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Université de Picardie Jules Verne
M1 EEAII ViRob
2014-2015
Robotique Industrielle
TD 3: Modèle cinématique direct et inverse
Exercice 1 : Produit vectoriel
Soient a, b, c ∈  3, et soit S(a) la matrice antisymétrique associée au vecteur
a = [a1 , a2 , a3]T, à savoir:
Vérifier les propriétés du produit vectoriel "×" suivantes:
• a×a=0
• a × b = -b × a = -S(b)a [anticommutativité]
• a × (b + c) = (a × b) + (a × c) [distributivité]
• a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0 [identité de Jacobi]
• S(αa + βb) = αS(a) + βS(b) où α, β ∈ 
• R(a × b) = Ra × Rb où R est une matrice de rotation 3 × 3
Exercice 2 : Calcul du jacobien géométrique
6xn
Déterminer le jacobien géométrique J ∈ 
des robots suivants:
• Manipulateur planaire à 2 segments (RR)
• Manipulateur cylindrique
• Poignet sphérique
• Manipulateur anthropomorphe avec poignet sphérique
• Manipulateur DLR
Exercice 3 : Singularités cinématiques
Vérifier que les valeurs des variables articulaires suivantes correspondent à des
singularités cinématiques pour les robots ci-dessous (conseil: étudier le rang du jacobien
géométrique J):
• θ5 = 0 (c'est-à-dire, les axes z3 et z5 sont alignés), pour le poignet sphérique
• θ3 ∈ {0, π}, pour le manipulateur anthropomorphe
• {θ2 ,θ3 ∈ : a2 cos(θ2) + a3 cos(θ2 + θ3) = 0}, pour le manipulateur anthropomorphe
• θ2 ∈ {0, π}, pour le manipulateur SCARA à 4 DDL
Faire un dessin tridimensionnel de chaque robot dans les configurations singulières.
Exercice 4 : Cinématique différentielle inverse
Les vitesses linéaires et angulaires de l'organe terminale d'un manipulateur cylindrique
avec d1 = 0.5 m et variables articulaires θ1 = π/4, d2 = d3 = 0.25 m, sont:
•
•
Déterminer une solution possible pour le vecteur des vitesses articulaires du robot.
Développer une fonction MATLAB qui calcule la cinématique différentielle
inverse du manipulateur cylindrique à partir des valeurs de d1, θ1, d2, d3 et des
vitesses de l'organe terminale fournies par l'utilisateur.
Fabio Morbidi
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