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PHYSIQUE
TD 16 électrostatique
1
Obligatoires
Exercice 1
D’après Oral CCP 06, ENAC 07
Une distribution de charges présentant une symétrie sphérique autour d’un point O crée
en un point M quelconque de l’espace situé à un distance OM = r, un potentiel électrostatique
de la forme
q
V(r) =
e−r/a
4πε0 r
⃗
1 - Déterminer le champ électrique E.
⃗ à travers une sphère de rayon R centrée en O.
2 - Calculer le flux sortant Φ(R) du champ E
3 - En calculant Φ(0) et Φ(∞), montrer que la distribution de charge est une charge −q
répartie dans tout l’espace associée à une charge q centrée sur O.
Exercice 2
D’après Oral CCP 06, ENAC 07
Une distribution de charges présentant une symétrie sphérique autour d’un point O crée
en un point M quelconque de l’espace situé à un distance OM = r, un potentiel électrostatique
de la forme
q
V(r) =
e−r/a
4πε0 r
⃗
1 - Déterminer le champ électrique E.
⃗ à travers une sphère de rayon R centrée en O.
2 - Calculer le flux sortant Φ(R) du champ E
3 - En calculant Φ(0) et Φ(∞), montrer que la distribution de charge est une charge −q
répartie dans tout l’espace associée à une charge q centrée sur O.
4 - Déterminer la distribution volumique de charge correspondante.
1 ∂ ( 2 ∂f )
1
∂(
∂f )
1 ∂ 2f
Données : ∆f = 2
r
+ 2
sin θ
+ 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
Exercice 3
D’après Oral CCP 08
Soit un cylindre de longueur infinie et de rayon a portant une
Oz
densité volumique de charge ρ uniforme.
1 - Déterminer l’orientation du champ électrique et ses invaρ
riances.
O
⃗ en un point M quelconque de l’espace.
2 - Calculer le champ E
a
M
3 - On suppose que le rayon du cylindre est très petit devant
la distance d’observation (a ≪ r). Déterminer la densité linéïque de charge λ du système
équivalent. On exprimera le résultat en fonction de ρ et a.
⃗ ′ crée par le système équivalent et expliquer la
4 - Déterminer le nouveau champ électrique E
⃗
valeur de limr→0 E
5 - Donner l’expression du potentiel V′ (r) crée par le fil infini. On choisira V′ (a) = 0.
♣♣♣
M.Barthes
PHYSIQUE
Solution
1 - Les plans (M, ⃗er , ⃗ez ) et (M, ⃗er , ⃗eθ ) sont des plans de symétrie pour la distribution de charge. On
⃗
en déduit que le champ E(M)
appartient à l’intersection de ces plans,
⃗
E(M)
= E(M) ⃗er
soit
La distribution de charge est invariante par translation selon z et par rotation selon θ. On en déduit
que le champ ne dépend pas de ces coordonnées :
⃗ θ, z) = E(r) ⃗er
E(r,
Ainsi,
2 - Considérons une surface de Gauss cylindrique de même axe que le cylindre chargé, de rayon r
et de hauteur h. Décomposons La surface de Gauss en trois parties : S1 , S2 et Slat
Oz
S1
ρ
Slat
O
a
S2
M
Le champ étant radial, le flux du champ sur les surfaces S1 et S2 sont nuls. Le champ est uniforme
sur la surface latérale, son flux vaut
⃗ = E(r) × 2πrh
ΦS (E)
lat
Le flux sur la surface fermée vaut donc :
⃗ =
ΦS (E)
S1
∫∫
⃝
∪
S2
⃗ = E(r) × 2πrh
⃗ dS
E.
∪
Slat
– Cas r > a.
La charge contenue dans la surface de Gauss vaut
∫
Q = πa2 hρ
– Cas r < a.
La charge contenue dans la surface de Gauss vaut
∫
Q = πr2 hρ
L’application du théorème de Gauss permet de conclure que

ρr

E(r < a) =

2ε0
⃗ = Qint soit
2
ΦS (E)
ρa

ε0
 E(r > a) =
2ε0 r
3 - Un tronçon de hauteur h du cylindre doit posséder la même charge soit
q = ρ × πa2 h = λ × h
Ainsi,
λ = ρπa2
4 - Seule la formulation pour r > a est valable, on obtient alors
⃗ ′ (r) = λ
E
2ε0 r
M.Barthes
PHYSIQUE
La divergence du champ en r → 0 s’expliquer par la modélisation choisie. Lorsque le point M est
proche du fil, son rayon ne peut être considéré comme nul.
5 - D’après la relation champ potentiel :
⃗ V′
⃗ ′ = −grad
E
on en déduit que
λ
ln r + Cte
2ε0
avec les conditions limites choisies dans l’énoncé, on obtient
V′ (r) =
V′ (r) =
λ
r
ln
2ε0 a
♣♣♣
Exercice 4
D’après CCP 04, Mines-Ponts 11, CCP 12
La terre est assimilée à une sphère homogène de centre O et de rayon R. Soit g0 la valeur
de l’accélération de la pesanteur à la surface de la terre. On ne tient pas compte de la rotation
de la terre. On relie deux villes A et B par un tunnel rectiligne de longueur d et de diamètre
négligeable. Un train assimilable à un point matériel M se déplace sans frottement dans le
tunnel. On note r la distance OM. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen, on
note x l’abscisse du point M sur l’axe Ix.
A
y
I
B
x
O
1 - Déterminer ⃗g (r) l’accélération de la pesanteur au point M en fonction de g0 , r et R.
2 - Écrire sous forme vectorielle le principe fondamental de la dynamique appliquée au point
M.
3 - En déduire l’équation du mouvement du point M et déterminer la période T du mouvement du point M.
♣♣♣
Solution
1 - L’accélération de la pesanteur se détermine à partir du théorème de Gauss. La distribution de
masse est à symétrie sphérique donc le champ de gravitation ⃗g est invariant par rotation selon les
angles sphériques θ et ϕ et tout plan contenant le centre O est plan de symétrie de la masse volumique
donc
⃗g (r) = g(r) ⃗er
L’application du théorème de Gauss sur un surface de rayon r donne, avec Mtot la masse de la
Terre
M.Barthes
PHYSIQUE
4πr2 g(r) = −4πGMint avec Mint = Mtot
r3
R3
Or g0 = GMtot /R2 , on en déduit donc que
⃗g (r) = −g0
r
⃗er
R
2 - Le point M est soumis à
⃗ = m⃗g (r) ;
– son poids P
⃗ = N ⃗ey .
– la réaction du tunnel N
Le principe fondamental de la dynamique nous permet d’écrire
⃗ +N
⃗
m⃗a = P
3 - Avec x = r sin θ, la projection du principe fondamental de la dynamique suivant l’axe Ix donne
r
r sin θ
g0
m¨
x = −mg0 ⃗er . ⃗ex = −mg0
= −m x
R
R
R
A
I
O
y
q
M
x
r
On en déduit l’équation suivante
g0
x=0
R
On reconnait l’équation d’un oscillateur harmonique de période
√
R
T = 2π
g0
x¨ +
♣♣♣
Exercice 5
D’après CCP 11, 12
On cherche à déterminer tout d’abord
z
z
+
+
à déterminer le champ crée par la surface
métal
métal
+
+chargée d’un conducteur métallique défini
+
+ par x < 0 (cf. figure de gauche). On note σ
O +
O + - L
+
+la charge surfacique supposée uniforme.
x
x
+
+ 1 - À l’aide du théorème de Gauss, détermi+
+
⃗ 0 régnant hors du
ner la valeur du champ E
+
+
ρ
conducteur.
σ
σ
2 - Énoncer la relation entre le potentiel
électrostatique V0 (x) et le champ E0 puis déterminer V0 (x) à une constante près en tout point
du demi espace x > 0.
On ajoute une densité volumique de charge ρ entre les valeurs x = 0 et x = L (cf. figure de
droite). La charge volumique est de signe opposé à la charge surfacique σ et ne perturbe pas
celle-ci.
⃗ tot des
3 - Déterminer, par des arguments de symétrie, la direction du champ résultant E
distributions surfacique σ et volumique ρ.
M.Barthes
PHYSIQUE
⃗ tot en tout point x
4 - Par application du théorème de Gauss, déterminer la valeur du champ E
⃗ tot est uniforme pour toute valeur de x > L.
appartenant à l’intervalle [0, L]. Montrer que E
On dit que la distribution de charge volumique écrante la distribution surfacique lorsque
⃗
Etot (x > L) = ⃗0.
5 - Donner la relation entre σ, ρ et L vérifiant la condition d’écrantage.
6 - En supposant cette condition satisfaite, déterminer l’expression du potentiel électrostatique Vtot . On distinguera les intervalles 0 < x 6 L et x > L. On posera Vtot (L) = 0.
7 - Représenter graphiquement l’allure du potentiel électrostatique Vtot .
8 - On définit l’énergie électrostatique par unité de surface du conducteur par
∫∞
uS = 0 ue dx
où ue = ε0 E2 /2 est la densité d’énergie électrostatique. Déterminer us en fonction de σ, L et ε0
♣♣♣
Solution
1 - En un point M quelconque de l’espace, les plans Oxz et Oyx sont plans de symétrie pour la
distribution de charge, on en déduit que
⃗ 0 = E0 (x, y, z) ⃗ex
E
La distribution de charge est invariante par translation selon Oz et Oy, on en déduit que
⃗ 0 = E0 (x, y, z) ⃗ex = E0 (x) ⃗ex
E
Utilisons une surface de Gauss constituée d’un cylindre d’axe Ox et de rayon a.
z
métal
O
+
+
+
+
+
+
+
+
x
S1
Slat
S2
σ
⃗ 0 est porté selon ⃗ex , le flux selon
Le champ dans un métal est nul, le flux à travers S1 est donc nul. E
Elat est nul. Il ne reste que
⃗ 0 ) = E0 πa2
ΦS (E
L’application du théorème de Gauss conduit à
⃗ 0 ) = πa2 σ/ε0
ΦS (E
Ainsi,
⃗ 0 = σ ⃗ex
E
ε0
2 - Par définition :
⃗ V
⃗ = −grad
E
⃗ 0 , on en déduit que
Or le potentiel suit les mêmes invariances que E
M.Barthes
PHYSIQUE
dV0
= −E0 soit V0 (x) = −E0 x + Cte
dx
3 - Les invariances et symétries n’étant pas affectées :
⃗ tot = Etot (x) ⃗ex
E
Utilisons la même surface de Gauss et notons x l’abscisse de la surface S2 . La charge contenue dans
la surface de Gausse est donnée par
Qint = σπa2 + ρσπa2 x
⃗ tot ) = (σπa2 + ρσπa2 x)/ε0
ΦS (E
Ainsi,
⃗ tot (0 < x < L) = σ + ρx ⃗ex
E
ε0
d’où
Pour x > L, on obtient la charge intérieure vaut
Qint = σπa2 + ρσπa2 x
⃗ tot (x > L) = σ + ρL ⃗ex
E
ε0
d’où
Le champ est bien indépendant de x.
5 - La relation d’écrantage est donnée par Etot = 0 d’où
σ + ρL = 0
6 - D’après la relation, champ potentiel, on en déduit que, pour x ∈ [0, L]
dVtot
σ + ρx
=−
dx
ε0
Or
Ainsi,
soit Vtot (x) = −
Vtot (L) = 0 soit
Vtot (0 < x < L) = −
−
σx + ρx2 /2
+ Cte
ε0
σL + ρL2 /2
+ Cte = 0
ε0
σx + ρx2 /2 σL + ρL2 /2
+
ε0
ε0
Pour x > L, Etot = 0, donc
Vtot (x > L) = Cte = 0
7 - La représentation du potentiel est donnée par
Vtot
x
0
L
8 - Le champ étant nul pour x > L, l’intégrale est restreinte à
M.Barthes
PHYSIQUE
us =
d’où
us =
∫L
0
ε0
∫L
0
ue dx
∫ L σ 2 + 2ρσx + ρ2 x2
(σ + ρx)2
dx
=
dx
0
2ε20
2ε0
σ 2 L + ρσL2 + ρ2 L3 /3
2ε0
En tenant compte du fait que σ + ρL = 0, la relation précédente se simplifie en
Ainsi,
us =
us =
ρ2 L3
σ2L
=
6ε0
6ε0
♣♣♣
Exercice 6
D’après Banque PT 12
On considère une distribution volumique uniforme de charges électriques, de densité volumique ρ constante, dans une couche cylindrique limitée par les rayons internes R1 et R2 et
de hauteur d.
Oz
R1
d
R2
On s’interesse au champ électrique créé par le cylindre chargé en point M de l’espace
repéré par les coordonnées cylindriques r, θ, z. L’axe Oz étant l’axe de symétrie de révolution
du cylindre.
1 - Sur un schéma, faire apparaître les coordonnées cylindriques et les vecteurs unitaires
associés.
2 - À quelle condition sur les caractéristiques géométriques R1 , R2 et d, peut on supposer que
le champ électrostatique dépend uniquement de r.
⃗
3 - À partir du théorème de Gauss, déterminer le champ E(M)
en tout point de l’espace. On
distinguera les cas r < R1 , R1 < r < R2 et R2 < r. Le candidat portera une attention toute
particulière à la rédaction.
⃗ et V, donner l’expression du potentiel V(r) en tout point de
4 - À partir d’un relation liant E
l’espace. On ne cherchera pas à déterminer les constantes d’intégration.
5 - Représenter l’allure du champ électrique E et du potentiel V en fonction du rayon. On
supposera un potentiel nul à la surface du cylindre.
♣♣♣
Solution
1 - Le schéma attendu est :
M.Barthes
PHYSIQUE
Oz
O
M
2 - La distribution de charge étant invariante par rotation selon θ, le champ électrique ne dépend
pas de cette coordonnée. Pour supposer que la distribution de charge est invariante par translation
selon Oz, il faut que
d ≫ R2
3 - Considérons la distribution de charge invariante par translation selon z. Par ailleurs, les plans
(M ⃗er , ⃗eθ ) (M ⃗er , ⃗ez ) sont plans de symétrique pour la distribution de charges, on en déduit que
⃗
E(M)
= E ⃗er
On peut choisir comme surface de Gauss un cylindre de rayon r et de hauteur h, composée d’une
surface latérale notée Slat et de deux disques S1 et S2 .
Oz
O
S1
S2
M
Slat
⃗ ne les traverse pas. Le flux
Le flux du champ électrique est nul sur les surfaces S1 et S2 puisque E
total à travers le cylindre est donc donné par le flux à travers la surface latérale :
⃗ = ΦS (E)
⃗ = 2πrhE(r)
ΦS (E)
lat
Selon le rayon, la surface n’englobe pas la même charge :

 (r > R2 ) alors Qint = π(R22 − R21 )hρ
(R2 > r > R1 ) alors Qint = π(r2 − R21 )hρ

(r < R1 ) alors Qint = 0
L’application du théorème de Gauss conduit après simplification à

R22 − R21



(r
>
R
)
alors
E(r)
=
ρ
2


2ε0 r
(r2 − R21 )
(R
>
r
>
R
)
alors
E(r)
=
ρ

2
1


2ε0 r


(r < R1 ) alors E(r) = 0
⃗ V, on en déduit que
⃗ − grad
4 - D’après la relation E
E(r) = −
dV
dr
Les équations vérifiées par le potentiel sont donc :
M.Barthes
PHYSIQUE







dV
R2 − R21
= −ρ 2
dr
2ε0 r
dV
(r2 − R21 )
(R
>
r
>
R
)
alors
=
−ρ
2
1

dr
2ε0 r



dV


(r < R1 ) alors
=0
dr
Intégrons les relations obtenues sur chacun des domaines :


C1 pour (r < R1 )



 (r2 /2 − R21 ln r)
+ C2 pour (R1 < r < R2 )
V(r) = −ρ
2ε
0


R2 − R21


ρ 2
ln r + C3 pour (r > R2 )

2ε0
(r > R2 ) alors
5 - L’allure du champ et du potentiel est donné par
V(r)
E(r)
V0
r
R1
R2
R1
♣♣♣
M.Barthes
r
R2