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PCSI 2
DM 8 PHYSIQUE
03/06/2015
Etude d’un congélateur
A - Etude globale d’un congélateur ditherme
Un congélateur fonctionne de manière réversible entre deux thermostats de températures T1 et T2 avec T1 > T2.
1) Exprimer le coefficient de performance (ou efficacité) du congélateur en fonction de T1 et T2.
Calculer numériquement ce coefficient ηrév pour T1 = 20°C = 293 K et T2 = -18°C = 255 K.
2) Comment est-il théoriquement possible de réaliser un échange thermique réversible avec une source de chaleur ?
Quelle est la durée prévisible d’un tel processus ?
Que peut-on en déduire quant à la puissance de refroidissement d’un congélateur réversible ?
3) Le congélateur fonctionne avec des sources de température T1 = 293 K et T2 = 255 K.
Son efficacité réelle est supposée valoir 50% de l’efficacité maximale théorique ηrév.
Il est alimenté par un compresseur fournissant une puissance de 200 W.
Une puissance moyenne de 30 W est consacrée au maintient de la température T2 à l’intérieur du réfrigérateur.
Quelle quantité de glace peut-on former par heure de fonctionnement ?
On dispose pour cela d’eau introduite dans le réfrigérateur à 293 K.
On donne :
* capacité thermique massique de l’eau liquide : cl = 4,18.103 J.K-1.kg-1,
* capacité thermique massique de l’eau glace : cg = 2,09.103 J.K-1.kg-1,
* enthalpie massique de fusion à 273 K : Δhfus = 2,25.106 J.kg-1.
B - Evaluation simple de l'efficacité
Sur la fiche technique, accessible sur le site internet du constructeur, on peut relever les données suivantes pour un modèle standard :
* Volume utile : 230 l
* Dimensions hors-tout : H x L x P : 130 x 60,0 x 60,0 (en cm)
* Consommation électrique : 0,70 kWh par jour (1 kWh correspond à l’énergie développée par une puissance de 1 kW sur une
durée de 1 heure).
1) On suppose le congélateur parallélépipédique, l'épaisseur des parois notée e est supposée uniforme. A l'aide des données, évaluer
e. Pour simplifier, on pourra supposer e petit devant ses dimensions extérieures H, L ou P.
En régime permanent, la machine frigorifique du congélateur maintient une température intérieure valant θi = -18°C pour une
température extérieure θe = 20 °C. On suppose la conduction thermique comme unique responsable des fuites thermiques à travers les
parois du congélateur de conductivité λ = 0,04 SI.
S
La puissance thermique traversant les parois du congélateur en régime permanent s’exprime selon la relation : Pth = λ (T ext − T int )
e
où S est la surface d’échange et e l’épaisseur de paroi.
2) Quel est le signe de Pth ? Donner l'unité de λ.
€
3) Evaluer la puissance thermique de ces fuites.
4) À l'aide des données, calculer la puissance moyenne électrique consommée par le congélateur.
5) On suppose que le compresseur convertit l'intégralité de l'énergie électrique en travail mécanique reçu par le fluide. Evaluer
l'efficacité de ce congélateur. Comparer cette efficacité réelle à celle d’une machine réversible.
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03/06/2015
C - Autonomie du congélateur
« Une bonne autonomie permet de préserver les aliments en cas d'incident. La température limite à ne pas dépasser est de -9°C, seuil de
décongélation : au-dessus, les aliments deviennent impropres à la consommation. »
On modélise la capacité thermique globale C du contenu du congélateur par celle d’une masse de glace de 100 kg.
La puissance thermique à travers les parois de l’appareil s’écrit Pth = a (Text – Tint) avec a constante.
La température extérieure vaut Text = 20°C.
1) Etablir l’équation différentielle à laquelle répond la température interne T du congélateur.
2) En déduire la durée Δt pour que la température T passe de la valeur initiale T2 = -18°C à la valeur maximale admissible Tmax = 9°C en fonction de C, a et des températures T2, Text et Tmax.
3) La température extérieure étant de 20°C, et avec les caractéristiques décrites au B), la constante a vaut 2,5 WK-1.
La capacité thermique massique de l’eau glace : cg = 2,09.103 J.K-1.kg-1.
Evaluer numériquement le temps de remontée de la température de -18°C à -9°C.
D - Modélisation du cycle de fonctionnement de la machine frigorifique
On modélise notre congélateur par une machine frigorifique contenant un fluide frigorigène, le tétrafluoroéthane R134a, dont le
diagramme Pression - Enthalpie massique (P - h) est joint. Le mélange liquide - vapeur est situé dans la zone centrale sous la courbe de
saturation. Sur ce diagramme apparaissent les courbes isothermes et isentropiques. La pression est donnée en méga pascal (1 MPa =
106 Pa = 10 bar).
Cette machine ditherme qui fonctionne en régime permanent échange de l’énergie sous forme de transfert thermique avec une source
chaude à 20°C (atmosphère extérieure) et une source froide à -18°C (intérieur du congélateur).
On note T la température absolue et θ la température Celsius.
Le schéma général de fonctionnement avec sens de circulation du fluide est défini ci-après :
Le cycle décrit par le fluide présente les caractéristiques suivantes (quatre transformations successives) :
* la compression de 1 à 2 est adiabatique et réversible,
* le passage dans les deux échangeurs (condenseur et évaporateur) est isobare (de 2 à 3 et de 4 à 1),
* la vanne est considérée comme un tuyau indéformable et ne permettant pas les échanges de chaleur.
Dans tout le problème, on supposera que l'état du fluide n'est pas modifié dans les tuyauteries de liaison entre 2 éléments consécutifs et
on négligera les variations d'énergie cinétique et d’énergie potentielle.
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1) Pour l'une des transformations du cycle et pour une masse unité de fluide, on pose :
w : travail massique total échangé avec l'extérieur,
q : transfert thermique massique échangé avec l'extérieur,
h : enthalpie massique,
u : énergie interne massique,
v : volume massique.
En faisant un bilan d'énergie interne, en régime permanent, en supposant l'écoulement lent, on montre que le premier principe de la
thermodynamique peut s'écrire de façon généralisée pour un fluide en écoulement stationnaire sous la forme : Δh = w' +q où w’
représente le travail massique utile échangé par le système avec un mécanisme mis en jeu lors de la transformation.
Expliquer en quelques mots, sans démonstration, pourquoi c’est l’enthalpie qui apparaît dans cette formule, et non l’énergie interne,
bien qu’elle résulte de l’application du premier principe.
2) Lorsqu’une masse unité de fluide décrit un cycle, quel est la relation entre w’cy, travail utile échangé par le fluide sur l’ensemble
du cycle, et wcy le travail total échangé par le fluide sur l’ensemble du cycle ?
3) La masse unité, choisie comme système thermodynamique, subit la transformation de l’état (1) (P1, v1) à l’état (2) (P2, v2) les
indices 1 et 2 se rapportant aux conditions d'entrée et de sortie de l'étape correspondant à la traversée du compresseur par le fluide.
Relier w'1 2 à une grandeur accessible par le diagramme P - h fourni et préciser sa signification physique.
→
4) Montrer que la détente est isenthalpique dans la vanne de 3 à 4, et que l’on retrouve les caractéristiques d’une détente de Joule Kelvin.
5) Quelle propriété remarquable lie les isothermes et les isobares dans la zone mélange liquide - vapeur ?
6) On donne les indications suivantes :
* La température du fluide lors de l'évaporation dans l'évaporateur est - 30°C.
* La pression de fin de compression en 2 est 8 bars.
* Le point 3 est du liquide saturé.
* La quantité de chaleur échangée dans l'évaporateur avec l'extérieur permet une évaporation complète du fluide venant de 4 et
conduit la vapeur de façon isobare jusqu'à 1, état saturé.
Placer les 4 points du cycle 1, 2, 3, 4 sur le diagramme joint, y représenter le cycle (diagramme à rendre avec la copie) et
déterminer, par lecture et interpolation linéaire sur ce même diagramme, les valeurs de P, θ, h, s en ces différents points. Regrouper
les résultats dans un tableau.
7) Si le compresseur était adiabatique mais non réversible, comment se situerait sa température de sortie sous la même pression P2
par rapport à la température θ2 ?
8) Comment peut-on trouver, de deux façons différentes, sur le diagramme la valeur de l’enthalpie massique l de vaporisation du
fluide à une température T donnée ?
Application numérique : Pour une pression de 3 bar (0,3 MPa), quelles sont les valeurs de l, et de θ ?
9) Peut-on trouver la valeur de l au point critique représenté sur le diagramme ?
10) Si au lieu d'évaporer toute la masse de fluide on ne fait changer d'état qu'une fraction massique x donnée, comment peut-on
trouver géométriquement le point correspondant au mélange liquide vapeur ainsi obtenu et réciproquement ? x s'appelle le titre
massique en vapeur.
11) Calculer le titre x en vapeur aux points 3, 4 et 1. Peut-on définir un titre y en liquide ?
12) En utilisant le tableau de résultats, calculer les transferts thermiques massiques qc et qf échangés par le fluide avec l'extérieur (qc
est échangée de 2 à 3 et qf de 4 à 1).
13) Calculer de même le travail absorbé lors de la compression de 1 à 2 : w'1 2.
→
14) Pourquoi définit-on l'efficacité de la machine frigorifique étudiée par η =
qf
w'1→ 2
? La calculer numériquement.
15) Comparer les efficacités des parties B et D (relever les défauts des différents modèles utilisés et les erreurs qu'ils peuvent
induire).
€
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