1. No category

‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬
‫חומר עזר לתרגול מס' ‪ – 1‬חזרה על מספרים מרוכבים ותגובת התדירות‬
‫‪ .1‬מספרים מרוכבים‪.‬‬
‫איור ‪ :1‬הצגה קרטזית ופולארית של מספר מרוכב‬
‫כפי שנתון באיור ‪ ,1‬מספר מרוכב ניתן להצגה בצורה קרטזית ובצורה פולארית על ידי‪:‬‬
‫‪ Im  z  ‬‬
‫‪1  b ‬‬
‫‪z  a  bi  r   cos  i sin    rei ; r  z  a 2  b 2 ,   z  tan 1 ‬‬
‫‪  tan  ‬‬
‫‪Re‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר פונקציית הארכטנגנס מחושבת בהתאם לרביע שבו נמצא המספר המרוכב‪ ,‬כמתואר באיור ‪.2‬‬
‫איור ‪ :2‬זווית של מספר מרוכב לפי רביע‬
‫עבור הערכים המוחלטים ‪ a‬ו ‪ ,b‬הזוויות מחושבות לפי‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ b ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪z I  a  bi   I  tan 1  ‬‬
‫‪z II  a  bi   II  tan 1      tan 1  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ b ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ b ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪z IV  a  bi   IV  tan 1     tan 1   z III  a  bi   III  tan 1    tan 1    ‬‬
‫‪ a ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a ‬‬
‫‪a‬‬
‫הערה‪ :‬במחשבון‪ ,‬זווית ברביע ‪ II‬מוצגת כזווית מרביע ‪ ,IV‬וזווית מרביע ‪ III‬מוצגת כזווית מרביע ‪.I‬‬
‫‪1‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫חוקי חשבון בסיסיים של מספרים מרוכבים‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪i  ‬‬
‫‪ 1 e  1 2‬‬
‫‪z2 z2‬‬
‫;‬
‫‪z1  z2  z1 z2  e ‬‬
‫‪i 1 2 ‬‬
‫‪ .2‬משפט תגובת התדירות‬
‫תגובת מערכת יציבה אסימפטוטית )‪ G(s‬במצב מתמיד לכניסה הרמונית כללית‬
‫‪,   G  j ‬‬
‫‪; G  j   G  j  e j‬‬
‫‪jωt‬‬
‫‪ u(t)=ae‬נתונה על ידי‬
‫‪j t  ‬‬
‫‪yss  t   u  t   G  j   a  G  j   e ‬‬
‫כאשר ‪ G  j ‬הוא יחס האמפליטודות של אות היציאה והכניסה‪ ,‬ו ‪ ϕ‬הוא הפרש הפאזה בין אות היציאה והכניסה‪.‬‬
‫עקום בודה (‪ )Bode‬מציג את יחס האמפליטודות ואת הפרש הפאזה כתלות בתדר ‪ .ω‬מקובל לייצג את התדר בסקאלה‬
‫לוגריתמית‪ ,‬את הפאזה במעלות ואת ההגבר בדציבלים‪ ,‬כאשר ‪. G  j  dB  20log  G  j  ‬‬
‫איור ‪ :3‬עקום בודה (הגבר) כללי‬
‫מתוך חוקי לוגריתמים‪ ,‬עקום בודה של מכפלת שתי פונקציות תמסורת‪ ,G1(jω)∙G2(jω) ,‬הוא חיבור של העקומים‪.‬‬
‫‪dB ‬‬
‫‪ G2  j  ‬‬
‫‪dB ‬‬
‫‪20log G1  j   G2  j   20log G1  j   20log G2  j   G1  j  ‬‬
‫‪G1  j   G2  j ‬‬
‫‪ G1  j   G2  j   ‬‬
‫‪ .3‬עקום בודה אסימפטוטי‬
‫ניתן לצייר עקום בודה מקורב של מערכות פשוטות ללא שימוש במחשב על ידי הצבת ערכי קיצון של התדרים‪.‬‬
‫‪.1.3‬‬
‫מערכת מסדר אפס‬
‫‪K 0‬‬
‫‪K 0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪G  j   K  G  j     20log K ; G  j   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪dB‬‬
‫‪180‬‬
‫‪2‬‬
‫‪G s  K :‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪.3.2‬‬
‫מערכת מסדר ראשון‬
‫‪G  j    tan 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 10log    1 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dB ‬‬
‫‪ G  j  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪G  j  ‬‬
‫‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ s 1‬‬
‫‪G s ‬‬
‫עבור ערכי קיצון של התדר‪ ,‬נקבל שנקודת השבירה היא ‪:ω=1/τ‬‬
‫‪G  j    tan 1  0   0‬‬
‫‪G  j    tan 1     90‬‬
‫‪ 10log 1  0 ,‬‬
‫‪  20log   ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 10log  ‬‬
‫‪dB ‬‬
‫‪: G  j  ‬‬
‫‪dB ‬‬
‫‪: G  j  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 or ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1 or ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫עקום בודה אס' של מע' מסדר ‪ 0‬ו ‪ 1‬נתון באיור ‪ .4‬עבור מע' מסדר גבוה יותר עושים סופרפוזיציה של מע' פשוטות‪.‬‬
‫איור ‪ :4‬עקום בודה אסימפטוטי‪ .‬אדום – מע' סדר ‪ ,0‬כחול – מע' סדר ‪1‬‬
‫‪ .4‬עקום פולארי‬
‫ניתן לצייר את הפונקציה )‪ G(jω‬במישור המרוכב באמצעות הצגה פולארית‪ ,‬כמתואר באיור ‪ .5‬לכל תדר ‪ ω‬הנע בין ‪0‬‬
‫לאינסוף רדיאן בשנייה מתקבל מספר מרוכב )‪ G(jω‬בעל גודל וזווית מסוימים‪.‬‬
‫איור ‪ :5‬דוגמא של עקום פולארי‬
‫‪3‬‬