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PHYSIQUE
TD 8 : Thermodynamique industrielle
1
Obligatoire
Exercice 1
D’après Oral CCP 11
Un compresseur amène de façon adiabatique de l’air de l’état
(1) atmosphérique (température T1 = 300 K, pression P1 =
1, 0 bar) jusqu’à l’état (2) (température T2 , pression P2 = 6, 0 bar).
La puissance P du moteur qui l’entraîne est de 1, 5 kW et le
débit massique est de 6, 5 g.s−1 . L’air est assimilable à un gaz parfait de capacité thermique massique cP = 1, 0 kJ.K−1 .kg−1 et de
coefficient γ = 1, 4.
1 - Déterminer la température T2 .
2 - Déterminer la variation d’entropie massique du gaz et en déduire l’entropie créée par
unité de temps.
3 - Quel serait le débit si l’évolution de l’air était isentropique ?
Données :
– masse molaire de l’air : M = 29 g.mol−1 ;
– Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K−1 .mol−1 ;
TF
PF
– variation d’entropie d’un gaz parfait : ∆s = cP ln
− nR ln
TI
PI
♣♣♣
Solution
1 - Appliquons l’équation des machines entre l’entrée (1) et la sortie (2) du compresseur :
∆h = wu + qe
La transformation est adiabatique, on en déduit que qe = 0. Or, l’expression du travail utile est relié
à la puissance par :
P
wu =
Dm
Le travail massique est donné par
P
wu =
= 2, 3.105 J.kg−1
Dm
On en déduit l’élévation de température :
∆h = cP (T2 − T1 ) = wu
Application numérique :
T2 = 300 +
soit T2 = T1 + wu /cP
2, 3.105
= 530 K
1, 0.103
2 - Par définition de l’entropie d’un gaz parfait :
R P2
T2
− ln
∆s = cp ln
T1 M P1
M.Barthes
PHYSIQUE
Application numérique :
∆s = 57 J.K−1 .kg−1
La transformation étant adiabatique, d’après le second principe, l’entropie créée est donnée par
sc = ∆s
L’entropie créée par unité de temps est donc donnée par
dS créée
= Dm × sc = 0, 36 J.K−1 .s−1
dt
3 - Si la transformation était isentropique, la température finale serait donnée par les lois de Laplace :
( P )(γ−1)/γ
2
T′2 = T1
P1
T′2 = 500 K
Application numérique :
D’aprés l’équation des machines entre 1 et 2’, on obtient
P
∆h = wu =
Dm
Le débit serait alors de
d’où
Dm =
P
= 7, 5 g.s−1
− T1 )
cP (T′2
♣♣♣
2
Entraînement
Exercice 2
D’après Oral Centrale 07, E3A 11
Une turbomachine à gaz comprend une turbine de compres(1)
(4)
sion (TC), une chambre de combustion (CC) et une turbine de déA
TD
TC
tente (TD). Le turbocompresseur (TC) est entraîné par la turbine
de détente par un arbre (A) assurant une liaison mécanique par(2)
(3)
CC
faite. On admet que :
– l’évolution des gaz dans (TC) et (TD) est adiabatique et réversible ;
– la combustion dans (CC) (dont les parois sont indéformables) est isobare ;
– le carburant (dont on néglige le débit massique) ne modifie pas les propriétés du gaz.
.
Le gaz sera assimilé à un gaz parfait de coefficient isentropique γ = 1, 4
Les états du gaz sont répertoriés dans le tableau ci dessous :
Point
T(K)
P(bar)
(1)
(2)
(3)
(4)
T1 = 300 K
T2
T3 = 1300 K T4
P1 = 1 bar P2 = 6, 5 bar
P3
P4
1 - Représenter le cycle de Joule dans le diagramme de Clapeyron
2 - Calculer les données manquantes du tableau.
3 - Exprimer puis calculer en fonction de T1 , T2 , T3 , T4 et des caractéristiques du gaz :
– w12 : travail massique échangé entre le fluide et le rotor (arbre (A)) du turbocompresseur
– w34 : travail massique échangé entre le fluide et le rotor (arbre (A)) de la turbine de
détente ;
M.Barthes
PHYSIQUE
– wu : travail utile disponible sur l’arbre d’entraînement (A)
– q23 : quantité de chaleur massique fournie au gaz dans la chambre de combustion.
4 - Calculer le rendement thermodynamique η du cycle 1-2-3-4-1 en fonction du rapport
des températures puis exprimer η en fonction du rapport des pressions a = P2 /P1 et de la
constante γ.
Données :Chaleur massique à pression constante : cp = 1, 0 kJ.K−1 .Kg−1
♣♣♣
Solution
1 - On obtient alors :
P
(2)
(3)
(1)
O
(4)
V
2 - La transformation (23) et (41) sont isobares donc
P3 = P2 = 6, 5 bar et P4 = P1 = 1 bar.
Les transformation (12) et (34) étant adiabatiques et réversibles, la pression suit la loi de Laplace
(PVγ = Cte ), on obtient alors
γ
1−γ γ
P1−γ
1 T1 = P2 T2
d’où
T2 = T1
( P )(1−γ)/γ
1
P2
γ
1−γ γ
et P1−γ
3 T3 = P4 T4
et T4 = T3
= 512 K
( P )(1−γ)/γ
3
P4
= 762 K
3 - En utilisant l’équation des machines, les transformation 12 et 34 étant adiabatiques :
{
∆h12 = cP (T2 − T1 ) = w12 = 212 kJ.kg−1
∆h34 = cP (T4 − T3 ) = w34 = −537 kJ.kg−1
Ainsi,
wu = w12 + w34 = −325 kJ.kg−1
Dans la chambre de combustion,en l’absence de pièces mécaniques, il vient :
∆h23 = q23 = cP (T3 − T2 ) = 788 kJ.kg−1
4 - Par définition du rendement :
wu
T4 + T2 − T1 − T3
=−
q23
T3 − T2
Remplaçons les tempéraures à l’aide de la question 1 :
η=−
1−γ
T4 − T1
T3 a γ − T1
η == 1 −
=1−
γ−1
T3 − T2
T3 − T1 a γ
Application numérique :
η =1−a
1−γ
γ
= 0, 41
♣♣♣
Exercice 3
M.Barthes
D’après ATS 07
PHYSIQUE
(3)
Dans le réacteur expérimental ITER, le principe
(2)
adopté pour convertir en électricité l’énergie dégagée
par la fusion thermonucléaire devrait être le même que
turbine
dans les centrales thermiques ou nucléaires actuelles.
condenseur
On ne s’occupe que du circuit secondaire dont le fluide échangeur
(l’eau) décrit le cycle suivant en écoulement perma(1)
nent :
(4)
- À la sortie de l’échangeur, toute l’eau est à l’état de
vapeur à une température T2 et à une pression P2 .
compresseur
La vapeur d’eau est surchauffée, c’est-à-dire qu’elle est
sèche ;
– La vapeur d’eau pénètre dans une turbine où elle subit une détente adiabatique réversible. La turbine actionne un alternateur qui génère du courant électrique par induction
électromagnétique. Au cours de la détente, une fraction égale à 17% de la vapeur d’eau
se condense en eau liquide. À la sortie de la turbine, la température est T1 et la pression
P1 ;
– Le fluide passe ensuite dans un condenseur où la vapeur d’eau restante se liquéfie à
pression et température constantes pour obtenir un liquide saturant seul ;
– L’eau liquide passe ensuite dans un compresseur où elle subit une compression adiabatique réversible au cours de laquelle sa température reste quasiment constante. À la
sortie du compresseur, la pression vaut P2 et la température T1 ;
– L’eau entre ensuite à l’état liquide dans l’échangeur où elle est chauffée à pression
constante. Sa température augmente d’abord jusqu’à la température d’ébullition à la
pression P2 . Elle est ensuite totalement vaporisée puis finalement surchauffée jusqu’à
la température T2
1 - Tracer le cycle décrit par l’eau dans le diagramme de Clapeyron (on représentera la courbe
de saturation).
2 - Calculer le travail massique utile (ou indiqué) reçu par le fluide dans le compresseur, noté
wu1
3 - Calculer la chaleur massique reçue par le fluide dans l’échangeur notée q1 .
4 - Calculer le travail massique utile (ou indiqué) fourni par le fluide à l’alternateur noté wu2 .
Comparer wu1 et wu2 .
5 - Définir et calculer le rendement du cycle.
6 - Quel serait le rendement d’un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures ? Comparer au rendement réel et commenter.
Données : T1 = 303 K, T2 = 773 K, P1 = 0, 04 bar, et P2 = 40 bar
P T hL J.kg−1 hV J.kg−1
P1 T1 2, 09.105
2, 55.106
P2 T1 2, 13.105
P2 T2
3, 45.106
♣♣♣
Solution
1 - On obtient d’après les indications de l’énoncé :
M.Barthes
PHYSIQUE
P
P2
Compresseur
P1
T1
Echangeur
T2
T1
Turbine
Condenseur
V
O
2 - D’après l’équation des machines, le compresseur étant calorifugé, qe = 0, il vient :
wu1 = hL (T1 , P2 ) − hL (T1 , P1 ) = 4, 00 kJ.kg−1
3 - D’après l’équation des machines, l’échangeur étant sans parties mobiles : wu = 0, il vient :
q1 = hV (T2 , P2 ) − hL (T1 , P2 ) = 3, 24.103 kJ.kg−1
4 - D’après l’équation des machines, la turbine actionnant l’alternateur étant calorifugé : qe = 0, il
vient :
(
)
wu2 = xL hL (T1 , P1 ) + (1 − xL )hV (T1 , P1 ) − hV (T2 , P2 ) = −1, 30.103 kJ.kg−1
On remarque que wu1 est négligeable devant wu2 .
5 - Par définition, le rendement de cette machine est données par
wu2
η=−
= 0, 402
q1
6 - Le rendement d’une machine de Carnot est donné par
T2 − T1
η max =
= 0, 608
T2
Le rendement réel est bien inférieur au rendement de Carnot.
♣♣♣
Exercice 4
D’après Oral centrale 07
On considère un système de refroidissement fonctionnant de manière réversible et utilisant une puissance de P = 1 kW. Les sources utilisées par machine frigorifique sont aux
températures TC = 350 K et TF = 280 K.
1 - Déterminer l’efficacité de la machine frigorifique.
2 - La source chaude possède une capacité thermique relativement faible, elle doit donc être
refroidie par de l’eau pour garder une température constante. On injecte de l’eau au contact
de la source chaude à la température T0 = 290 K. Elle ressort à la température T1 = 340 K.
Déterminer le débit d’eau nécessaire au bon fonctionnement de machine.
Données : capacités thermiques massiques de l’eau liquide et solide : cL = 4, 18 kJ.K−1 .kg−1 .
♣♣♣
Solution
1 - La machine fonctionnant de manière réversible, son efficacité est donnée par le théorème de
Carnot :
T2
TF
=
e=
TC − TF
T1 − T2
Application numérique :
M.Barthes
e = 4, 0
PHYSIQUE
2 - Soit PC la puissance reçue par la source chaude par le fluide caloporteur et PC′ la puissance
absorbée par l’eau, en régime permanent, on doit avoir :
PC = PC′
PC′ = Dm cL (T1 − T0 )
Or
D’après le premier principe appliqué au fluide lors d’un cycle infinitésimal
dU = 0 = −PC dt + PF dt + Pdt
La machine fonctionnant de manière réversible, l’inégalité de Clausius devient
PF dt PC
δQF δQC
+
=0=
+
TF
TC
TF
TC
d’où
0 = −PC −
soit
PC =
Ainsi,
d’où
TF
PC + P
TC
TC
P
TC − TF
TC
P = Dm cL (T1 − T0 )
TC − TF
Dm =
TC
P
= 24 g.s−1
TC − TF cL (T1 − T0 )
♣♣♣
M.Barthes