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PARTIE 4 : TEMPS ET ÉVOLUTION – CHAPITRE 10 (PHYSIQUE)
TS
MOUVEMENTS DANS UN CHAMP DE PESANTEUR OU ÉLECTROSTATIQUE
I. MOUVEMENTS DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
1. Champ de pesanteur uniforme
La Terre crée, en un point de son voisinage, un champ de pesanteur ⃗g , défini
⃗P G.MT
u avec
comme ⃗g= = 2 ⃗
m
d
•
G constante universelle de gravitation : G = 6,67.10-11 S.I. ;
•
MT masse de la Terre, en kilogrammes ;
•
d distance entre la Terre et l’objet qu’elle attire, en mètres.
•
u vecteur unitaire orienté de l’objet vers la Terre.
⃗
La norme du champ de pesanteur dépend donc de la position de l’objet dans le
voisinage de la Terre.
À la surface de la Terre, la norme du vecteur champ de pesanteur est quasiment
partout la même : g = 9,81 N.kg-1.
Le champ de pesanteur est considéré comme uniforme dans une région de l’espace
lorsque sa direction, son sens et sa norme peuvent être considérés comme uniformes
en tout point de cette région : ⃗g=⃗
cste .
Un objet soumis uniquement à l’attraction gravitationnelle de la Terre, donc à son
poids, est dit en chute libre.
2. Accélération d’un objet en chute libre
Dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, on applique le principe fondamental
de la dynamique à un point matériel M de masse m, en chute libre dans le champ de
pesanteur terrestre (supposé uniforme).
d⃗
p
d ⃗v
Σ⃗
Fext = =m.
↔ ⃗
P=m.⃗a ↔ m.⃗g=m.⃗a ↔ ⃗g=⃗a .
dt
dt
Ainsi, le vecteur accélération d’un point matériel M en chute libre dans un champ de
pesanteur uniforme est constant et égal au vecteur champ de pesanteur :
⃗a =⃗g=⃗
cste . En particulier, l’accélération du point matériel ne dépend pas de sa
masse.
À l’instant de date t0 = 0 s, on lâche le point matériel sans vitesse initiale d’un point
O. On se place dans le repère cartésien ( O; ⃗i ; ⃗j ; ⃗k ) , avec l’axe ⃗
k orienté vers le
haut.
Principe général : on projette l’expression vectorielle de l’accélération puis on
l’intègre deux fois.
ax = 0 ; ay = 0 ; az = -g.
L’accélération étant la dérivée temporelle de la vitesse, on détermine l’expression de
la vitesse en intégrant celle de l’accélération. On obtient alors :
vx = k1 ; vy = k2 ; vz = -g.t + k3, les expressions des constantes d’intégration k 1, k2 et
k3 étant obtenues à partir des conditions initiales sur la vitesse.
Ici, le point matériel est lâché sans vitesse initiale.
Donc ⃗
v0 =⃗
0 , soit vx (t = 0) = vy (t = 0) = vz (t = 0) = 0.
Par identification, on en déduit k1 = k2 = k3 = 0, soit vx = 0, vy = 0 et vz = -g.t.
On intègre les composantes de la vitesse pour déterminer la position du point M au
cours du temps.
1 2
x = k4 ; y = k5 ; z=− g.t +k6 , les expressions des constantes d’intégration k4, k5
2
et k6 étant obtenues à partir des conditions initiales sur la position.
Ici, le point matériel est en O à la date t0, donc x(t = 0) = y(t = 0) = z(t = 0) = 0.
Par identification, on en déduit k4 = k5 = k6 = 0, soit x(t) = 0, y(t) = 0 et
1
z( t)=− g.t 2 .
2
Remarques :
•
Les expressions x(t) = 0 et y(t) = 0 indiquent que le mouvement du point M
est rectiligne selon la verticale (axe (Oz)).
•
L’expression vz (t) = -g.t indique que la vitesse est négative (pour un axe
orienté vers le haut), donc que le vecteur vitesse est orienté vers le bas :
l’objet se rapproche du centre de la Terre.
•
La norme du vecteur vitesse vaut g.t, donc elle augmente au cours du temps.
L’accélération est constante. Ainsi, le mouvement est uniformément
accéléré.
3. Chute sans vitesse initiale
On cherche à déterminer l’équation du mouvement du point matériel M, c’est à
dire les expressions (x(t), y(t), z(t)) décrivant la position de M au cours du temps.
Pour cela, on part de l’expression de son accélération, obtenue par le PFD.
Chapitre 10 – Mouvements dans un champ de pesanteur ou électrostatique
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4. Chute avec vitesse initiale
a. Équation du mouvement
À l’instant de date t0 = 0 s, on lâche le point matériel du point O avec une vitesse
initiale v⃗0 non nulle.
On se place dans le repère cartésien ( O; ⃗i ; ⃗j ; ⃗k ) , avec l’axe ⃗
k orienté vers le
haut.
z
Dans ce repère, le vecteur vitesse initiale v⃗0 fait un angle α avec
l’horizontale.
v0
Ainsi, la vitesse initiale s’écrit v⃗0 = (v0.cos α ; 0 ; v0.sin α).
α
x
D’après le principe fondamental de la dynamique, on a toujours ⃗g=⃗a .
dv
dv
dv
Le vecteur accélération vaut donc a x = x =0 ; a y = y =0 ; az = z =−g .
dt
dt
dt
En intégrant une première fois : v x =k 1 ; v y =k 2 ; v z=−g.tk 3 .
On détermine les constantes d’intégration k1, k2 et k3 avec les conditions initiales sur
v0 =( v0 . cos α ; 0; v 0 sin α ) .
la vitesse. Ici, on a à t = 0, ⃗
Ainsi, k1 = v0.cos α ; k2 = 0 ; k3 = v0.sin α.
v ( t)=( v0 . cos α ; 0;−g.t+v0 sin α ) .
On en conclut que ⃗
On intègre une deuxième fois pour obtenir la position du point matériel M :
1
x=v0 t. cos α+k 4 ; y=k5 ; z=− . g.t 2 +v0 t.sin α+k 6
2
On détermine à nouveau les constantes d’intégration k 4, k5 et k6 avec les conditions
initiales : ⃗
OM(t=0)=(0 ;0 ;0) . Ainsi, k4 = k5 = k6 = 0.
1
OM(t )= v0 t.cos α ;0 ;− g.t 2 +v 0 t .sin α
Finalement, ⃗
2
(
)
Remarques :
•
Le vecteur position a une coordonnée nulle (ou constante) selon l’axe (Oy).
Cela indique que le système reste toujours dans le même plan d’équation
y = cste. On parle alors de mouvement plan.
•
L’expression x=v0 t. cos α indique que le mouvement de la projection du
point M sur l’axe (Ox) est uniforme, de vitesse v0.cosα.
1
2
•
L’expression z=− . g.t +v0 t.sin α indique que le mouvement de la
2
projection du point M sur l’axe (Oz) est uniformément accéléré,
d’accélération az(t) = -g.
b. Équation de la trajectoire
L’équation de la trajectoire correspond à l’expression z(x). Il faut donc
éliminer le temps des expressions x(t) et z(t).
1
g
2
x


De l’équation x(t), on déduit t =
soit z =− 2
2 x  tan  x .
v 0 cos
 v 0 cos 
La trajectoire d’un point matériel lancé dans le champ de pesanteur uniforme de la
Terre avec une vitesse initiale v⃗0 non verticale est une portion de parabole dans le
plan vertical contenant v⃗0 .
II. MOUVEMENTS DANS UN CHAMP ÉLECTROSTATIQUE UNIFORME
1. Expression de l’accélération
Une particule de masse m et de charge électrique q est placée dans un champ
électrostatique uniforme ⃗
E (créé par exemple par deux plaques planes de
condensateur). Elle est donc soumise à la force de Coulomb ⃗
F=q. ⃗
E .
On considèrera que son poids est négligeable devant la force de Coulomb. (cf.
prolongement pour la validation de cette hypothèse)
On étudie la trajectoire de la particule dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.
On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule :
d⃗
p
d ⃗v
q ⃗
Σ⃗
Fext = =m.
↔ ⃗
.
F=m.⃗a ↔ q. ⃗
E=m.⃗a ↔ ⃗a = . E
dt
dt
m
Plaque du condensateur chargée négativement
2. Équation du mouvement
À l’instant de date t0, la particule
entre en O dans l’espace où règne le
z
champ électrostatique ⃗
E avec une
vitesse initiale v⃗0 .
v0
v0.sin α
Les vecteurs v⃗0 et ⃗
forment
un
E
α
E
plan. On va donc choisir les axes
x
v0.cos α
⃗i , ⃗j et ⃗
k de sorte que v⃗0
et ⃗
E soient dans le plan ( ⃗i ; ⃗
k) ,
++++++++++++++++++++++++
⃗
avec ⃗
.
E =E . k
Plaque du condensateur chargée positivement
Le vecteur vitesse initiale v⃗0 fait
v0 =( v0 .cos α ; 0; v 0 sin α ) .
alors un angle α avec l’horizontale, donc il s’écrit ⃗
Le vecteur accélération vaut a x =
dv z q
dv x
dv y
=0 ; a y =
=0 ; az =
= E .
dt
dt
dt m
Chapitre 10 – Mouvements dans un champ de pesanteur ou électrostatique
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q
E.t+k3 .
m
On détermine les constantes d’intégration k1, k2 et k3 avec les conditions initiales sur
v0 =( v0 . cos α ; 0; v 0 sin α ) .
la vitesse. Ici, on a à t = 0, ⃗
Ainsi, k1 = v0.cos α ; k2 = 0 ; k3 = v0.sin α.
q
v ( t)= v0 . cos α ; 0; E.t+v0 sin α .
On en conclut que ⃗
m
En intégrant une première fois : v x =k 1 ; v y =k 2 ; v z =
(
)
On intègre une deuxième fois pour obtenir la position du point matériel M :
1 q
x=v0 t. cos α+k 4 ; y=k5 ; z=
E.t 2+v0 t. sin α+k6
2m
On détermine à nouveau les constantes d’intégration k 4, k5 et k6 avec les conditions
initiales : ⃗
OM(t=0)=(0 ;0 ;0) .
1 q
OM(t )= v0 t.cos α ;0 ;
E.t 2 +v 0 t . sin α .
Ainsi, ⃗
2m
(
)
3. Équation de la trajectoire
Comme pour un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme, on établit que
la trajectoire d’une particule chargée est une portion de parabole d’équation
2
1 qE
x
z=
+( tan α ) x (à redémontrer pour entraînement).
2 m ( v 0 cos α )2
Remarques :
•
Si la particule n’a pas de vitesse initiale (v 0 = 0 m.s-1), l’équation du
1 q
OM(t )= 0 ;0 ;
E.t 2 . Le mouvement est alors
mouvement s’écrit ⃗
2m
rectiligne uniformément accéléré, dans la direction du champ ⃗
E .
v
⃗
•
Si la particule a une vitesse initiale 0 , sa trajectoire est une portion de
parabole dans le plan contenant les vecteurs ⃗
E et v⃗0 .
•
Contrairement au cas de la chute libre dans lequel la parabole est toujours
dirigée vers le centre de la Terre, la courbure de la parabole ici dépend du
signe de la charge de la particule.
(
)
III. MOUVEMENTS DE PLANÈTES ET DE SATELLITES
1. Satellites ou planètes en orbite circulaire
a. Choix du référentiel
Pour étudier le mouvement d’une planète autour du Soleil, le référentiel le plus
adapté est le référentiel héliocentrique. Dans le cas de satellites en orbite autour de
la Terre, on préférera le référentiel géocentrique.
Remarque : on peut définir de même les référentiels jovicentrique (centré sur
Jupiter), aréocentrique (centré sur Mars),...
Dans tous les cas, le référentiel astrocentrique (centré sur l’astre attracteur central)
choisi sera considéré comme galiléen.
b. Expression de l’accélération et de la vitesse
On s’intéresse au mouvement d’un satellite A de masse m, considéré comme
ponctuel, en orbite circulaire de rayon R et de centre O, centre de l’attracteur central
de masse M.
On considère que le satellite A est uniquement soumis à la force d’attraction
G.m.M
F=
⃗
u OA , où ⃗
uOA est un vecteur
gravitationnelle de son attracteur : ⃗
R2
unitaire de direction (OA) et orienté de A vers O.
uOA correspond dans le repère
Ici, puisque la trajectoire est circulaire, le vecteur ⃗
G.m.M
⃗=
n
⃗
de Frénet ( A ; ⃗t ; ⃗n ) au vecteur ⃗
n : F
R2
Comme la masse du satellite est constante, le principe fondamental de la dynamique
G.M
G.M
donne ⃗
F=m.⃗a , soit ⃗a = 2 ⃗n , que l’on peut écrire ⃗a =0×⃗t + 2 ×⃗n .
R
R
2
dv
v G.M
=0; = 2
Donc les coordonnées du vecteur accélération sont ⃗a =
.
dt
R
R
(
)
De la composante tangentielle de l’accélération, on déduit que la norme de la vitesse
du satellite est constante. Par conséquent, la composante normale de l’accélération
G.M
donne l’expression de cette vitesse : v=
.
R
√
Le mouvement d’un satellite en orbite circulaire autour d’un attracteur central
G.M
de masse M est uniforme de vitesse v=
.
R
√
c. Période de révolution
Définition : La période de révolution T est le temps mis par un satellite pour
faire un tour entier autour du centre attracteur (Soleil pour une planète ou
Terre pour un satellite terrestre).
Chapitre 10 – Mouvements dans un champ de pesanteur ou électrostatique
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Remarque : Attention, il ne faut pas confondre période de révolution et période de
rotation propre.
Exemple :
•
période de rotation propre de la Terre = 23 h 56 min ;
•
période de révolution de la Terre autour du Soleil = 1 an.
La longueur d’une orbite est L = 2πR, et elle est parcourue à la vitesse constante
3
L
G.M
2π . R
G.M
. Or v=
, soit
↔ T=2π R
.
v=
=
T
R
T
R
G.M
√
√
√
Remarques :
•
Plus un satellite est proche de son attracteur central, plus sa vitesse orbitale
est élevée.
•
Ni la période de révolution ni la vitesse orbitale du satellite ne dépendent de
sa masse. Elles ne dépendent que de la masse de l’attracteur central.
2. Lois de Kepler
a. 1ère loi : loi des trajectoires
Dans le référentiel héliocentrique (origine au centre du Soleil), la trajectoire du
centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.
b. 2ème loi : loi des aires
(montrer l’applet ‘keplerlaw2_f.htm’ pour des orbites bien excentriques)
Le segment de droite reliant le Soleil à une planète balaie des aires égales
pendant des durées égales.
Les aires A1 et A2 sont décrites dans un même intervalle de temps, et sont égales.
Conséquence : une planète accélère près du centre attractif (Soleil) et ralentit
lorsqu’elle s’en éloigne. (montrer l’évolution du vecteur vitesse)
c. 3ème loi : loi des périodes
Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la
période de révolution T et le cube du demi-grand axe a est une constante :
2
2
T
4. π
=
=cste (indépendante de la masse de la planète).
3
a GMS
Dans le cas d’une trajectoire circulaire, le demi-grand axe de l’orbite est confondu
2
2
T
4.π
=
=cste .
avec le rayon du cercle. On obtient alors
3
R GMS
Remarque : les lois de Kepler s’appliquent aussi aux mouvements de satellites de la
Terre dans le référentiel géocentrique, mais la constante est différente (masse du
centre attractif = masse de la Terre).
Application : détermination de la masse du Soleil grâce aux paramètres orbitaux de
la Terre.
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire de la Terre peut être assimilée à un
cercle dont le rayon vaut RT = 150 millions de kilomètres. La Terre effectue une
révolution complète en TT = 365,25 jours. En déduire la masse du Soleil.
Solution : La troisième loi de Kepler appliquée à la Terre donne :
2
2
3
T T 4. π 2
4 π RT
=
M
=
↔
.
S
R 3T GM S
G T 2T
11 3
4 π ×( 1,5.10 )
30
A.N. : M S=
.
2 =2,0 .10 kg
−11
6,67 .10 ×( 365,25×24×60×60 )
2
EXERCICE 10 P 173 :
2
2
2
2
T
T
4. π
1
T
= 3 −1 −2
= 3 . La formule est bien homogène.
3 = 3 et
GM
R
L
L . M .T ×M L
[ ]
[ ]
EXERCICE 13 P 173 :
1. Cette étude est réalisée dans le référentiel aréocentrique.
2. On applique le principe fondamental de la dynamique au
système {Phobos} étudié dans le référentiel aréocentrique :
d⃗
p
Σ⃗
Fext =
dt
G.M M . M P
d ⃗p
d⃗
v
Fext =
⃗n et
=M P .
=M P .⃗a puisque la masse de
avec ici Σ ⃗
2
dt
dt
RP
Phobos est constante.
G.M M . M P
G.M M
⃗n=M P .⃗a soit ⃗a =
⃗n .
Ainsi
2
2
RP
RP
2
dv
v
3. Dans la base de Frénet, l’accélération s’exprime comme ⃗a = ⃗t + ⃗
n .
dt
R
dv
Puisque l’accélération est uniquement normale, d’après le PFD, alors
est
dt
nulle, ce qui signifie que la norme de la vitesse de Phobos est constante : son
mouvement est uniforme.
Chapitre 10 – Mouvements dans un champ de pesanteur ou électrostatique
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EXERCICE 14 P 173 :
1. D’après le principe fondamental de la dynamique, un cation portant une charge
q positive étant soumis à une force de Coulomb ⃗
F=q. ⃗
E , on peut écrire :
d
p
⃗
d
⃗
v
q
Σ⃗
Fext = =m.
E .
↔ ⃗
F=m.⃗a ↔ q. ⃗
E=m.⃗a ↔ ⃗a = . ⃗
dt
dt
m
Le vecteur accélération est donc de même direction et de même sens que le champ
électrique.
a. Pour qu’un cation ait un vecteur accélération vertical ascendant, il faut un champ
électrique vertical ascendant.
b. Pour qu’un cation ait un vecteur accélération horizontal vers la gauche, il faut un
champ électrique horizontal vers la gauche.
2. Pour un anion, la charge q est négative donc le vecteur accélération est de même
direction mais de sens opposé au champ électrique.
a. Pour qu’un cation ait un vecteur accélération vertical ascendant, il faut un champ
électrique vertical descendant.
b. Pour qu’un cation ait un vecteur accélération horizontal vers la gauche, il faut un
champ électrique horizontal vers la droite.
EXERCICE 17 P 174 :
1. a. On applique le principe fondamental de la dynamique au système {électron},
de masse constante, dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.
q
e
d⃗
p
d⃗
v
⃗ =m e .⃗a ↔ q. E
⃗ =m e . ⃗a ↔ ⃗a = . ⃗
E =− ⃗
E .
Σ⃗
Fext = =m e .
↔ F
me
me
dt
dt
Le champ électrique s’exprime comme ⃗
E =−E. ⃗i .
La vitesse initiale v⃗0 est négligeable.
eE 2 ⃗
OM(t )=
t i .
Soit ⃗
2m e
3. a. Quand l’électron atteint la deuxième plaque, il se trouve en x = d. Cela se
2m e d
produit à l’instant t B =
.
eE
2m e d
2eEd .
La vitesse de l’électron à cet instant vaut v B= eE ×
=
me
eE
me
b. A.N. : La vitesse de l’électron en sortie du condensateur vaut vB = 2,5.107 m.s-1.
√
√
√
Prolongement :
Vérifier que le poids d’un proton est négligeable devant la force de Coulomb
lorsqu’il est soumis à un champ E = 1 V.m-1.
DONNÉES : mp = 1,67.10-27 kg ; e = 1,60.10-19 C ; g = 9,81 N.kg-1.
−19
Fe eE
Fe
1,60 .10 ×1
6
=
=
=9,8 .10 .
. A.N. :
−27
Pe m p g
Pe 1,67 .10 ×9,81
La force électrique à laquelle un proton est soumis dans un champ électrique est
10 millions de fois plus intense que son poids. Le poids du proton est donc bien
négligeable devant la force électrique en laboratoire.
e
E ; a y =0 .
me
Pour déterminer l’expression du vecteur vitesse, il faut chercher les primitives des
e
coordonnées de l’accélération : v x = E t+k 1 ; v y =k 2 .
me
Or la vitesse initiale est négligeable, donc on peut écrire k1 = k2 = 0.
e
v = E t ⃗i .
Soit ⃗
me
e
v∣∣= E t .
b. La valeur de la vitesse est donc v=∣∣⃗
me
2. Pour déterminer les équations horaires du mouvement, il faut chercher les
eE 2
t +k3 ; y (t)=k4 .
primitives des coordonnées de la position : x (t)=
2m e
Initialement, l’électron est en O, donc k3 = k4 = 0.
En projetant le vecteur accélération sur les axes, on obtient : a x =
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