MAT 311 2015 Introduction ` a l’analyse r´ eelle Feuille d’exercices #2 : Topologie, 2 Exercices ` a pr´eparer pour vendredi 24 avril 2015 : — exercices 1, 3 et 5. Exercice 1. ** On dit qu’un espace m´etrique (X, d) est pr´ecompact si pour tout ε > 0, l’espace X est r´eunion d’une famille finie de boules de rayon ε. Prouver que (X, d) est compact si, et seulement si, il est pr´ecompact et complet. Exercice 2. *** On munit [0; 1]N de la distance d (xn )n>0 , (yn )n>0 = ∞ X | x n − yn | n=0 2n+1 . 1) Prouver que ([0; 1]N , d) est un espace m´etrique compact. On pourra utiliser l’exercice pr´ec´edent (ou pas). 2) Prouver que tout espace m´etrique compact est hom´eomorphe `a un sous-espace de [0; 1]N . Exercice 3. ** Soit (X, d) un espace m´etrique compact et soit (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de X. Montrer qu’il existe un λ > 0 tel que toute boule de rayon λ dans X est contenue dans un ouvert Ui . Exercice 4. *** Soit T une application d’un espace m´etrique compact (X, d) dans lui-mˆeme, telle que d T (x), T (y) < d(x, y) pour tous x 6= y. 1) Montrer que T poss`ede un unique point fixe, i.e. un point x ∈ X tel que T (x) = x. 2) Ce r´esultat est-il toujours vrai si l’on enl`eve l’hypoth` ese de compacit´e de (X, d) ? 3) Montrer que, pour tout x ∈ X la suite T n (x) n>0 converge (T n est d´efini par la r´ecurence T 1 = T et T n = T ◦ T n−1 , pour tout n > 2) 4) Montrer que la suite d’applications (T n )n>0 converge uniform´ement sur X. Exercice 5. * Montrer que pour qu’un espace m´etrique soit complet, il suffit que ses parties ferm´ees et born´ees soient compl`etes (par exemple compactes). Exercice 6. ** [Crit`ere de compl´etude pour les espaces vectoriels norm´es] Montrer qu’un espace vectoriel norm´e (E, k · kE ) est un espace de Banach si, et seulement si, toute s´erie normalement convergente est convergente. Exercice 7. ** Montrer que C ([0, 1]; R), muni de la norme N∞ (f ) = supx∈[0,1] |f (x)|, est un espace de Banach alors que le mˆeme espace, muni de la norme Z 1 1/2 2 N2 (f ) := |f (t)| dt , 0 ou bien de la norme Z N1 (f ) := 1 |f (t)| dt, 0 1 2 n’est pas un espace de Banach. Exercice 8. ** Soit (E, k k) un espace de Banach, K > 0 et φ ∈ C (E; E) telle que ∀x ∈ E, kφ(x)k 6 K kxk. Montrer qu’il existe une unique application f ∈ C (E; E) telle que f (0) = 0 et ∀x ∈ E, f (x) − f (x/2) = φ(x). On pourra utiliser la s´erie de fonctions x 7→ ∞ X φ(2−n x). n=0 Exercice 9. ** Montrer que X := ] − 1, 1[, muni de la distance x y d(x, y) := − , 1 − x2 1 − y 2 est un espace m´etrique complet. Exercice 10. *** On note d(x, y) := |x − y| la distance usuelle sur R. Si f : R → R est une fonction strictement croissante, on note df (x, y) := |f (x) − f (y)|. 1) Montrer que df est une distance sur R. 2) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur f pour que les topologies associ´ees `a d et df soient les mˆemes. 3) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur f pour que les suites de Cauchy associ´ees `a d et df soient les mˆemes. 4) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur f pour que (R, df ) soit complet. Exercice 11. ** Soit (E, k · k) un espace vectoriel r´eel et f : E → E telle que ∀x, y ∈ E, f (x + y) = f (x) + f (y), et ∀x ∈ Bf (0, 1), kf (x)k 6 M. 1) Montrer que f est Q-lin´eaire. 2) Soit x ∈ E. Montrer que pour tout λ ∈ Q tel que λ > kxk, on a kf (x)k 6 λM . 3) En d´eduire que f est lin´eaire et continue. Exercice 12. *** [Lemme d’Urysohn] Soit (X, d) un espace m´etrique et A, B deux ferm´es disjoints de (X, d). Construire une fonction continue f : X → [0, 1] telle que f (x) = 1 si x ∈ A et f (x) = 0 si x ∈ B. X Exercice 13. ** Soit (an )n>0 une suite d’´el´ements de K telle que la s´erie enti`ere an xn n∈N a un rayon de convergence R > 0 et soit (E, k · kE ) un K-espace de Banach. 1) Soit L ∈ L(E, E) telle que kLkL(E,E) < R. Montrer que X an Ln ∈ L(E, E). n>0 3 2) Soit L ∈ L(E, E). Montrer que eL := X Ln n>0 n! d´efinit un ´el´ement de L(E, E). ˜ ∈ L(E, E) tels que L ◦ L ˜=L ˜ ◦ L. Montrer que 3) Soient L, L ˜ ˜ eL ◦ eL = eL ◦ eL . 4) En d´eduire que, si L ∈ L(E, E) alors eL est inversible et a pour inverse e−L ∈ L(E, E). Exercice 14. *** Soit L ∈ L(E, E) telle que kLkL(E,E) < 1. Montrer qu’il existe V ∈ L(E, E) telle que V 2 = IE − L. Exercice 15. * Soit (X, d) un espace m´etrique connexe et non born´e. Montrer que toute sph`ere de X est non vide. Exercice 16. ** Montrer qu’un ouvert connexe U de RN est connexe par arcs. Montrer que l’on peut mˆeme joindre deux points de U par une ligne polygonale. Plus g´en´eralement, montrer qu’un ouvert connexe d’un K-espace vectoriel norm´e est connexe par arcs. Exercice 17. *** Soit Γ l’adh´erence dans R2 du graphe de la fonction d´efinie sur R − {0} par x 7→ sin(1/x). D´eterminer Γ et montrer que Γ est connexe mais n’est pas connexe par arc. Exercice 18. ** Soient (X, d) un espace m´etrique connexe, (Y, d0 ) un espace m´etrique compact et soit f : X × Y → R une fonction continue. Montrer que la fonction g: X → x 7→ R inf f (x, y), y∈Y est continue. Exercice 19. ** Soit K un compact, convexe d’un espace vectoriel norm´e (E, k · k) et f : K → K une application 1-lipschitzienne, i.e., pour tous x, y ∈ K kf (x) − f (y)k 6 kx − yk. 1) Soit a ∈ K. Montrer que, pour tout n > 1, l’application 1 1 f (x), fn (x) := a + 1 − n n admet un point fixe dans K. 2) En d´eduire que f admet un point fixe dans K.