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P.C. Corrig´e du DEVOIR N◦ 23 (Centrale-Supelec 2013 PC Math 2)
2015
I Le groupe orthogonal en dimension 2
I.A – Les rotations planes
1. Cette question a ´et´e trait´eeen cours : il suffit d’´ecrire et de r´esoudre un syst`eme traduisant
a2 + c 2 = 1


 2
b + d2 = 1
que A ∈ SO(2), ce qui donne
. Puisque a2 + c2 = 1, il existe un r´eel t tel que
ab
+
cd
=
0



ad − bc = +1
a = cos t et c = sin t. La r´esolution du syst`eme donne ensuite b = − sin t et d = cos t, donc
A = Rt .
cos t − sin t
R´eciproquement, Rt =
appartient bien `a SO(2), pour tout r´eel t.
sin t cos t
2. La surjectivit´e tient a` la question pr´ec´edente : a` toute matrice A de SO(2), on peut associer
au moins un r´eel t tel que A = Rt = ϕ(t).
∀(t, t0 ) ∈ R 2 , ϕ(t + t0 ) = Rt+t0 = Rt × Rt0 = ϕ(t) × ϕ(t0 ) (le calcul a ´et´e fait en cours ; il utilise
les formules d’addition)
Cette application n’est pas bijective : deux r´eels qui diff`erent d’un multiple de 2π ont la mˆeme
image par ϕ qui n’est donc pas injective.
cos t − sin t
x
x cos t − y sin t
2
3. ∀ t ∈ R , ∀ u = (x, y) non nul de R , ρt (u) =
=
.
sin t cos t
y
x sin t + y cos t
x2 sin t + y 2 sin t
x2 cos t + y 2 cos t
\
=
cos
t
et
sin(
u,
ρ
(u))
=
= sin t : t est
cos(u,\
ρt (u)) =
t
x2 + y 2
x2 + y 2
une mesure de l’angle orient´e (u,\
ρt (u)), o`
u ρt est l’endomorphisme (la rotation d’angle t) fRt
canoniquement associ´e a` Rt .
Pour tout k ∈ R ∗+ et tout t ∈ R , l’endomorphisme kρt est appel´e similitude directe de
rapport k et d’angle t.
I.B - Matrices semblables et sous-espaces propres
Soit A, B ∈ Mn (R ) et P ∈ GLn (R ) telles que B = P −1 AP .
1. A et B sont semblables, donc, d’apr`es le cours, ont le mˆeme polynˆome caract´eristique, donc
les mˆemes valeurs propres avec les mˆemes ordres de multiplicit´e. Le spectre de fM ´etant celui
de M , fA et fB ont les mˆemes valeurs propres.
2. Si λ est une valeur propre de A, alors, si X ∈ R n :
X ∈ Eλ (fA ) ⇔ AX T = λ X T ⇔ P BP −1 X T = λ X T ⇔ BP −1 X T = λ P −1 X T
⇔ P −1 X T ∈ Eλ (B) ⇔ ∃ Y T ∈ Eλ (B), X T = P Y T
⇔ ∃ Y ∈ Eλ (fB ), X = fP (Y ) ⇔ X ∈ fP (Eλ (fB )),
d’o`
u l’´egalit´e attendue : Eλ (fA ) = fP (Eλ (fB )).
I.C – Les r´
eflexions
planes
1 0
1. On note K2 =
.
0 −1
On a K22 = I2 : σ0 = fK2 est bien une sym´etrie vectorielle.
x=x
(x, y) ∈ E1 (σ0 ) ⇔
, donc E1 (σ0 ) = Vect (1, 0) .
−y = y
x = −x
(x, y) ∈ E−1 (σ0 ) ⇔
, donc E−1 (σ0 ) = Vect (0, 1) .
−y = −y
L’endomorphisme σ0 = fK2 est une sym´etrie orthogonale puisque ses deux sous-espaces propres
sont orthogonaux.
E1 (σ0 ) et E−1 (σ0 ) ´etant des droites vectorielles, σ0 est la r´eflexion d’axe E1 (σ0 ) = Vect (1, 0) .
1
2. D’apr`es la question I.B.2., la matrice canoniquement associ´ee a` σt est semblable a` K2 , donc :
– σt et σ0 ont les mˆemes valeurs propres : 1 et −1 ;
– E1 (σ0 ) et E−1 (σ0 ) sont les images respectives de E1 (σt ) et E−1 (σt ) par fRt ;
Une rotation vectorielle plane conservant l’orthogonalit´e et la dimension, E1 (σt ) et E−1 (σt )
sont, comme E1 (σ0 ) et E−1 (σ0 ) , des droites vectorielles orthogonales, donc σt est la r´eflexion
d’axe Rt−1 (E1 (σt )) ou R−t (Vect (1, 0)).
3. A de O(2) est telle que det(A) = −1 si et seulement
si AK2 ∈ SO(2) donc si et seulement si
cos t − sin t
il existe un r´eel t tel que AK2 =
donc si et seulement si
sin t cos
t
cos t − sin t
cos t sin t
A=
× K2 =
.
sin t cos t
sin t − cos t
II Matrices directement orthogonalement semblables
Pour A, B dans Mn (R ), on dit que A est orthogonalement semblable a` B (ce que l’on pourra
abr´eger en : A os B) s’il existe une matrice P de O(n) telle que B = P −1 AP et on dit que A
est directement orthogonalement semblable a` B (en abr´eg´e : A dos B) s’il existe une matrice
P de SO(n) telle que B = P −1 AP .
II.A – Propri´
et´
es fondamentales de la similitude
1. Pour toute matrice A de Mn (R ), A = In A In . Comme In ∈ SO(2), A dos A.
Pour tout (A, B) de Mn (R )2 , si A dos B, alors il existe P de SO(n) telle que B = P −1 AP ,
donc A = (P −1 )−1 BP −1 . Puisque P −1 ∈ SO(2), B dos A.
Pour tout (A, B, C) deMn (R )3 , si A dos B et B dos C, alors il existe P et Q de SO(n) telles que
B = P −1 AP et C = Q−1 BQ, d’o`
u C = (P Q)−1 A(P Q). SO(n) ´etant stable par multiplication,
P Q ∈ SO(n) et A dos C. La relation dos est une relation d’´equivalence sur Mn (R ).
On dira donc indiff´eremment que A est directement orthogonalement semblable a` B ou que A
et B sont directement orthogonalement semblables.
On a les mˆemes propri´et´es pour la relation de similitude orthogonale entre deux matrices carr´ees
de mˆeme taille et on ne demande pas de refaire ici les v´erifications.
2. Comme P −1 (α In )P = α In , la seule matrice directement orthogonalement semblables a` αIn
pour α r´eel est αIn elle-mˆeme.
3. Les matrices de SO(2) commutent. Si B est directement orthogonalement semblables `a A,
alors il existe P ∈ SO(2) telle que B = P −1 AP = AP −1 P = A. Si A appartient a` SO(2), la
seule matrice directement orthogonalement semblables `a A est A.
4. Si A est directement orthogonalement semblables a` K2 , alors il existe P ∈ SO(2) telle que
A = P −1 K2 P .
cos t − sin t
cos t sin t
−1
T
Comme il existe t ∈ R tel que P =
,P =P =
et
sin t cost − sin t cos t
cos 2t − sin 2t
cos θ sin θ
A=
=
.
− sin 2t − cos 2t
sin θ − cos θ
Les matrices directement orthogonalement semblables a` K2 sont celles de O(2)\ SO(2), donc
celles des r´eflesions planes (d’apr`es I.C.3.).
II.B – Comparaison des relations de similitude.
Avec SO(n) ⊂ O(n) ⊂ GLn (R ), si deux matrices sont directement orthogonalement semblables
alors elles sont orthogonalement semblables et si deux matrices sont orthogonalement semblables
alors elles sont semblables.
1 1
1. 2 est valeur propre de A =
(la somme de chaque ligne vaut 2) associ´ee au vecteur
1 1
1
−1
propre
et 0 est l’autre valeur propre (la trace vaut 2) associ´ee au vecteur
: la matrice
1
1
2
√ 
√
2
2
−

T
√2 
P =  √2
 ∈ SO(2) et P AP = B :
2
2
2 2 0 0
1 1
et
sont directement orthogonalement semblables.
0 2
1 1
2. Si ces deux matrices ont directement orthogonalement semblables, alors, d’apr`es I.B.2., les
sous-espaces propres de l’une sont les images respectives des sous-espaces propres de l’autre par
une isom´etrie vectorielle plane. Les sous-espaces propres de la premi`ere sont E1 = Vect (1, 0) et
E2 = Vect (0, 1), qui sont orthogonaux, les sous-espaces propres de l’autre sont F1 = Vect (1, −1)
et F2 = Vect (−2, 1) qui ne sont pas orthogonaux : les seconds ne peuvent ˆetre les images respectives
des
par
puisque celle-ci conserve l’orthogonalit´e.
premiers
une isom´etrie vectorielle
plane 1 0
3 2
1 −2
et
sont semblables (P =
donne P −1 BP = A), mais ne sont pas
0 2
−1 0
−1 1
orthogonalement semblables.
cos t −ε sin t
3. Cherchons une matrice orthogonale P =
, o`
u ε = ±1 telle que B = P T B T P ,
sin t ε cos
t

3 cos t + ε sin t = 3 cos t − sin t



2 cos t = −3ε sin t − ε cos t
ce qui est ´equivalent a` P B = B T P , donc au syst`eme :
.
3 sin t − ε cos t = 2 cos t



2 sin t = −2ε sin t
La derni`ere ´egalit´e donne soit ε = −1, soit sin t = 0. sin t = 0 est impossible puisque cette
hypoth`ese conduirait a` cos t = 0, donc `a l’inexistence de P .
Penons donc ε = −1 ; le syst`eme√est alors ´equivalent
√ a` cos t = 3 sin t, ce qui, coupl´e avec
3
10
10
et cos t = η
, o`
u η = ±1.
cos2 t + sin2 t = 1, donne sin t = η
10
10
√ √ 10 3 1
10 3 1
T T
Il y a donc deux matrices orthogonales P v´erifiant B = P B P :
et −
.
1
−3
1
−3
10
10
3 2
Aucune des deux n’´etant dans SO(2),
et sa transpos´ee sont orthogonalement sem−1 0
blables mais ne sont pas directement orthogonalement semblables.
III Cercle propre d’une matrice
III.A – Cercle
propre
a b
Pour A =
de M2 (R ) et (x, y) de R2 , on note ϕA (x, y) le d´eterminant de la matrice
c
d
a−x b−y
A(x, y) =
et on consid`ere CP A la courbe de R 2 d´efinie par l’´equation :
c+y d−x
ϕA (x, y) = 0.
1. ϕA (x, y) = 0 ⇔ (a − x)(d − x) − (b − y)(c + y) = 0 ⇔ x2 + y 2 − (a + d)x − (b − c)y + ad − bc = 0
2
2
a+d
(a + d)2
b−c
(b − c)2
⇔ x−
−
+ y−
−
+ ad − bc = 0
2
4
2
4
2 2
a+d
b−c
(a − d)2 + (b + c)2
⇔ x−
+ y−
=
2
2
4
a+d b−c
CP A est le cercle (´eventuellement r´eduit a` un point) de centre CA
,
et de rayon
2
2
p
(a − d)2 + (b + c)2
rA =
.
2
2. M (x, y) ∈ CP A ∩ R × {0} ⇔ x2 − (a + d)x + ad − bc = 0 et y = 0.
Le discriminant de cette ´equation du second degr´e est ´egal a` (a − d)2 + 4bc.
1. si (a − d)2 + 4bc > 0, CP A a 2 points d’intersection avec l’axe des abscisses ;
3
2. si (a − d)2 + 4bc = 0, CP A a 1 point d’intersection avec l’axe des abscisses ;
3. si (a − d)2 + 4bc < 0, CP A n’a aucun point d’intersection avec l’axe des abscisses.
a − x
b
= χA (x) est le polynˆome caract´eristique de A : les solutions de
3. ϕA (x, 0) = c
d − x
l’´equation ϕA (x, 0) = 0 sont les valeurs propres de A.
1. si (a − d)2 + 4bc > 0, A a 2 valeurs propres r´eelles distinctes ;
2. si (a − d)2 + 4bc = 0, A a une seule valeur propre r´eelle double ;
3. si (a − d)2 + 4bc < 0, A n’a aucune valeur propre r´eelle.
III.B – Deux cas particuliers
Soit A ∈ M2 (R ).
1. En reproduisant le calcul
p du III.A.1., on trouve que le cercle proprede la transpos´ee de A a
(a − d)2 + (b + c)2
a+d b−c
, mais pour centre CAT
,−
(mˆeme
mˆeme rayon rA = rAT =
2
2
2
abscisse, mais ordonn´ee oppos´ee).
2. A est sym´etrique si, et seulement si, b = c, donc si, et seulement si, le centre de son cercle
propre est sur l’axe des abscisses.
a −c
3. a) Les matrices dont le cercle propre est de rayon nul sont les matrices
, (a, c) ∈ R 2 .
c a
√
1
a −c
a2 + c 2 √ 0
a −c
×
Puisque, si (a, c) 6= (0, 0),
= √
est le
c a
0
a2 + c 2
a2 + c 2 c a
produit d’une matrice de SO(2) par une matrice scalaire, l’endomorphisme canoniquement
associ´e a`√A est la compos´ee commutative d’une rotation vectorielle et d’une homoth´etie de
rapport a2 + c2 (si (a, c) = (0, 0), c’est l’endomorphisme nul).
b) Si le cercle propre de A est r´eduit a` son centre, alors celui-ci a pour coordonn´ees (a, c).
• Le centre appartient au cercle trigonom´etrique si, et seulement si, a2 + c2 = 1. Dans ce cas,
A ∈ SO(2) et fA est une rotation vectorielle plane.
a 0
• Le centre appartient l’axe des abscisses si, et seulement si, c = 0. Dans ce cas, A =
0 a
et fA est l’homoth´etie de rapport a.
c) Lorsque son cercle propre
est de rayon nul et de centre appartenant `a l’axe des or CP A 0 −1
donn´ees {0} × R , alors A = c
et fA est la compos´ee de la rotation vectoreille d’angle
1 0
π
+ et de l’homoth´etie de rapport c (ou l’endomorphisme nul si c = 0, bien sˆ
ur).
2
III.C – Cercle propre et matrices directement orthogonalement semblables
Si deux matrices A et B de M2 (R ) sont directement orthogonalement semblables, alors il existe
T
P ∈ SO(2) telle
que
A = P BP .
a b
e f
4
Posons A =
, (a, b, c, d) ∈ R et B =
, (a, b, c, d) ∈ R 3 .
c d
g h


x
y
p
−p
−p
−x −y

x2 + y 2
x2 + y 2 
Comme
= x2 + y 2 
, c’est le produit d’une matrice
x
y
y −x
p
−p
x2 + y 2
x2 + y 2
d’homoth´etie et de rotation vectorielle. ces endomorphismes commutent avec les matrices de
SO(2), donc:
−x −y
−x −y
−x −y
T
T
T
T
(x, y) = A+
= P BP +
P P = P BP +P
P = P T B(x, y)P .
y −x
y −x
y −x
4
Deux matrices semblables ayant le mˆeme d´eterminant, A et B ont mˆeme mˆeme cercle propre.
III.D – Rectangle
propre
a b
Pour A =
dans M2 (R ) on consid`ere les quatre points (´eventuellement confondus)
c d
E = (d, −c), F = (a, b),G = (d,
b) et H = (a, −c).
1 7
1. Dans le cas o`
uA=
, E = (3, 1), F = (1, 7), G = (3, 7) et H = (1, 1), donc C(2, 4)
−1 3
8
F
7
G
6
5
4
C
3
2
1
H
E
0
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
−1
√
et R = 10.
−−→
−−→
−−→ −−→
2. EG(0, b + c), HF (0, b + c) : EG = HF , donc EGHF est un parall´elogramme.
−−→
−−→ −−→
EH(a − d, 0), donc EG⊥EH et EGHF est un rectangle appel´e rectangle propre de A.
3. Le rectangle est aplati lorsque F = H et G = E ou lorsque E = H et G = F , donc lorsque
b = −c ou a = d.
III.E – D´
orthogonale d’un endomorphisme
ecomposition
a b
Soit A =
dans M2 (R ).
c d
1. D’apr`es III.C ; , deux matrices sont dos si et seulement si, elles ont le mˆeme cercle propre.
......(fin du corrig´e)
2
+
Montrer qu’il existe un unique triplet (α, β,
γ) de R × R que l’on pr´ecisera, tel que A soit
α + γ −β
directement orthogonalement semblable a`
.
β
α−γ
2. Suivant les valeurs de (α, β, γ), pr´eciser le nombre de valeurs propres r´eelles de A.
3. Montrer que pour tout endomorphisme f de R 2 , il existe des r´eels positifs ou nuls k et l, une
rotation plane ρt et une r´eflexion σt0 tels que f = kρt + lσt0 .
´
4. Ecrire
une fonction dans le langage Python qui prend enentr´e
e un quadruplet (a, b, c, d) de
a
b
r´eels et qui renvoie un quadruplet (k, l, t, t0 ) tel que si A =
, on ait fA = kρt + lσt0 .
c d
IV Cercle propre et r´
eduction
5
IV.A – Cercle propre s´
ecant avec l’axe des abscisses
Dans cette section on consid`ere un cercle C(Ω, r) de centre Ω et de rayon r non nul, s´ecant
avec l’axe des abscisses. On note L1 et L2 , de coordonn´ees respectives (λ1 , 0) et (λ2 , 0), avec
λ1 < λ2 , les
deux
points d’intersection de C(Ω, r) avec l’axe des abscisses.
a b
Soit A =
une matrice de cercle propre ´egal a` C(Ω, r). On conserve les notations E, F ,
c d
G, H du III.D.
1. Montrer que A est diagonalisable.
−−→ −−→
2. Montrer que si c 6= 0, alors L1 E, L2 E est une base de R 2 constitu´ee de vecteurs propres
pour fA .
3. Lorsque c = 0, peut-on donner une base de vecteurs propres pour fA a` l’aide du cercle propre
et du rectangle propre ?
4. Montrer que le carr´e du cosinus de l’angle de deux vecteurs propres de A associ´es a` deux
valeurs propres distinctes est d´etermin´e par le cercle C(Ω, r), et ne d´epend pas du choix d’une
matrice A de cercle propre ´egal C(Ω, r) (on pourra, si on le juge utile, introduire la projection
orthogonale de Ω sur l’axe des abscisses).
Qu’en est-il si A est sym´etrique ?
5. Caract´eriser g´eom´etriquement fA lorsque Ω = O, avec O = (0, 0), et r = 1.
6. Caract´eriser g´eom´etriquement fA lorsque CP A est le cercle de diam`etre le segment [O, I] avec
I = (1, 0).
IV.B – Cercle propre tangent `
a l’axe des abscisses
Dans cette section on consid`ere un cercle C(Ω, r) de centre Ω et de rayon r > 0, tangent a` l’axe
des abscisses.
On appelle L, de coordonn´ees (λ, 0), le point de contact de C(Ω, r) avec l’axe des abscisses.
Soit A une matrice de cercle propre ´egal a` C(Ω, r).
1. La matrice A est-elle diagonalisable ? Est-elle trigonalisable ?
2. Peut-on donner un vecteur propre `a l’aide des points L, E, F , G et H ?
3. Que peut-on dire des matrices dont le cercle propre est tangent a` l’axe des abscisses et de
centre situ´e sur l’axe des ordonn´ees ?
4. Montrer qu’il existe un unique
r´eel
non nul α tel que A soit directement orthogonalement
λ α
semblable a` la matrice Tλ,α =
. Pr´eciser α a` l’aide des ´el´ements de la matrice A.
0 λ
O`
u peut-on retrouver ce nombre sur le cercle propre ?
5. Montrer qu’il existe une base orthonorm´ee directe (e1 , e2 ) du plan telle que l’on ait, pour
tout u de R2 , fA (u) = λu + α(e2 |u)e1 .
IV.C – Cercle propre disjoint de l’axe des abscisses Dans cette section on consid`ere un
cercle C(Ω, r) de centre Ω et de rayon r > 0 disjoint de l’axe des abscisses.
On note K le projet´e orthogonal de Ω sur l’axe des abscisses. Soit A une matrice de cercle
propre ´egal a` C(Ω, r).
1. Existe-t-il une matrice P de GL2 (R ) telle que la matrice P −1 AP soit diagonale ?
Existe-t-il une matrice P de GL2 (R ) telle que la matrice P −1 AP soit triangulaire sup´erieure ?
2. D´eterminer les points de C(Ω, r) en lesquels la tangente `a C(Ω, r) contient K.
3. Si U est l’un de ces points, exprimer les valeurs propres de A, consid´er´ee comme ´el´ement de
M2 (C ), `a l’aide de l’abscisse de K et de la distance KU de K a` U .
IV.D – Deux exemples
Danscette section, on consid`ere dans R2 un cercle C(Ω, r) de centre Ω et de rayon r et
a b
A=
une matrice de cercle propre ´egal a` C(Ω, r).
c d
6
1. Dans cette question, ω = (α, β) ∈ R × R ∗ , r = |β| et E = (α + |β|, β).
Pr´eciser les valeurs propres de A et donner une matrice B dont les termes non diagonaux sont
oppos´es et qui soit directement orthogonalement semblable a` A, ainsi qu’une d´ecomposition
orthogonale de l’endomorphisme canoniquement associ´e `a B.
2. Dans cette question Ω = (0, α) avec α > 0 et r = α/2.
Pr´eciser les valeurs propres A et donner une matrice B dont les ´el´ements non diagonaux sont
oppos´es et qui soit directement orthogonalement semblable a` A, ainsi qu’une d´ecomposition
orthogonale de l’endomorphisme canoniquement associ´e `a B.
Faire un dessin dans le cas o`
u α = 6 illustrant les questions IV.C.2 et IV.C.3.
7