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Probabilités, loi de densité
Exercice 1 :
Albert est un marin participant à une course à la voile en solitaire. Son bateau est
très rapide, mais fragile en cas de tempête.
Les prévisions météo permettent d’estimer que, durant la course, la probabilité
qu’une tempête survienne est égale à 0,05.
En cas de tempête, on estime que la probabilité qu’Albert soit vainqueur de la
course est de 0,02. En revanche, si aucune tempête ne survient, la probabilité de
victoire d’Albert est de 0,8.
On considère les évènements :
 T : « une tempête survient pendant la course »
 V : « Albert est vainqueur de la course »
 T et V les évènements contraires respectifs des évènements T et V.
1. Traduire la situation par un arbre probabiliste
On a :
.
3. Montrer que la probabilité qu’Albert remporte la course est égale à 0,761.
Les évènements T et T forment une partition de l’univers donc, d’après la
formule des probabilités totales, on a
p(V )  p(T  V )  p(T  V )
 0,001  0,95  0,8
 0,761
Donc la probabilité qu’Albert remporte la course est égale bien à 0,761.
4. Calculer la probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a
gagné la course. On donnera le résultat arrondi à 104 .
On a
p(T  V )
p(V )
0,001

 0,0013
0,761
pV T  
Donc la probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a gagné
la course est de 0,0013.
Exercice 2 :
Une entreprise fabricant des alarmes pour voiture possède trois usines de
fabrication située à Bordeaux, Grenoble et Lille. Un contrôle de qualité est fait
chaque mois sur les trois sites pour déterminer le nombre d’alarmes défectueuses
ou non. Le mois dernier, on a obtenu les résultats suivants :
2. Quelle est la probabilité de l’évènement : « Une tempête survient et
Albert est vainqueur de la course » ?
On a p(T V )  0,05  0,02  0,001
Donc la probabilité de l’évènement : « Une tempête survient et Albert est
vainqueur de la course » est 0,001.
Site de
Bordeaux
Site de
Grenoble
Site de
Lille
Total
Défectueuses
160
66
154
380
En bon état
3200
1200
3500
7900
Total
3360
1266
3654
8280
1. Compléter le tableau précédent.
2. On choisit une alarme au hasard produite le mois dernier. On considère les
évènements B « l’alarme provient du site de Bordeaux », G « l’alarme provient du
site de Grenoble », L « l’alarme provient du site de Lille » et D « l’alarme est
défectueuse ».
On arrondira les résultats à 103 .
a) Calculer p( B) et p( D) .
3360
380
 0, 406 et p( D) 
 0,046 . Donc la probabilité que
8280
8280
l’alarme provienne du site de Bordeaux est 0,406 et celle que l’alarme soit
défectueuse est 0,046.
b) Traduire par une phrase l’évènement B  D puis calculer sa probabilité.
B  D : « l’alarme est défectueuse et fabriquée à Bordeaux »et ,
160
p ( B  D) 
 0,019 . Donc la probabilité que l’alarme soit défectueuse et
8280
qu’elle provienne de Bordeaux est 0,019.
c) Calculer pB ( D) .
On a p( B) 
160
 0,048 . Donc la probabilité que l’alarme soit défectueuse
3360
sachant qu’elle provient du site de Bordeaux est 0,048.
3. Lequel des trois sites semble être le plus efficace en terme de qualité de
production ? Justifier.
On a pG ( D)  0,052 et pL ( D)  0,042
On a pB ( D) 
2. Quelle est la valeur prise par X lorsque M = O ? lorsque M = A ?
Lorsque M = O, X prend la valeur 0 et lorsque M = A, X prend la valeur 8 car c’est
la moitié de l’aire du carré.
3. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
Le point M se plaçant de façon aléatoire sur le segment [ AO ], X prend donc un
valeur aléatoire entre 0 et 8 donc elle suit la loi uniforme sur [ 0 ; 8 ].
4. Calculer la probabilité de l’évènement X < 4. En déduire la position du point M
tel que X = 4 et vérifier en calculant l’aire du triangle dans ce cas.
On a P( X  4) 
40 1

80 2
La probabilité de l’évènement X < 4 est donc de
M est au milieu de [ AO ].
Donc c’est le site de Lille qui semble être le plus efficace en terme de
qualité de production car c’est pour celui-ci que la probabilité d’avoir
une alarme défectueuse est la plus faible.
La longueur diagonale d’un carré de côté a est égale
à a 2 donc, ici, on a OB 
4 2
 2 2 et,
2
MM '  OA  2 2
Exercice 3 :
ABCD est un carré de centre O et de côté 4 cm. On place de façon aléatoire un
point M sur le segment [OA] puis, on construit son symétrique M’ par rapport au
point O, qui appartient au segment [OC]. On appelle X la variable aléatoire égale à
l’aire du triangle BMM’, éventuellement aplati.
1. Faire une figure.
1
ce qui signifie que X = 4 lorsque
2
D’où, X 
OA  OB 2 2  2 2

4
2
2
5. Quelle est l’espérance de X.
On a E ( X ) 
08
 4 . Donc l’espérance de X est égale à 4 cm².
2
Exercice 4 :
Le prix moyen d’un ustensile de cuisine est égal à 6,80€. On appelle X la variable
aléatoire égale à l’écart entre ce prix moyen et les prix constatés dans l’ensemble
des magasins en France.
La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1)
1. Calculer P( X  1,2) et interpréter ce résultat.
On a P( X  1,2)  0,115
Exercice 5 :
Une étude effectuée sur un groupe de jeunes enfants a montré que l’âge de
l’apparition des premiers mots suit la loi normale d’espérance 12,1 mois et d’écarttype 3,4 mois.
1. Déterminer la probabilité qu’un enfant pris au hasard dans ce groupe ait
prononcé ses premiers mots :
a) avant 10 mois.
On a P( X  10)  0,268 . Donc la probabilité qu’il prononce ses premiers
mots avant 10 mois est de 0,268.
b) après 18 mois.
On a P( X  18)  0,041 . Donc la probabilité qu’il prononce ses premiers
mots après 18 mois est 0,041.
c) entre 8 et 16 mois.
On a P(8  X  16)  0,76 . Donc la probabilité qu’il prononce ses premiers
La probabilité que le prix constaté de l’article soit supérieur à 8€ est 0,115.
2. Calculer P( X  0,7) et interpréter ce résultat.
On a P( X  0,7)  0,242
mots entre 8 mois et 16 mois est 0,76.
2. Sachant qu’un enfant n’a toujours pas prononcé ses premiers mots à l’âge de 10
mois, quelle est la probabilité qu’il les prononce avant l’âge de 15 mois ?
P  X  10    X  15 P(10  X  15)
On a P X 10 ( X  15)  

P( X  10)
P( X  10)
Or, P(10  X  15)  0,53475 et P( X  10)  0,7316
D’où, P X 10 ( X  15) 
0,53475
 0,731
0,7316
Donc la probabilité qu’il prononce ses premiers mots avant 15 mois sachant qu’il
ne les a pas prononcés avant ses 10 mois est de 0,731.
La probabilité que le prix constaté de l’article soit inférieur à 6,10€ est 0,242.
3. A quelle fourchette de prix constatés correspond l’intervalle I tel que
P( X  I )  0,95 ?
Comme X suit la loi normale centrée réduite, on sait que P(1,96  X  1,96)  0,95
donc pour que P( X  I )  0,95 , il faut que le prix constaté appartienne à l’intervalle
4,84 ; 8,76 .
Exercice 6 :
La masse de pistaches mises en sac par une machine est normalement distribuée,
avec une espérance de 265g et un écart-type de 7g. Quelle masse devrait être
inscrite sur le paquet de telle sorte qu’environ 3 paquets sur 1000 pèsent moins que
cette valeur ?
On cherche la masse M telle que P(M  X )  0,003 .
A l’aide de la calculatrice, on a
Donc il faut afficher 246g sur le paquet.