‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלון ‪ - 806‬מבחן ‪31‬‬ ‫פרק ראשון ‪ -‬אלגברה והסתברות )‪ 40‬נק'(‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬ ‫‪ .1‬מנהל מפעל מעסיק מדי יום חמישה עובדים‪ ,‬חלקם ותיקים וחלקם חדשים‪ ,‬באריזת מכסה יומית קבועה‬ ‫של מוצרים‪ .‬מספר העובדים החדשים משתנה מדי יום‪ .‬פועל ותיק מסוגל לסיים לבדו את המכסה‬ ‫היומית בזמן הקצר פי שניים מהדרוש לפועל חדש‪ .‬ביום א' סיים הצוות המשולב לארוז ‪ 75%‬מהמכסה‬ ‫היומית בתוך שעתיים‪ .‬ביום ב'‪ ,‬מספר העובדים החדשים בצוות היה גדול פי שניים ממספר העובדים‬ ‫החדשים ביום א'‪ .‬ביום ב'‪ ,‬בתום שעתיים של עבודה‪ ,‬סיים הצוות לארוז ‪ 2‬מהמכסה היומית‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ .‬מצא כמה עובדים חדשים עבדו ביום ב'‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ :‬פועל ותיק אורז עשרים חבילות בשעה‪ .‬חשב כמה זמן לקח לצוות ביום א' לארוז ‪ 135‬מתנות‪.‬‬ ‫‪ .2‬בסדרה הנדסית עולה שאיבריה חיוביים‪ ,‬האיבר הראשון ‪ a1‬והמנה ‪ . q‬אם נפחית ‪ 2‬מהאיבר הראשון‬ ‫ונכפיל פי שניים את האיבר השלישי‪ ,‬יהיו שלושת האיברים הראשונים סדרה הנדסית חדשה בפני עצמה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה החדשה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ממשיכים את הסדרה החדשה כך שיהיה בה מספר זוגי של איברים‪ .‬סכום הסדרה החדשה גדול‬ ‫יותר מפי ‪ 1.25‬מסכום איבריה הנמצאים במקומות הזוגיים‪ .‬מצא את התחום האפשרי של ערכי ‪. q‬‬ ‫‪ .3‬חלק מעובדי התאגיד יצאו לפני שבוע לקורס ניהולי והיתר לא‪ .‬ההסתברות לבחור מבין כלל העובדים‬ ‫ארבעה עובדים )גברים או נשים( שיצאו לקורס היא ‪ .0.0016‬רבע מהעובדים שלא יצאו לקורס הן נשים‪.‬‬ ‫מבין כלל העובדים‪ ,‬שיעור כלל הגברים גדול פי ‪ 15‬משיעור הנשים שיצאו לקורס‪.‬‬ ‫א‪ .‬מירב עובדת בתאגיד‪ .‬חשב את ההסתברות שיצאה לקורס ניהולי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬קבע האם האירועים‪' :‬לצאת לקורס' ו‪'-‬להיות גבר' הם תלויים או בלתי תלויים‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬כל מי שלא יצא לקורס‪ ,‬ניגש אתמול למבחן התאמה‪ ,‬שהצלחה בו תאפשר לצאת לקורס‪ .‬שישית‬ ‫מהגברים שניגשו למבחן אתמול‪ ,‬עברו אותו בהצלחה‪ 75% .‬מכלל הניגשים למבחן נכשלו בו‪.‬‬ ‫חשב את שיעור הנשים מבין אלו שעברו בהצלחה את המבחן‪.‬‬ ‫פרק שני ‪ -‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נק'(‬ ‫ענה על אחת מהשאלות מהשאלות ‪ 20) 4-5‬נק'(‬ ‫‪ .4‬הישר ‪ AE‬הוא תיכון במשולש ‪ . ∆ABC‬הנקודות ‪ D‬ו‪ F-‬נמצאות על‬ ‫הצלע ‪ .AB‬הישרים ‪ CD‬ו‪ AE-‬נחתכים בנקודה ‪.O‬‬ ‫נתון‪. AC = 1.5 BE , BE FO :‬‬ ‫שטח המשולש ‪ ∆AFO‬הוא ‪ 9m‬ושטח המרובע ‪ BEOF‬הוא ‪. 16m‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. p ACD = p BCD :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. AC ⋅ BD = 2 :‬‬ ‫‪AD ⋅ CE‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪226‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫‪ .5‬א‪ .‬הוכח את הזהות‪. tan( −α ) = − tan(α ) :‬‬ ‫ב‪ .‬המשולש ‪ ∆ABC‬חוסם מעגל המשיק לו בנקודות ‪ E ,D‬ו‪.F-‬‬ ‫נתון‪. p ABC = 180 − 2 β , p ADE = α , DE = m :‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ β , α‬ו‪ m -‬את אורך המשיק ‪BF‬‬ ‫) ‪m ⋅ tan (α + β‬‬ ‫‪. CF = −‬‬ ‫והוכח שמתקיים‪:‬‬ ‫‪2 sin α‬‬ ‫ג‪ .‬היעזר בסעיף א' והוכח שאם ‪ , CF = BF‬אז הנקודה ‪ F‬רחוקה במידה שווה מהנקודות ‪ D‬ו‪.E-‬‬ ‫פרק שלישי ‪ -‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬פונקציות שורש‪ ,‬פונקציות רציונליות‬ ‫ופונקציות טריגונומטריות )‪ 40‬נק'(‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 6-8‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬ ‫‪ax 2 − 4‬‬ ‫= ) ‪ . f ( x‬שתיים מהאסימפטוטות של‬ ‫‪ .6‬הישר ‪ y = 1‬הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה‪:‬‬ ‫‪ax − b‬‬ ‫גרף )‪ f (x‬ושני הצירים‪ ,‬יוצרים ברביע הראשון מלבן ששטחו ‪ 7‬יח"ר‪ .‬הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b-‬חיוביים‪.‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה )‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .2‬נקודות הקיצון וסוגן‪ ,‬במידה וקיימות‪.‬‬ ‫‪ .1‬ערכם של ‪ a‬ו‪ b-‬ותחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחומי העליה והירידה‪.‬‬ ‫‪ .3‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪ . g ( x) = − f ( x) :‬נתון‪ :‬למשוואה ‪ g ( x ) = m‬יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪.m‬‬ ‫‪ .7‬נתון מספר בתחום‪ . 1 ≤ x ≤ 36 :‬באמצעותו מרכיבים שלושה מספרים נוספים‪:‬‬ ‫המספר השני הוא השורש הריבועי של המספר הראשון‪ .‬המספר השלישי קטן ב‪ 1-‬מהמספר השני‪.‬‬ ‫המספר הרביעי קטן ב‪ 4-‬מהמספר השני‪ .‬מעלים בריבוע את המספר הרביעי‪ ,‬ומכפילים את התוצאה‬ ‫במספר השלישי‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את המספר הראשון‪ ,‬שעבורו מכפלה זו היא‪:‬‬ ‫‪ .1‬מינימלית‪.‬‬ ‫‪ .2‬מקסימלית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את ההפרש בין המכפלה המקסימלית האפשרית לבין המכפלה המינימלית האפשרית‪.‬‬ ‫‪3π ‬‬ ‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪ :‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪. f ( x) = sin ‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ :‬כל נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪ f (x‬נמצאות במרחק של יח' אורך אחת מציר ה‪-‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫ב‪ .‬את הסעיפים הבאים בצע בתחום ‪: 1 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫‪ .1‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר ה‪.x-‬‬ ‫‪ .2‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה )‪ , f (x‬כולל בקצה התחום‪ ,‬ואת סוגן‪.‬‬ ‫‪ .3‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ . f ' ( x) = g ( x) :‬הפונקציה )‪ g (x‬חיובית לכל ‪ x‬בתחום ‪. 2 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ g (x‬לבין ציר ה‪ x-‬והישרים ‪ x = 2‬ו‪. x = 3 :‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪227‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫פתרונות‪:‬‬ ‫‪ (1‬א‪ .‬שניים‪ .‬ב‪ .‬שעה וחצי‪.‬‬ ‫‪ (2‬א‪ .2 .‬ב‪. 1 < q < 2 .‬‬ ‫‪ (3‬א‪ .0.2 .‬ב‪ .‬בלתי תלויים‪ .‬ג‪.50% .‬‬ ‫‪m ⋅ tan β‬‬ ‫= ‪. BF‬‬ ‫‪ (5‬ב‪.‬‬ ‫‪2 sin α‬‬ ‫‪ (6‬א‪. a = 1, b = 7 .1 .‬‬ ‫תחום ההגדרה‪ 7 < x :‬או ‪ 2 ≤ x < 7‬או ‪. x ≤ −2‬‬ ‫‪. (−2, 0), (2, 0) .3 . max (−2, 0), max (2, 0) .2‬‬ ‫‪ .4‬עולה‪ ; x < −2 :‬יורדת‪ 7 < x :‬או ‪. 2 < x < 7‬‬ ‫ב‪ .‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪. m = −1 .‬‬ ‫‪ (7‬א‪ 1 (1 .‬או ‪ .36 (2 .16‬ב‪ .‬ההפרש ‪.20‬‬ ‫‪ (8‬ב‪. min (1, 0), max (1.2,1), min (2, − 1), max (3, 0) (2 . (1, 0), (1.5, 0), (3, 0) (1 .‬‬ ‫‪ (3‬השרטוט משמאל‪ .‬ג‪ 1 .‬יח"ר‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪228‬‬