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MPSI 1
2009-2010
R´evisions
1. Soit M ∈ H. Montrer que la suite k 7→ M k n’est pas injective. En d´eduire
que H est un sous-groupe de GL(n, R).
1 X
2. Soit q = Card H et P =
M . Montrer que pour tout M ∈ H, M P =
q
Exercice 1 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soient f, g ∈ L(E)
telles que f ◦ g = 0 et f + g ∈ GL(E). Montrer que rg f + rg g = dim E.
Exercice 2 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E). On
suppose que pour tout x ∈ E, (x, f (x)) est une famille li´ee. Montrer que f est une
homoth´etie. En d´eduire le centre de L(E), c’est-`a-dire l’ensemble des endomorphismes qui commutent `
a tous les endomorphismes.
M ∈H
P M = P . En d´eduire que P 2 = P .
3. Trouver un suppl´ementaire dans Mn (R) de
\
ker(M − In ) stable par tous
M ∈H
Exercice 3 : Soit A ∈ Mn (C) de rang r. Calculer dim{B ∈ Mn (C)/ABA = 0}.
les ´el´ements de H.
Exercice 4 : D´eterminer les matrices M ∈ Mn (R) telles que Com M = M .
Exercice 11 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit G une partie
de L(E) qui est un groupe pour la loi de composition.
1. Montrer que tous les ´el´ements de G ont mˆeme rang.
2. Montrer qu’il existe unebase de
E telle que dans laquelle les matrices de g
A 0
sont toutes de la forme
.
0 0
Exercice 5 : Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n et u ∈ L(E). On
se propose de d´emontrer le th´eor´eme de Cayley-Hamilton : χu (u) = 0.
1. Soit F un sous-espace de E stable par u. On note uF la restriction de u `a F .
Montrer que χuF divise χu .
2. Soit d´esormais x ∈ E non nul. Montrer l’existence de r ∈ N∗ tel que la
famille (x, u(x), . . . , ur−1 (x)) est libre et ur (x) ∈ Vect(uk (x))06k6r−1 . On
note Fx = Vect(uk (x))06k6r−1 .
3. Soit
(a)
(b)
(c)
3. Montrer que Fx est le plus petit sous-espace de E stable par u et contenant
x. Quelle est sa dimension ?
4. D´eterminer le polynˆ
ome caract´eristique de ux = uFx .
g ∈ L(E). Montrer que les propositions suivantes sont ´equivalentes :
Il existe une partie G contenant g qui est un groupe pour la composition ;
rg g = rg g 2 :
E = Ker g ⊕ Im g.
Exercice 7 : Soient A, B ∈ Mn (Z) telles que det A et det B sont premiers entre
eux. Montrer qu’il existe U, V ∈ Mn (Z) telles que AU + BV = In .
Exercice 12 : Soit K un corps infini. Soient A, B ∈ Mn (K). On note χM le
polynˆome caract´eristique de M . On se propose de montrer que χAB = χBA .
1. Montrer le r´esultat lorsque A ∈ GLn (R). En d´eduire le r´esultat pour K = R.
2. Pour tout k = (k1 , . . . , kp ) ∈ Np , on consid´ere la fonction polynomiale d´efinie
sur Rp par Mk (x1 , . . . , xp ) = xk11 · · · xkpp . Montrer que la famille (Mk )k∈Np est
libre.
3. Montrer que χAB = χBA . (On admettra que l’anneau des fonctions polynomiales `a n variables est int´egre.)
Exercice 8 : Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ GL(E).
D´eterminer la trace et le d´eterminant de f 7→ u ◦ f ◦ u−1 .
Exercice 13 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer
que u ∈ Vect(uk )k>2 si et seulement si Ker u ⊕ Im u = E.
Exercice 9 : Les alg`ebres C 0 (R, R) et C 1 (R, R) sont-elles isomorphes ? (Indication :
comparer les carr´es.)
Exercice 14 : Soit E = K[X] et ∆ ∈ L(E) d´efinie par ∆P =
XP (X + 1) − P (X).
Montrer que f ∈ L(E) commute `
a ∆ si et seulement si f =
an ∆n o`
u an ∈ K.
´
Exercice 10 : [Sous-groupe fini de GL(n, R) (Ecole
Centrale)]
Soit H une partie finie non-vide de GL(n, R) stable par multiplication.
∂
.
D´eterminer la famille (an ) lorsque f =
∂X
5. Montrer que (χux (ux ))(x) = 0 et conclure.
Exercice 6 : D´eterminer
{M ∈ Mn (C)/∃P ∈ GLn (C) telle que ∀z ∈ C, det(P − zM ) 6= 0}.
n∈N
1
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+∞
Z
Exercice 15 :
On d´efinit
Z A
lim
h(t)dt.
A→+∞
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4. Montrer que (Q, +) et (Q∗+ , ·) ne sont pas isomorphes.
h(t)dt comme la limite, si elle existe,
0
Exercice 19 : On consid`ere le syst`eme de suites r´eelles d´efinies par r´ecurrence :
an+1 = 4an − 2bn
bn+1 = an + bn
0
Z
+∞
1. Soit P ∈ R[X]. Justifier l’existence de
P (t)dt.
0
On pose A =
2. Calculer
Z
+∞
inf
(x,y)∈R2
4 −2
1 1
.
1. Pour quelles valeurs de λ ∈ R a-t-on Ker(A − λI2 ) 6= {0} ? Pour ces λ,
d´eterminer une base de Ker(A − λI2 ) 6= {0}. (On trouvera deux valeurs et
deux vecteurs u1 et u2 .)
(t2 − xt − y)2 e−t dt
0
de deux mani`eres :
2. Soit B la base canonique de R2 et B 0 la base (u1 , u2 ). Soit P la matrice de
passage de B `a B 0 . D´eterminer P −1 puis D = P −1 AP .
(a) En introduisant un produit scalaire ;
(b) En ´etudiant une fonction de deux variables.
3. En d´eduire (an , bn ) en fonction de n.
Exercice 16 :
Exercice 20 : On consid`ere

 an+1
bn+1

cn+1
1. Soit n > 1 un entier et k ∈ [[0, n − 1]]. Montrer que les propositions suivantes
sont ´equivalentes :
(a) k engendre Z/nZ :
(b) k est inversible dans Z/nZ ;
(c) k et n sont premiers entre eux.
+ (1 − m)z
+
2z
+
3z
=
=
=
+
+
+
4bn
7bn
4bn
−
−
−
4cn
4cn .
cn
Exercice 21 : Soit n ∈ N∗ et E = Rn [X].
quelles valeurs de m ∈ R le syst`eme suivant est
y
y
my
=
an
= −2an
= −2an
En s’inspirant de l’exercice pr´ec´edant, exprimer les suites (an ), (bn ), (cn ) en fonction de n.
2. Montrer qu’un sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
Exercice 17 : D´eterminer pour
compatible :

x
+

(1 + m)x −

2x
−
le syst`eme
1. Soient h0 , h1 , ..., hn des r´eels distincts. Montrer que la famille ((X +hi )n )06i6n
est une base de E. On notera θh : P 7→ P (X + h).
m+2
0
m+2
2. Soit A = {φ ∈ L(E) | ∀h ∈ R, ∀P ∈ E, φ(P (X + h)) = (φ(P ))(X + h)}.
Montrer que A est une sous-alg`ebre de dimension n + 1 de L(E).
Exercice 22 : Soit (un )n une suite r´eelle positive telle que pour tous m, n ∈ N,
on a um+n 6 um + un .
un
unk
6
.
1. Montrer que pour tous n, k ∈ N∗ ,
nk
n
2. Montrer que pour tout ε > 0 et tout n ∈ N ∗ , il existe N ∈ N∗ tel que k > N
uk
un
implique
6
+ ε.
k
n
3. Montrer que (un /n)n converge vers inf un /n.
Exercice 18 : Un groupe est dit de type fini si il est engendr´e par un nombre fini
de g´en´erateurs. Un groupe (G, ·) est divisible si pour tout g ∈ G et tout n ∈ N∗ , il
existe un h ∈ G tel que hn = g.
1. (Q, +) est-il monog`ene ? divisible ?
2. Montrer que tout sous-groupe de type fini de (Q, +) est monog`ene.
3. Donner un exemple de sous-groupe non monog`ene de Q (diff´erent de Q).
2
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Exercice 23 :
Soit x un nombre r´eel. On pose ζn (x) =
n
X
1
et ζ(x) =
kx
2. Soit A = (ai,j ) ∈ M2n (R). On suppose que pour tout i ∈ [[1, 2n]], ai,i = 0 et
pour tout (i, j) ∈ [[1, 2n]]2 , i 6= j, on a ai,j = ±1. Montrer que A est inversible.
k=1
lim ζn (x).
3. On dispose de 2n + 1 cailloux. On suppose que chaque sous-ensemble de 2n
cailloux peut se partager en deux tas de cailloux de mˆeme masse totale. Montrer que tous les caillloux ont la mˆeme masse.
n→+∞
1. (a) Montrer que si x 6 0, la suite (ζn (x))n>1 n’est pas convergente.
(b) Soit x > 0. Montrer que pour tout entier n > 2 :
Z n+1
Z n
1
dt
dt
6 x 6
.
x
x
t
n
n−1 t
n
Exercice 26 : Soit P ∈ R[X] scind´e. Montrer que pour tout α ∈ R, P + αP 0 est
scind´e sur R. (Indication : mutliplier par eαt .)
Exercice 27 : Soit E un espace euclidien. Soit f ∈ L(E). Soit E est un espace
euclidien dimension trois orient´e.
(c) En d´eduire le domaine de d´efinition de ζ.
2. Montrer que ζ est strictement d´ecroissante sur ]1, +∞[ et convexe.
1. Montrer qu’il existe une constante λ ∈ R telle que pour tous u, v, w ∈ E,
3. Calculer lim ζ(x).
hf (u) ∧ v|wi + hu ∧ f (v)|wi + hu ∧ v|f (w)i = λhu ∧ v|wi.
x→+∞
4. Montrer que pour tout x ∈]1, +∞[,
Exprimer λ en fonction de f .
x
1
6 ζ(x) 6
.
x−1
x−1
2. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme g ∈ L(E) tel que pour tous
u, v ∈ E
f (u) ∧ v + u ∧ f (v) = g(u ∧ v).
(On pourra ´etudier le signe de 21−x + x − 2.) En d´eduire un ´equivalent de ζ
en 1+ .
5. Soit (pk )k la suite croissante de tous les nombres premiers. Montrer que
n
Y
´
Exercice 28 : [Ecole
polytechnique]
Soit P ∈ R[X]. Montrer l’´equivalence entre :
n
X 1
1
.
−x >
kx
1 − pk
k=1
k=1
1. Pour tout x ∈ R, P (x) > 0 ;
2. Il existe A, B ∈ R[X] tels que P = A2 + B 2 .
En d´eduire une nouvelle d´emonstration du fait qu’il existe une infinit´e d’entiers
X 1
premiers, puis que la s´erie
diverge.
pk
Z
1
Exercice 29 : Soit E = Rn [X] et (P | Q) =
k
P (t)Q(t) dt.
t=0
1. Montrer que E muni de ( | ) est un espace euclidien.
Exercice 24 :
2. Soit K = Rn−1 [X]⊥ et P ∈ K \ {0}. Quel est le degr´e de P ?
Z 1
3. Soit Φ : x 7→
P (t)tx dt. Montrer que Φ est une fonction rationnelle.
1. Soit ϕ(n) = Card{k ∈ [[1, n]] | k ∧ n = 1}. Montrer que lim ϕ(n) = +∞.
2. Soit τ (n) le nombre de diviseurs positifs de n. Montrer que pour tout ε > 0,
on a τ (n) = o(nε ).
t=0
4. Trouver Φ `a une constante multiplicative pr`es.
Exercice 25 :
5. En d´eduire les coefficients de P .
1. Soit p un nombre premier. Montrer que l’application Mn (Z) → Mn (Z/pZ)
d´efinie par (ai,j ) 7→ (ai,j mod p) est un homomorphisme d’alg`ebre.
6. En d´eduire une base orthogonale de E.
3
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Exercice 30 : Calculer
1
1
x
x
1
2
2
2
x
x
1
2
..
..
.
.
n−1
n−1
x
x
1
2
x2 x3 · · · xn x1 x3 · · · xn
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Exercice 34 :
···
···
···
···
···
1
xn−1
x2n−1
..
.
1
xn
x2n
..
.
n−1
xn−1
x1 · · · xn−2 xn
xn−1
n
x1 · · · xn−1
1. Soit ϕ : G → G0 un homomorphisme de groupes o`
u G est un groupe fini.
Montrer que Card(Ker ϕ) Card(Im ϕ) = Card G.
.
2. Soit ϕ : G → G un homomorphisme de groupes o`
u G est un groupe fini.
Montrer que Ker ϕ = Ker ϕ2 si et seulement si Im ϕ = Im ϕ2 .
3. Soit K un corps de cardinal q. Calculer Card GL(n, K) et Card SL(n, K).
Reconnaitre le groupe GL(2, F2 ).
4. Soit P (K n ) l’ensemble des droites vectorielles de K n . D´eterminer son cardinal.
On pourra commencer par supposer les xj non nuls.
5. Soit H le groupe des bijections de P (K n ). Montrer que l’application Φ :
GL(n, K) → H d´efinie par Φ(g)(d) = g(d) (o`
u g ∈ GL(n, K) et d ∈ P (K n ))
est un homomorphisme de groupe. Si G est un sous-groupe de GL(n, K), on
note P G son image. Reconnaitre les groupes P GL(2, Fp ) et P SL(2, Fp ) pour
p = 2, 3, 5.
Exercice 31 : Montrer qu’une fonction continue sur R sans extremum local est
strictement monotone.
Exercice 32 : [Nombres parfaits pairs]
Pour n ∈ N∗ , on note S(n) la somme des diviseurs dans N∗ de n. Un nombre
est parfait si S(n) = 2n.
´
Exercice 35 : [Ecole
polytechnique]
Soit P ∈ C[X] n’admettant que des racines simples non-nulles x1 , x2 , ..., xn .
n
n
X
X
1
1
1
=
−
.
Que
vaut
?
Montrer que
0 (x )
0 (x )
x
P
P
(0)
P
i
i
i
i=1
i=1
1. Montrer que S est multiplicative, i.e. si m et n sont premiers entre eux, alors
S(mn) = S(m)S(n).
2. Soit p ∈ N tel que 2p − 1 est premier. Montrer que 2p−1 (2p − 1) est parfait
¨
(th´eorEme
d’Euclide).
Exercice 36 : Un d´erangement du groupe des permutations Sn est une permutation sans point fixe. Soit Dn le nombre de d´erangements de Sn .
3. Soit n parfait et pair. Montrer que n s’´ecrit n = 2p−1 (2p − 1) o˘ 2p − 1 est
¨
premier (th´eorEme
d’Euler).
1. Simplifier
Exercice 33 : [Nombres de Liouville (Grand classique toutes ´ecoles)]
Un nombre r´eel est alg´ebrique s’il est racine d’un polynˆome non-nul `a coefficients
entiers. Un nombre r´eel qui n’est pas alg´ebrique est transcendant.
Soit P ∈ Z[X] irr´eductible sur Q et de degr´e d > 2 et a une racine r´eelle
alg´ebrique irrationnelle de P .
¨
1. Th´eorEme
de Liouville : montrer qu’il existe un r´eel c > 0 tel que pour tous
p
c
p
∗
d
p ∈ Z, q ∈ N , on a |a − | > d . (Indication : minorer q P
et raisonner
q
q
q
dans un premier temps sur [a − 1, a + 1].)
p
X
k=0
n n−k
.
(−1)
k
p−k
k
(On pourra consid´erer une partition de {1, . . . , n} en trois parties.)
2. Montrer que
n! =
n X
n
j=0
j
Dn−j .
3. Montrer que
2. Soit (ak )k∈N une suite de chiffres non-identiquement nulle ‡ partir d’un certain
n
X
ak
rang, i.e. ak ∈ {0, 1, 2, ..., 9}. Soit xn =
. Justifier l’existence de x =
10k!
k=0
lim xn et montrer qu’il est transcendant.
X
k n
Dn =
(−1)
(n − k)!.
k
k
(Partir du membre de gauche et utiliser la question pr´ec´edente.)
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n
X
(−1)k
. Justifier la convergence de la suite (sn ) et d´eterminer sa
3. Montrer qu’il existe C ∈ R tel que pour tout p ∈ N, |J| 6 C p et trouver une
minoration de |J|. En d´eduire que e est transcendant.
limite.
5. On tire al´eatoirement et de mani`ere ´equiprobable une permutation de Sn .
Soit pn la probabilit´e que ce soit un d´erangement. Calculer lim pn .
Exercice 39 : [X]
Soit p ∈ N∗ et f ∈ C p (R, R). On suppose qu’il existe n ∈ [[0, p − 1]] tel que
f (x) = o(xn ) lorsque |x| tend vers +∞. Montrer que f (p) s’annule en un point.
4. Soit sn =
k=0
k!
Exercice 37 : [R´esultant]
¨
Soient F, G deux polynˆ
ome de C[X] de degr´es respectifs n et m. On considEre
l’application
Φ : Cm−1 [X] × Cn−1 [X] −→ Cn+m−1
(U, V )
7−→ U F + V G
Exercice 40 : [Partition de N∗ ]
¨ sup´erieure du r´eel x, i.e. l’unique entier n tel que
On note dxe la partie entiEre
n < x 6 n + 1.
Pour tout α > 0, on d´efinit
1. Montrer que Φ est bien d´efinie et lin´eaire. Donner un condition n´ecessaire et
suffisante sur F et G pour qu’elle soit injective.
2. Donner la matrice de Φ dans les bases canoniques. (On l’appelle la matrice de
Sylvester.) On appelle r´esultant de F et G le d´eterminant de cette matrice.
3. On appelle discrimant du polynˆ
ome P le r´esultant de P et P 0 . Donner une
condition n´ecessaire et suffisante sur P pour que son discriminant soit nul.
D´eterminer le discrimant du polynˆ
ome g´en´eral de degr´e deux et de degr´e trois.
` quelle condition le polynˆ
A
ome X 4 + aX + b admet-il une racine multiple ?
Montrer que les ensembles Spec(α) et Spec(β) forment une partition de N∗ si et
seulement si α et β sont irrationnels et
Spec(α) = {E(kα) | k ∈ N∗ }.
1
1
+ = 1.
α β
(Tuyau : Poser N (α, n) = Card{k ∈ N∗ | E(kα) 6 n} et v´erifier que N (α, n) =
n+1
d
e − 1.)
α
Exercice 41 : [Topologie de Mn (R)]
´
Exercice 38 : [transcendance de e (Ecole
Polytechnique)]
1. Montrer que l’ensemble des projecteurs de Mn (R) est un sous-ensemble ferm´e.
Et l’ensemble des sym´etries ? Des r´eflexions ?
2. Montrer que GL(n, R) est un ouvert dense de R.
3. Montrer que l’ensemble des matrices de rang inf´erieur ou ´egal `
a p est un ferm´e.
4. (a) Montrer que O(n) est un ferm´e born´e. Montrer que de toute suite (gn )
d’´el´ements de O(n), on peut extraire une sous-suite convergente.
(b) Montrer que l’application g 7→ g −1 de GL(n, R) dans lui-mˆeme est continue.
(c) Soit T ⊂ GL(n, R) l’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures `
a
coefficients diagonaux strictement positifs. Montrer que T est un sousgroupe de GL(n, R). Montrer que l’application
O(n) × T −→ GL(n, R)
(k, t)
7−→
kt
1. Soit P ∈ R[X] et pour tout t ∈ R,
Z t
I(t) =
et−u P (u)du.
0
Montrer que si deg P = q,
I(t) = et
q
X
P (i) (0) −
i=0
q
X
P (i) (t).
i=0
2. Supposons donn´es des entiers relatifs a0 , a1 , ..., an tels que a0 6= 0 et a0 +a1 e+
· · · + an en = 0. Soit p ∈ N. On pose
P = X p−1 (X −1)p (X −2)p · · · (X −n)p
J = a0 I(0)+a1 I(1)+· · ·+an I(n).
Montrer que J est un entier. Montrer que (p − 1)! divise J et enfin que pour
tout entier premier p assez grand, J 6= 0. (On regardera modulo p!.)
est un hom´eomorphisme, i.e. bijective continue de r´eciproque continue.
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(c) Pour tout k ∈ [[0, n]], on note Mk = kf (k) k∞ . Montrer par r´ecurrence
sur n que
Exercice 42 : [D´eterminants de Vandermonde lacunaires (ENS Cachan)]
1. Soit P un polynˆ
ome ayant exactement k monˆomes non-nuls. Montrer le lemme
de Descartes : P admet au plus k −1 racines strictement positives. Qu’en est-il
des racines strictement n´egatives ? Et sur R tout entier ?
Mk 6 2
k(n−k)
2
k
1− n
M0
k
Mnn .
Exercice 44 : (Les trois questions sont ind´ependantes.)
2. Soient maintenant k nombres r´eels strictement positifs x1 < x2 < · · · < xk et
k entiers naturels tels que n1 < n2 < · · · < nk . Montrer que le d´eterminant
n1
x1
· · · xnk 1 ..
.. ..
.
.
. n
x k · · · x nk 1
k
1. Soit un =
n
X
e−k/n . D´eterminer un ´equivalent aussi simple que possible de
k=1
un .
2. D´eterminer la limite de la suite de terme g´en´eral :
1p
n
(n + 1) · · · (n + n).
n
est strictement positif.
3. D´eterminer un ´equivalent simple u(x) en +∞ de x 7→ x(x
1/x
´equivalent de x(x ) − u(x).
Exercice 43 : [In´egalit´e de Kolmogorov]
1. Soit f ∈ C 2 (R, R). On suppose que f et f 00 sont born´ees et on pose M0 = kf k∞
et M2 = kf 00 k∞ .
1/x
)
. D´eterminer un
Exercice 45 : Applications propres.
Soit f : R+ −→ R une application continue.
(a) Montrer que f 0 est born´ee et que si M1 = kf 0 k∞ , alors
p
M1 6 2 M0 M2 .
1. Montrer que si lim |f (t)| = +∞, alors lim f (t) existe dans R.
t→+∞
t→+∞
2. Montrer l’´equivalence entre :
(Utiliser une formule de Taylor entre x et x + h.)
(a)
(b) Montrer que
M1 6
p
(b) l’image r´eciproque par f de toute partie born´ee de R est une partie
born´ee.
2M0 M2 .
(Utiliser une formule de Taylor entre x et x − h en plus.)
´
Exercice 46 : Equivalent
d’une suite r´ecurrente.
2. Soit f ∈ C n (R, R). On suppose que f et f (n) sont born´ees et on pose M0 =
kf k∞ et Mn = kf (n) k∞ .
1. Soit I un segment ou R et f une fonction de classe C 1 de I dans I. Soit x0 un
point fixe de f .
(a) Soit A ∈ Mn (R) et k.k une norme sur Mn,1 (R). Montrer que |||A||| =
kAXk
sup
d´efinit une norme sur Mn (R) telle que pour tout X,
kXk6=0 kXk
kAXk 6 |||A||| kXk. (On v´erifiera que |||A||| = sup kAXk.)
(a) On suppose que |f 0 (x0 )| < 1. Montrer qu’il existe h > 0 tel que pour
tout u0 ∈ I ∩ [x0 − h, x0 + h], la suite un+1 = f (un ) converge vers x0 .
(On dit que la suite est attractive au voisinage de x0 .) Que se passe-t-il
si f 0 (x0 ) = 0 ?
kXk=1
0
lim |f (t)| = +∞ ;
t→+∞
(b) On suppose que |f 0 (x0 )| > 1. Montrer que la suite un+1 = f (un ) converge
vers x0 si et seulement si elle est stationnaire et stationne `
a x0 . (On dit
que la suite est r´epulsive au voisinage de x0 .)
(n−1)
(b) Soit x ∈ R et X = (f (x), f (x), ..., f
(x)). En consid´erant une in´egalit´e de Taylor-Lagrange et des r´eels 0 < h1 < h2 < · · · < hn , montrer
que pour tout k ∈ [[0, n]], f (k) est born´ee.
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MPSI 1
2009-2010
R´evisions
Exercice 47 : Soient a, b : R → R deux fonctions continues telles que lim b(t) =
2. Soit (un ) une suite r´eelle.
t→+∞
0 et pour tout t ∈ R, on a a(t) > 1. Montrer que toute solution de l’´equation
diff´erentielle y 0 + ay = b tend vers 0 en +∞.
n−1
1X
(a) On suppose que (un ) converge vers l ∈ R. Montrer que
uk converge
n
k=0
vers l.
Exercice 48 : Soit u0 ∈ R+ . D´eterminer
un d´eveloppement asymptotique `
a trois
√
termes de la suite v´erifiant un+1 = n + un .
(b) On d´esigne par ∆(u) la suite de terme g´en´eral un+1 − un . On suppose
un
que lim ∆(u)(n) = l ∈ R. Montrer que lim
= l.
n
un+1
(c) On suppose un > 0 pour tout entier naturel n. Montrer que si lim
=
un
√
n
α, alors lim un = α.
Exercice 49 : [Produit eul´erien de la fonction sin]
1. Montrer la formule pour x ∈ R et n ∈ N∗ :
1
n−1
n−1
sin nx = 2
sin x sin x + π · · · sin x +
π .
n
n
(d) En d´eduire (sans la formule de Stirling) la limite de la suite de terme
g´en´eral :
1p
n
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1).
n
(R´esoudre (1 + z)n = e2inx .)
2. Montrer les ´egalit´es pour n = 2p + 1 impair :
sin2 x
sin2 x
··· 1 −
sin nx = n sin x 1 −
sin2 π/n
sin2 pπ/n
tan2 x
tan2 x
sin nx = n cosn x tan x 1 −
·
·
·
1
−
tan2 π/n
tan2 pπ/n
3. Soit f une fonction r´eelle continue d´efinie sur un intervalle I de R contenant
0. On suppose qu’au voisinage de 0,
f (x) = x − axβ + o(xβ )
avec a > 0 et β > 1. Soit (un ) la suite d´efinie par r´ecurrence par u0 et
un+1 = f (un ).
x
tan x
sin x
> >
.
sin y
y
tan y
4. En d´eduire que pour tout r´eel x,
(b) D´eterminer le signe, la monotonie et la convergence de (un ).
(c) D´eterminer γ ∈ R tel que
−
uγn
∗
sin x = x
converge vers l ∈ R .
+∞
Y
n=1
(d) En d´eduire un ´equivalent de un .
(e) Application : pour les fonctions suivantes, donner un intervalle maximal
J =]0, h[⊂ R+ tel que pour u0 ∈ J, un > 0 et lim un = 0, puis un
´equivalent de la suite un+1 = f (un ) :
f1 (x) = xe−x
(2)
´
3. Etablir,
pour 0 < x < y < π/2 les in´egalit´es :
(a) Montrer qu’il existe un r´eel h > 0 tel que f (]0, h[) ⊂]0, h[ et pour tout
x ∈]0, h[, on a f (x) < x. En d´eduire que pour u0 ∈]0, h[, la suite (un ) est
bien d´efinie. On suppose d´esormais u0 ∈]0, h[.
uγn+1
(1)
x2
1− 2 2
n π
.
Exercice 50 : [Une interpr´etation de la divergence]
Soit k un entier, k > 1.
´
1. Enoncer
et d´emontrer le th´eor`eme de rel`evement.
2. Soit f = (f1 , f2 ) : R2 → R2 de classe C 1 . Justifier que la matrice jacobienne
de f est sym´etrique en tout point si et seulement si il existe une fonction
ϕ : R2 → R de classe C 2 telle que fj = ∂j ϕ.
f2 (x) = sin x.
Faire un dessin lisible.
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MPSI 1
R´evisions
3. Soit F : R2 → Cu = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} une fonction de classe C k .
Montrer qu’il existe une fonction α : R2 → R de classe C k telle que pour tout
(x, y) ∈ R2 , on a F (x, y) = eiα(x,y) .
4. Soit u : R2 → R une fonction de classe C 2 dont le gradient ne s’annule jamais.
On note
~ (x, y) = grad u(x, y) .
N
kgrad u(x, y)k
Montrer que
~ = −γ
divN
en tout (x0 , y0 ) o`
u γ est la courbure de la ligne de niveau passant par (x0 , y0 ).
~ soit positivement li´e
(On oriente localement la ligne de niveau de sorte que N
a ν.)
`
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