Polinomios de Zernike para representar la Aberración de un Frente de Onda Daniel Malacara-Hernández Centro de Investigaciones en Optica, A. C. Junio, 2015 Aberraciones del Ojo Humano Frente de onda esferico Frente de onda aberrado Frente de onda plano Ojo ideal, perfecto Ojo con aberraciones Patrón de Shack-Hartmann en un ojo humano Ejemplos de frentes de onda aberrados Imagen de Hartmann de una córnea humana Polinomios de Zernike • Los polinomios de Zernike para representar aberraciones del frente de onda se han usado durante muchos años. • En el año 2000 se adoptó su uso en optica oftálmica como el standard. • Hay muchas ventajas pero también desventajas en su representación. Algunas ventajas y desventajas • Los polinomios de Zernike son ideales para extraer las características de orden bajo del frente de onda. • Fallan en preservar las componentes de alta de frecuencia espacial del frente de onda. Representacion del frente de onda con polinomios de Zernike M W ( ρ , θ ) = ∑ an Z n ( ρ , θ ) n =0 Zn(ρ, θ) es un polinomio de grado n Polinomios de Zernike Polinomios de Zernike Minimización por mínimos cuadrados Los coeficientes a se obtienen minimizando las desviaciones dentro de la pupila con semi-diámetro unitario: 2π ε= 1 M 2 ⎛ ⎞ a Z ( ρ , θ ) W' − n n ⎟ ρ d ρ dθ ∫θ =0 ρ∫=0 ⎜⎝ ∑ n =0 ⎠ haciendo: 2π 1 ∂ε ⎛ M ⎞ = 2 ∫ ∫ ⎜ ∑ an Z n ( ρ ,θ ) − W' ⎟Z k ( ρ ,θ ) ρ d ρ d θ = 0 ∂ak ⎠ θ = 0 ρ = 0 ⎝ n = 0 Sistema lineal de ecuaciones Sistema de M ecuaciones: 2π 1 2π M 1 ∫θ ρ∫ ∑ a Z ( ρ ,θ )Z ( ρ ,θ ) ρ d ρ dθ = θ∫ ρ∫ W'Z ( ρ ,θ ) ρ d ρ dθ n =0 =0 n =0 n k k =0 =0 Orthogonalidad de los polinomios de Zernike Si los polinomios de Zernike satisfacen la condición de ortogonalidad: 2π 1 M ∫θ ρ∫ ∑ Z n ( ρ ,θ )Z k ( ρ ,θ ) ρ d ρ d θ = Cn δ n ,k =0 =0 n =0 Por lo tanto, la matriz del sistema es diagonal. Coeficientes de los polinomios Los coeficientes del polinomio quedarían dados por: 1 ak = Cn 2π 1 ∫ ∫ W'Z (ρ ,θ )ρ d ρ dθ k θ =0 ρ =0 evitando así una inversión del la matriz. Ventajas de los polinomios de Zernike 1.- Si los puntos de muestreo forman una base continua (muy densa y uniforme), la matriz es diagonal. 2.- Las aberraciones son independientes unas de otras. 3.- Tienen la misma base todas les medidas. 4.- Cada aberración está minimizada. Problemas de los polinomios de Zernike en las medidas de Shack-Hartmann 1.- Los puntos de muestreo no estan uniformemente espaciados ni su densidad es muy alta. 2.- Se miden las pendientes (aberraciones transversales y no las deformaciones del frente de onda. 3.- Las aberraciones interaccionan una con otra. 4.- La matriz del sistema no es diagonal. 5.- Los ajustes polinómicos no pueden representar deformaciones locales. Perfiles del frente de onda que no pueden ser representados por polinomios: Soluciones propustas en el pasado 1.- Se construye un conjunto de polinomios ortogonales vectoriales con una ortogonalización de Gram-Schmidt de los gradientes de los polinomios de Zernike (Zhao and Burge (2007 and 2008). Los polinomios vectoriales tienen que construirse para cada conjunto de datos. 2.- Dai (2006) propone análisis con componentes de Fourier. 3.- Iskander, Morelande et al (2002) estudiaron una representación con los polinomios de Bathia-Wolf. 4.- Treviño (2013) usa funciones circulares de Bessel. 5.- Montoya (1999) propuso el uso de funciones Gaussianas. 6.- Langenbucher et al (2002) usa wavelets. 7.- Iskander (2009) propone el uso de esféricos armónicos. etc., etc. Propuesta El uso de términos monomiales en coordenadas polares para hacer el ajuste de mínimos cuadrados de los datos del patrón de Shack-Hartmann. Ventaja: Las expresiones para las aberraciones son más sencillas y la inversión de la matriz requiere menos cálculos numéricos. Desventaja: Las aberraciones no son ortogonales y la matriz del sistema no es diagonal. Aberraciones Monomiales del Frente de onda r n M 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 1 2 Polynomial P o l a coordinates 1 ρ cos θ ρ sin θ ρ2 ρ2 cos 2θ 3 1 2 3 ρ2 sin 2θ ρ3 cos θ ρ3 sin θ ρ3 cos 3θ As9gma9sm; axis at ± 450 Primary coma along x axis Primary coma along y axis Triangular as9gma9sm; base on x axis 4 ρ3 sin 3θ Triangular as9gma9sm; base on y axis 1 2 3 ρ4 ρ4 cos 2θ ρ4 sin 2θ Primary spherical 5th order as9gma9sm; axis at 00 or 900 5th order as9gma9sm; axis at ± 450 14 4 ρ4 cos 4θ Ashtray at ± 450 15 5 ρ4 sin 4θ Ashtray at 220 ± 450 6 7 8 9 2 3 10 11 12 13 4 r Aberra2on Piston Tilt about y axis Tilt about x axis Focus shi7 As9gma9sm; axis at 00 or 900 r n M 16 5 1 Polynomial P o l a coordinates ρ5 cos θ 17 2 ρ5 sin θ 5th order coma along y axis 18 3 ρ5 cos 3θ 19 4 ρ5 sin 3θ 20 5 ρ5 cos 5θ 21 6 ρ5 sin 5θ r Aberra2on 5th order coma along x axis r n M 22 23 6 1 2 Polynomial Polar coordinates ρ6 ρ6 cos 2θ 24 3 ρ6 sin 2θ 5th order spherical 7th order as9gma9sm; axis at 00 or 900 7th order as9gma9sm; axis at ± 450 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 ρ6 cos 4θ ρ6 sin 4θ ρ6 cos 6θ ρ6 sin 6θ ρ7 cos θ ρ7 sin θ ρ7 cos 3θ ρ7 sin 3θ ρ7 cos 5θ ρ7 sin 5θ ρ7 cos 7θ ρ7 sin 7θ ρ8 7th order coma along x axis 7th order coma along y axis 7th order spherical 7 8 Aberra2on En conclusion: Los polinomios de Zernike son ideales para representar las aberraciones de un frente de onda de un sistema óptico en: a) Interferometría de desplazamiento de fase. b) Medidas directas del frente de onda con alta densidad. con algunas excepciones: a) Datos muy espaciados. b) Las medidas son las pendientes y no las desviaciones del frente de onda. c) Hay irregularidades locales no representables por polinomios. Gracias por su atención!
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