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Dirección de Formación General
Programa de Matemática
Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001
UNIDAD II:
“CANTIDADES PROPORCIONALES”
Material de Estudio Guía N°5:
“Trabajando con Razones”
Una Razón: Es una comparación entre dos o más cantidades por medio de la división, se
escribe de la forma a : b, donde “a” es el antecedente y “b” es el consecuente, es decir:
Ejemplo Nº1:
En un curso existe un total de 42 alumnos, de los cuales 10 son mujeres y 32
hombres, se puede comparar estas cantidades de personas de distintas
maneras o formas para hacer un razonamiento
Ejemplo N°2:
En una fiesta la razón entre los hombres y las mujeres es
3:5 .
Si en la
fiesta hay 12 hombres, ¿Cuántas mujeres hay?, ¿Cuántas personas en total
hay en la fiesta?
Información:
La razón
H
M
3
5
Uniendo la información, remplazando los
datos entregados y resolviendo:
Cantidad de hombres 12
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R: Así tenemos que la cantidad de mujeres es 20
Podemos contestar las preguntas iniciales:
Ejemplo N°3:
Alberto y Esteban trabajan en la misma fábrica sellando cajas, en total ellos
sellan 160 cajas diariamente, la razón entre las cantidades de cajas selladas
por Alberto y Esteban diariamente es
3: 2
, ¿Cuántas cajas semanalmente
sella Alberto, si todos los días sella la misma cantidad y trabaja de Lunes a
Viernes?
Lo primero es reconocer la información que se nos entrega en el enunciado:
Datos:
La razón entre Alberto y Esteban
A
E
3
2
En total sellan 160 cajas diariamente
Si en el enunciado nos entregan el total, para poder resolver el ejercicio, debemos
aplicar la siguiente técnica:
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Paso 1: El total es dividido en 5 partes iguales, 3
partes para Alberto y 2 partes para Esteban
A
E
3
2
Alberto
Esteban
Paso 2: Para determinar el valor de Una parte, debemos dividir el total en el total de
partes.
160 : 5 32 Así tenemos que cada una
de las partes vale 32
Alberto
Esteban
Paso 3: Para determinar cuánto le corresponde a cada
uno, debemos multiplicar el valor de UNA PARTE por
la cantidad de partes que tiene cada uno.
Alberto
Esteban
El valor de cada parte es 32, por lo tanto:
3 ˜ 32 96
2 ˜ 32 64
Paso 4: ¿Cuántas cajas semanalmente sella Alberto, si todos los días sella la misma
cantidad y trabaja de Lunes a Viernes?
Alberto sella diariamente 96 cajas
1 día = 96 cajas
1 semana = 5 días
1 semana = 96 x 5 = 480
Tenemos entonces que Alberto en una semana de trabajo, trabajando
de Lunes a Viernes y sellando la misma cantidad todos los días, sella
en total 480 cajas
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Ejemplo Nº4:
El siguiente esquema esboza la manera en que un padre de familia
hace la distribución proporcional de sus gastos mensuales. Si el
ingreso mensual del Padre es de $720.000, ¿Cuánto dinero destina al
pago del colegio de sus hijos?
Luz y
Agua
Arriendo
Locomoción Supermercad
Pago Colegio
Gastos Varios
Datos:
- Del enunciado tenemos que el ingreso mensual total del padre es de $720.000.
- Del esquema, podemos determinar que el ingreso total se divide en 18 partes
iguales (sumando las partes de cada categoría).
Paso 1: El ingreso total dividirlo en 18 partes iguales 720000 : 18 = 40.000 (cada
parte del esquema tiene un valor de 40.000)
Paso 2: Para determinar cuánto le corresponde al pago del colegio, debemos
multiplicar el valor de una parte por la cantidad de partes que le corresponde a esa
categoría.
R: Por lo tanto, para pagar el colegio se destinan $160.000
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Ejemplo Nº5:
Andrés y Felipe reciben cantidades de dinero que están en la razón
4:9,
se
sabe que Felipe recibe $128.000 más que Andrés, ¿Qué cantidad de dinero
recibe Andrés?
Lo primero identificar los datos que nos proporciona el enunciado:
Datos:
- La razón entre Andrés y Felipe
A
F
4
9
- Felipe recibe $128.000 más que Andrés , significa que NO tengo el total, si no que
tengo en cuánto le gana Felipe a Andrés, por lo tanto lo que nos entrega el enunciado,
corresponde a la diferencia de dinero entre Felipe y Andrés.
Paso 1: Mostremos la distribución del
dinero en un esquema.
Al observar el esquema, nos podemos dar cuanta que Felipe tiene 5
partes más que Andrés, por lo tanto estas 5 partes de diferencia
corresponden al dinero que tiene de diferencia, que son los $128.000.
Paso 2: El dinero que tienen de diferencia, se debe dividir por las partes que tienen de
diferencia, para así encontrar el valor de una parte.
128.000 : 5 = 25.600 (este es el valor de CADA PARTE)
Paso 3: Para saber cuánto dinero recibe Andrés, debemos multiplicar el valor de una
parte, que es de $25.600 por la cantidad de partes que le corresponden a él.
ANDRÉS
FELIPE
4 u 25.600 $102.400
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Por lo tanto, podemos
responder y decir que
Andrés recibe $102.400
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FORMA Nº2
Andrés y Felipe reciben cantidades de dinero que están en la razón 4 : 9 , se
sabe que Felipe recibe $128.000 más que Andrés, ¿Qué cantidad de dinero
recibe Andrés?
Lo primero identificar los datos que nos proporciona el enunciado:
Datos:
- La razón entre Andrés y Felipe
A
F
4
9
- Felipe recibe $128.000 más que Andrés , significa que NO tengo el total, si no que
tengo en cuánto le gana Felipe a Andrés, por lo tanto lo que nos entrega el enunciado,
corresponde a la diferencia de dinero entre Felipe y Andrés.
Paso 1: Mostremos la distribución del
dinero en un esquema.
Al observar el esquema, nos podemos dar cuanta que Felipe tiene 5
partes más que Andrés, por lo tanto estas 5 partes de diferencia
corresponden al dinero que tiene de diferencia, que son los $128.000.
Andrés recibe
x
x 128000
Felipe recibe
Paso 2: Reemplazar las expresiones del paso anterior
en la razón entregada en el enunciado.
Reemplazando los datos anteriores, en el lugar que les corresponde,
tenemos
4
9
x
x 128000
A
F
4
9
Paso 3: Para determinar el valor de
cruzado
x ˜ 9 4 ˜ x 128000
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x , debemos multiplicar
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Paso 4: Ahora debemos resolver la ecuación que
ha quedado planteada.
Paso 5: Del paso 1, tenemos que:
Andrés recibe
Felipe recibe
x
x ˜ 9 4 ˜ x 128000 9 x 4 x 512000
9 x 4 x 512000
5 x 512000
512000
5
x 102.400
x
x 128000
Al resolver la ecuación, obtuvimos que:
x 102.400
Por lo tanto, podemos responder y decir que Andrés recibe $102.400
Apuntes de
clases:
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Guía de Estudio N°5:
“Razones”
1. En un curso de 36 alumnos, 9 fueron
reprobados, ¿cuál es la razón entre la
cantidad de aprobados y la cantidad de
alumnos del curso?
Desarrollo:
2. En un terreno, el área construida es de 120
metros cuadrados y el área libre es de 80
metros cuadrados, ¿cuál es la razón entre el
área construida y el área del terreno total?
Desarrollo:
3. En un curso, la razón entre hombres y
mujeres es 4:5. Si hay 20 hombres, ¿cuántas
mujeres hay en el curso?
Desarrollo:
4. Luis ha invertido en la bolsa de valores y la
razón entre la inversión y la ganancia es 3:7.
Si Luis invirtió $420.000, ¿cuánto es la
ganancia que obtuvo?
Desarrollo:
5. Alicia, Cristina y Paola reciben una herencia
de 45 millones de pesos, la cual deben
repartir en la razón 2:3:4. ¿Cuánto dinero
recibe cada una?
Desarrollo:
6. Luis y Pedro participan en un acorrida
familiar, las distancias recorridas por Luis y
Pedro están en la razón 8:7, si en total entre
los dos recorrieron 60 kilómetros, ¿cuántos
kilómetros recorrió Pedro?
Desarrollo:
7. El siguiente esquema esboza la manera en que un padre de familia hace la distribución
proporcional de sus gastos mensuales. Si el ingreso mensual del Padre es de $720.000,
¿cuánto dinero destina al pago del colegio de sus hijos?
Desarrollo:
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8. Los ahorros de Ignacio y Paula se
encuentran en la razón 5:2. Si Ignacio
tiene ahorrado $326.400 más que Paula,
¿cuánto dinero ahorrado tienen los dos en
total?
Desarrollo:
9. El siguiente dibujo muestra los ingresos
Desarrollo:
mensuales proporcionales entre Pablo y
Alejandra. Se sabe que Pablo gana
$250.000 más que Alejandra, ¿cuál es el
ingreso mensual que recibe de cada uno?
10. El siguiente gráfico, dividido en partes
iguales,
muestra
la
distribución
correspondiente a la cantidad de oficinas
que hay en una empresa. La empresa
informa que la diferencia entre la cantidad
de oficinas de Atención al Público y RRHH
es 40, ¿cuántas oficinas en total tiene la
empresa?
Desarrollo:
11. Una empresa exporta tres tipos de
productos A, B y C, y las unidades
exportadas mensualmente se encuentran
en la razón 13:12:10. Determine:
Desarrollo:
a) Si en total se exportan 8.400 unidades,
¿cuántas unidades de cada producto se
exportan?
b) Si el valor unitario de exportación del
producto A es $3.440, ¿cuánto dinero
se recibe por exportar este producto?
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12. En un estadio los espectadores se dividen
en dos grupos, en un grupo son hinchas del
equipo A y en el otro grupo del equipo B.
Los hinchas del equipo A son 20.400 y los
del equipo B son 12.000 más que los del
equipo A. ¿Cuál es la razón entre el número
de hinchas del equipo B con respecto al
total de hinchas que hay en el estadio?
13. Durante
un
año
determinado,
las
exportaciones de harina de pescado de dos
pesqueras están en la razón de 13:7. Si la
diferencia entre las exportaciones es de
96.000 toneladas, ¿cuántas toneladas
fueron
exportadas
por
la
primera
pesquera?
14. El
siguiente
esquema
muestra
la
distribución proporcional entre los dos tipos
de contratos que tiene una empresa.
Desarrollo:
Desarrollo:
Desarrollo:
a) Establecer la razón entre los contratos
indefinidos con respecto al total
b) Establecer la razón entre los contratos a
plazo fijo con respecto al total
c) Establecer la razón entre los contratos
indefinidos y los contratos a plazo fijo
d) Si hay 12 trabajadores más con contrato
fijo que con contrato Indefinido ¿Cuántos
trabajadores hay con cada tipo de
contrato?
15. Una empresa automotriz confecciona dos
tipos de repuestos para autos A y B, las
cantidades fabricadas mensualmente se
encuentran en la razón 24:29, si del
repuesto de tipo B se confecciona 2.784
unidades
mensualmente,
¿cuántas
unidades
del
tipo
A
se
fabrican
mensualmente?
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Desarrollo:
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16. El siguiente esquema muestra la distribución de calificaciones en la Prueba de
Diagnóstico de Nivelación Matemática en el año 2012. Cada esquema está dividido en
partes iguales.
a) De un curso de 36 alumnos, ¿cuántos reprobaron la Prueba de Diagnóstico?
b) De los que reprobaron la Prueba de Diagnóstico, ¿cuántos fueron “Destacados”?
Desarrollo:
17. La razón entre los viajes realizados y los
litros de combustibles utilizados es 1:24. Si
se
han
utilizado
4.800
litros
de
combustible, ¿cuántos viajes se realizaron?
Desarrollo:
18. Las medidas del largo y el ancho de un
terreno rectangular están en la razón
10:7. Si la diferencia entre las medidas del
terreno es de 18 metros, ¿cuál es el
perímetro del terreno rectangular?
Desarrollo:
19. El siguiente esquema muestra la distribución proporcional que Mónica hizo de un
bono entregado por su empresa debido al cumplimiento de metas. Se sabe que la
diferencia entre el pago del dividendo y la cena familiar es de $70.000.
a) ¿Cuál es el total del bono que recibió?
b) ¿Cuánto dinero destina al pago del préstamo?
Desarrollo:
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20. Las distancias recorridas por Camila y
Daniela para llegar de su casa al trabajo
se encuentran en la razón 4:7. Si en total
entre las dos recorren cada día 66
kilómetros, ¿cuál es la distancia que
recorre Camila para llegar de su casa al
trabajo?
Desarrollo:
Selección Múltiple
21. En una librería se determinó que en un mes
se venden 104 libros de ficción y 156 libros
de novela. Establecer la razón entre los
libros de novela con respecto al total de
libros vendidos.
Desarrollo:
a) 5 : 3
b) 2 : 5
c) 3 : 2
d) 2 : 3
e) 3 : 5
22. El largo y el ancho de una cancha de fútbol
están en la razón de 5:2. Si entre el ancho
y el largo se tienen en total 31,5 metros,
¿cuántos metros más mide el largo que el
ancho de la cancha de fútbol?
a)
b)
c)
d)
e)
4,5
9
10,5
13,5
22,5
23. Las velocidades máximas de un auto de
ciudad y un auto fórmula 1 se encuentran
en la razón de 2:5. Si la velocidad del auto
de ciudad es de 68 km/h, ¿cuál es la
velocidad en km/h del auto de Fórmula 1?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
Desarrollo:
27
136
170
204
340
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24. El siguiente esquema refleja en forma
proporcional la cantidad de personas
encuestadas que contrataron y que no
contratan los servicios de cuenta corriente
de un banco en un mes. Si en total en ese
mes se encuestaron a 132 personas,
¿cuántas personas contrataron los servicios
de cuenta corriente del banco en ese mes?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
33
36
66
88
96
25. Un comerciante de frutas ha determinado
que la razón entre las manzanas y las
peras que tiene para vender es de 8:3. Si
se tienen 60 manzanas más que peras,
¿cuántas manzanas tiene el comerciante?
a)
b)
c)
d)
e)
12
36
44
96
108
26. Una empresa entrega a sus trabajadores
un bono semestral cuya cantidad depende
del puesto que tiene el trabajador. La razón
entre el bono recibido por dos personas de
la empresa se encuentra en la razón 5:8, si
la persona que recibe el mayor bono recibe
$131.200.
¿Cuál es
persona?
a)
b)
c)
d)
e)
Página 104
Desarrollo:
el
bono
que
recibe
la
Desarrollo:
otra
$50.461
$65.600
$80.739
$82.000
$209.920
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27. Dos hermanos, Carlos y Andrea, deciden
comprar un regalo para su madre y pagarlo en
forma proporcional al dinero que cada uno tiene.
Si Carlos tiene $60.000 y Andrea $40.000 y el
regalo
tiene un valor de $54.000, ¿cuánto
dinero debe aportar Carlos?
a)
b)
c)
d)
e)
$10.800
$21.600
$32.400
$36.000
$43.200
28. Alberto y Rubén reciben cantidades de dinero
que están en la razón 4:9, ¿cuánto dinero recibe
Alberto, si se sabe que la diferencia de dinero
entre ellos es de $62.500?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
Desarrollo:
$12.500
$19.230
$43.270
$50.000
$112.500
29. Andrea recibió su cartola cuatrimestral de la AFP y en ella le entregan el gráfico N°1 para
mostrarle cómo están repartidos sus fondos entre los obligatorios y el APV. En la cartola le
señalan que el total de sus ahorros asciende a $12.600.000. Considerando esta información
Andrea construye el gráfico 2 en forma proporcional, para determinar la cantidad de dinero
que gastará en sus vacaciones, considerando que utilizará solo sus fondos voluntarios.
¿Cuánto dinero destina Andrea a sus vacaciones?
a)
b)
c)
d)
e)
$525.000
$840.000
$1.680.000
$2.520.000
$3.360.000
Desarrollo:
Página 105
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30. Una empresa confecciona mensualmente 56
mesas cuadradas y 48 mesas redondas.
¿Cuál es la razón entre el número de mesas
redondas y cuadradas?
Desarrollo:
a) 13 : 7
b) 7 : 6
c)
6 : 13
d) 6 : 7
e) 7 : 13
31. Los días trabajados en un año de Carlos y
Esteban están en la razón 11:14. Si Esteban
trabajó 60 días más que Carlos, ¿cuántos días
trabajó Esteban en el año?
Desarrollo:
a) 20
b) 120
c) 220
d) 280
e) 300
32. Roberto gana mensualmente $640.000 y
Laura $480.000, y pagan las cuentas básicas
de su casa de acuerdo a la razón de sus
ingresos. Si en total pagaron por las cuentas
$453.600, ¿cuánto dinero aportó Laura?
a)
b)
c)
d)
e)
$64.800
$129.600
$194.400
$226.800
$259.200
33. El siguiente esquema refleja en forma
proporcional las edades de Ana y Julia. ¿Qué
edad tiene Julia, si la suma de sus edades es
96 años?
a)
b)
c)
d)
e)
Página 106
Desarrollo:
12
24
36
48
60
Desarrollo:
años
años
años
años
años
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34. En una agencia de viajes, en la temporada
de verano del 2013, se vendieron un total
de 192 paquetes turísticos, de los cuales 72
tenían destino a Europa y el resto era con
destino al Caribe. ¿Cuál es la razón entre
los viajes al Caribe vendidos con respecto
al total?
a)
b)
c)
d)
e)
5:3
5:8
3:8
1: 4
3:5
35. La cantidad de toneladas exportadas de un
cierto producto por dos empresas A y B,
están en la razón 6:11. Si la empresa A
exporta
12.000
toneladas,
¿cuántas
toneladas exporta la empresa B?
a)
b)
c)
d)
e)
Página 107
Desarrollo:
11.000
14.400
22.000
26.400
40.800
36. Pedro tiene dinero ahorrado en el banco y
lo retirará para realizar algunos proyectos
de su casa. El siguiente esquema muestra
la distribución del dinero en forma
proporcional. Si Pedro sabe que gastará
$350.000 más en baño que en el jardín,
¿cuánto dinero gastará Pedro en la cocina?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
Desarrollo:
$175.000
$525.000
$700.000
$875.000
$2.275.000
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37. Sergio sabe que en su cuenta corriente tiene
disponibles $712.500 y que en la línea de
crédito cuenta con $850.000. Establecer la
razón entre el dinero de la cuenta corriente y
de la línea de crédito.
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
68 : 57
57 : 68
57 : 125
68 : 125
11 : 125
38. Laura y Pamela confeccionan poleras. Y la
razón entre las poleras que fabrica Laura y
las fabricadas por Pamela en un mes es
3:7.Si se sabe que Pamela confeccionó 144
poleras más que Laura, ¿cuántas poleras
confeccionó Laura?
Desarrollo:
a) 36
b) 72
c) 108
d) 180
e) 252
39. Luis tiene deuda en dos casas comerciales y
éstas están en la razón 11:13. Si la diferencia
entre los montos adeudados es de $11.000,
¿cuál es la deuda total que tiene Luis en
ambas casas comerciales?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
$60.500
$66.000
$71.500
$132.000
$137.500
40. Las temperaturas máxima y mínima de una
ciudad de Chile en el mes de Noviembre de
2012 están en la razón 7:3. Si la temperatura
mínima registrada ese día fue de 12°C, ¿cuál
fue la temperatura máxima?
Desarrollo:
a) 16,0 °C
b) 17,1 °C
c) 20,0 °C
d) 25,2 °C
e) 28 °C
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Respuestas Guía de estudio N°5:
“Razones”
1.
La razón es
3: 4
2.
La razón es
3:5
3.
Hay 25 mujeres
4.
Gana $980.000
5.
Alicia 10 millones, Cristina 15 millones y Paola 20 millones
6.
Pedro recorrió 28 kilómetros
7.
Canceló en el colegio $160.000
8.
En total $761.600
9.
Alejandra $625.000 y Pablo $875.000
10.
Hay 160 oficinas en total
11.
a)
b)
A 3.120 unidades, B 2.880 unidades, C 2.400 unidades
$10.732.800
12.
La razón es
13.
La primera pesquera 208.000 toneladas
27 : 44
14.
a)
b)
c)
d)
15.
5 : 14
9 : 14
5:9
Contrato Indefinido 15 personas, Contrato a Plazo Fijo 27 personas
Del tipo A 2.304 unidades
16.
a)
b)
9 aprobaron el diagnóstico
3 fueron destacados
17.
Se realizaron 200 viajes
18.
El perímetros es de 204 metros
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19.
a)
20.
21
E
Bono de $420.000
Paga por el préstamo $105.000
Camila recorre 24 kilómetros de su casa al trabajo
22
D
Página 110
23
C
24
B
25
D
26
D
27
C
28
D
29
B
30
D
31
D
32
C
Nivelación Matemática
33
E
34
B
35
C
36
C
37
B
38
C
39
D
40
E