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F´ısica del Estado S´olido
Pr´actico 5
Vibraciones de los Cristales
´ n de las Constantes de Fuerza
1. Medicio
Considere una red lineal monoat´
omica, siendo M la masa de cada ´atomo y a la distancia
entre ellos. Sea βp la constante de fuerza entre dos ´atomos que distan pa, es decir, β1 para
interacci´
on de primeros vecinos, β2 para segundos vecinos, etc.
a) Verifique que la relaci´
on de dispersi´on en este caso es:
ω2 =
2 X
βp (1 − cos pka)
M
p>0
b) Demuestre que si se conoce experimentalmente la relaci´on de dispersi´on ω(k) las
constantes de fuerza pueden deducirse a trav´es de:
Ma
βp = −
2π
Z
+π
a
dk ω 2 (k) cos pka
−π
a
´ mica
2. Cadena Lineal Diato
Desarrolle el modelo para una cadena lineal diat´omica formada por una red lineal (de
periodicidad a) y una base de dos ´atomos de masas M1 y M2 (suponiendo M1 ≥ M2 ),
siendo la distancia entre los ´
atomos de la base b. Considere el caso en que solamente hay
fuerzas el´
asticas (de constante β) entre ´atomos diferentes y pr´oximos (distancias interat´omicas menores que a). Llame us y vs a los desplazamientos (en torno a sus posiciones
de equilibrio) de los ´
atomos de masas M1 y M2 , respectivamente, ubicados en la celda
s-´esima.
a) Plantee las ecuaciones de movimiento para ´atomos gen´ericos de cada tipo y busque
soluciones de ondas sinusoidales de frecuencia angular ω y vector de onda k:
us = u0 eiska e−iωt
vs = v0 eiska e−iωt
siendo u0 y v0 las amplitudes de oscilaci´on correspondientes a cada tipo de ´atomo,
encuentre la relaci´
on entre ω 2 y k.
b) Comportamiento en el Centro de la Zona de Brillouin
Para ka << 1 (centro de la Zona de Brillouin):
i. Calcule las velocidades de grupo de los fonones ac´
usticos y ´opticos cerca del centro
de la primera Zona de Brillouin. ¿C´omo se relaciona la primera con la velocidad de
1
propagaci´
on del sonido y cu´al es el signo de la segunda?
ii. Halle la relaci´
on entre las amplitudes de vibraci´on de cada tipo de ´atomo v0 /u0
para las dos ramas (ac´
ustica y ´optica).
c) Comportamiento en el Borde de la Zona de Brillouin
Halle la relaci´
on entre las amplitudes de vibraci´on de cada tipo de ´atomo v0 /u0 para
las dos ramas (ac´
ustica y ´
optica) cuando el vector de onda es: k = kmax = π/a.
Demuestre que para este valor de k las dos redes se comportan como si no estuvieran
acopladas; una red permanece en reposo mientras que la otra se mueve.
d ) Doblamiento en el Borde de la Zona de Brillouin
Compare la soluci´
on para las vibraciones de una cadena monoat´omica con la de una
cadena diat´
omica, cuando los ´atomos (adem´as de las constantes de acoplamiento
entre ellos) son id´enticos entre s´ı (M1 = M2 ) y se encuentran equidistantes (b =
a/2). Observe que el per´ıodo de la cadena diat´omica es el doble del de la cadena
monoat´
omica.
e) En el caso de que la diferencia entre las masas sea muy grande (M1 >> M2 ) encuentre
soluciones anal´ıticas aproximadas para los modos ´opticos y ac´
usticos.
3. Energ´ıa de una onda vibracional
Considere una onda longitudinal:
us = u0 cos(ωt − ska)
que se propaga en una red lineal monoat´omica de ´atomos de masa M , espaciado a e
interacci´
on entre vecinos m´
as pr´
oximos de constante β.
a) Demuestre que la energ´ıa total de la onda es:
1 X dus 2
1 X
E= M
+ β
(us − us+1 )2
2
dt
2
s
s
en donde s se extiende sobre todos los ´atomos.
b) Por sustituci´
on de us en esta expresi´on, demuestre que la energ´ıa total por ´atomo
promediada en el tiempo es:
1
1
1
M ω 2 u20 + β(1 − cos pka)u20 = M ω 2 u20
4
2
2
4.
a) Demuestre a partir de us+q = u0 ei(s+q)ka e−iωt , que el momento lineal de un cristal
lineal que contiene N ´
atomos iguales de masa M , equidistantes a, en el que se excita
una onda de vector de onda k es:
p=
N
−1
X
r=0
M
N
−1
X
∂ur
= iωM u0 e−iωt
eirka
∂t
r=0
Eval´
ue este resultando usando que, para k 6= 0, el valor de la suma que aparece en
la expresi´
on anterior es:
1 − eiN ka
1 − eika
2
b) Aplicando la condici´
on peri´odica en los l´ımites ur = ur+N (Born - von Karman)
demuestre los valores de k quedan restringidos por: eiN ka = 1.
c) Utilice estos resultados para demostrar que un fon´on posee una cantidad de movimiento nula, excepto cuando k = 0.
Nota: Esto demuestra que la cantidad ~k, denominada cantidad de movimiento del
cristal, y usualmente asimilada al momento lineal del fon´on, es un momento puramente cu´
antico (asociada a reglas de selecci´on de transiciones entre estados cu´anticos),
y que no es posible interpretarla como la cantidad de movimiento de la vibraci´on de
los ´
atomos estudiados cl´
asicamente.
´culas diato
´ micas
5. Cristal de mole
Considere los modos normales de una cadena lineal diat´omica en los cuales todos los
´atomos tienen la misma masa M . La periodicidad de la cadena es a mientras que la
separaci´
on entre los ´
atomos de la base es b, de forma que δ = b/a ≤ 1/2 . Las constantes
de fuerza son: β1 entre los ´
atomos de la base, y β2 entre un ´atomo de la base y el m´
as
pr´oximo de uno de los dos ´
atomos que pertenecen a otra base.
a) Determine y represente cualitativamente los espectros ω(k) ac´
ustico y ´optico de fonones de esta red.
b) Halle en forma exacta ω(k) para k = 0 y k = π/a.
c) Eval´
ue para δ = 1/2 y:
i. β2 = 10β1
ii. β2 = β1
´ n Inela
´ stica
6. Dispersio
Considere una onda electromagn´etica (fotones de energ´ıa ~ωi y cantidad de movimiento
h~ki ) viajando por un medio material cristalino en el que los ´atomos vibran con frecuencia
angular ωq , siendo ~q el vector de onda de la onda vibracional correspondiente. Estudie
la dispersi´
on inel´
astica de dicha onda electromagn´etica utilizando la teor´ıa general de
dispersi´
on usando una densidad de dispersi´on dependiente del tiempo ρ(~r, t), donde la
dependencia temporal se origina solamente en el desplazamiento de los ´atomos respecto a su posici´
on de equilibrio. Considere el caso de una red monoat´omica, en la que el
desplazamiento del ´
atomo n-´esimo puede escribirse como:
~rn = T~n + ~un (t)
donde T~n (puntos de la red directa) son las posiciones de equilibrio y ~un (t) es el desplazamiento (respecto al equilibrio) originado por la onda vibracional.
a) Asumiendo ´
atomos puntuales, de forma que la densidad de dispersi´on de equilibrio
es:
ρ(~r) =
X
δ(~r − T~n )
n
calcule la amplitud de dispersi´on expandi´endola en potencias de ~un (t), asumiendo
que el desplazamiento es peque˜
no.
3
b) Verifique que el t´ermino de orden cero en la expansi´on anterior corresponde a la
deducci´
on usada en la difracci´on de rayos X que conduce a la condici´on de Laue para
difracci´
on.
c) Utilizando el mismo argumento para el t´ermino de primer orden deduzca que los
fotones dispersados tienen energ´ıa ~ωd y cantidad de movimiento ~~kd est´an dados
por las siguientes reglas de selecci´on:
~ωd = ~ωi ± ~ω(~q)
~
~~kd = ~~ki ± ~~q + ~G
Nota: El signo + corresponde a la absorci´on de un cuanto de energ´ıa de la onda
vibracional (fon´
on) por la onda electromagn´etica, mientras que el signo – corresponde
a la emisi´
on de uno de esos cuantos. Cuando la relaci´on de dispersi´on ω(~q) corresponde
a fonones ac´
usticos se denomina dispersi´on de Brillouin, mientras que para fonones
´opticos se denomina dispersi´on Raman. Observe que la periodicidad de la red cambia
~ denominado
la regla de conservaci´
on de cantidad de movimiento en un t´ermino ~G
cantidad de movimiento del cristal.
7. Red cuadrada
a) Considere vibraciones transversales de una red plana cuadrada de filas y columnas
de ´
atomos id´enticos. Sea ulm el desplazamiento normal al plano de la red del ´atomo
de la columna l y fila m (ver figura). Sea M la masa de cada ´atomo y suponga que
las constantes de fuerza son tales que la ecuaci´on del movimiento es:
M
d2 ulm
= β [(ul+1,m + ul−1,m − 2ul,m ) + (ul,m+1 + ul,m−1 − 2ul,m )]
dt2
b) Suponiendo soluciones de la forma:
ulm = u0 ei(lkx x+mky y−ωt)
donde a es la separaci´
on entre los ´atomos vecinos m´as pr´oximos; demuestre que se
satisface la ecuaci´
on del movimiento si:
ω 2 M = 2β (2 − cos kx a − sen ky a)
esta es la relaci´
on de dispersi´on para el problema.
4
c) Demuestre que la regi´
on del espacio k para la cual existen soluciones independientes,
puede tomarse como una red cuadrada de lado 2π/a. Esta es la primera zona de
Brillouin de la red cuadrada. Represente ω en funci´on de k para k = kx con ky = 0
y para kx = ky .
d ) Demuestre que para ka << 1 es:
q
p
2
ω = βa /M kx2 + ky2 =
r
βa2
k
M
´ n Infrarroja
8. Absorcio
Considere la respuesta de un cristal lineal diat´omico a la radiaci´on electromagn´etica en
el infrarrojo. Suponga el cristal formado por iones de masas m y M con carga opuesta q
y −q y que s´
olo hay interacci´
on el´astica de primeros vecinos, con constante β. El campo
el´ectrico puede suponerse:
E = E0 ei(kx−ωt)
y se desprecia la parte magn´etica.
a) Escriba c´
omo se modifican las ecuaciones de movimiento de la red diat´omica forzada
por la acci´
on del campo.
b) Suponga que la onda electromagn´etica se encuentra en la regi´on del infrarrojo, o sea
λ = 1−100µm. Para un cristal con constante de red t´ıpica a ' 5˚
A, compare el vector
de onda del campo electromagn´etico con el borde de la zona de Brillouin. Deduzca
que la respuesta del material se dar´a en el centro de la zona de Brillouin, por lo que
es razonable suponer k ' 0.
c) Bajo la aproximaci´
on anterior resuelva los desplazamientos at´
omicos en funci´on del
q
1
1
campo el´ectrico y observe que poseen resonancias para ω0 = 2β m
+M
, correspondiente al valor de la rama de fonones ´
opticos en el centro de la zona de Brillouin.
9. Modo vibracional localizado en un defecto
Considere una cadena lineal monoat´omica infinita, de ´atomos de masa M y acoplamiento
de primeros vecinos β. En el origen de coordenadas (correspondiente al ´ındice s = 0) la
cadena posee un defecto o impureza sustitucional de masa m (es decir, un ´atomo de masa
m 6= M se encuentra en la posici´
on del ´atomo de masa M que deber´ıa estar en ese lugar).
a) Escriba las ecuaciones de movimiento para la impureza sustitucional (s = 0) y alguno
de sus primeros vecinos (s = 1 ´o s = −1).
b) Escriba las ecuaciones seculares que se obtienen al buscar soluciones de ondas localizadas, es decir soluciones del tipo:
us = u0 (−1)s e(α|s| + iωt)
Nota: Si Re[α] < 0 esto corresponde a una oscilaci´on localizada cuya amplitud es
m´
axima en la posici´
on del defecto (s = 0).
c) Encuentre la frecuencia de oscilaci´on propia ω0 del estado localizadoqescribi´endola en
funci´
on de la frecuencia m´
axima de la cadena lineal infinita, ωm =
de masas r = m/M .
5
4β
M
y la relaci´on
d ) Grafique ω0 (r) discutiendo:
i. Para qu´e valores de r existen vibraciones localizadas.
ii. C´
omo son los valores de ω0 en comparaci´on con ωm .
e) Halle los valores de α en funci´on de r, verificando cu´ando son efectivamente modos
localizados, es decir, Re[α] < 0.
10. Anomal´ıa de Kohn
En los metales es de esperar que las constantes de fuerza interplanares βp entre los planos
s y s + p sean de la forma (para una red monoat´omica, siendo M la masa de cada ´atomo
y a la distancia entre ellos):
βp = A
sen(pk0 a)
pa
donde A y k0 son constantes y p puede ser cualquier n´
umero entero positivo.
a) Utilizando el resultado del ejercicio 1, parte a), halle una expresi´on para ω 2 y para
2
su derivada ∂ω
∂k .
b) Demuestre que
∂ω 2
∂k
es infinita para k = k0 . Interprete este resultado.
11. Modos de fonones blandos (Soft Phonons)
Considere una l´ınea de ´
atomos de masas iguales, pero de cargas alternadas, en donde ep =
p
e(−1) es la carga del ion p. El potencial interat´omico es la suma de dos contribuciones:
1. Una interacci´
on el´
astica de corto alcance que act´
ua entre los vecinos m´as pr´oximos
u
´nicamente, con constante de fuerza β1R = γ.
2. Una interacci´
on de Coulomb entre todos los iones.
a) Demuestre que la contribuci´
on de la interacci´on de Coulomb correspondiente al vecino
a distancia pa se puede modelar (a primer orden en el desplazamiento) por constantes
de fuerza at´
omica el´
astica:
e2
βpC = 2(−1)p 3 3
p a
en donde a es la distancia de equilibrio entre los vecinos m´as pr´oximos.
b) A partir del resultado del ejercicio 1, parte a), demuestre que la relaci´on de dispersi´on
puede escribirse como:
ω2
= sen2
ω02
donde: ω0 =
4γ
M
yσ =
ka
2
+σ
∞
X
(−1)p
p=1
p3
(1 − cos pka)
e2
.
γa3
c) Demuestre que ω 2 es negativo (modo inestable) en el l´ımite de la zona ka = π si se
cumple σ > 4/(7ζ(3)) = 0,475, donde ζ es la funci´on ζ de Riemann.
d ) Demuestre que la velocidad del sonido para valores peque˜
nos de ka es imaginaria si
se cumple σ > 1/(2 ln 2).
e) Interprete f´ısicamente estos resultados.
6