‫אלגברה לינארית – הגדרות ומשפטים‬ ‫פרק ‪ – 5‬מרחבים וקטורים א'‬ ‫הגדרה ‪ – 5.1‬מרחב וקטורי‬ ‫מרחב וקטורי הוא קבוצה של איברים יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר המקיימים את‬ ‫התכונות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬סגירות לחיבור – לכל 𝑉 ∈ 𝑦 ‪ 𝑥,‬מתקיים 𝑉 ∈ 𝑦 ‪ .𝑥 +‬תכונות‪:‬‬ ‫א‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑦 ‪ 𝑥,‬מתקיים 𝑥 ‪𝑥 + 𝑦 = 𝑦 +‬‬ ‫ב‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑧 ‪ 𝑥, 𝑦,‬מתקיים 𝑧 ‪𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 +‬‬ ‫ג‪ .‬קיים איבר ‪ 0‬המקיים 𝑥 = ‪ 0 + 𝑥 = 𝑥 + 0‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥‬ ‫ד‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥 קיים איבר נגדי 𝑥 – המקיים ‪– 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + – 𝑥 = 0‬‬ ‫‪ .2‬סגירות לכפל בסקלר – לכל 𝑉 ∈ 𝑥 ולכל 𝐹 ∈ ‪ α‬מתקיים 𝑉 ∈ 𝑥‪ .α‬תכונות‪:‬‬ ‫א‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥 ולכל שני סקלרים 𝐹 ∈ 𝛽 ‪ α,‬מתקיים‪:‬‬ ‫𝑥𝛽 𝑎 = 𝑥 𝛽‪α‬‬ ‫ב‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑦 ‪ 𝑥,‬ולכל 𝐹 ∈ ‪ α‬מתקיים‪α 𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 :‬‬ ‫ג‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥 ולכל שני סקלרים 𝐹 ∈ 𝛽 ‪ α,‬מתקיים‪α + 𝛽 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝛽𝑦 :‬‬ ‫ד‪ .‬לכל 𝑉 ∈ 𝑥 מתקיים‪– 1 𝑥 = −𝑥 :‬‬ ‫‪1𝑥 = 𝑥 ,‬‬ ‫מרחבים וקטורים נפוצים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫𝑛‪– 𝑉 = ℝ‬‬ ‫𝑛‪– 𝑉 = ℂ‬‬ ‫𝐹‬ ‫𝑛𝑥𝑚‪𝑉 = ℳ‬‬ ‫‪𝑉 = 𝑃𝑛 ℝ‬‬ ‫המרחב האוקלידי ה‪ 𝑛-‬מימדי מעל שדה המספרים הממשיים‬ ‫המרחב האוקלידי ה‪ 𝑛-‬מימדי מעל שדה המספרים המרוכבים‬ ‫– מרחב המטריצות מסדר 𝑛𝑥𝑚 מעל שדה 𝐹‬ ‫‪ -‬מרחב הפולינומים ממעל קטנה שווה ‪ 𝑛 − 1‬מעל שדה המספרים הממשיים‬ ‫הגדרה ‪ – 5.2‬תת מרחב וקטורי‬ ‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי‪ .‬תהי 𝑊 תת קבוצה לא ריקה של 𝑉‪ .‬אז 𝑊 הוא תת מרחב של 𝑉 אם‪:‬‬ ‫א‪ .‬לכל 𝑊 ∈ 𝑦 ‪ 𝑥,‬מתקיים 𝑊 ∈ 𝑦 ‪𝑥 +‬‬ ‫ב‪ .‬לכל 𝑊 ∈ 𝑥 ולכל 𝐹 ∈ ‪ α‬מתקיים 𝑊 ∈ 𝑥‪α‬‬ ‫הגדרה ‪ – 5.3‬צירוים לינאריים‬ ‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי ותהי‬ ‫𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬הוקטור 𝑉 ∈ 𝑥‬ ‫נקרא צירוף לינארי של הקבוצה 𝑆 אם קיימים סקלרים 𝑘‪ α1 , α2 , … , α‬כך ש‪:‬‬ ‫𝑘𝑥 𝑘‪𝑥 = α1 𝑥1 + α2 𝑥2 + ⋯ + α‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫טענה ‪5.4‬‬ ‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי ותהי‬ ‫𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬הקבוצה‬ ‫𝐹 ∈ 𝑘‪ 𝑊 = α1 𝑥1 + α2 𝑥2 + ⋯ + α𝑘 𝑥𝑘 |α1 , α2 , … , α‬היא תת מרחב של 𝑉‪.‬‬ ‫תת מרחב זה מסומן 𝑆 𝑝𝑠 = 𝑊‪ ,‬ונאמר ש‪ 𝑊 -‬הוא תת מרחב הנפרש ע"י הקבוצה 𝑆‪ ,‬והקבוצה‬ ‫𝑆 פורשת את התת מרחב 𝑊‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ – 5.5‬תלות לינארית‬ ‫תהי‬ ‫𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬נאמר ש‪ 𝑆 -‬קבוצה תלויה לינארית (או‬ ‫שנאמר הוקטורים 𝑘𝑥 ‪ 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬תלויים לינארית) אם קיימים סקלרים 𝑘‪ α1 , α2 , … , α‬כאשר לפחות‬ ‫אחד מהם שונה מאפס‪ ,‬כך ש‪α1 𝑥1 + α2 𝑥2 + ⋯ + α𝑘 𝑥𝑘 = 0 :‬‬ ‫הגדרה ‪ – 5.6‬אי תלות לינארית‬ ‫תהי 𝑘𝑥 ‪ 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬קבוצה של 𝑘 וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬נאמר ש‪ 𝑆 -‬קבוצה בלתי תלויה‬ ‫לינארית (או שנאמר הוקטורים 𝑘𝑥 ‪ 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬בלתי תלויים לינארית) אם מתקיים‬ ‫‪ α1 𝑥1 + α2 𝑥2 + ⋯ + α𝑘 𝑥𝑘 = 0‬רק עבור ‪.α1 = 0, α2 = 0, … , α𝑘 = 0‬‬ ‫הגדרה ‪ – 5.7‬בסיס‬ ‫קבוצה פורשת ובלתי תלויה לינארית היא בסיס של המרחב או התת מרחב אותו היא פורשת‬ ‫משפט ‪5.8‬‬ ‫𝑛𝑥 ‪ 𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬בסיס ל‪ .𝑉 -‬תהי‬ ‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי ויהי‬ ‫וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם 𝑛 > 𝑘 אז הקבוצה 𝑆 תלויה לינארית‬ ‫ב‪ .‬אם 𝑛 < 𝑘 אז הקבוצה 𝑆 לא פורשת את 𝑉‬ ‫𝑘𝑦 ‪ 𝑆 = 𝑦1 , 𝑦2 , … ,‬קבוצה של 𝑘‬ ‫משפט ‪5.9‬‬ ‫𝑛𝑥 ‪ 𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,‬בסיס ל‪ .𝑉 -‬תהי‬ ‫יהי 𝑉 מרחב וקטורי ויהי‬ ‫וקטורים מתוך 𝑉‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם 𝑆 קבוצה בלתי תלויה לינארית אז 𝑛 ≤ 𝑘‬ ‫ב‪ .‬אם 𝑆 פורשת את 𝑉 אז 𝑛 ≥ 𝑘‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑘𝑦 ‪ 𝑆 = 𝑦1 , 𝑦2 , … ,‬קבוצה של 𝑘‬ ‫‪[email protected]‬‬