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T ES/L
EXERCICES DE REVISIONS : PROBABILITE
Exercice 1 Loi à densité
𝑥
La fonction 𝑓 est définie sur [0; 2] par 𝑓(𝑥) = 2 .
1) Justifier que 𝑓 définit une fonction de densité de probabilité sur [0; 2].
2) 𝑋 est la la variable aléatoire qui suit la loi de densité 𝑓.
Calculer 𝑝(𝑋 ≤ 1)
3) Calculer l’espérance de 𝑋.
Exercice 2 Loi à densité
2
1) Calculer la valeur exacte de l’intégrale
𝐼=∫
0
𝑒 0,5𝑥
𝑑𝑥
2
2) En déduire que la fonction 𝑓 définie sur [0; 2] par
𝑓(𝑥) =
𝑓 sur [0; 2]
𝑒 0,5𝑥
2𝑒 − 2
est une fonction de densité
3) Soit 𝑋 la variable aléatoire de densité de probabilité 𝑓. La probabilité 𝑝(𝑋 ≥ 1,2) est-elle supérieure
à 0,5 ?
Exercice 3 Loi uniforme
Le temps d'attente 𝑋 à une station de taxi, exprimé en minutes, suit une loi uniforme sur l'intervalle
[1; 11].
1) Donner la fonction 𝑓 de densité de probabilité de 𝑋.
2) Déterminer la probabilité que le temps d'attente soit compris entre 3 et 5 mn.
3) Calculer l'espérance de 𝑋 et en donner une interprétation.
Exercice 4 Loi normale centré réduite
La variable aléatoire 𝑋 suit la loi
normale N(0; 1).
1) On donne ci-dessous
la
représentation
graphique de la fonction
de densité 𝑓 de la loi
normale N(0; 1).
A l’aide du graphique
donner un encadrement
de 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2).
Rappel : 𝑓 est définie sur
ℝ par 𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋
𝑒
−𝑥2
2
2) Calculer 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) avec la calculatrice.
3) En déduire 𝑝(−2 ≤ 𝑋 ≤ 2) sans utiliser la calculatrice.
4) Calculer 𝑝(𝑋 ≤ 1)
Exercice 5 Loi normale, loi binomiale, loi de probabilité, espérance
Une entreprise fabrique des pièces de tissu.
Les pièces de tissu produites doivent respecter des contraintes de qualité et doivent avoir une masse
au mètre carré comprise entre 1,45kg et 1,55 kg. Si ce n'est pas le cas, ces pièces de tissu
présentent un défaut de fabrication. Les résultats seront arrondis aux millièmes.
1) On notera 𝑀1 la machine fabricant ces pièces de tissu.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque pièce de tissu prise au hasard dans la production,
associe sa masse au mètre carré exprimée en kg.
𝑋 suit la loi normale d'espérance 1,5 et d'écart type 0,03.
a) Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la production respecte la
contrainte de fabrication.
b) Un grossiste vendant des pièces de tissus avec un léger défaut de fabrication achète à cet
entreprise les pièces de tissu ayant un défaut mais dont la masse au mètre carré est
comprise entre 1,3kg et 1,6kg.
Si la production de la journée est de 1000 pièces de tissu, quelle quantité de pièces de tissu
ce grossiste pourra-t-il acheter à l'entreprise ?
2) Pour diversifier sa production, l'entreprise investi dans un seconde machine permettant de couper
les pièces de tissu en carrés de 2 mètres de côté. On notera cette machine 𝑀2.
On note 𝑌 la variable aléatoire qui, à chaque pièce de tissu prise au hasard dans la production
associe la mesure, en mètres, du côté des carrés découpés.
𝑌 suit la loi normale d'espérance 2 et d'écart type 0,02.
On considère que les pièces découpées sont conformes si la mesure du côté de ces pièces de tissu
mesure entre 1,95m et 2,03m.
Calculer la probabilité que la pièce de tissu produite par la machine M2 soit conforme.
3) On considère les événements suivants :
- A : " la pièce de tissu fabriquée par la machine M1 a une masse au métre carré
comprise entre 1,45kg et 1,55 kg "
- B : " la pièce de tissu fabriquée par la machine M2 est un carré dont le c^oté mesure
entre 1,95m et 2,03m "
Les deux machines fonctionnent de manière totalement indépendante.
On prend une pièce au hasard dans la production.
Montrer que la probabilité que la pièce de tissu ne présente aucun défaut est alors de 0,838.
Montrer que la probabilité que la pièce présente un seul des deux défauts possibles (soit un
défaut de poids, soit un défaut sur les dimensions) est 0,155.
4) La machine produit 1000 pièces de tissu de 2 mètres de côté par jour.
On note 𝑍 la variable aléatoire donnant le nombre de pièces de tissu carrées n'ayant aucun
défaut parmi ces 1000 pièces.
Montrer que 𝑍 suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Déterminer la probabilité qu'au moins 85% des pièces produites ne présentent aucun défaut.
5) L'entreprise vend les pièces de tissu n'ayant aucun défaut au prix de 𝑥 euros et celles qui ont un
seul défaut (soit de poids, soit de dimension) au prix de 10 euros et les autres pièces sont vendues
au prix de 5 euros.
On note 𝑉 la variable aléatoire correspondant au prix de vente de chaque pièce de tissu.
a) Compléter le tableau de la loi de probabilité de 𝑉 ci-dessous :
10
5
Valeur 𝑣𝑖 de 𝑉
𝑥
𝑝(𝑉 = 𝑣𝑖 )
b) Rappel : l'entreprise produit chaque jour 1000 pièces de tissu carrées.
Exprimer l'espérance de la variable aléatoire 𝑉 en fonction du prix de vente 𝑥 et déterminer la
valeur minimale de 𝑥, arrondie à l'euro prés, pour que l'entreprise réalise un chiffre d'affaire
journalier d'au moins 25000 euros.
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CORRECTION EXERCICES DE REVISIONS : PROBABILITE
Exercice 1 Loi à densité
𝑥
La fonction 𝑓 est définie sur [0; 2] par 𝑓(𝑥) = 2 .
1) Justifier que 𝑓 définit une fonction de densité de probabilité sur [0; 2].
▪ 𝑓 est continue sur [0; 2]
▪ 𝑓 est positive sur [0; 2] car pour tout 𝑥 ∈ [0; 2] alors
▪ 𝐹(𝑥) =
𝑥2
4
est une primitive de 𝑓 sur [0; 2]
22
2
𝑥
∈ [0; 1]
2
en effet 𝐹’(𝑥) =
02
2𝑥
4
𝑥
donc 2 ≥ 0
𝑥
= 2 = 𝑓(𝑥)
Et ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(2) − 𝐹(0) = 4 − 4 = 1
Donc 𝑓 définit bien une loi à densité de probabilité sur [0;2]
2) 𝑋 est la la variable aléatoire qui suit la loi de densité 𝑓.
Calculer 𝑝(𝑋 ≤ 1)
𝐹 définie par 𝐹(𝑥) =
𝑥2
est une primitive de 𝑓 sur [0; 2] (voir question 1)
1² 0² 1
𝑝(𝑋 ≤ 1) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(1) − 𝐹(0) = − =
4
4
4
0
4
1
3) Calculer l’espérance de 𝑋.
On pose 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥) =
Alors 𝐺(𝑥) =
𝑥3
6
𝑥²
2
est une primitive de 𝑔 sur [1; 11]
2
D’où 𝐸(𝑋) = ∫0 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺(2) − 𝐺(0) =
23
6
−
03
6
en effet 𝐺’(𝑋) =
8
3𝑥 2
6
=
𝑥²
2
= 𝑓(𝑥)
4
=6=3
Exercice 2 Loi à densité
2
1) Calculer la valeur exacte de l’intégrale
𝐼=∫
0
𝑒 0,5𝑥
𝑑𝑥
2
La fonction 𝑔 définie pour tout réel 𝑥 par 𝑔(𝑥) =
1
𝑒 0,5𝑥
2
est de la forme 𝑢′ × 𝑒 𝑢 avec 𝑢(𝑥) =
0,5𝑥 et 𝑢′ (𝑥) = 2.
Une primitive de la fonction g est la fonction 𝐺 définie sur ℝ par 𝐺(𝑥) = 𝑒 0,5𝑥 .
D'où
2 𝑒 0,5𝑥
𝐼 = ∫0
2
𝑑𝑥 = 𝐺(2) − 𝐺(0) = 𝑒 − 1
𝑒 0,5𝑥
𝑓(𝑥) =
2𝑒 − 2
2) En déduire que la fonction 𝑓 définie sur [0; 2] par
est une fonction de densité
𝑓 sur sur [0; 2]
▪ La fonction 𝑓 est dérivable sur [0; 2] donc continue sur [0; 2].
𝑒 0,5𝑥
▪ D'autre part, pour tout réel 𝑥, 𝑒 0,5𝑥 > 0
D’où la fonction 𝑓 est positive sur [0; 2]
2 𝑒 0,5𝑥
▪ De plus 𝐼 = ∫0
2 𝑒 0,5𝑥
𝑑𝑥 = ∫0
2𝑒−2
donc pour tout réel 𝑥, 2𝑒−2 > 0
1
2 𝑒 0,5𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒−1 ∫0
2(𝑒−1)
2
1
𝑑𝑥 = 𝑒−1 (𝑒 − 1) = 1
Donc 𝑓 est une fonction de densité sur [0; 2].
3) Soit 𝑋 la variable aléatoire de densité de probabilité 𝑓. La probabilité 𝑝(𝑋 ≥ 1,2) est-elle supérieure
à 0,5 ?
2
2
2 0,5𝑥
𝑒 0,5𝑥
𝑒 0,5𝑥
1
𝑒
1
(𝑒 − 𝑒 0,6 ) ≈ 0,522
𝑝(𝑋 ≥ 1,2) = ∫
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 =
∫
𝑑𝑥 =
2𝑒
−
2
2(𝑒
−
1)
𝑒
−
1
2
𝑒
−
1
1,2
1,2
1,2
La probabilité 𝑝(𝑋 ≥ 1,2) est supérieure à 0,5.
Exercice 3 Loi uniforme
Le temps d'attente 𝑋 à une station de taxi, exprimé en minutes, suit une loi uniforme sur l'intervalle
[1; 11].
1) Donner la fonction 𝑓 de densité de probabilité de 𝑋.
1
1
𝑓 est définie sur [1; 1] par 𝑓(𝑥) = 11−1 = 10 = 0,1
Donc 𝒇(𝒙) = 𝟎, 𝟏 sur [𝟏; 𝟏𝟏]
𝑥
Remarque : 𝐹 définie par 𝐹(𝑥) = 10 est une primitive de 𝑓 sur [1; 11].
11
11
1
On a alors ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(11) − 𝐹(1) = 10 − 10 = 1
2) Déterminer la probabilité que le temps d'attente soit compris entre 3 et 5 mn.
On veut 3 ≤ 𝑋 ≤ 5.
5−3
Alors 𝑝(3 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 11−1 = 0,2
La probabilité que le temps d'attente soit compris entre 3mn et 5mn est 0,2.
Remarque : Avec les notations de la remarque de la question 1 :
5
5
3
2
𝑝(3 ≤ 𝑋 ≤ 5) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(5) − 𝐹(3) =
−
=
= 0,2
10 10 10
3
3) Calculer l'espérance de 𝑋 et en donner une interprétation.
1 + 11
𝐸(𝑥) =
=6
2
Le temps moyen d'attente est donc de 6mn.
𝑥
Remarque : Si on pose 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥) = 10
𝑥2
Alors 𝐺(𝑥) = 10
G est une primitive de 𝑔 sur [1; 11].
11
D’où 𝐸(𝑋) = ∫1 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺(11) − 𝐺(1) =
112
20
12
− 20 =
120
20
=6
Exercice 4 Loi normale centré réduite
La variable aléatoire 𝑋 suit la loi normale N(0; 1).
1) On donne ci-dessous la représentation graphique
de la fonction de densité f de la loi normale N(0; 1).
A l’aide du graphique donner un encadrement de
𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2).
Rappel : 𝑓 est définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋
2
∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑒
−𝑥2
2
On a 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) =
Comme 𝑓 est continue et positive sur ℝ
2
Donc ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 est l’aire, en unités
d’aire, du domaine limité par la courbe,
l’axe des abscisses et les droites
d’équations 𝑥 = 0 (axe des ordonnées)
et 𝑥 = 2 (zone rouge sur le graphique
ci-dessous)
Une unité d’aire (rectangle d’une unité
sur l’axe des abscisses sur une unité
sur l’axe des ordonnées) contient 50
carreaux du quadrillage.
L’aire est donc comprise entre l’aire du polygone rouge et celle du polygone bleu contenant
respectivement 29 et 18 carreaux du quadrillage
18
29
On a donc 50 < 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) < 50
D’où 0,36 < 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) < 0,58
2) Calculer 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) avec la calculatrice.
On utilise la calculatrice (le menu STAT puis DIST puis NORM pour la loi normale)
On trouve 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) ≈ 0,48
Remarque : Le résultat est cohérent avec l’encadrement de la question 1
3) En déduire 𝑝(−2 ≤ 𝑋 ≤ 2) sans utiliser la calculatrice.
𝑝(−2 ≤ 𝑋 ≤ 2) = 𝑝(−2 ≤ 𝑋 ≤ 0) + 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2)
= 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) + 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2)
= 2 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 2)
≈ 2 × 0,48
≈ 0,96
Donc 𝑝(−2 ≤ 𝑋 ≤ 2) ≈ 0,96
4) Calculer p(X≤1)
𝑝(𝑋 ≤ 1) = 𝑝(𝑋 ≤ 0) + 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 1)
𝑝(𝑋 ≤ 1) = 0,5 + 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 1)
Or 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 1) ≈ 0,34
Donc 𝑝(𝑋 ≤ 1) ≈ 0,5 + 0,34
D’où 𝑝(𝑋 ≤ 1) ≈ 0,84
Exercice 5 Loi normale, loi binomiale, loi de probabilité, espérance
Une entreprise fabrique des pièces de tissu.
Les pièces de tissu produites doivent respecter des contraintes de qualité et doivent avoir une masse
au mètre carré comprise entre 1,45kg et 1,55 kg.
Si ce n'est pas le cas, ces pièces de tissu présentent un défaut de fabrication.
Les résultats seront arrondis aux millièmes.
1) On notera 𝑀1 la machine fabricant ces pièces de tissu.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque pièce de tissu prise au hasard dans la production,
associe
sa masse au mètre carré exprimée en kg.
𝑋 suit la loi normale d'espérance 1,5 et d'écart type 0,03.
a) Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la production respecte la
contrainte de fabrication.
On veut 1,45 ≤ 𝑋 ≤ 1,55
A l’aide de la calculatrice, on trouve 𝑝(1,45 ≤ 𝑋 ≤ 1,55) ≈ 0,904
La probabilité que la pièce soit conforme respecte la contrainte de fabrication est
environ de 0,904
b) Un grossiste vendant des pièces de tissus avec un léger défaut de fabrication achète à cet
entreprise les pièces de tissu ayant un défaut mais dont la masse au mètre carré est
comprise entre 1,3kg et 1,6kg.
Si la production de la journée est de 1000 pièces de tissu, quelle quantité de pièces de tissu
ce grossiste pourra-t-il acheter à l'entreprise ?
On veut 1,3 ≤ 𝑋 ≤ 1,45 ou bien 1,55 ≤ 𝑋 ≤ 1,6
A l’aide de la calculatrice, on trouve
𝑝(1,3 ≤ 𝑋 ≤ 1,45) ≈ 0,048
et
𝑝(1,55 ≤ 𝑋 ≤ 1,6) ≈ 0,047
D’où 𝑝(1,3 ≤ 𝑋 ≤ 1,45) + 𝑝(1,55 ≤ 𝑋 ≤ 1,6) ≈ 0,048 + 0,047 = 0,095
De plus 0,095 × 1000 = 95
Donc le grossiste pourra acheter 95 pièces de tissu.
2) Pour diversifier sa production, l'entreprise investi dans un seconde machine permettant de couper
les pièces de tissu en carrés de 2 mètres de côté. On notera cette machine 𝑀2.
On note 𝑌 la variable aléatoire qui, à chaque pièce de tissu prise au hasard dans la production
associe la mesure, en mètres, du côté des carrés découpés.
𝑌 suit la loi normale d'espérance 2 et d'écart type 0,02.
On considère que les pièces découpées sont conformes si la mesure du côté de ces pièces de tissu
mesure entre 1,95m et 2,03m.
Calculer la probabilité que la pièce de tissu produite par la machine M2 soit conforme.
On veut 1,95 ≤ 𝑌 ≤ 2,03
A l’aide de la calculatrice, on trouve 𝑝(1,95 ≤ 𝑌 ≤ 2,03) ≈ 0,927
La probabilité que la pièce soit conforme est environ de 0,927
3) On considère les événements suivants :
- A : " la pièce de tissu fabriquée par la machine M1 a une masse au métre carré comprise
entre 1,45kg et 1,55 kg "
- B : " la pièce de tissu fabriquée par la machine M2 est un carré dont le c^oté mesure entre
1,95m et 2,03m "
Les deux machines fonctionnent de manière totalement indépendante.
On prend une pièce au hasard dans la production.
Montrer que la probabilité que la pièce de tissu ne présente aucun défaut est alors de 0,838.
Les deux machines fonctionnent de manière indépendantes donc les événements A et
B sont indépendants.
On a donc 𝑝𝐴 (𝐵) = 𝑝(𝐵).
On peut dresser l'arbre de probabilités suivant :
La probabilité que la pièce de tissu ne présente aucun défaut se note 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵).
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) × 𝑝𝐴(𝐵) = 0,904 × 0,927 = 0,838
La probabilité que la pièce de tissu ne présente aucun défaut est environ 0,838
Montrer que la probabilité que la pièce présente un seul des deux défauts possibles (soit un défaut
de poids, soit un défaut sur les dimensions) est 0,155.
𝑝(𝐴̅ ∩ 𝐵) + 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵̅ ) = 0,904 × 0,073 + 0,096 × 0,927 = 0,155
La probabilité que la pièce présente un seul des deux défauts est environ 0,155
4) La machine produit 1000 pièces de tissu de 2 mètres de côté par jour.
On note 𝑍 la variable aléatoire donnant le nombre de pièces de tissu carrées n'ayant aucun défaut
parmi ces 1000 pièces.
Montrer que 𝑍 suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
▪ On considère l'expérience aléatoire consistant à prendre une pièce au hasard dans la
production de la journée ayant les issues possibles S : "la pièce n'a pas de défaut" et E
: "la pièce a au moins un défaut" avec 𝑝(𝑆) ≈ 0,838
▪ On répète successivement 1000 fois et de manière indépendante cette épreuve de
Bernoulli.
▪ La variable aléatoire donnant le nombre de pièces sans défaut (nombre de succès S)
parmi les 1000 suit donc une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 1000 et 𝑝 = 0,838.
𝑍 suit la loi binomiale B(1000; 0,838)
Déterminer la probabilité qu'au moins 85% des pièces produites ne présentent aucun défaut.
85
85 % de la production donne 100 × 1000 = 850
On veut calculer 𝑝(𝑍 ≥ 850) = 1 − 𝑝(𝑍 ≤ 850)
Avec la calculatrice pour le calcule avec une loi binomiale, on a : 𝑝(𝑍 ≤ 850) ≈ 0,838
donc 𝑝(𝑍 ≥ 850) ≈ 1 − 0,838 = 0,162
La probabilité qu'au moins 85% des pièces produites ne présentent aucun défaut est de
0,162 environ
5) L'entreprise vend les pièces de tissu n'ayant aucun défaut au prix de 𝑥 euros et celles qui ont un
seul défaut (soit de poids, soit de dimension) au prix de 10 euros et les autres pièces sont vendues
au prix de 5 euros.
On note 𝑉 la variable aléatoire correspondant au prix de vente de chaque pièce de tissu.
a) Compléter le tableau de la loi de probabilité de 𝑉 ci-dessous :
10
5
Valeur 𝑣𝑖 de 𝑉
𝑥
𝑝(𝑉 = 𝑣𝑖 )
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) ≈ 0,838
𝑝(𝐴̅ ∩ 𝐵) + 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵̅)
≈ 0,155
𝑝(𝐴̅ ∩ 𝐵̅) ≈ 0,007
b) Rappel : l'entreprise produit chaque jour 1000 pièces de tissu carrées.
Exprimer l'espérance de la variable aléatoire 𝑉 en fonction du prix de vente 𝑥 et déterminer la
valeur minimale de 𝑥, arrondie à l'euro prés, pour que l'entreprise réalise un chiffre d'affaire
journalier d'au moins 25000 euros.
𝐸(𝑉) = 0,838𝑥 + 0,155 × 10 + 0,007 × 5 = 0,838𝑥 + 1,585
On produit 1000 pièces par jour donc le chiffre d'affaire sera en moyenne
de 1000(0,838𝑥 + 1,585) euros sur un grand nombre de jours.
On veut
1000(0,838𝑥 + 1,585) ≥ 25000
0,838𝑥 + 1,585 ≥ 25
0,838𝑥 ≥ 23,415
23,415
𝑥 ≥ 0,838
Or
23,415
0,838
≈ 27,9415
D’où 𝑥 ≥ 28 à un euro prés.
Donc il faut arrondir par excès, le prix de vente de chaque pièce sans défaut
devra être de 28 euros au minimum en arrondissant à l'euro prés.