DEVOIR MAISON n˚14 Pour le 04/05/15 AVERTISSEMENT La pr´ esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies. En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte. ` PROBLEME : AU CŒUR DES ENDOMORPHISMES NILPOTENTS ´ EE ´ Partie A - NOYAUX ET IMAGE D’UNE ITER Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E. Pour tout entier naturel p, on notera Ip Im up et Kp Ker up . 1. On suppose dans cette question seulement u injectif. D´eterminer alors : @p P N, Ip et Kp . 2. On revient au cas g´en´eral. Montrer que : @p P N, Kp 3. On pose, pour tout p P N, ip (a) Calculer, @p P N, ip Kp dim Ip et kp dim Kp. 1 et Ip 1 Ip. kp . (b) D´eterminer le sens de variation des suites pip qp et pkp qp . (c) Montrer que pip qp et pkp qp sont born´ees. (d) En d´eduire qu’il existe un plus petit entier naturel r Kr mais aussi Ir 1 Ir . Plus g´en´eralement, prouver que @p P N, Kr p Kr et Ir p Ir . Montrer enfin que E Kr ` Ir . (e) Conclure que Kr 4. 5. ¤ n tel que kr 1 kr . 1 Partie B - L’INDICE DE NILPOTENCE On rappelle que l’on note dim E n. Dans cette partie, on consid`ere u un endomorphisme de E nilpotent, c’est `a dire qu’il existe un entier m P N tel que um 0. Il existe donc un plus petit entier p non nul tel que up 0 mais up1 0. p est appel´e l’indice de nilpotence. 6. Montrer que l’entier p est ´egal ` a l’entier r d´efini `a la Partie A. (On consid´era x P E tel que up1 pxq 0) 7. En d´eduire que p ¤ n. 8. On se propose de red´emontrer le r´esultat du 7. d’une autre fa¸con : soit x P E tel que up1 pxq 0. (a) Montrer que la famille px, upxq, u2 pxq, . . . , up1 pxqq est libre. (On pourra d´ej` a prouver que λ0 x λ1 upxq λp1 up1 pxq 0E (b) En d´eduire p ¤ n. " ñ λ0 0) Partie C - UNE APPLICATION R3 Ñ R3 px, y, zq ÞÑ py, z, 0q On se propose de r´esoudre l’´equation fonctionnelle pE q : f 2 On note u : u d’inconnue f . 9. Soit f une solution de pE q. Montrer que u est nilpotent, en d´eduire que f l’est aussi. 10. Justifier qu’il existe un entier r ¤ 3 tel que f r 0. 11. Calculer f 4 et aboutir ` a une contradiction. 12. Conclure. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI DEVOIR MAISON n˚14 Pour le 04/05/15 ´ EXERCICE : INTRODUCTION AUX SERIES Soit pun qnPN une suite de nombres r´eels, on d´efinit alors la suite pSn qnPN par Sn ¸ La suite pSn qnPN est appel´ee s´erie associ´ee ` a la suite pun qnPN que l’on note ¥ n ¸ un . n 1 On s’int´eresse `a la nature (convergence ou divergence) de la suite pun qnPN et de la s´erie 1. Dans cette question on pose un n 1 2 n pn ¸ ¥ un . n 1 . Quelle est la nature de la suite pun qnPN et de la s´erie ¸ ¥ un ? n 1 1 . 1q (a) D´ecomposer en ´el´ements simples un . 1 (b) En d´eduire que @n P N ,, Sn 1 . n 1 2. Dans cette question on pose un uk . k 1 ¸ (c) Conclure quand ` a la nature de la suite pun qnPN et de la s´erie ¥ un . n 1 n1 . Montrer que, si une suite pxn qnPN est convergente, la suite px2n xn qnPN converge vers 0. 1 Montrer que @n P N , S2n Sn ¥ . 2 En d´eduire que pSn qnPN diverge vers 8. 3. Dans cette question on pose un (a) (b) (c) 4. Exprimer Sn 1 en fonction de Sn et un 1 . On suppose que pSn qnPN converge, quelle est la limite de pun qnPN ? 5. D’apr`es tout ce qui pr´ec`ede que pensez-vous de l’affirmation : « La suite pun qnPN et de la s´erie ¸ ¥ un sont de mˆeme nature. » n 1 Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 2 PCSI
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