Chapitre 3 Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours) 3.1 Rappel des espaces de Banach et de Hilbert Espace de Banach Soit {un }n∈N une suite dans un espace norm´e (V, k · k). On dit que cette suite est de Cauchy si : lim kun − um k = 0. n,m→∞ L’espace norm´e (V, k · k) est appel´e un espace de Banach si toute suite de Cauchy dans V converge vers un e´ l´ement de V (dans la norme k · k). En d’autres mots, un espace de Banach est un espace norm´e complet. Exemple 2. Soit Ω un ouvert born´e de Rd ; l’espace V = C 0 (Ω) est un espace de Banach avec la norme du maximum : kvk∞ = max |v(x)|. x∈Ω Par contre, mˆeme si l’application k · kp : C 0 (Ω) −→ R (1 ≤ p < ∞), d´efinie par Z kvkp = p 1 p |v| , ∀v ∈ V, Ω est une norme sur C 0 (Ω), le couple C 0 (Ω), k · kp n’est pas un espace de Banach. Un produit scalaire dans un espace lin´eaire V est une forme (·, ·) : V × V −→ R avec les propri´et´es suivantes : 1. (u, u) ≥ 0, ∀u ∈ V et (u, u) = 0 ⇔ u = 0 ; 2. (u, v) = (v, u), ∀u, v ∈ V ; 3. (αu + βv, w) = α(u, w) + β(v, w), ∀u, v, w ∈ V, 27 α, β ∈ R. 28 Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours) Le couple (V, (·, ·)) est dit un espace lin´eaire muni d’un produit scalaire. Th´eor`eme 3.1.1 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz). Soit (V, (·, ·)) un espace lin´eaire muni d’un produit scalaire. Alors on a que p p |(u, v)| ≤ (u, u) (v, v), ∀u, v ∈ V. Noter que le th´eor`eme reste valable lorsque le produit scalaire n’est que semi-d´efinit positif. Espace de Hilbert Th´eor`eme 3.1.2. Soit (V, (·, ·)) un espace lin´eaire muni d’un produit scalaire. Posons kvk = p (v, v) pour tout v ∈ V . Alors le couple (V, k · k) est un espace norm´e et |(u, v)| ≤ kukkvk, ∀u, v ∈ V. Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire. Exemple 3. L’espace (Rd , k · k2 ) est un espace de Hilbert. En effet, v u d uX p kxk2 = u x2i = (x, x), ∀x = (xi )di=1 ∈ Rd , u u i=1 t| {z } (x,x) o`u (·, ·) est le produit scalaire dit euclidien. Soit Ω un ouvert born´e de Rd ; les espaces L2 (Ω) et H1 (Ω) qu’on introduira dans les paragraphes suivants sont aussi des espaces de Hilbert. On introduit maintenant deux r´esultats fondamentaux concernant les espaces de Hilbert. Lemme 3.1.1 (Th´eor`eme de representation de Riesz (pas fait au cours)). Soit H un espace de Hilbert. Pour tout F ∈ H 0 (l’espace dual de H), il existe un unique v ∈ H tel que F (x) = (v, x)H , ∀x ∈ H (3.1) et, en plus, kF kH 0 = kvkH . L’identification est ainsi une isom´etrie. On peut aussi d´emontrer le r´esultat de projection suivant : Lemme 3.1.2 (Th´eor`eme de projection (pas fait au cours)). Soit H un espace de Hilbert et V ⊂ H un sous-espace ferm´e de H. Pour tout x ∈ H, il existe un unique PV x ∈ V tel que kPV x − xk = inf ky − xk y∈V et satisfait (PV x, y) = (x, y) De plus, on a que (x − PV x) ∈ V ⊥ ∀y ∈ V. et PV x = x ⇐⇒ x ∈ V. c CMCS - EPFL, 2001-2013 Copyright 29 Les distributions 3.2 Les distributions Soient Ω un ouvert de Rd (d ≥ 1) et une fonction f : Ω −→ R. On appelle support de f l’ensemble suppf = {x ∈ Ω| f (x) 6= 0}. On dit que la fonction f est a support compact s’il existe un sous-ensemble compact K ⊂ Ω tel que suppf ⊂ K. On d´efinit ainsi l’espace D(Ω) par D(Ω) = {f ∈ C ∞ (Ω)| f est a` support compact} . On introduit maintenant la notation multi-indice pour les d´eriv´ees de f . Soit α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Nd avec |α| = α1 + . . . + αd . On note Dα f (x) = ∂ |α| f (x) . ∂xα1 1 . . . ∂xαd d ´ Etant donn´ee une suite {φn }n∈N dans D(Ω), on dit que celle-ci converge vers φ ∈ D(Ω) dans D(Ω) si : 1. il existe un sous-ensemble compact K ⊂ Ω tel que suppφn ⊂ K, ∀n ∈ N; 2. on a que Dα φn −→ Dα φ, ∀α ∈ Nd , la convergence e´ tant exprim´ee au sens de la norme uniforme. On peut maintenant d´efinir l’espace des distributions sur Ω. Soit T une application lin´eaire de D(Ω) dans R. On d´enote par hT, ϕi la valeur de T correspondant a` l’´el´ement ϕ ∈ D(Ω), c-`a-d hT, ϕi = T (ϕ). On dit que T est continue si lim hT, ϕn i = hT, ϕi, n→∞ o`u {ϕk }k∈N est une suite arbitraire de D(Ω) qui converge vers ϕ dans D(Ω). On appelle distribution sur D(Ω) toute application T : D(Ω) −→ R lin´eaire et continue. L’espace des distributions sur Ω est l’espace D0 (Ω), dual de D(Ω), c’est-`a-dire, l’espace des applications T : D(Ω) −→ R lin´eaires et continues (au sens sp´ecifi´e ci-dessus). Exemple 4. Soit a un point de Ω. Le delta de Dirac relatif au point a, d´enot´e par δa , est la distribution d´efinie par hδa , ϕi = ϕ(a), ∀ϕ ∈ D(Ω). En fait, δa est lin´eaire hδa , ϕ + ψi = (ϕ + ψ)(a) = ϕ(a) + ψ(a) = hδa , ϕi + hδa , ψi, ∀ϕ, ψ ∈ D(Ω), et est continue lim hδa , ϕn i = lim ϕn (a) = ϕ(a) = hδa , ϕi, n→∞ n→∞ ∀ϕn ∈ D(Ω) tel que lim δn = δ. c CMCS - EPFL, 2001-2013 Copyright n→∞ 30 Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours) On dit qu’une suite de distributions {Tn } converge dans D0 (Ω) vers une distribution T si : lim hTn , ϕi = hT, ϕi, n→∞ ∀ϕ ∈ D(Ω). Consid´erons l’espace L2 (Ω) des fonctions a` carr´e sommable d´efini par Z 2 2 L (Ω) = f : Ω → R Lebesgue mesurable |f (x)| dx < ∞ . Ω Cet espace est un espace de Hilbert avec le produit scalaire Z f (x)g(x)dx. (f, g)L2 (Ω) = Ω La norme de L2 (Ω) associ´ee a` ce produit scalaire est donc donn´ee par sZ |f (x)|2 . kf kL2 (Ω) = Ω ` toute fonction f ∈ L2 (Ω) on associe une distribution Tf ∈ D0 (Ω) d´efinie par : A Z hTf , ϕi = f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω). (3.2) Ω On a le r´esultat suivant : Lemme 3.2.1. L’espace D(Ω) est dense dans L2 (Ω). En d’autres mots, toute fonction f ∈ L2 (Ω) peut eˆ tre approch´ee (dans la norme (k · kL2 (Ω) ) par des fonctions de D(Ω). ` l’aide de ce r´esultat on peut montrer le r´esultat suivant, qui permet d’identifier L2 (Ω) avec un A sous-ensemble de D0 (Ω) (ce qui revient a` e´ crire L2 (Ω) ⊂ D0 (Ω)). L Dp D Lemme 3.2.2. L’application f ∈ L2 (Ω) −→ Tf ∈ D0 (Ω), d´efinie par (3.2), est injective. c CMCS - EPFL, 2001-2013 Copyright 31 Les distributions D´emonstration. L’injectivit´e de l’application f 7−→ Tf d´ecoule du fait que D(Ω) est dense dans L2 (Ω) (lemme 3.2.1). En effet, supposons que Tf = 0 et soit {φn }n∈N ⊂ D(Ω) une suite telle que φn −→ f dans L2 (Ω). Alors Z Z 0 = lim hTf , φn i = lim f (x)φn (x) = |f (x)|2 , n→∞ n→∞ Ω Ω ce qui implique que f = 0. L’application f 7−→ Tf est donc injective. Exemple 5. Soit Ω = R et χ[a,b] la fonction caract´eristique de l’intervalle [a, b], d´efinie par : χ[a,b] (x) = 1 si x ∈ [a, b], 0 autrement . Propri´et´e : δ0 peut eˆ tre approxim´e par une suite de fonction de L2 (Ω). n On consid`ere la suite de fonctions fn = χ[−1/n,1/n] . On peut v´erifier que la suite de distributions 2 R associ´ees hTfn , ϕi = R fn (x)ϕ(x)dx converge vers la distribution δ0 . En effet, pour chaque ϕ ∈ D(Ω) on a Z 1 n n n hTfn , ϕi = ϕ(x)dx = (Φ(1/n) − Φ(−1/n)) , 2 −1 2 n avec Φ la primitive de ϕ. En posant h = 1/n on tire que hTfn , ϕi = Φ(h) − Φ(−h) , 2h ce qui converge vers Φ0 (0) lorsque h → 0, e´ quivalemment lorsque n → ∞. Donc, lim hTfn , ϕi = Φ0 (0) = hδ0 , ϕi, n→∞ c’est-`a-dire, Tfn −→ δ0 dans D0 (Ω). Soit T ∈ D0 (Ω) avec Ω un ouvert de Rd . La d´eriv´ee partielle de T par rapport a` xi (i = 1, . . . , d) au sens des distributions est une nouvelle distribution d´efinie de la mani`ere suivante : ∂T ∂ϕ , ϕ = − T, , ∀ϕ ∈ D(Ω). ∂xi ∂xi De mani`ere analogue on peut d´efinir les d´eriv´ees successives. Pour chaque multi-indice α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Nd , on d´efinit hDα T, ϕi = (−1)|α| hT, Dα ϕi , c CMCS - EPFL, 2001-2013 Copyright ∀ϕ ∈ D(Ω). 32 Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours) Exemple 6. La fonction de Heaviside H sur R d´efinie par 1 si x > 0, H(x) = 0 si x ≤ 0, admet comme d´eriv´ee, au sens des distributions, la distribution de Dirac relative a` l’origine, c’est-`a-dire, H 0 = δ0 dans D0 (R). Exemple 7. On consid`ere trois points xi−1 , xi , xi+1 tels que xi − xi−1 = xi+1 − xi = h et la fonction f ∈ L2 (R) d´efinie comme x − xi−1 si xi−1 ≤ x ≤ xi , xi − xi−1 xi+1 − x f (x) = si xi ≤ x ≤ xi+1 , xi+1 − xi 0 autrement. a1 af x1 x2 x3 Au sens des distributions, on a : hTf0 , ϕi Z 0 xi+1 = f 0ϕ + Z xi+1 1 h f 0ϕ = xi xi−1 donc Tf0 = xi+1 xi xi−1 xi−1 xi Z 0 fϕ − fϕ = − = −hf, ϕ i = − Z xi Z 0 Z xi Z xi+1 ϕ− xi−1 f ϕ0 ! ϕ , xi 1 χ[xi−1 ,xi ] − χ[xi ,xi+1 ] . h L’ensemble D0 (Ω) est ferm´e par rapport a` l’op´erateur de d´erivation (au sens des distributions). En autres mots, toute distribution est infiniment d´erivable. On peut montrer que l’op´erateur de d´erivation (au sens des distributions) est continu c’est a` dire que si Tn −→ T dans D0 (Ω), alors Dα Tn −→ Dα T dans D0 (Ω) pour tout multi-indice α ∈ Nd . Il faut remarquer que la d´erivation au sens des distributions est une g´en´eralisation de la d´eriv´ee classique pour les fonctions, au sens suivant : si une fonction f est de classe C 1 , alors la d´eriv´ee de sa distribution associ´ee Tf co¨ıncide avec la distribution Tf 0 associ´e a` la d´eriv´ee au sens classique f 0 de f . Cette relation est resum´e dans le diagramme suivant : f f0 / / Tf / Tf 0 (Tf )0 = } c CMCS - EPFL, 2001-2013 Copyright 33 Les espaces de Sobolev 3.3 Les espaces de Sobolev Soient Ω un ouvert de Rd et k un entier positif. On appelle espace de Sobolev d’ordre k sur Ω l’espace Hk (Ω) d´efini par : Hk (Ω) = f ∈ L2 (Ω)| Dα f ∈ L2 (Ω), |α| ≤ k , les d´eriv´ees Dα f e´ tant prises au sens des distributions. En particulier, Hk+1 (Ω) ⊂ Hk (Ω) pour k ≥ 0, avec H0 (Ω) = L2 (Ω). L’espace Hk (Ω) est un espace de Hilbert par rapport au produit scalaire suivant : XZ (f, g)Hk (Ω) = (Dα f )(Dα g), |α|≤k Ω avec la norme associ´ee kf kHk (Ω) v uX Z q u |Dα f |2 . = (f, f )Hk (Ω) = t |α|≤k Ω On d´efinit aussi la seminorme | · |Hk (Ω) dans Hk (Ω) de la fac¸on suivante : v uX Z u |f |Hk (Ω) = t |Dα f |2 . |α|=k Ω En particulier on a que kf kHk (Ω) v u k uX |f |2 =t Hm (Ω) . m=0 On s’int´eresse maintenant a` la r´egularit´e (au sens classique) des fonctions de Hk (Ω). L’exemple suivant montre qu’en g´en´eral une fonction de H1 (Ω) n’est pas continue si Ω est un ouvert de R2 . Exemple 8. Soit Ω ⊂ R2 le disque centr´e a` l’origine de rayon r < 1. Alors la fonction f suivante d´efinie sur Ω\{(0, 0)} k 1 f (x, y) = ln p , x2 + y 2 avec 0 < k < 1/2 appartient a` H1 (Ω), mais n’est pas continue en (0, 0). Concernant la r´egularit´e des fonctions de Hk (Ω) on a le r´esultat suivant : Th´eor`eme 3.3.1 (Th´eor`eme d’immersion de Sobolev). Soit Ω un ouvert de Rd , alors Hk (Ω) ⊂ C m (Ω), pourvu que k > m + d/2. c CMCS - EPFL, 2001-2013 Copyright 34 Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours) En particulier, dans le cas mono-dimensionnel d = 1, les fonctions de H1 (Ω) sont continues. D’apr`es les consid´erations pr´ec´edentes, si v ∈ H1 (Ω) il n’est pas simple de d´efinir la “valeur” (ou la trace) de v sur le bord ∂Ω de Ω. Cependant, on a le r´esultat fondamental suivant : Th´eor`eme 3.3.2 (de trace). Soit Ω un ouvert de Rd et k ≥ 1. Il existe une seule application, γ0 , lin´eaire et continue γ0 : Hk (Ω) −→ L2 (∂Ω), telle que γ0 v = v|∂Ω pour toute fonction v ∈ Hk (Ω) ∩ C 0 (Ω). On dit que γ0 v est la trace de v sur ∂Ω. En particulier, la continuit´e de γ0 implique qu’il existe une constante positive C telle que kγ0 vkL2 (∂Ω) ≤ CkvkHk (Ω) . Soit Ω un ouvert de Rd , on d´efinit l’espace H10 (Ω) comme H10 (Ω) = v ∈ H1 (Ω)| v = 0 sur ∂Ω , la condition v = 0 sur ∂Ω doit eˆ tre interpret´e au sens que γ0 v = 0. Lemme 3.3.1. L’espace D(Ω) est dense dans H10 (Ω) avec la topologie de H1 (Ω). Th´eor`eme 3.3.3 (In´egalit´e de Poincar´e). Soit Ω un ouvert born´e de Rd , alors il existe une constante positive CΩ telle que ∀v ∈ H10 (Ω). kvkL2 (Ω) ≤ CΩ |v|H1 (Ω) , (3.3) D´emonstration de l’in´egalit´e de Poincar´e (cas mono-dimensionnel). On a que D(a, b) est dense H1 (a,b) dans H10 (a, b) avec la topologie H1 (a, b), not´e par H10 (a, b) = D(a, b) . Soit donc v ∈ H1 H10 (a, b) et {ϕn }n∈N ⊂ D(a, b) telle que ϕn −→ v dans H10 (a, b), c’est-`a-dire limn→∞ kϕn − vkH1 = 0. L’id´ee est de d´emontrer d’abord l’in´egalit´e pour les ϕn et puis passer a` la limite en n. On a que Z x ϕ0n (t)dt, ϕn (x) = a En appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on obtient Z |ϕn (x)| = a x ϕ0n (t)dt Z 21 Z x ≤ |ϕ0n (t)|2 dt x 12 √ dt ≤ |ϕn |H1 (a,b) x − a. a a Par cons´equent, en int´egrant le carr´e de cette in´egalit´e, on obtient kϕn k2L2 (a,b) Z b 2 |ϕn (x)| dx ≤ = a |ϕn |2H1 (a,b) Z a b (x − a)dx = |ϕn |2H1 (a,b) ce qui donne kϕn kL2 (a,b) ≤ CΩ |ϕn |H1 (a,b) , c CMCS - EPFL, 2001-2013 Copyright (b − a)2 , 2 35 Les espaces de Sobolev avec Il reste donc a` voir que limn→∞ kϕn kL2 b−a CΩ = √ . 2 = kvkL2 et que limn→∞ |ϕn |H1 = |v|H1 . Observez que 0 ≤ lim kϕn − vkL2 ≤ n→∞ 0 ≤ lim |ϕn − v|H1 ≤ n→∞ lim kϕn − vkH1 = 0, n→∞ lim kϕn − vkH1 = 0, n→∞ et donc limn→∞ kϕn − vkL2 = limn→∞ |ϕn − v|H1 = 0. Ensuite remarquer que kvkL2 = |v|H1 = lim kvkL2 ≤ lim kϕn − vkL2 + lim kϕn kL2 = lim kϕn kL2 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ lim |v|H1 ≤ lim |ϕn − v|H1 + lim |ϕn |H1 = lim |ϕn |H1 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ et de l’autre cˆot´e lim kϕn kL2 ≤ n→∞ lim |ϕn |H1 ≤ n→∞ lim kϕn − vkL2 + kvkL2 = kvkL2 n→∞ lim |ϕn − v|H1 + |v|H1 = |v|H1 . n→∞ Donc finalement on obtient limn→∞ kϕn kL2 = kvkL2 et limn→∞ |ϕn |H1 = |v|H1 et donc kvkL2 (a,b) ≤ CΩ |v|H1 (a,b) , avec b−a CΩ = √ . 2 Remarque 3.3.1. L’in´egalit´e de Poincar´e est encore valable dans le cas o`u les fonctions v s’annulent sur une partie, Γ ⊂ ∂Ω, de mesure non-nulle. On aura dans ce cas : kvkL2 (Ω) ≤ CΩ∗ |v|H1 (Ω) , ∀v ∈ H1Γ (Ω) = v ∈ H1 (Ω)| v = 0 sur Γ . Une cons´equence directe du Th´eor`eme 3.3.3 est le r´esultat suivant : Lemme 3.3.2. La seminorme | · |H1 (Ω) est une norme sur l’espace H10 (Ω) (ou H1Γ (Ω)) e´ quivalente a` la norme k · kH1 (Ω) . D´emonstration. On se limite ici au cas de l’espace H10 (Ω). D’apr`es (3.3), on tire que si |v|H1 (Ω) = 0 avec v ∈ H10 (Ω), alors kvkL2 (Ω) = 0, ce qui implique v = 0 puisque k · kL2 (Ω) est une norme. Il 1 r´esulte donc que | · |H1 (Ω) est une norme q sur H0 (Ω). Soit v ∈ H10 (Ω). Puisque kvkH1 (Ω) = kvk2L2 (Ω) + |v|2H1 (Ω) il est clair que |v|H1 (Ω) ≤ kvkH1 (Ω) . D’autre part, d’apr`es (3.3), on a q q q kvkH1 (Ω) = kvk2L2 (Ω) + |v|2H1 (Ω) ≤ (1 + CΩ2 )|v|2H1 (Ω) = 1 + CΩ2 |v|H1 (Ω) . Ce qui compl`ete la d´emonstration. c CMCS - EPFL, 2001-2013 Copyright 36 Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours) 3.4 Exercices Exercice 1 (section 3.2) Soient (a, b) un interval de R et H 1 (a, b) := {v ∈ L2 (a, b) : v 0 ∈ L2 (a, b)}. 1. Montrer que Z b 0 Z 0 b u(x)v(x)dx u (x)v (x)dx + (u, v)H1 (a,b) = ∀u, v ∈ H 1 (a, b) a a definit un produit scalaire sur H1 (a, b) et deduire quelle est la norme ||v||1 induite correspondante. 2. Montrer que Z b 0 2 1/2 |v (x)| |v|H1 (a,b) = ≡ ||v 0 ||L2 (a,b) a est une seminorme mais n’est pas une norme sur H1 (a, b). c CMCS - EPFL, 2001-2013 Copyright
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