PNOELEME Données - II QUELQUES PROBLEMES DE DIFFUSISN THERMIQUE : l,aplacien à 3 dimensions d'une fonction / ne dépendant que de la distance à l,origine r : A/(,): ?*rut*{ro. r dr" ' dr: II.1 Gradient de température - [.1.1 Soit un profil de température unidimensionnel 7(u), où r désigne la coordonnée le long d'un axe horizontal. La température est supposée uniforme, égale à Ti sur tout le domaine , < 0 et uniforme, égaleàT. sur tout le domaine z ) e, où e représente une certaine longueur. L espace situé dans I'intervalle 0 < r ( e est occupé par un matériau homogènà de conductivité thermique ). Læ profil de température est supposé stationnaire. En considérant un bilan d'énergie en rÉgime stationnaire, déterminer la nature du profil Z(z) pour tout r appartenant à l'intervalte [0, e], puis représenter graphiquement la fonctiàn le casoùrfr>7". "(r)'dans ll.L.2 Donner l'expression du vecteur densité de coürant thermique îq ûdéterminer le flux thermique O(,4) traversant une section transversale normale à l'axe r, d'aiie A, située en r - el2,en fonction des données du problème. Préciser la dimension ou l'unité du coefficient de conductivité À. II.1.3 0 HI W (a) - (b) Figure II.1 Assemblée de parallélépipèdes représentant des manchots Un manchot se modélise par un parallélépipède rectangle, de section carrée, de côté o et de hauteur {. (figure II.l.a). Le manchot, animal à sang chaud, maintient sa température interne Ti au moyen d'un apport métaboliquePt qui compense les pertes par conduction thermique au travers d'un revêtement de plumes d'épaisseur e et de conductivité À, face à une température extérieure 7". Le modèle de transfert thermique proposé à la question précédente est supposé valide dans le cas d'un manchot de géom étt're parallélépipédique et la fonction ô (/, ) rend compte de la déperdition thermique d'un manchot d'aire corporelle A1. Déterminer l'aire totale ,41 du parallélépipède représenté sur la figure II.l.a. - ll.l.4 Déterminer.la valeur de la conductivité thermique À du revêtement de plumes correspondant à un métabolisme 7>r : 50'W, pour une température intérieuraTi - 37"C,une température extérieure T": -20'C (y compris au niveau du so[), une épaisseur e:1cm, un côté a: 0,10 m et une hauteur [. : 0,50 m. - II.15 repÉsenté sur la Pour faire faèe à ces températures extrêmes, neuf manchots se serrent comme et latérales figure II.l.b. Le pavage carcé étantparfait, seües les faces supérieures, inférieures I" la température à pâipheriques soni suiettes aux pertes thermiques. calculer I'aire ,4s exposée interne des neuf àt tu pui..an"" métabolique Pg totale nécessaire au maintien de la température manchots. rapporté à un manDe combien le métâbolisme nécessaire au maintien de la température inteme, (comportement chot, est-il réduit lorsque les neuf manchots se serrent les uns contre les autres social thermorégulateur) ? II2 Equation de la chaleur Soituncorpshomogènedemassevolumiquepz,decoefficientthermiquemassiquec,etdeconducti. Lorsque la conduction vité thermique À. ces c-oefficients sont supposés indépendants de la température ' température obéit à 1'équaüon de thermique est seule enjeu, il est possible?e montrer que le champ de ' diffusion suivante (équation de la chaleur) : AT At où D cp. - - DLT":0 de t', À et coefficient de diffusion thermique, d'unité m2.s-1, s'exprime en fonction ^l0r"r), - ll.2.l et la diffusion thermique par Rappeler la différence entre la diffusion thermique par conduction plus efficace ? convection. Lequel des deux mécanismes est-it considéré comme - 11.2.2 de la chaleur, où Vérifier que la fonction Tc(r,t) ci-dessous est une solution de l'équation o du repère et C : nD, le produit de la origine idienne à l'origi b 12+a2+z2estladiistance euclidi constànte de diffusion par un nombre entier n à déterminer. Tc(r,,t) : QrCt)-"' "*O r2\ ( --1. ct) II.2.3 de température initialement La solution Tc représente l'évolution temporelle d'une distribution :0,A :0 et z - 0. localisée autour dù point O de coordonnées tr de la températute Tç(0,ü) du Déterminer la for.iio, fo1) représentant l'évolution temporelle point O. t) Déterminer le comportement aux grandes valeurs de t de Tç(0, des points dont la température est Déterminer le .uyon Ê(ü) de la ,phèr., centrée sur l'origine o, supérieure ou égale à To(t) 12. ü sur une distance d'ordre (Dü)", En déduire que l'énergie thermique diffuse au bout d'un temps où a est un exposant fractionnaire à déterminer. II3 Diffusion en présence de convection Unesphèrepleinemétalliquehomogènederayon'B'estplacéeaucontactd'unmilieuàtempérature ?".laprésencedeconvecüonassurelemaintienauvoisinagedelasurfacedelabouled,unetempérature d" 11 blü. se fait par conduction uniquement. La constante Q. La diffusion a"Jqr. il;rriérieo. les pertes est notée ?,(t) : T(R",t). on admet que température à la surface .^re.ir.Ë o" ru boule loi : la sphère vers le milieu extérieur vérifient la ,tr"ri-qr.t a f" .urface de iÿ,(r) : h(T'(t) -7") oùhestuncoefflcientdetransfertthermiquequidépenddel,étatdeconvectiondufluideenvironnant, i, r. puittun". quittant la sphère par unité de surface et ?"(t) > Q' la boule. -§.i.,1 . Ecrire l'équation de la chaleur en un point r quelconque de I'intérieur de - 11.3.2 Justifier par un argument physique la relation ci-dessous : aTl -À-l dT lr:R" -hx(7"-7") - II.3.3 Réécrire l'équation de diffusion et la condition de continuité en O(r, t) : T(r,t) - ?".On pourra introduire la quantité O" - T, - 7". R" pour la différence - II.3.4 On recherche une solution O(r, ü) sous la forme d'un produit de variables séparées et g sont supposées partout non nulles. Montrer que : hl?''n'*r"(')] :# /(r)g(t), où "f ÿ Justifier que la fonction temporelle g(ü) ainsi obtenue décroît exponentiellement avec [e temps, comme g(t) s(0) exp(-ü lr). : - II.3.5 Rechercher une solution de l'équation précédente sous la forme : r?)- ""f", Montrer que l'on obtient bien une solution de l'équation obtenue en II.3.4, à condition de poser a2Dr - 1. Quelle est la limite de /(r) lorsque r tend vers 0? - II.3.6 Exploiter la condition en R, obtenue aux questions 11.3.2 et II.3.3, et montrer que le produit r : aR, vérifie l'équation transcendante : - cos(r) t_r,,"(d hR" _Nu où le produit sans dimension Nu est appelé nombre de Nusselt. - tr.3.1 . : 0 de la fonction 1 r cotan(z), puis Donner le premier terme du développement limité en ., que que, quelle soit la valeur de Nu, il existe une racine En déduire I'allure de celle-ci. tiacer positive de l'équation obtenue à la question précédente. - - ç .1.8. La plus petite racine positive de l'équation ci-dessus contrôle le comportement asymptotique aux temps longs de la température de la sphère. Montrer que le temps de décroissance exponentielle de la température de la sphère se comporte alors comme : ,-ffi R? si Nu(1; R? r- jTÉ si Nu)1. - II.3.9 Calculer numériquement le temps caractéristique T pour une sphère de plomb, caractérisée par les grandeurs suivantes : h:5,8 v/.K-l.m-2 , R":0, 1 m, cp:130 J.K-tkg-', F: l, 13 x 104 kg.m-3, À : 3b SI.