Mathématiques BCPST1 Lycée Roland Garros 2014-2015 πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Feuille de TD no 21. Variables aléatoires πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Exercice 1 Lois classiques - calculs non faits en cours Calculer 1. La variance d'une variable X de loi U([[1, n]]), 2. (par la méthode directe) l'espérance d'une variable X de loi B(n, p) , 3. Espérance d'une variable X de loi H(N, n, p), Exercice 2 Lois classiques - applications directes 1. Dans une entreprise de 100 personnes dont 30 femmes, on choisit au hasard une équipe de 5 joueurs (ou joueuses) pour participer à une compétition de basket. (a) Donner la loi du nombre de femmes dans l'équipe. (b) Quelle est la probabilité pour que l'équipe contienne exactement 2 femmes ? (c) Combien, en espérance, l'équipe contiendra t-elle de femmes ? 2. Lors d'une séance de penaltys, cinq joueurs tirent successivement leur penalty, indépendamment les uns des autres. On suppose qu'ils ont tous une probabilité 2/3 de marquer. (a) Donner la loi du nombre de penaltys marqués par l'équipe. (b) Quelle est la probabilité pour que l'équipe réussisse exactement 3 penaltys ? (c) Combien, en espérance, l'équipe réussira de penaltys ? Exercice 3 Autour de la loi binomiale 1. La variable X suit une loi binomiale sur [[1, a]]. On suppose que Var(X) = 2. Déterminer a. 2. La variable X suit une loi binomiale sur [[0, n]]. On suppose que E(X) = 6 et σ(X) = 2. Déterminer n. Exercice 4 Un dé tordu Exercice 5 Un calcul d'espérance Exercice 6 Probabilité d'un grand écart à la moyenne On lance un dé à 4 faces numérotées de 1 à 4. La probabilité qu'une face tombe est supposée proportionnelle au numéro qu'elle porte. On note X la variable aléatoire égale au nombre obtenu. 1. Déterminer la loi de X et sa fonction de répartition. Les représenter graphiquement. 2. Donner l'espérance de X . 3. Calculer la variance de X . 4. Calculer E(1/X). On eectue n lancers successifs d'une pièce qui donne Face avec la probabilité p. On note X le nombre de Face obtenus. Calculer l'espérance de la variable Z = 1/(X + 1). On choisit au hasard 1000 individus de la population française. Soit r la probabilité d'obtenir un nombre d'hommes entre 450 et 550. 1 1. Minorer r en utilisant l'inégalité de Bienaimé-Tchebychev. 2. Donner une expression exacte de r, puis faire l'application numérique grâce à la machine. Exercice 7 Une urne Exercice 8 Gagner un max de fric Une urne contient 2 boules rouges et n − 2 boules blanches. On tire successivement et sans remise toutes les boules. Soit Xn le rang d'apparition de la première boule rouge. 1. Déterminer la loi de Xn 2. Calculer en = E(Xn ). Donner un équivalent simple de en quand n → ∞. On lance n fois un dé normal. Si l'on obtient au moins un 6 on ne gagne rien, et dans le cas contraire on gagne la somme des scores obtenus. Pour i ∈ [[1, n]] on note Xi = ( 0, si on a obtenu au moins un 6, le score du i-ème dé, sinon. 1. Quel lien y'a t-il entre le gain X obtenu et les variables Xi ? 2. Calculer l'espérance de Xi puis l'espérance de X . 3. Pour quelle(s) valeur(s) de n l'espérance de Xn est-elle maximale ? Exercice 9 Compteur détraqué Soit X une v.a. de loi B(n, p). Le résultat de X est aché sur un compteur détraqué : • si X 6= 0, le compteur ache X , • si X = 0, il ache un nombre au hasard uniformément entre 0 et n. 1. Déterminer la loi de la variable Y achée sur le compteur 2. préciser la valeur de E(Y ). 3. Comparer E(Y ) et E(X). Le résultat est-il surprenant ? Exercice 10 Jeu de dés avec une règle d'arrêt Exercice 11 Dépistage sanguin On joue à pile ou face jusqu'à ce qu'on ait obtenu 4 PILES ou 5 FACES depuis le début. On note X le nombre de PILES obtenus à ce moment. 1. Déterminer P(X = k) pour k ∈ {0, 1, 2, 3}. 2. En déduire P(X = 4). Les individus d'une population sourent d'une certaine maladie avec la probabilité p = 0.01. Pour dépister cette maladie dans un échantillon de n individus, on a le choix entre 2 techniques : • Technique 1 : on eectue un dépistage sur un échantillon sanguin de chaque individu. • Technique 2 : on eectue d'abord une analyse sur un échantillon contenant le mélange du sang des n individus, puis dans le cas où le résultat est positif on eectue une analyse pour chaque échantillon. Soit Xn le nombre d'analyses réalisées dans la deuxième méthode. 1. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de Xn 2. Étudier les variations et les limites de la fonction f (x) = ln(0, 99)x + ln x. 3. Déterminer à l'aide d'une calculatrice la plus grande valeur n ∈ N pour laquelle f (n) > 2 0. 4. Laquelle des 2 méthodes est la plus économique en moyenne ? Exercice 12 Tirage simultané dans une urne. On tire n boules simultanément dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N . On note X le plus grand numéro tiré. 1. Déterminer X(Ω) puis la loi de X . 2. Démontrer la formule de Pascal : pour tous entiers n et N tels que n < N , N X k−1 k=n n−1 3. Calculer la fonction de répartition de X . 4. Vérier l'identité k−1 k n−1 N = n k =n n puis en déduire E(X). Quel résultat retrouve t-on quand on prend n = 1 ? Exercice 13 Tirage dans 2 urnes Soient U1 et U2 deux urnes contenant chacune 2n jetons numérotés de 1 à 2n. On prélève simultanément et au hasard n jetons de U1 et n jetons de U2 . 1. Soit X le nombre de numéros communs aux deux prélèvements. (a) Déterminer la loi de X (b) En déduire la valeur de E(X). 2. Soit Y la somme des numéros communs aux deux prélèvements. Déterminer la valeur de E(Y ) en écrivant Y comme une somme d'indicatrices. Exercice 14 Les dés de Sichermann 1. On lance deux dés classiques et on note S1 la somme des scores obtenus. Déterminer la loi de S1 . 2. Les faces des dés de Sichermann sont (1, 2, 2, 3, 3, 4) et (1, 3, 4, 5, 6, 8). On lance deux dés de Sichermann et on note S2 la somme des scores obtenus. Vérier que S2 suit la même loi que S1 . Exercice 15 L'urne de Pölya On considère une urne contenant initialement 1 boule blanche et 1 boule noire. On tire une boule au hasard puis on la replace dans l'urne en y ajoutant une autre boule de la même couleur. L'urne contient maintenant 3 boules. On réitère ce procédé. Soit Xn le nombre de boules blanches dans l'urne au bout de n tirages. 1. Déterminer la loi de X1 , de X2 . 2. Montrer par récurrence que pour tout n, Xn suit la loi uniforme sur [[1, n + 1]]. 3. Soit Bn l'évènement la n-ème boule tirée est blanche. Montrer que E(Xn ) = P(Bn ) + E(Xn−1 ). 4. En déduire la valeur de P(Bn ) et P(Bn ). Ce résultat était-il prévisible ? 3 5. Petite anticipation sur la spé : une v.a. innie. Soit Z le nombre de tirages nécessaires pour piocher une boule blanche pour la première fois. Déterminer la loi de Z . Exercice 16 Processus de branchement 1. Préliminaires. Soit p ∈]0, 1[ et f : x 7→ px2 + 1 − p. On considère la suite dénie par u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = f (un ). (a) (b) (c) (d) Étudier les variations de f Montrer que (un ) est à valeurs dans [0, 1] et monotone. Montrer que (un ) converge. Quelles sont les valeurs possibles pour sa limite ` ? Déterminer ` en distinguant le cas p < 1/2 et le cas p ≥ 1/2. 2. On considère une plante qui peut donner naissance à deux descendants, avec probabilité p, ou à aucun descendant, avec probabilité 1−p. On note Xn le nombre de descendants au bout de n générations. (a) Déterminer la loi de X1 et de X2 . (b) Montrer par récurrence que P(Xn = 0) = un pour tout n. (c) Déterminer limn→∞ P(Xn = 0). Interpréter. Exercice 17 Transformée de Laplace d'une v.a. Soit X une v.a. nie. On dénit la fonction GX par GX (t) = E etX . 1. Que vaut GX (0) ? Montrer que G0X (0) = E(X), et G00X (0) = E(X 2 ). 2. Calculer GX dans les deux cas suivants : (a) X suit la loi U([[1, n]]) (b) X suit la loi B(n, p) 3. Retrouver l'expression de E(X) et Var(X) si X suit la loi B(n, p). Exercice 18 Une autre expression de l'espérance On considère une v.a. X telle que X(Ω) = [[0, n]], avec n ∈ N. Montrer que E(X) = n X P(X ≥ k). k=1 Exercice 19 Tirage de jetons Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire des jetons successivement avec remise jusqu'à obtention d'un numéro inférieur ou égal au précédent. On note X le nombre de jetons tirés. Par exemple si les tirages donnent (1, 3, 7, 5) alors X prend la valeur 4. 1. Déterminer X(Ω). 2. Calculer P(X > k) pour k compris entre 1 et n + 1. 3. En déduire la loi de X . 4. En utilisant le résultat de l'exercice Une autre expression de l'espérance , calculer E(X) 5. Que devient E(X) lorsque n → ∞ ? 4