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DM(s) : Comprendre la relativité d’Einstein en animant soit même l’espace-temps
D’après l’ouvrage de Stéphane Durand
Comprendre la relativité d’Einstein en animant soit même l’espace-temps
Belin 2003
DM 1 (obligatoire) :
DM 2 (facultatif) :
Parties I et II.
Noté sur 20 coefficient 0,25
Parties III et IV. Noté sur 20 coefficient 0,5
Ce double DM porte sur la compréhension de la relativité d’Einstein à l’aide d’une animation d’un espace à une dimension.
Pour répondre aux questions de ce DM, vous consulterez 4 vidéos sont mises en ligne par Stéphane Durand (10 min chacune
environ) sur le site : http://ww2.college-em.qc.ca/relativite-animee/page-alternative.html qui sont un résumé de l’ouvrage de
l’auteur (que je vous conseille de lire).
Vous étudierez les « capsules » 1, 2, 3 et 4, ainsi que le module interactif.
Il existe deux possibilités d’aborder la relativité restreinte d’Einstein, soit en utilisant les transformations de Lorentz (approche
algébrique proposée dans le programme officiel de terminale S), soit en utilisant une approche géométrique de l’espace-temps
de Minkowski.
L’approche algébrique bien que pratique pour calculer les dilatations du temps à l’aide des relations de Lorentz t’ =  t avec

ne permet pas de comprendre facilement la relativité d’Einstein.
Ce DM propose une approche géométrique simplifiée de l’espace-temps.
I.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Questions introductives.
Le temps et l’espace sont-ils des grandeurs absolues ?
L’espace-temps est-il une grandeur absolue ?
Vivons-nous dans un espace-temps à 3 dimensions ?
L’auteur évoque le voyage d’un an d’une fusée se déplaçant à une vitesse proche de celle de la lumière. Il indique que
67,00 ans se sont passés sur Terre. A quelle pourcentage % de la célérité de la lumière la fusée a –telle voyagée ?
8
-1
La célérité de la lumière est c = 3,000 × 10 m.s .
Avec les techniques actuelles, à quel pourcentage de la célérité de la lumière, un vaisseau spatial se déplace-t-il ? Quel
sera alors la durée passée sur Terre pour un voyage d’un an ?
Donner un exemple de particules dont la durée de vie est courte mais qui vivent plus longtemps lorsqu’elles se
déplacent à une vitesse proche de celle de la lumière ?
Expliquer en quelques lignes pourquoi la technologie du G.P.S. tient compte de la relativité d’Einstein ?
Un objet mis en mouvement rapide peut-il changer de forme ? Comment ?
Documents de Physique-Chimie – M. MORIN
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II.
Le temps comme 4
1.
2.
3.
ème
dimension et le concept d’espace-temps.
Comment est constitué un espace-temps à 2 dimensions ?
L’auteur propose de réfléchir sur une seule dimension d’espace et d’utiliser un cache opaque muni d’une fente
qui représente l’espace perceptible par nos sens. Le glissement de la fente correspond à l’écoulement du
temps.
Activité manuelle : Construire un cache avec une feuille de papier opaque de format A4 et découper une fente
horizontale de 1 mm environ de largeur et de longueur de 15 cm.
Le cache sera à rendre avec votre copie.
Déplacer le cache lentement du bas vers le haut sur la figure ci-dessous.
3.1. Cette image représente-t-elle un espace-temps à une ou deux dimensions ?
3.2. A quel type de situation de la vie quotidienne correspondrait cette figure dans un espace à une dimension
perceptible par nos sens ?
3.3. L’espace-temps représenté dans ce cas est-il en mouvement ?
4.
Influence de l’inclinaison des lignes d’univers dans un espace-temps à deux dimensions.
Les lignes dessinées sur la page suivante sont appelées lignes d’univers.
Elles sont plus ou moins inclinées.
Faites glisser la fente vers le haut.
4.1. Un point de la ligne d’univers verticale perçu à travers la fente, représente-t-il un point immobile ou mobile ?
4.2. Quelle est l’influence de l’inclinaison des lignes d’univers dans un espace à une dimension perceptible par nos
sens ?
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5.
Espace-temps à deux, trois et quatre dimensions.
Comme nous l’avons vu précédemment, dans un espace-temps à deux temps à deux dimensions, nos sens ne
peuvent percevoir que le mouvement de points ou de traits sur un axe.
Compléter la figure ci-dessous (si possible) en dessinant la version spatio-temporelle dans l’espace-temps d’un
objet tel qu’il est perçu par nos sens.
Dimension
Objet perçu dans l’espace
Objet dans l’espace-temps
Dimension
0D
1D
1D
2D
3D
2D
3D
4
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D
4
III.
Explication des effets relativistes.
Nous avons montré précédemment que lorsque la ligne d’univers est d’autant inclinée, cela se traduit par un
déplacement plus rapide de l’objet perçu dans notre dimension.
Au lieu d’incliner la ligne d’univers, on peut incliner la fente.
Attention à bien incliner et déplacer la fente comme indiqué ci-dessous.
OUI
1.
NON
Variation de la vitesse selon l’inclinaison de la fente.
Déplacer comme indiqué ci-dessus la fente sur la figure ci-dessous.
Vous inclinerez différemment la fente et vous la déplacerez.
1.1. Le glissement de la fente correspond à l’écoulement du temps.
Il doit être toujours perpendiculaire à la fente.
Comment procéder afin que le point se déplace plus rapidement ?
1.2. Existe-t-il une vitesse limite ? A quelle orientation correspond-elle ?
Note de l’auteur (Stéphane Durand) : Les effets que l’on observera dans la suite du DM correspondent aux effets inverses perçus
dans notre espace-temps (dilatation des longueurs au lieu de contraction ou encore contraction du temps au lieu d’une
dilatation)
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Les explications de ce phénomène qui est comparable au problème de représentation de la Terre sphérique sur une carte plane
sont données dans la capsule 4.
2.
Modification de la dimension d’un objet.
Nous allons essayer de comprendre pourquoi un objet se déplaçant à une vitesse proche de celle de la lumière voit sa
longueur varier.
On considère une bande dans l’espace-temps à deux dimensions.
Placer le cache sur cette figure et déplacer la fente verticalement vers le haut.
2.1. Quelle forme a l’objet dans notre espace perceptible à nos sens ?
2.2. Lors du cas du déplacement vertical, l’objet est-t-il en mouvement ?
2.3. Que doit-on faire afin que l’objet se déplace vers la droite dans notre espace ?
2.4. Lorsque vous avez mis l’objet en mouvement, que constatez-vous sur la dimension de cet objet ?
2.5. Comment évolue la dimension de cet objet lorsque la vitesse augmente ?
2.6. La question que l’on doit se poser : est-ce l’objet qui a changé de taille ou est-ce l’espace-temps luimême qui a été modifié selon le point de vue adopté ?
Pour cela, on observe deux bandes verticales dans l’espace-temps à deux dimensions.
L’espace entre les bandes est-il modifié quand l’objet se déplace à grande vitesse ? Conclure.
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3.
Modification de l’écoulement du temps.
Afin de mettre en évidence cet effet relativiste sur l’écoulement du temps, nous allons étudier la figure ci-dessous sur
laquelle sont représentés des points qui constitue un clignotement, par exemple un clignotement par seconde.
Ce clignotement met en évidence l’écoulement du temps mesuré par une montre.
Remarquez à quel rythme clignote la montre lorsqu’on déplace verticalement la fente vers le haut.
La montre est dans ce cas immobile.
3.2. Lorsque la montre est mis en mouvement, c’est-à-dire s’il on déplace la fente obliquement, qu’observe-t-on ?
3.3. Conclure sur l’influence de la vitesse sur l’écoulement du temps dans ce modèle.
3.4. Sachant que les effets sont inversés dans notre réalité, que conclure sur l’influence de la vitesse sur
l’écoulement du temps dans notre réalité
IV.
Les effets de la relativité dans la réalité.
Comme nous l’avons dit précédemment, les effets dans notre réalité sont inversés.
C’est-à-dire qu’au lieu d’une augmentation de taille, on observe une contraction des distances et au lieu d’un
écoulement plus rapide du temps, on observe un écoulement plus lent.
A partir, des expériences précédentes expliquer le paradoxe apparent de la grange.
Une perche immobile est longue de 10 m. Une grange avec deux portes battantes à ses extrémités mesure 8 m.
Paradoxe : La perche peut tenir dans la grange, les deux battants étant fermés.
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Partie A : Dans le cas de l’étude du point de vue de la grange, les différentes étapes sont représentées ci-dessous.
On représente ci-dessous la grange vue du haut et la perche qui se déplace.
Grange
Perche
Instant 1
Instant 2
Instant 3
Fermeture des portes
Instant 4
Instant 5
Rappel : Les images ci-dessus sont celles observées réellement, mais dans notre modèle, tous les effets sont inversés.
L’image ci-dessous permet d’étudier les effets « inversés » de la relativité « vue de la grange » et permet d’aboutir à la
suite d’étapes dans le réel, représentées sur la page
Pe
rc
he
Grange
Les deux points représentent les instants où les portes se ferment.
La barre bleue verticale représente la grange et la barre rouge oblique représente la perche.
Faites glisser la fente vers le haut suivant l’axe de la grange.
1.
2.
3.
Dans ce modèle, quel est l’objet en mouvement ? Justifier.
Dans ce modèle, quelle est de la grange ou de la perche, l’objet de plus grand ? Qu’en est-il dans le réel ?
Les fermetures des portes dans cette modélisation sont-elles simultanées ?
Conclusion, dans notre réalité, comment se fermeront les portes ?
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Partie B : Etude du point de vue de la perche.
En vous servant du cache que vous ferez glisser selon l’axe de la perche et de la figure précédente représentant les
lignes d’univers de la grange et de la perche, reprendre la modélisation précédente adaptée au « point de vue de la
perche » et répondre aux questions suivantes.
1.
2.
3.
4.
Dans ce modèle, quel est l’objet en mouvement ?
Dans ce modèle, quelle est de la grange ou de la perche, l’objet de plus grand ? Qu’en est-il dans le réel ?
Les fermetures des portes dans cette modélisation sont-elles simultanées ?
Conclusion, dans notre réalité, comment se fermeront les portes ?
Remettre dans l’ordre les cinq instants représentant les effets réels des effets relativistes du « point de vue de la
perche ».
Réponses :
Instant 1
Instant 2
Instant 3
Instant 4
Instant 5
Partie C : Le paradoxe qui n’en est pas un.
Expliquer en quelques lignes, pourquoi dans notre réalité, selon les deux points de vue, la tige réussira toujours à
rentrer dans la grange si leur mouvement relatif à une vitesse proche de celle de la lumière.
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V.
Ordres de grandeurs des influences sur la taille et l’écoulement du temps, des effets relativistes.
On s’intéresse aux modifications apportées à une fusée de 10 m et à ses occupants si elle se déplace à une
vitesse égale à 70% de celle de la lumière pendant 1 an.
Document 1 : Influence sur la longueur d’un objet.
Vitesse de la fusée par rapport
à celle de la lumière (%)
10 %
50 %
90 %
99 %
Longueur contractée
de la fusée (m)
9,9 m
8,7 m
4,4 m
1,4 m
Document 2 : Dilatation du temps.
Vitesse de la fusée par rapport
à celle de la lumière (%)
10 %
50 %
90 %
99 %
Vieillissement de la
Terre pendant qu’il
s’écoule 1 an dans la
fusée.
1 an et 2 jours.
1 an et 2 mois.
2 ans
7 ans
On utilise du papier millimétré semilog.
Ce papier possède une échelle classique en ordonnée et une échelle logarithmique en abscisse.
1.
Tracez sur ces papiers millimétré semilog fournis sur la page suivante ou utilisez du papier semilog téléchargé
sur interne, les graphiques :
a.
b.
2.
Longueurs contractées en fonction de la vitesse en % de celle de la lumière.
Vieillissement de la Terre en fonction de la vitesse en % de celle de la lumière.
En déduire graphiquement les modifications apportées à la fusée et à ses occupants.
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