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TD no 6 : Bilans dynamiques et thermodynamiques
Physique
TD n˚6 - Bilans dynamiques et
thermodynamiques
1 Résultante des forces de pression
1. Quelle est la résultante des forces de pression subies par un corps de forme sphérique
lorsque la pression est uniformément égale à P0 sur toute sa surface ?
2. On cherche maintenant à généraliser cette propriété pour un corps de forme quelconque
plongé dans un champ de pression uniforme.
a) Démontrer la propriété d’analyse vectorielle suivante valable pour toute fonction sca→
laire f , et pour tout vecteur −
u constant :
{ −
→ → y −−→
→
−
u ·
f dS = −
u ·
grad (f ) dτ
Indication : On pensera à appliquer le théorème d’Ostrogradski et à utiliser le formulaire d’analyse vectorielle
b) En déduire la généralisation recherchée.
2 Wagon sous la pluie
1. A t < 0, un wagon ouvert, de masse m0 , se déplace sans
→
→
frottement sur une voie horizontale à la vitesse −
v 0 = v0 −
u x.
A l’instant t = 0, il se met à pleuvoir : à partir de cet instant,
le wagon se déplace sous une pluie verticale en recevant un
débit massique d’eau Dme constant.
Déterminer sa vitesse v(t).
2. Un wagon minéralier, de masse m0 , mobile sans frottement sur une voie horizontale, est
au repos à l’instant t = 0. Il contient une masse m1 de minerai. A partir de cet instant, il
est tracté par une force constante de module F tandis qu’il perd un débit massique Dm
de minerai avec une vitesse horizontale constante par rapport au chariot, de module u et
de sens opposé à la force tractrice.
−
→
Déterminer l’accélération →
a (t) et la vitesse −
v (t) du wagon à l’instant t.
3 Vidange d’un tuyau
Un tuyau fixe a la forme d’un quart de tore de centre
O, de rayon R et de section de rayon a R. Il est rempli
d’eau incompressible de masse volumique µ considéré comme
un fluide parfait. A l’instant t = 0, on enlève les bouchons
situés à ses extrémités A et B et l’eau coule. A l’instant t,
on repère le niveau de la surface libre par l’angle α(t) que
−−→
fait le vecteur OC avec l’horizontale, où C est le centre de
la surface libre. Un point M quelconque étant repéré par ses
coordonnées cylindriques (r ' R, θ, z ' 0), on suppose que
−
→
le champ des vitesses est de la forme →
v (M, t) = v(θ, t)−
u θ.
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A
O
α
C
θ
R
M
B
uθ
ur
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1.
a) Montrer que v(θ, t) ne dépend pas de θ et exprimer v en fonction de R et α.
˙
b) Montrer que α(t) vérifie l’équation différentielle du second ordre suivante :
α
¨=
2.
g(1 − sinα)
π
R( − α)
2
a) On isole maintenant le système fermé (Σf ) constitué de l’eau contenue dans le tuyau
à l’instant t. Exprimer son énergie cinétique Ec en fonction de sa masse m, de R et
de α.
˙ En déduire le taux de variation de son énergie cinétique entre t et t + dt en
fonction de m, R, α˙ et α
¨ . En déduire que :
DEc
= µsR3
Dt
!
π
− α α˙ α
¨
2
b) Montrer que la puissance des forces de pression extérieures est nulle. Exprimer le
travail du poids lorsque α varie de dα puis la puissance du poids. Montrer que cette
méthode permet bien de retrouver que α(t) est solution de l’équation différentielle
obtenue à la question 1)b).
4 Fusée
Une fusée en mouvement sur la verticale ascendante dans
le référentiel terrestre supposé galiléen est soumise au champ
de pesanteur terrestre supposé uniforme.
Elle éjecte des gaz avec un débit massique Dm constant
→
et une vitesse relative −
u constante par rapport à la fusée et
dirigée vers le bas. On appèlera m(t) la masse de la fusée et
−
de son contenu à l’instant t. On note →
v le vecteur-vitesse de
la fusée et on suppose que le carburant y est à l’état solide,
et que la fusée est immobile à t = 0.
1. Justifier pourquoi la fusée et son contenu constituent un système ouvert (So ).
2. Faire un schéma d’un système fermé (Sf ) que l’on précisera à l’instant t et à l’instant t+δt.
3. Exprimer m(t) en fonction de m0 = m(t = 0), Dm et t.
4. En supposant le champ de pression uniforme autour de la fusée, montrer que le mouvement
de la fusée est régi par l’équation :
m(t)
→
d−
v
→
→
+ Dm −
u = m(t)−
g
dt
→
5. En déduire l’expression de −
v (t).
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5 Convoyeur de minerai
Du minerai de masse volumique ρ = 3, 0.103 kg.m−3 tombe au rythme de Dv = 10m3 .min−1
sur une bande transporteuse qui l’entraîne à v = 20km.h−1 .
1. En faisant un bilan de quantité de mouvement en régime stationnaire, trouver l’expression
de la force exercée par le convoyeur. Faire l’application numérique correspondante.
2. Déterminer l’expression puis la valeur de la puissance du moteur qu’il vaut installer.
6 Rendement d’une éolienne
L’éolienne est une machine à capter l’énergie du vent, constituée d’une roue à pales installée
au sommet d’un pylône. Les conditions sont telles que l’écoulement peut être considéré comme
stationnaire et incompressible. La densité du fluide est ρ.
→
La vitesse du fluide loin avant l’éolienne est notée ve −
u x . Celle de l’air rejeté loin après l’éolienne
−
→
(ralenti par l’éolienne) est noté vs u x , et la vitesse moyenne de l’air au niveau de l’éolienne est
−
v→
u x . ve est une donnée (c’est la vitesse du vent), mais les autres vitesses sont a-priori inconnues.
La section circulaire balayée par l’hélice est S. Un tube de courant s’appuyant sur le contour
de cette section est schématisé ci-dessus. Tout se passe comme si l’air circulait dans un tuyau
ayant la forme représentée. Les sections d’entrée et de sortie de ce tube de courant sont notées
Se et Ss . S est connue puisqu’elle correspond à l’aire balayée par les pales, mais Se et Ss sont
des inconnues.
Enfin, la pression loin avant et loin après l’hélice est P0 , tandis qu’on note P+ et P− celles avant
et après la section dans laquelle se trouve l’hélice.
1. Etablir deux relations liant les trois aires et les trois vitesses introduites ci-dessus. Justifier
l’allure du tube de courant dessiné.
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2. Trouver deux autres relations entre P+ , P0 , ve , v et ρ d’une part et P− , P0 , vs , v et ρ
d’autre part.
3. En considérant un volume de contrôle étroit situé autour de l’hélice, justifier que
−
→
→
F helice→f luide = −(P+ − P− )S −
ux
4. En faisant un bilan de quantité de mouvement sur un système bien choisi, établir un lien
entre P+ − P− , ve , vs , ρ et le débit volumique Dv .
v
−
→ →
−
Indication : on pourra utiliser le fait que pour toute surface fermée Σ : Σ P0 d S = 0 .
5. En déduire que v = (ve + vs )/2.
6. Montrer par un bilan d’énergie que la puissance P reçue par l’éolienne est égale à
ve2
× Sve × f (vs /ve )
2
où f (vs /ve ) est une fonction (sans dimension) de vs /ve . On notera x = vs /ve . Vérifier
l’homogénéité de cette formule et en donner une interprétation.
ρ
7. f est appelé rendement aérodynamique. Chercher pour quelle valeur xmax de x ce rendement est maximum, et calculer la puissance maximale reçue par l’hélice. Que vaut-elle
pour un diamètre d’hélice de 80 m et une vitesse du vent de 10 m/s ?
8. Que vaut le rapport Ss /S pour x = xmax ? Selon vous, à quelle distance est-il souhaitable
de placer deux éoliennes (les éoliennes sont disposées en une ligne perpendiculaire au vent
dominant du lieu) ?
9. Calculer également la force que doit supporter le pylône pour cette valeur de x. Que vautelle pour un diamètre d’hélice de 80 m et une vitesse du vent de 10 m/s ?
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a) Un constructeur (VESTAS 1 ) donne les caractéristiques suivantes pour son éolienne
V80-2,0 MW : diamètre 80 mètres, vitesse nominale de rotation de 16,7 Tr/mn ainsi
que la courbe de puissance donnée dans la figure précédente.
b) Une vitesse de ∼ 17 Tr/mn vous semble-elle élevée ? Calculer la vitesse de l’extrémité
de la pale. Comment se compare-t-elle à la vitesse du son dans l’air ? Et à celle du
vent ?
c) Que pensez-vous de la courbe de puissance donnée ci-dessus ?
7 Mascaret
On appelle mascaret une vague solitaire remontant l’estuaire de certains fleuves au moment
de la marée montante.
a)
b)
Figure 1: a) Mascaret à proximité du Mont Saint-Michel. (b) Surf sur un mascaret en Gironde.
On adopte un modèle à une dimension. Le fleuve de largeur constante L s’écoule vers la
mer dans la direction Ox dirigée de l’amont vers l’aval avec une vitesse constante v1 et une
hauteur d’eau h1 en amont du mascaret. On considère que le mascaret a un profil rectangulaire
et remonte l’axe Ox avec une constante v. La vitesse du fleuve et la hauteur d’eau assez loin
en aval du mascaret sont respectivement v2 et h2 . L’eau est un fluide parfait incompressible de
masse volumique µ.
On peut mesurer facilement v1 , h1 et h2 . On se propose de calculer v et v2 .
v
h1
v1
v2
h2
x
1. On se place dans le référentiel galiléen Rm qui se déplace avec le front du mascaret.
Effectuer un bilan de masse dans ce référentiel et en déduire une relation entre v et v2 .
Retrouver cette relation en travaillant dans le référentiel fixe.
1. http ://www.vestas.fr/ .
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2. En effectuant un bilan de quantité de mouvement, dans le référentiel Rm , pour une masse
d’eau "à cheval" sur le front du mascaret, établir une relation entre v, v1 , v2 , h1 et h2 .
3.
a) Exprimer v en fonction de v1 , h1 et h2 . La vitesse du mascaret est-elle la plus rapide
au moment des basses eaux ou au moment des crues du fleuve ?
b) Exprimer v2 en fonction v1 , h1 et h2 . Interpréter le changement de signe de v2 quand
h2 augmente. Commenter.
8 Jet d’eau de Genève
Le jet d’eau de Genève est alimenté par une grande canalisation de diamètre 2a1 = 1m.
Le diamètre de l’orifice de sortie vaut 2a0 = 10.7cm et le débit volumique du jet est égal à
DV = 500L.s−1 .
v0
2a 0
2a1
ve
0
Pompe
1. Quelle est la vitesse à laquelle l’eau sort de l’orifice ? Si l’on néglige tous les frottements,
quelle est la hauteur h atteinte par le jet d’eau ?
2. Quelle est la pression P1 en aval de la pompe, dans la grande canalisation ?
3. En admettant que toute la puissance fournie par la pompe est transformée en énergie
mécanique, quelle doit être la puissance P0 de la pompe alimentant le jet d’eau ?
4. La puissance de cette pompe fait en fait P1 = 1M W . En admettant que la différence de
puissance, due à des phénomènes dissipatifs, est fournie à l’eau qui circule dans la pompe,
calculer la différence de température ∆T de l’eau entre la sortie et l’entrée de la pompe.
Donnée : ceau = 4.48.103 J.kg −1 .K −1
9 Tourniquet hydraulique
Un tourniquet hydraulique est un appareil parfois utilisé pour l’arrosage de jardin dont la
rotation est entraînée par l’éjection d’eau par deux ouvertures.
La figure ci-dessous montre un schéma du dispositif ainsi qu’un exemple concret de tourniquet
hydraulique, dont la conception est légèrement différente.
On cherche à déterminer l’évolution de la vitesse de rotation au cours du temps ω(t), alors que
le tourniquet est immobile à l’instant initial, lorsque l’eau commence à jaillir des deux tuyaux.
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uθ
ur
R
B
O
A
ω
C
On fera les hypothèses suivantes :
• Le tourniquet est alimenté avec un débit volumique constant d’eau, noté DV , à la base C
de son axe de rotation vertical (Oz).
• L’écoulement est supposé parfait.
• On considère que le pivot sur lequel le tourniquet est en rotation est parfait, de sorte qu’il
n’existe pas de couple résistant lors de la rotation.
→
• L’eau est éjectée en deux points A et B suivant le vecteur −
u θ , à une distance R de l’axe de
rotation par deux petits tubes coudées de section s et de longueur ` négligeable (` R).
• Lorsqu’il tourne autour de (Oz) avec la vitesse angulaire ω, le système ouvert (So ) constitué
à chaque instant du tourniquet et de l’eau qu’il contient se comporte comme un solide (le
fait que le l’eau soit en moment n’a pas d’influence ici car ces mouvements ne contribuent
pas au mouvement cinétique puisqu’ils se font suivant l’axe de rotation ou suivant un rayon),
de sorte qu’il possède un moment cinétique par rapport à O dont la composante suivant
(Oz) vaut :
LOz (t) = Jω(t)
où J est le moment d’inertie du système.
• On appèlera (Rg ) le référentiel terrestre supposé galiléen, et (R∗ ) le référentiel du tourniquet.
1. En effectuant un bilan de moment cinétique sur un système que l’on précisera clairement,
on montrera que ω(t) vérifie la relation suivante :
DLOz
dω
DV
=J
+ µRDV (Rω −
)
Dt
dt
2s
2. En déduire que la vitesse de rotation du tourniquet est donnée par :


t

− 

ω(t) = ω∞ 1 − e τ 

avec des valeurs de ω∞ et τ que l’on précisera, et dont on vérifiera l’homogénéité.
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10 Fonctionnement d’un turbo-compresseur
On considère une turbomachine constituée :
• d’un turbocompresseur (TC) ;
• d’une chambre de combustion (CC) ;
• d’une turbine de détente (TD).
Le turbocompresseur est entraîné par la turbine de détente par un arbre (A) assurant une
liaison mécanique parfaite. On admet que :
• l’évolution du gaz dans (TC) et (TD) est adiabatique ;
• la combustion dans (CC) (dont les parois sont indéformables) est isobare est réversible ;
• le carburant (dont on néglige le débit massique) ne modifie pas les propriétés du gaz ;
• les variations d’énergie cinétique sont négligeables.
• le gaz utilisé est de l’air, assimilé à un gaz parfait caractérisé par :
– une capacité calorifique massique à pression constante cp = 1kJ.K −1 .kg −1 (valeur constante) ;
– une masse molaire M = 29g.mol−1 .
Le débit massique du gaz vaut Dm = 1kg.s−1 . On suppose que l’évolution de 1kg de gaz peut
être représenté par le cycle 1 − 2 − 3 − 4 − 1. Il est constitué de deux isobares de pressions
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respectives P1 et P2 reliées par deux isentropiques (voir figure précédente). On donne : T1 =
300K, T2 = 513K, T3 = 1300K, T4 = 760K.
1. Exprimer le travail et/ou la chaleur massique ainsi que les puissances échangées au niveau
de chaque élément.
2. Définir le rendement et le calculer.
3. En réalité, la compression et la détente ne sont pas réversibles.
w12
w34
On note ηsc = 0 et ηsd = 0 respectivement les rendements (en compression et en
w12
w34
0 et w 0
détente) du turbocompresseur et de la turbine par rapport à l’isentropique. w12
34
représentent le travail massique réel échangé par le fluide respectivement avec le rotor de
(TC) et celui de (TD).
a) Justifier l’allure du cycle réel dans le diagramme (T , s).
b) On donne ηsc = 0, 80. Déterminer la température T20 en sortie du turbocompresseur.
11 Mélange de deux courants fluides
Une conduite cylindrique est divisée à gauche en deux moitiés identiques par une cloison qui
passe par son axe. La partie supérieur transporte un fluide incompressible à la vitesse v1 et
de pression P1 . La partie inférieure transporte le même fluide de pression identique et, pour
v1
simplifier les calculs, on admet que sa vitesse vaut .
2
Les deux courants fluides se mélangent après une zone turbulente et on retrouve (à droite) un
courant laminaire de vitesse v2 et de pression P2 .
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1. Calculer P2 et v2 en fonction de P1 et v1 .
2. Exprimer la puissance dissipée par unité de masse et le rapport de celle-ci à la puissance
cinétique massique entrante.
12 Action d’un jet d’eau sur une plaque fixe ou mobile
z
v2
Sur une plaque rectangulaire homogène, de largeur 2`
∆
I
D2
et de masse m, on fait arriver un jet d’eau, de masse
h
α
volumique µ, horizontal, de débit massique Dm , de vitesse
C
−
→
→
g
v = v−
u x , et de section s, de sorte qu’une surface S de
la plaque est en contact avec le liquide.
Dm
O
Après impact, on suppose que le jet se sépare en deux
jets tangentiels à la plaque, l’un vers le bas, de débit
x
2l
v A
massique Dm1 et de section s1 , l’autre vers le haut, de
B
débit massique Dm2 et de section s2 .
D1 v1
Dans tout l’exercice, on admettra que le jet d’eau est de vitesse v suffisamment importante
pour négliger l’influence des forces de pesanteur sur l’écoulement, que l’on supposera par ailleurs
parfait et stationnaire.
1. Question préliminaire
En utilisant l’équation d’Euler, en déduire que si les trajectoires dans un liquide sont
rectilignes et parallèles, la pression dans le liquide en contact avec le milieu ambiant est
égale à la pression Pa du milieu ambiant.
2. Plaque inclinée
On considère tout d’abord que la plaque est mobile autour d’un axe horizontal fixe ∆
coïncidant avec l’un de ses côtés. Celle-ci fait un angle α avec la verticale, comme le
montre le schéma de la figure ci-dessus. La direction centrale du jet est à une distance h
de l’axe ∆.
a) Justifier pourquoi le débit massique se conserve lors de l’écoulement, et en déduire
une relation entre Dm , Dm1 et Dm2 .
b) En utilisant un bilan de quantité de mouvement sur un système que l’on précisera,
→
D−
p
−
→
→
déterminer la relation liant
, Dm1 , Dm2 , Dm et →
v 1, −
v 2 et −
v.
Dt
c) Faire un bilan des forces s’exerçant sur le système précédent, et montrer en particulier
que la résultante des forces de pression exercée par l’air sur le fluide peut s’écrire :
−
→
→
F air → f luide = P0 S −
uN
−
où S est la surface de la plaque recouverte par l’eau et →
u N est un vecteur unitaire
normal à la plaque et dirigé du côté opposé à celui de l’arrivée du jet d’eau.
v
−
→ →
−
Indication : on pourra utiliser le fait que pour toute surface fermée Σ : Σ P0 d S = 0 .
De plus, on ne cherchera pas à exprimer la résultante des forces de pression exercée
−
→
par la plaque sur le fluide, et on pourra se contenter de la noter : F plaque→f luide =
→
→
Fplaque→f luide −
u N , où l’on précisera la direction du vecteur unitaire −
u N.
d) Déduire des questions précédentes que :
Dm1 v1 − Dm2 v2 − Dm vsinα = 0
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et
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Fplaque→f luide = −Dm vcosα − P0 S
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e) En utilisant le théorème de Bernoulli, dont on justifiera la validité, montrer que :
v = v1 = v2
f) En déduire l’expression des débits massiques Dm1 et Dm2 en fonction de Dm et α.
g) En appliquant le théorème du moment cinétique à la plaque, montrer que
sinα =
hDm v
mg`
Indication : on admettra que la résultante des forces de pression (fluide et air) s’applique sur la plaque au point O.
h) Montrer qu’on peut retrouver cette expression en faisant un bilan de moment cinétique
à un système fermé constitué du même système que précédemment auquel on ajoute
la plaque.
3. Plaque mobile verticale
On considère maintenant que la plaque est déplacée par un opérateur à la vitesse constante
−
→
−
u = u→
u x . L’angle α est maintenu nul et la direction centrale du jet frappe la plaque en
son centre, sur une surface S.
−
→
a) Quel est la vitesse →
v 0 du fluide dans le référentiel R0 lié à la plaque, de vitesse −
u par
rapport au référentiel R0 fixe ? Comment s’expriment dans ce même référentiel les
0 , D0
0
débits massiques Dm
m1 et Dm2 entrant et sortant du volume de liquide représenté
sur la figure, en fonction de µ, s, s1 , s2 , v 0 , v10 et v20 ?
0 , D0
0
b) Quelle relation existe-t-il entre Dm
m1 et Dm2 ?
c) En appliquant le théorème de Bernoulli dont on justifiera la validité dans R0 et en
négligeant l’influence de la pesanteur sur l’écoulement, montrer que v 0 = v10 = v20
d) Montrer que :
→
D−
p
→
→
→
0
0
= Dm1
dt−
v 01 + Dm2
dt−
v 02 − Dm dt−
v0
Dt
Indication : pour établir ce résultat, on fera un bilan de quantité de mouvement sur
un système que l’on précisera, dans le référentiel R0 .
→
−
e) Montrer que l’opérateur doit exercer une force F op sur la plaque pour la maintenir à
une vitesse constante u, dont l’expression est :
→
−
−
F op = −µs(v − u)2 →
ux
Indication : on appliquera le théorème de la résultante cinétique au système précédent puis à la plaque, et on pourra utiliser le fait que pour toute surface fermée Σ :
v
→
−
−
→
Σ P0 d S = 0 .
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