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ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
TRIGONOMETRÍA PLANA Y ESFÉRICA. TRIGONOMETRIA PLANA. 1.­ Sabiendo que tg a = 1 3 p
p < a < 4 2 Halla las restantes razones trigonométricas. 2.­ Sabiendo que tg a = 2t . 1 ­ t 2
Halla las restantes razones trigonométricas. 3.­ Halla cos ec (90° ­ A) siendo tg A = 2 . 4.­ Calcula
5.­ Compara sen 2000 ° con una razón trigonométrica de un ángulo p p
comprendido entre y 4
2
6.­ Eliminar el parámetro t , en el sistema:
cos 45 ° ­ sen 30 °
cos 45 ° + cos 60 °
x = m sen t ü
ý.
y = m cos t þ
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 88 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
7.­ a ü
ï
Eliminar el parámetro t , en el sistema:
co s t ý . y = b tg t ïþ
8.­ Simplificar sen (90 ° ­ A) · cos (180 ° ­ A) + cos (90 ° + A) · sen(180 ° ­ A) . 9.­ Simplificar sen A + sen (120 ° + A) + sen(240 ° + A) . x = 10.­ Expresar sen 3 x en función sen x . 11.­ Resuelve sen 2x = tg x . 12.­ Transforma en producto co s 3A ­ co s 2A . 13.­ Resolver:
y = sen x ü
ý
y = sen (x + 120 ° ) þ
0 < x < 2 p . 14.­ Calcula tg 15 como diferencia de ángulos y por el ángulo mitad.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 89 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
15.­ Calcula sen
p
. 8 16.­ Calcula sen 105 ° + sen15 ° . 17.­ Resuelve cos 2x = sen x . 18.­ Resuelve sen 2x · cos x = 6 sen 3 x con x Î [ 0 , 2 p ] . 19.­ Resuelve 2 sen x · cos x = 1 + co s x con x Î [ 0 , p ] . 2 20.­ Si a + b + c = p . Calcula el valor de la expresión: ctg a · ctg b + ctg a · ctg c + ctg b · ctg c . 21.­ Demuestra que: sen a + 2 sen 3a + sen 5a sen 3a = . sen 3a + 2 sen 5a + sen 7a sen 5a x 22.­ Expresa cos x en función de tg .
2 ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 90 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
23.­ Determina a para que se tg 2x cos x + sen x cos x ­ sen x = ­ . a cos x ­ sen x cos x + sen x 24.­ Sea ABC un triángulo plano, verifique estudia, la si la igualdad: fórmula: a = b cos C + c cos B es cierta en los siguientes casos: i) ABC rectángulo con A = 90 ° . ii) ABC rectángulo con B = 90 ° . iii) ABC acutángulo. iv) ABC obtusángulo con A > 90 ° . ii) ABC obtusángulo con B > 90 ° . 25.­ ¿Es cierta alguna de las siguientes fórmulas de Trigonometría Plana: (A + B) a + b cos 2 b ­ c sen (B 2 ­ C) = y
= ?. ¿Por qué?. c sen C 2 a cos A 2 26.­ ¿Es cierta alguna de las siguientes fórmulas de Trigonometría Plana: a + c tg (A + 2 C ) ( p ­ a) ( p ­ c) a + b + c = (A ­ C ) y tg B 2 = , siendo p = . a ­ c tg 2 p ( p ­ b) 2 ¿Por qué?. 27.­ Calcula a ,si es posible, para que la siguiente fórmula sea cierta: cos 3x + cos 5x + cos 7x + cos 9x = ctg ax .
sen 3x + sen 5x + sen 7x + sen 9x ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 91 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
28.­ Si a + b + c = p .Calcula el valor de la expresión tg a 2 tg a 2 tg b 2 tg b 2 tg 2 c tg c 2 + + + + + . ctg b 2 ctg 2 c ctg a 2 ctg 2 c ctg a 2 ctg b 2 29.­ Si a + b + c = p . Compara el valor de la suma de sus tangentes con el valor del producto de sus tangentes. 30.­ Simplifica la expresión: tg(x + y) ­ tgx sen(x + y) ­ sen(x ­ y) . ­ 1 + tg(x + y) · tgx cos(x + y) + cos (x ­ y) 31.­ Considerado el faro de la figura. Calcula la altura del faro respecto al nivel del mar. Sabiendo que: A = 63 ° B = 85 ° c = 72,5 m. 32.­ Calcula la distancia entre los puntos A y B .Sabiendo que: C = 60 ° b = 24 m. a = 32 m. ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 92 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
33.­ Un piloto sale de un punto A y vuela 120 millas en dirección N 38 ° O , entonces trata de regresar al punto de partida pero por un error, vuela 150 millas en dirección S 51 ° E . Calcula a que distancia se encuentra de A y cual ha de ser la dirección que ha de tomar para llegar a A. 34.­ Un barco navega 20 millas en dirección S 40 ° O y después 25 millas en dirección N 30 ° O . Encontrar a que distancia está del punto de partida y cual es su orientación respecto a dicho punto. 35.­ Un barco navega 40 millas en dirección N 42 °2 ¢1 E , después 60 millas en dirección N 60 °2 ¢4 O y finalmente 30 millas en dirección N 29 ° E . Calcula: a) A que distancia se encuentra del punto de partida. b) Cual es su orientación respecto al punto de partida. 36.­ Un buque que navega al N se halla en un momento dado en la enfilación de dos faros que le demoran al O . Una hora después tiene los faros, uno al S O y otro al S S O . Sabiendo que la distancia entre los faros es de 8 millas ; halla la velocidad del buque.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 93 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
37.­ Resuelve, sin utilizar la calculadora, el siguiente problema: Un barco que navega con rumbo N 15 ° E , ve por su proa dos escollos en linea recta. Cambia de rumbo al N O , y al llevar recorridas 5 millas ve uno de los escollos exactamente al E y el otro al N E . Calcula la distancia entre los dos escollos. 38.­ Un barco que navega hacia el E observa un faro con una orientación N 62 °1 ¢0 E . Cuando el barco ha recorrido 1,215 millas (2250 m.) la orientación del faro es N 48 °2 ¢5 E . Si el barco continuara navegando sin alterar su rumbo.¿Cuál será la menor distancia a que pasará del faro ?. 39.­ Un faro está situado a 10 millas al Noroeste de un muelle. Un barco sale del muelle a las 9 a.m. y navega hacia el Oeste a razón de 12 millas/hor a .¿ A que hora se encontrará a 8 millas del faro ?. 40.­ Halla, sin utilizar la calculadora, la longitud de la sombra de un puente de un barco (altura del puente 30 m. ) proyectada sobre el barco, cuando la inclinación de los rayos solares es de 15 ° .
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41.­ Un barco hace el recorrido entre dos islas A y B a la velocidad de 15 nudos .Si la isla B está situada a 133,75 millas al Este y 256,78 millas al Norte de A. a) ¿ Que tiempo tardará en cubrir la distancia que separa las islas ?. b) ¿ Cual es la orientación de la isla B respecto a la isla A ?. 42.­ Resuelve sin utilizar la calculadora: Dos barcos tienen equipos de radio cuyo alcance es de 200 millas náuticas. Uno de los barcos se encuentra a 125 millas N 68 ° 4 ¢5 E de una estación costera, y el otro a 105 millas N 51 ° 1 ¢5 O . ¿A que distancia se encuentran entre sí?. ¿Se pueden comunicar entre ellos?. NOTA: El problema se considera sobre un plano. 43.­ La corriente de un río corre hacia el S a 15 millas/hor a . Una lancha a motor, que navega a 30 millas/hor a en aguas tranquilas, se encuentra en la orilla derecha, siguiendo el cauce del río. ¿ Cuál debe ser la orientación inicial del bote para atravesar el río directamente hacia el E y cuál es la velocidad resultante ?. 44.­ Un buque sale de un punto A con rumbo N 30 ° E durante 6 horas, con una velocidad de 15 nudos , pero existe una corriente de rumbo S 60 ° E a razón de 5 nudos .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 95 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
a) ¿ Cuál es el rumbo efectivo (final) del buque?. b) ¿ Cuál es la distancia recorrida?. NAVEGACION AEREA.DISTANCIA CORTA. ORIENTACION: Es la dirección (determinada por la lectura de la brújula) que enfila el avión. Se mide a partir del Norte, en el mismo sentido que las agujas del reloj. Nosotros lo mediremos clásicamente N 45º O ó 315º.En la figura el ángulo NOA. RUMBO O DERROTA: Es la dirección y sentido en el que se mueve el avión respecto a la Tierra. Se mide igual que la orientación. Su valor es diferente al de la orientación por efecto del viento. En la figura el ángulo NOB. DERIVA O ANGULO DE DESVIACION: Es la diferencia entre la orientación y el rumbo. En la figura es el ángulo AOB. RAPIDEZ RESPECTO A LA TIERRA: Es la velocidad del avión respecta la Tierra. En la figura se representa por la magnitud OB. RAPIDEZ RESPECTO AL AIRE: Viene determinada por la lectura del indicador de velocidad en el aire. En la figura se representa por la magnitud OA. RAPIDEZ DEL VIENTO: Es la velocidad del viento. En la figura viene
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 96 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
representada por la magnitud AB. ANGULO DEL VIENTO: Es la orientación del viento. En la figura se representa por el ángulo N'AO. 45.­ En un momento determinado el velocímetro de una avioneta marca una velocidad de 400 Km./h con una orientación N 45 ° E ; el viento se desplaza a una velocidad de 90 Km./h con una orientación N 60 ° O . Calcula: i) Velocidad de la avioneta respecto a la Tierra. ii) Deriva. iii) Derrota o rumbo.
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INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA ESFERICA 46.­ Determina si es posible construir un triángulo esférico A B C en cada uno de los siguientes casos: i) A B = 50 ° B C = 70 °
C A = 100 ° . ii) A B = 35 ° B C = 65 °
C A = 120 ° . iii) A B = 150 ° B C = 100 °
C A = 120 ° . 47.­ Encontrar las partes del triángulo polar del triángulo esférico en el que i) A = 156 °5 ¢6 B = 83 °1 ¢1 a = 157 °5 ¢5 b = 72 °2 ¢2 ii) A = 44 °5 ¢9 a = 43 °1 ¢7 B = 112 °4 ¢7 b = 116 °3 ¢6 C = 90 °
c = 106 °1 ¢8 . C = 85 °7 ¢
c = 105 °1 ¢5 . 48.­ Demuestra que 180 ° < A + B + C < 540 ° . 49.­ ¿ Es posible obtener un triángulo esférico A B C cuyos lados sean : i) 30 ° ii) 170 ° 50 °
150 °
70 ° . 10 ° ?.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 98 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
50.­ ¿ Es posible obtener un triángulo esférico A B C cuyos ángulos sean : i) 30 ° 37 °
111 ° . ii) 40 ° 85 °
140 ° ?. 51.­ El área de la superficie de una esfera de radio R es 4 p R 2 . El área a p 2 E de un triángulo esférico (sobre esta esfera) es R ( E expresado en 180 grados).¿ Qué parte del área de una esfera de R = 10 m. está limitada por el triángulo esférico de ángulos A = B = C = 110 ° ?. 52.­ Encontrar la diferencia de longitudes entre las ciudades: a)SANFRANCISCO ( Long. 122 °15, 7 ¢ O ) y DAKAR ( Long. 17 °25, 0 ¢ O ). b) SAN FRANCISCO y MELBOURNE ( Long. 144 °58, 5 ¢ E ). c) DAKAR y CIUDAD DEL CABO ( Long. 18 °26, 0 ¢ E ). d) MELBOURNE y CIUDAD DEL CABO. 53.­ Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los puntos A( lat. 40 °4 ¢0 N , Long. 120 °O) y B ( lat. 75 °2 ¢5 N , Long. 120 °O) . 54.­ a) Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los puntos A( lat. 10 °3 ¢0 N , Long. 10 °O) y B ( lat. 50 °3 ¢0 S , Long. 10 °O) . b) Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los puntos A¢ ( lat. 10 °3 ¢0 N , Long. 160 °O) y B¢ ( lat. 50 °3 ¢0 S , Long. 160 °O) .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 99 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
55.­ a) Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los puntos A( lat. 10 ° N , Long. 30 °O) y B ( lat. 10 ° N , Long. 40 ° E ) . b) Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los puntos A¢ ( lat. 80 ° N , Long. 30 °O) y B¢ ( lat. 80 ° N , Long. 40 ° E) . 56.­ a) Un barco navega 100 millas hacia el O en la latitud de 10° N .Halla el cambio de longitud. a) Calcula ese mismo cambio, si lo hiciese en la latitud de 85° N . 57.­ Un buque se encuentra en un punto A( lat. 56 ° 3 ¢0 S , Long. 132 ° 20, 3 ¢ E) navega 24 horas al O a una velocidad de 15 nudos . Calcula su nueva situación. 58.­ Halla el tiempo que tardará en recorrer la distancia que separa los puntos A( lat. 20 ° 2 ¢5 N , Long. 40 °O) y B ( lat. 20 ° 2 ¢5 N , Long. 15 °O ) un barco que navega a 12 nudos . 59.­ Un barco que se desplaza A( lat. 45 ° 3 ¢0 S , Long. 80 °O) y entre dos puntos B ( lat. 45 ° 3 ¢0 S , Long. 100 °O ) , tarda en hacer el recorrido 2 dÍas .¿A qué velocidad se desplaza?.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.100 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
60.­ Un barco que se encuentra en un punto a ( lat. 56 ° 3 ¢0 S , Long. 32 ° 2 ¢0 E) navega al E a una velocidad de 20 nudos .¿ Cuánto tiempo tardará en volver a pasar por a ?. 61.­ a) Calcula lo que mide el paralelo que pasa por LOS ANGELES ( lat. 33 ° 4 ¢3 N , Long. 118 ° 1 ¢6 O) b) Calcula un punto de la superficie terrestre en el que su paralelo mida el doble que el que pasa por LOS ANGELES. Calcula otro punto en el que su paralelo mida la mitad. 62.­ Un barco se encuentra en un punto A( lat. 26 ° 52, 7 ¢8 S , Long. 30 ° 25, 5 ¢6 O) el día 4 de noviembre a las 10 : 00 horas , navegando con rumbo N y velocidad de 20 nudos , el 7 de noviembre a las 08 : 00 horas cambia de rumbo y navega al E . Halla las coordenadas geográficas a las 09 : 00 horas del día 10 de noviembre. 63.­ Un buque parte de un punto A( lat. 35 ° 32, 7 ¢ S , Long. 120 ° 2 ¢8 O) y navega con rumbo N 58 ° O , a las 08 : 00 horas del día siguiente ha contraído una diferencia de latitud D l = 90 millas y una diferencia de Longitud D L = 80 millas ( OJO: no ha recorrido 80 millas).Halla sus nuevas coordenadas geográficas.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.101 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
64.­ Un buque se encuentra A( lat. 45 ° 3 ¢0 S , Long. 127 ° 32, 7 ¢ E) en un punto navega 10 horas al E a una velocidad de 16 nudos .Calcula sus nuevas coordenadas geográficas. 65.­ Un avión parte de A( lat. 30 ° N , Long. 10 ° E ) , vuela hacia el N 900 millas , a continuación cambia de rumbo hacia el E y vuela 1200 millas , vuelve a cambiar de rumbo hacia el S y vuela 900 millas para finalmente volar hacia el O 1200 millas . ¿ A qué distancia se encuentra del punto de partida?. TRIANGULOS ESFERICOS RECTANGULOS 66.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : a = 72 °15, 4 ¢
b = 50 °12, 8 ¢ . 67.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : a = 110 °37, 5 ¢
A = 90 ° A = 90 ° b = 17 °12, 6 ¢ . 68.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con C = 90 ° conociendo : c = 120 °13, 5 ¢
b = 120 °14, 1 ¢ .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.102 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
69.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : b = 73 °25, 4 ¢
A = 50 °12, 5 ¢ . 70.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : a = 115 °23, 7 ¢
A = 90 ° B = 103 °45, 3 ¢ . 75.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : c = 158 °22, 4 ¢
A = 90 ° C = 123 °49, 8 ¢ . 74.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : b = 137 °41, 2 ¢
A = 90 ° B = 155 °12, 6 ¢ . 73.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : b = 75 °49, 3 ¢
B = 90 ° c = 71 °43, 5 ¢ . 72.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : C = 67 °38, 8 ¢
A = 90 ° B = 110 °14, 8 ¢ . 71.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : a = 118 °35, 2 ¢
B = 90 ° B = 90 ° b = 122 °36, 7 ¢ .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.103 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
76.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con A = 90 ° del que conocemos a y B + C . Resuelve el triángulo. 77.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con A = 90 ° del que conocemos a y B ­ C . Resuelve el triángulo. 78.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con A = 90 ° del que conocemos c y a ­ b . Calcula a y b . 79.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con A = 90 ° del que conocemos b y B + C . Calcula B y C . 80.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con A = 90 ° del que conocemos b y a ­ B . Calcula a y B . 81.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con B = 90 ° del que conocemos c y b ­ a . Calcula a y b . 82.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo a = 71 °24, 5 ¢0 B = 90 ° b ­ c = 26 °36, 7 ¢6 .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.104 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
83.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectángulo con
conociendo : B = 138 °15, 8 ¢0 A = 90 ° C + b = 246 °45, 2 ¢6 . 84.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con C = 90 ° .¿Es cierta la fórmula : co s (c + B) ­ cos (c ­ B) = 2 sen b ?. Porqué. 85.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con B = 90 ° .¿Es cierta la cos (a + c) ö
fórmula : cos (a ­ c) = 2 cos b æç 1 ­ ÷ ?. Si no es cierta 2 cos b ø
è
complétala. 86.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con B = 90 ° .¿Es cierta la fórmula : tg 2 b 2 = cos (A + C ) · sec (A ­ C ) ?. Si no es cierta complétala. 87.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con C = 90 ° .¿Es cierta la tg[ p ­ A + B ] fórmula : tg 2 b 2 = p4 A­ 2 B ?. Si no es cierta complétala. tg[ 4 + 2 ] 88.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con A = 90 ° . Encuentra una fórmula que relacione a los datos siguientes a + b , a ­ b y B . 89.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con B = 90 ° . Encuentra una fórmula que relacione a los datos siguientes b + A , A ­ b y a .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.105 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
90.­ Dado el triángulo esférico A B C rectángulo con A = 90 ° . Encuentra una fórmula que relacione a : tg a 2 , co s (B + C ) y co s (B ­ C ) . 91.­ El rumbo inicial de un buque a lo largo de una circunferencia máxima, a partir de CIUDAD DEL CABO C (lat. 34 ° 1 ¢0 S , Long. 18 °2 ¢6 E ) es S 70 ° O , localizar el punto B del recorrido más cercano al Polo Sur S . Calcula a que distancia está B del Polo Sur y a que distancia del Polo Norte. 92.­ El rumbo inicial de un buque a lo largo de una circunferencia máxima, a partir de PORT OF SPAIN (Trinidad) P (lat. 10 ° 4 ¢0 N , Long. 61 °3 ¢0 O ) es N 20 ° 1 ¢5 E , localizar el punto A del recorrido más cercano al Polo Norte N . Calcula a que distancia está A del punto de partida así como la distancia de dicho punto al Polo Norte. NOTA: resolver el problema usando triángulos esféricos rectiláteros. 93.­ i) Un barco parte de CIUDAD DEL CABO C (lat. 34 ° 1 ¢0 S , Long. 18 °2 ¢6 E ) con un rumbo inicial hacia el O a lo largo de un paralelo. Calcula su posición cuando ha recorrido 500 millas . ii) Un barco parte de CIUDAD DEL CABO C (lat. 34 ° 1 ¢0 S , Long. 18 °2 ¢6 E ) con un rumbo inicial hacia el O a lo largo de una circunferencia máxima. Calcula su orientación y posición cuando ha recorrido 500 millas .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.106 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
94.­ A las 00 : 00 horas del día 1 enero , un barco tiene de coordenadas geográficas (lat. 38 ° 2 ¢ S , Long. 47 °5 ¢ O ) y navega con rumbo N 60 ° E , siguiendo un arco de circunferencia máxima con una velocidad de 18 nudos . Calcula: i) Longitud del punto de corte con el ecuador. ii) Hora y fecha de paso por dicho punto. 95.­ Dos barcos A y B salen a las 05 : 00 horas del día 1 enero de un punto C (lat. 30 ° 3 ¢5 N , Long. 120 ° O ) , a través de arcos de circunferencia máxima. A navega con rumbo de salida N 60 ° E y con velocidad de 15 nudos , B navega con rumbo de salida N 30 ° O y con velocidad de 18 nudos . Se pide la distancia entre ambos barcos a las 07 : 00 horas del día 6 enero . TRIANGULOS ESFÉRICOS RECTILATEROS Y EQUILATEROS 96.­ ¿ Puede ocurrir en un triángulo esférico A B C rectilátero con b = 90 ° que algún ángulo sea de 90 ° ?. 97.­ Sea A B C un triángulo con a = b = 90 ° birrectilátero. ¿ Que ocurre con los restantes elementos del triángulo ?. 98.­ ¿ Puede existir algún triángulo esférico A B C rectilátero con b = 90 ° que satisfaga alguna de las siguientes condiciones i) a + c > 270 ° ii) a ­ c > 90 ° ó c ­ a > 90 ° ?.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.107 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
99.­ ¿ Puede existir algún triángulo esférico A B C rectilátero con c = 90 ° que satisfaga alguna de las siguientes condiciones i) a + b < 90 ° ii) sen A > sen C ó sen B > sen C ?. 100.­ ¿ Puede existir algún triángulo esférico A B C rectilátero con a = 90 ° que satisfaga alguna de las siguientes condiciones i) b y B estén en distinto cuadrante. ii) A > C > 90 ° ?. 101.­ Resuelve el triángulo esférico rectilátero A B C B = 129 °47, 2 ¢ . a = 90 ° conociendo : A = 107 °44, 6 ¢
con
102.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectilátero con
conociendo : a = 129 °47, 5 ¢
B = 106 °34, 6 ¢ . b = 90 ° 103.­ Resuelve el triángulo esférico A B C cuadrantal con
conociendo : b = 24 °47, 4 ¢
c = 112 °21, 2 ¢ . a = 90 ° 104.­ Resuelve el triángulo esférico A B C cuadrantal con
conociendo : a = 60 °34, 9 ¢
B = 122 °18, 8 ¢ . c = 90 ° 105.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectilátero con
conociendo : B = 115 °24, 9 ¢
C = 32 °53, 6 ¢ . a = 90 ° 106.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectilátero con
conociendo : a = 69 °15, 2 ¢
A = 56 °45, 4 ¢ .
c = 90 ° ISIDORO PONTE­E.S.M.C.108 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
107.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectilátero con
conociendo : B = 81 °22, 2 ¢5 c ­ a = 43 °31, 7 ¢8 . b = 90 ° 108.­ Resuelve el triángulo esférico A B C rectilátero con
conociendo : B = 114 °56, 6 ¢2 b ­ C = 2 °19, 8 ¢7 . c = 90 ° 109.­ Dado un triángulo esférico A B C rectilátero con a = 90 ° del que conocemos: C y A + B , calcula A y B . 110.­ Dado un triángulo esférico A B C rectilátero con b = 90 ° del que conocemos: A y B ­ a , calcula B y a . 111.­ Dado un triángulo esférico A B C rectilátero con c = 90 ° .Encuentra una fórmula que relacione a los datos B + C , B ­ C y b . 112.­ Dado un triángulo esférico A B C rectilátero con b = 90 ° . Completa la cos (C ­ A) cos (A + C) ö
æ fórmula:
= ç 1 + ÷ . cos B 2 cos B ø
è
113.­ Resuelve el triángulo esférico A B C equilátero del que sabemos que B ­ b = 4 °1, 7 ¢ . 114.­ Resuelve el triángulo esférico A B C isósceles del que sabemos que b = c = 54 °28, 4 ¢
A = 112 °36, 2 ¢ .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.109 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
115.­ Resuelve el triángulo esférico A B C isósceles del que sabemos que a = b = 78 °23, 5 ¢
C = 118 °54, 6 ¢ . 116.­ Resuelve el triángulo esférico A B C isósceles del que sabemos que B = C = 38 °52, 5 ¢
a = 132 °15, 0 ¢ . 117.­ Un buque que parte de la ISLA DE PASCUA P (lat. 27 ° S , Long. 110 ° O ) y que navega a lo largo de una circunferencia máxima corta al Ecuador en un punto cuya longitud es 140°O . Encontrar el rumbo inicial y final del buque. 118.­ Un barco parte de NUKU­IVA (Islas Marquises) I (lat. 9 °1 ¢0 S , Long. 140 °1 ¢0 O ) con un rumbo , a lo largo de una circunferencia máxima, de 315 ° . i) Halla las coordenadas geográficas del primer punto del Ecuador por el que pasa. ii) Calcula la distancia entre dicho punto del Ecuador y el punto de partida. 119.­ El rumbo de un buque a lo largo de una circunferencia máxima, a partir de ISLA DE SAN BENEDICTO B (lat. 19 ° 2 ¢0 N , Long. 110 °2 ¢0 O ) es S 50 ° O . Localizar el punto donde su rumbo corta al Ecuador, así como la distancia, en la circunferencia máxima, recorrida hasta dicho punto. 120.­ Un barco que sale de HILO (Hawaii) H (lat. 18 ° N , Long. 155 ° O ) y que sigue una circunferencia máxima corta al ecuador en un punto E (lat. 0 ° N , Long. 150 ° O ) . ¿ A que distancia está E de HILO ?.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.110 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
RESOLUCION DE TRIANGULOS ESFÉRICOS OBLICUÁNGULOS 121.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : a = 112 °24, 6 ¢
b = 72 °36, 5 ¢
c = 61 °14, 3 ¢ . 122.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : A = 62 °28, 4 ¢
B = 37 °58, 6 ¢
C = 89 °12, 8 ¢ . 123.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : a = 113 °25, 4 ¢
b = 63 °52, 6 ¢
C = 78 °16, 6 ¢ . 124.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : a = 104 °32, 7 ¢
A = 82 °54, 2 ¢
B = 61 °12, 6 ¢ . 125.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : A = 96 °12, 8 ¢
c = 27 °20, 3 ¢
C = 45 °34, 4 ¢ . 126.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : b = 81 °42, 3 ¢
c = 52 °19, 8 ¢
C = 47 °25, 1 ¢ . 127.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : a = 107 °8, 4 ¢
B = 66 °42, 7 ¢
C = 84 °57, 5 ¢ .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.111 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
128.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : a = 98 °53, 2 ¢
A = 95 °23, 4 ¢
c = 64 °35, 8 ¢ . 129.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : a = 40 °38, 6 ¢
A = 35 °52, 5 ¢
B = 56 °10, 7 ¢ . 130.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : a = 80 °5, 3 ¢
A = 83 °34, 2 ¢
b = 82 °4, 0 ¢ . 131.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : a = 112 °24, 6 ¢
A = 128 °52, 6 ¢
B + C = 101 °3, 3 ¢ . 132.­ De un triángulo esférico A B C se conocen los siguientes datos: p , A y B . Calcula c . ¿Cuántas soluciones son posibles y en que casos ?. 133.­ De un triángulo esférico A B C se conocen los siguientes datos: b , c y B ­ C . Calcula B + C . 134.­ De un triángulo esférico A B C se conocen los siguientes datos: B , b y A + C . Calcula a y c . 135.­ De un triángulo esférico A B C se conocen los siguientes datos: B , a + c y A + C . Resuelve el triángulo .
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.112 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
136.­ Resuelve el triángulo esférico A B C conociendo : a = 107 °8, 4 ¢0 c = 92 °7, 5 ¢9 A ­ C = 22 °45, 8 ¢0 . 137.­ De un triángulo esférico A B C se conocen los siguientes datos: p = 145 ° 56, 3 ¢ , A= 117 ° 58, 0 ¢ y B = 93 ° 13, 8 ¢ . Calcula los tres lados. 138.­ Un buque parte del puerto de LA CORUÑA C (lat. 43 °2 ¢0 N , Long. 8 °2 ¢5 O ) con un rumbo desconocido, a lo largo de una circunferencia máxima, hacia el Oeste, llegando a un punto A de latitud 55° N . Calcula: i) La situación del punto A . ii) Rumbo de salida y rumbo de llegada. 139.­ Las longitudes de dos puntos A y B situados en el hemisferio Norte son Long . A = 160 °O y Long . B = 165 ° E . Un buque pasa por el punto A con un rumbo de salida N 65 ° E y navegando a lo largo de una circunferencia máxima llega a B con un rumbo de llegada N 70 ° E . Calcula: i) Distancia entre A y B . ii) Latitud de A y latitud de B . 140.­ Las coordenadas de un radio­faro son R (lat. 50 ° N , Long. 160 ° E ) . En un momento dado, la demora de un buque B tomada desde R es S 60 ° E y la distancia 2100 millas . Calculas las coordenadas geográficas del buque. 141.­ Calcula la distancia entre dos puntos A ( lat. l A , Long. L A ) y B ( lat. l B , Long. L B ) de la Tierra.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.113 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
142.­ Calcula la distancia en G (lat. 43 ° 3 ¢3 N , Long. 5 °2 ¢4 O ) C (lat. 36 ° 3 ¢0 N , Long. 6 °2 ¢0 O ) . entre GIJON CADIZ 143.­ Calcula la distancia en entre Kms. G (lat. 43 ° 3 ¢3 N , Long. 5 °2 ¢4 O ) y HONG­KONG H (lat. 22 ° 1 ¢8 N , Long. 114 °1 ¢0 E ) . GIJON Kms. y 144.­ Un avión cubre la ruta : ASTURIAS A(lat. 43 ° 3 ¢6 N , Long. 5 °5 ¢7 O ) ­ SAN FRANCISCO (EE.UU.) S (lat. 37 ° 4 ¢8 N , Long. 122 °2 ¢5 O ) ­ TOKIO (JAPON) T (lat. 35 ° 4 ¢3 N , Long. 139 °4 ¢5 E ) y el regreso lo efectúa los días pares TOKIO­ASTURIAS y los días impares TOKIO­ SAN FRANCISCO­ASTURIAS. Sabiendo que en cada escala se detiene 2 horas y que su velocidad media es de 1000 km/h ,estudia que tiempo emplea en efectuar cada ruta completa (salida y llegada a ASTURIAS). NOTA: supóngase que se desplaza lo más próximo a tierra posible. 145.­ Calcula el rumbo de salida(inicial) entre dos puntos A ( lat. l A , Long. L A ) y B ( lat. l B , Long. L B ) de la superficie terrestre. 146.­ Un avión cubre la ruta : ASTURIAS A(lat. 43 ° 3 ¢6 N , Long. 5 °5 ¢7 O ) ­ SAN FRANCISCO (EE.UU.) S (lat. 37 ° 4 ¢8 N , Long. 122 °2 ¢5 O ) ­ TOKIO (JAPON) T (lat. 35 ° 4 ¢3 N , Long. 139 °4 ¢5 E ) . Calcula los rumbos iniciales en las rutas: ASTURIAS­SAN FRANCISCO , SAN FRANCISCO­TOKIO y TOKIO­ASTURIAS.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.114 ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
147.­ Calcula el vértice (punto de mayor latitud de la derrota) de la ruta entre dos puntos A ( lat. l A , Long. L A ) y B ( lat. l B , Long. L B ) de la superficie terrestre. 148.­ Un avión cubre la ruta : ASTURIAS A(lat. 43 ° 3 ¢6 N , Long. 5 °5 ¢7 O ) ­ SAN FRANCISCO (EE.UU.) S (lat. 37 ° 4 ¢8 N , Long. 122 °2 ¢5 O ) ­ TOKIO (JAPON) T (lat. 35 ° 4 ¢3 N , Long. 139 °4 ¢5 E ) .Calcula el punto más cercano al Polo Norte por los que pasa en la ruta ASTURIAS­ SAN FRANCISCO­TOKIO­ASTURIAS, dando su situación y la distancia a la que se encuentra del Polo Norte. 149.­ Dos barcos parten de dos puertos A y B situados en el Hemisferio Norte A ( lat. l A , Long. L A ) y B ( lat. l B , Long. L B ) , navegando por circunferencias máximas y con la misma velocidad; después de cierto tiempo se encuentran en el meridiano de longitud LE (meridiano situado entre los meridianos de A y B en su camino más corto). Calcula: i) La latitud del punto de encuentro. ii) Distancia recorrida. iii) Distancia entre los puertos A y B . 150.­ Dos buques que en un momento determinado se hallan en dos puntos A(lat. 20 ° N , Long. 30 ° O ) y B (lat. 35 ° N , Long. 70 ° O ) navegando por circunferencias máximas con la velocidad de 15 nudos , se encuentran en el meridiano de Longitud 45° O . Calcula: i) Tiempo de navegación hasta su encuentro. ii) Coordenadas de dicho punto de encuentro.
ISIDORO PONTE­E.S.M.C.115