‫אלגברה לינארית ‪ -‬הגדרות ומשפטים‬ ‫פרק ‪ – 7‬טרנספורמציות לינאריות‬ ‫הגדרה ‪ – 7.1‬טרנספורמציה לינארית‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ .‬טרנספורמציה 𝑇 מ‪ 𝑉 -‬ל‪ 𝑈 -‬מסומנת 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬היא פונקציה‬ ‫המתאימה לכל וקטור 𝑉 ∈ 𝑥 וקטור 𝑈 ∈ )𝑥(𝑇‪.‬‬ ‫)‪ – T(x‬נקרא התמונה של הוקטור 𝑥‪.‬‬ ‫𝑥 – נקרא המקור של )‪.T(x‬‬ ‫טרנספורמציה 𝑇 היא טרנספורמציה לינארית אם היא מקיימת‪:‬‬ ‫‪ 𝑇 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2 = 𝑎𝑇 𝑥1 + 𝑏𝑇 𝑥2‬לכל 𝑉 ∈ ‪ 𝑥1 , 𝑥2‬ולכל 𝑏 ‪ 𝑎,‬סקלרים‪.‬‬ ‫טענה ‪7.2‬‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫‪ .1‬מתקיים‬ ‫‪ .2‬מתקיים‬ ‫‪ 𝑇 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑇 𝑥1 + 𝑇 𝑥2‬לכל 𝑉 ∈ ‪𝑥1 , 𝑥2‬‬ ‫𝑥 𝑇𝑎 = 𝑥𝑎 𝑇 לכל 𝑉 ∈ 𝑥 ולכל סקלר 𝑎‬ ‫טענה ‪7.3‬‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי‪.𝑇 0𝑣 = 0𝑢 :‬‬ ‫טענה ‪7.4‬‬ ‫ותהי 𝑚‪ 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ‬טרנספורמציה המוגדרת ע"י 𝑥𝐴 = 𝑥 𝑇 עבור מטריצה 𝐴 נתונה מסדר 𝑛𝑥𝑚‬ ‫אזי 𝑇 טרנספורמציה לינארית‬ ‫טענה ‪7.5‬‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫𝑛𝑥 𝑇 𝑛𝑎 ‪𝑇 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎1 𝑇 𝑥1 + 𝑎2 𝑇 𝑥2 + ⋯ +‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫טענה ‪7.6‬‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬נתון בסיס של 𝑉‪:‬‬ ‫𝑛𝑥 ‪ ,𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬ונתונים‬ ‫𝑥 𝑇 ידוע‬ ‫𝑛𝑥 𝑇 ‪( 𝑇 𝑥1 , 𝑇 𝑥2 , … +,‬תמונות וקטורי הבסיס)‪ ,‬אזי‬ ‫לכל 𝑥‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ – 7.7‬מטריצה של העתקה לינארית‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים כאשר 𝑚 = 𝑈𝑚𝑖𝑑‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪.‬‬ ‫𝑛𝑥 ‪ 𝐵1 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬בסיס ל‪ ,𝑉 -‬ו‪ 𝐵2 -‬בסיס ל‪.𝑈 -‬‬ ‫נתון‬ ‫מתקיים‪∈ ℝ𝑚 :‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫𝑛𝑥 𝑇‬ ‫‪𝐵2 , … ,‬‬ ‫‪𝑇 𝑥2‬‬ ‫‪𝐵2 ,‬‬ ‫‪. 𝑇 𝑥1‬‬ ‫מטריצה של טרנספורמציה לינארית לפי הבסיסים ‪ 𝐵1‬ו‪ 𝐵2 -‬מסומנת‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫𝑛𝑥𝑚‬ ‫⋮‬ ‫𝑛𝑥 𝑇‬ ‫⋮‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫‪𝐵1‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫𝑇 ומוגדרת כך‪:‬‬ ‫⋮‬ ‫‪𝑇 𝑥2‬‬ ‫⋮‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫⋮‬ ‫‪𝑇 𝑥1‬‬ ‫⋮‬ ‫=‬ ‫‪𝐵1‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫𝑇‬ ‫משפט ‪7.8‬‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים כאשר 𝑚 = 𝑈𝑚𝑖𝑑‪ 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה‬ ‫לינארית‪ 𝐵1 .‬בסיס ל‪ ,𝑉 -‬ו‪ 𝐵2 -‬בסיס ל‪.𝑈 -‬‬ ‫תהי‬ ‫‪𝐵1‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫𝑇 מטריצה של העתקה לינארית מבסיס ‪ 𝐵1‬לבסיס ‪ 𝐵2‬מסדר 𝑛𝑥𝑚‪ ,‬אזי 𝑚‪∈ ℝ‬‬ ‫ו‪∈ ℝ𝑚 -‬‬ ‫‪𝐵1‬‬ ‫𝑥 ומתקיים‪:‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫𝑥 𝑇 =‬ ‫‪𝐵1‬‬ ‫𝑥 ∙‬ ‫‪𝐵1‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫𝑥 𝑇‬ ‫𝑇‬ ‫הגדרה ‪ – 7.9‬גרעין של טרנספורמציה לינארית‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬הגרעין של‬ ‫טרנספורמציה לינארית 𝑇 מסומן 𝑇𝑟𝑒𝐾 ומוגדר כך‪.𝐾𝑒𝑟𝑇 = 𝑥 ∈ 𝑉|𝑇 𝑥 = 0 ∈ 𝑈 :‬‬ ‫טענה ‪7.10‬‬ ‫הגרעין 𝑇𝑟𝑒𝐾 של טרנספורמציה לינארית 𝑇 הוא תת מרחב של 𝑉‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫הגדרה ‪ – 7.11‬תמונה של טרנספורמציה לינארית‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬התמונה של‬ ‫טרנספורמציה לינארית 𝑇 מסומן 𝑇𝑚𝐼 ומוגדר כך‪:‬‬ ‫קיים 𝑉 ∈ 𝑥‬ ‫כך ש ∶ 𝑦 = 𝑥 𝑇‬ ‫|𝑈 ∈ 𝑦 = 𝑇𝑚𝐼‪.‬‬ ‫טענה ‪7.12‬‬ ‫התמונה 𝑇𝑚𝐼 של טרנספורמציה לינארית 𝑇 הוא תת מרחב של 𝑉‪.‬‬ ‫טענה ‪7.13‬‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬יהי 𝐵 בסיס ל‪:𝑉 -‬‬ ‫𝑛𝑥 ‪ .𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬אזי‬ ‫𝑛𝑥 𝑇 ‪𝐼𝑚𝑇 = 𝑠𝑝 𝑇 𝑥1 , 𝑇 𝑥2 , … ,‬‬ ‫טענה ‪ – 7.14‬משפט המימד בטרנספורמציות לינאריות‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫𝑉𝑚𝑖𝑑 = 𝑇𝑚𝐼𝑚𝑖𝑑 ‪𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝑇 +‬‬ ‫הגדרה ‪ – 7.15‬טרנספורמציה חד‪-‬חד‪-‬ערכית‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬העתקה 𝑇 נקראת‬ ‫טרנספורמציה חד‪-‬חד‪-‬ערכית (חח"ע) אם עבור‬ ‫‪ 𝑇 𝑥1 = 𝑇 𝑥2‬מתקיים ‪.𝑥1 = 𝑥2‬‬ ‫טענה ‪7.16‬‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי 𝑇 נקראת‬ ‫טרנספורמציה חח"ע אם ורק אם }‪.𝐾𝑒𝑟𝑇 = {0‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫הגדרה ‪ – 7.16‬טרנספורמציה על‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים‪ ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬אזי 𝑇 נקראת‬ ‫טרנספורמציה על (על 𝑈) אם ורק אם 𝑈 = 𝑇𝑚𝐼‪.‬‬ ‫טענה ‪7.17‬‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים מאותו מימד‪ .𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה‬ ‫לינארית‪ .‬אזי 𝑇 חח‪,‬ע אם ורק אם 𝑇 על‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ – 7.18‬טרנספורמציה הפיכה‬ ‫יהיו 𝑉 ו‪ 𝑈 -‬מרחבים וקטורים מאותו מימד‪ .𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 ,‬ותהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה‬ ‫לינארית‪ .‬הטרנספורמציה הלינארית ההפיכה מסומנת 𝑉 → 𝑈 ‪ 𝑇 −1 :‬ומוגדרת 𝑥 = 𝑦 ‪ 𝑇 −1‬כאשר‬ ‫𝑦 = 𝑥 𝑇‪.‬‬ ‫משפט ‪7.19‬‬ ‫תהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ 𝑇 .‬טרנספורמציה לינארית הפיכה אם ורק אם ‪ T‬היא‬ ‫חח"ע ועל‪.‬‬ ‫משפט ‪ – 7.20‬ייצוג העתקה לינארית בעזרת המטריצה המייצגת‬ ‫תהי 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬טרנספורמציה לינארית‪ 𝐵1 .‬בסיס ל‪ ,𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑚 ,𝑉 -‬ו‪ 𝐵2 -‬בסיס ל‪,𝑈 -‬‬ ‫𝑛 = 𝑈𝑚𝑖𝑑‪ .‬המטריצה‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫𝑥 𝑇 =‬ ‫‪𝐵1‬‬ ‫𝑥 ∙‬ ‫‪𝐵1‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫‪𝐵1‬‬ ‫‪𝐵2‬‬ ‫𝑇 היא המטריצה המייצגת לפי הבסיסים ‪ 𝐵1‬ו‪ 𝐵2 -‬והיא מקיימת‬ ‫𝑇‪.‬‬ ‫שתי מטריצות המייצגות את אותה טרנספורמציה לפי בסיסים שונים נקראות מטריצות‬ ‫דומות‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪[email protected]‬‬