y completa, la verificaci´on del ejemplo.
§ 2.5.
Superficie regular de dimensi´
on k o
k−superficie
El concepto de superficie regular admite, sin ning´
un tipo de complicaci´on,
una generalizaci´on a dimensiones m´as altas, pero a´
un manteniendo un
espacio ambiente:
Definici´
on 2.5.1 Un subconjunto M ⊆ Rn es una superficie regular de
dimensi´
on k o simplemente una k−superficie regular si para cada p ∈ M,
existe un conjunto abierto V de p en Rn y una funci´on
x : U ⊆ Rk → V ∩ M,
de un abierto U de Rk en V ∩ M tales que
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48
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
(a) x es un homeomorfismo diferenciable;
(b) la diferencial, (dx)q : Rk → Rn , es inyectiva para todo q ∈ U.
El par (U, x) recibe el nombre de parametrizaci´on de M alrededor p;
como tambi´en a x(U ) se le dice una vecindad coordenada de p.
Observaciones
Sea M es una k−superficie y p ∈ M.
(a) En la pr´actica, se dice que (U, x) es una parametrzaci´on de M en
p indicando las coordenadas de U en Rk que se van a usar, por
ejemplo, (U, x) es una parametrizaci´on de M en p con coordenadas
x1 , · · · , xk .
(b) Como cada punto de p ∈ M est´a una vecindad coordenada de M,
entonces existe una familia de parametrizaciones F = {(Ui , ϕi )},
tal que
[
ϕi (Ui ) = M
i
y a la familia F se le conoce con el nombre de Estructura diferenciable para M.
Ejemplo 2.5.1 La imagen de una funci´
on diferenciable es una
k−superficie regular. En efecto, sea Ω un conjunto abierto de Rk y
f : Ω → Rm una funci´on diferenciable. Entonces la imagen de f es el
conjunto:
o
Im(f ) = (x1 , · · · , xk , f1 (x), · · · , fm (x)) : x = (x1 , · · · , xk ) ∈ Ω ,
y como se observa ϕ : Rk → Im(f ) dada por
ϕ(x1 , · · · , xk ) = (x1 , · · · , xk , f1 (x), · · · , fm (x))
es diferenciable con inversa diferenciable y ϕ(Rk ) = Im(f ). Esto es Im(f )
es una k−superficie regular con una s´ola parametrizaci´on.
Ejemplo 2.5.2 La esfera de dimensi´
on n. Sea M = S n , la esfera de
radio 1, dada por
S n = {(x1 , · · · , xn , xn+1 ) : x21 + · · · + x2n + x2n+1 = 1}
y se construir´a una biyecci´on f de la siguiente manera: Se proyectan los
puntos de la esfera desde el polo norte sobre Rn ≈ Rn × {0}, entonces
a cada punto de la esfera le corresponde un punto sobre Rn , con excepci´on del polo norte y a cada punto de Rn le corresponde un punto
sobre la esfera y s´olo uno. Esta correspondencia se denomina proyecci´on
estereogr´afica (ver, Figura 2.8, caso n = 2).
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2.5. SUPERFICIE REGULAR DE DIMENSION
49
N·
•
P
•
Y
Figura 2.8, caso n = 2
La proyecci´on estereogr´afica se puede expresar anal´ıticamente como sigue: sea N = (0, · · · , 1) (polo norte); se conecta cualquier punto Y =
(y1 , · · · , yn , 0) de Rn con N por medio de una recta y se observa que esta
recta corta a la esfera S n en un u
´nico punto P = (x1 , · · · , xn , xn+1 ).
La ecuaci´on de la esfera es
x21 + · · · + x2n + x2n+1 = 1.
(2.9)
→
→
Como los puntos N, P y Y son colineales se debe tener N P = tN Y para
alg´
un n´
umero real t 6= 0, de donde
x1 = ty1 ,
x1
y1 = ,
t
x2 = ty2 , · · · , xn = tyn , xn+1 = 1 − t,
x2
xn
y2 = , · · · , yn =
, 1 − xn+1 = t,
t
t
como x21 + · · · + x2n + x2n+1 = 1 se obtiene que t = 2/(1 + y12 + · · · + yn2 ).
Luego la proyecci´on esterogr´afica es la funci´on
f : Rn −→ S n − N ; f (y1 , · · · , yn ) = (ty1 , · · · , tyn , 1 − t),
y su funci´on inversa f −1 es
f −1 : S n − {N } −→ Rn
dada por la f´ormula
f −1 (x1 , · · · , xn+1 ) =
1
(x1 , · · · , xn ).
1 − xn+1
Para cubrir el polo norte, se hace necesario proyectar desde otro punto
de la esfera, por ejemplo, desde el polo sur, esto es, si S = (0, · · · , 0, −1)
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´
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50
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
y P = (x1 , · · · , xn+1 ) ∈ S n , con P 6= S, entonces la proyecci´on desde el
polo sur esta dada por
g : Rn −→ S n − S ; g(y1 , · · · , yn ) = (ty1 , · · · , tyn , t − 1).
con t = 2/(1 + y12 + · · · + yn2 ). Adem´as
g −1 : S n − S −→ Rn ;
g −1 (x1 , · · · , xn+1 ) =
1
(x1 , · · · , xn ).
1 + xn+1
Tomando V1 = Rn = V2 , entonces la colecci´on (V1 , f ), (V2 , g) satisface
(b) S 2 = f (V1 ) ∪ g(V2 ),
(a) f y g son homeomorfismos (y adem´as diferenciables)
(c) Inmediatamente se tiene que d f |q y d g|q son 1-1 para todo q ∈ Rn .
Adem´as, se oserva que si f (V1 ) ∩ g(V2 ) = S n − N, S = W es no vac´ıo y
es un conjunto abierto en la Topolog´ıa de subespacio sobre S n , tambi´en
f −1 ◦ g est´a dada por
1
(y1 , · · · , yn )
+ · · · + yn2
que es una funci´on diferenciable de Rn − (0, · · · , 0) sobre Rn − (0, · · · , 0) .
Esta propiedad se trata en la siguiente secci´on.
f −1 ◦ g(y1 , · · · , yn ) =
§ 2.6.
y12
Cambio de par´
ametro
En la mayor´ıa de los casos los puntos de una superficie regular est´an
en varias parametrizaciones o vecindades coordenadas, por ejemplo, esto sucede en el caso de la esfera S 2 . Cada punto del interior del primer
octante pertenece, por lo menos, a dos vecindades coordenadas. Por lo
tanto, se hace necesario que los puntos de una superficie no dependan
de la escogencia de una parametrizaci´on. Esto es, si un punto p de una
superficie est´a en dos vecindades coordenadas se debe tener un procedimiento para pasar de una parametrizaci´on a la otra. Esto es asegurado
por la siguiente proposici´on.
Teorema 2.6.1 (Cambio de par´
ametro) Sea p un punto de una k−superficie
k
regular M, y sean x : U ⊆ R → M, y : V ⊆ Rk → M dos parametrizaciones de M en p tal que p ∈ x(U ) ∩ y(V ) = W. Entonces el cambio de
coordenadas
h = y −1 ◦ x : x−1 (W ) → y −1 (W )
es un difeomorfismo (ver Figura 2.9). Esto es h es diferenciable y tiene
funci´on inversa h−1 diferenciable.
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´
2.6. CAMBIO DE PARAMETRO
51
W
x(U )
y(V )
M
y
x
R
R
h = y −1 ◦ x
U
x−1 (W )
V
y −1 (W )
k−1
R
Rk−1
Figura 2.9
De esta forma x = y ◦ h e y = x ◦ h−1 .
Demostraci´
on. Es una aplicaci´on del Teorema de la Funci´on Inversa.
En efecto, h = y −1 ◦ x es un homeomorfismo, ya que es compuesta de
dos homeomorfismos. Situaci´on que no se puede concluir, por argumento
an´alogo, que h sea diferenciable, ya que y −1 no necesariamente est´a definida en un subconjunto abierto de alg´
un RN y a´
un no se conoce cual es
el significado de una funci´on diferenciable sobre M.
El procedimiento es como se muestra a continuaci´on. Sean r ∈ x−1 (W )
y q = h(r). Si
(u1 , · · · , uk ) ∈ V ⊆ Rk ,
(v1 , · · · , vn ) ∈ Rn
y sea
y(u1 , · · · , uk ) = (v1 (u1 , · · · , uk ), · · · vn (u1 , · · · , uk ))
una parametrizaci´on de M, entonces la diferencial de y en cualquier punto
de su dominio tiene rango k y por lo tanto, se puede asumir, renombrando
los ejes si es necesario, que
∂(v1 , · · · , vk )
(q) 6= 0.
∂(u1 , · · · , uk )
Se extiende y a la funci´on F : V × Rn−k → Rn definida por (por comodidad se escribe u = (u1 , · · · , uk )):
F (u1 , · · · , uk , tk+1 , · · · , tn ) = (v1 (u), · · · , vk (u), vk+1 (u)+tk+1 , · · · , vn (u)+tn ),
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CARRERA DE MATEMATICAS
52
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
donde (u1 , · · · , uk ) ∈ V, ti ∈ R. Es claro que F es diferenciable y que la
restricci´on F |V ×{0} = y, y por un c´alculo simple, se obtiene
∂v1
∂v1
·
·
·
0
·
·
·
0
∂u1
∂uk
.
..
..
.. ..
.
.
.
∂vk
∂v
k
···
0 · · · 0
∂u
∂uk
= ∂(v1 , · · · , vk ) (q) 6= 0.
det dFq = ∂v 1
∂v
k+1
∂(u1 , · · · , uk )
k+1 · · ·
1
·
·
·
0
∂u1
∂u
k
.
..
..
.. ..
.
.
.
∂vn
∂v
n
···
0 · · · 1
∂u
∂uk
1
q
En estas condiciones es posible entonces aplicar el Teorema de la Funci´on
Inversa, que garantiza la existencia de un par de conjuntos abiertos V1
de y(q) en Rn y V2 de q × 0 en Rn tal que F es un difeomorfismo.
Por la continuidad de x, existe un conjunto abierto U1 de r ∈ V tal que
x(U1 ) ⊆ V1 . N´otese que, sobre U1 , h|U1 = F −1 ◦ x|U1 es una composici´on
de funciones diferenciables. De esta manera, se puede aplicar la regla de
la cadena para concluir que h es una funci´on diferenciable en r : Como r
es arbitrario, entonces h es diferenciable sobre x−1 (W ).
El mismo argumento se le puede aplicar para demostrar que h−1 es una
X
funci´on diferenciable y as´ı h es un difeomorfismo.
♦
Observaciones
Sea M una k−superficie contenida en Rn y F = {(Ui , ϕi )} una estructura
diferenciable sobre M.
(a) Si (Ui , ϕi ) y (Uj , ϕj ) son elementos de F con p ∈ ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj ) =
W, entonces el teorema de cambio de par´ametro dice que
−1
−1
h = ϕ−1
i ◦ ϕj : ϕi (W ) → ϕj (W )
es un difeomorfismo. Es decir, si las coordenadas de (Ui , ϕi ) y
(Uj , ϕj ) son x1 , · · · , xk y y1 , · · · , yk respectivamente, entonces h se
representa por las funciones
y1 =y1 (x1 , · · · , xk )
..
.
yk =yk (x1 , · · · , xk )
(2.10)
y para cada q en el dominio de h,
∂(y1 , · · · , yk )
6= 0.
∂(x1 , · · · , xk )
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2.7. SUPERFICIES OBTENIDAS POR VALORES REGULARES
53
(b) La prueba del teorema de cambio de par´ametro, garantiza que para
cada una de las parametrizaciones (Ui , ϕi ), existe un subconjuntos
abiertos de la forma Ui × Rn−k del espacio euclideo Rn y una funci´on Fi : Ui × Rn−k → Rn tal que Fi es un difeomorfismo de una
vecindad abierta de ϕ−1
∈ Ui × Rn−k sobre una vecindad abierta
i (p)
es
de p ∈ M ⊆ Rn , con Fi Ui = ϕi . Lo que indica que cada ϕ−1
i
diferenciable.
(c) A la familia {(Vi , ψi )}, donde Vi = ϕi (Ui ) y ψi = ϕ−1
i , se conoce un
atlas para M y al par (Vi , ψi ) una carta.
(d) En general se puede trabajar con atlas o estructura diferenciable,
o bien, con parametrizaciones o cartas, siempre que exista la suficiente claridad de la forma como se desea trabajar.
§ 2.7.
Superficies obtenidas por valores regulares
Definici´
on 2.7.1 Una funci´on diferenciable
F : A ⊂ Rn → Rm
definida en un conjunto abierto A de Rn se dice que tiene en p ∈ A un
punto critico si dFp : Rn → Rm no es sobreyectiva. La imagen F (p) ∈ Rm
de un punto critico se llama valor critico. Un punto de Rm se dice valor
regular si no es un valor critico.
La teminolog´ıa se motiva desde el caso particular en que f : A ∈ R → R
es una funci´on de valor real en una variable real. Un punto p ∈ A es
critico si f ′ (p) = 0, esto es, la diferencial dfp envia todo vector de R en
cero, lo que implica que la dfp no es sobreyectiva. Tambi´en n´otese que
cualquier a 6∈ f (A) es trivialmente un valor regular.
Si f : A ⊂ Rn → R es una funci´on diferenciable y p = (p1 , · · · , pn ),
entonces la diferencial dfp aplicado al vector ei = (0, · · · , 0, xi , 0, · · · , 0)
se obtiene calculando el vector tangente en f (p) a la curva
xi → f (p1 , · · · , pi−1 , xi , pi+1 , · · · , pn )
y entonces
dfp (ei ) =
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-
∂f
(p),
∂xi
´
CARRERA DE MATEMATICAS
54
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
Se concluye que la matriz asociada con dfp relativo a la base
e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1)
es dada por
∂f ∂x1
∂xn p
N´otese, por lo menos en este caso, que la dfp no es sobreyectiva es equivalente a que
∂f
∂f
(p) = · · · =
(p) = 0
∂x1
∂xn
dfp =
∂f
,··· ,
Por lo tanto, a ∈ f (A) es un valor regular de f : A ⊂ R3 → R si y s´olo si
∂f
6= 0,
∂xi
para alg´
un i = 1, · · · , n
en cada uno de los puntos de la imagen inversa
f −1 (a) = {(x1 , · · · , xn ) ∈ A : f (x1 , · · · , xn ) = a}.
De igual manera, si f = (f1 , · · · , fm ) : A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A es un
valor regular de f (con lo que n ≥ m), p ∈ f −1 (a) e indicando con
q = (x1 , · · · , xk , y1 , · · · , ym ) ∈ Rn=m+k ,
entonces si a es un valor regular de f implica dfp es sobreyectia, con lo
que se puede suponer (haciendo una reordenaci´on de las variables si es
necesario) que
∂(f1 , · · · , fm )
(p) 6= 0,
∂(y1 , · · · , ym )
ya que el rango de de la diferencial de f en p es m.
Teorema 2.7.1 Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funci´on diferenciable y
a ∈ f (A) es un valor regular de f, entonces f −1 (a) es una superficie
regular de dimensi´
on k = n − m.
Demostraci´
on. Sea p ∈ f −1 (A). Se hace la siguiente notaci´on
x = (x1 , · · · , xk ), y = (y1 , · · · , ym ),
(x, y) = (x1 , · · · , xk , y1 · · · , ym )
a = (a1 , · · · , am )
y f (x, y) = (f1 (x, y), · · · , fm (x, y)) denota a la funci´on f.
Como a es un valor regular de f. se asume, reordenando los ejes si es
necesario, que
∂(f1 , · · · , fm )
(p) 6= 0
∂(y1 , · · · , ym )
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-
´ DE CALDAS
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2.7. SUPERFICIES OBTENIDAS POR VALORES REGULARES
55
en p. Se define la funci´on F : A ⊂ Rn → Rn por
entonces
F (x, y) = x1 , · · · , xk , f1 (x, y), · · · , fm (x, y) ,
1
..
.
0
∂f
det(dFp ) = 1
∂x1
.
..
∂fm
∂x
1
···
0
..
.
···
1
∂f1
∂xk
..
.
∂fm
∂xk
···
···
···
0
..
.
0
···
∂f1
···
∂y1
..
.
∂fm
···
∂y1
0 ∂f1 ∂(f1 , · · · , fm )
(p) 6= 0
=
∂ym ∂(y1 , · · · , ym )
.. . ∂fm ∂ym 0
..
.
El teorema de la funci´on inversa garantiza la existencia de conjuntos
abiertos U de p y V de F (p) tal que F : U → V es un difeomorfismo. Y
sigue que F −1 : V → U tambi´en es un difeomorfismo y tiene la forma
F −1 (x1 , · · · , xk , t1 , · · · , tm ) = (x1 , · · · , xk , g(x1 , · · · , xk , t1 , · · · , tm )),
donde (x, t) = (x1 , · · · , xk , t1 , · · · , tm ) ∈ V y
g(x1 , · · · , xk , t1 , · · · , tm ) = (g1 (x, t), · · · , gm (x, t))
Se denota la funci´on proyeci´on de Rn sobre Rk por π, esto es π(x, y) = x.
Ahora, cualquier punto (x, y) ∈ f −1 (a) ∩ U tiene la forma
(x, y) =F −1 ◦ F (x, y) = F −1 (x1 , · · · , xk , f (x, y))
=F −1 (x, a) = (x, g(x, a))
(2.11)
con x en el abierto π(U ) de Rk . Sea h(x) = g(x, a), entonces
f −1 (a) ∩ U = {(x, h(x)) : x ∈ π(U )} = gr´af h ∩ U
(2.12)
Lo que muestra que f −1 (a) ∩ U es una carta local de p, por ser la gr´afica
de una funci´on diferenciable y po lo tanto cualquier punto p ∈ f −1 (a) se
X
puede cubrir con una carta local; as´ı f −1 (a) es una superficie regular. ♦
Ejemplo 2.7.1 El elipsoide
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
es una superficie regular ya que es el conjunto f −1 (0) donde
f (x, y, z) =
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 −1
a2
b
c
-
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CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
56
es una funci´on diferenciable y 0 es un valor regular de f. puesto que las
derivadas parciales
fx =
2x
,
a2
fy =
2y
,
b2
fz =
2z
c2
que se anulan simultaneamente en el punto (0, 0, 0), que no est´a en f −1 (0).
Este ejemplo incluye la esfera como un caso particular cuando a = b =
c = 1.
Ejemplo 2.7.2 (El Toro)
(a) El toro se puede realizar especificando las orientaciones de pegamiento de los lados opuestos de un rect´angulo, como se muestra en
la Figura 2.10.
Figura 2.10
(b) El toro de revoluci´
on T 2 . Sea S 1 la circunferencia en el plano
yz con centro (0, a, 0). Entonces S 1 tiene por ecuaci´on cartesiana
(y − a)2 + x2 + z 2 = r2 ,
(r < |a|).
Los puntos de la figura obtenida al rotar este circulo alrededor del
eje z recibe el nombre de toro de revoluci´o√n y se denota con T 2 .
Como en la Figura 2.11 y obs´ervese AB = r2 − z 2 ;
z
O
r
O
y
x
x
•A
P = (x, y, z)
r
A
B
y
OA = a, AB =
B
√
r2 − z 2
Figura 2.11
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2.7. SUPERFICIES OBTENIDAS POR VALORES REGULARES
57
con lo que se deduce
OB = OA + AB = a +
por lo tanto,
x2 + y 2 = (a +
√
y despejando r2 se tiene
r2 = z 2 + (
√
r 2 − x2
r 2 − z 2 )2
p
x2 + y 2 − a)2 .
(2.13)
Por lo tanto, T 2 es la imagen inversa de de r2 bajo la funci´on
p
(2.14)
f (x, y, z) = z 2 + ( x2 + y 2 − a)2
Esta funci´on es diferenciable para (x, y) 6= (0, 0), y como
p
p
2x( x2 + y 2 − a)
2y( x2 + y 2 − a)
p
p
fx =
, fy =
, fz = 2z,
x2 + y 2
x2 + y 2
r2 es un valor regular de f. Y queda demostrado que el toro T 2 es
una superficie regular.
(c) Un sistema de parametrzaciones. El Toro de revoluci´on T 2 se
puede pensar como una superficie generada al rotar una cirunferencia de radio r > 0 alrededor de una l´ınea recta que est´a en el plano
que contiene la circunferencia y la recta est´a a una distancia a > r
del centro de la circunferencia (ver Figura 2.12).
z
S
a
u
0
r
C
v
x
y
C
Figura 2.12
A continuaci´on se procede a calcular un sistema de parametrizaciones del toro T 2 . En efecto, sup´ongase que la circunferencia S ha
rotado un ´angulo u manteniendo su centro sobre la circunferencia
C, como muestra la Figura 2.13
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CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
58
z
u
0
y
x
C
S
r
a
(x, y, z)
v
r cos v
Figura 2.13
primero, se observa que
z = r sen v
(2.15)
y en segundo lugar, cuando S se ha rotado con centro en C un
´angulo u, en el plano x0y, se forma un tri´angulo como el que se
presenta en la Figura 2.14
x
u
Eje y
Eje x
y
a + r cos v
Figura 2.14
y por lo tanto:
x = (a + r cos v) cos u,
y = (a + r cos v) sen u
donde 0 < u < 2π, 0 < v < 2π. Por lo tanto, si
U = (u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, 0 < v < 2π
y
α(u, v) = ((a + r cos v) cos u, (a + r cos v) sen u, r sen v)
Con (u, v) ∈ U, entonces α es una representaci´on local del toro.
Ahora se debe mostrar que (U, α) es una parametrizaci´on local del
torro T 2 .
La condici´on (a) se observa facilmente ya que las componentes
de α en U son de clase C ∞ .
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2.8. FUNCIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES
59
Para mostrar la condici´on (c) procedemos as´ı
i
j
k ∂α ∂α = −(a + r cos v) sen u (a + r cos v) cos u
0
×
∂u
∂v −r sen v sen u
r cos v −r sen v cos u
=k(−r(a + r cos v) cos u cos v, −r(a + r cos v) cos v sen u,
− r(a + r cos v) sen v)k
2
2
=r (a + r cos v)
La u
´ltima expresi´on es diferente de cero para todo u ∈ (0, 2π),
ya que r > 0 y a > r. Esto prueba la condici´on (c).
Para probar que
que sin u =
p α es 1-1. Primero se observa
z
π
2
2
; Tambi´en si x + y < a, entonces 2 ≤ u ≤ 3π
, y si
r
2
p
π
3π
2
2
x + y ≥ a, entonces 0 < u ≤ 2 o 2 ≤ u < 2π. As´ı dado
(x, y, z), u se determina de manera u
´nica para 0 < u < 2π. Al
conocer u, x, y se puede encontrar cos v y sin v. Esto determina
a v, de manera u
´nica si 0 < v < 2π, luego α es 1 − 1.
Ahora se puede observar inmediatamente que el toro T 2 se puede
cubrir por 3 parametrizaciones similares.
Ejemplo 2.7.3 Una prueba relativamente simple de que
S n = {(x1 , · · · , xn ) : x21 + · · · + x2n = 1} ⊂ Rn+1
es una superficie regular es como sigue: sea f : Rn+1 → R definida con
f (x1 , · · · , xn ) = x21 + · · · + x2n .
Como f −1 (1) = S n y como x = (x1 , · · · , xn+1 ) ∈ S n , entonces x 6= 0 y
para alg´
un i = 1, · · · , n + 1
∂f
= 2xi 6= 0
∂xi
con lo que 1 es valor regular de f, por lo tanto S n es una superficie
regular.
§ 2.8.
Funciones diferenciables entre superficies
En esta secci´on se extiende la noci´on de funciones diferenciables a
superficies regulares.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
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CARRERA DE MATEMATICAS
60
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
Definici´
on 2.8.1 Sean M m y N n superficies regulares. Entonces una
funci´on f : M → N se dice diferenciable en p ∈ M si dada una parametrizaci´
on (Uj , ϕj ) en f (p), existe una parametrizaci´on (Ui , ϕi ) en p tal
que f (ϕi (Ui )) ⊆ ϕj (Uj ) y la funci´on
ϕ−1
j ◦ f ◦ ϕi : Ui → Uj
(2.16)
es una funci´on diferenciable (ver, Figura 2.15).
La funci´on ϕ−1
on de f en coordenaj ◦ f ◦ ϕi recibe el nombre de expresi´
das respecto a las parametrizaciones (Ui , ϕi ) y (Uj , ϕj ); su dominio es el
conjunto Ui .
M
ϕj (Uj )
ϕi (Ui )
N
f
p
·
·
ϕj
ϕi
Ui
Uj
ϕ−1
j ◦ f ◦ ϕi
·
ϕi (p)
·
ϕj (f (p))
m
R
Rn
Figura 2.15
Esta definici´on est´a bien hecha ya que es independiente del sistema de
coordenadas escogidas para p y f (p). En efecto, sean (Ui′ , ϕ′i ) y (Uj′ , ϕ′j );
otras parametrzaciones con p ∈ ϕ′i (Ui′ ) y f (ϕ′i (Ui′ )) ⊆ ϕ′j (Uj′ ). Entonces
−1
−1
′
ϕ′j ◦ f ◦ ϕ′i = (ϕ′j ◦ ϕj ) ◦ (ϕj−1 ◦ f ◦ ϕi ) ◦ (ϕ−1
i ◦ ϕi )
es compuesta de funciones diferenciables. Por lo tanto, ϕ′j ◦ f ◦ ϕ′i −1 es
diferenciable.
Sean M y N superficies regulares de la misma dimensi´on. Entonces una
funci´on biyectiva f : M → N tal que f y f −1 son funciones diferenciables
se llama un difeomorfismo y las dos superficies se dicen difeomorfas
si existe un difeomorfismo de una a la otra; las superficies son necesariamente de la misma dimensi´on.
§ 2.9.
1. Tomar
u=
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Ejercicios
x y
− ,
3 4
v=
x y
+
3 4
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2.9. EJERCICIOS
61
para encontrar una parametrizaci´on que cubra el paraboloide hperb´olico
x2 y 2
−
=z
9
16
2. ¿Cu´ales de las siguientes superficies cu´adricas son regulares?
x2 y 2
+ 2 , (a, b > 0).
( Praboloide)
a2
b
x2 y 2 z 2
b) 2 + 2 − 2 = 1, (a, b, c > 0).
( Hiperboloide de una
a
b
c
hoja )
z 2 x2 y 2
( Hiperboloide de dos
c) 2 − 2 − 2 = 1, (a, b, c > 0).
c
a
b
hojas )
a) z =
d ) x 2 + y 2 = a2 z 2 ,
(a > 0).
( Cono circular )
3. A cada una de las superficies cu´adricas regulares del punto 2 encontrarles dos estructuras diferenciables.
4. Probar que cada conjunto abierto de una k−superficie es una k−superficie.
5. Hallar la superficie de revoluci´on que se obtiene al girar alrededor
de la recta x = y = z la curva de ecuaciones y = x2 , x + y = 0.
Encontrar un sistema de parametrizaciones.
6. Sea T : R3 → R3 invertible, probar entonces que T envia superficies
regulares en superficies regulares.
7. Probar que si M m y N n son superficies regulares, entonces M × N
es una (n + m)−superficie.
8. Probar que todo espacio vectorial de dimensi´on finita n, es una
n−superficie.
9. Probar que T n = S 1 ×S 1 ×· · ·×S 1 , llamado toro plano n−dimensional
es una n−superficie regular.
10. Probar que S 2 × S 3 es una 5−superficie regular. Encontrar una
estructura diferenciable para esta superficie.
11. Demostrar que el espacio de todas las matrices de tama˜
no n × n es
una n2 −superficie.
12. Sea Gl(n), el conjunto de todas las matrices invertibles con entradas
reales. Demostrar que Gl(n) es una n2 −superficie.
13. Sea 0(n), el conjunto de todas las matrices ortogonales, esto es, el
conjunto de las matrices de tama˜
no n×n que satisfacen la ecuaci´on
t
A × A = I, donde I es la matriz identidad. Probar
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´
CARRERA DE MATEMATICAS
62
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
n(n − 1)
−superficie regular.
2
b) 0(n) ⊆ S n × · · · × S n , (n−factores de S n ).
a) 0(n) es una
14. ¿Son las matrices sim´etricas de tama˜
no n × n una superficie regular?. Justificar la respuesta.
15. ¿Son las matrices anti-sim´etricas de tama˜
no n × n una superficie
regular?. Justificar la respuesta.
16. Sea T : S n → S n definida por T (x) = −x (funci´on antipodal).
Demostrar que T es un difeomorfismo de S n sobre S n .
17. Sea A una transformaci´on lineal de Rn y b ∈ Rn . Demostrar que la
funci´on T : Rn → Rn dada por T (x) = Ax + b es un difeomorfismo
de Rn si y s´olo si A es no- singular.
18. Banda de M¨
obius. Una forma de definir esta superficie es como
sigue: se considera una circunferencia S 1 dada por x2 + y 2 = 9 y
un segmento abierto AB dado en el plano yz por y = 3, |z| < 1. Se
hace mover el centro C de AB a lo largo de S 1 y se va girando AB
alrededor C en el plano CZ de tal manera que si c ha recorrido un
´angulo u, entonces AB tenga una rotaci´on de un ´angulo de u2 como
se muestra en la siguiente Figura 2.17.
z
0
A
u
C
y
A
E
D
x
B
C
u
2
B
Figura 2.17
Obs´ervese que, cunando C complete una vuelta alrededor de S 1 ,
AB ha regresado a su posici´on inicial con los puntos extremos invertido. La superficie as´ı obtenida recibe el nombre de Banda de
M¨
obius.
Sia E = (x, y, z) es un punto de la Banda de M¨obius y v la distancia
del punto (x, y, z) sobre AB al centro AB. Entonces
(a) Bajo estas condiciones, calcular una estructura diferenciable
para la Banda de M¨
obius.
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2.9. EJERCICIOS
63
(b) Como la banda de M¨obius se cubre con la imagen de dos parametrizaciones, calcular entonces, dominio, imagen y el determinante Jacobiano de la funci´on de cambio de par´ametro.
19. El espacio proyectivo real RP2 . Se indica con RP2 al conjunto
de todas las rectas de R3 que pasan por el origen 0 = (0, 0, 0); esto
es, RP2 es el conjunto de todas las direcciones de R3 . Introducir
una estructura diferenciable para RP2 .
Sugerencia. Considerar (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 y observar que RP2 es el
espacio cociente
3
R − {0} / ∼,
donde ∼ est´a definida por
(x1 , x2 , x3 ) ∼ (λx1 , λx2 , λx3 ),
λ ∈ R,
λ 6= 0;
indicar los puntos de RP2 por [(x1 , x2 , x3 )] y si xi 6= 0,
x2 x3 ,
[x1 , x2 , x3 ] = 1, ,
x1 x1
x1
x3 , 1,
[x1 , x2 , x3 ] =
,
x2
x2
x1 x2 , ,1 ,
[x1 , x2 , x3 ] =
x3 x3
x1 6= 0
x2 6= 0
x3 6= 0
y definir en RP2 los subconjuntos V1 , V2 V3 por
Vi = [x1 , x2 , x3 ] : xi 6= 0 , i = 1, 2, 3.
Usar estos conjuntos para proporcionar una estructura diferenciable
a RP2 y encontrar las funciones de cambio de par´ametro.
20. Generalizar el problema anterior a RPn , es decir, proporcionar una
estructura diferenciaciable al espacio de todas las rectas que pasan
por el origen de Rn+1
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
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64
CAP´ITULO 2. SUPERFICIES: TEOR´IA Y EJEMPLOS ELEMENTALES
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Cap´ıtulo 3
Vectores tangentes, campos
vectoriales y orientaci´
on
§ 3.1.
Introducci´
on
Se presentar´an los conceptos de vectores tangentes, campos vectoriales sobre una n−superficie de manenra introductoria y luego orientaci´on
sobre superficies y su relaci´on con los campos vectoriales. Estos temas
fundamentales en el estudio de la Geometr´ıa t Topolog´ıa de superficies y
variedades.
§ 3.2.
Vectores tangentes
Para presentar la definici´on de vector tangente sobre una superficie que
permita manipularlo como un operador diferencial, primero se hace la
traducci´on de lo que sucede en Rk a esta terminolog´ıa.
(a) Caso Rk .
Sea α : (−ε, ε) → Ω ⊆ Rk una curva regular en el
conjunto abierto Ω con α(0) = p, entonces
α(t) = (α1 (t), · · · , αk (t)),
por lo tanto,
dα
dαk (0) = (v1 , · · · , vk ) = v ∈ Rk ;
dt
dt
sea f una funci´on a valor real derivable en Ω, entonces se puede
restringir f a la curva α y as´ı
n
n
X
X
∂f d
d
∂f (α(t)) vi
αi (t) =
f ◦α =
dt
∂x
∂xi p
t=0
t=0 dt
t=0
i
i=1
i=1
α′ (0) =
1
(0), · · · ,
esta u
´ltima expresi´on por C´alculo elemental en Rn es la derivada
direccional de f en direcci´on del vector v en el punto p, que se
denota con
f ′ (v, p), o v(f )|p .
65
´
66 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
Se observa que v actua como un operador sobre el espacio vectorial
de las funciones diferenciables. Espec´ıficamente, si f es una funci´on
diferenciable sobre un conjunto abierto de p en Rn , entonces v asigna a f el n´
umero real v(f ) que es la derivada direccional de f en
la direcci´on de v en el punto p. Esto es,
∂f ∂f d
f ◦ α = v1
+ · · · + vk
(3.1)
v(f ) =
dt
∂x1 ∂xk t=0
p
p
Observaciones
Al presentar a Ω como una superficie regular, la parametrizaci´on
natural es (Ω, i) donde i : Ω → Ω es la funci´on identidad i(x1 , · · · , xk ) =
(x1 , · · · , xk ) para toda (x1 , · · · , xk ) ∈ Ω, por lo tanto se tienen cada
una de las siguientes afirmaciones triviales
(1) si e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , ek = (0, · · · , 0, 1), entonces
∂i ∂i e1 =
, · · · , ek =
;
∂x1 p
∂xk p
es decir cada ej , elemento b´asico de Rk , vectores tangente en
p, se encuentra derivando parcialmente la parametrizaci´on en
p respecto al par´ametro xj del sistema de coordenada, que
omitiendo la parametrizaci´on y el punto p, por ser obvio que
estan presentes, se escribe
e1 =
∂
∂
, · · · , ek =
;
∂x1
∂xk
(2) los operadores b´asicos dados en la parte (1), actuan de la
siguiente forma
ej : C ∞ (Ω) → R
es el operador diferencial que para toda f ∈ C ∞ (Ω)
ej (f ) =
∂
∂f
(f ) =
,
∂xj
∂xj
j = 1, · · · , k;
(3) la acci´on del vector v se se escribe como
h
∂ i
∂
(f )
+ · · · + vn
v(f ) = v1
∂x1
∂xn
con lo que
∂
∂
+ · · · + vn
(3.2)
∂x1
∂xn
y ∂/∂xj actua como la derivada respecto a xj del sistema de
coordenadas;
v = v1
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3.2. VECTORES TANGENTES
67
(4) la operaci´on del vector v sobre funciones diferenciables satisface dos propiedades importantes
v(f + λg) = v(f ) + λv(g)
v(f g) = g(p)v(f ) + f (p)v(g),
(3.3)
donde f y g son funciones diferenciables alrededor de p. y λ
es un n´
umero real. La primera propiedad dice que v actua
linealmente sobre funciones diferenciables y la segunda dice
que v satisface la regla del producto o regla de Leibniz. Lo
que proporciona que cada vector tangenta, en subconjuntos
abiertos no vacios de Rk , se puedan ver como una derivaci´on.
Estas observaciones motiva la definici´on de vector tangente
sobre una superficies regulares como derivadas direccionales o
bien derivaciones sobre funciones diferenciables.
(b) Caso superficies regulares.
Sea M m una superficie regular
y U un conjunto abierto en M, entonces el conjunto de todas las
funciones de clase C ∞ definidas sobre U, C ∞ (U ), es un algebra
conmutativa sobre R con las opraciones de suma, producto por
escalares y producto entre funciones como en los cursos de C´alculo
y se denota por C ∞ (U ).
Sea ahora α : (−ǫ, ǫ) → M una curva diferenciable, llamada una
curva diferenciable sobre M. Se supone que α(0) = p ∈ M, el vector
tangente a la curva α en t = 0, y por lo tanto a M, es la funci´on
(realmente operador diferenciable) α′ (0) : C ∞ (U ) → R dada por
d
′
α (0)f =
f ◦α .
(3.4)
dt
t=0
Un vector tangente en p ∈ M es el vector tangente en t = 0 de
alguna curva α : (−ǫ, ǫ) → M con α(0) = p. El conjunto de todos
los vectores tangentes a M en p se denota con Tp M.
Se espera pues, que se mantengan las propiedades observadas en
caso de Rk ; en efecto, se escoge una parametrizaci´on (U, x) en p =
x(0), y se puede entonces expresar la curva α y la funci´on f en
t´erminos de esta parametrizaci´on, para q = (x1 , · · · , xk ) ∈ U
x−1 ◦ α(t) = (x1 (t), · · · , xk (t)).
Por lo tanto, usando regla de la cadena,
d
d
f ◦α =
f ◦ x(x1 (t), · · · , xk (t)) α′ (0)f =
dt
dt
t=0
t=0
k
X
∂(f ◦ x) =
x′i (0)
∂xi 0
i=1
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´
CARRERA DE MATEMATICAS
(3.5)
´
68 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
como de costumbre, tomando el operador
ei =
∂x ∂
=
: C ∞ (U ) → R,
∂xi
∂xi 0
∂F
∂xi
(3.6)
hX
∂
∂ i
′
(f ) =
xi (0)
(f )
∂xi
∂xi
i=1
(3.7)
f→
donde F = f ◦ x. se puede escribir
′
α (0)f =
k
X
k
x′i (0)
i=1
de donde
k
X
′
α (0) =
i=1
x′i (0)
∂
∂xi
(3.8)
Observaciones
∂
es el vector tangente en p ∈ M a la curva
∂xi
coordenada (ver Figura 3.1)
(1) El vector
xi → x(0 · · · , 0, xi , 0, · · · , 0).
xn
∂
∂xi
x
•
0
xi
•
p
M
Figura 3.1
(2) La expresi´on 3.8 demuestra que el vector tangente a una curva
α en p s´olo depende de las derivadas de un sistema de coordenadas
(3) La expresi´on 3.8 tambi´en demuestra que el conjunto Tp M,
con las operaciones usuales entre funciones, forma un espacio
vectorial.
(4) Al escoger una parametrizaci´on (U, x) alrededor de p ∈ M, inmediatamente se determina un conjunto de vectores tangente
en p,
n ∂
∂ o
,··· ,
∂x1
∂xk
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-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
3.2. VECTORES TANGENTES
69
que generan a Tp M. Este conjunto resulta tambi´en linealmente independiente, para ver esto, basta tomar una combinaci´on
lineal igualadas a cero y hacerla actuar sobre cada funci´on
coordenada para obtener que los coeficientes de dicha combinaci´on son todos nulos. Por lo tanto
n ∂
∂ o
,··· ,
(3.9)
∂x1
∂xk
forma una base para Tp M.
(5) Es inmediato que la estructura lineal de Tp M no depende de
la parametrizaci´on x.
(6) Tambi´en se observa que 3.8 proporciona las caracter´ısticas naturales de que cada vector tangente es un operador diferencial
de C ∞ (U ) en R.
3.2.1.
La diferencial en superficies regulares
Sean M m y N n superficies regulares y sea ϕ : M → N una funci´on
diferenciable. La diferencial ϕ∗ (o dϕ) de ϕ en p ∈ M es la funci´on (ver
Figura 3.2)
ϕ∗ : Tp M → Tϕ(p) N
ϕ∗ u
u
M
p
ϕ(p)
ϕ
f ◦ϕ
N
f
R
Figura 3.2: Diferenciabilidad
definida de la siguiente forma: sean u ∈ Tp M y f ∈ C ∞ (N ), entonces
ϕ∗ (u)(f ) = u(f ◦ ϕ)
o
dϕ(u)(f ) = u(f ◦ ϕ).
Para que esta definici´on quede bien hecha se debe demostrar que ϕ∗ (u)
es un vector tangente de N en ϕ(p). Esto es, se debe demostrar que la
funci´on ϕ∗ (u) : C ∞ (N ) → R es lineal y satisface la regla del producto.
Sean u, v ∈ Tp M y λ, µ ∈ R. Entonces de la definici´on de suma de
vectores tangentes,
ϕ∗ (λu + µv)(f ) = (λu + µv)(f ◦ ϕ) = λu(f ◦ ϕ) + µv(f ◦ ϕ) = λϕ∗ u(f ) + µvϕ∗ (f )
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-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
´
70 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
lo que muestra la linealidad. Para ver que satisface del producto, sean
f, g ∈ C ∞ (N ), entonces
ϕ∗ (u)(f g) =u (f g) ◦ ϕ = u[(f ◦ ϕ) · (g ◦ ϕ)]
=g(ϕ(p))u(f ◦ ϕ) + f (ϕ(p))u(g ◦ ϕ)
=g(ϕ(p))ϕ∗ (u)(f ) + f (ϕ(p))ϕ∗ (u)(g).
Lo que t´ermina la demostraci´on.
El caso especial N = R, es importante y proporciona la justificaci´on
del uso del t´ermino Diferencial.
N =R
ϕ∗ u
u
M
R
p
ϕ
f
ϕ(p)
Figura 3.3: Diferencial, caso particular
Si ϕ : M → R es diferenciable y f ∈ C ∞ (R), entonces se tiene por
definici´on de diferencial que (ver Figura 3.3):
[dϕ(u)](f ) = u(f ◦ ϕ).
Como superficie regular, R tiene asociada la u
´nica parametrizaci´on (R, id)
donde id es la funci´on identidad con una s´ola componente. Adem´as
Tϕ(p) N = Tϕ(p) R es uni-dimensional, y por lo tanto dϕ(u) y ∂/∂x (en
R) son linealmente dependientes y as´ı
u(f ◦ ϕ) = [dϕ(u)](f ) = k
∂
(f )
∂x
donde k ∈ R. Tomando f (x) = id(x) = x se tiene u(ϕ) = k, por lo tanto,
[dϕ(u)](f ) = u(ϕ)
∂
(f ),
∂x
es decir, la u
´nica componente del vector dϕ(u) es u(ϕ). Con lo que se
puede establecer entonces un isomorfismo natural entre Tϕ(p) N y R identificando cada vector tangente con su u
´nica componente; con lo que se
escribe
dϕ(u) = u(ϕ).
(3.10)
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3.2. VECTORES TANGENTES
71
Teorema 3.2.1 Sean M, N, P superficies regulares y ϕ : M → N,
ψ : N → P funciones diferenciables. Entonces para cualquier p ∈ M
ψ∗ ◦ ϕ∗ = (ψ ◦ ϕ)∗ .
Se recuerda que por notaci´on ϕ∗ = dϕ. Adem´as que ϕ∗ toma valor en p,
ψ∗ en ϕ(p) y (ϕ ◦ ψ)∗ en p (ver Figura 3.4)
u
M
p
ψ∗ (ϕ∗ (u))
P
ψ(ϕ(p))
ϕ∗ u
N
ϕ
ϕ(p)
ψ
f
R
Figura 3.4: Compuesta de Diferenciales
Demostraci´
on. Sean p ∈ M, u ∈ Tp M y f ∈ C ∞ (P ), (Figura 3.4),
entonces por definici´on de una funci´on diferenciable
ψ∗ (ϕ∗ (u))(f ) = ϕ∗ (u)(f ◦ ψ) = u(f ◦ ψ ◦ ϕ) = (ψ ◦ ϕ)∗ (u)(f ).
Luego
ψ∗ ◦ ϕ∗ = (ψ ◦ ϕ)∗
Lo que t´ermina la demostraci´on.
3.2.2.
X
♦
Inmersiones, submersiones y encajes
Definici´
on 3.2.1 Sea M m y N n superficies regulares.
(a) Una funci´on diferenciable ϕ : M → N es una inmersi´on si
dϕp : Tp M → Tϕ(p) N
es inyectiva para todo p ∈ M, en cuyo caso m ≤ m.
(b) Si ϕ, adem´as de satisfacer (a) es un homeomorfismo sobre ϕ(M ) ⊆
N, donde ϕ(M ) se considera con la topolog´ıa de de subconjunto,
se dice que ϕ es un encaje.
(c) Una funci´on ψ : M → N es una submersi´on si
dψp : Tp M → Tψ(p) N
es sobreyectiva para todo p ∈ M en cuyo caso m ≥ n.
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-
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CARRERA DE MATEMATICAS
´
72 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
Ejemplo 3.2.1 La funci´on ϕ : R → R3 dada por
ϕ(t) = (t3 − 4t, t2 − 4), t ∈ R
es una inmersi´on que posee una autointersecci´on para t = ±2, Figura
2.16, por lo tanto no es un encaje ni submersi´on.
Figura 2.16
3.2.3.
Espacio cotangente
De nuevo se considera una superficie regular M de dimensi´on k y una
parametrizaci´on (U, x) con sistema de coordenadas (x1 , · · · , xk ) de un
punto p ∈ M con x(p) = 0, entonces una base para Tp M asociada a esta
parametrizaci´on es
∂
∂
.
,··· ,
∂x1
∂xk
Cada vector ∂/∂xi es una derivaci´on de la forma
f→
∂(f ◦ x)
,
∂xi
con
f ∈ C ∞ (M ).
Como
∂ ∂(f ◦ x)
∂
(f ) =
.
=
∂xi
∂xi
∂xi
entonces se puede tomar f como la funci´on coordenada xi = πi ◦ x, y por
lo tanto, su expresi´on en coordenadas, xi ◦ x−1 (x1 , · · · , xk ) = xi con lo
que
∂ ∂xi
dxi
=
= δij ,
∂xj
∂xj
por lo tanto, la base dual de ∂x∂ 1 , · · · , ∂x∂ k es dx1 , · · · , dxk en (Tp M )∗
que se denotar´a con Tp∗ M y para cada punto de U. El espacio Tp∗ M
se conoce como espacio cotangente en el punto p. As´ı, un vector
cotangente tiene la forma
df
ω=
k
X
i=1
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ai (p) dxi p ,
p∈U
(3.11)
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3.2. VECTORES TANGENTES
73
o simplemente, cuando no existe confusi´on
ω=
k
X
ai dxi ,
i=1
p∈U
(3.12)
se puede escribir
ω=
k
X
ω
i=1
En particular,
∂ dxi .
∂xi
(3.13)
1. si f : M → R es una funci´on diferenciable, entonces
df =
k
X
i=1
k
k
∂ X
X
∂(f ◦ x)
∂
df
(f ) dxi =
dxi .
dxi =
∂xi
∂xi
∂xi
i=1
i=1
2. Si u = (u1 , · · · , uk ) entonces
k
k
X
X
∂(f ◦ x)
∂(f ◦ x)
df (u) =
dxi (u) =
.
ui
∂xi
∂xi
i=1
i=1
3. Como Tp M y Tp∗ M son espacios vectoriales de dimensi´on finita y
con igual dimensi´on, son algebraicamente isomorfos.
3.2.4.
Fibrado tangente y cotangente
Sean M una k−superficie y T M el conjunto
T M = (p, u) : p ∈ M y u ∈ Tp M ,
(3.14)
entonces T M recibe el nombre de fibrado tangente de M. De igual
manera, el conjunto T ∗ M es
T ∗ M = (p, u) : p ∈ M y u ∈ Tp∗ M ,
(3.15)
entonces T ∗ M recibe el nombre de fibrado cotangente de M.
Se demostrar´a que T M y T ∗ M son 2k−superficies.
Teorema 3.2.2 T M y T ∗ M son superficies regulares de dimensi´
on 2k.
Demostraci´
on. Se demostrar´a con detalle que T M es una superficie
regular de dimensi´on 2k. En efecto, sea (p0 , u0 ) ∈ T M, entonces p0 ∈ M
y u0 ∈ Tp M, por lo tanto, existe una parametrizaci´on de M, (Ui , ϕi ), con
p0 ∈ Vi = ϕi (Ui ) y con sistema de coordenadas (x1 , · · · , xk ). Se considera
la proyecci´on π : T M → M definida por π(p, u) = p, y tambi´en
π −1 (Vi ) = (p, u) : p ∈ Vi .
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
´
74 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
Sea (p, u) ∈ π −1 (Vi ), entonces p tiene coordenadas (x1 , · · · , xk ) es decir
ϕ−1
i (p) = (x1 , · · · , xk )
y u es de la forma
u=
La funci´on βi :
ϕ−1
i (Vi )
k
X
ai
i=1
2k
k
×R ⊆R
∂
.
∂xi
→ π −1 (Vi ) definida por
βi (x1 , · · · , xk , a1 , · · · , ak ) = (p, u)
k
es una funci´on inyectiva del abierto ϕ−1
i (Vi ) × R sobre el subconjunto
−1
2k
abierto π (Vi ) de R .
Se toman los conjuntos π −1 (Vi ) como las vecindades coordenadas sobre
k
T M y las biyecciones apropiadas (ϕ−1
i (Vi ) × R , βi ) forman unsistema
de parametrizaciones cuyas imagenes cubren a T M. Para demostrar esta
afirmaci´on se debe probar la compatibilidad de las parametrizaciones.
En efecto, sea (Uj , ϕj ) otra parametrizaci´on para M con Vj = ϕj (Uj )
tal que p ∈ Vi ∩ Vj y con sistema de coordenadas (yi ) (i = 1, · · · , k) y
por lo tanto, las (xi ) (y sus derivadas) se relacionan con las (yi ) ( y sus
derivadas) difeomorficamente. Entonces (p, u) ∈ π −1 (Vi ∩ Vj ),
u=
k
X
i=1
k
X ∂
∂
ai
=
bj
∂xi
∂yj
j=1
y como ∂/∂xi se puede expresar en t´erminos de ∂/∂yi , esto es,
k
X ∂
∂
=
,
cj
∂xi
∂yj
j=1
calculando esta expresi´on en yk (k = 1, · · · , n) se obtiene
k
X ∂yj ∂
∂
=
∂xi
∂xi ∂yj
j=1
de donde
bj =
k
X
i=1
ai
∂yj
∂xi
Como cada ∂yj /∂xi es una funci´on diferenciable de xi , entonces cada bj
es una funci´on diferenciable de (a1 , · · · , ak , x1 , · · · , xk ) y puesto que los
yi son funciones diferenciables de las xi , se concluye que las coordenadas
(x1 , · · · , xn , a1 , · · · , ak )
y
(y1 , · · · , yn , b1 , · · · , bk )
estan relacionadas difeomorficamente. Con lo que T M es una superficie
regular de dimensi´on 2k.
La demostraci´on de que T ∗ M es una superficie regular de dimensi´on 2k
es paso a paso similar, por lo tanto se deja como ejercicio.
X
♦
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3.3. CAMPOS VECTORIALES SOBRE K−SUPERFICIES
§ 3.3.
75
Campos vectoriales sobre k−superficies
Sea M una k−superficie de Rn y T M su fibrado tangente. Un campo
vectorial X sobre M es una funci´on
X : M → TM :
p → X(p) = Xp ∈ Tp M.
El campo se dice diferenciable si la funci´on X : M → T M es diferenciable. Al considerar una parametrizaci´on (U, x) de M, centrada en p ∈ M,
con funciones de coordenadas x1 , · · · , xn es posible escribir el campo X
en esta parametrizaci´on
X(p) =
k
X
Xpi
i=i
∂
∂xi
(3.16)
donde cada X i : U → R con X i : p → Xpi es una funci´on en U y ∂x∂ i es la
base asociada con X, (i = 1, 2, · · · , k). Es claro que X es diferenciable si
y s´olo si las funciones X i son funciones diferenciables para alguna (por
lo tanto, para toda) parametrizaci´on.
Como cada campo vectorial se comporta tambi´en como una derivaci´on
X : D → F del conjunto D de las funciones diferenciables en M en el
conjunto F de las funciones en M, definidas por
(Xf )(p) = Xp (f ) =
k
X
i=1
Xpi
∂F ∂xi 0
(3.17)
donde F = f ◦ x es la expresi´on de f en la parameteizaci´on (U, x). Es inmediato verificar que, la funci´on Xf en 3.17 no depende de la escogencia
de la parametrizaci´on.
Se observa que si ϕ : M → M es un difeomorfimo y f : M → R una
funci´on diferenciable en una vecindad de ϕ(p), entonces
o
dϕ(v)f (ϕ(p)) = v(f ◦ ϕ)(p) (3.18)
= v(f ◦ ϕ)
[dϕ(v)](f )
ϕ(p)
p
En efecto, sea α : (−ε, ε) → M una curva diferenciable tal que α(0) = p,
v = α′ (0). Entonces
d
= (f ◦ ϕ ◦ α) = v(f ◦ ϕ)
[dϕ(v)](f )
dt
ϕ(p)
p
p
3.3.1.
Curvas integrales y flujo local
Como una k−superficie es localmente difeomorfa a un Rk , el Teorema fundamental de existencia, unicidad y dependencia de las condiciones
iniciales de las ecuaciones diferenciables ordinarias, que es un Teorema local, se extiende naturalmente a las k−superficies. Es necesario enunciarlo
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-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
´
76 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
explicitamente para usarlo posteriormente. ver por ejemplo [??????], p´ag.
.
Sea X un campo vetorial diferenciable sobre una k−superficie M y
sea p ∈ M. Entonces existen una vecindad U ⊆ M de p, un intervalo
(−δ, δ), δ > 0 y una funci´on diferenciable ϕ : (−δ, δ) × U → M tales que
la curva
t → ϕ(t, q),
t ∈ (−δ, δ), q ∈ U
es la u
´nica curva que satisface
∂ϕ
= X(ϕ(t, q))
∂t
con ϕ(0, q) = q.
Una curva α : (−δ, δ) → M que satisface la condici´on α′ (t) = X(α(t))
con α(0) = q se llama trayectoria o curva integral del campo X que
pasa por el punto q cuando t = 0.
Tambi´en se garantiza que por cada punto de cierta vecindad pasa una
u
´nica curva integral del campo vectorial X; la funci´on as´ı obtenida depende diferenciablemente t y de la condici´on inicial q. Es com´
un utilizar
la notaci´on ϕt (q) = ϕ(t, q) y llamar ϕt : U → M el flujo local de X.
Adem´as, existe δ > 0 tal que
(a) ϕs ◦ ϕt = ϕt ◦ ϕs = ϕs+t (|s| < δ, |t| < δ, |s + t| < δ),
(b) ϕr ◦(ϕs ◦ϕt ) = (ϕr ◦ϕs )◦ϕt = ϕr+s+t , (|r| < δ, |s| < δ, |t| < δ, |r + s + t| < δ),
(c) ϕ0 es la funci´on identidad,
(d) ϕ−1
t = ϕ−t .
La prueba de (a) y (b) se obtienen como aplicaciones directa del Teorema
fundamental de existencia, unicidad y dependencia de las condiciones in
iniciales de las ecuaciones diferenciales ordinarias, (c) es inmediato y (d)
se deducen de (a).
Finalmente, esta colecci´on de transformaciones ϕt se conoce como el grupo local 1−param´
etrico del campo X.
3.3.2.
Corchete de Lie
La interpretaci´on de un campo vectorial X sobre una variedad diferenciable como un operador diferenciable en D permite considerar iteraciones de X. Por ejemplo, se X e Y son campos vectoriales sobre una
k−superficie, M y f : M → R es una funci´on diferenciable, se puede
considerar para cada p ∈ M, Xp (Y f ) y Yp (Xf ). En general, estas operaciones no conducen a campos vectoriales por que contienen derivadas de
orden dos, pero el siguiente Lema proporciona una salida.
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3.3. CAMPOS VECTORIALES SOBRE K−SUPERFICIES
77
Lema 3.3.1 Sea X, Y campos vectoriales diferenciables sobre una k−superficie
M. Entonces existe un u
´nico campo vectorial Z sobre M tal que, para todo
f ∈ D y para cada p ∈ M,
Zp f = Xp (Y f ) − Yp (Xf ).
Demostraci´
on.
Primero se demuestra la unicidad bajo el supuesto que existe. Por lo
tanto, sea p un punto de M y (U, x) con cordenadas (x1 , · · · , xn ) una
parametrizaci´on de M centrada en p ∈ U.
(a) Unicidad. Si
X=
X
Xi
i
∂
,
∂xi
Y =
X
Yj
j
∂
∂xj
las expresiones de X e Y en esta parametrizaci´on. Entonces para
todo f ∈ D, con expresi´on en coordenadas F = f ◦ x y omitiendo
el punto p, se tiene,
X ∂F X ∂Y j ∂F
2
X
j
i j ∂ F
i
XY f =X
Y
+
XY
=
X
∂xj
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
j
i,j
i,j
X ∂F X ∂X i ∂F X
∂ 2F
Y Xf =Y
=
Yj
Xi
+
X iY j
.
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
i
j
i
i
j
i,j
i
i,j
(3.19)
Por lo tanto, Z, en esta parametrizaci´on, est´a dado por
i
X ∂Y j ∂F
j ∂X ∂F
i
−Y
Z(f ) =XY f − Y Xf =
X
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
i,j
X X ∂Y i
∂X i ∂F
−Yj
=
Xj
∂xj
∂xj ∂xi
i
j
Con lo que
Zi =
X
Xj
j
i
∂Y i
j ∂X
−
Y
∂xj
∂xj
(3.20)
(3.21)
(b) Existencia. Se define Zα en cada vecindad coordenada Uα de la
estructura diferenciable (Ui , xi ) de M por la expresi´on anterior.
Por la unicidad, Zi = Zj en xi (Ui ) ∩ xj (UJ ) 6= ∅, lo que permite
definir Z en toda la variedad M.
X
♦
Definici´
on 3.3.1 [Corchete de Lie]. Sean X < Y campos vectoriales
diferenciables sobre una k−superficie M. Se define el campo vectorial
[X, Y ], lamado Corchete de Lie de X e Y por
[X, Y ]p (f ) = Xp (Y f ) − Yp (Xf )
para todo p ∈ M y toda funci´on diferenciable f : M → R.
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CARRERA DE MATEMATICAS
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78 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
3.3.3.
Propiedades del corchete de Lie
La operaci´on corchete de Lie tiene las siguientes propiedades
Proposici´
on 3.3.1 Sean X, Y y Z campos vectoriales diferenciables sobre una k−superficie M, a, b ∈ R y sean f, g : M → R funciones diferenciables , entonces
(a) Anticonmutatividad
[X, Y ] = −[Y, X].
(b) Linealidad
[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z]
(c) Identidad de Jacobi
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0
(d) [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g)Y + −gY (f )X.
Demostraci´
on. Son inmediato (a) y (b). Para demostrar (c), se observa
que
[[X, Y ], Z] =[XY − Y X, Z] = XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X
[[Y, Z], X] =[Y Z − ZY, X] = Y ZX − ZY X − XY Z + XZY
[[Z, X], Y ] =[ZX − XZ, Y ] = ZXY − XZY − Y ZX + Y XZ
al sumar estas igualdades miembro a miembro y usando (a) se concluye
(c).
Finalmente, se demuestra (d)
[f X, gY ] =f X(gY ) − gY (f X) = f gXY + f X(g)Y − gf Y X − gY (f )X
=f g[Y, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X
X
♦
§ 3.4.
Superficies orientables
Dos sistemas de coordenadas (xi ), (yi ) en Rn se dicen consistentemente orientadas o simplemente consistentes si el Jacobiano del
cambio de par´ametro
∂(y1 , · · · , yn )
∂(x1 , · · · , xn )
es positivo en donde est´e definido.
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3.4. SUPERFICIES ORIENTABLES
79
1. En R2 los sistemas coordenados relacionados por
y1 = x1 cos θ + x2 sen θ,
y2 = −x1 sen θ + x2 cos θ,
es decir, relacionados por una rotaci´on, son consistentes.
2. En R2 el sistema de coordenadas relacionados por
y1 = x1 ,
y2 = −x2 ,
es decir, relacionados por una reflexi´on, no son consistentes.
Definici´
on 3.4.1 Una k−superficie regular se dice orientable si posee
una estructura diferenciable tal que para cualquier par de parametrizaciones (U, x), (V, y) en donde x(U ) ∩ y(V ) = W 6= ∅, los sistemas de
coordenadas asociados (xi ), (yi ) son consistentes, es decir, la funci´on de
cambio de coordenadas
y −1 ◦ x : x−1 (W ) → y −1 (W )
tal que (x1 , · · · , xk ) → (y1 , · · · , yk ) se verifica que
det d(y −1 ◦ x) =
∂(y1 , · · · , yk )
>0
∂(x1 , · · · , xk )
en cada punto x−1 (W ).
Dos estructuras diferenciables tal que cualquier parametrizaci´on de la
primera estructura se relaciona por un determinante jacobiano negativo
con cualquier parametrizaci´on de la otra se dice que tienen orientacion
opuesta para la superficie. Una estructura consistentemente orientada se
puede obtener de un atlas con orienteaci´on opuesta cambiando el signo
de una coordenada en particular, por ejemplo, cambiando el signo en
la primera coordenada en cada sistema de coordenadas o tomando una
permutaci´on impar en cada sistema.
Cada una de las superficies:
Rk , k = 1, 2, · · · ,
subconjuntos abiertos de Rk ,
imagen de una funci´on diferenciable f : U → Rm , U subconjunto
abierto de Rk ,
se pueden cubrir por una s´ola carta y por lo tanto son orientables.
El Teorema que sigue demuestra que, toda n−superficie orientable
implica que para cualquier par de parametrizaciones (U1 , x) (U2 , y) el
determinante Jacobiano del cambio de par´ametro tiene el mismo signo
sobre toda la intersecci´on U1 ∩ U2 . Situaci´on que resulta de gran utilidad
para demostrar que algunas variedades no son orientables.
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CARRERA DE MATEMATICAS
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80 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
Teorema 3.4.1 Sea M una k−superficie orientable, entonces para todo
par de parametrizaciones (U1 , x) y (U2 , y) de M con coordenadas (xi ),
(yi ), respectivamente, U1 y U2 conexos, x(U1 ) ∩ y(U2 ) = W 6= ∅, implica
que
∂(y1 , · · · , yk )
∂(x1 , · · · , xk )
tiene el mismo signo sobre x−1 (W ).
Demostraci´
on. Como U1 y U2 heredan la orientaci´on de M, entonces
existe una estructura diferenciable (Vi , ψi ) sobre U1 para el cual el determinante Jacobiano es positivo sobre la intersecci´on de cualquier par
de cartas. Entonces seg´
un U1 , que es conexo, es o no consistentemente
orientado con el atlas {(Vi , ψi )} y
∂(x1 , · · · , xk )
∂(z1 , · · · , zk )
es mayor o menor que cero en cada punto de U1 y en particular, en cada
punto de U1 ∩ U2 , donde (zi ) son las funciones de coordenadas para la
parametrizaci´on (Vi , ψi ) apropiada a los puntos en asunto. De la misma
forma,
∂(y1 , · · · , yk )
∂(z1 , · · · , zk )
es mayor o menor que cero en cada punto de U1 ∩ U2 de acuerdo como
(U2 , y) sea consistente o de orientaci´on opuesta a la estructura diferenciable (Vi , ψi ). Como
∂(y1 , · · · , yk )
∂(y1 , · · · , yk ) ∂(x1 , · · · , xk )
=
÷
∂(x1 , · · · , xk )
∂(z1 , · · · , zk )
∂(z1 , · · · , zk )
entonces que
∂(y1 , · · · , yk )
∂(x1 , · · · , xk )
es positivo sobre U1 ∩ U2 si (U1 , x) y (U2 , y) son ambos consistentemente
orientados o ambos opuestamente orientados a (Vi , ψi ); ser´a negativo sobre todo U1 ∩ U2 si la orientaci´on (U1 , x) y (U2 , y) con respecto a (Vi , ψi )
X
son diferentes.
♦
Ejemplo 3.4.1 Ahora, se est´a en condiciones para presentar un ejemplo
de una 2−superficie que no es orientable, se trata de la famosa Banda
de M¨
obius que se obtiene siguiendo la idea elemental que proporciona la
construcci´on de un cilindro a partir de un rect´angulo de papel y pegando
dos lados paralelos, es decir, identificando estos lados. Se puede, por
ejemplo, dar una media vuelta a uno de estos lados en el proceso para
entonces obtener como resultado la Banda de M¨
obius.
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3.4. SUPERFICIES ORIENTABLES
81
Siguiendo la idea anterior, se puede definir la Banda de M¨obius como el
cociente X/ ∼, donde X es la banda
{(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 2, −1 < y < 1}
y ∼ es la relaci´on definida por (x, y) ∼ (z, w) si y s´olo si z = x + 2 y
w = −y; con lo que (x, y) ∼ (x + 2, −y) (ver, Figura 3.5),
ϕ1
1
ϕ2
π
p·
0
−1
1
·q 2
Figura 3.5
tambi´en,
(−1, −1) ∼ (1, 1),
(−1, 1) ∼ (1, −1),
p ∼ q.
Sea π : X → X/ ∼ tal que π(x, y) sea la clase de equivalencia de
(x, y) bajo la relaci´on ∼ . Entonces X/ ∼ se puede cubrir con la imagen
de dos parametrizaciones (U1 , ϕ1 ) y (U2 , ϕ2 ) donde
U1 ={(x, y) : −1 < x < 1, −1 < y < 1}
U2 ={(x, y) : 0 < x < 2, −1 < y < 1},
ϕ1 : U1 → X/ ∼ definida por ϕ1 (x, y) = π(x, y), (x, y) ∈ U1 . De igual
manera, ϕ2 es la funci´on
ϕ2 : U2 → X/ ∼ .
definida tambi´en por ϕ2 (x, y) = π(x, y),
Se puede escribir entonces
W = ϕ1 (U1 ) ∩ ϕ2 (U2 ) = π (−1, 1) × (−1, 1) ∪ π (1, 2) × (−1, 1)
que es uni´on de dos conjuntos abiertos disyuntos. Como los puntos de
(0, 1)×(−1, 1) est´an uno a uno relacionados con (1, 2)×(−1, 1), entonces
2
ϕ−1
2 ◦ ϕ1 : (0, 1) ∪ (1, 2) × (−1, 1) → R
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82 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
dada por
ϕ−1
2
◦ ϕ1 (x, y) =
(x, y)
(x − 2, −y)
si (x, y) ∈ (0, 1) × (−1, 1)
si (x, y) ∈ (1, 2) × (−1, 1)
claramente es una funci´on diferenciable. Por lo tanto,
det d(ϕ1 ◦
ϕ−1
2 (x, y)
=
1
−1
si (x, y) ∈ (0, 1) × (−1, 1)
si (x, y) ∈ (1, 2) × (−1, 1)
Lo que muestra que la Banda de m¨
obius no es orientable.
Ejemplo 3.4.2 Una k−superficie que admite un atlas de dos parametrizaciones (U1 , x), (U2 , y) para la cual U1 ∩ U2 es conexo, es orientable.
Demostraci´
on. Se supone que las parametrizaciones (U1 , x), (U2 , y) tienen sistemas de coordenadas (xi , ) (yi ) (i = 1, · · · , k). Entonces, como
U1 ∩ U2 es conexo,
∂(y1 , · · · , yk )
∂(x1 , · · · , xk )
tiene signo constante sobre U1 ∩ U2 . Si el signo es positivo, entonces los
sistemas de coordenadas son consistentes y la superficie es orientable. Si
el signo es negativo, entonces los sistemas de coordenadas (x1 , · · · , xk ) y
(−y1 , · · · , yk ) son consistentemente orientados y de nuevo la k−superficie
X
es orientable.
♦
Ejemplo 3.4.3 Como caso particular del ejemplo anterior se tiene que
cada una de las esferas S n , n = 1, 2, 3, · · · es una variedad orientable, ya
que mediante la proyecci´on esterogr´afica S n , para cada n = 1, 2, 3, · · ·
admite un atlas con dos cartas y la intersecci´on de las dos vecindades
coordenadas es conexo.
Teorema 3.4.2 Sea M ⊆ Rn una superficie regular, de dimensi´
on m;
si existen n − m campos vectoriales normales continuos v1 , · · · , vn−m :
M −→ Rn linealmente independientes en cada p ∈ M, entonces M es
orientable.
Demostraci´
on. Sea P el conjunto de todas las parametrizaciones ϕ :
U0 → U ⊆ M tales que
i) U0 es convexo, por ejemplo bolas centradas en el origen, y
ii) Para todo x ∈ U0 , la matriz de tama˜
no n × n,
∂ϕ
∂ϕ
Φ(x) =
(x), · · · ,
(x), v1 (ϕ(x)), · · · , vn−m (ϕ(x))
∂x1
∂xm
cuyas columnas son los vectores indicados tiene determinante positivo.
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3.4. SUPERFICIES ORIENTABLES
83
Para cada x ∈ U0 , Note que Φ(x) es invertible ya que sus primeras
m columnas forman una base paqra Tϕ(x) M y las restantes forman una
base pata el complemento ortogonal de ese subespacio en Rn . Como Φ(x)
depende continuamente de x, su determinante no cambia de signo en el
conjunto conexo U0 .
Si para una cierta parametrizaci´on Φ(x) < 0 se puede cambiar el signo
de ϕ y obtener ϕ1 ∈ P, con la misma imagen U. Por lo tanto P es un
atlas para M. Para demostrar que P es coherente, sean
ϕ : U0 → U,
ψ : V0 → V
pertenecientes a P y p = ϕ(x) = ψ(x) ∈ U ∩ V. Si (ψ −1 ◦ φ)′ (x) = (Aij ) =
A, entonces
m
X
∂ϕ
∂ψ
(x) =
(y).
Aij
∂xj
∂yj
i=1
Esto indica, en t´erminos de matrices, que Φ(x) = Ψ(y)×A, con A = A0 I0 ,
donde I indica la matriz identidad de orden n − m. Como det Φ(x) > 0
y det Ψ(x) > 0, resulta entonces que
0 < det A = det A = det(ψ −1 ◦ φ)′ (x).
X
♦
Y la demostraci´on se ha t´erminado.
Ejemplo 3.4.4 Sea U un subconjunto abierto de Rn y f : U −→ Rm una
funci´on diferenciable con n ≥ m, entonces M = f −1 (c) es una superficie
orientable, si c es un valor regular de f, (dim M = n − m).
Soluci´
on. En efecto, sea c = (c1 , · · · , cm ) entonces M ⊆ fi−1 (ci ) para
cada i = 1, · · · , m. As´ı, para cada p ∈ M y cada v ∈ Tp M, sea λ :
(−ǫ, ǫ) −→ M un camino diferenciable, con λ(0) = p, λ′ (0) = v entonces
fi (λ(t)) = ci para todo t y cada i = 1, 2, · · · , m y por lo tanto,
0 = hgrad fi (p) , λ′ (t)i
(i = 1, 2, · · · , m)
lo que muestra que grad fi ⊥ M. Adem´as grad f ∈ C ∞ (M ).
Como c es valor regular de f en cada punto p ∈ M = f −1 (c), la derivada
fp′ : Rn → Rm
es sobreyectiva. Por lo tanto, las m−filas de la matriz de fp′ son linealmente independientes y esas filas son los vectores grad fi |p . Lo prueba el
ejercicio en virtud del Teorema anterio.
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84 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
§ 3.5.
Ejercicios
Vectores tangentes y campos vectoriales
1. Calcular una base para el espacio tangente Tp M cuando
a) M = S 2 , p = ( 12 , 12 ,
√
2
)
2
b) M = {(x, y, x2 + y 2 ) : x, y ∈ R}, p = (2, 0, 4)
2. Sea M una k−superficie, verificar entonces que Tp M y Tp∗ M son
k−superficies
3. Demostrar que si (U, ϕ) es una parametrizaci´on de una k−superficie
M, con coordenadas x1 , · · · , xk , entonces
h ∂
∂ i
,
=0
∂xi ∂xj
sobre U.
4. Sea M una k−superficie. Demostrar que T ∗ M es una superficie
regular de dimensi´on 2k.
5. Un campo vectorial se dice completo si el dominio de cualquier
curva integral se puede extender a todo R. Determinar si los campos
vactoriales
∂
∂
+ x1
,
∂x1
∂x2
∂
∂
b) X = (x1 − x2 )
+ x2
∂x1
∂x2
a) X = −x2
son completos sobre R2
Orientaci´
on
6. Demostrar que RP1 , es decir el conjunto de todas las rectas que
pasan por el origen de R2 , es orientable.
7. Demostrar que el
n
o
x21 x22 x23
M = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R : 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
3
con a > 0, b > 0 y c > 0 es orientable.
8. Demostrar que el toro T 2 de revoluci´on es orientable.
9. Demostrar que RP2 , es decir, el conjunto de todas las rectas que
pasan por el origen de R3 , es
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3.5. EJERCICIOS
85
a) una 2−superficie;
b) no orientable.
10. Probar que toda k−superficies que es difeomorfa a una superficie
orientable es orientable.
11. Demostrar que el fibrado tangente de una k−superficie es orientable.
12. Demuestrar que si una 2−superficie regular M de R3 contiene una
Banda de M¨obius, entonces M no es orientable.
13. Usar campos vectoriales normales para dar otra demostraci´on de
la no orientabilidad Banda de M¨obius.
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86 CAP´ITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION
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Cap´ıtulo 4
Peque˜
na introducci´
on al
´
algebra multilineal
§ 4.1.
Introducci´
on
´
En este cap´ıtulo se revisar´an algunos temas de Algebra
Lineal y Multilineal que ya de por s´ı son de gran inter´es en la Matem´atica y en la
t´ecnica. As´ı que se presentar´an los conceptos funciones multilineales, tensores sobre espacios vectoriales, espacios vectoriales de formas y elemento
volumen entre otros necesarios para presentar resultados importantes del
C´alculo en varias variables y en k−superficies.
Todos los espacios vectoriales V, W, U usados en este cap´ıtulo son de
dimensi´on finita y L(V ; W ) representa el espacio vectorial de todas las
transformaciones lineales T : V → W con las operaciones usuales entre
funciones.
§ 4.2.
Una nota sobre espacio dual
Sea V un espacio vectorial real. Como es usual, V ∗ denotar´a el espacio
vectorial dual de V, esto es, el espacio vectorial formado por todas las
transformaciones (o funcionales) lineales T : V → R. Adem´as si e =
{ei : i = 1, ·, n} es una base para V, es decir cualquier elemento de V
es combinaci´on lineal de estos elementos, entonces su base dual asociada
(de V ∗ ) es e∗ = {ej : j = 1, ·, n} es tal que
(
1,
si i = j
ei (ej ) =
0,
si i 6= j.
Se observa que si x = x1 e1 + · · · + xn en ∈ V, entonces ej (x) = xj esto es,
ej actua como el funcional lineal proyecci´on en la j−´esima componente.
En la teor´ıa de tensores los elementos con super´ındices siempre estar´an
en el dual. por ejemplo
vi ∈ V ∗,
uj ∈ U ∗
87
88
˜ INTRODUCCION
´ AL ALGEBRA
´
CAP´ITULO 4. PEQUENA
MULTILINEAL
Adem´as, obs´ervese que si v ∈ V, entonces
v=
n
X
ei (v)ei
i=1
y para cada α ∈ V ∗ ,
α=
n
X
α(ei )ei .
i=1
Empleando la convenci´on, en donde la suma est´a invocada cuando un
´ındice est´a repetido inferior y superiormente, estas expresiones se convierten en
v = ei (v)ei y α = α(ei )ei .
Se puede enviar V en V ∗∗ = L(V ∗ , R) en donde a cada v ∈ V se le asocia
v ∗∗ ∈ V ∗∗ , definido por v ∗∗ (α) = α(v) para todo α ∈ V ∗ . En el caso en
que V tiene dimensi´on finita V ∗∗ y V tienen la misma dimensi´on y como
la funci´on V → V ∗∗ es uno a uno es por lo tanto un isomorfismo. Por
identificaci´on se tiene que
(
1,
si i = j
i
i
ej (ei ) = e∗∗
j (e ) = e (ej ) =
0,
si i 6= j
´
Algebra
tensorial
§ 4.3.
Si V1 , · · · , Vn son espacios vectoriales sobre un campo K, donde K = R
o K = C, existen muchas funciones
t : V1 × · · · × Vn → K
con caracter´ısticas muy especiales y de gran utilidad en la Matem´atica
seg´
un el caso. En esta secci´on se estudiar´a el caso cuando t es una funci´on
multilineal, esto es, lineal en cada componente. En particular para n = 2,
t debe satisfacer:
t(x1 + x2 , y) = t(x1 , y) + t(x2 , y)
t(x, y1 + y2 ) = t(x, y1 ) + t(x, y2 )
t(cx, y) = ct(x, y) = t(x, cy)
Para todo x, x1 , x2 en V1 y todo y, y1 , y2 en V2 .
Por comodidad este estudio se presentar´a sobre R (es decir cuando K =
R). El conjunto de todas las funciones multilineales en V1 ×· · ·×Vn forman
un espacio vectorial con suma y producto por escalares las naturalmente
definidas entre funciones.
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4.3. ALGEBRA
TENSORIAL
4.3.1.
89
Tensores covariantes y contravariantes
Definici´
on 4.3.1 Para un espacio vectorial V de dimensi´
on n, sea
Tsr (V ) = Lr+s (V ∗ , · · · , V ∗ , V, · · · , V ; R)
r copias de V ∗ y s copias de V, el espacio vectorial de todas las funciones
multilineales de la forma
∗
· · × V} −→ R.
t:V
· · × V }∗ × V
| × ·{z
| × ·{z
r-copias
s-copias
Los elementos de Tsr (V ) se llaman tensores de tipo
variante de orden r y covariante de orden s.
r
s
sobre V, contra-
Definici´
on 4.3.2 (Producto tensorial) Sea V un espacio vectorial,
si
t1 ∈ Tsr11 (V ) y t2 ∈ Tsr22 (V ),
el producto tensorial
+r2
t1 ⊗ t2 ∈ Tsr11+s
(V )
2
esta dado por
t1 ⊗ t2 (β 1 , · · · , β r1 , γ 1 , · · · , γ r2 , f1 , · · · , fs1 , g1 , · · · , gs2 )
= t1 (β 1 , · · · , β r1 , f1 , · · · , fs1 )t2 (γ 1 , · · · , γ r2 , g1 , · · · , gs2 )
donde β j , γ j ∈ V ∗ y f1 , g2 ∈ V.
Reemplazando R por un espacio F se obtiene Tsr (V ; F ), el espacio tensorial con valores en F de tipo rs .
Ahora obs´ervese que el producto tensorial no es conmutativo y satisface
las siguientes propiedades:
t1 ⊗ (t2 ⊗ t3 ) = (t1 ⊗ t2 ) ⊗ t3 ,
(t1 + t2 ) ⊗ t3 = t1 ⊗ t3 + t2 ⊗ t3 ,
t1 ⊗ (t2 + t3 ) = t1 ⊗ t2 + t1 ⊗ t3 ,
(ct1 ) ⊗ t2 = c(t1 ⊗ t2 ) = t1 ⊗ (ct2 )
para todo t1 , t2 , t3 tensores y c ∈ Rn . Adem´as,
(a) T10 (V ) = V ∗ ,
(b) T01 (V ) = V ∗∗ ,
(c) T20 (V ) = L(V ; V ∗ )
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90
˜ INTRODUCCION
´ AL ALGEBRA
´
CAP´ITULO 4. PEQUENA
MULTILINEAL
Por convenci´on se toma T00 (V ; F ) = F.
Teorema 4.3.1 Sea V un espacio vectorial tales que si {ei : i = 1, · · · , n}
es una base para V, {ej : j = 1, · · · , n} su base dual para V ∗ . Entonces
una base para Tsr (V ) est´
a dada por
ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs ik , jk = 1, · · · , n .
(4.1)
En particular, Tsr (V ) tiene una estructura de espacio vectorial con dimensi´on nr+s .
Demostraci´
on.
Se debe demostrar que los elementos ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs de
Tsr (V ) son linealmente independientes y general a Tsr (V ).
(a) Se supone una suma finita
ti1 ···ir j1 ···js ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs = 0.
Entonces al aplicar esta ecuaci´on a (ek1 , · · · , ekr , el1 , · · · , els ) y usando la identificaci´on ei (ej ) = ej (ei ) se obtiene
ti1 ···ir j1 ···js = 0.
(b) Sea t ∈ Tsr (V ). Si X 1 = x1i1 ei1 , · · · , X r = xrir eir en V ∗ , y tomando
tambi´en Y1 = y 1j1 ej1 , · · · , Ys = y sis ejs en V, entonces
t(X 1 , · · · , X r , Y1 , · · · , Ys ) =t(x1i1 ei1 , · · · , xrir eir , y 1j1 ej1 , · · · , y sjr ejs )
=t(ei1 , · · · , eir , ej1 , · · · , ejs ) x1i1 · · · xrir y 1j1 · · · y sjs
Como
x1i1 · · · xrir y 1j1 · · · y sjs =ei1 (X 1 ) · · · eir (X r )ej1 (Y1 ) · · · ejs (Ys )
=ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs (X 1 , · · · , X r , Y1 , · · · Ys ),
todo esto muestra que
t = t(ei1 , · · · , eir , ej1 , · · · , ejs ) ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs . (4.2)
X
♦
Lo que demuestra el Teorema.
Por Teorema anterior, el espacio tensorial Tsr (V ) tiene otra notaci´on m´as
intuitiva dada por:
V ⊗ ··· ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ ··· ⊗ V ∗
(4.3)
donde se presentan r copias de V y s copias de V ∗ .
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4.3. ALGEBRA
TENSORIAL
91
§ Ejemplos
Ejemplo 4.3.1 Sean
e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1)
los vectores de la base can´onica de Rn y {ei , 1 ≤ i ≤ n} base para (Rn )∗
dual a {e1 , · · · , en }.
Son 02 tensores sobre Rn :
t = e1 ⊗ en ,
Un tensor de tipo 03 es
t = e1 ⊗ e2 + 5e2 ⊗ en .
t = en ⊗ e2 ⊗ e3
Por u
´ltimo un tensor de tipo 12 es
t = 2e1 ⊗ e1 ⊗ e2 + 4e2 ⊗ e1 ⊗ e1 + 6e3 ⊗ e2 ⊗ e3
Ejemplo 4.3.2
(a) Si t es un
0
2
tensor sobre V, entonces t tiene componentes
tij = t(ei , ej ),
es decir una matriz de tama˜
no n × n. Esta es la forma usual de
asociar una forma bilineal con una matriz. Por ejemplo, en R2 la
forma bilineal
t(x, y) = Ax1 y1 + Bx1 y2 + Cx2 y1 + Dx2 y2
(donde x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 )) est´a asociada a la matriz
A B
C D
(b) Si t es un 02 tensor sobre R2 , entonces tiene sentido decir que t es
sim´etrico si
t(e1 , e2 ) = t(e2 , e1 ).
Esto es equivalente a decir que la matriz tij es sim´etrica. Un 02
tensor sim´etrico se puede recuperar de su forma cuadratica Q(e) =
t(e, e) por
1
Q(e1 + e2 ) − Q(e1 − e2 )
4
y t tiene como matriz asociada
A B
B D
t(e1 , e2 ) =
entonces Q(x) = Ax21 + 2Bx1 x2 + Dx22
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92
˜ INTRODUCCION
´ AL ALGEBRA
´
CAP´ITULO 4. PEQUENA
MULTILINEAL
(c) En general, un
0
s
tensor sim´etrico se define con la condici´on
t(v1 , · · · , vs ) = t(vσ(1) , · · · , vσ(s) )
para toda permutaci´on σ de {1, · · · , s}, y para todos elementos
v1 , · · · , vs ∈ V. Se le puede asociar a t un polinomio homogeneo de
grado k :
P (v) = t(v, · · · , v)
y como en el caso s = 2, P y t determina uno al otro.
Tambi´en se
puede hacer una definici´on similar para el caso de 0r tensores. Es
claro que un tensor es sim´etrico si y s´olo si todas sus componentes
en cualquier base son sim´etricos.
(d) Un producto interior h , i sobre V es un 02 tensor y su matriz se
escribe generalmente con gij = h ei , ej i. As´ı gij es sim´etrico y defido
positivo. La matriz inversa se escribe con g ij .
§ 4.4.
´
Algebra
exterior
Esta secci´on trata fundamentalmente de un ejemplo importante de
tensores sobre espacios vectoriales, llamado tensores alternados que son
usados en muchos apartes de la Geometr´ıa Diferencial y en integraci´on
sobre variedades. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita n sobre
el campo F, un elemento
t ∈ Tk0 (V ; F ) = Lk (V ; F );
es decir, una funci´on k−lineal de V × · · · × V → F se dice anti-sim´etrica
cuando
t(x1 , · · · , xi , · · · , xj , · · · , xk ) = −t(x1 , · · · , xj , · · · , xi , · · · , xk ).
para todo x1 , · · · , Xk ∈ V. Esto es equivalente a decir que
t(x1 , · · · , xk ) = (sig σ)t(xσ(1) , · · · , xσ(k) ).
donde σ es cualquier elemento de Sk , el grupo de permutaciones de k
elementos. El subespacio de Lk (V ; F ), formado por todos los elementos anti-sim´etricos con valores en F, se denota con Λk (V ; F ) y recibe
el nombre de k−formas exteriores con valores en F ; si el campo F es
naturalmente concebido, s´olo se dir´a k−formas exteriores o simplemente k−formas. Por definici´on, Λ0 (V ; F ) = F. Cuando F = R, se escribe
Λ0 (V ) = R Λ1 (V ) = V ∗ y Λk (V ) al subespacio vectorial de Lk (V ; R)
formado por los elementos que son anti-sim´etricos.
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4.4. ALGEBRA
EXTERIOR
Si v 1 , v 2 · · · , v k son funcionales lineales se puede
v 1 ∧ · · · ∧ v k de Λk (V, F ) definido por
v 1 (w1 )
v 2 (w1 )
v 1 ∧ v 2 ∧ · · · ∧ v k (w1 , · · · , wk ) = ..
k.
v (w1 )
93
obtener un elemento
···
···
···
·
para todo w1 , · · · , wk ∈ V.
k
v (wk ) v 1 (wk )
v 2 (wk )
..
.
La funci´on de determinante implica que v 1 ∧ v 2 ∧ · · · ∧ v k es k−lineal y
alternada y si v i = v j , entonces v 1 ∧ · · · ∧ v k = 0.
Teorema 4.4.1 Sea e = (e1 , · · · , en ) una base para V y e∗ = (e1 , · · · , en )
base dual de e para V ∗ , entonces
(a) ei ∧ ej = ei ⊗ ej − ej ⊗ ei .
(b) El conjunto
i1
e ∧ · · · ∧ eik : 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n,
(4.4)
donde ij ∈ {1, 2, · · · , n}, forma una base para Λk (V, F ).
(c) dim Λk (V ) = nk
Demostraci´
on. La parte (a) se obtiene de manera inmediata al aplicar la definici´on de determinante de orden 2 × 2. Para demostrar (b)
primero se observa que los elementos del conjunto dado son linealmente
independientes ya que si
X
Ai1 ···ik ei1 ∧ · · · ∧ eik = 0, ij ∈ {1, 2, · · · , n},
i1 <···<ik
es aplicado a (ej1 , · · · , ejk ), con j1 < · · · < jk y jl ∈ {1, 2, · · · , n} se
obtiene que
X
Ai1 ···ik ei1 ∧ · · · ∧ eik (ej1 , · · · , ejk ) = 0,
i1 <···<ik
lo que implica que Ai1 ···ik = 0.
Para mostrar que el conjunto genera a Λk (V, F ), se considera f ∈ Λk (V, F )
y sea
X
f (ei1 · · · eik )ei1 ∧ · · · ∧ eik = g
i1 <···<ik
entonces g ∈ Λk (V ; F ). Adem´as,
g(ei1 , · · · , eik ) = f (ei1 , · · · , eik ),
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CAP´ITULO 4. PEQUENA
MULTILINEAL
94
para todo i1 , · · · , ik . lo que forza que f = g. Haciendo f (ei1 , · · · , eik ) =
Ai1 ···ik se obtiene
X
f=
f (ei1 · · · eik )ei1 ∧ · · · ∧ eik .
(4.5)
i1 <···<ik
X
♦
(c) es consecuencia inmediata de (b).
Si w es una k−forma lineal y ϕ una k−forma, es decir,
X
X
w=
ai1 ···ik ei1 ∧ · · · ∧ eik , ϕ =
bi1 ···ik ei1 ∧ · · · ∧ eik , (4.6)
i1 <···<ik
i1 <···<ik
es natural tener el siguiente par de operaciones:
(a) La suma
X
w+ϕ=
i1 <···<ik
(ai1 ···ik + bi1 ···ik )ei1 ∧ · · · ∧ eik ,
(b) El producto por escalares
X
αw =
α ai1 ···ik ei1 ∧ · · · ∧ eik ,
i1 <···<ik
4.4.1.
(4.7)
(4.8)
Producto exterior
Sean
w=
X
i1 <···<ik
ai1 ···ik ei1 ∧ · · · ∧ eik ,
θ=
X
j1 <···<jk
bj1 ···js ej1 ∧ · · · ∧ ejs (4.9)
el producto exterior w ∧ θ, es la (k + s)−forma definida de la
siguiente manera: para entonces
X
w∧θ =
ai1 ···ik bj1 ···js ei1 ∧ · · · ∧ eik ∧ ej1 ∧ · · · ∧ ejs
i1 <···<ik
j1 <···<js
Es inmediato verificar que la operaci´on de producto exterior goza de las
siguientes propiedades: w ∈ Λk (V ), ϕ ∈ Λs (V ) y θ ∈ Λr (V ), entonces
(w ∧ ϕ) ∧ θ = w ∧ (ϕ ∧ θ),
w ∧ ϕ = (−1)ks ϕ ∧ w,
(cw) ∧ ϕ = c(w ∧ ϕ) = w ∧ (cϕ),
(w + ϕ) ∧ θ = w ∧ θ + ϕ ∧ θ,
(si k = s),
w ∧ (ϕ + θ) = w ∧ ϕ + ϕ ∧ θ,
(si s = r).
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4.5. ACCION
95
El producto exterior ∧, junto con con las operaciones usuales entre funciones, inducen en la suma directa
Λ(V ) = Λ0 (V ) ⊕ Λ1 (V ) ⊕ · · · ⊕ Λn (V ),
la estructura de ´algebra no conmutativa con elemento unidad, el 1 de
´
´
Λ0 (V ), llamada Algebra
exterior o Algebra
de Grassman de
∗
V .y
n
n
n
n
dim Λ(V ) =
+
+ ··· +
+
= 2n
0
1
n−1
n
§ 4.5.
Acci´
on de transformaciones lineales sobre
tensores
Primero se observa un efecto que tienen las transformaciones lineales
sobre espacios vectoriales duales.
4.5.1.
Traspuesta de una transformaci´
on lineal
Si ϕ ∈ Hom(V, W ) la traspuesta de ϕ, denotada con ϕ∗ ∈ Hom(W ∗ , V ∗ )
se define por: para todo β ∈ W ∗ , ϕ∗ (β) ∈ V ∗ y para v ∈ V
ϕ∗ (β)(v) = β(ϕ(v)) o (ϕ∗ (β), v) = (β, ϕ(v)).
Se analizar´a entonces la matriz de ϕ y de ϕ∗ . Como es costumbre en
´algebra lineal, los vectores en una base dada se representan por columnas cuyas entradas son las componentes del vector. Sean ϕ ∈ Hom(V, W )
y v = (v1 , · · · , vn ), w = (w1 , · · · , wm ) bases ordenadas de V y W respectivamente. Como existen escalares Aa i tales que
ϕ(vi ) = Aa i wa
donde se colocan ´ındices diferentes en la sumatoria
con los ´ındices en W, entonces la matriz de ϕ es

A11 · · · A1n

..
A = Aa i m×n =  ...
.
m
A1 · · · Am
n
para no confundirse



El ´ındice superior proporciona el ´ındice de las filas y el ´ındice inferior
proporciona el ´ındice de las columnas.
Tambi´en obs´ervese que si x = xi vi ∈ V,
ϕ(x) = xi ϕ(vi ) = xi Aai wa ,
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MULTILINEAL
96
las componentes de ϕ(x)a = Aai xi . Luego pensando x y ϕ(x) como vectores columnas, esta formula muestra que ϕ(x) se calcula multiplicando a
x a la izquierda por A, la matriz de ϕ, como en ´algebra Lineal Elemental,
esto es,
ϕ(x) = A · x.
Consecuentemente, ϕ(vi ) representa la i-´esima columna de la matriz de
ϕ.
Ahora se estudia la matriz de ϕ∗ ∈ Hom(W ∗ , V ∗ ). En efecto, si v ∗ =
(v 1 , · · · , v n ) y w∗ = (w1 , · · · , wm ) son las bases duales ordenadas de v y
w respectivamente, entonces
ϕ∗ (wa )(vi ) = wa (ϕ(vi )) = wa (Abi wb ) = Abi (wa wb ) = Abi δba = Aai
Por lo tanto, ϕ∗ (wa ) en la base v ∗ de V ∗ es
ϕ∗ (wa ) = Aai v i
En este caso, se observa que la variaci´on de los sub´ındices en Aa i es como
sigue: el ´ındice superiore es el ´ındice de las columnas y el inferior es el de
las filas, esto es, la matriz de ϕ∗ respecto a las bases v ∗ y w∗ es


A11 · · · Am
n
 ..
..  = At
 .
. 
1
An · · · Am
n
donde t est´a indicando traspuesta. Si β = βa wa ∈ W, entonces
ϕ∗ (β) = βa ϕ∗ (wa ) = βa Aa i v i .
La i-´esima fila componente de ϕ∗ (β) es igual βa Aa i . Obs´ervese que los
elementos en el dual se presentan como filas cuyas entradas son sus componentes en la base dual, la conclusi´on inevitable en los c´alculos es que
ϕ∗ (β) se calcula multiplicando β a derecha por A, la matriz de ϕ, otra
´
vez como en Algebra
Lineal, esto es,
ϕ∗ (β) = β · (Aa i ),
o bien
ϕ∗ (β) = (Aa i )t β
donde At indica la matriz traspuesta de A.
4.5.2.
Pull-back y push-forward para tensores
Ahora, se puede trabajar el efecto que tienen las transformaciones lineales
sobre tensores.
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4.5. ACCION
97
Definici´
on 4.5.1 Sea ϕ ∈ Hom(V, W ),
(a) se define el pull-back (regreso) de ϕ : ϕ∗ ∈ Hom(Ts0 (W ), Ts0 (V ))
por
ϕ∗ t(v1 , · · · , vs ) = t(ϕ(v1 ), · · · , ϕ(vs ))
donde t ∈ Ts0 (W ) y v1 , · · · , vs ∈ V.
(b) Si ϕ es un isomorfismo, se define el push-forward (empuje) de
ϕ:
Ts0 ϕ = ϕ∗ ∈ Hom(Ts0 (V ), Ts0 (W ))
por
ϕ∗ t(w1 , · · · , ws ) = t(ϕ−1 (w1 ), · · · , ϕ−1 (ws ))
donde t ∈ Ts0 (V ) y w1 , · · · , ws ∈ W (ver, Figura 4.1).
ϕ∗ = push forward
Objetos sobre V
Objetos sobre W
ϕ∗ = pull back
V
W
ϕ
Figura 4.1
La figura 4.1 proporciona la raz´on de los nombres de pull back (o traspuesta) y push forward.
El push-forward y el pull back de ϕ se pueden presentar para tensores mixtos, en efecto, se empieza con el push-forward, si ϕ ∈ Hom(V, W )
es un isomorfismo, entonces se define
Tsr ϕ = ϕ∗ ∈ Hom(Tsr (V ), Tsr (W ))
(4.10)
se define por
ϕ∗ t (w1 , · · · , wr , w1 , · · · , ws ) = t (ϕ∗ (w1 ), · · · , ϕ∗ (wr ), ϕ−1 (w1 ), · · · , ϕ−1 (ws ))
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CAP´ITULO 4. PEQUENA
MULTILINEAL
para todo t ∈ Tsr (V ), y todo wi ∈ W ∗ , wj ∈ W. Tambi´en, Como la
funci´on (ϕ−1 )∗ actua enviando hacia “atr´as”, o traspone hacia atras, ´este
es pull-back de ϕ y se denota con ϕ∗ (recuerde que la traspuesta de ϕ
coincide con esta idea y este s´ımbolo). En tal caso y por definici´on se debe
tener: para ϕ ∈ Hom(V, W ) un isomorfismo ϕ∗ ∈ Hom(Tsr (W ), Tsr (V ))
si y s´olo si
ϕ∗ t(v 1 , · · · , v r , v1 , · · · , vs ) = t(ϕ−1∗ (v 1 ), · · · , ϕ−1∗ (v r ), ϕ(v1 ), · · · , ϕ(vs ))
N´otese que T10 ϕ = (ϕ−1 )∗ . Si V y W son de dimensi´on finita entonces
T01 (V ) = V ∗∗ ≈ V
y T01 (W ) = W ∗∗ ≈ W
adem´as, en lo sucesivo se identifica ϕ con T01 ϕ.
El Siguiente par de teorema aseguran que ϕ∗ y ϕ∗ son compatibles con
la composici´on y el producto tensorial. Su prueba es inmediata.
Teorema 4.5.1 Sean ϕ ∈ Hom(V, W ), ψ ∈ Hom(W, G). Entonces
(a) (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ .
(b) Si i : V → V es la identidad, entonces tambi´en lo es i∗ ∈ Hom Ts0 (V ), Ts0 (V ) .
(c) Si ϕ es un isomorfismo, entonces tambi´en lo es ϕ∗ .
(d) Si t1 ∈ Ts01 (W ) y t2 ∈ Ts02 (W ), entonces ϕ∗ (t1 ⊗t2 ) = ϕ∗ (t1 )⊗ϕ∗ (t2 ).
Demostraci´
on. Se demuestra (a) y se deja como ejercicio (b), (c) y (d).
En efecto, bajo hip´otesis
(ψ ◦ ϕ)∗ t(v1 , · · · , vs ) =t(ψ ◦ ϕ(v1 ), · · · , ψ ◦ ϕ(vs ))
=t(ψ(ϕ(v1 )), · · · , ψ(ϕ(vs )))
=ϕ∗ ◦ ψ ∗ t(v1 , · · · , vs )
X
♦
Lo que termina la prueba.
Teorema 4.5.2 Sean ϕ : V → W, ψ : W → G isomorfismos. Entonces
(a) (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗ .
(b) Si i : V → V es la identidad, entonces tambi´en lo es
i∗ : Tsr (V ) → Tsr (V ).
(c) ϕ∗ : Tsr (V ) → Tsr (V ) es un isomorfismo y (ϕ∗ )−1 = (ϕ−1 )∗ .
(d) si t1 ∈ Tsr11 (V ) y t2 ∈ Tsr22 (V ), entonces
ϕ∗ (t1 ⊗ t2 ) = ϕ∗ (t1 ) ⊗ ϕ∗ (t2 ).
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4.5. ACCION
99
Demostraci´
on. Para demostrar (a), primero se observa que es un ejer´
cicio de Algebra Lineal B´asica verificar que la traspuesta de una composici´on de transformaciones lineales satisface (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ . Luego
ψ∗ (ϕ∗ t)(f 1 , · · · , f r , g1 , · · · , gs ) =
= ϕ∗ t ψ ∗ (f 1 ), · · · , ψ ∗ (f r ), ψ −1 (g1 ), · · · , ψ −1 (gs )
= t ϕ∗ ψ ∗ (f 1 ), · · · , ϕ∗ ψ ∗ (f r ), ϕ−1 ψ −1 (g1 ), · · · , ϕ−1 ψ −1 (gs )
= t (ψ ◦ ϕ)∗ (f 1 ), · · · , (ψ ◦ ϕ)∗ (f r ), (ψ ◦ ϕ)−1 (g1 ), · · · , (ψ ◦ ϕ)−1 (gs ))
= (ψ ◦ ϕ)∗ t(f 1 , · · · , f r , g1 , · · · , gs ),
donde f 1 , · · · , f r ∈ G∗ , g1 , · · · , gs ∈ G y t ∈ Tsr (V ).
La parte (b) es una consecuencia inmediata de la definici´on y el hecho
que i∗ = i e i−1 = i. Para (c) obs´ervese que por (a) y (b) se tiene
ϕ∗ ◦ (ϕ−1 )∗ = i∗ , la identidad en Tsr (W ); similarmente, (ϕ−1 )∗ ◦ ϕ∗ = i∗
la identidad en Tsr (V ), y as´ı (c) es verdadero. Finalmente (d) es una
X
consecuencia de la definici´on.
♦
§ Observaciones
Sean V y W espacios vectoriales (de dimensi´on finita). Si ϕ : V → W es
una transformaci´on lineal con
{vi : i = 1, · · · , n},
{wj : j = 1, · · · , m}
bases para V y W respectivamente y sus bases duales
{v i : i = 1, · · · , n},
{wj : j = 1, · · · , m}
respectivamente. Entonces
(a) ϕ∗ (wj )(v) = wj (ϕ(v)), es decir, ϕ∗ actua sobre elementos b´asicos
como la traspuesta de ϕ.
(b) Si ϕ es un isomorfismo, entonces
ϕ∗ (v i ) = T10 (v i ) = (ϕ−1 )(v i ),
ya que por definici´on
T10 (v i )(w) = v i (ϕ−1 (w)) = (ϕ−1 )∗ v i (w)
(c) ϕ∗ (vi ) = T01 ϕ(vi ) = ϕ(vi ). Ya que de nuevo por definici´on
T01 ϕ(vi )(w∗ ) = vi (ϕ∗ (w∗ )) = ϕ∗∗ (vi (w∗ )) = (ϕ(vi ))(w∗ )
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CAP´ITULO 4. PEQUENA
MULTILINEAL
100
(d) ϕ∗ (wj ) = ϕ−1 (wj ). Ya que
ϕ∗ (wj )(v) = T10 ϕ−1 (wj )(v) = wj ((ϕ−1 )∗ v) = (ϕ−1 wj )v.
Ejemplo 4.5.1 Sobre R2 se toma la base est´andar {e1 , e2 }. Si y t =
e1 ∧ e2 y w = e1 ⊗ e2 . Calcular ϕ∗ t, ϕ∗ w cuando ϕ : R2 → R2 con
x
2 1
.
ϕ(x, y) =
y
1 1
Soluci´
on. Primero se observa que si
2 1
A=
1 1
entonces,
A=
2 1
1 1
∗
1
t
=A
con lo que
ϕ (e ) =
y
∗
2
ϕ (e ) =
Por lo tanto,
y A
2 1
1 1
2 1
1 1
−1
=
1
0
0
1
1 −1
−1 2
= (A−1 )t ,
= 2e1 + e2 ,
= e1 + e2 .
ϕ∗ t = ϕ∗ (e1 ) ∧ ϕ∗ (e2 ) = (2e1 + e2 ) ∧ (e1 + e2 ) = e1 ∧ e2 .
Y como
∗
−1
ϕ (e1 ) = ϕ (e1 ) =
1 −1
−1 2
1
0
= e1 − e2 ,
entonces
ϕ∗ w = (e1 − e2 ) ⊗ (e1 + 2e2 ) = e1 ⊗ e1 + e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1 − e2 ⊗ e2 .
§ 4.6.
Ejercicios
1. Sea e = (1, 0, · · · , 0) e2 = (0, 1, 0, · · · , 0) en = (0, · · · , 0, 1) base
para Rn con base dual e1 , · · · , en para (Rn )∗ . Probar que
t = e1 ⊗ e1 + · · · + en ⊗ en
es un 02 −tensor sobre Rn y que coincide con el producto interior
usual (o can´onico) de Rn . ¿Cu´al es su representaci´on matricial?.
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4.6. EJERCICIOS
a) T01 (V )=V ∗∗
c) T20 (V )=L(V, V ∗ )
b) T10 (V )=V ∗
d) T11 (V )=L(V, V ∗∗ )
101
2. Probar
que todo producto interno sobre un espacio vectorial V es
un 02 −tensor sobre V.
3. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita n. Probar:
4. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita n. Si w ∈ Λk (V ),
ϕ ∈ Λs (V ) y θ ∈ Λr (V ), entonces demostrar que
a) (w ∧ ϕ) ∧ θ = w ∧ (ϕ ∧ θ),
b) (cw) ∧ ϕ = c(w ∧ ϕ) = w ∧ (cϕ),
c) w ∧ ϕ = (−1)ks ϕ ∧ w.
d) w ∧ (ϕ + θ) = w ∧ ϕ + ϕ ∧ θ, (si s = r),
e) (w + ϕ) ∧ θ = w ∧ θ + ϕ ∧ θ, (si k = s),
5. Probar que si v1 , ..., vn son elementos de Rn , entonces el volumen del
paralelep´ıpedo formado por ´estos y el origen, es decir, el volumen
de
p(0; v1 , ..., vn ) = {v ∈ Rn : v = t1 v1 + ... + tn vn , t ∈ [0, 1]}
es el valor absoluto del determinante la matriz cuyas columnas son
las componentes de los vectores v1 , ..., vn .
Sugerencia: usar integraci´on multiple bajo un cambio de coordenadas adecuado.
6. m-volumen: Sean a1 , ..., am vectores linealmente independientes
en Rn , m ≤ n. Probar que el m−volumen del paralelep´ıpedo, sobre el m−espacio vectorial, formado por los a1 , · · · , am y el origen
est´a dado por la siguiente f´ormula


ha1 , a1 i ...
ha1 , am i




2


..
..
vol(p(0; a1 , ..., am )) = det 

.
.




ham , a1 i ...
ham , am i
7. En el problema (6), se considera Rn con base can´onica
e = {e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · en = (0, · · · , 0, 1)}
∗
con base dual e∗ = {e1 , · · · en } para Rn . Si Ω = a1 ∧ · · · ∧ am ,
donde cada ai , i = 1, · · · , m es el vector correspondiente a ai en
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102
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CAP´ITULO 4. PEQUENA
MULTILINEAL
[Rn ]∗ bajo el isomorfismo ϕ : Rn → [Rn ]∗ dado por, si x = x1 e1 +
· · · + xn en ∈ Rn , entonces
ϕ(x) = x1 e1 + · · · + xn en .
Probar entonces que
[vol(p(0; a1 , · · · , am ))]2 = Ω(a1 , · · · , am ),
donde Ω = a1 ∧ · · · ∧ am . Ω recibe el nombre de Elemento volumen.
8. Bajo las hipotesis del ejercicio 7, probar
a1 ∧ · · · ∧ am (a1 , · · · , am ) =
X
i1 <···<im


det 

···
ai m 1
ai 1 m · · ·
ai m m
ai 1 1
donde a1 = (a11 , · · · , a1n ), · · · am = (am1 , · · · , amn ) con m ≤ n.




9. Sean V, W y Q espacios vectoriales de dimensi´on finita. Si ϕ : V →
W y ψ : W → Q son transformaciones lineales, entonces probar
a) (ψ ◦ ϕ)∗ =ϕ∗ ◦ ψ ∗
b) Si t1 ∈ Ts01 (W ), t2 ∈ Ts02 (W ), entonces
ϕ∗ (t1 ⊗ t2 ) = (ϕ∗ t1 ) ⊗ (ϕ∗ t2 )
c) Sea e1 =(1, 0, 0), e2 =(0, 1, 0), e3 =(0, 0, 1) base usual de R3 y
(e1 , e2 , e3 ) base dual para [R3 ]∗ . Si ϕ : R3 → R3 est´a dada por
 

x
1 1 1
ϕ(x, y, z) =  0 1 1   y 
z
0 0 1
Calcular:
(i) ϕ∗ (e1 ⊗ e2 )
(ii) ϕ∗ (e1 ⊗ e3 )
(iii) ϕ∗ (t) si t = e1 ∧ e2 + 2e1 ∧ e3
10. Sean V y W espacios vectoriales con bases {ei : i = 1, · · · , n},
{wj : j = 1, · · · , m} con bases duales {ei : i = 1, · · · , n}, {wj : j =
1, · · · , m} respectivamente para V ∗ y W ∗ .
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4.6. EJERCICIOS
103
a) Expresar en funci´on del producto tensorial la expresi´on e1 ∧
(e2 ∧ e3 ).
b) Sean T ∈ Λk (W ) y ϕ : V → W una transformaci´on lineal.
Demostrar
(i) ϕ∗ (T ∧ S) = (ϕ∗ T ) ∧ (ϕ∗ S), ∀S ∈ Λr (W )
(ii) Si ϕ : V → V (transformaci´on lineal, dim V = n), entonces para cada T ∈ ∧n (V ) se tiene que ϕ∗ T = (det ϕ)T , en
particular
ϕ∗ (e1 ∧· · ·∧en ) = (ϕ∗ e1 )∧· · ·∧(ϕ∗ en ) = (det ϕ)e1 ∧· · ·∧en
11. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita 2n. Sea {e1 , · · · , en , f1 , · · · , fn }
una base para V, con base dual {e1 , · · · , en , f 1 , · · · , f n } para V ∗ . Si
ω = e1 ∧ f 1 + · · · + en ∧ f n
y se define
ω k = |ω ∧ ·{z
· · ∧ ω} ,
k−factores
(k = 1, 2, · · · , ).
Demostrar que
a) ei ∧ f i conmuta con ej ∧ f j ,
b) ω n = n! e1 ∧ f 1 ∧ · · · ∧ en ∧ f n
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104
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CAP´ITULO 4. PEQUENA
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Cap´ıtulo 5
Formas diferenciales sobre
superficies
§ 5.1.
Introducci´
on
La idea central de este cap´ıtulo es presentar la formas diferenciales sobre n−superficies para lugo hacer integraci´on sobre este tipo de
objetos y posteriormente obtener resultados geom´etricos. Sea M n una
n−superficie, entonces para cada punto p ∈ M, existe un espacio Tp M
de dimensi´on n y su espacio dual Tp∗ M tambi´en es de dimensi´on n. Cada vez que se toma un elemento de Tp M (o en Tp∗ M ) en cada punto
p ∈ M, se obtiene un campo vectorial (o covectorial) sobre M y tomando
producto exterior en estos espacios se puede entonces definir un campo
vectorial de formas de caracter covariante o contravariante o mixto sobre M. Este cap´ıtulo estudiar´a de manera introductoria estos tipos de
campos vectoriales, llamados formas diferenciales.
´
El prop´osito es extender las ideas elementales del Algegra
Multilineal
a superficies regulares y con este argumento extender poseriormente los
conceptos fundamentales del C´alculo en Rn o mejor del C´alculo Euclideo
a estos objetos geom´etricos.
Se denota con
(a)
Λ∗k (M ) =
[
Λk (Tp∗ M )
(k−fibrado exterior sobre M )
[
Λ(Tp∗ M )
´
(fibrado del Algebra
exterior sobre M )
p∈M
(b)
Λ∗ (M ) =
p∈M
Cuando k = 0 y rs = 00 , entonces la uni´on en (a) y (b) son uniones
disyuntas de copias de R (una copia por cada punto de M ). Naturalmente
105
106
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
que Λ∗k (M ) es una (n +
n
k
)-superficie y Λ∗ (M ) una (n + 2n )-superficie.
En lo que sigue se considera la proyecci´
on can´
onica π : Λ∗k (M ) → M
definida por π(p, ωp ) = p.
§ 5.2.
Formas diferenciales
Definici´
on 5.2.1 Una funci´on de clase C ∞ de M en Λ∗k (M ), o Λ∗ (M )
cuya composici´on con la proyecci´on ca´onoca es la funci´on identidad recibe el nombre de k−forma diferencial o suave sobre M, o forma
diferencial sobre M , respectivamente.
Como las formas diferenciales que se usar´an siempre ser´an de clase C ∞ o
suaves, entonces se puede omitir el adjetivo suave y diferencial al menos
que se necesite por ´enfasis.
Nota Una funci´on α : M → Λ∗k (M ) es una k−forma si y s´olo si para cada
sistema de coodenadas (U, x1 , · · · , xn ) sobre M,
X
αi1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
α|U =
(5.1)
i1 <···<ik
donde los αi1 ···ik ∈ C ∞ (U ).
Definici´
on 5.2.2 Se denota con Ωk (M ) el espacio de todas las k−formas
de clase C ∞ (M )
α : M → Λ∗k (M )
y Ω∗ (M ) al conjunto de todas las formas sobre M de clase C ∞ . Tambi´en
se tienen las siguientes identificaciones
Ω0 (M ) ≡ C ∞ (M )
Ω1 (M ) ≡ X∗ (M )
Adem´
as, la superficie regular Λ∗0 (M ) es simplemente M × R y los levantamientos de M en M × R son simplemente la gr´afica de funciones de
clase C ∞ sobre M.
Las formas se pueden sumar, multiplicar por escalares y tienen un producto esterior (∧) que se realizan punto a punto, esto es, si ω, ϕ ∈ Ω∗ (M ),
c ∈ R y m ∈ M, entonces
(ω + ϕ)m = ωm + ϕm
(cω)m = cωm
(ω ∧ ϕ)m = ωm ∧ ϕm .
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
5.2. FORMAS DIFERENCIALES
107
En el caso de que f sea una 0−forma y ω ∈ Ω∗ (M ) se escribe f ∧ ω
simplemente como f ω; Ω∗ (M ) tiene estructura de modulo sobre el anillo
C ∞ (M ) y es un algebra graduada sobre R con la multiplicaci´
on exterior
(∧).
Definici´
on 5.2.3 Sea ω ∈ Ωk (M ). Entonces ωm ∈ Λk (Tm M ) y es una
funci´on multilineal alternada sobre Tm M. Por lo tanto si X1 , · · · , Xk son
campos vectoriales sobre M, ω(X1 , · · · , Xk ) tiene sentido - y es la funci´on
cuyo valor en m es
ω(X1 , · · · , Xk )(m) = ωm (X1 (m), · · · , Xk (m))
5.2.1.
(5.2)
Formas diferenciales sobre Rn
Si M es un abierto de Rn y f : M → R con f diferenciable, entonces
Df (x) : Rn → R
es una funci´on lineal (es decir, un 1-tensor alternado) sobre Rn , que es
el espacio tangente a M en x, con valores reales. Por lo tanto, la funci´on
x → Df (x) es una 1-forma sobre M, que se denota con df.
La base
dx1 , · · · , dxn
de [Rn ]∗ dual de la base can´onica {e1 , · · · , en } de Rn , es tal que toda
1-forma ω sobre Rn puede expresarse por:
ω = α1 dx1 + · · · + αn dxn ,
lo que implica que df tiene la forma df = α1 dx1 + · · · + αn dxn y como
αj = df (ej ) =
∂f
∂xj
entonces
∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 + · · · +
dxn
∂x1
∂x2
∂xn
adem´as, si I es una sucesi´on estr´ıctamente creciente de ´ındices,
df =
I = (i1 , i2 , · · · , ik )
y denotando con dxI la k−forma sobre Rn dada por
dxI = dx1t ∧ · · · ∧ dxik
entonces, para cada espacio vectorial individual
Λk (Tx M ) = Λk (Rn ),
se tiene el siguiente resultado:
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
108
Lema 5.2.1 Cada k−forma sobre un abierto U de Rn puede escribirse
de manera u
´nica como
X
fI dxI
I
donde I recorre las sucesiones crecientes de ´ındices
1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n,
y siendo, para cada I, fI una funci´on real definida en U.
§ 5.3.
Traspuesta o Pull-back de una k−forma
Sean M una una superficie regular contenida en Rn , f : Rm → M
una funci´on diferenciable y sea ω una k−forma sobre M. ProbarSe define
una nueva k−forma sobre Rm . Si x = f (y), sabe que
Df (y) ∈ L(Rm , Tx M ).
Puesto que ω(x) es un k−forma sobre Tx M se define entonces
(f ∗ ω)(y) = [Df (y)]∗ ω(f (y)),
esto es, si v1 , · · · , vk son elementos de Rn ,
(f ∗ ω)(y)(v1 , · · · , vk ) =[ω(f (y))](Df (y)(v1 ), · · · , Df (y)(vk ))
(5.3)
es claro que, para cada y ∈ Rm , se trata de un k−tensor alternado sobre
Rm , espacio tangente a Rm en y, por lo cual f ∗ ω es una k−forma sobre
Rm , llamada transpuesta (o pull-back ) de ω por f sobre M.
Si ω es una 0−forma sobre M, entonces
f ∗ω = ω ◦ f
las siguientes propiedades son de f´acil comprobaci´on (en donde las operaciones indicadas tienen sentido):
f ∗ (ω1 + αω2 ) = f ∗ ω1 + αf ∗ ω2 ,
f ∗ (ω ∧ θ) = (f ∗ ω) ∧ (f ∗ θ),
(f ◦ h)∗ ω = h∗ f ∗ ω.
(α ∈ R)
(5.4)
Sean
f : Rm → Rn ,
con f ∈ C 1 (Rm ), (x1 , · · · , xn ) las coordenadas de Rn , (y1 , · · · , ym ) las
de Rm y f1 , · · · , fn las componentes de f, es decir, ser´an f y Df las
siguientes:

 ∂f1
∂f1 
·
·
·
x1 = f1 (y1 , · · · , ym ) 
∂y1
∂ym

 ..
.. 
..
Df
(y)
=
(5.5)

.
. 
.


∂fn
∂fn
xn = fn (y1 , · · · , ym )
· · · ∂ym
∂y1
y
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5.4. FORMA DE VOLUMEN
109
Ahora se comprueba que
n
X
∂fi
dyj .
f dxi = dfi =
∂yj
j=1
∗
(5.6)
Sean v = (v1 , · · · , vm ) e y m + 1 vectores de Rm , entonces
[(f ∗ dxi )(y)](v) = [dxi (f (y))][Df (y)v]
m
m
X
X
∂fn
∂f1
vi , · · · ,
vj )
= [dxi (f (y))](
∂yj
∂ym
j=1
j=1
m
X
∂fi
=
vj
∂yj
j=1
= dfi (v)
Lo que prueba el resultado buscado.
Conociendo el comportamiento de f ∗ respecto a las 0−formas y a las
1−formas, mediante las relaciones descritas anteriormente queda ya determinado su comportamiento respecto de cualquier forma, pues, si se
tiene una forma ω sobre Rn y escribi´endola como
X
ω=
aI dxI
I
queda que
f ∗ω =
X
(f ∗ aI )dfI
I
donde dfI denota a dfi1 ∧ · · · ∧ dfik .
En la siguiente secci´on se muestra como la traspuesta se comporta con
el elemento volumen, situaci´on que permite, de cierta manera, definir la
integral de formas.
Si M m es una superficie regular y ω una forma sobre M, entonces se dice
que ω es de clase C ∞ si para cada parametrizaci´on (U, ϕ), los coeficientes
de ϕ∗ (ω), que son funciones reales definidas en U ⊆ Rm , son de la clase
C ∞ . No es dificil comprobar que, si lo son los coeficientes de ϕ∗ (ω) y (V, ψ)
es otra parametrizaci´on de M, con ϕ(U ) = ψ(V ), entonces tambi´en los
coeficientes de ψ ∗ (ω) son de clase C ∞ . Si ω es de clase C ∞ , se llama
regular.
§ 5.4.
Forma de volumen
Se presenta el concepto de forma (o elemento) de volumen en subespacios vectoriales de dimensi´on m inmerso en otro de dimensi´on n (m ≤ n)
y en m−superficies usando sus espacios tangentes.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
110
5.4.1.
Elemento volumen o m−volumen en Rn
Si v1 , · · · , vn son elementos de Rn , el volumen del paralelep´ıpedo formado
por ellos y el origen, es decir, del conjunto
P (0; v1 , · · · , vn ) = {v ∈ Rn : v = t1 v1 + · · · + tn vn , 0 ≤ ti ≤ 1}
es el valor absoluto del determinante de la matriz cuyas columnas son
las componentes de los vectores v1 , · · · , vn respecto de la base can´onica β{e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 1)}, como se comprueba al
efectuar el cambio de variable por T : Rn → Rn con T (ei ) = vi en la
correspondiente integral.
Si los vectores {v1 , · · · , vn } constituyen una base positivamente orientada
respecto a la can´onica, entonces el determinante es positivo, y no es
necesario tomar valor absoluto. Adem´as, dado que las transformaciones
ortogonales, es decir, las dadas por las matrices T, con T −1 = T t , tienen
por determinante | det T | = 1, ´estas no alteran el volumen, por lo que el
del paralelep´ıpedo citado es igual al valor absoluto del determinante de la
matriz que tiene por columnas las respectivas componentes de v1 , · · · , vn
respecto de cualquier base ortonormal.
De modo m´as general, si v0 , v1 , · · · , vn ∈ Rn , se llama paralelep´ıpedo
formado por v1 , · · · , vn y con v´ertice v0 al conjunto dado por
P (v0 ; v1 , · · · , vn ) = {v ∈ Rn : v = v0 + t1 v1 + · · · + tn vn }
con 0 ≤ ti ≤ 1, i = 1, · · · , n. Claramente,
v(P (v0 ; v1 , · · · , vn )) = | det T |
siendo T la transformaci´on lineal de Rn en Rn originalmente citada, es
decir, para cada i, T (ei ) = vi , ya que P (v0 ; v1 , · · · , vn ) es el transformado
de P (0; v1 , · · · , vn ) mediante la aplicaci´on af´ın τ con τ v = v0 + T v.
Sean a1 , · · · , am elementos de Rn linealmente independientes, entonces el
espacio vectorial generado por estos vectores es isomorfo a Rm , pues tienen la misma dimensi´on finita. Entonces el m− volumen del m−paralelep´ıpedo P (0; a1 , · · · am ) (considerado como elemento de Rm ) se puede calcular
como sigue: se encuentra una base ortonormal {em+1 , · · · , en } del espacio
ortogonal al subespacio generado por {a1 , · · · , am } y tal que {a1 , · · · , am ,
em+1 , · · · , en } sea una base positivamente orientada para Rn , y hallar el
determinante de la matriz cuyas columnas (o filas) son las componentes
de estos vectores respecto a la base can´onica de Rn .
Entonces el m−volumen generado por

a11 a12
..
 ..
.
 .

Vm (0; a1 , · · · , am ) = det am1 am2
 .
..
 ..
.
an1 an2
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
esos m vectores est´a dado por

· · · a1m e1,m+1 · · · e1n
..
..
.. 
.
.
. 

· · · amm em,m+1 · · · emn 
..
..
.. 
.
.
. 
· · · anm en,m+1 · · · enn
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
5.4. FORMA DE VOLUMEN
donde ai = (a1i , · · · , ani ) para i
m + 1, · · · , n. Y si

a11 a12 · · ·
..
 ..
.
 .

A = am1 am2 · · ·
 .
..
 ..
.
an1 an2 · · ·
111
= 1, · · · , m y ei = (e1i , · · · , eni ), i =
a1m
..
.
e1,m+1
..
.
···
amm em,m+1 · · ·
..
..
.
.
anm en,m+1 · · ·
entonces

e1n
.. 
. 

emn 
.. 
. 
enn
[Vm (P (0; a1 , · · ·, am ))]2 = det(A) det(A) = det(A × At )


ha1 , a1 i · · · ha1 , am i
..
..


.
.
0




ha
,
a
i
·
·
·
ha
,
a
i


m m
= det  m 1

1 · · · 0


..
.. 

0
.
.
0 ··· 1


ha1 , a1 i · · · ha1 , am i


..
..
= det 

.
.
ham , a1 i · · · ham , am i
(5.7)
Esta u
´ltima expresi´on de [Vm (P (0; a1 , · · · , am ))]2 es el valor del m−tensor
alternado S = a1 ∧· · ·∧am , evaluado en la colecci´on ordenada de vectores
a1 , · · · , am , donde ai es el correspondiente elemento dual de ai , por el
isomorfismo existente entre Rn y (Rn )∗ . Esto es, si {e1 , · · · , en } es la
base can´onica de Rn y {e1 , · · · , en } su base dual para (Rn )∗ , entonces se
puede escribir:
ai = ai1 e1 + · · · + ain en
si y s´olo si
ai = ai1 e1 + · · · + ain en
Con lo que
Prero,
S(a1 , · · · , am ) = a1 ∧ · · · ∧ am (a1 , · · · , am ) = det ai (aj ) .
ai (aj ) =
=
m
X
aik e
k=1
m
X
k=1
k
m
X
ajr er =
r=1
m
X
aik ajr em (er )
k,r=1
aik ajk = hai , aj i .
Lo que muestra el siguiente
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
112
Lema 5.4.1 El m−volumen en Rn , m < n, satisface
[Vm (P (0; a1 , · · · , am ))]2 = a1 ∧ · · · ∧ am (a1 , · · · , am )
(5.8)
y adem´as
a1 ∧ · · · ∧ am (a1 , · · · , am ) = det ai (aj ) = det hai , aj i
(5.9)
en particular,
[Vm (P (0; a1 , · · · , am ))] =
5.4.2.
q
det hai , aj i
(5.10)
Forma de volumen para m−superficies
Se extender´a el concepto de forma de volumen a m−superficies regulares. En efecto, como Rn es la n−superficie dotadad de la estructura
diferencial con la u
´nica carta (Rn , i), donde i(x1 , · · · , xn ) = (x1 , · · · , xn )
indica la funci´on idetidad de Rn en Rn , entonces cada una de las funciones
coordenadas se pueden observar como funci´ones definida por
πi : Rn → R
tales que πi (r1 , · · · , rn ) = ri para cada i, es decir, cada una se observa
como funci´on proyecci´on en la i−´esima componente. Por lo tanto, como
diferencial, dπi = πi , que por comodidad se denotar´a por dπi = πi = dxi .
Ahora bien, si e1 , · · · , en es la base can´onica de Rn , entonces
∂xi
1 si i = j
=
dxi (ej ) = ej (xi ) =
0 si i 6= j
∂xj
con lo que
{dxi : i = 1, · · · , n}
es base dual de {e1 , · · · , en } para cada (Rn )∗ en el sistema de coordenadas
para Rn dada anteriormente. Resultado que vale en cada punto p de Rn
para su tangente Tp Rn y su dual Tp∗ Rn .
La n−forma diferencial
dx1 ∧ · · · ∧ dxn
asocia a cada colecci´on de n vectores ordenados v1 , · · · , vn el volumen del
paralelep´ıpedo determinado por el origen y dichos vectores, si ´estos son
linealmente dependientes o constituyen una base positivamente orientada
respecto de la can´onica y el citado volumen precedido de un signo menos
si forman una base negativa. Por esta raz´on, a dicha n−forma se le da
el nombre de forma de volumen (o elemento volumen) para
Rn y se denota dV ´o dVRn aunque no es la diferencial exterior de una
(n − 1)−forma sobre Rn .
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
5.4. FORMA DE VOLUMEN
113
Si M es una m−superficie orientada en Rn , se va a definir una m−forma
sobre M, elemento de volumen de M, a la que se denotar´a dVM aunque
no se tratar´a de la diferencial exterior de ninguna (m − 1)−forma sobre
M. Por definici´on, dVM ser´a la funci´on que para cada x de M y cada
colecci´on ordenada v1 , · · · , vm de m vectores en Tx M, asocia el n´
umero
que mide el m−volumen del correspondiente m−paralelep´ıpedo formado
si son linealmente dependientes o constituyen una base positiva de Tx M ;
y el m−volumen precedido de un signo menos, si constituyen una base
con orientaci´on negativa.
Para calcular dVM (x)(v1 , · · · , vm ) se puede proceder como en el Lema
5.4.1.
Si la parametrizaci´on (Ω, ϕ), con sistema de coordenadas t = (t1 , · · · , tm ),
y suponiendo que ϕ(Ω) = M y la orientaci´on de M es la inducida por
dicha parametrizaci´on, se tiene que si
es base de Rm , entonces
v1 , · · · , vm
Dϕ(t)v1 , · · · , Dϕ(t)vm
es base para Tϕ(t) M ; ambas positivas o ambas negativas; suponiendo
ambas positivas
(ϕ∗ dVM )(t)(v1 , · · · , vm ) =dVM (ϕ(t))(Dϕ(t)v1 , · · · , Dϕ(t)vm )
haciendo el cambio de variable en el respectivo c´alculo de volumen que
se presenta, se tiene
dVM (ϕ(t))(Dϕ(t)v1 , · · · , Dϕ(t)vm ) =[det Dϕ(t)] dVRm (v1 , · · · , vm )
Procediendo de modo an´alogo, si v1 , · · · , vm es base negativa para Rm ,
queda que, para ambos casos, es
ϕ∗ dVM = [det Dϕ] dVRm
(5.11)
lo que pone de manifiesto que dVM es una m−forma diferencial continua.
Nota. Observe que Dϕp es la transformaci´on lineal que envia la base
∂
{ei : i = 1, · · · , m} de Rm en la base {Dϕp (ei ) =
: i = 1, · · · , m} de
∂ti
Tp Rm ⊆ Rn y ϕ(t0 ) = p ∈ M, entonces el Lema 5.4.1 garantiza que el
volumen generado por los vectores Dϕ(ei ) para cada i = 1, · · · , m esta
dado por
s
∂ ∂
,
det Dϕ = det
∂ti ∂tj
en cada punto p ∈ M en la parametrizacion (Ω, ϕ).
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
114
5.4.3.
Elemento volumen de una hipersuperficie
Sea M = M m una superficie regular contenida en Rn . Si m = n − 1, el
espacio normal a M en x es de dimensi´on uno, por lo que s´olo hay dos
vectores unitarios n y n′ normales a M en x. De ellos, uno, por ejemplo,
ne , es tal que, si (e1 , · · · , en−1 ) es una base ortonormal positiva para Tx M,
entonces sea (ne , e1 , · · · , en−1 ) una base ortonormal positiva para Rn . Al
vector se le llama vector normal exterior a la superficie orientada M en
el punto x. Si se cambia la orientaci´on de M, tambi´en cambia el vector
normal exterior.
Por ejemplo, si M es la esfera de dimensi´on dos, S 2 de R3 , puede orientar
esta superficie para que el vector normal exterior a M en cada punto se
dirija al centro de la esfera.
Para entrar en materia, sea M = M n−1 una superficie contenida en Rn
orientada que por simplicidad se supone que (Ω, ϕ) es una parametrizaci´on para M tales que
1. ϕ(Ω) = M
2. ϕ(t) = (ϕ1 (t), ϕ2 (t), · · · , ϕn (t)) con t = (t1 , · · · , tn−1 ) ∈ Rn−1 .
3. las coordenadas de Rn son (x1 , · · · , xn−1 , xn ).
Adem´as, sea α = (α1 , · · · , αn ) un vector normal exterior a M, definido
por
∂ϕ
∂ϕ
α=
× ··· ×
∂t1
∂tn−1
o lo que es lo mismo (desarrollando por la primera fila) que
e1
∂ϕ1
∂t1
α = ..
.
∂ϕ1
∂t
n−1
e2
···
∂ϕ2
···
∂t1
..
.
∂ϕ2
···
∂tn−1
en
∂ϕn
∂t1
..
.
∂ϕn
∂tn−1
,
donde (e1 , · · · , en ) es la base can´onica de Rn , esto es,
∂ϕ2
∂t1 · · ·
..
α1 = .
∂ϕ2
···
∂t
n−1
∂ϕ1
∂t1 · · ·
..
, · · · , αn = (−1)1+n .
∂ϕ1
···
∂t
n−1
∂ϕn
∂t1
..
.
∂ϕn
∂tn−1
y observe que
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
(5.12)
∂ϕn−1 ∂t1 ..
.
∂ϕn−1 ∂tn−1 (5.13)
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
5.4. FORMA DE VOLUMEN
α1
∂ϕ1
∂t1
det(α, ∂1 ϕ(t), · · · , ∂n−1 ϕ(t)) = ..
.
∂ϕ1
∂t
n−1
α2
···
∂ϕ2
···
∂t1
..
.
∂ϕ2
···
∂tn−1
115
αn
∂ϕn
∂tn−1
..
.
∂ϕn
∂tn−1
= α12 +· · ·+αn2 ,
(5.14)
De esta definici´on para α se tiene de manera inmediata las siguientes
propiedades
1.
α ⊥ ∂i ϕ para cada i = 1, 2, · · · , n y por tanto a α es ortogonal a
Tx M,
2.
(α, ∂1 ϕ(t), · · · , ∂n−1 ϕ(t)) es una base positivamente orientada para Rn ,
3.
M tiene como vector normal exterior unitario a
ne =
α
= (n1 , · · · , nn )
||α||
y si v1 , · · · , vn−1 forman una base positivamente orientada para
Tx M, entonces el volumen generado por estos vectores esta dado
por
det(ne , v1 , · · · , vn−1 ).
Lema 5.4.2
(a) El elemento volumen sobre M satisface (el s´ımbolo b significa que
el t´ermino se ha quitado)
dVM =
n
X
i=1
ci ∧ · · · ∧ dxn ,
(−1)1+i ni dxi ∧ · · · ∧ dx
(b) se verifica para cada x de M, sobre Tx M, i = 1, 2 · · · , n
ci ∧ · · · ∧ dxn
ni dVM (x) = (−1)i+1 dx1 ∧ · · · ∧ dx
Demostraci´
on.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
116
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
(a) Sean v1 = (v11 , · · · , v1n ), · · · , vn−1 = (vn−1,1 , · · · , vn−1,n ) son elementos linealmente independientes de Tx M, entonces
dVM (v1 , · · · , vn−1 ) = det(ne , v1 , · · · , vn−1 )
n1
·
·
·
n
n
v11 · · ·
v
1n
= ..
..
.
.
vn−1,1 · · · vn−1,n v11 · · ·
v
c
·
·
·
v
1i
1n
n
X
..
.
.
1+i
.
.
=
(−1) ni .
.
.
i=1
vn−1,1 · · · v[
vn−1,n n−1,i · · ·
n
X
ci ∧ · · · ∧ dxn (v1 , · · · , vn−1 ).
=
(−1)1+i ni dxi ∧ · · · ∧ dx
i=1
(b) Dando a β an´alogo significado al de α, esto es,
β = v1 × · · · × vn−1 (= (β1 , · · · , βn−1 ))
y notando por C a la matriz que tiene por filas las respectivas
componentes de
ne , v1 , v2 , · · · , vn−1
respecto de la base can´onica de Rn , por lo que β es ortogonal a
todos los vi , i = 1, · · · , n − 1, y por lo tanto, se tiene que β = λne ,
luego
dVM (x)(v 1 , · · · , v n−1 ) = det C =
n
X
i=1
ni βi = hne , βi = hne , λne i = λ
lo que muestra que
β = dVM (x)(v1 , · · · , vn−1 ) ne
y haciendo uso de esta expresi´on, resulta
ni dVM (x)(v1 , · · · , vn−1 ) = hei , ne i dVM (x)(v1 , · · · , vn−1 )
= hei , dVM (x)(v1 , · · · , vn−1 )ne i = hei , βi = βi
v11 · · · d
v
·
·
·
v
1,i
1n
..
..
..
=(−1)1+i ...
.
.
.
vn−1,1 · · · v[
vn−1,n n−1,i · · ·
=(−1)1+i dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn (v 1 , · · · , v n )
X
♦
que es el resultado buscado.
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
5.4. FORMA DE VOLUMEN
5.4.4.
117
Volumen de una m−superficie
La definici´on de volumen de una m−superficie regular se dar´a aproximando M localmente, mediante su espacio tangente.
Sea M = M m una superficie orientada de la que se supone temporalmente, que admite una s´ola parametrizaci´on (Ω, ϕ), siendo adem´as la
orientaci´on de M la inducida por (Ω, ϕ). Sea x0 = ϕ(t0 ) un punto de M :
x0 + h2
t0 + ae2
ϕ
ϕ(I)
x0 + h1
t0 + ae1
t0
A(I)
Figura 5.1
Se considera en Rm el cubo I de v´ertice t0 y aristas de longitud a (ver
Figura 5.1). Sean k1 = ae1 , · · · , km = aem , donde e1 , · · · , em es la base
can´onica de Rm . La aplicaci´on af´ın A de Rm en Rn , dada por
A(t) = ϕ(t0 ) + Dϕ(t0 )(t − t0 )
aproxima a ϕ y transforma Rm en el espacio tangente a M en ϕ(t0 ) = x0 ,
y al cubo I en el m−paralelep´ıpedo K de Rn determinado por x0 como
v´ertice y los vectores
h1 = Dϕ(t0 )k1 , · · · , .hm = Dϕ(t0 )km
Para a peque˜
no, el n´
umero vm (K) es la aproximaci´on del m−volumen
vm (ϕ(I)). Como adem´as es (por cambio de varible en una integrla multiple):
vm (K) = det Dϕ(t0 ) v(I).
Este razonamiento nos lleva a adoptar la siguiente definici´on, se llama
volumen de M al n´
umero v(M ) dado por la relaci´on
Z
vm (M ) = [det Dϕ]dVRm
(5.15)
Ω
en donde, como antes
h
D ϕ(t0 )
i2
= det
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
D
∂ϕ(t0 ) ∂ϕ(t0 )
, ∂tj
∂ti
E
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
118
Como det Dϕ es continua y positiva, dicha integral existe y es no negativa, aunque puede ser +∞.
Por u
´ltimo observe que
vm (M ) =
Z
ϕ∗ [dVM ]
(5.16)
Ω
en donde la integral de una forma diferencial definida sobre subconjuntos
abiertos y conexos cuya clausura es compacta en Rm se entiende como la
integral multiple de Riemann.
5.4.5.
Ejemplos
(1) La esfera bidimensional de radio a, M = S 2 (a), admite la parametrizaci´on
α(θ, ϕ) = (a sen ϕ cos θ, a sen ϕ sen θ, a cos ϕ)
´
donde (θ, ϕ) ∈ Ω = (0, 2π)×(0, π). Calcular α∗ (dAM ) y el Area(M).
Soluci´
on. En efecto,
∂θ = (−a sen θ sen ϕ, a cos θ sen ϕ, 0),
entonces
∂ϕ = (a cos θ cos ϕ, a sen θ cos ϕ, −a sen ϕ)
h∂θ , ∂θ i = a2 sen2 ϕ,
h∂ϕ , ∂ϕ i = a2 ,
h∂θ , ∂ϕ i = 0,
con lo que
α∗ (dAM ) = a2 sen ϕ dAR2 = a2 sen ϕ dθ ∧ dϕ.
Ahora se encuentra el ´area de M :
Z
Z
∗
2
´
Area(M
)=
α (dAM ) = a
Ω
2π
0
Z
π
sen ϕ dθ dϕ = 4πa2
0
(2) Sea M la 3−superficie parametrizada dada por
α(r, θ, ϕ) = (r cos θ sen ϕ, r sen θ sen ϕ, r cos ϕ)
donde U = {(r, θ, ϕ) : 0 < r < a, 0 < θ < 2π, 0 < ϕ < 2π}.
Calcular α∗ (dVM ) y el volumen de M.
Soluci´
on. En efecto
∂1 = ∂r = (cos θ sen ϕ, sen θ sen ϕ, cos ϕ)
∂2 = ∂θ = (−r sen θ sen ϕ, cos θ sen ϕ, 0)
∂3 = ∂ϕ = (r cos θ cos ϕ, r sen θ cos ϕ, −r sen ϕ)
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
5.4. FORMA DE VOLUMEN
119
As´ı
Z q
v3 (M ) =
det h∂i , ∂j i dr ∧ dθ ∧ dϕ
U
1/2
Z π Z 2π Z a 1
0
0
2
2
=
0 r sen ϕ 02 dr dθ dϕ
0
0
0 0
0
r Z π Z 2π Z a
r2 sen ϕ dr dθ dϕ
=
0
0
0
4
= πa2
3
(3) Si M es orientada y de dimensi´on uno en R3 (puede probarse que
toda superficie diferenciable de dimensi´on uno es orientable), llamando, como antes, (x, y, z) a las coordenadas de R3 , en un abierto
de cada punto de M existe una parametrizaci´on ϕ : (−ε, ε) → R3
(ε > 0) dada por x = x(u), y = y(u), z = z(u) y manteniendo en
Dϕ la orientaci´on de M. Probar que si t = (t1 , t2 , t2 ) es el vector
tangente unitario, en cada punto, a M, entonces
(a) ds = t1 dx + t2 dy + t3 dz,
p
(b) ϕ∗ (ds) = (x′ )2 + (y ′ )2 + (z ′ )2 du,
(c) t1 ds = dx, t2 ds = dy, t3 ds = dz.
Soluci´
on. En efecto, la l-forma diferencial elemento de volumen
de M, llamada elemento de longitud y denotada con ds es tal que,
si w es tangente a M en (x, y, z), correspondiente al valor u del
par´ametro, entonces, w = λ(ϕ′ (u)/||ϕ′ (u)||) y se tiene que
ds(w) = λ ds
y como
ϕ′ (u) λ ds(ϕ′ (u))
=λ
=
||ϕ′ (u)||
||ϕ′ (u)||
t = (t1 , t2 , t3 ) =
(x′ (u), y ′ (u), z ′ (u))
||ϕ′ (u)||
es el vector unitario positivo de T(x,y,z) M, entonces y para todo
v ∈ T(x,y,z) M se tiene
ds(v) =ds(||v||t) = ||v|| = ht, ||v||ti = ht, vi
=t1 v1 + t2 v2 + t3 v3 = (t1 dx + t2 dy + t3 dz)(v)
luego ds toma en M la forma
ds = t1 dx + t2 dy + t3 dz
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
(5.17)
120
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
y por lo tanto
ϕ∗ (ds) =t1 ϕ∗ (dx) + t2 ϕ∗ (dy) + t3 ϕ∗ (dz)
p
= (x′ )2 + (y ′ )2 + (z ′ )2 du
(5.18)
y adem´as, como
t1 =
x′ (u)
,
||ϕ′ (u)||
t2 =
y ′ (u)
||ϕ′ (u)||
y t3 =
z ′ (u)
||ϕ′ (u)||
es decir,
t1 =
dx/du
,
ds/du
t2 =
dy/du
,
ds/du
t3 =
dy/du
ds/du
se obtiene
t1 ds = dx,
t2 ds = dy,
t3 ds = dz.
(5.19)
Lo que t´ermina la soluci´on del ejemplo.
§ 5.5.
Derivaci´
on exterior
Si M es una n−superficie,
ya se ha definido la funci´on d : Ω0 (M ) →
P
∂f
Ω1 (M ) por f → df, df =
dxi , la diferencial de una funci´on diferen∂xi
ciable sobre M. se desea extender esta noci´on a una funci´on
d : Ωk (M ) → Ωk+1 (M )
para cualquier k ∈ N. Este operador produce propiedades algebraicas
maravillosas. Despues de desarrollarlas se demostrar´a como d est´a relacionada con las operaciones b´asicas de div, grad, el laplaciano entre otras.
Por lo tanto, primero la concentraci´on es sobre la derivada exterior d que
extiende la diferencial de una funci´on.
Teorema 5.5.1 Sea M una n−superficie. Entonces existe una u
´nica familia de funciones
dk (U ) : Ωk (U ) → Ωk+1 (U ),
(k = 1, 2, · · · , n)
y U un abierto sobre M, que se denotar´
a por d, llamada derivada exterior
sobre M, tal que
(a) d es una anti-derivaci´
on, esto es, d es R−lineal; para cada α ∈
k
l
Ω (U ) y β ∈ Ω (U ),
d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)k α ∧ dβ
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ EXTERIOR
5.5. DERIVACION
121
(b) Si f ∈ C ∞ (U ), entonces df es la diferencial de la funci´on f presentada entre variedades.
(c) d2 = d ◦ d = 0,
( dk+1 (U ) ◦ dk (U ) = 0 )
(d) d con respecto a restricciones. Si U ⊂ V ⊂ M son abiertos y α ∈
Ωk (M ), entonces d(α|U ) = (dα)|U , es decir, el siguiente diagrama
conmuta
|U
Ωk (V )
Ωk+1 (U )
d
d
Ωk+1 (V )
|U
Ωk (U )
Como es usual la propiedad (d) significa que d es un operador local.
Demostraci´
on. Primero se establece la unicidad bajo existencia. Sea (V1 , ϕ) una parametrizaci´on alrededor de p ∈ ϕ(V1 ) = U1 ⊆ M
con ϕ−1 (p) = (x1 , · · · , xn ) y α = αi1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik (notaci´on Einstein) en Ωk (U1 ), i1 < · · · < ik . Cuando k = 0 se tiene Ω0 (U1 ) = C ∞ (U1 )
y entonces la parte (b) proporciona que
dα =
∂α dxi
∂xi
y aplicada a las funciones coordenadas xi , (i = 1, 2, · · · , n) muestra
que la diferencial de xi es la 1−forma diferencial dxi .
De (c), se tiene que d(dxi ) = 0, que con (a) muestran
d(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) = 0.
Tambi´en por (a),
dα = d(αi1 ···ik ) ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik + (−1)0 αi1 ···ik d(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )
Por lo tanto, se debe satisfacer
∂αi1 ···ik i
dα =
dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
∂xi
(5.20)
y as´ı d se determina de manera u
´nica sobre U1 por la propiedades (a),
(b), (c) y (d) sobre cualquier subconjunto abierto coordenado de M.
Existencia. Se define para cualquier parametrizaci´on (V1 , ϕ) de M el
operador d por la ecuaci´on 5.20. Entonces (b) se satisface de manera
inmediata ya que 5.20 es R−lineal.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
122
A continuaci´on se verifica (a). En efecto, si β = βj1 ···js dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs en
Ωs (U1 ), entonces
d(α ∧ β) =d(αi1 ···ik βj1 ···js dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs )
h ∂α
∂βj1 ···js i i
i1 ···ik
dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs
β
+
α
=
j
···j
j
···j
s
s
1
1
∂xi
∂xi
=(dα) ∧ β + (−1)k α ∧ dβ
lo que muestra que (a) se satisface.
Para demostrar (c) se usar´a la simetr´ıa de las derivadas parciales, en
efecto,
#
"
∂αi1 ···ik i
dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
d(dα) =d
∂xi
=
∂ 2 αi1 ···ik j
dx ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
∂xj ∂xi
Como
∂ 2 αi1 ···ik
∂ 2 αi1 ···ik
=
y dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj
j
i
i
i
∂x ∂x
∂x ∂x
se tiene entonces que
d2 (α) = d(dα) = 0.
Por lo tanto, en cualquier carta (U, ϕ), la ecuaci´on 5.20 define un operador
d que satisface (a), (b) y (c).
Resta demostrar que estos d ′ s locales definen un operador d sobre cualquier conjunto abierto, para que se satisfaga (d). Para continuar entonces
es suficiente demostrar que esta definici´on es independiente de las parametrizaciones que se tomen. En efecto, sea d′ el operador definido por
la ecuaci´on 5.20 sobre la parametrizaci´on (V1′ , ϕ′ ) con U1 ∩ U1′ 6= ∅, y
U1′ = ϕ′ (Vi′ ).
Como d′ satisface (a), (b) y (c) y adem´as tiene unicidad local (demostrada
en la primera parta de esta prueba), entonces
d′ α = dα sobre sobre U1 ∩ U1′
X
y con esto, el Teorema queda demostrado.
♦
En muchos casos es conveniente expresar una k−forma sobre una
superficie M como restricci´on a M de una k−forma sobre Rn , o sobre un
abierto de Rn que contiene a M.
Teorema 5.5.2 Sean M y N superficies regulares de dimensi´
on m y n
respectivamente, ϕ : M → N una funci´on diferenciable y w una p−forma
diferencial sobre N. Entonces
d(ϕ∗ w) = ϕ∗ (dw)
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ EXTERIOR
5.5. DERIVACION
123
Demostraci´
on. La demostraci´on resulta por Inducci´on Matem´atica, se
empieza, bajo sistema de coordenadas, con el caso p = 0. Sea x ∈ M,
∗
v ∈ Tx M y f ∈ C ∞ (N ). Entonces df ∈ Tϕ(x)
N, ϕ∗ df ∈ Tx∗ M y por
definici´on de ϕ∗ , df y ϕ∗ ,
ϕ∗ df (v) = df (ϕ∗ v) = ϕ∗ v(f ) = v(f ◦ ϕ) = v(ϕ∗ f ) = d(ϕ∗ f )(v).
Se asume ahora que el teorema es verdadero para formas de grado p − 1
(p ≥ 1) y observese que es suficiente demostrar el teorema para el grado
p localmente y considerar la forma monomial w = a(x1 , · · · , xn )dxi1 ∧
· · · ∧ dxip , donde a es una funci´on diferenciable, por lo tanto
d(ϕ∗ w) =d[ϕ∗ [(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip −1 ) ∧ dxip ]]
=d[ϕ∗ (a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip −1 ) ∧ ϕ∗ dxip ]
=d[ϕ∗ (a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip −1 )] ∧ ϕ∗ dxip
+ (−1)p−1 ϕ∗ (a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip −1 ) ∧ d(ϕ∗ dxip )
=d[ϕ∗ (a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip −1 )] ∧ ϕ∗ dxip
as´ı que, por hip´otesis de inducci´on,
d(ϕ∗ w) = ϕ∗ [d(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip −1 )] ∧ ϕ∗ dxip .
As´ı que
d(ϕ∗ w) =ϕ∗ [d(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip −1 ) ∧ dxip ]
=ϕ∗ [d a ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip −1 ∧ dxip ]
=ϕ∗ d w.
X
♦
Lo que muestra el teorema para p−forma.
Ejemplos
1. Se considera el caso particular de n = 3 y M un abierto G de R3 y
sean a, b, c y f funciones diferenciables de G en R. Sean
(a) ω0 = f,
(b) ω1 = adx + bdy + cdz;
(c) ω2 = ady ∧ dz + bdz ∧ dx + cdx ∧ dy;
(c) ω3 = adx ∧ dy ∧ dz,
Entonces sus respectivas diferenciales exteriores son:
(a) dω0 =
∂f
dx
∂x
(b) dω1 =
∂c
∂y
+
∂f
dy
∂y
+
∂f
dz.
∂z
∂b
∂c
dy ∧ dz + ∂a
dz ∧ dx +
− ∂z
−
∂z
∂x
∂a
∂b
∂c
(c) dω2 = ∂x
dx ∧ dy ∧ dz
+ ∂y
+ ∂z
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
∂b
∂x
dx ∧ dy.
− ∂a
∂y
´
CARRERA DE MATEMATICAS
124
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
(d) dω3 = 0
2. Teniendo como referencia el ejemplo anterior, se observa que las
0−formas y las 3−formas se identifican con funciones de G en R,
y las 1−formas y las 2−formas con funciones de G en R3 , es decir,
con campos vectoriales.
Desde este punto de vista, la funci´on de diferenciar una 0-forma
equivale a asociar, a cada funci´on f : G → R, de clase C 1 , el
campo vectorial:
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
que recibe el nombre de campo vectorial gradiente de f, y que se
denota con
∂ ∂ ∂
grad f ≡
f
, ,
∂x ∂y ∂z
De modo an´alogo , la operaci´on de diferenciar una 1−forma equivale
a asociar al campo vectorial
V (x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z))
el nuevo campo vectorial
∂b ∂a ∂c ∂b ∂a
∂c
− ,
−
,
−
W =
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
que recibe el nombre de rotacional del campo V , y se denota por
rot V, y es tal que
i j k ∂ ∂ ∂ rot V = ∂x ∂y ∂z a b c La operaci´on de diferenciar una 2−froma equivale a asociar el campo
V (x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z))
la funci´on escalar
∂a ∂b ∂c
+
+
∂x ∂y ∂z
recibe el nombre de divergencia del campo V , y se denota por div V,
y
div V =
∂ ∂ ∂ , ,
, a, b, c
∂x ∂y ∂z
Se observa que si f ∈ C ∞ (R3 ), entonces
rot (grad f ) = div (rot f ) = 0.
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
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´ DE FORMAS
5.6. INTEGRACION
125
3. Si V a un campo vectorial diferenciable sobre R3 y f ∈ C ∞ (R3 )
tienen sentido expresiones como div (grad f ) y rot (rot V ) y si llamamos
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
Lap f =
∂x2
∂y 2
∂z 2
se tiene que
div (grad f ) = Lapf
y
rot(rot V ) = grad (div V ) − Lap V.
§ 5.6.
Integraci´
on de formas
Para iniciar, sea M una n−superficie orientable. El soporte sop f de
una funci´on f definida de M en un espacio vectotial es la clausura del
conjunto de puntos p ∈ M para el cual f (p) 6= 0 y cuando sop f es
compacto se dice que f es de soporte compacto. Como M es orientable
existe una n−forma diferenciable θ que no se anula sobre M y cualquier
otra n−forma w se puede escribir como w = f θ. Se toma f como una
funci´on continua, acotada y de soporte compacto. Para considerar la
definici´on de
Z
w
M
se asume que w es de soporte compacto denotado con C y que est´a enteramente contenido en el imagen de ϕ(U ) donde (U, ϕ), es una parametrizaci´on con sistema de coordenadas (x1 , · · · , xn ). Sea ahora la expresi´on
en coordenadas, ϕ∗ (w), para w :
f (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
En este sentido, se define
(a) En el caso de M = Rn (w es una forma definida sobre un conjunto
abierto U ⊆ Rn ):
Z
w=
U
Z
U
f dx1 · · · dxn
(5.21)
donde el lado derecho es la integral multiple de Riemann en Rn .
(b) En general, sobre la superficie M
Z
w=
M
Z
w=
ϕ(U )
Z
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
∗
ϕw=
U
-
Z
U
f dx1 · · · dxn ,
´
CARRERA DE MATEMATICAS
(5.22)
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
126
la integral existe por las condiciones sobre f.
Ahora se debe demostrar que la integral as´ı definida es buena, es decir, es
independiente de la escogencia de la parametrizaci´on. En efecto, se toma
C = sop f en la imagen de otra parametrizaci´on (V, ψ) con sistema de
cooredenadas (y1 , · · · , yn ); entonces colocando
ψ ∗ (w) = F (y1 , · · · , yn )dy1 ∧ · · · ∧ dyn
se tiene por definici´on que
Z
Z
Z
w=
w=
F (y1 , · · · , yn )dy1 · · · dyn .
M
ψ(V )
(5.23)
V
Se ver´a que 5.22 implica 5.23. Por la ley de transformaci´on para las
componentes de una n−forma se tiene
f (x1 , · · · , xn ) = F (y1 , · · · , yn )
∂(y1 , · · · , yn )
∂(x1 , · · · , xn )
donde ∂(y1 , · · · , yn )/∂(x1 , · · · , xn ) es el determinante del difeomorfismo
ψ −1 ◦ ϕ : ϕ−1 (W ) → ψ −1 (W )
(x1 , · · · , xn ) → (y1 , · · · , yn )
y W = ϕ(V )∩ψ(V ) 6= ∅. Entonces por la regla para el cambio de variable
en una integral multiple se tiene
Z
Z
w = f (x1 , · · · , xn )dx1 · · · dxn
M
ZU
∂(y1 , · · · , yn ) ∂(y1 , · · · , yn ) =
F (y1 , · · · , yn )
dy1 · · · dyn
∂(x1 , · · · , xn ) ∂(x1 , · · · , xn )
V
Como los determinantes Jacobianos tienen el mismo signo positivo ya
que a M se le ha asignado una orientaci´on, se tiene que
Z
Z
w=
F (y1 , · · · , yn )dy1 · · · dyn .
M
V
lo que muestra que 5.22 y 5.23 tienen el mismo valor, es decir, la definici´on
de integral dada no depende del sistema de coordenadas escogido y por
lo tanto se tiene una buena definici´on.
5.6.1.
Integraci´
on de m−formas definidas sore varias parametrizaciones
Ahora se considera el caso general cuando C, el soporte de w, no
est´a contenido en una imagen coordenada de una parametrizaci´on de M.
Se usar´a una partici´on de la unidad sobre M, que existe(por el apendice
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ DE FORMAS
5.6. INTEGRACION
127
A de este Cap´ıtulo), se expresa w como la suma de formas cada una
con soporte enteramente contenido en un dominio coordenado de M, y
entonces se define
Z
w
M
como suma de integrales de tipo 5.22.
Sea {(Ui , ϕi )} una estructura diferenciable para M. Como M admite
particiones de la unidad (por el Apendice A), se puede tomar {gi } una
partici´on de la unidad subordinada al cubrimiento abierto {Ui } de M,
entonces cada punto de C tiene una vecindad que intersecta a un n´
umero
finito de soportes de los gi y estas vecindades cubren a C. Como C es
compacto se puede extraer un subrecubrimiento finito y por lo tanto
existe k tal que
C ∩ sop gi = ∅
para todo i > k, es decir, gi w = 0 para i > k; entonces
X
w=
gi w
(suma finita)
Como gi w ⊆ ϕ(Ui ) para cada i, se puede usar 5.22 para definir la integral
de w sobre M por
Z
XZ
w=
gi w
(suma finita).
(5.24)
M
ϕ(Ui )
i
Por supuesto, que se debe verificar que esta definici´on no depende de
la partici´on de la unidad escogida. Sea hj otra partici´on de la unidad
subordinada a otro cubrimiento abierto coordenado Vj de M con funci´on
de coordenada ψj−1 : Vj → Rn . Entonces de 5.24
XXZ
XZ
XZ
X
hj =
gi w =
gi w
gi hj w
ϕ(Ui )
i
ϕ(Ui )
i
j
i
ϕ(Ui )
j
como gi hj se anulan fuera de ϕ(Ui ) ∩ ϕ(Vj ) y las sumas son finitas, entonces
XXZ
XZ
XXZ
gi w =
gi hj w =
hj w.
i
j
ϕ(Ui )
j
i
ϕ(Ui )∩ψ(Vj )
j
ψ(Vj )
Lo que demuestra que la definici´on dada por 5.24 es independiente de la
partici´on usada.
La siguiente definici´on se hace necesaria para continuar.
Definici´
on 5.6.1 Sean M1n , M2n superficies regulares, U1 , U2 conjuntos
abiertos de M1 , M2 respectivamente y f : U1 → U2 un difeomorfismo.
Entonces se dice que f preserva orientaci´
on si para cada n−forma w
que pertenece a la clase de orientaci´
on M2 , f ∗ w est´
a en la clase de
orientaci´
on dada en M1 .
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
128
Teorema 5.6.1
(a) La integral
Z
w
M
cambia de signo cuando la orientaci´
on de M es reversada
(b) Se tiene que
Z
(λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1
M
Z
w 1 + λ2
M
Z
w2
M
donde λ1 , λ2 ∈ R y w1 w2 ∈ Λn (M ).
(c) Sea f : M → N un difeomorfismo que preserva orientaci´
on entre
las superficies orientadas N, M y sea w ∈ Λ∗k (N ). Entonces
Z
Z
∗
f w=
w.
(5.25)
M
N
donde f ∗ es la traspuesta (pull-back) inducida por f, aplicada a
formas.
Demostraci´
on. Por la definici´on de integral s´olo es necesario establecer
estas propiedades para formas cada una de las cuales con soporte compacto en una s´ola vecindad coordenada. (a) es inmediato, (b) se obtiene
de la correspondiente propiedad de integral sobre Rn . Entonces se demostrar´a (c). En efecto, sea C = sop w ⊆ ϕ(U ), donde (U, ϕ) es una
parametrizaci´on sobre N con sistema de coordenadas (x1 , · · · , xn ) y sea
la expresi´on en coordenadas ϕ∗ w de w
F (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
Entonces (f −1 (U ), ϕ ◦ f −1 ) es una parametrizaci´on sobre M,
sop f ∗ w = f −1 (C) ⊆ f −1 (U )
y es compacto. Ahora sigue de la ley de transformacion de una n−forma
que f ∗ w y w tienen la misma expresi´on en coordenadas
F (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
y as´ı
Z
w=
N
Z
∗
f w=
M
Z
f −1 (U )
F (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
X
♦
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ DE FORMAS
5.6. INTEGRACION
5.6.2.
129
Dominio regular y borde
El inter´es de esta secci´on son los dominios con frontera (o borde) tales
como las bolas unitarias en R3 cuya frontera es S 2 o M = S 1 × [0, 1] en
R3 cuya frontera dos esferas S 1 . Un ejemplo b´asico es el semiplano Hn
definido por
H n = {(x1 , · · · , xn ) : xn ≥ 0}.
En la teor´ıa de los dominios con frontera, H n reemplaza a Rn , y el subespacio dado por
{x ∈ H n : xn = 0}
recibe el nombre de frontera de H n .
Sea M una m−superficie y D ⊂ M. Se dice que D es un dominio regular
en M si para cada p ∈ M se da alguna de las situaciones siguientes:
(a) Existe un conjunto abierto de p que est´a contenida en M − D.
(b) Existe un conjunto abierto de p que est´a contenida en D.
(c) Existe una parametrizaci´on (U, ψ) alrededor de p tal que el sistema
de coordenadas (ψ(U ), ψ −1 = ϕ) satisface ϕ(U ∩ D) = ϕ(U ) ∩ H m .
En el caso (a), ver Figura 5.2, p ∈ ext(D), en la topolog´ıa de M. Si se
da la situaci´on (b), equivale a que p ∈ int(D), en la topolog´ıa de M, y
si se da (c), p ∈ ∂D, por lo que los tres son excluyentes. Adem´as, cada
punto de ∂D est´a en la situaci´on (c) y para cada parametrizaci´on en esta
situaci´on, los puntos t ∈ U, con tm = 0, tienen su imagen en ∂D.
D
D
D
p•
ϕ
p
•
•p
Hm
U
•
Caso (a)
Caso (b)
ϕ(t)
Caso (c)
Figura 5.2
Una concecuencia de esta consideraci´on es que la estructura diferenciable
montada sobre M induce una estructura de superficie regular sobre ∂D
de dimensi´on n − 1.
Sea (U, ϕ) una parametrizaci´on de M tal que ϕ(U ) ∩ ∂D 6= ∅. Entonces
U = U ∩H n y ϕ = ϕ|U define una parametrizaci´on sobre ∂D y el conjunto
de estas parametrizaciones
A = {(U , ϕ) : (U, ϕ) es una parametrizaci´on de M }
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
130
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
proporciona una estructura diferenciable para ∂D. Lo que d´a un sistema
de coordenadas locales para ∂D que se puede usar para definir funciones
diferenciables, campos vectoriales tangentes y cotangentes, etc. sobre ∂D.
Teorema 5.6.2 Sea D un dominio regular con frontera en una n−superficie
orientada con ∂D 6= ∅. Entonces ∂D es superficie regular orientable de
dimensi´
on n − 1.
Demostraci´
on. Sea p ∈ ∂D. Se consideran (U, ϕ) y (V, ψ) parametrizaciones (en M ) alrededor del punto p con sistemas de coordenadas
(x1 , · · · , xn ), (y1 , · · · , yn ) respectivamente. Como p ∈ ∂D, xn = yn = 0
en p y xn > 0, yn > 0 en puntos de D − ∂D. As´ı que en todos los puntos
de U ∩ ∂D son tales que (en el cambio de coordenadas),
yn (x1 , · · · , xn−1 , 0) = 0
y
∂yn
∂yn
∂yn
=
= ··· =
=0
∂x1
∂x2
∂xn−1
por lo tanto, la matriz jacobiana J de la transformaci´on de coordenadas
ψ ◦ ϕ−1 : (x1 , · · · , xn ) → (yn , · · · , yn )
es

∂y1 /∂x1
···
 ..

J = .
 ∂y1 /∂xn−1 · · ·
∂y1 /∂xn
···
∂yn−1 /∂x1
0
..
.
∂yn−1 /∂xn−1 0
∂yn−1 /∂xn
∂y n /∂xn





Como J es no singular, sigue entonces que ∂y n /∂xn 6= 0. En realidad, ∂y n /∂xn > 0 en ϕ−1 (q), donde q ∈ U ∩ ∂D, ya que, si ϕ−1 (q) =
(q1 , · · · , pn−1 , 0), entonces yn (q1 , · · · , qn−1 , t) > 0, donde t est´a en un intervalo suficientemente peque˜
no 0 < t < ε. Ahora sean (U, ϕ) y (V, φ)
parametrizaciones consecuentemente orientadas, entonces det J > 0 y
como ∂yn /∂xn > 0, se concluye que


∂y1 /∂x1
· · · ∂yn−1 /∂x1


..
det  ...
>0
.
∂y1 /∂xn−1 · · · ∂yn−1 /∂xn−1
en ϕ−1 (q). Como este es el determinante jacobiano para el cambio de
coordenadas de (U , ϕ) a (V , ψ), donde U = U ∩ ∂D, V = V ∩ ∂D,
ϕ = ϕ|U y ψ = ψ|V sobre ∂D, se tiene entonces que las cartas (U , ϕ) y
(V , ψ), son consecuentemente orientadas. Por lo tanto, ∂D es orientable.
X
♦
La orientaci´on inducida sobre ∂D se define como sigue: la base (∂/∂x1 , · · · , ∂/∂xn−1 )
de Tx (∂D) se dice positivamente orientada si la base (∂/∂xn , ∂/∂x1 , · · · , ∂/∂xn−1 )
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-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´ DE FORMAS
5.6. INTEGRACION
131
es consecuentemente orientada en la orientaci´on de M. Esto implica que
cuando a H n se le ha dado la orientaci´on est´andar dx1 ∧ · · · ∧ dxn la
orientaci´on inducida de ∂H n es definida por la clase de equivalencia de
(−1)n dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1 . El factor (−1)n ha sido introducido para eliminar
un signo desagradable que aparece en el desarrollo de la demostraci´on
del Teorema Fundamental del C´alculo.
5.6.3.
Teorema Fundamental del C´
alculo
Teorema 5.6.3 Sea M una n−superfice orientada y D un dominio regular con frontera ∂D con orientaci´
on inducida. Si w es una (n − 1)-forma
diferenciable de soporte compacto, entonces
Z
Z
ω=
dω
(5.26)
∂D
D
Demostraci´
on. En efecto, si m = 1, ω es de grado cero, quedando el
Teorema Fundamental del C´alculo Integral en una variable.
Como ambos lados de la igualdad a establecer son lineales sobre w es
suficiente, en vista de la definici´on de integral sobre superficies, considerar
el caso que w tiene soporte compacto C contenido en la imagen de U de
la parametrizaci´on (U, ϕ) con sistema de coordenada (x1 , · · · , xn ). M´as
preciso, se asume que C ⊂ ϕ(C) donde C es el hipercubo
C = {x = (x1 , · · · , xn ) : 0 ≤ xi ≤ a}.
Sea la expresi´on en coordenadas ϕ∗ (w) para w
∗
ϕ (ω) =
n
X
j=1
cj ∧ · · · ∧ .dxn
(−1)j−1 fj (x1 , · · · , xn )dx1 ∧ · · · ∧ dx
(5.27)
donde el s´ımbolo b indica que el t´ermino se ha omitido. Entonces por
el Teorema 5.5.2
n
X
∂fj
∗
∗
dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
(5.28)
ϕ (dω) = d[ϕ (ω)] =
∂x
j
j=i
Y por lo tanto,
Z a
Z
Z X
n Z a
n
X
∂fj
∂fj dx1 · · · dxn ,
dx1 ∧ · · · ∧ dxn =
···
dω =
∂xj
0 ∂xj
M
C
j=1 0
j=1
lo que proporciona (integrando respecto a xj )
Z
Z ah
n Z a
X
dω =
···
fj (x1 , · · · , xj−1 , a, xj+1 , · · · , xn )−
M
j=1
0
0
i
cj · · · dxn .
fj (x1 , · · · , xj−1 , 0, xj+1 , · · · , xn ) dx1 · · · dx
Dos posibilidades se necesitan para estudiar (5.26):
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
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CARRERA DE MATEMATICAS
(5.29)
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
132
(i) C ∩∂D = ∅,
(ii) C ∩∂D 6= ∅.
En el caso (i), fj = 0 cuando xj = 0, o bien xj = a (j = 1, · · · , n) y
as´ı cada integral en la suma 5.29 vale cero. con lo que
Z
dw = 0,
D
tambi´en, como w = 0 sobre ∂M, entonces
Z
w = 0.
∂D
En el caso (ii) y como C ⊂ ϕ(C) se tiene que todas las integrales del lado
derecho de 5.29 valen cero excepto la ultima y as´ı
Z
Z a
Z a
=−
···
fn (x1 , · · · , xn−1 , 0)dx1 · · · dxn .
(5.30)
D
0
0
n
Como xn = 0 en ∂H entonces dxn = 0 sobre ∂H n y por lo tanto
sobre ϕ−1 (∂D), esto implica que 5.27 se transforme (sobre ϕ−1 (∂D)) se
transforme en
ϕ∗ (w) = (−1)n−1 fn (x1 , · · · , xn )dx1 · · · dxn−1
con lo que (usando el factor de orientaci´on y 5.30)
Z
Z
Z a
Z a
n
n−1
w = (−1) (−1)
fn (x1 , · · · , xn−1 , 0)dx1 · · · dxn−1 =
dw.
···
∂D
0
0
D
X
♦
Lo que demuestra el Teorema.
Corolario 5.6.3.1 Si M es una n−superficie compacta y w una (n −
1)−forma diferenciable sobre M , entonces
Z
dw = 0
M
§ 5.7.
Ejercicios
1. Sea ϕ : R2 → R2 la transformaci´on dada por Φ(r, θ) = (x, y), es
donde x = r cos θ y y = r sen θ. Encontrar Φ∗ (dx ∧ dy).
2. Sea Φ : R3 → R3 la transformaci´on dada por Φ(r, θ, ϕ) = (x, y, z),
en donde
x = r sen θ cos ϕ,
y = r sen θ sen ϕ,
z = r cos θ.
Calcular Φ∗ (dx ∧ dy ∧ dz).
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-
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UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
5.7. EJERCICIOS
133
3. Sea M una superficie de Rn y f : Rm → M una funci´on diferenciable y ωi , i = 1, 2 k−formas sobre M. Probar
f ∗ (ω1 + α ω2 ) = f ∗ ω1 + α f ∗ ω2 ,
f ∗ (ω ∧ θ) = (f ∗ ω) ∧ (f ∗ θ),
(f ◦ h)∗ ω = h∗ f ∗ ω,
(α ∈ R),
con ω y θ formas sobre M.
4. Sea M una 2−superficie orientada y (x, y, z) las coordenadas en
R3 , en el entorno de cada punto de M se tiene una parametrizaci´on
ϕ : Ω ⊂ R2 → R3 , dada por
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u, v),
con Ω conjunto abierto, ϕ diferenciable y con Dϕ(u, v) de rango
dos y tal que mantiene la orientaci´on. Probar
a) Si dA denota el elemento de ´area para M, entonces
dA = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy,
donde n = (n1 , n2 , n3 ) es el vector unitario normal exterior a
M.
b) dA satisface
n1 dA =dy ∧ dz,
n2 dA =dz ∧ dx,
n3 dA =dx ∧ dy.
c) ϕ∗ (dA) satisface
s
∂y
ϕ∗ (dAM ) = ∂u
∂z
∂u
∂y 2
∂v ∂z ∂v
∂z
+ ∂u
∂x
∂u
∂z 2
∂v ∂x ∂v
∂x
+ ∂u
∂y
∂u
∂x 2
∂v ∂y ∂v
du ∧ dv.
(5.31)
d ) Si la parametrizaci´on ϕ es de la forma ϕ : G → R3 , con
ϕ(x, y) = (x, y, f (x, y)),
con G abierto de R2 , entonces,
∗
ϕ (dA) =
q
1 + (fx )2 + (fy )2 dx ∧ dy.
5. Determinar la derivada exterior de de las formas diferenciales dadas
por
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
134
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
a) (x2 + y)dx + (x + y 2 + z)dy.
b) xydx + (x2 + y 3 )dz.
c) x3 dy ∧ dz + ydz ∧ dx − zdx ∧ dy.
d ) (x4 − xyz)(dy ∧ dz + dz ∧ dx + dx ∧ dy).
R
6. Calcular M w, orientando previamente M, en los casos siguientes
a) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}
w = y 2 dy ∧ dz − xdz ∧ dx + ydx ∧ dy.
b) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1},
w = y 2 dy ∧ dz − ydz ∧ dx + ydx ∧ dy.
c) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0},
w = y 2 dy ∧ dz − ydz ∧ dx + ydx ∧ dy.
d ) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z = 0},
w = xdy ∧ dz + ydz ∧ dx − ydx ∧ dy.
e) M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, |z| ≤ 1},
w = 2xdy ∧ dz + 3ydz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy.
7. F´
ormula de Green. Sean M = R2 con la oririentaci´on usual,
D un un dominio regular compacto con borde en M y ∂D con la
orientaci´on borde. Entonces demostrar que
Z
Z
Z Z ∂β ∂α αdx + βdy =
hv, ti ds =
−
dxdy,
∂y
∂D
∂D
D ∂x
donde v es el vector (α, β) y t es el vector unitario tangente y
positivo a ∂D.
8. F´
ormula de Gauss o Divergencia. Sean M = R3 con la orientaci´on usual, D un dominio regular compacto con borde em M y
∂D la superficie borde con la orientaci´on borde. Considerar n =
(n1 , n2 , n3 ) el vector unitario normal exterior a ∂D y v = (a, b, c)
un campo vectorial de clase uno en R3 . Entonces si
ω = a dy ∧ dz + b dz ∧ dx + c dx ∧ dy,
demostrar cada una de las siguientes f´ormulas
Z
Z ∂a ∂b
∂c w=
+
+
dx dy dz.
∂y ∂y
∂D
D ∂x
Z
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
∂D
-
Z hv, ni dA =
div v dV.
D
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
5.7. EJERCICIOS
135
9. F´
ormula de Stokes o Rotacional. Sean M una 2−superficie
orientada contenida en R3 y D un dominio regular em M con D
compacto. Sea ∂D con la orientaci´on borde. Sea n = (n1 , n2 , n3 )
la normal exterior a M y t = (t1 , t2 , t3 ) el vector unitario tangente
positivo a ∂D. Sea v = (a, b, c) un campo vectorial de clase uno en
R3 . Demostrar que si ω = a dx + b dy + c dz, entonces
Z
Z ∂a ∂c ∂b ∂a ∂b ∂c
−
−
−
dy ∧ dz +
dz ∧ dx +
dx ∧ dy,
ω=
∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
∂D
D ∂y
lo que equivale a
Z
∂D
ω=
Z
∂D
hv, ti ds =
Z
D
hrot v, ni dA.
10. Sea C la curva de intersecci´on de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 y el
plano x + y + z = 0. Calcular,
Z
ydx + zdy + xdz.
C
√
R. πa2 3
11. Sea C La curva de intersecci´on del cilindro x2 + y 2 = 2y y el plano
y = z. Calcular
Z
(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz
C
R. 0
12. Sea C la intersecci´on del hemisferio x2 + y 2 + z 2 = 2ax, z > 0 y el
cilindro x2 + y 2 = 2bx, donde 0 < b < a. Probar que
Z
(y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz = 2πab2
C
13. Calcular el volumen de un elipsoide.
14. Una funci´on u se dice arm´onica en un subconjunto abierto G de R3
si u ∈ C 2 (G) y en G
∆2 u = uxx + uyy + uzz = 0.
Demostrar que
a) la funci´on
v(x, y, z) =
[(x −
a)2
1
+ (y − b)2 + (z − c)2 ]1/2
es arm´onica sobre R3 − {(a, b, c)}.
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
-
´
CARRERA DE MATEMATICAS
136
CAP´ITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES
b) Si u es arm´onica en un abierto Ω de (a, b, c) y Sr es la esfera de
centro (a, b, c) y radio r, de tal manera que Sr ⊆ Ω, entonces
Z
1
u(a, b, c) =
u dA.
4πr2 Sr
Es decir, el valor de u en el centro es igual al valor medio de
los valores de u en la superficie esferica
15. Sean g : R3 → R, f : R3 → R funciones diferenciables y M 3 ⊂ R3
un dominio diferenciable compacto con frontera ∂M. Probar que
(Primera identidad de Green)
Z
Z
Z
2
hgrad f, grad gi v +
f∆ g v =
f hgrad g, N i σ
M
M
∂M
donde v y σ son, respectivamente, el elemento volumen de M y el
elemento de ´area de ∂M y N es el vector unitario normal de ∂M.
Sugerencia: Tomar v = f grad g en la F´ormula de la Divergencia.
16. Bajo las condiciones del ejercicio 15, probar la segunda identidad
de Green
Z
Z
2
2
(f ∆ g − g∆ f ) v =
(f hgrad g, N i − g hgrad f, N i)σ.
M
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
∂M
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
Cap´ıtulo 6
Primera y segunda forma
fundamental
§ 6.1.
Primera forma cuadr´
atica fundamental
En esta secci´on se introducir´a la primera forma cuadr´atica fundamental, expresi´on que permite c´alcular la longitud de curvass sobre superficies. Posteriormente, se analizan algunas de sus propiedades y se
caracteiza el area de una superficie en funci´on de su primera forma fundamental.
Sea M una 2−superficie, se restringe el trabajo a una vecindad coordenada (U, x) de M. As´ı que x(u, v) con (u, v) ∈ U ; y se considera la curva
Γ sobre M definida por la imagen bajo x de
u = u(t),
v = v(t),
t ∈ J = [a, b]
A lo largo de la curva Γ, x es una funci´on de t, es decir, Γ es de la forma
r(t) = x(u(t), v(t)),
con t en un intervalo J.
La longitud de arco s = s(t) est´a relacionado con el par´ametro t (t en el
interior de J) por la formula
s=
Z
t
t0
kr′ (t)kdt,
a < t0 < t
(6.1)
a´
unque r′ (t) ∈ Tr(t) M, se puede usar el producto interior del ambiente,
137
CAP´ITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
138
R3 , para obtener entonces
ds2 =kr′ (t)k2 = hr′ (t), r′ (t)i
∂x du ∂x dv ∂x du ∂x dv
+
,
+
=
∂u dt
∂v dt ∂u dt
∂v dt
∂
∂
∂
∂
=
du +
dv,
du +
dv
∂u
∂v
∂u
∂v
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
,
dudu + 2
,
dudv +
,
dvdv,
=
∂u ∂u
∂u ∂v
∂v ∂v
haciendo
E=
∂ ∂
,
∂u ∂u
,
F =
∂ ∂
,
∂u ∂v
,
G=
∂ ∂
,
∂v ∂v
.
(6.2)
y escribiendo A2 = A · A, entonces
I = ds2 = E du2 + 2F dudv + G dv 2
(6.3)
recibe el nombre de primera forma cuadr´atica fundamental.
Observaciones
1. La primera forma cuadr´atica fundamental se puede escribir
du
E F
2
I = ds = (du, dv)
dv
F G
la matriz
F1 =
es la matr´ız asociada a I.
E F
F G
2. La primera forma cuadr´atica fundamental es definida positiva. En
efecto, como
du
E F
2
ds = (du dv)
dv
F G
y como los puntos de la superficie M son regulares, se tiene
∂ ∂
∂ ∂
E=
,
,
> 0,
G=
> 0,
∂u ∂u
∂v ∂v
entonces por la identidad de Lagrange implica que
∂ 2 ∂ 2 ∂ ∂ ∂
∂ 2
2
|F1 | = EG − F = −
=
,
×
>0
∂u
∂v
∂u ∂v
∂u ∂v
´
y el criterio de Sylvester, en Algebra
Lineal, asegura que la primera
forma cuadr´atica fundamental es definida positiva1 .
´
Ver, por ejemplo, Hernandez E. Algebra
y Geometr´ıa, Adisson-Wesley. 1994.
p´agina 542
1
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
6.1. PRIMERA FORMA CUADRATICA
FUNDAMENTAL
139
3. ds2 es invariante bajo un cambio de parametro.
Es una aplicaci´on de la regla de la cadena en la forma cuadr´atica
al hacer el cambio de variable. En efecto, Sea M una superficie y
x(u, v) un sistema de coordenadas locales. Si se realiza el cambio de
par´ametros u = u(α, β), v = v(α, β), entonces la forma cuadr´atica
fundamental en los par´ametros α, β satisface (para simplificar, por
un momento, se denotar´a A2 = hA, Ai):
e 2 + 2Fedαdβ + Gdβ
e 2
ds2 =Edα
∂x
∂x
∂x
∂x
dα +
dβ,
dα +
dβ
=
∂α
∂β
∂α
∂β
!2
∂x ∂u ∂x ∂v
∂x ∂u ∂x ∂v
=
+
+
dα +
dβ
∂u ∂α ∂v ∂α
∂u ∂β ∂v ∂β
!2
∂x ∂u
∂u ∂x ∂v
∂v =
dα +
dβ +
dα +
dβ
∂u ∂α
∂β
∂v ∂α
∂β
∂x
∂x 2
∂x
∂x
∂x
∂x
du +
dv =
du +
dv, du +
dv
=
∂u
∂v
∂u
∂v
∂u
∂v
=E du2 + 2F dudv + G dv 2 .
Esto demuestra que ds2 es invariante bajo cambio de par´ametros.
4. La distancia entre p = x(u(t0 ), v(t0 )) y q = x(u(t), v(t)) sobre la
curva Γ puede expresarse en la forma siguiente:
Z t r 2
dv 2
du dv
du
+G
s=
+ 2F
dt.
E
dt
dt dt
dt
t0
(6.4)
5. Sea M una 2−superficie, se supone que la vecindad coordenada
(U, x) de M, es tal que x(U ) = M. Por lo tanto,
ZZ ZZ √
∂
∂
´
EG − F 2 du dv,
Area
(M ) =
×
du dv =
∂v
U ∂u
U
por lo tanto, el elemento de a´rea dA, es dado por
√
dA = EG − F 2 du dv
(6.5)
6. El vector normal exterior a la superficie N = N (u, v) o funci´on de
Gauss est´a dada por
xu × xv
,
(6.6)
N=
kxu × xv k
lo que equivale a,
xu × xv
,
(6.7)
N=√
EG − F 2
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
140
´
Angulos
de curvas sobre una superficie
6.1.1.
Dada una superficie x(u, v) : U ⊂ R2 → R3 y una curva Γ sobre ella,
la direcci´on de la tangente o direcci´on tangente, viene asociada a
dv
o (du, dv).
du
dv
δv
Sean Γ1 y Γ2 dos curvas sobre la superficie con du
y δu
respectivamente
sus direcciones tangentes, donde se ha empleado la notaci´on δu, δv para
distinguirlas de du, dv; teniendo en cuenta que δ tiene el mismo sentido
que d.
Se supone que las curvas tienen un punto p regular com´
un, sea θ el ´angulo
que forman ambas curvas en el punto p y se define el ´angulo que forman
dos curvas como el ´angulo que forman dos vectores en direcci´on de sus
tangentes.
Por medio de E, F, G se puede expresar el ´angulo θ de dos direcciones
tangentes a la superficie, se tiene
dx = xu du + xv dv,
δx = xu δu + xv δv
y
hdx, δxi
|dx| |δx|
hxu , xu i duδu + hxu , xv i (duδv + dvδu) + hxv , xv i duδv
=
|dx||δx|
Eduδu + F (duδv + dvδu) + Gdvδu
√
=√
Edu2 + 2F du dv + Gdv 2 Eδu2 + 2F δuδv + Gδv 2
cos θ =
(6.8)
Son particularmente importantes los siguientes casos de la ecuaci´on 6.8:
1. Para θ = π/2 se tiene la condici´on de ortogonalidad de dos direcciones sobre la superficie:
Eduδu + F (duδv + dvδu) + Gdvδv = 0
(6.9)
2. El ´angulo θ formado por las curvas param´etricas u =constante
(por consiguiente, du = 0, dv arbitrario) y v =constante (esto es,
δu arbitrario, δv = 0) viene dado por
F
F dvδu
√
=√
,
2
2
EG
Gdv Eδu
√
√
EG − F 2
2
√
sen θ = 1 − cos θ =
EG
cos θ = √
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
(6.10)
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
6.1. PRIMERA FORMA CUADRATICA
FUNDAMENTAL
141
3. Las curvas param´etricas en (6.10) son ortogonales si F = 0
6.1.2.
Ejemplos
1. La esfera. Cuando se eligen como par´ametros la latitud θ y la
longitud ϕ sus coordenadas estan dadas por las ecuaciones (ver,
Figura 6.1):
x =a cos θ cos ϕ
y =a cos θ sen ϕ,
z =a sen θ.
(θ, ϕ) ∈ (−π/2, π/2) × (0, 2π)
(6.11)
z
y
θ
φ
x
Figura 6.1
Con lo que
∂
= (−a sen θ cos ϕ, −a sen θ sen ϕ, a cos θ),
∂θ
Resulta entonces que
∂ ∂
,
= a2 ,
E=
∂θ ∂θ
F =
∂ ∂
,
∂θ ∂ϕ
∂
= (−a cos θ sen ϕ, −a cos θ cos ϕ, 0)
∂ϕ
= 0,
G=
∂ ∂
,
∂ϕ ∂ϕ
= a2 cos2 θ
con lo que
ds2 = a2 dθ2 + a2 cos2 θdϕ2 .
(6.12)
Por ser F = 0 se deduce que los meridianos y paralelos son ortogonales entre s´ı.
2. Superficie de revoluci´
on Si se elige el eje z como eje de revoluci´on
de la curva x = f (v), z = g(v) en el plano y = 0 (esta curva es la
meridiana de la superficie), la superficie resultante (Figura 2.7 del
cap´ıtulo 2) est´a dada por las ecuaciones
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
142
x = f (v) cos u,
y = f (v) sen u,
z = g(v)
(6.13)
a < v < b y 0 < u < 2π.
Las curvas v =constante son los paralelos y las u =constante, los
meridianos de la superficie. En este caso
∂
= (−f (v) sen u, f (v) cos u, 0)
∂u
∂
= (f ′ (v) cos u, f ′ (v) sen u, g ′ (v))
∂v
de donde
E=
∂ ∂
,
∂u ∂u
2
∂ ∂
,
∂u ∂v
=f ,
F =
=0
∂ ∂
G=
,
= (f ′ )2 + (g ′ )2 ;
∂v ∂v
con lo que,
§ 6.2.
I = ds2 = f 2 du2 + (f ′ )2 + (g ′ )2 dv 2
(6.14)
Segunda forma cuadr´
atica fundamental
En esta secci´on se supone que M es una 2−superficie regular y que
(U, r) es una parametrizaci´on alrededor de p ∈ M, U abierto de R2 con
lo que
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
(u, v) ∈ U
y el vector unitario normal a M, llamado funci´on de Gauss, est´a dado
por
ru × rv
N = N (p) =
.
|ru × rv |
La geometr´ıa de M depende de las formas cuadr´aticas fundamentales de
las cuales ya se ha dado la primera que se representa con ds2 . La segunda
forma cuadr´atica fundamental puede obtenerse dando sobre M una curva
Γ que pase por el punto p y tomando el vector de curvatura de Γ en p.
Si la curva Γ viene dada cuando u = u(s) y v = v(s) con s el par´ametro
longitud de arco, entonces se puede representar a Γ sobre M por
r(s) = r(u(s), v(s)),
s ∈ J = [0, l]
Si t es el vector tangente unitario de Γ, es decir,
t = r˙ ∈ Tr(s) M,
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
6.2. SEGUNDA FORMA CUADRATICA
FUNDAMENTAL
143
entonces en cada punto p ∈ M, r¨ ∈ R3p y como {r,
˙ N, N × r}
˙ forma
una base ortonormal (o simplemente, un referencial ortonormal) para
R3p , entonces existen escalares kn , kg , y α tales que
r¨ = kn N + kg (N × r)
˙ + α r˙
La componentes normal kn recibe el nombre de curvatura y la componente tangencial kg recibe el nomber de curvatura tangencial o geod´esica
mientras que el vector de curvatura es K = ¨
r. Al tomar producto interior
en ambos miembros de es igualdad se obtiene que α = 0, y as´ı
r¨ = kn N + kg (N × r).
˙
(6.15)
Lo que muestra que r¨ est´a en el plano generado por los vectores {N, (N ×
r};
˙ de igualmanera tomando en esta u
´ltima ecuaci´on producto interior
por N y N × r˙ se obtiene
kn = h¨
r, N i
y kg = h¨
r, N × ri
˙
(6.16)
el vector curvatura K en p es igual a dt/ds = r¨. Al descomponer K en una
componente Kn normal y otra componente Kg tangente a la superficie
(Figura 6.2) se obtiene que K=Kn +Kg donde
Kn = kn N
y
Kg = kg (N × r);
˙
(6.17)
´estos reciben el nombre de vectores de curvatura normal y tangencial,
respectivamente y k = kKk es la curvatura en el punto p = r(s). La
curvatura k satisface
k 2 = k¨
rk2 = hkn N + kg (N × r),
˙ kn N + kg (N × r)i
˙ = kn2 + kg .
Kn
K=
dt
ds
Kg
p
Figura 6.2
El escalar kn queda determinado por Γ (no depende de la elecci´on de
sentido de t o N ); pero el vector Kn depende en cuanto a su signo del
sentido de N .
A continuaci´on presentamos las siguientes propiedades del vector de curvatura normal Kn o simplemente de la curvatura normalkn en p. En
efecto,
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
CAP´ITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
144
1. De la ecuaci´on hN, ti = 0, se obtiene por derivaci´on a lo largo de
Γ:
dt
,N
ds
dN
dr dN
= − t,
,
=−
,
ds
ds ds
(6.18)
Por (6.17) y del hecho
dt
= kn N + kg N × r,
˙
ds
entonces
kn = hkn N, N i =
Como
dt
,N
ds
s=
2
Z
=−
dr dN
,
ds ds
(6.19)
s
s0
|r′ (s)|ds
entonces ds = hdr, dri y as´ı
kn = −
hdN, dri
hdr, dri
(6.20)
Se estudia en primer lugar el segundo miembro de esta ecuaci´on.
N y r son ambos funciones de u y v (que a su vez dependen de Γ).
Utilizando las identidades
dN = Nu du + Nv dv,
dr = ru du + rv dv.
(6.21)
la ecuaci´on (6.20) puede escribirse en la forma:
kn = −
hru , Nu i du2 + [hru , Nv i + hrv , Nu i]du dv + hrv , Nv i dv 2
E du2 + 2F du dv + G dv 2
o bien
kn =
e du2 + 2f du dv + g dv
E du2 + 2F du dv + G dv 2
(6.22)
En esta u
´ltima ecuaci´on
e = − hru , Nu i ,
2f = − hru , Nv i + hrv , Nu i ,
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
g = − hrv , Nv i
(6.23)
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
´
6.2. SEGUNDA FORMA CUADRATICA
FUNDAMENTAL
145
son funciones de u y v, que dependen de las derivadas segundas de r
respecto a u y v, difiriendo en este aspecto de E, F, G, que s´olo dependen de las primeras derivadas. Se puede escribir el denominador
y el numerado de la ecuaci´on (6.22) en la forma siguiente:
I = Ip = E du2 + 2F du dv + G dv 2 = hdr, dri ,
II = IIp = e du2 + 2f du dv + g dv 2 = hdN, dri .
(6.24)
Con lo que
II
.
I
I es la primera forma fundamental y II es la segunda forma fundamental.
kn =
2. Por ser
hru , N i = 0 y hrv , N i = 0,
(6.25)
se puede tambi´en escribir en lugar de e, f, g:
e = hruu , N i ,
An´alogamente
f = hruv , N i ,
g = hrvv , N i
xuu yuu zuu xu yu z u xv yv z v hruu , ru × rv i
= √
e= √
EG − F 2
EG − F 2
hruv , ru × rv i
f= √
,
EG − F 2
hrvv , ru × rv i
g= √
EG − F 2
(6.26)
(6.27)
(6.28)
Estas f´ormulas (6.27) y (6.28) permiten, una vez dada las ecuaciones param´etricas sobre una vecindad coordenada de la superficie,
calcular inmediatamente e, f y g.
3. De la ecuaci´on (6.25) se deduce tambi´en que
hru , Nv i = hrv , Nu i ,
de forma que la ecuaci´on (6.23) puede escribirse en esta otra forma
m´as sencilla:
e = − hru , Nu i ,
f = − hru , Nv i = − hrv , Nu i ,
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
g = − hrv , Nv i
(6.29)
CAP´ITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
146
4. Al definir la forma cuadr´atica Cp en Tp M por
Cp (U ) = − hdN (U ), dr(U )i ,
U = U1 ru + U2 rv ∈ Tp M,
entonces las ecuacies (6.24) y (6.21) implican que IIp (U ) = Cp (U ),
esto es,
IIp (U ) = − hdN (U ), U i , ∀U ∈ Tp M.
(6.30)
De igual manera
Ip (U ) = hU, U i ,
6.2.1.
∀U ∈ Tp M.
(6.31)
Ejemplos
1. Esfera. En este caso,
ds2
ruu
ruv
xvv
=a2 dθ2 + a2 cos2 θdϕ2 , u = ϕ, v = ϕ,
=(−a cos θ cos ϕ, −a cos θ sen ϕ, −a sen θ),
=(−a sen θ sen ϕ, −a sen θ cos ϕ, 0),
=(−a cos θ cos ϕ, −a cos θ sen ϕ, 0),
√
EG − F 2 = a2 cos θ
−a cos θ cos ϕ −a cos θ sen ϕ −a sen θ
−a sen θ cos ϕ −a sen θ sen ϕ a cos θ −a cos θ sen ϕ +a cos θ cos ϕ
0
a3 cos θ
=
= a.
e=
a2 cos θ
a2 cos θ
An´alogamente, se obtiene
f = 0 g = −a cos2 θ
II = a(dθ2 + cos2 θ dϕ2 ),
kn =
(6.32)
II
1
= .
I
a
En este es el caso, I y II son proporcionales.
2. Superficie de revoluci´
on. Se sabe que al tomar el eje z como eje
de revoluci´on de la curva x = ϕ(v), z = ψ(v) en el plano y = 0,
la superficie resultante es una superficie de revoluci´on y tiene como
parametrizaci´on la dada por las ecuaciones
r:
x = ϕ(v) cos u,
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
y = ϕ(v) sen u,
z = ψ(v)
(6.33)
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
6.3. CURVATURAS PRINCIPALES
147
a < v < b y 0 < u < 2π. Las curvas v =constante son los paralelos
y las u =constante, los meridianos de la superficie. En este caso
∂1 = (−ϕ(v) sen u, ϕ(v) cos u, 0)
∂2 = (ϕ′ (v) cos u, ϕ′ (v) sen u, ψ ′ (v))
de donde
E = ϕ2 ,
F = 0,
G = (ϕ′ )2 + (ψ ′ )2 ;
con lo que,
I = ds2 = ϕ2 du2 + (ϕ′ )2 + (ψ ′ )2 dv 2
(6.34)
El c´alculo de la segunda forma cuadr´atica fundamental es como
sigue, se supone que la curva eat´a parametrizada por la logitud de
arco, esto es,
(ϕ′ )2 + (ψ ′ )2 = 1,
As´ı,
I = ds2 = ϕ2 du2 + dv 2
y
−ϕ sen u ϕ′ cos u −ϕ cos u
ϕ cos u ϕ′ sen u −ϕ sen u
0
ψ′
0
hruu , ru × rv i
√
=
= −ϕ ψ ′
e= √
EG − F 2
EG − F 2
f = 0,
g = ψ ′ ϕ′′ − ψ ′′ ϕ′ .
Entonces
II = −ϕψ 2 du2 + (ψ ′ ϕ′′ − ψ ′′ ϕ′ )dv 2 .
§ 6.3.
Curvaturas principales
Se usar´a la primera y segunda forma cuadr´atica fundamental para
hacer una presentaci´on de las curvaturas principales, Gaussiana y media.
Para tal efecto, Sea M una 2−superficie regular, (U, x) una parametrizaci´on de M, alrededor de p ∈ U ⊆ M, y se escribe x = x(u, v), ∀(u, v) ∈
U ⊆ R2 . Entonces la primera y segunda forma cuadr´atica en p de M
asociada a esta parametrizaci´on esta dada por
I = Ip = E du2 + 2F du dv + G dv 2 ,
II = IIp = e du2 + 2f du dv + g dv 2 .
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
(6.35)
CAP´ITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
148
donde
E = hxu , xu i , F = hxu , xv i , G = hxv , xv i ,
e = − hxu , Nu i , f = − hxu , Nv i = − hxv , Nu i , g = − hxv , Nv i .
Entonces se introducen las siguientes matrices simetricas
e f
E F
,
F2 =
F1 =
f g
F G
(6.36)
que son las matrices asociadas a la primera y segunda forma cuadr´atica
fundamenta, respectivamente, en cada punto p ∈ U ⊆ M.
Adem´a observe que si
t 1 = τ1 xu + η2 xv ,
t 2 = τ2 xu + η2 xv
entonces
ht1 , t2 i = hτ1 xu + η2 xv , τ2 xu + η2 xv i
=Eτ1 τ2 + F (τ1 η2 + τ2 η1 ) + Eη1 η2
τ2
E F
,
=(τ1 , η1 )
η2
F G
si se escribe
entonces
τ
T1 = 1 ,
η1
τ
T2 = 2 .
η2
ht1 , t2 i = T1t F1 T2 .
(6.37)
Por otro lado, escribiendo el vector tangente r˙ = ux
˙ u + vx
˙ v como
u˙
T =
v˙
y por un c´alculo similar al anterior se tiene
kn = T t F2 T
(6.38)
Definici´
on 6.3.1 Las curvaturas principales de una superficie son las
ra´ıces de la ecuaci´
on
det(F1 − kF2 ) = 0,
(6.39)
es decir,
e − kE f − kF
det
f − kF g − kG
=0
(6.40)
Como 6.40 es una ecuaci´on cuadr´atica de variable k, existen dos ra´ıces.
A priori, estas podr´ıan ser n´
umeros complejos. Por lo tanto, se demostrar´a que las curvaturas principales son siempre reales. Note que si F1 es
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
6.3. CURVATURAS PRINCIPALES
149
la matriz identidad (lo que sucede cuando M = R2 ), entonces la ecuaci´on
6.39 se convierte en la ecuaci´on para el c´alculo de autovalores de F2 ; y un
´
resultado est´andar del Algebra
Lineal proporciona que los autovalores de
una matriz sim´etrica son n´
umeros reales. Como F1 es invertible, entonces
6.39 es equivalente a
det(F1 (F1−1 F2 − kI2 )) = 0,
esto es,
det(F1 ) det(F1−1 F2 − kI2 )) = 0,
con lo que
det(F1−1 F2 − kI2 ) = 0,
(6.41)
y as´ı las curvaturas principalesson los autovalores de F1−1 F2 . Pero el
producto de matrices sim´etricas no necesariamente es sim´etrica. Con el
siguiente Teorema resolvemos esto y mucho m´as.
Teorema 6.3.1 Sea M una 2−superficie regular y p ∈ M. Si (U, x) con
x = (u, v) es una parametrizaci´on de M alrededor de p y N es la funci´
on
de Gauss asociada a esta parametrizaci´on, entonces
(a) La diferencial d Np : Tp M → Tp M de la funci´on de Gauss es una
transformaci´
on lineal auto-adjunta,
(b) existen escalares reales a, b,, c y d tales que
Nu = a xu + b xv ,
(c) Se tiene que
dNp =
a c
b d
N v = c xu + d xv ,
(6.42)
= −F1−1 F2 .
(6.43)
Demostraci´
on.
(a) Como dNp es una transformaci´on lineal y {xu , xv } es una base para
Tp M , es suficiente demostrar que
hdNp (xu ), xv i = hxu , dNp (xv )i .
Para tal efecto, sea
α(t) = x(u(t), v(t)),
t ∈ J = [−a, a], a > 0
una parametrizaci´on de una curva en M con α(0) = p, entonces
dNp (α′ (0)) =dNp (xu u′ (0) + xv v ′ (0))
′ u (0)
=(dNp ) ′
v (0)
=Nu u′ (0) + Nv v ′ (0).
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
(6.44)
CAP´ITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
150
En particular,
dNp (xu ) = Nu ,
y dNp (xv ) = Nv .
Por lo tanto, para demostrar que dNp es auto-adjunto, es suficiente
probar que
hNu , xv i = hxu , Nv i .
Pero esto de obtiene de la sigiente manera, como hN, xu i = 0 =
hN, xv i , entonces
hNv , xu i + hN, xvu i =0
hNu , xv i + hN, xuv i =0,
as´ı
hNu , xu i = − hN, xvu i
= − hN, xuv i
= hxv , Nv i .
Lo que demuestra que dNp es auto-adjunto. Y la parte (a) queda
demostrada.
(b) Como
N=
xu × xv
,
kxu × xv k
entonces N ⊥ Nu y N ⊥ Nv ; lo que muestra que Nu , Nv ∈ Tp M,
por lo tanto existen escalares a, b, c, d ∈ R tales que
Nu = a xu + b xv ,
N v = c xu + d xv
(c) Por la parte (a),
N u = a xu + b xv ,
N v = c xu + d xv ,
y tomando producto interior por xu , xv se tiene
−e = aE + bF
−f = aF + bG
− f = cE + dF
− g = cF + dG
esto muestra que
e f
−
f g
a c
E F
.
=
b d
F G
Por lo tanto,
−F1−1 F2
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
=
a c
.
b d
´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE
6.3. CURVATURAS PRINCIPALES
151
X
♦
Y el Teorema queda demostrado.
Definici´
on 6.3.2 Sea M una 2−superficie. Si k1 , k2 son las curvaturas
principales de en p, entonces
(a) K = k1 k2 recibe el nombre de curvatura Gaussiana de M en p.
(b) H = (k1 + k2 )/2 recibe el nombre de curvatura media de M en p.
Definici´
on 6.3.3 Un punto p de una 2−superficie M se dice
(a) eliptico si det(dNp ) > 0,
(b) hiperb´olico si det(dNp ) < 0,
(c) parab´
olico si det(dNp ) = 0 y dNp 6= 0,
(d) planar si dNp = 0.
Observaciones. Para una 2−superficie M y por el Teorema inmediatamente anterior se tiene
1. en cada punto p ∈ M
a c
b d
= dNp
2. Las curvaturas principales son los autovalers de −dNp , p ∈ M
3. Como
−F1−1 F2
a c
,
b d
entonces resolviendo se tiene
f F − eG
EG − F 2
eF − f E
b=
EG − F 2
a=
gF − f G
EG − F 2
f F − gE
d=
.
EG − F 2
c=
4. Si k1 , k2 son las curvaturas principales, entonces la curvatura Gaussiana satisface
K = k1 k2 = det(dNp ) =
eg − f 2
EG − F 2
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
152
CAP´ITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
§ 6.4.
Ejercicios
Primera forma cuadr´
atica fundamental
1. La esfera S 2 admite las siguientes ecuaciones parametricas (ver Figura 6.8):
α(θ, ϕ) = (sen θ cos ϕ, sen θ sen ϕ, cos θ),
(θ, ϕ) ∈ (0, π) × (0, 2π)
z
θ
y
φ
x
Figura 6.8
Demostrar que E = 1, F = 0, G = sen2 θ y por lo tanto
ds2 = dθ2 + sen2 θdϕ2 .
2. Las superficies siguientes se dan en forma param´etrica.
a) Paraboloide hiperb´olico:
x = au cosh v,
y = bu senh v,
z = u2 .
b) Elipsoide:
x = a sen u cos v,
y = b sen u sen v,
z = c cos u.
c) Hiperboloide de dos hojas:
x = a senh u cos v,
y = b senh u sen v,
z = c cosh u.
d ) Cono:
x = a senh u senh v,
y = b senh u sen v,
z = u2 .
e) Paraboloide el´ıptico:
x = au cos v,
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
y = bu sen v,
z = u2 .
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6.4. EJERCICIOS
153
Escribrir las ecuaciones de estas superficies en la forma F (x, y, z) =
0. Calcular la primera forma cuadr´atica fundamental.
3. Demostrar que el paraboloide hiperb´olico se puede representar tambi´en por las ecuaciones
x = a(u + v),
y = b(u − v),
z = uv,
y calcular la primera forma cuadr´atica fundamental.
4. Calcular ds2 para la superficie x = u, y = v, z = uv.
5. Dada una superficie por la ecuaci´on z = f (x, y).
a) Hallar la primera forma cuadr´atica fundamental y el campo
vectorial unitario normal exterior a la superficie N.
b) Demostrar que el elemento de a´p
rea de la superficie cuya ecuaci´on de z = f (x, y) es dA = 1 + p2 + q 2 dxdy, donde p =
∂z/∂x, q = ∂z/∂y.
6. Hallar la primera forma cuadr´atica fundamental para la superficie
M de ecuaci´on impl´ıcita F (x, y, z) = 0, en la que se supone que
todos sus puntos son regulares.
Segunda forma cuadr´
atica fundamental
7. Calcular la segunda forma cuadr´atica fundamental, las curvaturas
principales, la curvatura gaussiana y media de las superficies dadas
en la secci´on anterior. Ademas encuentre cuales puntos son elipticos, hiperb´olicos, parab´olicos y planares.
8. ¿Cu´al es la segunda forma cuadr´atica fundamental cuando la superficie est´a dada por la ecuaci´on z = f (x, y)?
9. Hallar los puntos umbilicales del elipsoide y demostrar que los planos tangentes en dichos puntos son paralelos a las secciones c´ıclicas
de aqu´el (es decir, a los planos que cortan al elipsoide en circunferencias).
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
154
CAP´ITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
-
´ DE CALDAS
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Ap´
endice A
Particiones de la unidad
§ A.1.
Particiones diferenciables de la unidad
En el estudio de diversos temas del an´alisis global y la geometr´ıa, es
de particular utilidad la t´acnica de las particiones de la unidad, ya que
reduce tal estudio a uno local.
Antes de entrar en materia se recuerda
(a) Si A y B son subconjuntos no vac´ıos de Rn entonces la distancia
entre A y B est´a dada por
d(A, B) = ´ınf{|x − y| : ∀x ∈ A, ∀y ∈ B}.
En particular, si x ∈ Rn , entonces la distancia de x a B est´a dada
por
d(x, B) = ´ınf{|x − y| : ∀y ∈ B}.
(b) Sea r > 0 y x ∈ Rn . Si la bola abierta de centro x y radio r,
B(x, r), es tal que B(r, x) ⊂ U para alg´
un abierto U de Rn , entonces
c
d(x, U ) > r.
En efecto, claramenta d(x, U c ) ≥ r. Si d(x, U c ) = r, la definici´on ´ınf
muestra que exsiste una sucesi´on {yn } ⊂ U c tal que |x − yn | → r,
entonces {yn } est´a acotada. Por lo tanto, existe una subsucesi´on
{ynk } de {yn } que converge y ∈ Rn ; como U c es cerrado y ∈ U c , y
entonces por hip´otesis y 6∈ B(x, r). Por otro lado,
|x − y| ≤ |x − ynk | + |ynk − y|,
∀k
y tomando l´ımite cuando k → ∞, se tiene que |x − y| ≤ r. Esto
demuestra que y ∈ B(x, r), que es una contradicci´on.
Lema A.1.1 Dados r, q ∈ R tal que 0 < r < q, entonces existe una
funci´on diferenciable ϕ : Rn → R con las siguientes propiedades: para
cada x0 ∈ Rn ,
155
156
´
APENDICE
A. PARTICIONES DE LA UNIDAD
(a) ϕ(x) = 1, si x ∈ B(x0 , r)
(b) 0 < ϕ(x) ≤ 1, si x ∈ B(x0 , q)
(c) ϕ(x) = 0, si x 6∈ B(x0 , q) (y por lo tanto, ϕ(x) = 0 en el exterior
de B(x0 , q) )
Demostraci´
on. Se desea construir en Rn una funci´on real que, para el
2
caso de R , se comporte como la Figura A.1.
1
q
r
Figura A.1
para empezar, sean r, q ∈ R con 0 < r < q y se considera la funci´on
α : R → R, (ver, Figura A.2) dada por
α(t) =
(
1
e− (t+r)(t+q)
0
, si t ∈ (−q, −r)
, si t ∈
/ (−q, −r)
−q
−r
0
Figura A.2
La funci´on α es una simple modificaci´on de la funci´on bien conocida
2
e−1/x y el hecho importante es que α es C ∞ en todos sus puntos (en los
puntos −q y −r las derivadas de todos los ordenes son nulas).
Si se toma ahora la integral (ver, Figura A.3),
Z
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-
t
α(s)ds = γ(t)
−∞
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A.1. PARTICIONES DIFERENCIABLES DE LA UNIDAD
157
1
−q
−r
0
Figura A.3
se observa que la funci´on γ es diferenciable cuyo valor m´aximo (en el
punto −r) est´a dado por
Z −r
α(s)ds = A
−q
Por lo tanto, haciendo
γ(t)
,
A
Se obtiene una funci´on diferenciable β : R → R tal que:


si t ≤ −q,
β(t) = 0,
0 ≤ β(t) ≤ 1, si t ∈ [−q, −r],


β(t) = 1,
si t ≥ −r
β(t) =
La funci´on pedida ϕ : Rn → R ser´a finalmente obtenida, haciendo ϕ(x) =
X
β(−|x − x0 |), x ∈ Rn .
♦
Teorema A.1.1 Sea X un subconjunto de Rn y {Aα } un recubrimiento
abierto de X. Entonces existe una colecci´on Φ de funciones reales ϕ de
clase C ∞ definidas sobre un conjunto abierto que contiene a X, con las
siguientes propiedades:
(a) Para cada x ∈ X, se tiene 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1.
(b) Para cada x ∈ X existe un conjunto abierto V de Rn , con x ∈ V tal
que todas las funciones de Φ, excepto un n´
umero finito, se anulan
en V.
(c) Para cada x ∈ X,
X
φ(x) = 1
ϕ∈Φ
(d) Para cada ϕ ∈ Φ existe α tal que sop ϕ ⊂ Aα . Donde
sop ϕ = {x ∈ Rn : ϕ(x) 6= 0}
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
´
APENDICE
A. PARTICIONES DE LA UNIDAD
158
En virtud de (b) para cada x, la suma en (c) es finita en un conjunto
abierto que contiene a x.
(Una colecci´on P hi que satisfaga las condiciones (a), (b) y (c) se denomina una bf partici´on de la unidad para X por funciones de clase C ∞ .
Si Φ satisface tambi´en (d) se dice que la colecci´on de funciones Ψ es una
partici´on de la unidad para X subordinada al cubrimiento abierto {Aα }
de X.
Demostraci´
on. Sean
A=
[
Aα
y {x1 , · · · , xm , · · · , xm , · · · } una ordenaci´on de los puntos de A con coordenadas racionales. Para cada xi existe α tal que xi ∈ Aα y por lo
tanto, exsite δxi = δi con B(xi , δi ) ⊂ B(xi , 2δi ) ⊂ Aα . Sean ψi , i =
1, 2, · · · , m, · · · , la funci´on dada por el Lema A.1.1 y asociada con B(xi , 2δi ),
esto es,
(a) ψi (x) = 1, si x ∈ B(xi , δi )
(b) 0 < ψi (x) ≤ 1, si x ∈ B(xi , 2δi )
(c) ψi (x) = 0, si x 6∈ B(xi , 2δi ),
se define entonces
ϕ1 = ψ 1
ϕ2 = (1 − ψ1 )ψ2
..
.
ϕi+1 = (1 − ψ1 )(1 − ψ2 ) · · · (1 − ψi )ψi+1
..
.
(A.1)
Por otro lado,
ϕ1 = ψ1 = 1 − (1 − ψ1 )
ϕ1 + ϕ2 = 1 − (1 − ψ1 ) + (1 − ψ1 )ψ2 = 1 − (1 − ψ1 )(1 − ψ2 )
..
.
ϕ1 + · · · + ϕi+1 = 1 − (1 − ψ1 )(1 − ψ2 ) · · · (1 − ψi )(1 − ψi+1 )
..
.
(A.2)
La familia {ϕ1 , · · · , ϕm , · · · } cumple con las condiciones pedidas. En efecto, (a) es evidente por la construcci´on de ψi y la definici´on de ϕi .
Ahora se supone que x ∈ X, entonces existe j, tal que x ∈ B(xj , δj ) y
para este ´ındice ψi (y) = 1 para todo y ∈ B(xj , δj ). Luego, si m > j,
las ecuaciones proporcionadas en A.1 implican que ϕm (y) = 0, lo que
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-
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A.1. PARTICIONES DIFERENCIABLES DE LA UNIDAD
159
muestra (b). Tambi´en, por las ecuaciones dadas en A.2, se tiene entonces
que
j
∞
X
X
ϕi (y) = 1.
ϕi (y) =
i=1
i=1
Lo que demuestra (c). Para ver (d) basta tener en cuenta que
sop ϕi ⊂ B(xi , δi ) ⊂ Aα
X
♦
para alg´
un α.
Otra demostracion del Teorema A.1.1
Demostraci´
on. Cada Aα se puede S
escribir como X ∩ Wα par algun
conjunto abierto Wα en Rn . Sea W = α Wα y sea Kj cualquier sucesi´on
encajada de subconjuntos compactos que agoten al conjunto abierto W,
esto es,
[
Kj = W
y
Kj ⊆ int (Kj+1 )
La colecci´on de todas las bolas abiertas de Rn cuya clausura est´a en al
menos un Aα es un cubrimiento abierto de W. Se selecciona un n´
umero
finito de tales bolas que cubren a K2 . Por el Lema A.1.1, a cada bola
seleccionada se le puede encontrar una funci´on diferenciable no negativa
sobre Rn que es identicamente uno sobre esa bola y cero en el exterior
de un conjunto cerrado contenido en uno de los Wα . Se denotan estas
funciones con η1 , η2 · · · , ηr (ver, Figura A.4).
W
Kj − int (Kj−1 )
Kj−2
Figura A.4
Se continua construyendo una sucesi´on de funciones inductivamente. Para j ≥ 3, el conjunto compacto Kj − int (Kj−1 ) est´a contenido en el
conjunto abierto W − Kj−2 .
La colecci´on de todas las bolas abiertas suficientemente peque˜
nas que
tienen su clausura contenida en W − Kj−2 y en alg´
un Wα forman un
CARLOS A. JULIO-ARRIETA
160
´
APENDICE
A. PARTICIONES DE LA UNIDAD
cubrimiento abierto de Kj − int (Kj−1 ). Por la compacidad, se extrae
un subcubrimiento finito y entonces se adiciona a la sucesi´on {ηi } una
funci´on por cada bola; la funci´on es igual a uno sobre la bola y cero en el
exterior de un conjunto cerrado contenido en W − Kj−2 y en alg´
u n Wα .
Por construcci´on, para cada j solo un n´
umero finito de funciones ηi son
diferentes de cero sobre Kj . Por lo tanto, cualquier punto de W est´a en
el interior de alg´
un Kj y entonces la suma
∞
X
ηj
j+1
es realmente finita en un conjunto abierto de cualquier punto de W.
Adem´as, almenos un t´ermino es diferente de cero en cualquier punto de
W y por lo tanto,
η
P∞ i
j=1 ηj
es una funci´on diferenciable bien definida. Si θi es la restrcci´on de esta
funci´on a X, entonces la familia de funciones {θi } es la buscada y el
X
Teorema queda demostrado.
♦
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-
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Bibliograf´ıa
[1] Do Carmo, M., Differential Geometry of Curves and Superfaces.
Printece - Hall, New Jersy. 1976. Es un libro pr´
acticamente cl´
asico, b´asico y presenta de manera adecuada los temas de geometr´ıa
diferencial en superficies inmersas en R3 , hace un buen aprovechamiento de la geometr´ıa intrinsica de las superficies bi-dimensional,
adem´as deja claro el problema local y global de las superficies; como temas importantes para entrar a estudiar, con bases s´
olidas, el
´
area de la Geometrıa Diferencial. Este libro est´
´
a escrito en 503
p´aginas y consta de 5 cap´ıtulos b´asicos que, naturalmente, deberi´an
ser estudiados en un primer curso introductorio.
[2] Do Carmo, M., Geometr´ıa Riemanniana. 2a Edi¸ce
ao.Rio de Janeiro. Brasil. 1988. Este libro, de 299 p´aginas relativamente c´asico,
presenta los temas introductorios y b´asicos de la Geometr´ıa Riemanniana, es muy ameno en su lectura, pero de cuidado. La Geometr´ıa
Riemanniana es buena parte del nucleo b´asico para estudio de la
Geometr´ıa diferencial, es comparable con el An´
alisis Funcional en el
estudio del An´
alisis Matem´atico Teorico y Aplicado.
[3] Fomenko, A. T., Symplectic Geometry. Moscuw. 1998. Es un libro
de 387 p´aginas empieza el estudio de la Geometr´ıa Simplectica desde
los espacios vectoriales reales de dimensi´
on par con productos interiores simplecticos y entra suavemente en el estudio de la Geometr´ıa
Simpl´ectica de Variedades Diferenciables tocando posteriormente los
sistemas Hamiltonianos y los m´etodos efectivos de construcci´on de
sistemas completamente integrables entre otros. El autor hace agradable el estudio de la Geometr´ıa Simpl´ectica y la muestra como una
area importante de la Matem´atica.
´
[4] Frankel, T., The Geometry of Physics. Cambrige University.
2001. Este libro de 666 p´aginas, muy interesante para profesionales que desean usar los M´etodos de la Geometr´ıa Diferencial como
herramienta para modelar los problemas de la F´ısica Te´orica, en particular, hace un gran efuerzo para presentar, de manera adecuada, la
161
BIBLIOGRAF´IA
162
combinaci´on entre el An´
alisis Matem´atico, la Geometr´ıa y la F´ısica.
Una lectura de este libro ser´ıa muy provechosa si de antemano se
estudia [1].
[5] Gallot-Hullin-Lafontaine, Riemannian Geometry. 2a ed.,
Springer. 1990. Este libro de 284 p´agina de un buen nivel introductorio b´asico de la Geometr´ıa Riemanniana y An´
alisis Geom´etrico,
tiene como base previa el estudio de los Fundamentos de Variedades
Diferenciables y Grupos de Lie, por ejemplo [8].
[6] O’Neill, B., Semi-Riemannianan Geometry: Aplication to Relativity. University of California. Los Angeles California. Academic Press. 1983. 468 p´aginas. Excelente libro de Geometr´ıa SemiRiemanniana con aplicaciones especiales a la Teor´ıa de la Relatividad y a la Cosmolog´ıa.
[7] Spivak, M., A comprehensive Introduction to Differential
Geometry. Publish or Perish. 1990. Es una interesante recopilaci´on, 2.785 p´aginas en 5 volumenes, de estudios en Geometr´ıa Diferencial. Todo estudiante de Geometr´ıa Diferencial ha consultado
muchas veces estos cinco volumenes.
[8] Warner F. W., Fundations of Differentiable Manifolds and Lie
Grupos. Springer. 1983. Un excelente libro de 274 p´aginas, muy importante en el ´
area de la Geometr´ıa Diferencial, contiene de manera
muy adecuada y simplificada los temas de C´
alculo en Variedades
necesarios para estudiar y entender comodamente Geometr´ıa Diferencial y en particular para abordar las ´
areas de Geometr´ıa SemiRiemanniana, Riemanniana, Sub-Riemanniana, An´
alisis Geom´etrico y Simpl´ectica entre otras l´ıneas espec´ıfica de la Geometr´ıa Diferencial.
FAC. DE CIENCIAS Y EDU.
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