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Bac Blanc Mathématiques – T2S – Durée : 2h
Il sera tenu compte de la présentation et de la clarté des raisonnements. Calculatrice autorisée.
Tous les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque.
Exercice 1 :
Un logiciel de messagerie électronique comporte un module chargé de filtrer les messages indésirables. Parmi les messages reçus par
un particulier sur l'ordinateur duquel est installé ce logiciel, la première semaine de janvier, on constate que:
•
80% des messages entrants sont indésirables;
•
95% des messages indésirables sont éliminés;
•
1% des messages bienvenus sont éliminés.
On tire un message au hasard parmi les messages parvenus sur la messagerie de ce particulier la première semaine de janvier.
On considère les événements suivants:
•
I : « le message est indésirable» ;
•
B : « le message est bienvenu» ;
•
E : « le message est éliminé» ;
•
C : « le message est conservé ».
Partie A : Utilisation d'un tableau
La première semaine de janvier, le particulier a reçu 1 000 messages. Les résultats seront arrondis à 10−3
1.
2.
3.
4.
5.
Compléter le tableau en annexe 1 et le rendre avec la copie.
Déterminer les probabilités conditionnelles P I ( E) , P I (C) , P B ( E ) , P B (C ) .
Quelle est la probabilité qu'un message soit indésirable et conservé?
Montrer que la probabilité qu'un message soit éliminé est 0,762.
Calculer la probabilité que, sachant qu'il est conservé, un message soit indésirable.
Partie B : Utilisation d'un arbre pondéré
1. Compléter l’arbre pondéré ainsi que la colonne « probabilité du résultat » - voir annexe 2.
2. Calculer P (C) .
3. Les événements I et C sont-ils indépendants ?
Exercice 2 :
En médecine, le taux d'hématocrite est le rapport du volume des globules rouges circulant dans le sang sur le volume total de sang.
Chez l'homme, la valeur est normale si ce taux est compris entre 0,4 et 0,52.
1. Un patient arrive en urgence à l'hôpital et on mesure un taux d'hématocrite qui vaut 0,36. Pour augmenter ce taux, on lui injecte
un médicament. On contrôle régulièrement son taux d'hématocrite pendant les huit premières heures. On définit sur l'intervalle la
[0; 8] fonction f , qui à t, la durée en heures depuis la prise du médicament, associe le taux d'hématocrite du patient. La fonction f
est représentée en annexe. En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :
a. Quelle durée sera écoulée depuis la prise du médicament pour avoir un taux d'hématocrite maximal ? Quel est alors ce taux ?
On donnera ces réponses sur la copie.
b. Pour quelles valeurs de t dans l'intervalle [0; 8] , le taux d'hématocrite du patient est-il normal ?
c. On a représenté la droite (AB) tangente à la courbe au point A.Déterminer le nombre dérivé de f en 0 et l'équation de la
droite (AB).
2. Huit heures après l'injection du médicament, constatant que le taux d'hématocrite est à nouveau anormale, on injecte un autre
médicament. Le taux d'hématocrite est alors donnée par g(t) où g est la fonction définie sur l'intervalle [8 ; 20] par
2
g(t )=−0,003t + 0,09 t −0,17 t représentant la durée écoulée depuis l'injection du premier médicament.
a.
b.
c.
d.
e.
Déterminer g'(t), où g' est la fonction dérivée de la fonction g.
Compléter le tableau des valeurs g(t) donnée en annexe 3, à rendre avec la copie. (on arrondira les valeurs à 10−2 près)
Représenter graphiquement la fonction g dans le repère de l'annexe 3, à rendre avec la copie.
Combien de temps après la prise de ce second médicament le taux d'hématocrite du patient est-il redevenu normal ?
Déterminer l'équation de la tangente au point C d'abscisse 20. La représenter sur le graphique en annexe 3.
1/4
Exercice 3 : QCM
Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat notera sur sa copie, le numéro de la réponse de chaque question suivi de la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte ajoute un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.
L’évolution de l’endettement d’une entreprise est donnée par le tableau, extrait d’une feuille de calcul.
A
B
C
D
E
F
G
1
Année
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2
Endettement en milliers d'euros
400
410
3
Pourcentage d’évolution entre
deux années consécutives
1. Le pourcentage d’augmentation de l’endettement de l’entreprise entre les années 2011 et 2012 est :
a.
b.
c.
d.
0,25%
2,5%
10,25%
0,025%
2. À partir de l’année 2012, on admet que l’endettement de l’entreprise diminuera chaque année de 5%.
La formule à saisir dans la cellule D2, qui recopiée vers la droite, permettra d’afficher les valeurs
en milliers d’euros de l’endettement de l’entreprise pendant les années qui suivent 2012 est :
a.
b.
c.
d.
=410*0,95
=C2*0,05
=C2*0,95
=$C$2*0,95
3. On désigne par n un entier naturel. On note (un ) l’endettement de l’année 2012+n, ainsi u 0 =410 .
L’endettement de l’entreprise en milliers d’euros pendant l’année 2020 est :
a.
b.
c.
d.
u 8= 410×0,958
u 8= 410×0,959
u 9 =410×0,95 8
u 9 =410×0,95 9
4. On cherche à partir de quelle année l’endettement de l’entreprise aura diminué de moitié. Quelle inégalité doit vérifier le nombre
n:
a.
b.
c.
d.
n≤13
n≥13
n≤14
n≥14
5. Dans le tableau les cellules C3 à G3 sont en pourcentages. La formule à saisir dans la cellule C3, qui recopiée vers la droite,
permet d’afficher le pourcentage d’évolution de l’endettement de l’entreprise entre deux années consécutives est :
a.
b.
c.
d.
=($C2-$B2)/$B2
=C2-B2/B2
=C2/B2
=(C2-B2)/B2
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Nom :
Prénom :
ANNEXE 1.
Nombre de messages
indésirables
Nombre de messages
bienvenus
Total
Nombre de messages
éliminés
Nombre de messages
conservés
Total
1000
ANNEXE 2.
Probabilité du résultat
P ( I∩ E ) =
P ( I∩C ) =
….
….
3/4
Nom :
Prénom :
ANNEXE 3.
taux d'hématocrite
Durée en heures
tableau de valeurs de la fonction g :
t
8
9
10
11
12
13
14
g(t)
4/4
15
16
17
18
19
20