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Programa de Matemática
Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001
Material de Estudio Guía N°4:
“Notación Científica, Potencias y Raíces”
Notación Científica:
Veamos la siguiente situación:
Laura se demora 2,4 horas
viceversa.
diarias en total, en los traslados desde la casa al trabajo y
a) ¿Cuánto tiempo en total invierte Laura en los trayectos durante un mes? (considerar 22
días de trabajo en un mes)
b) ¿Cuántas horas de traslado registra Laura en total durante un año de trabajo?
Expresa ambos resultados en notación científica
Ahora verás cómo escribir el número 512.000.000 en su representación de
notación científica, por ello debes seleccionar cuál será el valor de “a”,
Lo PRIMERO que debes hacer es ubicar correctamente la coma en el número
original, para generar un número que cumpla la regla anteriormente mencionada.
Tienes varias opciones, revisémoslas a continuación:
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Para poder determinar el valor del exponente n, debes contar los espacios desde la coma
que ubicaste hasta el final del número.
Opción Nº3: 5, 1 2 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 (espacios)
Así, se obtiene que los espacios contabilizados son 8, por lo que el valor de n es 8
Ahora recordemos la situación Inicial:
a)
Página 52
1 día
22 días
2,4 horas
2,4 x 22 = 52,8 horas
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Por lo tanto, Laura destina
un total de 52,8 horas en
los traslados durante un
mes
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Por lo tanto la representación en notación científica del valor 52, 8 es:
5,28 x 101
En las calculadoras existe una función “SCI” que nos devuelve un número en “Notación
Científica” simplemente debemos señalar cuántos números queremos en pantalla, por
ejemplo:
Ingresamos la operación y vemos el resultado, luego seleccionamos el modo “SCI”
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En todas las calculadoras, cuando utilizamos una
función específica, ellas seguirán trabajando con
esa función, por ello siempre debemos volverla a
modo “norm” (normal 1) opción “1”.
Retomemos la situación pendiente:
¿Cuántas horas de traslado registra Laura en total durante un año de trabajo?
b)
1 Mes
1 Año
52,8 horas
52,8 x 12 = 633, 6 horas
Por lo tanto la representación en notación científica del valor 633,6 es:
6,336 x 102
Potencias:
Primero:
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces
45
4 x 4 x 4 x 4 x 4 1.024
63
6x6x6
216
Segundo:
El número que multiplicamos se llama Base, el número de veces que multiplicamos
la base se llama Exponente
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Tercero:
Escrito en forma general:
Si a es un número real y n un número natural, entonces:
Potencias en la Calculadora
Ejemplo:
Para poder ingresar una potencia en la calculadora,
primero debes ingresar el número “BASE”, luego
seleccionar el botón “ELEVA” (ver imagen) y digitar el
“EXPONENTE”. Con esto, obtendrás el “RESULTADO”.
3 ^ 4 = 81
Bas
Eleva
Si digitas el n° base 3
en tu calculadora, luego
presionas
el
botón
“eleva” y digitas el valor
del exponente, en este
caso 4, obtienes el
resultado 81
Resultad
Exponente
Según el modelo de tu calculadora
consulta a tu profesor cuál es el
botón correspondiente a “ELEVA”
Ejemplo:
Anita trabaja 8 horas diarias, las llamadas solicitando servicio técnico se cuadruplican cada
hora. Ayer, durante la primera hora de trabajo recibió 4 llamadas. Entonces cómo puede
saber:
a) ¿Cuántas llamadas solicitando servicio técnico ha recibido Anita a la quinta hora de
haber iniciado su jornada laboral?
b) ¿Cuántas llamadas de servicio técnico atiende Justo en un día de trabajo?
Para poder resolver el problema, diseñamos el siguiente diagrama:
El cuádruple es multiplicar
por 4 la hora anterior, así
obtenemos el valor 16 y así
los
sucesivamente
demás valores
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Del diagrama anterior, podemos identificar la potencia que modela esta situación:
Podemos observar que las
horas de trabajo, coinciden
con el exponente de la
potencia.
Así podemos modelar por medio de una potencia las llamadas atendidas por Anita.
Ahora respondemos las preguntas de Anita:
a) ¿Cuántas llamadas has recibido a la quinta hora de haber iniciado su
jornada laboral?
Entonces; Anita atiende 1.024 llamadas cuando
lleva 5 horas trabajando.
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Raíces:
Analicemos la siguiente situación:
En una habitación, se requiere instalar un punto de cable, la pared de esta habitación es
cuadrada y su área es de 27,04m2.
a) El técnico asignado a esta orden necesita instalar el cable por el contorno de la pared,
¿Cuántos metros de cable necesitará en total para bordear por completo la habitación?
Con la Calculadora:
Con la Casio “fx 82 es”
Primero se selecciona la tecla de raíz cuadrada
, luego ingresamos el valor al cual le
queremos calcular la raíz, en este caso 27,04 y obtenemos:
Con
la
tecla
podemos conocer el valor
decimal:
Que corresponde al valor del lado!!!
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Con las calculadoras lineales:
El procedimiento es el mismo, identificamos la tecla raíz cuadrada
, calculamos la raíz de
27,04 (en la calculadora la coma decimal se ingresa con el punto)
En este caso la calculadora devuelve de
inmediato el valor decimal, correspondiente a la
medida del lado!!
Con este valor, podrás responder la pregunta planteada por la situación:
Si
Y
1 lado
4 lados
=
=
5,2 metros,
5,2 x 4 = 20,8 metros
Entonces, el maestro necesita colocar 20,8 metros de cable.
Apuntes de
clases:
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Guía de Estudio N°4:
“Notación Científica, Potencias y Raíces”
1. En un pequeño pueblo de Chile hay cuatro
Desarrollo:
familias dedicadas a criar caballos. Cada
familia tiene cuatro caballos. ¿Cuántas
herraduras de caballo hay que comprar
para “herrar a todos los caballos del
pueblo”?
2. Una camioneta de reparto, entrega en 6
almacenes el mismo pedido que consta de
“6 cajas con 6 bebidas cada una”, esto lo
realiza 6 veces a la semana. ¿Cuántas
bebidas reparte en una semana?
Desarrollo:
3. El cubo de rubik es un rompecabezas
mecánico tridimensional inventado por el
escultor y profesor de arquitectura Erno
Rubik. De acuerdo a los datos de la figura,
responda las siguientes preguntas.
Desarrollo:
a)
¿Cuál es el volumen del cubo de rubik?
b) Sí construimos un nuevo cubo de rubik
cuyas aristas miden el doble de la
inicial, ¿cuántos cubos rubik podríamos
guardar en una caja cuadrada de 16cm
por lado?
Arista: Es la línea que une los lados del
cubo.
Volumen del cubo = a3.
Donde “a” representa la medida de la arista
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4.
La velocidad de la luz puede medirse al
dividir la distancia desde el Sol a la Tierra
(1,47x1011 m), con el tiempo que le toma a
la luz del Sol llegar a la Tierra (4,9x10 2 s),
es decir, la velocidad de la luz es
Desarrollo:
1,47 ˜ 1011 m
4,9 ˜ 10 2 s
¿A cuántos metros por segundo equivale
esta expresión?
Exprese el resultado en notación científica.
SCI 2
5. La
luz
que recorre aproximadamente
3u 10 km en un segundo, tarda cerca de
Desarrollo:
5
5u 10 2 s en llegar a la Tierra. ¿Cuál es la
distancia aproximada del Sol a la Tierra?
Expresa su resultado en notación científica
SCI 2
6. Sí
la
luz
recorre aproximadamente
3u 10 km en un segundo ¿Cuántos
segundos tarda en llegar la luz desde el Sol
a Neptuno? USE MODO FIX 2
Desarrollo:
7. El estadounidense promedio consume
36Kg. de vegetales al año. Si hay unos 250
millones de estadounidenses, ¿cuántos
kilogramos de vegetales se necesitan para
abastecerlos cada año?
Exprese el resultado en notación científica.
SCI 1
Desarrollo:
5
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8. Plutón
queda
aproximadamente
a
3,574 u 10 millas de la Tierra. Si una nave
Desarrollo:
9
espacial pudiera viajar a 1,8 u 10 millas por
4
hora, ¿cuánto tardaría en llegar a Plutón?
Exprese su resultado en notación científica,
SCI 1
9. Una unidad astronómica (UA) se define
Desarrollo:
como la distancia promedio de la Tierra al
7
Sol (aproximadamente 9,3 u 10 millas ). El
cometa Halley logra acercarse a 0,6 UA del
Sol y se aleja hasta las 18 UA desde el Sol.
Expresa esas distancias en millas como
notación científica, con SCI 2 para la
primera y SCI 3 para la segunda distancia.
10. Un albañil quiere colocar 121 baldosas en
una
habitación
cuadrada.
¿Cuántas
baldosas tendrá que colocar en cada lado?
Desarrollo:
Selección Múltiple
Con el siguiente enunciado contesta
las preguntas 11, 12 y 13
Desarrollo:
Una bacteria cada una hora se reproduce
10 veces más que la hora anterior
11. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de dos
horas?
a)
b)
c)
d)
e)
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10
100
1.000
10.000
100.000
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12. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 4 horas?
Desarrollo:
a) 40
b) 100
c) 1.000
d) 10.000
e) 100.000
13. Si se tienen 10 millones de bacterias,
¿cuántas bacterias había en la hora
anterior?
Desarrollo:
a) 100
b) 10.000
c) 100.000
d) 1.000.000
e) 10.000.000
14. Los
expertos dicen que la tasa de
crecimiento de la población mundial se
encuentra entre un 2% y un 4% anual.
Desarrollo:
Según estudios realizados se sabe que en
los siguientes 8 años la tasa de crecimiento
es exactamente de un 2%, lo cual nos
permite predecir la población mundial para
el año siguiente multiplicando la población
actual del mundo por el factor 1,02. Si la
población en el año 2009 era de 6.730
millones de personas, ¿cuál es la población
al término del año 2013?
Exprese el resultado en notación científica,
SCI 3.
a) 7,28 u 10
b) 7,14 u10
9
c) 2,75 u 10
d)
e)
Página 62
9
4
7,28 u 103
7,14 u 103
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15. El grosor de un cabello humano es de
Desarrollo:
2
2 u 10 mm , una persona en promedio
tiene 9.000 cabellos, ¿cuál es el grosor
total de los cabellos en milímetros?
a)
b)
c)
d)
e)
45
180
360
4.500
45.000
16. Un señor tiene una parcela cuadrada de
10.000 m2. Desea plantar árboles alrededor
de ella cada 5m, considerando plantar uno
en
cada
esquina.
¿Cuántos
árboles
necesitará para rodear su parcela?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
20
80
100
2.000
8.000
Con el siguiente enunciado contesta
las preguntas 17, 18 y 19
Desarrollo:
Pablo compra un terreno rectangular de
120.050 m2 de superficie, donde el largo
es el doble del ancho. Además se sabe
que cada metro cuadrado tiene un valor de
0,3 UF
17. ¿Cuántos metros de ancho tiene el terreno
de Pablo?
a)
b)
c)
d)
e)
Página 63
141,45
173,24
245,00
346,48
490,00
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18. ¿Cuántos metros mide el largo del terreno
de Pablo?
a)
b)
c)
d)
e)
141,45
173,24
245,00
346,48
490,00
19. ¿Qué valor paga Pablo por el terreno,
expresado en UF?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
Desarrollo:
441,0 UF
9.003,8 UF
18.007,5 UF
30.012,5 UF
36.015,0 UF
20. Luis reparte pan en 8 comunas, en cada
comuna reparte a 8 almacenes y en cada
almacén entrega 8 kilos de pan y esto lo
realiza 8 veces al día, ¿cuántos kilos de pan
reparte Luis en 8 días?
Desarrollo:
a) 40
b) 512
c) 4.096
d) 32.768
e) 262.144
Preguntas de Desarrollo
21. Juan compra un terreno cuadrado de 5041
m2 de superficie. ¿Cuántos metros de fondo
tiene el terreno?
Desarrollo:
22. Pedro desea construir una piscina con
forma de cubo y que contenga 125 m3 de
agua. ¿Cuántos metros de profundidad
tendrá la piscina?
Desarrollo:
Página 64
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23. Camila tiene una cartulina
rectangular
donde el largo es el doble del ancho. Ella
debe cortar la cartulina en dos partes
iguales, tal como lo indica el dibujo. Si la
superficie total de la cartulina es de 2048
cm2, ¿cuáles serán las medidas de los
trozos de cartulina después de recortarla?
Desarrollo:
24. Gabriela tiene una piscina rectangular de
Desarrollo:
25. Una
Desarrollo:
volumen 384 m3, en la cual el ancho es el
doble de la profundidad y el largo es el
triple de la profundidad. ¿Cuál es la
profundidad de la piscina?
(El volumen de una figura rectangular se
obtiene multiplicando largo por ancho por
alto)
empresa decide expandirse a 7
regiones del país, abriendo dos nuevas
sucursales en cada una de ellas. Para
promover el negocio se instalan 4 afiches
publicitarios en cada sucursal; cada afiche
es cuadrado y tiene un área de 11,56 m2.
De acuerdo con los datos:
a) ¿cuál es la medida del lado del afiche
publicitario?
b) Si el costo de producción de cada afiche
es de $24.900, ¿cuál es el total
invertido en publicidad por esta
empresa?
26. Luis tiene un negocio de reparto de gas a
Desarrollo:
domicilio. En cada una de sus 7 sucursales
trabajan 7 personas durante 7 horas
diarias. Si cada una despacha 7 pedidos
por hora, ¿cuántos pedidos en total realiza
la empresa de Luis diariamente?
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27. Se desea construir una torre con cajas
cuadradas. Si se sabe que el volumen de
cada una de las cajas cuadradas es de 32.768
cm3, ¿cuánto mide el alto de la torre si se
apilan 50 cajas iguales?
Desarrollo:
28. A Gabriel le regalaron un dado gigante y le
dijeron que tiene 1.331 cm3 de volumen.
¿Cuántos cm mide cada arista del dado?
Desarrollo:
1,32 u 10 3 kg .
Desarrollo:
29. Un insecto tiene un peso de
Hay un animal que pesa 415 veces el peso
de este insecto, ¿cuál es peso del animal
expresado en notación científica? SCI 3
30. Marcela necesita avisar a sus 30 compañeros
de curso que no habrá clases, y para esto
decide hacer una cadena telefónica. Llama a
dos compañeros y les pide que le avisen a
dos compañeros más y cada uno de estos
debe avisar a otros dos más y así
sucesivamente, hasta que todos estén
enterados. ¿Cuántos compañeros serán los
últimos en enterarse y no tendrán que llamar
a algún compañero?
Desarrollo:
Selección Múltiple
Con el siguiente enunciado contesta las
preguntas 31 y 32
Desarrollo:
En un Call Center, se trabajan 8 horas diarias
y se estima que las llamadas registradas en
un día se cuadruplican cada una hora. En la
primera hora de trabajo se atienden 4
llamadas. De acuerdo a esta información:
31. ¿Cuántas llamadas se
han recibido en la
quinta hora después de haber iniciado la
jornada laboral?
a)
b)
c)
d)
e)
Página 66
20
24
256
1.024
4.096
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32. ¿Cuál es el total de llamadas que atiende el
Desarrollo:
call center en un día de trabajo?
a)
b)
c)
d)
e)
32
21.884
65.536
87.376
87.380
Con el siguiente enunciado contesta
las preguntas 33, 34 y 35
Desarrollo:
Carlos contrató un servicio de telefonía para
su casa que tiene un costo mensual de
$27.900. Por la buena atención que recibió y
por el buen plan que contrató, decide llamar
a dos de sus amigos para contarles de su
nuevo convenio. Sus dos amigos, al acercarse
a la sucursal y recibir los mismos beneficios
que Carlos, decidieron llamar a dos amigos
más y así promover el buen servicio. Todos
los
amigos
que
fueron
contactados,
decidieron continuar con la cadena iniciada
por Carlos. La cadena de contactos culmina
en la octava etapa. De acuerdo a la
información proporcionada
33. ¿Cuántas personas contrataron los servicios
de telefonía en la octava etapa del proceso
iniciado por Carlos?
a)
b)
c)
d)
e)
16
64
128
256
512
34. ¿Cuál es el total mensual recaudado por la
Desarrollo:
empresa, después de efectuados todos
estos nuevos contratos?
a)
b)
c)
d)
e)
Página 67
$2.380.800
$7.142.400
$7.254.000
$14.229.000
$14.256.900
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35. Una de las preguntas realizadas a las
personas que contratan este servicio es:
“Cómo usted obtuvo la información”. Los
ejecutivos al darse cuenta que este proceso
fue iniciado por Carlos, deciden otorgarle
un descuento de $20 en la boleta del
siguiente mes por cada nuevo contrato
que se firmó.
Desarrollo:
¿Cuál es el total que le descontaron a
Carlos en su boleta?
a)
b)
c)
d)
e)
$2.048
$4.096
$5.120
$10.200
$10.220
36. Una cava de vino tiene una capacidad de
Desarrollo:
4,8 u 10 cc , se quieren llenar botellas que
6
tienen una capacidad de 800cc
¿Cuántas botellas se pueden llenar?
a) 60
b) 600
c) 6.000
d) 38.400
e) 384.000
37. Se calcula que en la vía láctea hay 1,2 u 10
11
Desarrollo:
estrellas aproximadamente. Si se cuenta
una estrella por segundo.
¿Cuántos años tomaría contar todas las
estrellas?
a) 1.212,6
b) 1.902,6
c) 2.467,7
d) 3.333,0
e) 3.805,2
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Con el siguiente enunciado contesta
las preguntas 38 y 39
Desarrollo:
En una oficina se quiere pintar una pared
cuadrada cuya área es de 31,36m2. El
maestro contratado necesita colocar por el
contorno de la pared una huincha
protectora.
38. ¿Cuántos metros de huincha necesitará en
total para proteger los cuatro lados de la
pared?
a) 5,60
b) 15,68
c) 22,40
d) 31,36
e) 62,72
39. Sí el valor del metro
seleccionado es de $545.
de
huincha
Desarrollo:
¿Cuánto se debe cancelar por toda la
huincha que se necesita?
a)
b)
c)
d)
e)
$3.052
$8.546
$12.208
$17.091
$34.182
40. ¿Cómo se puede expresar como potencia el
siguiente enunciado?:
“Pedro camina la cuarta parte de la cuarta
parte de la cuarta parte del viaje que hace
en bus”
Desarrollo:
a) 1 4
3
b) 1 / 4
3
c) 1 / 4
2
d) 1 4 ˜ 1 4
3
e) 3 4
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Respuestas Guía de Estudio N°4:
“Notación Científica, Potencias y Raíces”
1.
43
2.
En una semana reparte 64 = 1.296 bebidas.
3.
64 herraduras.
a) El volumen del cubo de arista 4 es 43=64
cm 3 .
b) Alcanzan 8 cubos rubick.
>m s@.
4.
La velocidad de la luz es 3 x 108
5.
La distancia aproximada del sol a la tierra es 1,5 x 108 km.
6.
El tiempo que tarda en llegar la luz de sol a Neptuno es 14,97 segundos
aproximadamente.
7.
La cantidad de vegetales consumidos en un año en Estados Unidos es 9 x 109 kg.
8.
La nave tardaría 2 x 105 horas aproximadamente.
9.
La distancia que recorre el cometa Halley desde el sol es entre 5,6 x 107 millas y 1,67 x
109 millas.
10. 11 baldosas.
11
B
12
D
13
D
14
A
15
B
16
B
17
C
18
E
19
E
20
D
21. El terreno tiene 71 m de fondo.
22. 5 metros de profundidad.
23. Serán dos cuadrados de 32 cm por lado.
24. La profundidad es 4 metros.
25. a) La medida del lado del afiche es de 3,4 metros.
b) Para instalar todos los afiches se debe cancelar $1.394.400.
26. Cada día se realizan 2.401 pedidos de gas.
Página 70
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27. La torre tiene un alto de 1.600cm = 16 metros.
28. 11cm de lado.
29. 5,48 x 10-1 Kg.
30. 16 son los últimos en enterarse y no tendrán que llamar a otro compañero.
31
D
Página 71
32
E
33
D
34
E
35
D
36
C
37
E
Nivelación Matemática
38
C
39
C
40
B