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Conoce tu libro
Tu libro Trigonometría está organizado en cuatro partes,
cada una de las cuales corresponde a un bimestre académico.
PA RT E
2
Las partes están
organizadas en
temas en los
que trabajarás
los conceptos,
procesos y
procedimientos
numéricos,
algebraicos,
geométricos,
métricoespaciales y
estadísticos que
integran los cinco
pensamientos
matemáticos, así:
Pensamientos numérico y variacional
Tema 9
Funciones trigonométricas .................................................. 107
Tema 10
Gráficas de las funciones trigonométricas............................ 117
•
Modelo situaciones de variación periódica
con funciones trigonométricas.
Pensamientos espacial y métrico
Al inicio de cada
Parte encontrarás un
texto interesante, con
datos curiosos, cuya
finalidad es mostrarte
que la matemática
está presente en
los videojuegos, los
deportes y muchas
otras actividades que
te gustan y que
disfrutas a diario.
Ingeniería en el gimnasio
Salud y belleza son las razones que motivan a la mayoría de
personas a frecuentar el gimnasio, un espacio equipado con
máquinas mecánicas, como las de pesas y los bancos de ejercicio,
o digitales, como las bicicletas, caminadoras, escaladoras y
remadoras que incluyen visores con rutinas de ejercicios y registro
de datos del usuario en un periodo de tiempo, detallando
pulsaciones por minuto, distancia recorrida y consumo de calorías,
entre otros aspectos.
Detrás de toda esta infraestructura de máquinas está el intelecto
y la mano de obra de ingenieros, diseñadores, especialistas en
ergonomía y físicos. Es responsabilidad de los deportistas hacer
buen uso de dichas máquinas, siguiendo las recomendaciones del
médico deportivo y el entrenador, que en conjunto son la clave
para lograr buenos resultados. Muchas lesiones deportivas como
aquellas que se presentan en los tendones, ligamentos
y articulaciones, así como las musculares o de órganos internos
pueden evitarse al considerar los aspectos mencionados.
Tema 11
Aplicaciones de la trigonometría en la solución
de triángulos ...................................................................... 129
Tema 12
Ley del seno........................................................................ 140
Tema 13
Ley del coseno. ................................................................... 147
Tema 14
Vectores.............................................................................. 154
•
•
Uso argumentos geométricos para resolver y formular
problemas en contextos matemáticos
y en otras ciencias.
Resuelvo y formulo problemas que involucren
magnitudes cuyos valores medios se suelen definir
indirectamente como razones entre valores de otras
magnitudes, como la velocidad media, la aceleración
media y la densidad media.
Pensamiento aleatorio
Tema 15
Medidas de posición ........................................................... 164
•
•
104
Uso comprensivamente algunas medidas
de centralización y localización (percentiles,
cuartiles, centralidad).
Describo tendencias que se observan en conjuntos
de variables relacionadas.
105
Cada grupo de pensamientos está
acompañado por los Estándares básicos
de competencias propuestos por
el MEN.
Lectura de actualidad
Cálculos precisos y máquinas para la construcción
Una de las labores más importantes en cualquier obra de ingeniería es la precisión en
los cálculos. En las obras de construcción, la composición de los materiales, los refuerzos
de una estructura, el cálculo del centro de gravedad o el calibre de revestimientos resistentes al fuego, son fundamentales en la realización de una obra segura. Para elaborar
estos cálculos, el ingeniero de construcción apoya sus cálculos en conversiones de medidas, en aparatos de medición y en software especializados, etc. Los cálculos imprecisos
se traducen en errores serios y ajustes defectuosos que aumentan los costos y provocan
atrasos en los tiempos de planeación.
Otro factor importante en
la realización de obra de construcción, son las máquinas que
se han actualizado con la tecnología para lograr con su indispensable ayuda los más osados
diseños de ingeniería. Las siguientes han sido las más útiles:
Las grúas modernas: son
máquinas que no pueden faltar
en las construcciones de talla
mayor. Tienen la capacidad de
levantar fácilmente grandes masas y de realizar movimientos
con precisión milimétrica.
Los montacargas y guinches: cumplen la función de las
grúas en obras más pequeñas.
Las hormigoneras y mezcladoras: ahorran tiempo para elaborar mezclas para obras grandes y pequeñas.
Otras máquinas para la
construcción son: las serradoras, allanadoras, cortadoras, generadores, trituradoras, montapersonas, maquinaria de vibración, tractores y demoledoras.
Esta lectura va acompañada de
la sección Reflexiona, la cual te
propone actividades de análisis,
interpretación, consulta y opinión que
te permitirán desarrollar competencias
matemáticas como:
Reflexiona
1. De acuerdo con la lectura, ¿cuáles relaciones se podrían establecer entre las máquinas y su utilidad
para mejorar uno de los siguientes factores: creatividad, productividad, precisión y calidad?
2. Selecciona un sector industrial y después, indaga qué tipo de maquinaria utilizan en sus procesos de
producción. Luego, analiza qué características del producto final ayudan a mejorar cada máquina.
3. En grupos, recopilen aportes de los dos puntos anteriores para hacer un trabajo escrito. Incluyan una
tabla de contenidos, un desarrollo temático acompañado de imágenes, unas conclusiones sobre los
resultados de la experiencia y una bibliografía.
- Pensar y razonar (argumentar)
- Comunicar (modelar y plantear
y resolver problemas)
- Representar y ejercitar (utilizar el
lenguaje simbólico, formal y técnico
y las operaciones matemáticas).
8
258
Pensamientos
numérico y
variacional
Pensamientos
espacial y
métrico
Pensamiento
aleatorio
La Lectura de actualidad es un
texto informativo que muestra
la aplicación de la matemática
en la vida diaria. A partir de ella
podrás reconocer la importancia,
conexión y aplicación de los
temas matemáticos que vas
a estudiar en la parte.
Cada tema inicia de la siguiente manera:
Nombre de los pensamientos al
cual corresponde el tema.
Nombre del tema
Idea principal, cuyo objetivo es
ofrecerte una idea general de los
conceptos principales que vas a
abordar a partir del estudio del tema.
Vocabulario clave, listado
que destaca los conceptos más
importantes del tema. A lo largo del
desarrollo del tema encontrarás estos
términos resaltados en negrilla y en
amarillo y si lo deseas, puedes ampliar
el significado cada uno de ellos
consultándolo en el glosario.
Descriptor de desempeño, hace
referencia a lo que vas a lograr
conocer y aplicar de manera adecuada
en relación con el tema que vas
a estudiar.
20
Idea principal
Las parábolas son secciones
cónicas que permiten interpretar
y comprender diferentes situaciones
del mundo real a partir
de sus gráficas y ecuaciones.
Saberes previos, sección de
exploración que indaga acerca
de tus conocimientos previos o
preconceptos del tema. Te presenta
ejercicios, problemas u otro tipo de
actividades para evaluar lo que ya
conoces y lo que necesitas saber
antes de abordar el estudio de
los conceptos del tema.
Pensamientos espacial y métrico
La parábola
Saberes previos
1. Define qué es: lugar geométrico, círculo, centro y radio.
2. Enuncia la ecuación de una circunferencia con centro en el origen.
3. Enuncia la ecuación general de una circunferencia.
Vocabulario clave
Parábola, 212
Foco de la parábola, 212
Directriz de la parábola, 212
Eje de la parábola, 213
Vértice de la parábola, 213
Descriptores de
desempeño
Clasifico y represento
gráficamente diferentes
tipos de parábolas.
Determino los elementos
de una parábola.
Interpreto gráficas de parábolas
a partir de sus ecuaciones
y viceversa.
Resuelvo problemas que
implican el uso de parábolas.
Saber saber
Como se mencionó en el tema 6, las secciones cónicas son curvas que pueden
obtenerse de la intersección de un plano con un cono circular recto. La intersección del cono con un plano perpendicular a su eje produce una circunferencia. Si
el plano se inclina ligeramente, la curva resultante es una elipse. Cuando el plano
es paralelo a una recta sobre el cono, la curva de la intersección es una parábola.
Finalmente, si el plano interseca ambas mitades, o ramas del cono, la curva es
una hipérbola. Estas 4 secciones cónicas básicas se ilustran en la figura 20.1.
La gráfica de una función cuadrática y = ax 2 + bx + c se denomina parábola. Este hecho puede verificarse usando la siguiente definición geométrica de la
parábola:
Una parábola es el conjunto de todos los puntos del plano que son equidistantes a un punto fijo F, llamado foco de la parábola y una recta fija, llamada
directriz de la parábola.
Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbola
(a)
(b)
(c)
(d)
El desarrollo del tema está
enmarcado dentro del Saber saber
lo cual te brinda herramientas
necesarias para aprender los
conceptos matemáticos a partir
de explicaciones que evidencian
su rigurosidad matemática y la
interrelación lógica entre ellos.
Figura 20.1
212
(x – h)2 = 4p(y – k)
y
(y – k)2 = 4p(x – h)
y
y
y
p>0
(h, k)
p>0
(h, k)
(h, k)
p<0
(h, k)
x
x
x
x
p<0
(a)
(c)
(b)
(d)
Figura 20.11
La tabla 20.2 resume la información acerca de las parábolas con ecuaciones
( x − h)
2
= 4 p ( y − k ) y ( y − k ) = 4 p ( x − h).
2
Tabla 20.2. Forma estándar para parábolas.
Ecuación cartesiana
Vértice
Eje
Foco
(x  h) = 4p(y  k)
(h, k)
x=h
(h, k  p)
y=kp
hacia arriba si p > 0.
hacia abajo si p < 0.
(y  k)2 = 4p(x  h)
(h, k)
y=k
(h  p, k)
x=hp
hacia la derecha si p > 0.
hacia la izquierda si p < 0.
2
Directriz
La parábola se abre
Ejemplo 5
Encuentra la ecuación en forma estándar de la parábola con vértice (−3, −1) y
directriz y = 2.
y
Directriz y = 2
3
unidades
x
Vértice (– 3, – 1)
Solución
Comienza localizando el vértice en (−3, −1) y la directriz y = 2 (observa la figura 20.12). Puesto que el vértice está colocado 3 unidades por debajo de la directriz, puedes deducir que p = −3 y la forma estándar de la ecuación debe ser
( x − h)
2
= 4 p ( y − k ). Sustituyendo h = −3, k = −1, y p = −3 obtienes:
2
 x − (−3) = 4 (−3)  y − (−1) o ( x + 3)2 = −12( y + 1)




Figura 20.12
Ejemplo 6
Como apoyo en este proceso
de aprendizaje en cada tema se
incluyen Ejemplos, los cuales te
permiten ejercitar y aplicar lo que
estás aprendiendo. Estos ejemplos
presentan un título que muestra lo
que vas a trabajar y su respectiva
solución.
Encuentra el vértice, el foco, el eje y la directriz de la parábola:
y 2 − 4 y − 8 x − 28 = 0. Haz la gráfica de la parábola.
Solución
Comienza escribiendo la ecuación en una de las formas estándar. Completando
el cuadrado en y, obtienes:
y 2 − 4 y + 4 = 8 x + 28 + 4
( y − 2)
= 8 x + 32
( y − 2)
= 8 ( x + 4)
2
o
2
Comparando esta última ecuación con la ecuación ( y − k ) = 4 p ( x − h) puedes concluir que el vértice es (−4, 2). También, puesto que 4 p = 8, entonces
p = 2 > 0 y la parábola se abre hacia la derecha. Localiza el foco dos unidades a
2
216
En algunas ocasiones estos ejemplos te presentan diversas estrategias para encontrar
la solución, así:
- Ejemplo de ejercitación con solución paso a paso.
- Ejemplo de ejercitación empleando dos o más métodos.
- Ejemplo de ejercitación y representación práctica.
- Ejemplo de aplicación con estrategias de resolución de problemas.
- Ejemplo de aplicación en situaciones reales con estrategias de resolución de problemas.
9
Conoce tu libro
1
1
=
sen θ cos θ
tan θ + cot θ
+
cos θ sen θ
También para reforzar tu
aprendizaje te presentamos
Tips de estudio que son consejos,
ayudas o herramientas para facilitar
la comprensión del tema. Estas
pequeñas estrategias te sugieren
cómo usar o aprender un concepto
en forma más rápida y eficiente.
1
sen2 θ + cos2 θ
sen θ cos θ
=
sen θ cos θ
sen2 θ + cos2 θ
= sen θ cos θ
=
No hay un método general para demostrar que una ecuación trigonométrica
sea una identidad. A continuación enumeramos algunas técnicas o sugerencias
para verificar identidades que pueden resultar útiles.
• Simplifica el lado más complicado de la ecuación.
• Encuentra el mínimo común denominador para la suma o diferencia de
fracciones.
• Si las dos técnicas anteriores fallan, expresa todas las funciones trigonométricas en términos de senos y cosenos y luego trata de simplificar.
Ejemplo 5
Verifica la identidad sen x + sen x cot 2 x = cos x csc x sec x.
Solución
Comienza simplificando el lado izquierdo:
sen x + sen x cot 2 x = sen x (1+ cot 2 x )
= sen x (csc2 x )
1
=
csc2 x
csc x
= csc x
Tips de estudio
Al verificar una identidad
trigonométrica, necesita
demostrar que las
expresiones dadas son
equivalentes. Nota que en
los tres ejemplos anteriores
trabajaste de manera
independiente con las
expresiones de cada lado,
para demostrar que son
equivalentes. Esta es la
práctica estándar para
verificar las identidades
trigonométricas. La misma
operación algebraica no
debe realizarse para ambos
lados de la ecuación
simultáneamente. En otras
palabras, no trates una
ecuación trigonométrica
como si fuera una identidad
hasta que hayas probado
que realmente lo es.
Como llegaste a tan simple expresión, trata de reducir el lado derecho a la misma
expresión:
1
cos x csc x sec x = cos x csc x
cos x
= csc x
Observa que como ambos lados de la ecuación dada son equivalentes a csc x ,
también lo son entre sí. Por tanto, la ecuación es una identidad.
Como se ilustra el ejemplo anterior, otra técnica para verificar una identidad
es reducir cada lado de la ecuación por separado a la misma expresión.
Para demostrar que una ecuación no es una identidad, sólo necesitas encontrar un valor en el dominio de la variable para la cual la ecuación no sea verdadera. Como se observa en el siguiente ejemplo, esto suele ser un proceso de ensayo
y error.
Ejemplo 6
Demuestra que (sen t + cos t ) = 1 no es una identidad.
2
Solución
Para t = 0, ambos lados de la ecuación están definidos y obtienes (0 + 1) = 1, lo
cual es verdad. Esto no afirma ni refuta que la ecuación sea una identidad. Como
2
186
En la sección Conexiones te
mostramos la importancia de las
matemáticas cuyos conceptos se
constituyen en la base esencial de
otras áreas del conocimiento, tales
como: medicina, biología, ecología,
filosofía, geografía, genética,
historia, lingüística, química, física,
informática, electrónica, economía,
demografía, industria, electricidad,
geología, tecnología entre otras.
Solución
Como Lina mide 5,5 pies, BC = 190 − 5, 5 ó 184,5 pies. Imagina que x representa
la distancia desde donde se encuentra Lina hasta el castillo, AC.
BC
tan A =
AC
184, 5
tan 38º =
x
Resuelve para x.
tan =
op
ady
m∠A = 38, BC = 184, 5, AC = x
x=
184, 5
tan 38º
Usa una calculadora.
x ≈ 236,1
Lina se encuentra aproximadamente a 236 pies del castillo.
Conexiones
Deportes
Los ángulos de elevación en algunos deportes
Para anotar un gol de campo, en fútbol americano, el pateador
debe golpear la pelota con suficiente fuerza y con un ángulo de
elevación apropiado para que la pelota alcance el poste de anotación con un nivel lo suficientemente alto como para sobrepasar la
barra horizontal. Dicho ángulo de elevación, que se mide a partir
del plano horizontal y hacia arriba, cambia dependiendo de la posición en que la pelota se encuentre inicialmente con respecto a la
base del poste.
También es común en hockey que los jugadores al lanzar el
disco hacia el arco de anotación, que tiene una altura de cinco
pies, describan en el lanzamiento un ángulo de elevación que les permita superar la barrera, que con su cuerpo,
forma el portero del equipo rival y así anotar puntos para su equipo. Para un jugador experimentado el ángulo de
elevación se puede calcular si se conocen conceptos mínimos de trigonometría.
En el golf los deportistas no solamente deben calcular la distancia que hay
entre el hoyo y la pelota que van a golpear, además es de suma importancia calcular la velocidad del viento y el ángulo de elevación que deberá alcanzar para
que la pelota llegue lo más cerca al hoyo en juego. Si el ángulo de elevación se
calcula demasiado bajo la pelota no llegará al hoyo, por el contrario, si el ángulo
es muy alto probablemente puede superar el hoyo y alejarse de éste.
Así pues, en una gran variedad de deportes encontramos el uso del ángulo
de elevación, entre los que podemos contar el baloncesto, el voleibol, el tenis, la
escalada, la equitación, el tiro con arco, el lanzamiento del disco, la jabalina, la
bala, etc.
✓ Comprensión de la lectura
1. Consulta las modalidades de golf, fútbol americano y hockey que existen y sus características de juego.
2. Describe a través de ejemplos dos o más situaciones deportivas que presenten en sus movimientos ángulos
de elevación o ángulos de depresión.
133
Entonces:
x ≈ 1, 5(0, 0524078)
≈ 0, 0786 millas
≈ 0, 0786 (5.280) pies
≈ 415 pies
Si y es la altura del avión P’ en el acceso estándar de 3º cuando está a 5,5 millas
fuera de la pista, entonces:
En Personajes y contextos,
encontrarás una descripción de
un personajes o un contexto
matemáticos cuyos datos históricos
y aportes más significativos dan
cuenta de la evolución de la
matemática y su aporte a los avances
tecnológicos de la humanidad.
y
= tan 3º , o y = 5, 5 tan 3º
5, 5
Así:
y ≈ 5, 5(0, 0524078)
≈ 0, 2882 millas
≈ 0, 2882(5.280) pies
≈ 1.522 pies
Ahora, como se muestra en la figura 11.14, la altura del aeroplano P a 5,5 millas
w
por fuera, está dada por z = w + x donde = tan 6º , o w = 4 tan 6º.
4
Entonces:
w ≈ 4 (0,1051042)
≈ 0, 4204 millas
≈ 0, 4204 (5.280) pies
≈ 2.220 pies
P
z
w
6°
Q 6°
El Dorado
x
4
1,5
Figura 11.14
Por consiguiente, la altura aproximada del avión P en un punto 5,5 millas fuera es:
z ≈ 2.220 + 415 = 2.635 pies
Personajes
y contextos
Aryabhata (475 – 550)
Astrónomo y matemático nacido en Pataliputra, India. Algunos escritos sugieren que viajó a Kusumapura para
realizar estudios superiores en ciencias astronómicas y matemáticas. Todo parece indicar que Aryabhata eligió
esa ciudad porque allí se encontraba uno de los mejores observatorios de la India en aquella época.
Sus escritos ejercieron gran influencia sobre la ciencia árabe. En el año 499, escribió su obra en verso dedicada
a la matemática y conocida como Aryabhatiya. En ella, aparecen ideas sobre las funciones de un ángulo;
trigonometría plana y esférica; fracciones continuas; ecuaciones cuadráticas, además se encuentra una tabla de
valores del seno, hecha en grados, que es la primera en su género. Este matemático indio trabajó en la
aproximación del número  y llegó a la conclusión de que dicho número era irracional. Es digno de subrayarse
la importancia que se concede al arco de longitud igual a la del radio, que ahora conocemos con el nombre de
radian. Aryabhata sostuvo que la Tierra gira sobre su eje y dio la explicación correcta sobre los eclipses de Sol y
de Luna.
Las obras que se conocen de Aryabhata, ya sea directamente o por referencias de comentaristas, son la
Aryabhatiya escrita en el 499 justo cuando él contaba con 23 años y la Arya-siddhanta que es su obra
astronómica por excelencia.
137
10
Esta sección está acompañada de
una Comprensión de la lectura
a partir de la cual desarrollarás
competencias comunicativas que
te facilitarán la interpretación
y comprensión del contenido
del texto.
Al finalizar el desarrollo de cada tema te
presentamos la sección Comprueba tu
progreso, la cual está enmarcada dentro
de tres etapas que fortalecen tu aprendizaje
significativo:
Saber saber, allí encontrarás ejercicios para
desarrollar a partir de la teoría aprendida.
Saber hacer, allí te proponemos ejercicios
para desarrollar las habilidades
y competencias matemáticas.
Saber hacer en contexto, allí te
proponemos problemas contextualizados,
es decir de conexiones y aplicaciones dentro
y fuera de las matemáticas.
Los ejercicios y problemas propuestos tienen
como finalidad desarrollar tus procesos
matemáticos.
Matemática, tecnología,
sociedad y ambiente
Alcances de la ingeniería estructural
Para un ingeniero una estructura es una pieza simple o
compuesta que da soporte a una carga o serie de fuerzas
aplicadas sobre ella. El cálculo de estructuras es un aspecto fundamental en las construcciones de vigas, muros de
contención, túneles y puentes, principalmente. El objetivo
es lograr que una estructura sea funcional, resistente y segura. Además, debe incluir algunos indicadores de fallas
para atenderlos a tiempo, cuando sea posible. También
debe manejar un cierto nivel de tolerancia en aspectos
como vibración, elasticidad, temperatura, etc. Pero, además de las estructuras mencionadas, estos principios se
aplican también en las estructuras que debe tener una
carrocería de automóvil, una piscina, el ala de un avión,
entre otros elementos. Para ello, es necesario conocer las
tensiones y deformaciones a las que puede ser sometida.
En realidad, las estructuras resistentes son muy frecuentes
a nuestro alrededor y hasta en nuestro mismo cuerpo,
así pues, el sistema óseo es un ejemplo de estructura orgánica. Todos los objetos, por sencillos y pequeños que
sean, tienen una estructura que les permite conservar,
entre otras cosas, su forma y tal es su importancia que
si esa estructura se reciente fuertemente, el cuerpo que
la tiene sucumbe. Los muebles de la casa, la bicicleta, los
estantes del supermercado, son sólo algunos ejemplos de
su popularidad.
Muchas estructuras están formadas por triángulos unidos
entre sí, lo cual les da rigidez, por eso se utilizan en diversas aplicaciones como los andamios que se emplean en
las obras de construcción o las rejas de los antejardines y
conjuntos residenciales. Las construcciones más antiguas
también se pueden reforzar con estructuras triangulares
cerca de los muros. Numerosos documentos académicos
proponen al triángulo como una de las mejores formas
para integrar estructuras de soporte: “El triángulo es el
único polígono que no se deforma cuando actúa sobre
él una fuerza. Al aplicar una fuerza de compresión sobre
cualquiera de los vértices de un triángulo, automáticamente los lados o vigas que parten de dicho vértice
quedan sometidos a dicha fuerza de compresión, mientras que el tercero quedará sometido a un esfuerzo de
tracción“.
La estructura reticulada más famosa del mundo es la torre Eiffel, que tiene una altura aproximada de 300 m de
altura y requirió unas 6.000 toneladas de hierro. Por tanto, elegir la geometría de la estructura, los materiales de
construcción, los elementos de unión y calcular las fuerzas estáticas y dinámicas a las que será sometida se convierten en el principio de construcción de toda estructura.
Descubre el aporte matemático
1. Interpreta la información del artículo y con base
en él, analiza un caso de aplicación en la vida
cotidiana. Escribe los resultados en una página.
2. Elabora una cartelera sobre algunas estructuras
del entorno. Identifica algunas triangulares y
describe la función que cumplen.
3. Indaga qué son las bioestructuras y luego haz
un paralelo con las estructuras en ingeniería.
Presenta tus conclusiones a los compañeros del
curso.
Comprueba tu progreso
Saber saber
Razonar y comunicar
En los ejercicios 1 al 4, determina el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones:
1. Las funciones recíprocas de seno, secante y
cotangente son cosecante, coseno y tangente
respectivamente.
2. En un triángulo rectángulo el seno de un ángulo
se puede determinar como el cociente entre el
lado opuesto del ángulo y el lado adyacente.
3. El Teorema de Pitágoras determina el valor de la
hipotenusa como la suma de la longitud de los
catetos en triángulos rectángulos.
4. Los ángulos de elevación se pueden determinar
con respecto a líneas horizontales y verticales.
de la sombra hasta el punto más alto de la
palmera es de 48º, ¿cuál es su altura?
20. Una escalera eléctrica se transporta a una altura
del piso de 20 pies, con un ángulo de elevación
de 25º. ¿Qué longitud tiene?
21. Se desea construir un puente que una los puntos
P1 y P2 que están en las orillas opuestas de un
río. Un árbol que está en la orilla de P1 dista de
él 100 m. El ángulo  que se forma entre las
líneas que van del árbol a P1 y a P2 es de 31,5º. Si
la línea del árbol a P1 es perpendicular a la línea
de P1 a P2, halla la longitud que debe tener el
puente. Observa la figura.
B
A
5. b = 3, α = 28º ; a, c
22. Un topógrafo utiliza un geodímetro para medir
la distancia en línea recta desde un punto en
el suelo hasta un punto en la cima de una
montaña. Utiliza la información de la siguiente
figura para determinar la altura de la montaña.
a
C
b
00
10.0
6. c = 12, α = 47º ; a, b
7. a = 10, α = 64º 10 '; b , c 8. c = 36, α = 40º ; a, b
9. a = 8, b = 3; α , β, c
10. a = 5, α = 37º 20 '; b, c
11. b = 2.5, c = 4; α , β, a
12. a = 6, β = 48º ; b, c
13. a = 8, c = 14; α , β, b
14. a = 8, b = 12; α , β, c
15. a = 5, b = 8; α , β, c
16. b = 12, β = 57, 5º ; α , a, c
17. b = 16, α = 13º ; β, a, c
18. c = 16, β = 41º 35 '; a, b
Saber hacer en contexto
Resolver problemas
19. Una palmera proyecta una sombra de 18 m de
largo. Si el ángulo que se forma desde la punta
Techo de nubes
d
itu
9°
750 m
P1
100 m
c
Satélite
37,8°
Alt
Río
Árbol
En los ejercicios 5 al 18, encuentra las incógnitas
que te piden. Cada ejercicio se refiere al triángulo
que se muestra en la siguiente figura.
suficientemente alto para que los despegues y
los aterrizajes sean seguros. Durante la noche,
el techo de nubes puede ser determinado si se
ilumina su base con un proyector que apunte
verticalmente hacia arriba. Si un observador
se encuentra a 750 metros del proyector y el
ángulo de elevación hasta la base de la nube
iluminada es de 9º, encuentra el techo de
nubes. Observa la siguiente figura.
P2
Saber hacer
Ejercitar
25. Hay satélites que son lanzados a una órbita
geosincrónica, lo cual significa que la altitud
del satélite con respecto a la Tierra permanece
constante. Supón que desde uno de estos
satélites se observa un ángulo de 37,8º entre
una línea que va del satélite al centro de la
Tierra y otra línea del satélite a un punto
de tangencia con la Tierra, (observa la
figura). Dado que el diámetro de la Tierra es
aproximadamente 7.900 millas, determina
la altitud del satélite.
pies
24°35´
23. Un salvavidas se encuentra en una torre a
20 metros del nivel del mar. Descubre a una
persona que necesita su ayuda a un ángulo de
depresión de 35º. ¿A qué distancia de la base de
la torre se encuentra esa persona?
24. Un observador situado en una torre mide un
ángulo de depresión de 29º entre la línea
horizontal y la base de otra torre que está a 120
pies de la primera. El ángulo de elevación desde
el mismo punto hasta otro observador que se
encuentra en la segunda torre es de 38º20’;
¿a qué altura se encuentra el observador de la
segunda torre?
26. Un hombre que mide 6 pies de altura, parado
a 100 pies de la base de una casa de 30 pies
de altura, mira hacia la antena de televisión
localizada en el borde del techo. Si el ángulo
entre su línea de visibilidad al borde del techo y
su línea de visibilidad a la línea de la antena es
de 8º, ¿cuál es la altura de la antena?
27. Si el Sol se encuentra a un ángulo de elevación
de 58º, ¿qué largo tendrá la sombra de una
persona que mide 6 pies de altura?
28. Un aeroplano que vuela a una altitud de 30.000
pies se aproxima a una estación de radar
localizada en una colina de 2.500 pies de altura.
En un instante, el ángulo entre el radar que
apunta hacia el avión y la horizontal es de 62º;
¿cuál es la distancia en línea recta, en millas,
entre el avión y la estación de radar en ese
instante?
29. Utiliza la información dada en la siguiente
Proyector
Observador
31. Un turista en París quiso medir la altura de
la Torre Eiffel. Para ello midió que para un
ángulo de elevación del Sol de 28,4º la sombra
horizontal de la torre fue de 1.822 pies de
largo. ¿Qué altura tiene la Torre Eiffel?
32. Asumiendo que la Tierra es una esfera,
demuestra que C 0 = C e cos θ donde C0 es la
circunferencia del paralelo de latitud θ y C es
la circunferencia de la Tierra en el ecuador.
Observa la siguiente figura.
[Sugerencia: R cos θ = r ].
r
figura para encontrar la longitud CD.
R
Latitud
norte
Ecuador
D
DAC = 8°
AB = 40 m, BC = 50 m
C
8°
50 m
A
40 m
B
30. Un techo de nubes es la altitud más baja a la
cual podemos encontrar una nube sólida. El
techo de nubes en los aeropuertos debe estar
En los problemas 33 y 34, utiliza el resultado del
problema 32 (toma 6.400 km como el radio R de la
Tierra).
33. Encuentra la circunferencia del paralelo de
latitud θ en el lugar donde vives.
34. Encuentra la distancia “alrededor del mundo” a
una latitud constante de 54º 45’N.
138
139
Al final de cada parte se presentan
las siguientes lecturas:
Matemática, tecnología, sociedad
y ambiente, cuya finalidad es que
reconozcas la importancia, el impacto y
el aporte de la matemática en los avances
tecnológicos, así como también que
reflexiones acerca del compromiso con
el desarrollo de la sociedad y el cuidado
del medio ambiente. Esta lectura está
acompañada de la sección Descubre
el aporte matemático la cual incluye
preguntas o actividades que desarrollan
procesos matemáticos y permiten
evidenciar cuál fue el aporte de la
matemática en el tema de la lectura.
313
Conoce tu país, cuya finalidad es mostrarte
aspectos de nuestro patrimonio cultural,
riquezas naturales, biodiversidad, avances
tecnológicos, talentos humanos, sitios turísticos,
industrias destacadas, investigaciones científicas,
potencialidades económicas, entre otras.
Esta lectura está acompañada de la sección
Competencias ciudadanas, cuyas preguntas
o actividades pretenden generar sentido patrio
y conciencia ciudadana respondiendo a los tres
niveles de competencia ciudadana propuesta
por el MEN:
Déficit de ingenieros en Colombia
Según un informe del Observatorio de la Universidad
Colombiana publicado en abril de 2009, en www.universidad.edu.co, los profesionales más solicitados en la
industria colombiana son: administradores, economistas,
e ingenieros mecánicos, de minas, eléctricos, electrónicos, industriales y de sistemas. Otros profesionales que se
unen a esta lista son médicos con especialización, enfermeros, geólogos y nutricionistas.
En el mismo informe, se expresa la necesidad de impulsar
el desarrollo de varios sectores de producción nacional,
sobre todo en aquellos donde los ingenieros cumplen una
función muy importante. Sin embargo, las cifras de egresados en ingeniería en los últimos años son preocupantes. Una de las razones de estas pobres cifras tiene que
ver con que la matrícula en ingeniería ha bajado ostensiblemente, pues los jóvenes tienden a escoger carreras
de menor exigencia matemática, ciencias, física y química
debido principalmente a sus deficiencias en el manejo de
los fundamentos de estas áreas, al esfuerzo que implica mantenerse actualizados en un mundo cada vez más
tecnológico y probablemente a los modelos que reciben
de los medios de comunicación, donde otras ocupaciones son consideradas de mayor prestigio o popularidad.
También influye el desconocimiento de la realidad del país
y sus necesidades en la fuerza laboral. Infortunadamente,
este fenómeno también ocurre en otras partes del mundo; el canal de noticias CNN reportó recientemente que
mientras en China se gradúan 400.000 doctores por año
y en India unos 300.000 en Colombia sólo lo logran 40 y
estas cifras se asocian directamente con el número de patentes registradas, investigaciones y producción de nuevo
conocimiento.
En este panorama nacional, los ingenieros tienen un campo de acción muy amplio en el país, por tanto, cualquiera de sus ramas ofrece expectativas de trabajo y calidad
de vida interesantes. Aquellos estudiantes que se han
sentido motivados por alguna de las ramas de la ingeniería mencionadas en la lectura pueden encontrar más
información sobre las carreras y perfiles en la Sociedad
Colombiana de Ingenieros, www.sci.org.co, o en la
Asociación Colombiana de Ingenieros, www.aciem.org.
Competencias ciudadanas
1. Analiza por escrito la importancia que
tiene una de las carreras mencionadas
en la lectura para mejorar la convivencia
y la paz en el país.
2. Elabora una encuesta sobre las inclinaciones
de 20 jóvenes hacia los estudios en
Educación técnica, tecnológica o superior y
el conocimiento que tienen sobre el campo
de acción laboral escogido. Luego, analiza
los resultados de la encuesta a la luz de
las estadísticas, también puedes incluir
información suministrada en
www.universidad.edu.co. Presenta tus
conclusiones al grupo.
3. Elabora una campaña que promueva el
conocimiento de dos áreas de estudio que
consideres importantes para el desarrollo
de la región donde vives.
- Convivencia y paz,
- Participación y responsabilidad democrática
- Pluralidad, identidad y valoración de
las diferencias
97
11
Conoce tu libro
Carreras afines con la
matemática, cuya finalidad
es darte a conocer las carreras
profesionales, tecnológicas
o técnicas que tienen mayor
aplicación de las matemáticas,
describiendo cómo se
pueden desempeñar social
y laboralmente las personas
que se deciden a ejercerlas y
destacando las competencias
laborales que requiere cada una
de ellas. Asimismo, se incluyen
las oportunidades laborales que
se pueden tener dentro o fuera
del país para desempeñar estas
carreras.
Carreras afines con la matemática
Ingeniería topográfica
Los conocimientos en matemática, física y química son
fundamentales en la formación de los ingenieros, cartógrafos y topógrafos, pero también lo es el conocimiento de las humanidades; por ello, además de aprender
a realizar cálculos, diseñar, liderar y ejecutar proyectos,
es necesario que los futuros profesionales y técnicos de
estas áreas desarrollen habilidades de comunicación oral
y escrita. Igualmente, es importante que consideren factores como el impacto ambiental y social de una obra,
así como el manejo de un segundo idioma y el conocimiento de procesos de automatización, por su creciente
relevancia en los proyectos de ingeniería. La actualización
permanente en forma presencial o virtual es una habilidad que todo profesional necesita desarrollar debido a
los permanentes cambios tecnológicos que se suceden
en la actualidad.
La ingeniería topográfica hace énfasis en el desarrollo de
conocimientos científicos, administrativos, tecnológicos
y humanísticos en las áreas de topografía, geodesia, fotogrametría, teledetección espacial, cartografía, ciencias
de la tierra, ordenamiento territorial, impacto ambiental,
sistemas de información geográfica, legislación predial y
catastro.
Competencias laborales
El topógrafo debe desarrollar competencias para:
• Realizar levantamientos geodésicos y topográficos.
• Utilizar tecnologías de punta en la elaboración de estudios topográficos.
• Crear modelos de información topográfica en proyectos de ingeniería.
• Hacer mediciones georreferenciadas.
• Manejar instrumentos de medición propios del área y
registrar, procesar, analizar y representar la información en medios manuales y electrónicos.
Oportunidades laborales
Los topógrafos se pueden desempeñar en oficinas de catastro a nivel distrital, regional o nacional, en obras civiles, en oficinas de planeación y desarrollo territorial de
organismos como el Ideam, Igac o Ingeominas. También
pueden ser asesores de ventas y capacitadores en el uso
de equipos propios del área.
98
Evaluación
c.
c.
y
y
2
Fenómenos periódicos
En biología, medicina, economía e ingeniería,
es común encontrarse con fenómenos
periódicos que se representan para su análisis
en modelos matemáticos los cuales involucran
funciones periódicas. En la física en particular,
tenemos los movimientos vibratorios, las
ondas sonoras, las ondas hertzianas, las ondas
electromagnéticas y en general las corrientes
alternas. Estos son fenómenos periódicos que
se expresan por medio de funciones circulares o
combinaciones de ellas. Algunas expresiones de
tales fenómenos periódicos en el movimiento
armónico simple son:
x = A sen
2πt
, v = Aw cos wt y = r sen(nA + B)
T
1. Las funciones circulares se basan en la
circunferencia trigonométrica, es decir en una
circunferencia:
d. La amplitud de la curva.
22
4. En la ecuación y = rsen (nA + B) ,
B
representa:
n
b. Seno
c. Coseno
d. Cosecante
3. En la ecuación y = rsen (nA + B) , un cambio en r
representa una variación en:
174
Período
y
2
x
1
y=
1
b. El ángulo inicial de una onda completa o
ciclo.
d. La amplitud de la curva.
a.
y
b. 2
c. 3
d. 1/3
π 3
b. π
c.
3π 2
d. 2π 3
y
Las tejas en estrellas se forman a partir de
un rombo ABCD con lados de longitud 1 y
un ángulo interior de 72º. Primero se ubica
un punto P de la diagonal AC que está a una
distancia 1 del vértice C y luego se trazan los
segmentos PB y PD como se muestra en la
siguiente figura:
y=
5
4
π
2π
x
72o
Período
22
fase =
3
4
2
1
1
x
y=
0
2
Fase
Periodo =
5
4
sen ( 4 x − 3)
3π
2
π
22
Dardo
D
Las dos tejas formadas reciben el nombre de
dardo y cometa.
y
21
1
A
rad.
b.
1
P
y 5 senx
21
b.
C
Cometa
1
π
2
y
B
sen ( 4 x − 3)
3π
2
0
x
2π
3
rad.
4
Responde las preguntas 10 a 15 con base
en la siguiente información:
9. La gráfica que muestra los conceptos de
amplitud, período y fase de la función
5
y = sen( 4 x − 3) es:
4
a.
1
x
Periodo =
Tejas en estrellas
a.
2
1
sen ( 4 x − 3)
Amplitud
22
8. El período de la función del numeral 6 es:
c. La fase de la curva.
6. La gráfica de la función circular y = 2sen (3 x − 1)
es:
a. 1
4
y 5 senx
21
7. La amplitud de la anterior función es:
a. El período de la curva.
1
π
2
d. La amplitud de la curva.
5
3π
2
π
c. Centrada en el origen del plano cartesiano.
a. Circunferencia x 2 + y 2 = 1
d.
1
5. En la ecuación y = rsen (nA + B) , un cambio en
n significa un cambio en:
x
2π
y 5 senx
3
rad.
4
c. La longitud de onda.
b. De radio 1 y centrado en el origen del plano
cartesiano.
d. Unitaria centrado en cualquier punto del
plano cartesiano.
y
sen ( 4 x − 3)
3π
2
2
Amplitud =
b. La fase o ángulo inicial de una onda
completa o ciclo.
4
Fase
d.
a. El período de la curva.
5
π
π
21
a. De radio único.
2. Una de las siguientes funciones no es una
función circular:
x
1
c. La fase de la curva.
Fase
Responde las preguntas 1 a 9 con base en la
siguiente información:
b. El ángulo inicial de una onda completa
o ciclo.
Amplitud
Selecciona la respuesta adecuada para cada
enunciado.
a. El período de la curva.
y=
1
Amplitud
Prepárate para la prueba Icfes
Preguntas de selección múltiple con
única respuesta
1
3
rad.
4
π
2π
y 5 senx
x
10. La medida de los ángulos ∠APB y ABP son:
a. 108º y 72º
b. 72º y 36º
c. 120º y 30º
d. 108º y 36º
11. La expresión correcta, aplicando la ley de los
senos al triángulo APD, es:
a.
sen 36º sen 108º
=
1
AD
175
Cada parte presenta una Evaluación,
la cual cumple los requerimientos
del MEN y tiene como propósito
contribuir a que seas capaz de “saber
y saber hacer en Matemáticas”.
Asimismo esta evaluación pretende
ser un instrumento que permita hacer
seguimiento a tu proceso
de aprendizaje y facilitar el análisis
de los resultados para poder realizar
e implementar estrategias de
mejoramiento y así transformar o
reformar los procedimientos
y herramientas dentro y fuera
del salón de clases.
En la evaluación podrás encontrar
los siguientes tipos de pruebas:
Prepárate para la Prueba Saber
Relaciona tesis-hipótesis
Representa y aplica conceptos
Argumenta tus respuestas
Realiza representaciones múltiples
Tu libro Trigonometría está acompañado
de un CD interactivo de actividades
variadas e interesantes que te permitirá
reforzar los conceptos estudiados en cada
tema a partir de la lúdica.
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