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Ann´
ee scolaire 2014/2015
PCSI
dm15
Pour le 4 mai
En alg`
ebre: Au choix trois exercices sur cinq
Il est conseill´e de faire les exercices d’analyse `a titre de pr´eparation au concours blanc.
Exercice 1∗ E d´esigne l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, Soit f l’application
d´efinie sur E par f (P ) = Q o`
u Q est le polynˆome d´efini par Q(X) = (X 2 − 1)P 0 (X) − 2XP (X)
1. Montrer que f est un endomorphisme de E
2. Donner la matrice de f dans la base 1, X, X 2 , X 3 ) de E.
3. D´eterminer Kerf et Imf , donner des bases de ces sous-espaces vectoriels. Quelle est la forme des
polynˆ
omes de Kerf et celle des polynˆomes de Imf ?
4. On consid`ere le polynˆ
ome Q = X 2 + X + 1.
(a) En se servant de f (1), f (X), f (X 2 ) et f (X 3 ), trouver un ant´ec´edent de Q.
(b) Trouver tous les polynˆ
omes P de E tels que f (P ) = Q.
5. Pr´eciser l’endomorphisme g = f ◦ f . Donner sa matrice dans la base canonique de E, son noyau, son
image. Pour P = aX 2 + bX + c, pr´eciser g(P ).
Exercice 2∗ Soit E = Rn [X] et Φ l’application d´efinie sur E par ∀P ∈ E,
Φ(P ) = P 0 + XP 00 .
1. Montrer que Φ est un endomorphisme de E. Donner sa matrice dans la base canonique de E. D´eterminer
Im(Φ) et Ker(Φ)
2. Montrer que Φn+1 = 0.
3. On pose e1 = X n ,
(a) Calculer Φ(e1 )
(b) En d´eduire que (e1 , Φ(e1 ), . . . , Φn (e1 ) est une base de E.
(c) Quelle est la matrice de Φ dans cette base.
4. Montrer que IE + Φ est inversible.
5. Rappel: on sait que 1 + (−1)n+1 xn+1 = (1 + x)
n
X
!
(−1)k xk
k=0
Montrer que IE + Φ est inversible et trouver son inverse.
6. R´esoudre P + P 0 + XP 00 = X n + n2 X n−1 + 1
Exercice 3 O`
u on m´elange de l’analyse et de l’alg`ebre
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. On consid`ere l’application Φ qui `a toute fonction
de E associe
 la fonction g = Φ(f ) d´efinie par:
 f (0) si x = 0

Z x
g : x 7→
1

f (t)dt si x 6= 0
 2x
−x
1. Exemples
(a) On pose f1 : t 7→ t, d´efinir Φ(f1 )
(b) On pose f2 : t 7→ et , d´efinir Φ(f2 )
(c) On pose f3 : t 7→ cos t, d´efinir Φ(f3 )
(d) On pose f4 : t 7→ sin t, d´efinir Φ(f4 )
2. Soit f un ´el´ement de E, justifier l’existence de Φ(f ) et montrer que Φ(f ) ∈ E.
Indication: Pour montrer que Φ(f ) est continue en 0, on utilisera le fait que f admet une primitive que
l’on notera F et on ´ecrira, pour x 6= 0, g(x) sous forme d’un taux d’accroissement puis de la somme de
deux taux d’accroissement faisant intervenir 0.
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Pour le 4 mai
3. Montrer que Φ est un endomorphisme de E.
4. On cherche `
a d´efinir Ker(Φ).
(a) Si f appartient `
a Ker(Φ), montrer que f est impaire.
(b) Montrer que les ´el´ements du noyau sont les fonctions impaires de E.
(c) L’endomorphisme Φ est-il injectif?
5. Montrer que, si f ∈ E, Φ(f ) est d´erivable sur R∗ . En d´eduire que l’endomorphisme Φ n’est pas surjectif.
Exercice 4: Endomorphismes v´
erifiant Ker(f ) = Im(f ).
Partie I Propri´
et´
es)
E d´esigne un espace vectoriel de dimension n et f d´esigne un endomorphisme de E.
1. On suppose que f v´erifie Ker(f ) = Im(f ).
(a) Montrer que n´ecessairement n est pair et d´eterminer le rang de f en fonction de n.
(b) En d´eduire que f ◦ f = 0.
2. R´eciproquement si f est tel que f ◦ f = 0 et que n = 2rang(f )
Montrer que Im(f ) ⊂ Ker(f ) et en d´eduire que Ker(f ) = Im(f )
Partie II) Cas g´
en´
eral
Soit n un entier pair n = 2p et soit f un endomorphisme de E de rang p tel que Ker(f ) = Im(f )
1. Soit (e01 , e02 , . . . , e0p ) une base de Ker(f ), justifier l’existence d’un suppl´ementaire F de Ker(f ), donner sa
dimension q. On note (e1 , e2 , . . . , eq ) une base de F ;
2. Que peut-on dire de la famille (e1 , . . . , eq , e01 , . . . , e0p )?
3. Montrer que la famille (f (e1 ), . . . , f (eq )) est une base de Im(f ).
4. Pour i ∈ [[1, q]], on note eq+i = f (ei); Montrer que la famille (e1 , . . . , eq , eq+1 , . . . , e2q ) est une base de E.
D´eterminer la matrice de f dans cette base.
Partie III) Application Soit E de dimension 
4 rapport´e
0 −1
−1 0

de E dont la matrice relativement `
a B est: A = 
1
0
0
1
a` la baseB = (e1 , e2 , e3 , e4 ) et f l’endomorphisme
−1 0
0 −1
.
0
1
1
0
1. D´eterminer, en fonction des vecteurs de la base B, une base de Ker(f ) et une base de Im(f ). Puis, sans
aucun calcul, d´eterminer l’endomorphisme f 2 .
2. Montrer qu’il existe une base B 0 dans laquelle la matrice de f est triangulaire. Trouver une telle base et
´ecrire la matrie de f dans cette base.
Exercice 5∗ ∗ ∗ Soit a 6= 1 et p un entier naturel, on note Rp [X] l’ensemble des polynˆomes sur R de degr´e
inf´erieur ou ´egal `
a p. On pose
Sa,p = {u = (un )n∈N tels que ∃P ∈ Rp [X] tel que ∀n ∈ N
un+1 = aun + P (n)}
1. Soit u ∈ Sa,p , montrer l’unicit´e du polynˆome P tel que ∀n ∈ N, un+1 = aun + P (n)
On notera Pu le polynˆ
ome ainsi d´efini.
2. Montrer que Sa,p est un R−espace vectoriel.
3. Soit θ l’application de Sa,p dans Rp [X] d´efinie par θ(u) = Pu .
(a) Montrer que θ est lin´eaire.
(b) D´eterminer Ker(θ) ainsi qu’une base de cet espace.
4. Pour k ∈ N, on pose Rk (X) = (X + 1)k − aX k
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(a) Montrer que la famille (R0 , R1 , . . . , Rp ) est une base de Rp [X].
(b) Montrer que, ∀k ∈ {0, 1, . . . , p},
Rk ∈ Im(θ). En d´eduire Im(θ).
(c) Quelle est la dimension de Sa,p ?
(d) D´eterminer une base de Sa,p
5. D´eterminer la suite (un )n∈N v´erifiant u0 = −2 et ∀n ∈ N un+1 = 2un − 2n + 7.
Pour r´eviser l’analyse:
Exercice 6 La constante d’Euler
1
1
1
1
On pose vn = 1 + + · · · + − ln n et wn = 1 + + · · · + − ln (n + 1)
2
n
2
n
1. Question pr´
eliminaire
Soit p ∈ N∗ , montrer en encadrant la fonction f : x 7→
1
sur le segment [p, p + 1] que
x
1
1
≤ ln (p + 1) − ln p ≤
p+1
p
2. Etude des suites (vn ) et (wn ).
(a) Montrer que les suites (vn ) et (wn ) sont convergentes et ont la mˆeme limite.
s’appelle le constante d’Euler, est not´ee γ
n
X
1
(b) On pose pour n ∈ N∗ , Sn =
k
k=1
Montrer que Sn = ln(n) + γ + o(1), en d´eduire que Sn ∼ ln n.
n→+∞
la limite commune
n→+∞
3. Encadrement de γ.
(a) Justifier que ∀n ∈ N∗ , vn ≤ γ ≤ wn
(b) En d´eduire que 1 − ln 2 ≤ γ ≤ 1.
(c) Quelle valeur suffit-il de donner `a n pour que vn soit une valeur approch´ee de γ `a 10−6 pr`es.
(d) A l’aide d’un programme Python trouver une valeur approch´ee de γ `a 10−6 pr`es.
(e) Recherche: Que sait-on de la constante γ?
2n
X
1
4. Etude d’une autre suite On pose un =
k
k=n
(a) Ecrire un `
a l’aide de v2n et vn .
(b) En d´eduire la limite de la suite (un ).
Et un probl`eme de concours en analyse pour ceux que cela int´eresse.
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