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Concours blanc Lyon - mars 2015.
Rappel de la notation :
-
première partie : 13 points
deuxième partie : 13 points
troisième partie : 14 points
5 points au maximum pourront être retirés pour tenir compte de la correction syntaxique et de la
qualité écrite de la production du candidat.
Ce sujet contient 8 pages, numérotées de 1 sur 8 à 8 sur 8. La page 8 sur 8 est à rendre avec la copie.
Une note globale égale ou inférieure à 10 est éliminatoire.
L’usage de la calculatrice électronique de poche à fonctionnement autonome, sans
imprimante est autorisé.
L’usage de tout autre matériel électronique, de tout ouvrage de référence et de tout
document est rigoureusement interdit.
Si vous estimez que le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes comporte une erreur,
signalez lisiblement votre remarque dans votre copie et poursuivez l’épreuve en conséquence. De
même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou
les) mentionner explicitement.
Partie 1
Le photographe animalier Jean Baptiste est parti en expédition sur l’ile Stewart.
Pendant un an et il a pris de nombreuses photos de manchots et de leurs
poussins.
Il s’est particulièrement intéressé à la croissance de la taille de différentes
colonies de manchots.
Question 1
La carte ci-dessous représente l’ile Stewart au Sud de la Nouvelle Zélande, elle est reproduite en
annexe 1. En utilisant l’échelle de la carte, estimez la mesure de l’aire de l’ile Stewart en kilomètres
carrés (km²). Expliquez succinctement votre démarche en laissant apparents vos tracés éventuels sur
la carte en annexe 1 (page 8 sur 8 à rendre avec la copie).
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Question 2
Habituellement, un couple de manchots produit deux œufs par an. Le poussin qui sort du plus gros
des deux œufs est en général le seul à survivre. Chez les manchots Gorfous de cette région, le
premier œuf pèse environ 78 g et le second environ 110 g.
Dans quelle proportion environ le second œuf est-il plus lourd que le premier ?
Question 3
Jean Baptiste se demande comment la taille d’une colonie de manchots gorfous va évoluer au cours
des prochaines années. Pour cela il modélise cette évolution en faisant les hypothèses suivantes :
→ Au début de chaque année, la colonie comporte un nombre égal de mâles et de femelles qui
forment des couples.
→ Chaque couple de manchots élève un poussin chaque printemps.
→ À la fin de l’année, 20 % de tous les manchots (adultes et poussins) seront morts.
→ Les manchots âgés d’un an élèveront eux aussi des poussins.
a) Au début de la première année (année 00), la colonie comporte 1 000 manchots gorfous
(500 couples). À la fin de la seconde année, combien de manchots (adultes et poussins) y
aura-t-il dans cette colonie ?
Fin d’année 02
Fin d’année 03
H
I
M
N
O
Fin d’année 13
Fin d’année 01
2
G
Fin d’année 12
Année 00
1000
1
F
Fin d’année 11
E
Fin d’année 07
D
Fin d’année 06
C
Fin d’année 05
B
Fin d’année 04
A
Nombre de
manchots
b) Pour calculer l’évolution de la colonie année après année, Jean Baptiste utilise un tableur
Parmi les formules suivantes trouver celle(s) qui pourrai(en)t être entrée(s) dans la cellule C2 puis
recopiée(s) vers la droite permettant ainsi de compléter correctement la ligne C. Recopiez sur votre
copie la (les)bonne(s) réponse(s).
Formule I
Formule II
Formule III
= B2 + B2/2 – 20%
= B2*1,5 – B2*0,2
= B2*1,5 *0,8
Formule IV
Formule V
Formule VI
= B$2*1,2
= (B2+ B2/2) *0,2
= B2 + B2*20/100
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Question 4
En rentrant de son expédition, Jean Baptiste cherche sur Internet combien de poussins un couple de
manchots élève en moyenne.
Il trouve le diagramme en bâtons ci-après pour trois types de manchots : le manchot papou, le
manchot sauteur (gorfou) et le manchot de Magellan.
Fin d’année
D’après le diagramme ci-dessus, les affirmations suivantes au sujet de ces trois types de manchots
sont-elles vraies ou fausses. Justifiez.
a) Le modèle d’évolution de la taille de la colonie Gorfou élaborée par Jean Baptiste décrit bien
la réalité.
b) Sur ces 9 années les couples de Manchots Magellan ont en moyenne élevé un poussin tous
les deux ans.
c) L’évaluation du nombre moyen de poussins par couple de Manchots Papous entre 2000 et
2003 peut être modélisée approximativement par la fonction
f : x → f(x) = 0,06(x-1999)2 – 0,5(x-1999) +1,54
où x représente l’année et f(x) le nombre moyen de poussins par couple.
Question 5
Jean Baptiste découvre aussi sur Internet que certains manchots peuvent nager à 36 km/h.
Sur une course de 100 m de combien de mètre distanceraient-ils le nageur recordman du monde qui
nage cette distance en 46 secondes et 91 centièmes.
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Partie 2
Exercice 1
On justifiera toutes les réponses.
1. Peut-on trouver trois nombres entiers naturels consécutifs dont la somme est 207 ?
Si oui, lesquels ?
2. Peut-on trouver trois nombres entiers naturels consécutifs dont la somme est 329 ?
Si oui, lesquels ?
3. Caractériser les entiers naturels qui sont la somme de trois entiers consécutifs.
4. Déterminer toutes les valeurs possibles de l’entier c (avec 0 ≤ c ≤ 9) pour que le nombre dont
l’écriture est 4c85 en base 10, soit la somme de trois entiers naturels consécutifs.
Exercice 2
On considère un cercle sur lequel on place n points.
Partie A
On cherche à dénombrer tous les segments qui joignent les n points du cercle (n nombre entier)
1. Quel est ce nombre de segments lorsque n = 5 ? ; lorsque n = 6 ? , lorsque n = 11 ?
2. A partir des exemples, formuler une conjecture qui permette de calculer le nombre de
segments qui joignent les n points du cercle à partir de la donnée du nombre n de points à
relier.
Partie B
On définit deux couleurs : la couleur « noire »
et la couleur « grise »
.
Pour 4 points placés sur un cercle, un enfant colore
tous ces segments obtenus précédemment soit de
couleur « noire » soit de couleur « grise ». L’enfant
observe qu’il obtient :
-
soit un triangle monochrome (triangle dont
les trois côtés sont de la même couleur) ;
-
soit un triangle qui n’est pas monochrome
(les deux couleurs « noire » et « gris »
apparaissent dans le dessin d’au moins un
triangle par exemple).
4 points avec deux
triangles monochromes et
deux triangles nonmonochromes
4 points où aucun triangle
n’est monochrome
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1. Avec quatre points, montrer que si trois segments de couleur « noire » sont issus d’un même
point alors en complétant ce dessin, on obtiendra toujours un triangle monochrome soit de
couleur « noire », soit de couleur « grise ».
2.
a) Avec 5 points placés sur un cercle, peut-on obtenir un dessin où il n’y a aucun triangle
monochrome ? Justifier votre réponse.
b) Avec 6 points placés sur un cercle, peut-on obtenir un dessin où il n’y a aucun triangle
monochrome. Justifier votre réponse.
Exercice 3
En utilisant 3 carrés cartonnés identiques de
3 cm de côté (deux carrés sont découpés
suivant la diagonale) on peut obtenir
l’assemblage A ci-contre.
Cet assemblage est modélisé par la figure
géométrique ci-dessous.
On précise que O est le centre du carré
RSTU et que α désigne l’angle ASF.
assemblage A
L’objectif de l’exercice est d’étudier la nature
du quadrilatère ABCD.
1. Calculer la valeur de l’angle α.
2. Quelle est la nature du quadrilatère
AFBS ?
3. Montrer que les triangles AIS et BIF ont
la même aire.
4. Quelle est la nature du quadrilatère
ABCD ? Justifier votre réponse en vous
appuyant sur l’assemblage.
5. Combien vaut la mesure de l’aire de
ABCD ?
En déduire la valeur exacte de AB.
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Partie 3
Un enseignant traite les aires avec des élèves de CM 2.
Partie A
Pour commencer il leur propose le problème suivant tiré du 15éme Rallye Mathématique
Transalpin épreuve 1
Coupe et découpe
En collant des pièces qu’il avait
découpées dans du carton, Aldo a fait un
tableau qui représente deux
personnages : une fillette à gauche et un
garçon à droite.
Pour préparer les pièces de son tableau,
Aldo a utilisé plusieurs feuilles de carton,
carrées et de même grandeur. Il les a
pliées une, deux ou trois fois, puis
découpées en suivant certains des plis
obtenus
Cette figure montre une feuille carrée de
carton et les différents pliages qu’Aldo a
pu effectuer :
Selon vous, pour faire son tableau, Aldo a-t-il utilisé plus de carton pour la fillette ou pour le
garçon ?
Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.
1. Quelle propriété les élèves doivent-ils mobiliser de façon implicite pour résoudre le problème ?
2. Comment les élèves peuvent-ils s’y prendre pour répondre correctement au problème (décrire
deux procédures possibles),
3. Quel est l’objectif d’apprentissage visé par l’enseignant lorsqu’il propose cette activité ?
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Partie B
A propos des unités d’aire, l’enseignant propose l’exercice suivant
L’aire d’un carré de 1 cm de côté est le centimètre carré que l’on écrit 1 cm²
Construire une figure dont l’aire mesure 3 cm² ?
1. Dessinez deux figures de forme différente qui répondent au problème. Indiquez leurs
dimensions.
2. Pour résoudre le problème, un élève de CM2 veut construire un carré en indiquant ses
dimensions. Quelle est la principale difficulté à laquelle il pourra être confronté ?
Partie C
Plus tard dans l’année, après avoir introduit les formules de calcul d’aires du carré et du rectangle
l’enseignant propose l’exercice d’application suivant
Calculer l’aire de ce rectangle en cm².
Analyser dans un tableau les productions des élèves ci-dessous en précisant les procédures suivies
les erreurs éventuelles et en émettant une hypothèse sur leur origine. On pourra organiser les
réponses sous forme de tableau.
•
•
•
•
Aurélie : 2 × 60 = 120 +25 = 145 + 25 = 170 = 17 l’aire est égale à 17
Bastien : 6 × 2,5 × 6 × 2,5 = 225 L’aire du rectangle est de 225 cm²
Célia : 25 × 60 = 1500 l’aire du rectangle est 150 cm²
Djamel : 6 cm² + 6 cm²+ 6 moitiés de cm²= 15 cm²
Partie D
Dans la suite de sa séquence, l’enseignant propose l’institutionnalisation de la formule de calcul de
l’aire du triangle à partir de celle proposée dans le manuel « Outils pour les maths » - CM2 –
Magnard – édition 2011 :
Aire d’un triangle =
base × hauteur
2
Ces deux triangles ont une base de 2 cm
et une hauteur de 2 cm.
Ils ont une aire de 2 cm²
2 × 2 =2 .
 2

.
1. Comment cette formule peut-elle être justifiée ?
2. L’enseignant envisage de ne pas de donner la trace écrite proposée par le manuel tel quel
mais d’y apporter une modification. Laquelle et pourquoi ?
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Annexe 1
A RENDRE AVEC LA COPIE
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