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Clase de C´alculo / 19 - 2015
Salom´
on Alarc´
on Araneda
Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa, Valpara´ıso, Chile
La funci´
on derivada
Definici´
on
Sea I un intervalo real, y sea f : I ⊆ R → R una funci´
on. Llamamos funci´
on
derivada de f (o funci´
on primera derivada de f ) a la funci´
on f 0 definida por:
f0 : A ⊂ I
x
→
R
→
f 0 (x) = l´ım
h→0
f (x + h) − f (x)
h
donde A es el conjunto de todos los puntos en I para los cuales existe el l´ımite
en la definici´
on de f 0 .
Notaci´
on
Es usual escribir f 0 (x) =
d
df
f (x) =
(x).
dx
dx
d
f (x) hace referencia a la variable respecto a la cual
La notaci´
on
dx
estamos derivando.
Por otro lado, si ponemos y = f (x), entonces escribimos f 0 (x) = y 0 , o
d
df
dy
bien
f (x) =
(x) =
. dx
dx
dx
Ejercicios Propuestos
1
Utilizando la definici´
on de derivada determina, si existe, la funci´
on
derivada f 0 e indica su dominio:
x2 + 1
1
a) f (x) =
b) f (x) =
x
x
√
c) f (x) = 1 + x
d) f (x) = x 5 − 4x 3 + 2x − 3
2
Sea f : ]−∞, 2[ → R la funci´
on definida por:

x2
4
3


 x − x − 2 + 3 si
f (x) =
2x 3 − 3x 2 + 3
si



sen (πx) + 1
si
3
x <0
0≤x ≤1
1<x <2
a) Determina si f es derivable en x = 0 y en x = 1.
b) Define f 0 (x) donde exista.
Encuentra a, b ∈ R tales que la funci´
on f resulte derivable en ]0, +∞[ y
calcula f 0 (x) si:
( √
3
3x
si 0 < x ≤ 9
f (x) =
ax 2 + bx si x > 9
Derivadas de algunas funciones conocidas
Algunas derivadas conocidas
d
(k) = 0.
dx
d p
d
(x ) = px p−1 , p ∈ Q. En particular,
(x) = 1.
dx
dx

si x > 0,

 1
d
6 ∃ si x = 0,
(|x|) =

dx

−1 si x < 0.
d
(sen x) = cos x.
dx
d
(cos x) = − sen x.
dx
d
(tan x) = sec2 x.
dx
d
(csc x) = − csc x · cot x.
dx
d
(sec x) = sec x · tan x.
dx
d
(cot x) = − csc2 x.
dx
Derivadas de algunas funciones conocidas
Algunas derivadas conocidas
d x
(a ) = ln a · ax ,
dx
a > 0.
En particular, si a = e, entonces
d x
(e ) = e x .
dx
1
d
(loga x) =
, con a > 0, a 6= 1.
dx
ln a · x
En particular, si a = e tenemos loge x = ln x, ∀x ∈ R+ y entonces
d
1
(ln x) = .
dx
x
´
Teorema (Algebra
de derivadas)
Sean f , g dos funciones derivables en D = Dom(f ) ∩ Dom(g ). Entonces para cada
x ∈ D se obtienen los siguientes resultados:
i) Derivada del Producto por Escalar
0
d
kf (x) =
kf (x) = kf 0 (x); donde k es una constante.
dx
ii) Derivada de la Suma
f (x) + g (x)
0
=
d
f (x) + g (x) = f 0 (x) + g 0 (x).
dx
0
=
d
f (x) − g (x) = f 0 (x) − g 0 (x).
dx
iii) Derivada de la Resta
f (x) − g (x)
iv) Derivada del Producto
0
d
f (x)g (x) = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x).
f (x)g (x) =
dx
Adem´
as, para cada x ∈ D tal que g (x) 6= 0 se verifica
v) Derivada de un Cuociente
f (x) 0
d f (x)
f 0 (x)g (x) − f (x)g 0 (x)
=
=
.
2
g (x)
dx g (x)
g (x)
Ejercicios Propuestos
1
Deriva las siguientes funciones indicando qu´e regla se est´
a usando:
a) f (x) = 7x 5 − 3x 3 + 2x 2 − x + 3
c) f (x) =
3x 5 − 4x 2 + 2
x3 − x
e) f (x) = sen x cos x + tan x
2
b) f (x) = (3x + 5)(4x 3 − 2x − 1)
3
x −1
x − 2x
d) f (x) =
x4 + 4
x
f) f (x) = sen x · e x · ln x + x · ln x
Utilizando los teoremas sobre derivaci´
on, encuentra las derivadas de las
siguientes funciones:
a) f (x) = sec x
b) f (x) = csc x
c) f (x) = cot x
x sen x
d) f (x) =
1 + x2
1
e) f (x) =
1 + 2 cos x
f) f (x) =
2 − sen x
.
2 − cos x
Teorema de la regla de la cadena
Teorema (Regla de la cadena)
Sean f , g dos funciones reales tales que Rec(g ) ⊂ Dom(f ), con g derivable en
cada x ∈ Dom(g ) y f derivable en cada g (x). Entonces
0
d
((f ◦ g )(x)) = f g (x)
= f 0 g (x) · g 0 (x).
dx
Equivalentemente, si ponemos y = f (z) y z = g (x), tenemos que
dy dz
dy
=
·
.
dx
dz dx
Corolario
Sea g una funci´
on derivable en cada x ∈ Dom(g ) y sea p ∈ Q. Entonces si
p
g (x) est´
a bi´en definida, tenemos que
d
dx
g (x)
p = p (g (x))p−1 · g 0 (x),
siempre que la expresi´
on del lado derecho est´e bien definida.
Ejemplo
Sea y = (x 3 + 2x + 1)4 . Calcule y 0 =
dy
dx
.
Soluci´
on. Buscamos una composici´
on entre funciones de las cuales conocemos
sus derivadas y de forma tal que la composici´
on resulte ser exactamente igual a
y.
Por ejemplo, escogiendo f (x) = x 4 y g (x) = x 3 + 2x + 1, obtenemos
4
(f ◦ g )(x) = f g (x) = g (x) = (x 3 + 2x + 1)4 = y . Entonces, como
f 0 (x) = 4x 3 y g 0 (x) = 3x 2 + 2, tenemos que
y0 =
3
dy
= f 0 g (x) · g 0 (x) = 4 g (x) · g 0 (x) = 4(x 3 + 2x + 1)3 · (3x 2 + 2).
dx
Ejemplo
Sea f (x) = x 3 y sea g (x) = x 2 + 1. Calcule (f ◦ g )0 (x).
Soluci´
on. Tenemos que f 0 (x) = 3x 2 y g 0 (x) = 2x, de donde se sigue que
f g (x)
0
= f 0 (g (x)) · g 0 (x) = 3 g (x)
2
· 2x = 3(x 2 + 1)2 · 2x.
Ejemplo
Sea f (x) = sen(tan x). Encuentra f 0 (x).
Soluci´
on. Ponemos F (x) = sen x y G (x) = tan x. Entonces:
F G (x) = sen G (x) = sen(tan x) = f (x).
Luego, como F 0 (x) = cos x y
0
cos x · cos x − sen x · (− sen x)
sen x
G 0 (x) = (tan x)0 =
=
cos x
cos2 x
=
cos2 x + sen2 x
1
=
= sec2 x,
cos2 x
cos2 x
entonces tenemos que
f 0 (x) = F 0 G (x) · G 0 (x) = cos G (x) · G 0 (x) = cos(tan x) · sec2 x.
Ejemplo
p
Sea f (x) =3 1 + tan(ln x). Halla f 0 (x).
√
Soluci´
on. Ponemos F (x) = 3 x y G (x) = 1 + tan(ln x). Entonces
1 2
1 1
f (x) = F G (x) . Sabemos que F 0 (x) = x 3 −1 = x − 3 y notemos que para
3
3
encontrar G 0 (x) debemos volver a aplicar la regla de la cadena, para obtener
1
G 0 (x) = S 0 T (x) T 0 (x) = sec2 (ln x) · ,
x
donde S(x) = tan x (as´ı que S 0 (x) = sec2 x), y T (x) = ln x (as´ı que
1
T 0 (x) = ). Luego,
x
− 2
− 2
1
1
1
f 0 (x) = F 0 G (x) G 0 (x) = G (x) 3 G 0 (x) = 1+tan(ln x) 3 sec2 (ln x) . 3
3
x
Ejercicios Propuestos
1
Sea a > 0.
a) Si f (x) = ax , prueba que f 0 (x) = ln a · ax .
b) M´
as generalmente, si g : A ⊂ R → R una funci´
on derivable en A y
f (x) = ag (x) , prueba que f 0 (x) = ln a·g0 (x)·ag (x) , x ∈ A. En
particular, este resultado muestra que e g (x)
2
3
4
0
= g 0 (x)·e g (x) .
Usando regla de la cadena, encuentra una expresi´
on para f 0 (x), cuando:
p
a) f (x) = sen cos(5x)
b) f (x) = e tan(x+5)3
p
x +3
4
· cot x 3 · e 2x
d) f (x) = x ln x − x sen e x 3
c) f (x) = ln
x −2
Sean f y g dos funciones reales derivables en un intervalo abierto I ⊂ R,
con f (x) > 0 para todo x ∈ I . Utilizando la regla de la cadena, encuentra
una expresi´
on para la derivada de la funci´
on H(x) = (f (x))g (x) , x ∈ I .
1
sen x + cos x 2
0 π
si f (x) =
Calcula f
2
sen x − cos x
Ejercicios Propuestos
5
Utilizando los teoremas sobre derivaci´
on, encuentra las derivadas de las
siguientes funciones
1
1
a) f (x) = cos (sen x) − sen (cos x)
b) f (x) = x cos
− sen
x
x
p
c) f (x) = sen cos2 x − tan (sen x)
d) f (x) = sen (tan(4x) − cos2 (3x 6 ))
2
e) f (x) = 2 − x 2 cos x 2 + 2x sen x 3 f) f (x) = (x sen x)− 3 sen x
g) f (x) = tan6 x 2 − 2x (sen x) + 1
6
Encuentra
a) y =
dy
si
dx
cot2 (3x)
1 + x2
c) y = 3x 2 − 2xy − y 2
p
b) y = sen3 5x − 2x 2 + 1
q
d) y = x cos
tan (x 2 + 1)2
Ejercicios Propuestos
7

 f (x) · sen 1
x
Sea g (x) =

0
si
x 6= 0
si
x =0
. Si f 0 (0) = f (0) = 0, calcula
el valor de g 0 (0).
8
Sea g : R → R la funci´
on definida por:
 q


(x − 1)2 + 1 − 1

g (x) =
x −1



0
a) ¿Es g continua en todo su dominio?
b) ¿Es g derivable en x = 1?
si
x 6= 1
si
x =1
Fin de la decimonovena clase