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REVISIONS VACANCES AVRIL 2015 CLASSE 302
Exercice 2
4 points − 10 minutes
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
de 18 et 36 est 9.
1.
Le
3.
Le carré de 3√5 est égal à 15.
Corrigé
9
est .
4
2.
Le double de
4.
Pour tous nombre , on a : (2 + 3) = 9 + 2 (2 + 3).
1.
18 est un diviseur de 36 donc PGCD(18 ; 36) = 18. Il est faux de dire que
2.
Le double de
3.
4.
3√5
(18; 36) = 9.
9
9
9
9 2×9 2 ×9 9
est : 2 × =
=
= . Il est vrai de dire que le double de est .
4
4
2
4
4
2 ×2 2
= 3² × √5
= 9 × 5 = 45. Il est donc faux de dire que le résultat du calcul est 15.
Calculons les formes développées du membre de gauche et du membre de droite de l’égalité à tester :
(2 + 3)
= (2 ) + 2(2 )(3) + (3)
= 4 ² + 12 + 9
9 + 2 (2 + 3)
= 9+4 +6
= 4 ²+6 +9
Les deux formes développées obtenues sont différentes, donc l’égalité à tester est fausse.
2013 Centres Etrangers Exercice 4
7 points − 15 minutes
Le nombre d’abonnés à une revue dépend du prix de la revue.
Pour un prix compris entre 0 et 20€, le nombre d’abonnés est donné par la fonction telle que : ( ) = −50 + 1250.
La recette, c’est-à-dire le montant perçu par l’éditeur de cette revue, est donnée par la fonction telle que :
( ) = −50 + 1250 .
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction et celle de la fonction ( page suivante ) :
Révision Avril 2015 Classe 302 page 1 sur 7
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
Le nombre d’abonnés est-il proportionnel au prix de la revue ? Justifier.
Vérifier, par le calcul, que : (10) = 750 et interpréter concrètement ce résultat.
La fonction est-elle affine ? Justifier.
Déterminer graphiquement pour quel prix la recette de l’éditeur est maximale.
Déterminer graphiquement les antécédents de 6 800 par .
Lorsque la revue coûte 5 euros, calculer le nombre d’abonnés et la recette.
Corrigé
1.
2.
3.
4.
La représentation graphique de la fonction n’est pas une droite passant par l’origine de repère donc la fonction n’est
pas linéaire, et par conséquent le nombre d’abonné n’est pas proportionnel au prix de la revue.
D’autres méthodes existent, mais comme la représentation graphique de la fonction A est donnée, il convient de privilégier
une lecture graphique.
On sait que : ( ) = −50 + 1250, donc : (10) = −50(10) + 1 250 = −500 + 1 250 = 750.
On a bien (10) = 750. Lorsque le prix de la revue est 10€, il y a alors
abonnés.
La représentation graphique de la fonction n’est pas une droite, donc la fonction R n’est pas une fonction affine.
Par lecture graphique ( construction en bleu ), la recette semble maximale lorsque la revue coûte 12,5€.
Révision Avril 2015 Classe 302 page 2 sur 7
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5.
6.
Déterminons graphiquement les antécédents de 6 800 par la fonction
Par lecture graphique ( construction en rouge ) : la droite d’équation = 6 800 coupe la courbe de la fonction en deux
points et d’abscisses respectives 8 et 17, donc le nombre
admet deux antécédents par : et .
Question : Lorsque la revue coûte 5 euros, déterminer le nombre d’abonnés et la recette.
On sait que : ( ) = −50 + 1 250, donc : (5) = −50(5) + 1 250  (5) = −250 + 1 250  (5) = 1 000.
On sait que : ( ) = −50 ² + 1 250 , donc : (5) = −50(5)² + 1 250(5)  (5) = −50 × 25 + 6 250
 (5) = 5 000.
Lorsque la revue coûte 5€, il y aura
abonnés, et la recette sera de
€.
Ces résultats sont en accord avec une lecture graphique du nombre d’abonnés et de la recette.
4 points − 5 minutes
2013 Nouvelle Calédonie Exercice 1
Question posée
A
1. Une fourmi se déplace à :
2. La distance de la Terre à la Lune est :
3. Une écriture simplifiée de
125
est :
625
4. √12 est égal à
Corrigé
1.
2.
3.
4.
4
/
3,84 × 10
1
6
6
Réponses proposées
B
4
/
3,844 × 10
1
5
4√3
C
4
3 844
/
125,625
2√3
Réponse C. Explication : on procède par élimination : en 1 , il est impossible à une fourmi d’effectuer 4 , ou 4 , alors que
4
semble raisonnable, ce qui donne une vitesse de 4 / .
Réponse A. Explication : on procède par élimination, les distances des réponses B et C étant beaucoup trop faibles.
125 1 × 125 1
Réponse B. Explication :
=
=
625 5 × 125 5
Réponse C. Explication : √12 = √4 × 3 = √4 × √3 = √2 × √3 = 2√3
2014 Amérique du Nord Exercice 9
5 points − 20 minutes
Certaines écluses ont des portes dites « busquées » qui forment un angle pointé vers l’amont de manière à résister à la
pression de l’eau. En vous appuyant sur le schéma ci-dessous, déterminer la longueur des portes au cm près.
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.
Révision Avril 2015 Classe 302 page 3 sur 7
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Corrigé
On sait que
=
. Posons
=
=
.
Remarque : on dispose de deux rédaction : la première utilise une propriété des triangles isocèles, l’autre la redémontre dans le cas
particulier de l’exercice. Privilégiez la rédaction la plus directe : la première.

Première rédaction
On sa place dans le triangle
.
On sait que :
=
.
On utilise la définition d’un triangle isocèle : un triangle est isocèle lorsqu’il a deux côtés de même longueur.
On en déduit que : le triangle
est isocèle en .
On utilise la propriété : si un triangle est isocèle, alors la médiane et la hauteur issue du sommet principal sont confondues.
Comme est le pied de la hauteur issue de du triangle
isocèle en , on en déduit qu’il est aussi le milieu de [ ], et
par conséquent que :
= ×
= × 5,8 = 2,9 

Deuxième rédaction
Montrons que
=
On sait que : le triangle
est rectangle en .
On utilise : le théorème de Pythagore.
On en déduit que :
²+
²=
². En utilisant les distances connues, on obtient :
²+
²= ²
²= ²−
(1).
De même, dans le triangle
, on obtient :
²+
²=
², puis
²+
² = ² et enfin :
² = ²−
( 2).
Les égalités (1) et (2) impliquent que
²=
², puis que
=
.
Calculons
appartient à [
HA =
5,8

2
Calculons
] et
=
donc
= 2,9. 
est le milieu de [
On sait que ( ) est perpendiculaire à la paroi et [
 = 35° .
 HAP
Calculons
On sait que :
est un triangle rectangle en
On utilise : la définition de cosinus.
On en déduit que : cos
=
], et par conséquent HA =
.
En utilisant les angle et distance connues on obtient : cos 35° =
Par la méthode du produit en croix on obtient : cos 35° ×
≈ 3,54.
Chacune des deux portes mesure environ ,
= 5,8 on en déduit
 = 90° − 55°
] forme un angle de 55° avec la paroi, donc : HAP
.
A l’aide de la calculatrice, on obtient
AB
. Comme
2
, arrondi au
,
.
= 2,9 
=
,
°°
.
Révision Avril 2015 Classe 302 page 4 sur 7
.
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2014 Métropole Exercice 3
Voici un programme de calcul :
5 points − 15 minutes
1.
2.
Montrer que si on choisit 8 comme nombre de départ, le
programme donne 12 comme résultat.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est
vraie ou fausse.
On rappelle que les réponses doivent être justifiées.
Le programme peut donner un résultat négatif.
si on choisit
le programme donne
comme nombre de départ,
comme résultat.
Le programme donne 0 comme résultat pour
exactement deux nombres.
La fonction qui, au nombre de départ, associe
le résultat du programme est une fonction linéaire.
Corrigé
1.
Choisir un nombre de départ : 8
soustraire 6 au nombre de départ : 8 − 6 = 2
soustraire 2 au nombre de départ : 8 − 2 = 6
multiplier les deux résultats précédents : 2 × 6 = 12
Le résultat final est bien égal à 2.
2.
. :
Par exemple si on prend 3 pour nombre de départ :
soustraire 6 au nombre de départ : 3 − 6 = −3 ;
soustraire 2 au nombre de départ : 3 − 2 = 1 ;
multiplier les deux résultats précédents :
−3 × 1 = −3.
Le résultat final, −3, est bien un nombre négatif.
. :
soustraire 6 au nombre de départ :
1
1 12 1 − 12 −11
−6 = − =
=
2
2 2
2
2
1
1 4 1 − 4 −3
−2 = − =
=
2
2 2
2
2
multiplier les deux résultats précédents :
soustraire 2 au nombre de départ :
−11 −3 ( −11) × ( −3) +33 33
×
=
=
=
.
2
2
2×2
4
4
33
Le résultat final est bien égal à
.
4
Révision Avril 2015 Classe 302 page 5 sur 7
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Soit
∶
un nombre de départ.
soustraire 6 au nombre de départ :
−6;
soustraire 2 au nombre de départ : − 2 ;
multiplier les deux résultats précédents :
( − 6) × ( − 2).
Le résultat du programme de calcul est nul
 ( − 6) × ( − 2) = 0.
On reconnaît une équation produit nul.
On utilise la règle : un produit de facteurs est nul si et
seulement si au moins un des facteurs est nul.
On en déduit que l’équation précédente est
équivalente à : − 6 = 0 ou − 2 = 0
 = 6 ou = 2.
Il y a donc exactement deux nombres de départ qui
donneront 0 comme résultat du programme de calcul.
2014 Métropole Exercice 6
:
Méthode. 1
Soit un nombre de départ.
On a vu, lors de l’examen de la proposition précédente, que le
résultat du programme de calcul est : ( − 6) × ( − 2).
Développons cette expression : = ( − 6) × ( − 2)
 = ² − 2 − 6 + 12  = ² − 8 + 12.
La forme développée n’est pas du type , donc la fonction
étudiée n’est pas linéaire.
Méthode.2
si ‘on choisit 0 comme nombre de départ :
soustraire 6 au nombre de départ : 0 − 6 = −6 ;
soustraire 2 au nombre de départ : 0 − 2 = −2;
multiplier les deux résultats précédents :
(−6) × (−2) = 12. On a donc : (0) = 12.
Or pour toutes les fonctions linéaires, l’image de 0 est
nécessairement 0, donc ne peut pas être une fonction linéaire.
6 points − 20 minutes
Pour savoir si les feux de croisement de sa voiture sont réglés correctement, Pauline éclaire un mur vertical comme l’illustre
le dessin suivant :
Pauline réalise le schéma ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle) et relève les mesures suivantes :
= 0,65 ,
=
= 5 et
= 0,58 .
Pour que l’éclairage d’une voiture soit conforme, les constructeurs déterminent l’inclinaison du faisceau.
Cette inclinaison correspond au rapport
1.
2.
3.
QK
. Elle est correcte si ce rapport est compris entre 0,01 et 0,015.
QP
Vérifier que les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison de 0,014.
Donner une mesure de l’angle
correspondant à l’inclinaison. On arrondira au dixième de degré.
Quelle est la distance
d’éclairage de ses feux ? Arrondir le résultat au mètre près.
Révision Avril 2015 Classe 302 page 6 sur 7
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Corrigé
1.
Les points , ,
0,58 +
sont alignés dans cet ordre donc
= 0,65 
= 0,65 − 0,58 
+
=
. En utilisant les distances connues on obtient :
= 0,07. Par définition, l’inclinaison du faisceau lumineux est i =
0, 07
0, 07 × 2
0,14
 i=
 i=
 i = 0,014 .
5
5× 2
10
Les feux de croisement de Pauline sont bien réglés avec une inclinaison de ,
.
QK
.
QP
En utilisant les distances connues, on obtient : i =
2.
On sait que : le triangle
=
est rectangle en . On utilise : la définition de la tangente. On en déduit que : tan QPK
En utilisant la valeur connue du rapport
A l’aide de la calculatrice on obtient :
3.
QK
.
QP
QK
 = 0, 014 . Donc : QPK
 = A rctan ( 0, 014 ) .
= i , on obtient : tan QPK
QP
≈ , °, arrondi à 0,1°.
Montrons que : ( )//( ).
On sait que : ( )^( ) et ( )^( ).
On utilise : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
On en déduit que : ( )//( ).
Calculons
On sait que : ( ) et ( ) sont sécantes en , et ( )//( ).
On utilise : le théorème de Thalès.
x
SK 0,58
SC SK CK
=
=
On en déduit que :
. En utilisant les distances connues et en posant = , on obtient :
=
=
SA SP AP
x + 5 SP 0,65
x
0,58
=
On garde :
. Par la méthode du produit en croix on obtient : × 0,65 = ( + 5) × 0,58
x + 5 0,65
2,9
 0,65 = 0,58 + 2,9  0,65 − 0,58 = 2,9  0,07 = 2,9  x =
.
0,07
2,9
= AS , puis à l’aide de la calculatrice : ≈ arrondi au mètre.
En utilisant les distances connues on obtient : 5 +
0,07
Révision Avril 2015 Classe 302 page 7 sur 7