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Université de Nice-Sophia-Antipolis
ANNEE UNIVERSITAIRE 2014-2015
FILIERE : MASS
Année d’étude : L2
Probabilités
Durée : 2h
Nom de l’enseignant auteur du sujet : Julien Barré
Type d’épreuve : écrite
SUJET
Documents interdits ; calculatrices autorisées.
Exercice 1 (3 points)
Un cueilleur de champignons récolte N champignons ; N est une variable aléatoire de loi
de Poisson de paramètre 5. Chaque champignon a une probabilité 2/3 d’être comestible,
et les comestibilités de champignons différents sont supposées indépendantes.
1. Rappeler ce qu’est une loi de Poisson de paramètre λ.
Cours
2. Quelle est la probabilité que la récolte comporte 2 champignons, dont un seul comestible ?
P(N = 2, C = 1) = P(C = 1|N = 2)P(N = 2) = 2 × (2/3) × (1/3) × e−5 52 /2 ' 0.037
3. Quelle est la probabilité que la récolte ne comporte aucun champignon comestible ?
P(C = 0) =
∞
X
P(C = 0|N = n)P(N = n) =
n=0
X
(1/3)n e−5 5n /n = e−5+5/3
n
Exercice 2 (5 points)
Richard et Roger jouent au tennis. Pour chaque partie, Richard a une chance sur 3 de
gagner, et Roger 2 chances sur 3. On suppose que les résultats de parties différentes sont
indépendants.
1. Dans cette question, Richard et Roger jouent 5 parties. On note V la variable aléatoire
"nombre de victoires de Richard". Quelle est la loi de V ? Donner son espérance et sa
variance. Que vaut P(V ≥ 3) ?
Loi de V : binomiale B(5, 1/3).
E(V ) = 5/3 ; V(V ) = 5 × 1/3 × 2/3 = 5/9
P(V ≥ 3) = P(V = 3) + P(V = 4) + P(V = 5)
= 10 × (1/3)3 (2/3)2 + 5 × (1/3)4 (2/3) + (1/3)5
51
=
243
2. Dans cette question, Richard et Roger jouent un nombre indéterminé de parties, et
s’arrêtent dès que Richard en gagne une. On note N la variable aléatoire "nombre de
parties jouées". Quelle est la loi de N ? Donner son espérance et sa variance. Que vaut
P(N = 3) ?
Loi de N = géométrique de paramètre 1/3 (cours).
E(N ) = 1/(1/3) = 3, V(N ) = (2/3)/(1/3)2 = 6 (la question sur la variance comptait
comme “bonus” dans le barème).
3. Dans cette question, Richard et Roger jouent jusqu’à ce que l’un des deux ait gagné
trois parties. Quelle est la probabilité que Richard gagne trois parties avant Roger ?
On décompose l’événement “Richard gagne 3 parties avant Roger” en 3 événements disjoints : “Richard gagne 3 parties sans que Roger en gagne une”,“Richard gagne 3 parties
avant Roger, et Roger en gagne une”, “Richard gagne 3 parties avant Roger, et Roger en
gagne deux”. On calcule les probas de ces 3 événements, on trouve respectivement 1/27,
6/81 et 24/243. La proba cherchée est donc 51/243.
Exercice 3 (3 points)
On considère 3 urnes indiscernables. L’urne A contient 1 boule rouge et 2 noires, l’urne B
contient 2 boules rouges et 6 blanches, et l’urne C contient 3 boules rouges et 7 blanches.
Je choisis une urne au hasard, sans savoir de laquelle il s’agit (chaque urne a une chance
sur 3 d’être choisie). Dans cette urne, je prends une boule au hasard (chaque boule de
l’urne a la même probabilité d’être choisie). Elle est rouge. Quelle est la probabilité que
je l’ai prise dans l’urne C ? Justifiez soigneusement votre raisonnement.
On utilise la formule de Bayes
P(rouge|C)P(C)
P(rouge)
(3/10)(1/3)
=
(1/3)(1/3) + (1/3)(2/8) + (1/3)(3/10)
18
=
53
On a utilisé la formule des probabilités totales pour calculer P(rouge).
P(C|rouge) =
Exercice 4 (5 points)
1. Rappeler les propriétés que doit vérifier la fonction de répartition d’une variable aléatoire absolument continue.
—
—
—
2. On
F est croissante
F tend vers 0 en −∞, et vers 1 en +∞
F est continue (car la variable aléatoire est absolument continue)
considère la fonction suivante :
F (x) = 0
F (x) = 3c(x + 1)
F (x) = c(x + 3)
F (x) = 1
si
si
si
si
x < −1
−1 ≤ x < 0
0≤x<1
x≥1
Calculer c pour que F soit une fonction de répartition. Représenter graphiquement F .
Dans la suite de l’exercice, on utilise cette valeur de c. Si vous ne trouvez pas la valeur de
c, donnez tout de même les formules utilisées dans la question suivante.
F (1) = 4c, donc on doit choisir c = 1/4.
3. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F . Calculer P(X ≤ 0), E(X)
et V(X).
P(X ≤ 0) = F (0) = 3/4 ; E(X) = −1/4 ; V(X) = 13/48
Exercice 5 (4 points)
Soient X1 , . . . , X100 100 variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi E(2).
1. Que vaut P(X1 ≥ 1) ?
P(X1 ≥ 1) = e−2
2. Que valent E(X1 ) et V(X1 ) ?
Cours : E(X1 ) = 1/2 et V(X1 ) = 1/4.
3. On note Y = (X1 + . . . + X100 )/100. Calculer approximativement P(Y ≥ 0.6). Enoncez
le théorème que vous utilisez et justifiez son utilisation.
Y est la somme de 100 v.a. indépendantes et de même loi, qui ont une variance. n = 100
est assez√grand pour que l’on puisse utiliser l’approximation fournie par le théorème central
limite : 100(Y − 1/2)/(1/2) suit approximativement une loi N (0, 1). Donc, si Z est de
loi N (0, 1) :
P(Y ≥ 0.6) = P(10(Y − 0.5)/(0.5) ≥ 2)
' P(Z ≥ 2)
' 0.0228