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Mechanik III / Prof. Popov / Vorlesung 26.
Ideale und Viskose Flüssigkeiten. Beispiele
Lit.: Gross, Hauger, Schnell und Wriggers, „Technische Mechanik 4“, Kapitel
1.3.3.1, 1.3.3.3, 1.3.3.4
I. Kolbenpumpe. Wie hoch kann das Wasser
dem Kolben in einer
einfachen Kolbenpumpe
folgen?
Lösung: Im statischen
Gleichgewicht gilt:
p0
p0 = p + ρ gh .
h
Vom rein mechanischen
Gesichtspunkt kann h
beliebig groß sein. Der
Druck unter dem Kolben
p = p0 − ρ gh wird aber bei
p
h > p0 / ρ g ≈ 105 /103 /10 = 10m negativ.
Flüssigkeiten können negative Drucke nur
eine sehr kurze Zeit aushalten. Deshalb kann
das Wasser mit der o.g. Pumpe nicht höher
als 10m gepumpt werden. In Wirklichkeit
darf der Druck in einer Flüssigkeit sogar den
Dampfdruck bei der gegebenen Temperatur
unterschreiten. Andernfalls beginnt die Flüssigkeit zu sieden und trennt sich von der Festen Oberfläche.
Wie hoch kann das Wasser bei t=100°C gepumpt werden?
II. Rohrpumpe. Das untere Ende eines abgewinkelten Rohres (Querschnitt A, Gesamtlänge l ist in eine
Flüssigkeit (Dichte ρ )
eingetaucht. Das Rohr
rotiert um die vertikale
Achse mit der Winkelgeschwindigkeit Ω .
h
a) Wie groß ist die
Ausstömungsgeschwindigkeit?
b) Wie groß darf Ω
höchstens sein, damit
an keiner Stelle im
Rohr der Dampfdruck pD unterschritten
wird?
Lösung: Im rotierenden Koordinatensystem
hat die potentielle Energie die Form
mΩ 2 r 2
U = mgz −
. Oder pro Einheitsvolu2
U
ρΩ 2 r 2
men:
= ρ gz −
. Die Bernoullische
V
2
Gleichung nimmt die folgende Form an:
p+
ρv2
ρΩ 2 r 2
+ ρ gz −
= konst .
2
2
p1 +
ρ v12
ρΩ 2 r12
ρ v2
ρΩ 2 r 2
+ ρ gz1 −
= p+
+ ρ gz −
2
2
2
2
Die hydrostatische Druckverteilung in der
ruhenden Flüssigkeit liefert
p1 + ρ gz1 = p0 .
Somit
ρv2
ρΩ2 r 2
.
(1)
+ ρ gz −
p0 = p +
2
2
Das gilt auch am Austrittspunkt A:
ρv 2
ρΩ 2 rA 2
p0 = p0 + A + ρ gz A −
.
2
2
Diese Gleichung liefert die Ausströmungsgeschwindigkeit:
ρ v A2 ρΩ 2 rA2
=
− ρ gz A , ⇒
2
2
v A = Ω 2 rA2 − 2 gz A .
Aus Kontinuitätsgründen ist diese Geschwindigkeit überall im Rohr gleich. Für die Druckverteilung im Rohr ergibt sich aus (1)
ρv 2
ρΩ2 r 2
=
p = p0 − A − ρ gz +
2
2
ρΩ2 ( rA2 − r 2 )
= p0 −
+ ρ g ( zA − z )
2
Der kleinste Druck herrscht bei z = z A und
r = 0 . Er muss größer als der Dampfdruck
ρΩ2 rA2
sein: p = p0 −
> pD .
2
Die Winkelgeschwindigkeit muss demnach
2( p0 − pD )
Ω<
ρ rA2
III. Kavitation
Tritt in einer Flüssigkeit ein negativer Druck
auf, so beginnt sie zu sieden und es bilden
sich Dampfblasen. Wird der Druck wieder
größer, fallen die Blasen zusammen, dabei
erreicht die Geschwindigkeit den Höchstwert
der Größenordnung der Schallgeschwindigkeit c. Beim Zusammentreffen zwischen der
Oberfläche der komprimierenden Blase mit
einer festen Oberfläche entwickelt sich Druck
von ca. pSchlag ρ c 2 . Für Wasser
pSchlag 103106 Pa = 1000 MPa .
1
Solche Drucke führen zum schnellen Verschleiß von festen Oberflächen.
Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt
iωρ = ηλ 2 . Daraus
IV. Strömung einer viskosen Flüssigkeit in
einem kreiszylindrischen Rohr
λ=±
Aus der Symmetrie folgt vx = vx ( r ) . Gemäß
∂v ( r )
.
∂r
Wir schneiden einen koaxialen Zylinder mit
dem Radius r und Länge ∆l frei und berechnen die auf ihn wirkenden Kräfte: viskose
∂v
Kraft Fvisk = τ ⋅ A = η ⋅ 2π r ⋅ ∆l und Druck∂r
2
2
kraft π r p1 − π r p2 . Kräftegleichgewicht:
∂v
π r 2 p1 − π r 2 p2 + 2π r ∆lη
= 0 . Daraus
∂r
p − p2
∂v
∆pr
=− 1
⋅r = −
2η∆l
2 y ∆l
∂r
∆p 2
v (r ) = −
r +C
4η∆l
∆p
Randbedingung: v ( R ) = 0 ⇒ C =
⋅ R2 ;
4η∆l
R 2 ∆p 
2
v (r) = −
1 − (r / R)  .


4η∆l
der Newtonschen Regel gilt τ ( r ) = η
R
π R 4 ∆p
Volumenstrom Q = ∫ 2π rv ( r ) dr =
.
8η∆l
0
Falls das Rohr geneigt ist, muss man statt ∆p
∆p = ∆p + ρ g ∆h
benutzen.
V. Abklingtiefe einer periodischen Strömung
Eine auf der Oberfläche einer Flüssigkeit liegende Platte wird tangential mit der Geschwindigkeit vx ( y = 0 ) = v0 cos ωt bewegt.
Zu bestimmen ist die Strömungsgeschwindigkeit vx ( y ) .
Lösung: Bew. Gl.:
∂v
∂ 2v
ρ x = η 2x
∂t
∂y
Partikuläre Lösung
wird in der Form
ρ ( iωt + λ y ) gesucht.
vx = vex
ωρ
ωρ
i =±
(1 + i ) = ±κ (1 + i ) .
2η
η
κ = ωρ / 2η .
„ Allgemeine partikuläre Lösung“
+ κ 1+ i y
− κ 1+ i y
vx = Ae ( ) + Be ( ) .
Da vx → 0 bei y → −∞ , gilt B = 0 :
κ 1+ i y + iω t
v x = Ae ( )
vx = Re vx = A ⋅ eκ y ⋅ Re ( eiκ y +iωt ) =
= Aeκ y ⋅ cos (κ y + ωt )
Bei y = 0 ist vx = A ⋅ cos ωt ⇒ A = v0 ⇒
vx = v0 eκ y ⋅ cos (κ y + ωt )
„Die Abklingtiefe“ t = 1/ κ = 2η / ωρ .
VI. Strömung in offenen Gerinnen
Bei gegebenem Volumenstrom ist die Dicke
der Schicht zu bestimmen.
Kräftegleichgewicht (x-Richtung):
∂ 2v
ρ g sin α + η 2 = 0 ;
∂y
2
 ρg 
∂v
= −
 sin α ;
2
∂y
Randbed. bei y = 0
 η 
 ρg 
y2
v = −
sin
α
⋅
+ Cy + D

2
 η 
∂v
|y = t = 0 ⇒
Randbedingungen: v ( 0 ) = 0 ;
∂y
 ρg 
C = sin α ⋅ 
⋅t =
 η 
 ρg  
y2 
v ( y ) = sin α ⋅ 
ty
⋅
−
 
2 
 η  
Volumenstrom:
t
1  ρg 
Q = ∫ v ( y ) ⋅ hdy = t 3 ⋅ 
 ⋅ h ⋅ sin α
3  η 
0
 3Qη 
Tiefe der Strömung: t = 

 ρ gh sin α 
1
3
2