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F´ısica del Estado S´olido
Pr´actico 2
Red Rec´ıproca y Difracci´on de Rayos X
1. Considere una red de Bravais con los tres vectores primitivos {~a1 , ~a2 , ~a3 } (figura 1). Un
plano de una red cristalina queda definido por tres puntos no alineados de la red, como
P , Q y R.
Q
~a3
~a1
R
~a2
~n
P
Figura 1: Planos de red
a) Se definen los vectores ~v = Q − P y ~u = R − P 1 .
Muestre que el vector normal al plano ~n = ~u × ~v se escribe:
~n = h ~a2 × ~a3 + k ~a3 × ~a1 + l ~a1 × ~a2
con h, k y l n´
umeros enteros. Muestre que el vector de la red rec´ıproca:
~ = h~b1 + k~b2 + l~b3
G
es tambi´en normal al plano, siendo {~b1 , ~b2 , ~b3 } la base rec´ıproca de {~a1 , ~a2 , ~a3 }.
NOTA: Observe que para definir la normal, h, k y l pueden tomarse primos entre
s´ı 2 .
b) (Ecuaci´
on del plano) Si ~rP = p1~a1 + p2~a2 + p3~a3 (p1 , p2 , p3 enteros) es un punto de
la red en el plano y ~r = x~a1 + y~a2 + z~a3 un punto cualquiera del plano, escriba la
~ rP − ~r) = 0 en coordenadas.
ecuaci´
on del plano G.(~
1
Si se agrega un tercer vector de red w,
~ la condici´
on w.~
~ u × ~v = ~a1 .~a2 × ~a3 (que siempre es posible satisfacer)
asegura que {~
u, ~v , w}
~ es una base y que las combinaciones lineales enteras de ~
u y ~v generan todos los puntos de
red en el plano.
2
Se puede demostrar que cualquier terna de enteros [h, k, l] primos entre s´ı define un plano de red perpendicular
~ = h~b1 + k~b2 + l~b3
aG
1
c) Muestre que el plano corta a los ejes definidos por {~a1 , ~a2 , ~a3 } en puntos qi~ai , con qi
racionales.
d ) Demuestre que la distancia entre dos planos paralelos adyacentes de red con ´ındices
(kkl) es: dhkl = 2π/G.
e) Compruebe que para una red c´
ubica simple: d =
√
a
h2 +k2 +l2
2. Redes Rec´ıprocas
Halle las redes rec´ıprocas de las siguientes redes cristalinas:
a) C´
ubica simple (sc) definida por:
~a1 = ˆi
~a2 = ˆj
~a3 = kˆ
b) C´
ubica centrada en el cuerpo (bcc) definida por:
~a1 =
a ˆ ˆ ˆ
(−i + j + k)
2
~a2 =
a ˆ ˆ ˆ
(i − j + k)
2
~a3 =
a ˆ ˆ ˆ
(i + j − k)
2
c) C´
ubica centrada en las caras (fcc) definida por:
~a1 =
a ˆ ˆ
(j + k)
2
~a2 =
a ˆ ˆ
(i + k)
2
~a3 =
a ˆ ˆ
(i + j)
2
3. Red Rec´ıproca de la Red Rec´ıproca
Demuestre que la red rec´ıproca de la red rec´ıproca es la red directa original del espacio
real.
4. Volumen de la Primera Zona de Brillouin
Demuestre que el volumen de la primera zona de Brillouin es (2π)3 /vc , donde vc es el
volumen de una celda primitiva del cristal.
5. Factor de Estructura, Extinciones y Reflexiones Permitidas
a) Halle el factor de estructura para planos gen´ericos de una red bcc y de una red fcc,
discutiendo cu´
ales son los valores posibles para el mismo. En particular halle para
qu´e combinaciones de ´ındices de Miller se producen extinciones (se anula el factor de
estructura).
SUGERENCIA: Considere las redes como formadas por redes de Bravais sc con bases
adecuadas.
~ en un espacio dado de Fourier
b) ¿Por qu´e es menor la densidad de puntos rec´ıprocos G
cuando la celda unidad de la red cristalina es primitiva que cuando no lo es?
c) ¿C´
omo pueden ser independientes las reflexiones permitidas para una estructura dada
de la elecci´
on de la celda unidad de la red?
2
6. Red rec´ıproca de red espacial hexagonal
Los vectores de translaci´
on primitivos de una red espacial hexagonal pueden tomarse
como:
a √
a √
~a1 = ( 3ˆi + ˆj)
~a2 = (− 3ˆi + ˆj)
~a3 = ckˆ
2
2
a) Calcule el volumen de la celda primitiva.
b) Calcule los vectores de translaci´on primitivos de la red rec´ıproca.
c) Realice un esquema de la primera zona de Brillouin de la red hexagonal espacial.
´ geno Ato
´ mico
7. Factor de Forma del Hidro
Para el ´
atomo de hidr´
ogeno en su estado fundamental, la densidad electr´onica es:
n(r) =
1 − a2r
e 0
πa30
donde a0 es el radio de Bohr. Demuestre que el factor de forma es:
fG =
16
4 + G2 a20
Interprete el resultado estudiando la dependencia con G y a0 .
8. Factor de Forma de una Esfera Uniforme
Encuentre el factor de forma f para una distribuci´on uniforme de Z electrones en una
esfera de radio R. Muestre que para la condici´on GR >> 1, el factor de forma resulta
proporcional a cos(GR)
, por lo que la amplitud difundida decrece cuando G aumenta.
G2
´ n de la Estructura Cristalina
9. Determinacio
En un diagrama de polvo de rayos X de una sustancia c´
ubica, obtenido con la radiaci´on
˚
Kα del cobre (λ = 1,542A) aparecen l´ıneas para ´angulos de Bragg de 12,3◦ , 14,1◦ , 20,2◦ ,
24,0◦ , 25,1◦ , 29,3◦ , 32,2◦ y 33,1◦ .
a) Asigne ´ındices a estas l´ıneas y decida si la red primitiva es centrada en el cuerpo o
centrada en las caras, y calcule la arista de la celda.
b) La densidad de la sustancia es 8, 31g/cm3 y el peso molecular 312. Encuentre el
n´
umero de mol´eculas en una celda c´
ubica unidad. Puede tomarse como masa at´omica
unidad 1,66 × 10−24 g.
10. Factor de Estructura del Diamante
Si se toma la celda unitaria para el diamante como el cubo convencional, la base contiene 8
´atomos. Si se describe al diamente como una red fcc m´as una base, la base tiene 2 ´atomos.
a) Encuentre el factor de estructura Shkl para la base correspondiente a la red fcc. Halle
la condici´
on en h, k, l para las reflexiones permitidas.
b) Muestre que el factor de estructura Shkl para la base correspondiente a la red sc se
escribe:
h
ih
i
π
Shkl = f 1 + (−1)h+k + (−1)h+l + (−1)k+l 1 + e−i 2 (h+k+l)
3
Encuentre los ceros de Shkl y demuestre que las reflexiones permitidas satisfacen la
condici´
on: h + k + l = 4n, donde todos los ´ındices son pares y n es un entero, o bien
todos los ´ındices son impares (ver figura).
NOTA: Sin embargo, puede observarse la reflexi´on prohibida (222) si existe una
concentraci´
on extra de electrones en el punto medio entre dos ´atomos de carbono
vecinos m´
as pr´
oximos.
c) Compare los valores m´
aximos que toman los factores de estructura en los casos
anteriores.
´ n de Patterson
11. Funcio
Partiendo de que la intensidad del haz difractado seg´
un el vector de scattering ~k, I(~k), es
proporcional al cuadrado del m´
odulo de la transformada espacial de Fourier de la funci´on
de scattering, ρ(~r):
2
Z
−i~k.~
r
~
I(k) = d~r ρ(~r)e
a) Demuestre que la intensidad del haz difractado se puede escribir como la transformada de Fourier de la funci´
on de Patterson P (~r), definida como la autocorrelaci´on
de la funci´
on de scattering:
Z
P (~r) =
d~r 0 ρ(~r 0 ) ρ(~r 0 + ~r)
b) Observe cualitativamente que:
1. La funci´
on de Patterson tendr´a m´aximos cerca de las posiciones ~r que separen
´atomos que tengan funciones de scattering importantes.
2. Deduzca que, de disponerse de la intensidad de dispersi´on, I(~k), los picos de su
transformada de Fourier indicar´an la distancia interat´omica de la red directa.
NOTA: Este tratamiento es especialmente importante en el caso de fluidos o sistemas
amorfos en los que no existe orden de largo alcance (ausencia de una red de Bravais, y por
lo tanto de picos de difracci´
on). A´
un as´ı este m´etodo permite hallar las distancias medias
entre los ´
atomos).
4
´ ximo de difraccio
´n
12. Ancho del ma
La dispersi´
on el´
astica desde una red cristalina peri´odica infinita consiste en picos de difracci´on de Bragg angostos. A continuaci´on demostraremos, usando un caso simplificado,
c´omo depende la intensidad de dispersi´on con el tama˜
no finito de los cristales. Supongamos que en un cristal lineal existen centros puntuales de dispersi´on (scattering) id´enticos
en cada punto de la red ρm = m~a, donde m es un entero.
a) Verifique, por analog´ıa con el caso tridimensional, que
amplitud de dispersi´on
P la
vista en ser´
a proporcional al factor de estructura S =
e−im~a.∆k . Si la red es finita
y consiste de M puntos, demuestre que el valor del factor de estructura ser´a:
S=
1 − e−iM~a.∆k
1 − e−i~a.∆k
b) La intensidad dispersada es proporcional a |S|2 . Demuestre que:
|S|2 =
sen2 ( M~a2.∆k )
sen2 ( ~a.∆k
2 )
c) Sabemos que aparece un m´aximo de difracci´on cuando ~a.∆k = 2πh, donde h es
un entero. Cambiemos ligeramente ∆k y definamos en ~a.∆k = 2πh + de forma
que da la posici´
on del primer cero en sen( M~a2.∆k ). Demuestre que = 2π/M , de
forma que la anchura del m´aximo del espectro es proporcional a 1/M y puede ser
extremadamente estrecho para valores grandes de M .
NOTA: El mismo resultado es cierto para un cristal de tres dimensiones. El ancho
de un pico de difracci´
on puede depender tambi´en de otros factores.
´ mica
13. L´ınea Diato
Considere una l´ınea de ´
atomos ABAB...AB con una longitud de a/2 para el enlace A –
B. Los factores de forma para los ´atomos A y B son fA y fB , respectivamente. El haz
incidente de Rayos X es perpendicular a la l´ınea de ´atomos.
A
B
A
B
A
B
Figura 2: Difracci´on en la cadena lineal
a) Demuestre que la condici´
on de interferencia es nλ = a cos θ, en donde θ es el ´angulo
entre la l´ınea de ´
atomos y el haz difractado.
b) Demuestre que la intensidad del haz difractado es proporcional a |fA − fB |2 para n
impar y a |fA + fB |2 para n par.
c) Explique lo que ocurre si fA = fB .
NOTA: Estos resultados se generalizan en el caso de sistemas lineales m´as complicados,
como por ejemplo una mol´ecula de ADN (ver Problema Difracci´on de Rayos X por una
mol´ecula de ADN).
5