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Procesos Estoc´
asticos 1. Tarea-examen 2
Prof. Bego˜
na Fern´
andez Fern´
andez
Ayud. Daniel Cervantes Filoteo
Resuelva los siguientes problemas justificando sus respuestas y entregue sus resultados, por equipos
de a lo m´as 5 integrantes, en un formato limpio y ordenado.
1. Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad y sean F1 ⊂ F2 ⊂ F σ−´algebras. Sea Y una F−variable
aleatoria. Demuestre que:
E[Y |F1 ] = E[E[Y |F1 ]|F2 ] = E[E[Y |F2 ]|F1 ]
2. Sea (Ω, F, (Fn )0≤n , P ) un espacio de probabilidad filtrado y tomemos (Xn )0≤n≤K una Fn martingala. Demuestre que:
Xn = E[Xk |Fn ], 0 ≤ n ≤ k ≤ K
3. Consideremos el espacio de resultados de dos lanzamientos de monedas Ω = {AA, AS, SA, SS}.
Supongamos que los precios de una acci´on est´an dados por:
S0 = 4, S1 (AA) = S1 (AS) = 8, S1 (SA) = S1 (SS) = 2,
S2 (AA) = 16, S2 (AS) = S2 (SA) = 4, S2 (SS) = 1
Definimos a la variable X = I{4} (S2 ). Determine la σ−´algebra generada por S1 y la generada por
X.
4. Sea n un entero positivo y a y b reales. Consideremos Ω el espacio de todos los vectores en Rn tales
que sus entradas son a o b. Para ω ∈ Ω e i = 1, ..., n definimos Xi (ω) como la proyecci´
on en la
coordenada i. Definimos adem´
as a la variables Yi = X1 + · · · + Xi y Zi = X1 X2 · · · Xi .
a) Demuestra que la σ−´
algebra generada por (X1 , ..., Xn ) es igual a la σ−´algebra generada por
(Y1 , ..., Yn ).
b) Si a y b son distintos de cero. Demuestra que la σ−´algebra generada por (X1 , ..., Xn ) es igual
a la σ−´
algebra generada por (Z1 , ..., Zn ).
c) Para n = 2, a = 0 y b = 1, muestra que la σ−´algebra generada por (X1 , ..., Xn ) contiene
propiamente a la σ−´
algebra generada por (Z1 , ..., Zn ).
5. En la urna de Polya comienzan w bolas blancas y b bolas negras. En un paso se saca una pelota
aleatoriamente, se ve, se regresa y adem´as se mete otra con el mismo color. Se repite el proceso. Sea
Xn la proporci´
on de bolas blancas en la urna tras n pasos. Demuestre que Xn es una martingala
respecto de la filtraci´
on natural.
6. Sea Xn una cadena de Morkov con espacio de estados finito E ⊂ R. Supongamos que la cadena
tiene dos estados absorbentes i y j, y los dem´as son transitorios. Sea g : R → R tal que g(Xn ) es
una martingala.
Demuestre, usando las propiedades de martingalas, que las probabilidades de absorci´on ρk,i , ρk,j
con k ∈ E y j 6= k 6= i, satisfacen:
g(k) = g(i)ρk,i + g(j)ρk,j
ρk,i + ρk,j = 1
7. Considere una cadena de Markov Xn con espacio de estados E = {0, ..., 2N }. Con probabilidades de
transici´on:
2N
Pi,j =
pji (1 − pi )2N −j
j
i
a) Supongamos que pi =
. Demuestre que Xn es martingala y calcule las probabilidades de
2N
absorci´
on.
b) Sea 0 < q < 1 y supongamos:
pi =
1 − qi
1 − q 2N
Demuestre que q 2N Xn es martingala y calcule las probabilidades de absorci´on.
8. Sea Xn un proceso con incrementos independientes y E[Xn ] = 0 para toda n. Demuestre que este
proceso es una martingala (aunque no es necesario, puede utilizar la filtraci´on natural).
P
9. Considere una caminata aleatoria Sn = ni=1 Yi tal que la funci´on generadora de momentos mY (s)
es finita para alguna s ∈ R. Demuestre que la sucesi´on:
Xn =
esSn
mY (s)n
es una Fn − martingala, con Fn = σ(Y1 , ..., Yn ).
10. Sea Cn un proceso predecible y acotado y sea Mn una martingala. Construimos al proceso:
Xn =
n
X
Ci (Mi − Mi−1 )
i=1
con X0 = 0. Demuestre que Xn es una martingala.
11. Considere que la probabilidad de obtener sol en cada lanzamiento de una moneda es 0.5. Y Tomemos
Xn = 1 si en el lanzamiento n se obtiene sol y Xn = −1 en caso contrario. Para el proceso:
Yn =
n
X
Xi
i=1
a) Demuestre que es una martingala respecto a {Fn } con Fn = σ(X1 , ..., Xn ).
b) Sea s una constante positiva y definimos:
Zn = e
sYn
2
s
e + e−s
n
Demuestre que Zn es una martingala respecto a {Fn }.
12. Sea Xn un proceso integrable. Demuestre que Xn∗ = m´ax{X1 , . . . , Xn } es una submartingala.
13. Sean X1 , X2 , . . . v.a.i.i.d. tales que P[Xi = 1] = p y P[Xi = −1] = 1 − p y sea Sn = X1 + · · · + Xn .
Demuestre que:
1 − p Sn
Yn =
p
es una martingala.
14. Sean X1 , X2 , . . . variables aleatorias independientes tales que E[Xi ] = 1. Demuestre que:
Yn =
n
Y
Xi
i=1
es una martingala.
15. Sean X1 , X2 , . . . variables aleatorias independientes tales que E[Xi ] = µi y Var(Xi ) = σi2 < ∞.
Demuestre que:
!2
n
n
X
X
Yn =
(Xi − µi ) −
σi2
i=1
i=1
es una martingala.
16. Sea Nt un proceso de Poisson de par´
ametro λ. Demuestre que los siguentes procesos son martingalas:
a) Yn = (Nn − λn)2 − λn.
b) Yn = exp(−θNn + λn(1 − e−θ )); θ ∈ R.
17. Sean X1 , X2 , . . . variables aleatorias independientes tales que Sn = X1 + · · · + Xn es una martingala.
Demuestre que E[Xi Xj ] = 0 para i 6= j.
En los siguientes dos ejercicios Considere el Modelo de Cox-Ross y Rubinstein:
Sn0 = (1 + r)n ,
S00 = 1,
Sn = Sn−1 Tn ,
S0 = s.
donde las v.a. Tn son independientes, id´enticamente distribuidas con valores en {1 + b, 1 + a}.
Supongamos que r ∈ (b, a). Calcule p∗ tal que
p∗ = P [Tn = 1 + a],
y satisface que S˜n es martingala.
18. Sea Cn (Pn ) el valor de un Call (Put) europeo al instante n sobre una unidad de un activo con
riesgo de precio de ejercicio K y fecha de ejercicio T . Usando la f´ormula en t´erminos de esperanza
condicional para Cn y Pn demuestre que
Cn − Pn = Sn − K(1 + r)−(T −n)
19. Demuestre que Cn se puede escribir como
Cn = c(n, Sn ),
donde
N
Y
"
N −n
c(n, x) = (1 + r)
E
∗
x
i=n+1
De una expresi´
on expl´ıcita para la expresi´on de c(n, x).
#
Ti − K
.
+
20. Consideremos un call europeo sobre d´olares con fecha de ejercicio ma˜
nana, es decir T = 1. Sea
S0 = 150 pesos el precio de hoy de 100 d´olares. Supongamos que 100 d´olares ma˜
nana tienen dos
posibilidades, o bien pueden valer 180 pesos con probabilidad ,7 o bien pueden valer 90 pesos con
probabilidad ,3 y que el precio de ejercicio K es igual a 150 pesos. Supongamos que la tasa libre de
riesgo es r = 0. Tenemos:
E [(ST − K)+ ] = 21
Encuentre una estrategia de inversi´
on con la que se puede hacer arbitraje.
Este ejemplo muestra que en la valuaci´on de un instrumento hay que calcular la esperanza con
respecto a la probabilidad P ∗ .