Chapitre 3
Distributions et espaces de Sobolev (pas fait
au cours)
3.1
Rappel des espaces de Banach et de Hilbert
Espace de Banach
Soit {un }n∈N une suite dans un espace norm´e (V, k · k). On dit que cette suite est de Cauchy si :
lim kun − um k = 0.
n,m→∞
L’espace norm´e (V, k · k) est appel´e un espace de Banach si toute suite de Cauchy dans V
converge vers un e´ l´ement de V (dans la norme k · k). En d’autres mots, un espace de Banach est
un espace norm´e complet.
Exemple 2. Soit Ω un ouvert born´e de Rd ; l’espace V = C 0 (Ω) est un espace de Banach avec la norme
du maximum :
kvk∞ = max |v(x)|.
x∈Ω
Par contre, mˆeme si l’application k · kp :
C 0 (Ω)
−→ R (1 ≤ p < ∞), d´efinie par
Z
kvkp =
p
1
p
|v|
,
∀v ∈ V,
Ω
est une norme sur C 0 (Ω), le couple C 0 (Ω), k · kp n’est pas un espace de Banach.
Un produit scalaire dans un espace lin´eaire V est une forme (·, ·) : V × V −→ R avec les
propri´et´es suivantes :
1. (u, u) ≥ 0,
∀u ∈ V et (u, u) = 0 ⇔ u = 0 ;
2. (u, v) = (v, u),
∀u, v ∈ V ;
3. (αu + βv, w) = α(u, w) + β(v, w),
∀u, v, w ∈ V,
27
α, β ∈ R.
28
Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours)
Le couple (V, (·, ·)) est dit un espace lin´eaire muni d’un produit scalaire.
Th´eor`eme 3.1.1 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz). Soit (V, (·, ·)) un espace lin´eaire muni d’un
produit scalaire. Alors on a que
p
p
|(u, v)| ≤ (u, u) (v, v), ∀u, v ∈ V.
Noter que le th´eor`eme reste valable lorsque le produit scalaire n’est que semi-d´efinit positif.
Espace de Hilbert
Th´eor`eme 3.1.2. Soit (V, (·, ·)) un espace lin´eaire muni d’un produit scalaire. Posons kvk =
p
(v, v) pour tout v ∈ V . Alors le couple (V, k · k) est un espace norm´e et
|(u, v)| ≤ kukkvk,
∀u, v ∈ V.
Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire.
Exemple 3. L’espace (Rd , k · k2 ) est un espace de Hilbert. En effet,
v
u d
uX
p
kxk2 = u
x2i = (x, x), ∀x = (xi )di=1 ∈ Rd ,
u
u i=1
t| {z }
(x,x)
o`u (·, ·) est le produit scalaire dit euclidien.
Soit Ω un ouvert born´e de Rd ; les espaces L2 (Ω) et H1 (Ω) qu’on introduira dans les paragraphes suivants
sont aussi des espaces de Hilbert.
On introduit maintenant deux r´esultats fondamentaux concernant les espaces de Hilbert.
Lemme 3.1.1 (Th´eor`eme de representation de Riesz (pas fait au cours)). Soit H un espace de
Hilbert. Pour tout F ∈ H 0 (l’espace dual de H), il existe un unique v ∈ H tel que
F (x) = (v, x)H ,
∀x ∈ H
(3.1)
et, en plus,
kF kH 0 = kvkH .
L’identification est ainsi une isom´etrie.
On peut aussi d´emontrer le r´esultat de projection suivant :
Lemme 3.1.2 (Th´eor`eme de projection (pas fait au cours)). Soit H un espace de Hilbert et
V ⊂ H un sous-espace ferm´e de H. Pour tout x ∈ H, il existe un unique PV x ∈ V tel que
kPV x − xk = inf ky − xk
y∈V
et satisfait
(PV x, y) = (x, y)
De plus, on a que (x − PV x) ∈ V
⊥
∀y ∈ V.
et
PV x = x ⇐⇒ x ∈ V.
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Les distributions
3.2
Les distributions
Soient Ω un ouvert de Rd (d ≥ 1) et une fonction f : Ω −→ R. On appelle support de f
l’ensemble
suppf = {x ∈ Ω| f (x) 6= 0}.
On dit que la fonction f est a support compact s’il existe un sous-ensemble compact K ⊂ Ω tel
que suppf ⊂ K. On d´efinit ainsi l’espace D(Ω) par
D(Ω) = {f ∈ C ∞ (Ω)| f est a` support compact} .
On introduit maintenant la notation multi-indice pour les d´eriv´ees de f . Soit α = (α1 , . . . , αd ) ∈
Nd avec |α| = α1 + . . . + αd . On note
Dα f (x) =
∂ |α| f (x)
.
∂xα1 1 . . . ∂xαd d
´
Etant
donn´ee une suite {φn }n∈N dans D(Ω), on dit que celle-ci converge vers φ ∈ D(Ω) dans
D(Ω) si :
1. il existe un sous-ensemble compact K ⊂ Ω tel que
suppφn ⊂ K,
∀n ∈ N;
2. on a que
Dα φn −→ Dα φ,
∀α ∈ Nd ,
la convergence e´ tant exprim´ee au sens de la norme uniforme.
On peut maintenant d´efinir l’espace des distributions sur Ω. Soit T une application lin´eaire de
D(Ω) dans R. On d´enote par hT, ϕi la valeur de T correspondant a` l’´el´ement ϕ ∈ D(Ω), c-`a-d
hT, ϕi = T (ϕ). On dit que T est continue si
lim hT, ϕn i = hT, ϕi,
n→∞
o`u {ϕk }k∈N est une suite arbitraire de D(Ω) qui converge vers ϕ dans D(Ω). On appelle distribution sur D(Ω) toute application T : D(Ω) −→ R lin´eaire et continue. L’espace des
distributions sur Ω est l’espace D0 (Ω), dual de D(Ω), c’est-`a-dire, l’espace des applications
T : D(Ω) −→ R lin´eaires et continues (au sens sp´ecifi´e ci-dessus).
Exemple 4. Soit a un point de Ω. Le delta de Dirac relatif au point a, d´enot´e par δa , est la distribution
d´efinie par
hδa , ϕi = ϕ(a), ∀ϕ ∈ D(Ω).
En fait, δa est lin´eaire
hδa , ϕ + ψi = (ϕ + ψ)(a) = ϕ(a) + ψ(a) = hδa , ϕi + hδa , ψi,
∀ϕ, ψ ∈ D(Ω),
et est continue
lim hδa , ϕn i = lim ϕn (a) = ϕ(a) = hδa , ϕi,
n→∞
n→∞
∀ϕn ∈ D(Ω) tel que lim δn = δ.
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Copyright n→∞
30
Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours)
On dit qu’une suite de distributions {Tn } converge dans D0 (Ω) vers une distribution T si :
lim hTn , ϕi = hT, ϕi,
n→∞
∀ϕ ∈ D(Ω).
Consid´erons l’espace L2 (Ω) des fonctions a` carr´e sommable d´efini par
Z
2
2
L (Ω) = f : Ω → R Lebesgue mesurable |f (x)| dx < ∞ .
Ω
Cet espace est un espace de Hilbert avec le produit scalaire
Z
f (x)g(x)dx.
(f, g)L2 (Ω) =
Ω
La norme de L2 (Ω) associ´ee a` ce produit scalaire est donc donn´ee par
sZ
|f (x)|2 .
kf kL2 (Ω) =
Ω
` toute fonction f ∈ L2 (Ω) on associe une distribution Tf ∈ D0 (Ω) d´efinie par :
A
Z
hTf , ϕi =
f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω).
(3.2)
Ω
On a le r´esultat suivant :
Lemme 3.2.1. L’espace D(Ω) est dense dans L2 (Ω). En d’autres mots, toute fonction f ∈ L2 (Ω)
peut eˆ tre approch´ee (dans la norme (k · kL2 (Ω) ) par des fonctions de D(Ω).
` l’aide de ce r´esultat on peut montrer le r´esultat suivant, qui permet d’identifier L2 (Ω) avec un
A
sous-ensemble de D0 (Ω) (ce qui revient a` e´ crire L2 (Ω) ⊂ D0 (Ω)).
L
Dp
D
Lemme 3.2.2. L’application f ∈ L2 (Ω) −→ Tf ∈ D0 (Ω), d´efinie par (3.2), est injective.
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Les distributions
D´emonstration. L’injectivit´e de l’application f 7−→ Tf d´ecoule du fait que D(Ω) est dense dans
L2 (Ω) (lemme 3.2.1). En effet, supposons que Tf = 0 et soit {φn }n∈N ⊂ D(Ω) une suite telle
que φn −→ f dans L2 (Ω). Alors
Z
Z
0 = lim hTf , φn i = lim
f (x)φn (x) =
|f (x)|2 ,
n→∞
n→∞
Ω
Ω
ce qui implique que f = 0. L’application f 7−→ Tf est donc injective.
Exemple 5. Soit Ω = R et χ[a,b] la fonction caract´eristique de l’intervalle [a, b], d´efinie par :
χ[a,b] (x) =
1 si x ∈ [a, b],
0 autrement .
Propri´et´e : δ0 peut eˆ tre approxim´e par une suite de fonction de L2 (Ω).
n
On consid`ere la suite de fonctions fn = χ[−1/n,1/n] . On peut v´erifier que la suite de distributions
2
R
associ´ees hTfn , ϕi = R fn (x)ϕ(x)dx converge vers la distribution δ0 . En effet, pour chaque ϕ ∈ D(Ω)
on a
Z 1
n n
n
hTfn , ϕi =
ϕ(x)dx = (Φ(1/n) − Φ(−1/n)) ,
2 −1
2
n
avec Φ la primitive de ϕ. En posant h = 1/n on tire que
hTfn , ϕi =
Φ(h) − Φ(−h)
,
2h
ce qui converge vers Φ0 (0) lorsque h → 0, e´ quivalemment lorsque n → ∞. Donc,
lim hTfn , ϕi = Φ0 (0) = hδ0 , ϕi,
n→∞
c’est-`a-dire, Tfn −→ δ0 dans D0 (Ω).
Soit T ∈ D0 (Ω) avec Ω un ouvert de Rd . La d´eriv´ee partielle de T par rapport a` xi (i = 1, . . . , d)
au sens des distributions est une nouvelle distribution d´efinie de la mani`ere suivante :
∂T
∂ϕ
, ϕ = − T,
, ∀ϕ ∈ D(Ω).
∂xi
∂xi
De mani`ere analogue on peut d´efinir les d´eriv´ees successives. Pour chaque multi-indice α =
(α1 , . . . , αd ) ∈ Nd , on d´efinit
hDα T, ϕi = (−1)|α| hT, Dα ϕi ,
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Copyright ∀ϕ ∈ D(Ω).
32
Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours)
Exemple 6. La fonction de Heaviside H sur R d´efinie par
1 si x > 0,
H(x) =
0 si x ≤ 0,
admet comme d´eriv´ee, au sens des distributions, la distribution de Dirac relative a` l’origine, c’est-`a-dire,
H 0 = δ0
dans D0 (R).
Exemple 7. On consid`ere trois points xi−1 , xi , xi+1 tels que xi − xi−1 = xi+1 − xi = h et la fonction
f ∈ L2 (R) d´efinie comme

x − xi−1


si xi−1 ≤ x ≤ xi ,


xi − xi−1



xi+1 − x
f (x) =
si xi ≤ x ≤ xi+1 ,


xi+1 − xi




 0 autrement.
a1
af
x1
x2
x3
Au sens des distributions, on a :
hTf0 , ϕi
Z
0
xi+1
=
f 0ϕ +
Z
xi+1
1
h
f 0ϕ =
xi
xi−1
donc
Tf0 =
xi+1
xi
xi−1
xi−1
xi
Z
0
fϕ −
fϕ = −
= −hf, ϕ i = −
Z
xi
Z
0
Z
xi
Z
xi+1
ϕ−
xi−1
f ϕ0
!
ϕ ,
xi
1
χ[xi−1 ,xi ] − χ[xi ,xi+1 ] .
h
L’ensemble D0 (Ω) est ferm´e par rapport a` l’op´erateur de d´erivation (au sens des distributions).
En autres mots, toute distribution est infiniment d´erivable. On peut montrer que l’op´erateur
de d´erivation (au sens des distributions) est continu c’est a` dire que si Tn −→ T dans D0 (Ω),
alors Dα Tn −→ Dα T dans D0 (Ω) pour tout multi-indice α ∈ Nd .
Il faut remarquer que la d´erivation au sens des distributions est une g´en´eralisation de la d´eriv´ee
classique pour les fonctions, au sens suivant : si une fonction f est de classe C 1 , alors la d´eriv´ee
de sa distribution associ´ee Tf co¨ıncide avec la distribution Tf 0 associ´e a` la d´eriv´ee au sens classique f 0 de f . Cette relation est resum´e dans le diagramme suivant :
f
f0
/
/ Tf
/ Tf 0
(Tf )0
=
}
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Les espaces de Sobolev
3.3
Les espaces de Sobolev
Soient Ω un ouvert de Rd et k un entier positif. On appelle espace de Sobolev d’ordre k sur Ω
l’espace Hk (Ω) d´efini par :
Hk (Ω) = f ∈ L2 (Ω)| Dα f ∈ L2 (Ω), |α| ≤ k ,
les d´eriv´ees Dα f e´ tant prises au sens des distributions. En particulier, Hk+1 (Ω) ⊂ Hk (Ω) pour
k ≥ 0, avec H0 (Ω) = L2 (Ω).
L’espace Hk (Ω) est un espace de Hilbert par rapport au produit scalaire suivant :
XZ
(f, g)Hk (Ω) =
(Dα f )(Dα g),
|α|≤k
Ω
avec la norme associ´ee
kf kHk (Ω)
v
uX Z
q
u
|Dα f |2 .
= (f, f )Hk (Ω) = t
|α|≤k
Ω
On d´efinit aussi la seminorme | · |Hk (Ω) dans Hk (Ω) de la fac¸on suivante :
v
uX Z
u
|f |Hk (Ω) = t
|Dα f |2 .
|α|=k
Ω
En particulier on a que
kf kHk (Ω)
v
u k
uX
|f |2
=t
Hm (Ω) .
m=0
On s’int´eresse maintenant a` la r´egularit´e (au sens classique) des fonctions de Hk (Ω). L’exemple
suivant montre qu’en g´en´eral une fonction de H1 (Ω) n’est pas continue si Ω est un ouvert de R2 .
Exemple 8. Soit Ω ⊂ R2 le disque centr´e a` l’origine de rayon r < 1. Alors la fonction f suivante d´efinie
sur Ω\{(0, 0)}
k
1
f (x, y) = ln p
,
x2 + y 2 avec 0 < k < 1/2 appartient a` H1 (Ω), mais n’est pas continue en (0, 0).
Concernant la r´egularit´e des fonctions de Hk (Ω) on a le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 3.3.1 (Th´eor`eme d’immersion de Sobolev). Soit Ω un ouvert de Rd , alors
Hk (Ω) ⊂ C m (Ω),
pourvu que k > m + d/2.
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Copyright 34
Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours)
En particulier, dans le cas mono-dimensionnel d = 1, les fonctions de H1 (Ω) sont continues.
D’apr`es les consid´erations pr´ec´edentes, si v ∈ H1 (Ω) il n’est pas simple de d´efinir la “valeur”
(ou la trace) de v sur le bord ∂Ω de Ω. Cependant, on a le r´esultat fondamental suivant :
Th´eor`eme 3.3.2 (de trace). Soit Ω un ouvert de Rd et k ≥ 1. Il existe une seule application, γ0 ,
lin´eaire et continue
γ0 : Hk (Ω) −→ L2 (∂Ω),
telle que γ0 v = v|∂Ω pour toute fonction v ∈ Hk (Ω) ∩ C 0 (Ω). On dit que γ0 v est la trace de v sur
∂Ω. En particulier, la continuit´e de γ0 implique qu’il existe une constante positive C telle que
kγ0 vkL2 (∂Ω) ≤ CkvkHk (Ω) .
Soit Ω un ouvert de Rd , on d´efinit l’espace H10 (Ω) comme
H10 (Ω) = v ∈ H1 (Ω)| v = 0 sur ∂Ω ,
la condition v = 0 sur ∂Ω doit eˆ tre interpret´e au sens que γ0 v = 0.
Lemme 3.3.1. L’espace D(Ω) est dense dans H10 (Ω) avec la topologie de H1 (Ω).
Th´eor`eme 3.3.3 (In´egalit´e de Poincar´e). Soit Ω un ouvert born´e de Rd , alors il existe une
constante positive CΩ telle que
∀v ∈ H10 (Ω).
kvkL2 (Ω) ≤ CΩ |v|H1 (Ω) ,
(3.3)
D´emonstration de l’in´egalit´e de Poincar´e (cas mono-dimensionnel). On a que D(a, b) est dense
H1 (a,b)
dans H10 (a, b) avec la topologie H1 (a, b), not´e par H10 (a, b) = D(a, b)
. Soit donc v ∈
H1
H10 (a, b) et {ϕn }n∈N ⊂ D(a, b) telle que ϕn −→ v dans H10 (a, b), c’est-`a-dire limn→∞ kϕn −
vkH1 = 0. L’id´ee est de d´emontrer d’abord l’in´egalit´e pour les ϕn et puis passer a` la limite en n.
On a que
Z
x
ϕ0n (t)dt,
ϕn (x) =
a
En appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on obtient
Z
|ϕn (x)| = a
x
ϕ0n (t)dt
Z
21 Z
x
≤
|ϕ0n (t)|2 dt
x
12
√
dt
≤ |ϕn |H1 (a,b) x − a.
a
a
Par cons´equent, en int´egrant le carr´e de cette in´egalit´e, on obtient
kϕn k2L2 (a,b)
Z
b
2
|ϕn (x)| dx ≤
=
a
|ϕn |2H1 (a,b)
Z
a
b
(x − a)dx = |ϕn |2H1 (a,b)
ce qui donne
kϕn kL2 (a,b) ≤ CΩ |ϕn |H1 (a,b) ,
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,
2
35
Les espaces de Sobolev
avec
Il reste donc a` voir que limn→∞ kϕn kL2
b−a
CΩ = √ .
2
= kvkL2 et que limn→∞ |ϕn |H1 = |v|H1 . Observez que
0 ≤ lim kϕn − vkL2 ≤
n→∞
0 ≤ lim |ϕn − v|H1 ≤
n→∞
lim kϕn − vkH1 = 0,
n→∞
lim kϕn − vkH1 = 0,
n→∞
et donc limn→∞ kϕn − vkL2 = limn→∞ |ϕn − v|H1 = 0. Ensuite remarquer que
kvkL2 =
|v|H1 =
lim kvkL2 ≤ lim kϕn − vkL2 + lim kϕn kL2 = lim kϕn kL2
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
lim |v|H1 ≤ lim |ϕn − v|H1 + lim |ϕn |H1 = lim |ϕn |H1
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
et de l’autre cˆot´e
lim kϕn kL2 ≤
n→∞
lim |ϕn |H1 ≤
n→∞
lim kϕn − vkL2 + kvkL2 = kvkL2
n→∞
lim |ϕn − v|H1 + |v|H1 = |v|H1 .
n→∞
Donc finalement on obtient limn→∞ kϕn kL2 = kvkL2 et limn→∞ |ϕn |H1 = |v|H1 et donc
kvkL2 (a,b) ≤ CΩ |v|H1 (a,b) ,
avec
b−a
CΩ = √ .
2
Remarque 3.3.1. L’in´egalit´e de Poincar´e est encore valable dans le cas o`u les fonctions v s’annulent sur une partie, Γ ⊂ ∂Ω, de mesure non-nulle. On aura dans ce cas :
kvkL2 (Ω) ≤ CΩ∗ |v|H1 (Ω) , ∀v ∈ H1Γ (Ω) = v ∈ H1 (Ω)| v = 0 sur Γ .
Une cons´equence directe du Th´eor`eme 3.3.3 est le r´esultat suivant :
Lemme 3.3.2. La seminorme | · |H1 (Ω) est une norme sur l’espace H10 (Ω) (ou H1Γ (Ω)) e´ quivalente
a` la norme k · kH1 (Ω) .
D´emonstration. On se limite ici au cas de l’espace H10 (Ω). D’apr`es (3.3), on tire que si |v|H1 (Ω) =
0 avec v ∈ H10 (Ω), alors kvkL2 (Ω) = 0, ce qui implique v = 0 puisque k · kL2 (Ω) est une norme. Il
1
r´esulte donc que | · |H1 (Ω) est une norme
q sur H0 (Ω).
Soit v ∈ H10 (Ω). Puisque kvkH1 (Ω) =
kvk2L2 (Ω) + |v|2H1 (Ω) il est clair que
|v|H1 (Ω) ≤ kvkH1 (Ω) .
D’autre part, d’apr`es (3.3), on a
q
q
q
kvkH1 (Ω) = kvk2L2 (Ω) + |v|2H1 (Ω) ≤ (1 + CΩ2 )|v|2H1 (Ω) = 1 + CΩ2 |v|H1 (Ω) .
Ce qui compl`ete la d´emonstration.
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Distributions et espaces de Sobolev (pas fait au cours)
3.4
Exercices
Exercice 1 (section 3.2)
Soient (a, b) un interval de R et H 1 (a, b) := {v ∈ L2 (a, b) : v 0 ∈ L2 (a, b)}.
1. Montrer que
Z
b
0
Z
0
b
u(x)v(x)dx
u (x)v (x)dx +
(u, v)H1 (a,b) =
∀u, v ∈ H 1 (a, b)
a
a
definit un produit scalaire sur H1 (a, b) et deduire quelle est la norme ||v||1 induite correspondante.
2. Montrer que
Z
b
0
2
1/2
|v (x)|
|v|H1 (a,b) =
≡ ||v 0 ||L2 (a,b)
a
est une seminorme mais n’est pas une norme sur H1 (a, b).
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