ab - Notes

‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬המבחן‪...‬‬
‫נכתב ונערך ע"י דינה זליגר‬
‫מבוסס על הרצאותיו של פרופ' איליה ריפס‬
‫סמסטר א' תשס"ו‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪ .1‬אלגברה לינארית – הא?? ‪2 ...............................................................................................‬‬
‫‪ .2‬שדות ‪2 .........................................................................................................................‬‬
‫‪ .2.1‬הגדרת השדה ותכונות בסיסיות ‪2 ..................................................................................‬‬
‫‪ .2.2‬שדה המרוכבים ‪4 ......................................................................................................‬‬
‫‪ .2.3‬שדה השאריות מודולו ‪5 ......................................................................................... n‬‬
‫‪ .2.4‬המציין של שדה ‪8 .....................................................................................................‬‬
‫‪ .2.5‬תתי שדות ‪9 .............................................................................................................‬‬
‫‪ .3‬מרחבים וקטוריים ‪11 .......................................................................................................‬‬
‫‪ .3.1‬הגדרת המרחב הוקטורי ‪11 .........................................................................................‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .3.2‬קוביות ב‪13 ..................................................................................................... -‬‬
‫‪ .3.3‬בסיסים ומימד של מרחבים וקטוריים ‪14 ........................................................................‬‬
‫‪ .3.4‬תתי מרחבים ‪18 ........................................................................................................‬‬
‫‪ .4‬העתקות לינאריות ‪23 .......................................................................................................‬‬
‫‪ .4.1‬תכונות כלליות של העתקות ‪23 ....................................................................................‬‬
‫‪ .4.2‬העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים ‪24 ...................................................................‬‬
‫‪ .4.3‬העתקות לינאריות ומטריצות ‪28 ...................................................................................‬‬
‫‪ .5‬מערכות משוואות לינאריות ‪33 ..........................................................................................‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪2‬‬
‫‪ .1‬אלגברה לינארית – הא??‬
‫מהי אלגברה לינארית? ובכן‪ ,‬אלגברה היא תחום במתמטיקה שעוסק בפיתרון משוואות‪ .‬אלגברה לינארית עוסקת בפיתרון‬
‫משוואות לינאריות – כלומר משוואות שבהן הנעלמים מופיעים בחזקה ראשונה וגם לא מופיעה בהן מכפלה של נעלמים‪ .‬בסוף‬
‫*‬
‫הקורס אנחנו נראה אין פותרים מערכות משוואות‪ .‬עד אז נפתח את הכלים שמאפשרים לנו לעשות זאת‪...‬‬
‫נניח שיש לנו מערכת משוואות‬
‫‪a1,1 x1 + ... + a1, n xn = b1‬‬
‫‬
‫‪am ,1 x1 + ... + am , n xn = bm‬‬
‫מהם הפתרונות? הפתרונות הם ‪ x1 ,..., xn‬שמקיימים את המשוואת שרשומות למעלה )אם קיימים כאלה כלל(‪ .‬אבל מאיפה‬
‫מביאים את המספרים האלה?‬
‫‪ .2‬שדות‬
‫הגדרת השדה ותכונות בסיסיות‬
‫‪.2.1‬‬
‫הגדרה‪ :‬קבוצה ‪ F‬עם הפעולות הדו‪-‬מקומיות חיבור ) ‪ ( + F‬וכפל ) ‪ †( ⋅F‬תיקרא שדה אם מתקיימות התכונות הבאות אשר‬
‫נקראות אקסיומות השדה‪:‬‬
‫‪ .1‬אקסיומות החיבור‪:‬‬
‫‪ .a‬סגירות‪ :‬לכל ‪a + F b ∈ F a, b ∈ F‬‬
‫‪.b‬‬
‫‪.2‬‬
‫) ‪( a +F b) +F c = a + F (b + F c‬‬
‫‪.c‬‬
‫אסוציאטיביות‪ :‬לכל ‪a, b, c ∈ F‬‬
‫‪.d‬‬
‫קיום איבר ניטרלי לחיבור‪ :‬קיים ‪ 0 F ∈ F‬כך שלכל ‪a + F 0 F = a a ∈ F‬‬
‫‡‬
‫‪ .e‬קיום איבר נגדי לחיבור‪ :‬לכל ‪ a ∈ F‬קיים ‪ −a ∈ F‬כך ש‪a + F ( − a ) = 0 F -‬‬
‫אקסיומות הכפל‪:‬‬
‫§‬
‫‪ .a‬סגירות‪ :‬לכל ‪a ⋅F b ∈ F a, b ∈ F‬‬
‫‪ .b‬קומוטטיביות‪ :‬לכל ‪a ⋅F b = b ⋅F a a, b ∈ F‬‬
‫) ‪( a ⋅F b ) ⋅ F c = a ⋅F ( b ⋅F c‬‬
‫‪.c‬‬
‫אסוציאטיביות‪ :‬לכל ‪a, b, c ∈ F‬‬
‫‪.d‬‬
‫קיום איבר ניטרלי לכפל‪ :‬קיים ‪ 0 F ≠ 1F ∈ F‬כך שלכל ‪a ⋅F 1F = a a ∈ F‬‬
‫‪.e‬‬
‫‪.3‬‬
‫קומוטטיביות‪ :‬לכל ‪a + F b = b + F a a, b ∈ F‬‬
‫‪−1‬‬
‫**‬
‫‪−1‬‬
‫קיום איבר הופכי לכפל‪ :‬לכל ‪ a ∈ F‬אם ‪ a ≠ 0 F‬קיים ‪ a ∈ F‬כך ש‪a ⋅F a = 1F -‬‬
‫דיסטריביוטיביות‪ :‬לכל ‪a ⋅F ( b + F c ) = a ⋅F c + F b ⋅F c a, b, c ∈ F‬‬
‫נעיר רק שאם לא היינו דורשים ש‪ 1F ≠ 0F -‬היה יכול להיות קיים שדה עם איבר אחד בלבד }‪ . F = {0‬זאת לא בעיה אבל‬
‫זה גם לא מעניין ולכן מנענו מקרה זה מראש‪.‬‬
‫* כן‪ ,‬זה די עצוב ששיא הקורס הוא פתרון מערכת משוואות לינאריות‪...‬‬
‫† בד"כ נשמיט את סימן השדה ליד הפעולות‪ .‬נרשום אותו רק לשם הדגשה‪.‬‬
‫‡ לפעמים נרשום רק ‪ 0‬ולא ‪ 0 F‬ומההקשר תהיה ברורה הכוונה‪.‬‬
‫§ לפעמים נשמיט את סימן הכפל ואז ‪ . ab = a ⋅ b‬בכל אופן הכוונה תהיה ברורה מן ההקשר‪.‬‬
‫** לפעמים נרשום רק ‪ 1‬ולא ‪ 1F‬ומההקשר תהיה ברורה הכוונה‪.‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪3‬‬
‫הרציונאליים עם הפעולות הרגילות )מושאר לקורא לוודא שאכן מתקיימות האקסיומות(‬
‫הממשיים עם הפעולות הרגילות )כנ"ל(‬
‫}‪ 2 = {0,1‬ופעולות שמוגדרות ע"י הטבלאות הבאות‪:‬‬
‫⋅‬
‫‪+ 0 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫‪1 1 0‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫יש לבדוק שמתקיימות פה אקסיומות השדה‪ .‬כמעט את כל האקסיומות ניתן להסיק מיידית מהטבלאות‪ .‬נותר לבדוק‬
‫אסוציאטיביות ודיסטריביוטיביות‪ .‬הבדיקות האלה הן סופיות משום שיש מספר סופי של איברים‪ .‬לא נעשה זאת‬
‫כאן באופן מלא‪ ,‬אבל נראה שתי דוגמאות‪:‬‬
‫)‪( 0 + 1) + 1 = 1 + 1 = 0 = 0 + 0 = 0 + (1 + 1‬‬
‫‪1 ⋅ (1 + 0 ) = 1 ⋅1 = 1 = 1 + 0 = 1 ⋅1 + 1 ⋅ 0‬‬
‫‪.4‬‬
‫הקבוצה }‪ { z , u‬עם הפעולות שמוגדרות לפי הטבלאות‪:‬‬
‫‪z u‬‬
‫‪+‬‬
‫‪z u‬‬
‫⋅‬
‫‪z u‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪z‬‬
‫‪u u‬‬
‫‪z‬‬
‫השדה הזה זהה ל‪ 2 -‬מלבד שלאיברים בקבוצה קוראים בשם אחד‪ .‬שדות אלה נקראים שדות איזומורפיים‬
‫‪.5‬‬
‫††‬
‫המרוכבים } ∈ ‪ = {a + bi : a, b‬עם הפעולות חיבור וכפל שמוגדרות באופן הבא‪:‬‬
‫‪( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i‬‬
‫‪( a + bi ) ⋅ ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i‬‬
‫גם כאן הבדיקה של קיום האקסיומות הינה שגרתית‪ .‬נציין רק כי ‪ 0 = 0 + 0 ⋅ i‬ו‪. 1 = 1 + 0 ⋅ i -‬‬
‫בתרגיל מס' ‪ 1‬הוכחנו כל מיני תכונות של שדות שנובעות ישירות מן ההגדרה‪ .‬לא אוכיח אותן כאן מאחר שהדבר נעשה כבר‪:‬‬
‫אם ‪ F‬שדה אזי לכל ‪ a, b, c ∈ F‬מתקיימות התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬תכונת הצמצום בחיבור‪a = b ⇐ a + c = b + c :‬‬
‫‪ .2‬תכונת הצמצום בכפל‪ :‬אם ‪ c ≠ 0‬מתקיים ‪a = b ⇐ ac = bc‬‬
‫‪0 ⋅ a = 0 .3‬‬
‫) ‪(a‬‬
‫‪−1 −1‬‬
‫‪.4‬‬
‫אם ‪ a ≠ 0‬מתקיים ‪= a‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪− ( −a ) = a‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪( −1) a = −a‬‬
‫‪( −a )( −b ) = ab‬‬
‫) ‪( −a ) b = a ( −b ) = − ( ab‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪( ab ) = a −1b −1‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪ .10‬אם ‪ ab = 0‬אז ‪ a = 0‬או ‪b = 0‬‬
‫כמו כן ניתן להוכיח האיברים הניטרליים לפעולות הן יחידים ושהאיבר הנגדי לחיבור והאיבר ההופכי לכפל יחידים גם הם‪.‬‬
‫ההוכחה נעשית ע"י הנחה שקימים שניים אשר מקיימים את התכונה הנחוצה והוכחה שהשניים האלה חייבים להיות זהים )ע"י‬
‫שימוש בתכונות הצמצום לחיבור ולכפל(‪.‬‬
‫†† נדבר על איזומורפיזמים עוד בהמשך‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪.2.2‬‬
‫‪4‬‬
‫שדה המרוכבים‬
‫נדון באופן מפורט יותר בשדה המספרים המרוכבים‪ .‬בהגדרה בסעיף הקודם לא נתנו משמעות ל‪ . i -‬בעצם התייחסנו אליו‬
‫כאל סמל בלבד‪ .‬ננסה בכל זאת להבין מהו ‪ i‬זה‪ .‬נשים לב ש‪-‬‬
‫‪( 0 + 1⋅ i )( 0 + 1 ⋅ i ) = ( 0 ⋅ 0 − 1 ⋅1) + ( 0 ⋅1 + 1 ⋅ 0 ) i = −1 + 0 ⋅ i‬‬
‫כלומר ‪ . i 2 = −1‬אהא! בממשיים למספרים שליליים לא קיים שורש ממעלה זוגית‪ .‬מסתבר שבמרוכבים המצב הוא שונה‪.‬‬
‫בעצם לשם כך הוגדר שדה מרוכבים‪ .‬שדה המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית – שדה שבו לכל פולינום יש שורש‪ .‬למשל‬
‫נסתכל על ‪ . x 2 + 1 = 0‬ב‪ -‬אין לפולינום זה שורש‪ ,‬שכן לכל ‪ x 2 ≥ 0 x‬ולכן ‪ . x 2 + 1 ≥ 1 > 0‬אבל ב‪ -‬דווקא יש‬
‫שורש והוא ‪... i 2 + 1 = −1 + 1 = 0 : i‬‬
‫אגב‪ ,‬תכונה זו מסבירה את נוסחת הכפל‪ .‬אם נכפול את המספרים המרוכבים כפי שאנחנו רגילים בממשיים נקבל‪:‬‬
‫‪( a + bi ) ⋅ ( c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + adi + bci + bd ( −1) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i‬‬
‫כמו כן נשים לב שניתן לזהות את הממשיים עם תת קבוצה של המרוכבים‪ . = {a + bi ∈ : b = 0} :‬נראה שגם הפעולות‬
‫מתלכדות‪:‬‬
‫‪( a + 0 ⋅ i ) + (c + 0 ⋅ i ) = ( a + c ) + ( 0 + 0) i = ( a + c ) + 0 ⋅ i‬‬
‫‪( a + 0 ⋅ i ) ⋅ ( c + 0 ⋅ i ) = ( ac − 0 ⋅ 0 ) + ( a ⋅ 0 + 0 ⋅ c ) i = ac + 0 ⋅ i‬‬
‫אפשר לחשוב על המרוכבים גם בצורה גאומטרית נסתכל על מערכת צירים‬
‫במישור ] ‪ . [ xy‬למספר ‪ a + bi‬נתאים את הנקודה ) ‪ . ( a, b‬בתיאור זה‬
‫‪y‬‬
‫המספרים הממשיים נמצאים רק על ציר ה‪. x -‬‬
‫) ‪( a, b‬‬
‫‪b‬‬
‫איך נחבר מרוכבים באופן גאומטרי? נשים לב שהנקודה המתאימה ל‪-‬‬
‫‪ ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i‬היא‬
‫) ‪. ( a , b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪( a + c, b + d‬‬
‫‪a‬‬
‫) ‪( 0, 0‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪( c, d‬‬
‫) ‪( a, b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫החיבור מתבצע לפי כלל המקבילית‪:‬‬
‫הקודקוד הרביעי של המקבילית שנבנית ע"י נקודת הראשית‬
‫ונקודות שני המחוברים היא הסכום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫) ‪( 0, 0‬‬
‫) ‪( a, b‬‬
‫‪b‬‬
‫ומה עם הכפל? זה קצת מסובך יותר‪ .‬לשם כך נגדיר את ההצגה הקוטבית‬
‫של מספר מרוכב‪ .‬זאת בעצם ההצגה הקוטבית של המישור ] ‪ . [ xy‬אם‬
‫נסתכל של הציור נראה שכל נקודה אפשר גם לאפיין לפי המרחק שלה‬
‫מהראשית יחד עם הזווית שנוצרת עם ציר ה‪. x -‬‬
‫לפי מה שלמדנו בתיכון בטריגו'‡‡ אנחנו יודעים שמתקיים היחס הבא‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r = a2 + b2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪⇒ θ = arctan‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ומצד שני ‪ . a = r cos θ , b = r sin θ‬לכן כל מספר מרוכב ניתן לרשום בשתי דרכים‪:‬‬
‫= ‪tan θ‬‬
‫‪. a + bi = r cos θ + r sin θ i = r ( cos θ + i sin θ ) ≡ r cis θ‬‬
‫כעת אנחנו יכולים לכפול מספרים מרוכבים בהצגה הקוטבית שלהם‪.‬‬
‫= ) ‪( a + bi )( c + di ) = r1 cis θ1 ⋅ r2 cis θ 2 = r1r2 ( cos θ1 + i sin θ1 )( cos θ 2 + i sin θ 2‬‬
‫) ‪= r1r2 ( ( cos θ1 cos θ 2 − sin θ1 sin θ 2 ) + ( cos θ1 sin θ 2 + sin θ1 cos θ 2 ) i ) = r1r2 cis (θ1 + θ 2‬‬
‫‡‡ למעשה בתיכון גם למדנו את כל זה לגבי המספרים המרוכבים ואפילו יותר‪...‬‬
‫) ‪( 0, 0‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪5‬‬
‫אז מה אנחנו רואים? כדי לכפול שני מרוכבים בהצגה הקוטבית שלהם יש לכפול את האורכים ולחבר את הזוויות‪ .‬זה מאפשר‬
‫לנו לכפול מספרים באופן גיאומטרי‪) ...‬לא בא לי לשרטט את זה(‬
‫נגדיר ערך מוחלט של מספר מרוכב ‪ a + bi = a 2 + b 2‬וצמוד של מספר מרוכב ‪. a + bi = a − bi‬‬
‫נציין כמה תכונות של מספרים מרוכבים‪ :‬לכל ∈ ‪ z1 , z2‬מתקיים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪z1 z2 = z1 z2‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪z1 = z1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪z1 = z1 z1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.4‬‬
‫אם ‪z1n = z1 cis nα z1 = r cis θ‬‬
‫‪.5‬‬
‫אי שיוויון המשולש‪z1 + z2 ≤ z1 + z 2 :‬‬
‫‪n‬‬
‫ההוכחות הן ישירות‪ .‬פשוט מביעים את המספרים בצורה קוטבית או קרטזית ומחשבים‪ .‬את )‪ (4‬מוכיחים באינדוקציה על ‪. n‬‬
‫מה שיותר מעניין הוא שלמשוואה ‪ cis α = x n‬יש במרוכבים ‪ n‬פתרונות שונים‪...‬‬
‫‪ α + ( i − 1) 2π ‬‬
‫§§‬
‫‪xi = cis ‬‬
‫‪ , i = 1,..., n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.2.3‬‬
‫שדה השאריות מודולו ‪n‬‬
‫נזכור את השדה ‪ . 2‬האם ניתן להגדיר שדה ‪ n‬לכל ‪ n‬באופן דומה? התשובה היא שלא! לא לכל ‪ n‬מתקבל שדה‪.‬‬
‫נראה עתה כמה משפטים בנושא‪...‬‬
‫יהי ‪ n ∈ +‬ויהיו ∈ ‪ . k , l‬נאמר ש‪ k ≡ l ( mod n ) -‬אם קיים ∈ ‪ u‬כך ש‪ . k − 1 = un -‬כלומר ההפרש בין המספרים‬
‫‪ k , l‬הוא כפולה שלמה של ‪ . n‬אומרים אז ש‪ k , l -‬שקולים מודולו ‪ . n‬למשל שני מספרים חיוביים שקולים מודולו ‪10‬‬
‫כאשר הם נגמרים באותה הספרה‪ .‬כל שני מספרים זוגיים וכל שני מספרים איזוגיים שקולים מודולו ‪. 2‬‬
‫טענה ‪ :1‬יהי ‪ . n ∈ +‬לכל ∈ ‪ m‬קיימים ∈ ‪ *** q, r‬כאשר ‪ 0 ≤ r ≤ n − 1‬כך ש‪. m = qn + r -‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ r = 0‬אז ‪ n | m‬כלומר ‪ m‬מתחלק ב‪ n -‬ללא שארית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל בכפולות של המספר ‪..., −2n, − n, 0, n, 2n,3n,... : n‬‬
‫‪( q − 1) n‬‬
‫‪( q + 1) n‬‬
‫‪qn‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪−2 n‬‬
‫‪m‬‬
‫קיים ‪ qn‬כך ש‪ . qn ≤ m < ( q + 1) n -‬אז ∈ ‪ . m − qn = r‬ברור ש‪ r -‬זה מקיים את הדרוש‪ .‬מש"ל ☺‬
‫טענה ‪ :2‬יהיו ∈ ‪ . m1 , m2‬אזי ) ‪ m1 ≡ m2 ( mod n‬אמ"מ השארית של ‪ m1‬בחלוקה ב‪ n -‬שווה לשארית של ‪ m2‬בחלוקה‬
‫ב‪. n -‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי הטענה הקודמת אפשר לרשום ‪ m1 = q1n + r1 , m2 = q2 n + r2‬כאשר ‪. 0 ≤ r1 , r2 ≤ n − 1‬‬
‫) ⇐ ( נניח ) ‪ . m1 ≡ m2 ( mod n‬אזי קיים ∈ ‪ u‬כך ש‪ . m1 − m2 = un -‬כלומר‬
‫‪ . ( q1n + r1 ) − ( q2 n + r2 ) = ( q1 − q2 ) n + ( r1 − r2 ) = un‬אזי ‪ . r1 − r2 = ( u − q1 + q2 ) n‬כמו כן‬
‫‪ . − ( n − 1) ≤ r1 − r2 ≤ n − 1‬אבל ) ‪ n | ( r1 − r2‬ולכן ‪. r1 − r2 = 0‬‬
‫§§ נדמה לי שבתיכון קוראים לזה משפט דה‪-‬מואבר‬
‫*** ‪ q‬ל‪ quotient-‬ו‪ r -‬ל‪residue-‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪6‬‬
‫) ⇒ ( נניח ש‪ . r1 = r2 = r -‬אזי ‪ . m1 − m2 = ( q1n + r ) − ( q2 n + r ) = ( q1 − q2 ) n‬אבל ∈ ‪ . q1 − q2‬לכן‬
‫) ‪ . m1 ≡ m2 ( mod n‬מש"ל ☺‬
‫נסמן את השארית של ‪ m‬בחלוקה ב‪ n -‬ע"י ‪ . [ m ]n‬אז תחת סימון זה קיבלנו בטענה הקודמת ש‪-‬‬
‫) ‪[ m1 ]n = [ m2 ]n ⇔ m1 ≡ m2 ( mod n‬‬
‫נסמן את כל השאריות מודולו ‪ . n = {0,1,..., n − 1} : n‬ברור ש‪) n = n -‬כלומר בקבוצה זו יש ‪ n‬איברים ‪n -‬‬
‫שאריות אפשריות(‪.‬‬
‫כמו כן נגדיר פעולות חיבור מודולו ‪ ( + n ) n‬וכפל מודולו ‪ ( ⋅n ) n‬באופן הבא‪:‬‬
‫לכל ‪ a + n b = [ a + b ]n a, b ∈ n‬ו‪.††† a ⋅n b = [ ab ]n -‬‬
‫נשאלת אפוא השאלה‪ ,‬האם ‪ n‬עם הפעולות הנ"ל הוא שדה?‬
‫משפט ‪ :3‬לכל ∈ ‪ 1 < n‬ב‪ n -‬עם הפעולות ‪ + n , ⋅n‬מתקיימות כל אקסיומות השדה מלבד אולי קיום הופכי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לצורך ההוכחה נצטרך להיעזר במספר טענות עזר‪.‬‬
‫טענת עזר ‪m ∈ , m ≡ [ m ]n ( mod n ) :1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש‪ . m = qn + [ m ]n -‬אזי ‪ m − [ m ]n = qn‬ו‪ . q ∈ -‬מש"ל ☺‬
‫טענת עזר ‪ :2‬אם ) ‪ k1 ≡ k2 ( mod n‬ו‪ l1 ≡ l2 ( mod n ) -‬אז ) ‪k1 + l1 ≡ ( k2 + l2 )( mod n‬‬
‫הוכחה‪ k1 ≡ k2 ( mod n ) :‬לכן ‪ l1 ≡ l2 ( mod n ) . k1 − k2 = uk n‬לכן ‪ l1 − l2 = ul n‬כאשר ∈ ‪ . uk , ul‬אזי‬
‫‪ . ( k1 + l1 ) − ( k2 + l2 ) = ( k1 − k2 ) + ( l1 − l2 ) = uk n + ul n = ( uk + ul ) n‬מש"ל ☺‬
‫טענת עזר ‪ :3‬אם ) ‪ k1 ≡ k2 ( mod n‬ו‪ l1 ≡ l2 ( mod n ) -‬אז ) ‪. k1 ⋅ l1 ≡ ( k2 ⋅ l2 )( mod n‬‬
‫הוכחה‪ k1 ≡ k2 ( mod n ) :‬לכן ‪ l1 ≡ l2 ( mod n ) . k1 − k2 = uk n‬לכן ‪ . l1 − l2 = ul n‬אזי‬
‫‪ . ul k1 + uk l2 ∈ . k1l1 − k2 l2 = ( l1 − l2 ) k1 + ( k1 − k2 ) l2 = ul nk1 + uk nl2 = ( ul k1 + uk l2 ) n‬מש"ל ☺‬
‫טענת עזר ‪ :4‬היחס ≡ הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫רפלקסיביות‪ :‬ברור ) ‪ k ≡ k ( mod n‬שהרי ‪. k − k = 0 = 0 ⋅ n‬‬
‫סימטריות‪ :‬אם ) ‪ k1 ≡ k2 ( mod n‬אז ‪ . k1 − k2 = un‬לכן ‪ k2 − k1 = ( −u ) n‬ומכאן ש‪. k2 ≡ k1 ( mod n ) -‬‬
‫טרנזיטיביות‪ :‬נניח ) ‪ k1 ≡ k2 ( mod n‬ו‪ . k2 ≡ k3 ( mod n ) -‬אזי ‪ k1 − k2 = u1n‬ו‪ . k2 − k3 = u2 n -‬אזי‬
‫‪ . k1 − k3 = ( k1 − k2 ) + ( k2 − k3 ) = u1n + u2 n = ( u1 + u2 ) n‬לכן ) ‪ . k1 ≡ k3 ( mod n‬מש"ל ☺‬
‫כעת נחזור להוכחת המשפט‪ .‬נראה שמתקיימות כל האקסיומות פרט לקיום הופכי כפלי‪.‬‬
‫סגירות‪ :‬ברור מהגדרת השארית ‪ . 0 ≤ [ m ]n ≤ n − 1 -‬לכן ‪ n‬סגורה גם תחת חיבור מודלו ‪ n‬וגם תחת כפל מודולו ‪. n‬‬
‫קומוטטיביות‪ :‬נובע מהקומוטטיביות ב‪ : -‬יהיו ‪ . a, b ∈ n‬אזי‬
‫‪a + n b = [ a + b ]n = [b + a ]n = b + n a‬‬
‫‪a ⋅n b = [ ab ]n = [ba ]n = b ⋅n a‬‬
‫אסוציאטיביות‪ :‬נובע מהאסוציאטיביות בשלמים ומטענות העזר‪ :‬יהיו ‪ . a, b, c ∈ n‬אזי‬
‫‪ . ( a + n b ) + n c = ( a + n b ) + c  n = [ a + b ]n + c ‬אבל לפי ט"ע ‪ . a + b ≡ [ a + b ]n ( mod n ) 1‬לפי ט"ע ‪4‬‬
‫‪n‬‬
‫)‬
‫(‬
‫) ‪ . c ≡ c ( mod n‬כעת לפי ט"ע ‪ . ( a + b ) + c ≡ [ a + b ]n + c ( mod n ) 2‬לפי טענה )‪(2‬‬
‫‪ . ( a + b ) + c  n = [ a + b]n + c ‬כלומר ‪ . ( a + n b ) + n c = ( a + b ) + c  n‬כעת לפי האסוציאטיביות בשלמים‬
‫‪n‬‬
‫‪ ( a + n b ) + n c = ( a + b ) + c  n =  a + ( b + c )  n‬באותו אופן חוזרים לכך ש‪.  a + ( b + c )  n = a + n ( b + n c ) -‬‬
‫בדיוק באותו אופן מראים את האסוציאטיביות של הכפל רק שמקום בט"ע ‪ 2‬משתמשים בט"ע ‪.3‬‬
‫קיום איברים ניטרליים‪ :‬לכל ‪ a + n 0 = [ a + 0]n = [ a ]n = a a ∈ n‬וכן ‪. a ⋅n 1 = [ a ⋅1]n = [ a ]n = a‬‬
‫קיום איבר נגדי לחיבור‪ :‬אם ‪ a = 0‬אז ‪ − n a = 0‬ואכן ‪ . 0 + n 0 = [ 0 + 0]n = [ 0]n = 0‬אם ‪ a ≠ 0‬אז‬
‫‪ − n a = n − a ∈ n‬ואכן ‪. a + n ( n − a ) =  a + ( n − a )  n = [ n ]n = 0‬‬
‫††† ברור שניתן להשתמש בפעולות אלה לכל ∈ ‪ k , l‬אבל כרגע אנחנו מעוניינים רק במקרה של ‪. n‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪7‬‬
‫דיסטריביוטיביות‪ :‬יהיו ‪ . a, b, c ∈ n‬אזי‬
‫‪a ⋅n ( b + n c ) =  a ( b + n c )  n =  a [b + c ]n  =  a ( b + c )  n = [ ab + ac ]n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= [ ab ]n + [ ac ]n  = [ a ⋅n b + a ⋅n c ]n = a ⋅n b + n a ⋅n c‬‬
‫‪n‬‬
‫ראינו שמתקיימות כל האקסיומות מלבד אולי קיום הופכי כפלי‪ .‬מש"ל ☺‬
‫נסתכל על }‪ 4 = {0,1, 2,3‬ונרשום את טבלאות החיבור והכפל לפי ההגדרה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪⋅n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫מהטבלאות רואים בבירור שלא קיים הופכי כפלי ל‪. 2 -‬‬
‫אז באמת לא בהכרח אקסיומה זו מתקיימת בכל ‪. n‬‬
‫משפט ‪ :4‬אם ‪ n > 1‬לא ראשוני אז ‪ n‬אינו שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ n > 1 :‬פריק ולכן ‪ n = kl‬כאשר ‪ . 1 < k , l < n‬לכן ‪ . k , l ∈ n‬אבל אז ‪ . k ⋅n l = [ kl ]n = [ n ]n = 0‬אבל זו‬
‫סתירה כי בשדה אין מחלקי אפס‪☺ .‬‬
‫משפט ‪ :5‬אם ‪ p‬ראשוני אז ‪ p‬שדה‪.‬‬
‫הוכחה ‪ :1‬ראינו שמתקיימות כל התכונות מלבד אולי קיום הופכי‪ .‬נראה אם כן שאם ‪ p‬ראשוני אז לכל ‪ 0 ≠ a ∈ p‬קיים‬
‫איבר הופכי‪ .‬נסתכל בקבוצה האיברים ‪ . {a ⋅ p 0,..., a ⋅ p ( p − 1)} ⊂ p‬נטען שכל האיברים בקבוצה זו שונים‪ .‬אם לא‪ ,‬אז‬
‫קיימים ‪ k ≠ l k , l ∈ p‬כך ש‪ . a ⋅ p k = a ⋅ p l -‬כלומר ‪ . [ ak ] p = [ al ] p‬אזי ) ‪ ak ≡ al ( mod p‬כלומר קיים ∈ ‪u‬‬
‫כך ש‪ . a ( k − l ) = ak − al = up -‬לכן ) ‪ . p | a ( k − l‬לכן ‪ p | a‬או ‪ .‡‡‡ p | k − l‬אבל ‪ 0 < a ≤ p − 1‬ולכן ‪. p /| a‬‬
‫כמו כן ‪ 0 ≤ k , l ≤ p − 1‬לכן ‪ . − ( p − 1) ≤ k − l ≤ p − 1‬אבל ‪ k ≠ l‬ולכן ‪ . k − l ≠ 0‬לכן )‪ . p /| ( k − 1‬וזו סתירה‪.‬‬
‫לכן לא קיימים ‪ k , l‬כאלה ולכן כל האיברים שונים‪ .‬בקבוצה זו יש ‪ p‬איברים ולכן היא בעצם כל ‪ . p‬כלומר בתוכה יש‬
‫גם האיבר ‪ . 1‬ולכן יש הופכי ל‪ . a -‬מש"ל ☺‬
‫הוכחה ‪ :2‬ראשית נוכיח טענת עזר‪.‬‬
‫טענת עזר‪ :‬אם ‪ m‬הוא המחלק המשותף המקסימלי של ‪ 0 < k , l‬אז קיימים ∈ ‪ s, t‬כך ש‪. ks + lt = m -‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה שלמה§§§ על הסכום ‪: k + l‬‬
‫בסיס האינדוקציה‪ :‬עבור ‪ k = l = 1‬המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא ‪ . 1‬ניקח ‪ s = 1, t = 0‬ואז‬
‫‪. 1 ⋅1 + 1 ⋅ 0 = 1‬‬
‫הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח הטענה נכונה לכל ' ‪ k ', l‬שמקיימים ‪. k '+ l ' < k + l‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬אם ‪ k = l‬אז המחלק המשותף המקסימלי הוא ‪ m = k = l‬ואז ‪. 1 ⋅ k + 0 ⋅ l = m‬‬
‫אחרת נניח בה"כ כי ‪ . k < l‬נטען ש‪ m -‬הוא המחלק המשותף המקסימלי של ‪ k‬ו‪ m . l − k -‬מחלק את ‪ k‬ואת‬
‫‪ l‬ולכן כמובן מחלק גם את ‪ . l − k‬ניח כעת ש‪ m ' -‬מחלק גם את ‪ k‬וגם את ‪ . l − k‬לכן הוא מחלק גם את ‪. l‬‬
‫כלומר ' ‪ m‬הוא מחלק משותף של ‪ k‬ושל ‪ . l‬לכן ‪ . m ' ≤ m‬לכן ' ‪ m‬הוא המחלק המשותף המקסימלי‪.‬‬
‫נשים לב ש‪ . k + ( l − k ) = k < l + k -‬לכן ניתן להשתמש בהנחת האינדוקציה‪ .‬אז קיימים ∈ ' ‪ s ', t‬כך ש‪-‬‬
‫‪ . ( s '− t ' ) k + t ' l = s ' k + t ' ( l − k ) = m‬ניקח ' ‪ s = s '− t ', t = t‬ונקבל את הטענה עבור ‪. k , l‬‬
‫לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל סכום ‪ , k + l‬כלומר היא נכונה לכל ‪ . k , l‬מש"ל ☺‬
‫יהי ‪ . 0 ≠ a ∈ p‬משום ש‪ p -‬ראשוני המחלק המשותף שמקסימלי שלו ושל ‪ a‬הוא ‪ . 1‬לפי הטענה קיימים ‪ s, t‬כך ש‪-‬‬
‫‪ . a ⋅ s + t ⋅ p = 1‬אזי ‪ . a ⋅ p [ s ] p = a ⋅ p s = [ as ] p = [1 − pt ] p = [1] p = 1‬כלומר ‪☺ . [ s ] p = a −1‬‬
‫משפט ‪ :6‬לכל ‪ p‬ראשוני ולכל ‪ m > 0‬יש שדה עם ‪ p m‬איברים‪ .‬למעשה יש שדה יחיד כזה עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ר' קורס בתורת השדות‪.‬‬
‫‡‡‡ אם ראשוני מחלק מכפלה של מספרים אזי הוא מחלק אחד מהם )לפחות(‬
‫§§§ עיקרון האינדוקציה השלמה‪ :‬אם הטענה נכונה לכל ‪ k < n‬ומוכיחים שהטענה נכונה ל‪ n -‬אז היא נכונה לכל‬
‫‪.n‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪8‬‬
‫נציין כמה תכונות מעניינות ב‪: p -‬‬
‫‪p −1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ . ( p − 1) ! = ∏ i = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ ( p − 1) = p − 1‬מדוע? נשים לב שבמכפלה זו יש ‪ p − 1‬מוכפלים ולכל אחד‬
‫‪i =1‬‬
‫מהם‪ ,‬חוץ משאר ל‪ 1 -‬ול‪ p − 1 -‬ההופכי שלו מופיע במכפלה‪ .‬לכן הם כולם מתבטלים ואנחנו נשארים עם‬
‫‪. 1 ⋅ ( p − 1) = p − 1‬‬
‫‪.2‬‬
‫לכל ‪ a ∈ p‬מתקיים ‪ . a = a‬מדוע? אם ‪ a = 0‬ברור שזה נכון‪ .‬אחרת נסתכל בקבוצה‬
‫‪p‬‬
‫} ‪ . {na : 0 ≠ n ∈ p‬ברור ש‪ 0 -‬אינו נמצא בקבוצה הזו וגם כל האיברים שונים‪ ,‬לכן יש בה ‪ p − 1‬איברים‬
‫שונים מאפס‪ ,‬ולכן הקבוצה מכילה את כל איברי ‪ p‬השונים מאפס‪ .‬לפי תכונה )‪(1‬‬
‫)‪ . ( n1a )( n2 a ) ... ( n p −1a ) = a p −1 ( p − 1)! = a p −1 ( p − 1‬אבל מאחר ששהם כבעצם כל איברי השדה אז גם‬
‫‪ . ( n1a )( n2 a ) ... ( n p −1a ) = ( p − 1) ! = p − 1‬כלורמ ‪ . a p −1 ( p − 1) = p − 1‬אבל ‪ p − 1 ≠ 0‬ולכן‬
‫‪ .* a p −1 = 1‬כלומר ‪ . a p = a‬נעיר רק שכל סימני השוויון שמופיעים כאן הם מודולו ‪ . p‬את )*( ניתן היה‬
‫לרשום למעשה באופן הבא‪ :‬לכל ‪ p‬ראשוני ולכל ‪. a p −1 ≡ 1( mod p ) a ≠ 0‬‬
‫‪.2.4‬‬
‫המציין של שדה‬
‫נגדיר רישום מקוצר של חיבור איבר בשדה לעצמו מספר פעמים‪ :‬יהי ‪ a ∈ F‬ויהי ∈ ‪ . n‬אזי נגדיר באופן רקורסיבי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪n × a = ( n − 1) × a + a 1 ≤ n‬‬
‫‪ − ( ( −n ) × a ) n < 0‬‬
‫‪‬‬
‫קל להוכיח את השיוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪n × a + m × a = (n + m) × a‬‬
‫) ‪( nm ) × a = n × ( m × a ) = ( n × a )( m × a‬‬
‫נעיר רק שיש להיזהר ולא להתבלבל בין ⋅ שהוא כפל בין איברים בשדה לבין × שהוא פעולה בין איברים בשדה לבין‬
‫המספרים השלמים‪ .‬אם ∈ ‪ a, b ∈ F , n‬הביטויים הבאים אינם מוגדרים‪. a × b, a × n, a ⋅ n, n ⋅ a :‬‬
‫משפט ‪ :7‬יהי שדה ‪ . F‬אזי מתקיים אחד מהבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ∈ ‪ m, n‬כך ש‪ m ≠ n -‬מתקיים ‪m × 1F ≠ n ×1F‬‬
‫‪ .2‬קיים ראשוני ‪ p‬כך ש‪. p × 1F = 0 F -‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם מתקיים )‪ (1‬אז סיימנו‪ .‬אחרת נראה שחייב להתקיים )‪.(2‬‬
‫יהיו ∈ ‪ m, n‬כך ש‪ . m × 1F = n × 1F -‬בה"כ נניח כי ‪ . m < n‬אזי ‪ . m × 1F + ( n − m ) × 1F = n × 1F = m × 1F‬לכן‬
‫‪ . ( n − m ) × 1F = 0 F‬נסמן ב‪ p -‬אז המספר הקטן ביותר שמקיים ‪ . ( n − m ) × 1F = 0 F‬נראה ש‪ p -‬ראשוני‪ .‬נניח בשלילה‬
‫שקיימים ‪ 1 < k , l < p‬כך ש‪ . kl = p -‬לכן מתקיים ) ‪ . 0 F = p × 1F = ( kl ) × 1F = ( k ×1F ) ⋅ ( l × 1F‬לכן ‪k × 1F = 0 F‬‬
‫או ‪ k × 1F = 0 F‬בסתירה למינימליות של ‪ . p‬מש"ל ☺‬
‫****‬
‫במקרה הראשון נאמר ש‪ char F = 0 -‬והשדה הוא עם מציין ‪ . 0‬ואילו אחרת נאמר ש‪ char F = p -‬והמציין של השדה‬
‫הוא ‪. p‬‬
‫**** בהוכחה הראנו שהמינימליות של ‪ p‬גוררת את זה שהוא ראשוני‪ .‬אבל גם הכיוון ההפוך נכון‪ .‬לכן ניתן לומר באופן שקול שמציין של שדה הוא המספר‬
‫המינימלי ששונה מאפס ומקיים ‪) p × 1F = 0 F‬אם קיים כזה(‪.‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪.2.5‬‬
‫‪9‬‬
‫תתי שדות‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ F , S‬שדות‪ .‬נאמר שהם איזומורפיים אם קיים ביניהם איזומורפיזם‪ ,‬כלומר העתקה ‪ f : F → S‬חח"ע ועל‬
‫כך שלכל ‪ a, b ∈ F‬היא שומרת על הפעולות‪:‬‬
‫) ‪f ( a + F b ) = f ( a ) + S f (b‬‬
‫) ‪f ( a ⋅F b ) = f ( a ) ⋅S f ( b‬‬
‫חשוב לציין שאם שני מבנים איזומורפיים אז הם מקיימים אם אותן התכונות‪ .‬למשל‪ ,‬אם הקבוצות ‪ F , S‬איזומורפיות ו‪F -‬‬
‫שדה אזי גם ‪ S‬שדה‪ .‬זה נובע בקלות מהגדרת האיזומורפיזם‪ .‬זו תכונה חשובה מאוד של איזומורפיזמים ואנחנו נשתמש בה‬
‫גם בהמשך כאשר נלמד על מרחבים וקטוריים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ F‬שדה ותהי ‪ K ⊂ F‬תת קבוצה‪ .‬נאמר ש‪ K -‬תת שדה אם היא מקיימת את כל אקסיומות השדה ביחס‬
‫לפעולות שמוגדרות על ‪. F‬‬
‫למשל‪ ⊂ ⊂ ,‬והם תת שדות‪.‬‬
‫נעיר את תשומת ליבנו לתכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬לא קיים שדה ‪ F‬כך ש‪ F -‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫}‬
‫{‬
‫קיימים שדות רבים ‪ F‬כך ש‪ . F -‬למשל ∈ ‪  2  = a + 2b : a, b‬עם הפעולות כמו‬
‫בממשיים‪.‬‬
‫שדה הרציונליים )או שדות איזומורפיים לו( הוא השדה המינימלי בעל מציין ‪ . 0‬מדוע? בכל שדה ‪ F‬חייבים‬
‫להיות איבר היחידה ‪ . 1‬בגלל הסגירות תחת חיבור לכל ∈ ‪ n‬מתקיים גם ‪ . n ×1 ∈ F‬כך קיבלנו שכל‬
‫הטבעיים חייבים להיות בשדה‪ .‬בגלל קיום האיבר הנגדי נקבל שכל השלמים חייבים להיות בשדה‪ .‬ובגלל קיום‬
‫איבר הופכי וסגירות לכפל נקבל שכל מנה של שלמים חייבת להיות בשדב וזה הרי בדיוק שדה הרציונליים‪...‬‬
‫משפט ‪ :8‬אם ‪ char F = p > 0‬אז קיים תת שדה ‪ K‬של ‪ F‬איזומורפי ל‪. p -‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר }‪ . K = {n × 1F : 0 ≤ n ≤ p − 1‬בגלל הסגירות ב‪ F -‬ברור ש‪. K ⊂ F -‬‬
‫נגדיר העתקה ‪ f : p → K‬באופן הבא ‪ . f ( a ) = a × 1F‬נראה שזהו איזומורפיזם‪.‬‬
‫חח"ע‪ :‬יהיו ‪ a, b ∈ p‬כך ש‪ . a × 1F = f ( a ) = f ( b ) = b × 1F -‬נניח ש‪ . a ≠ b -‬אזי ‪ . a − b ≠ 0‬כמו במשפט הקודם‬
‫‪ . b × 1F + ( a − b ) × 1F = a ×1F = b × 1F‬לכן ‪ 0 ≤ a, b ≤ p − 1 . ( a − b ) ×1F = 0 F‬לכן‬
‫‪ − p < − ( p − 1) ≤ a − b ≤ p − 1 < p‬בסתירה למינימליות של ‪) p‬בהיותו המציין(‪ .‬לכן ‪. a = b‬‬
‫על‪ :‬יהי ‪ k ∈ K‬אזי ע"פ הגדרת ‪ k = m × 1F K‬כאשר ‪ 0 ≤ m ≤ p − 1‬כלומר ‪ . m ∈ p‬לכן ‪. f ( m ) = k‬‬
‫שמירה על חיבור‪ :‬יהיו ‪ . a, b ∈ p‬נניח ש‪) a + b = qp + r -‬חילוק עם שארית(‪ .‬אזי‬
‫= ‪f ( a ) + F f ( b ) = ( a × 1F ) + ( b × 1F ) = ( a + b ) × 1F = ( qp + r ) × 1F = ( qp ) × 1F + r × 1F‬‬
‫) ‪= q × ( p × 1F ) + r × 1F = q × 0 F + r ×1F = 0 F + r × 1F = r × 1F = [ a + b] p ×1F = ( a + p b ) ×1F = f ( a + p b‬‬
‫שמירה על כפל‪ :‬יהיו ‪ . a, b ∈ p‬נניח ש‪) ab = qp + r -‬חילוק עם שארית(‪ .‬אזי‬
‫= ‪f ( a ) ⋅F f ( b ) = ( a × 1F ) ⋅ ( b × 1F ) = ( ab ) × 1F = ( qp + r ) × 1F = ( qp ) × 1F + r × 1F‬‬
‫) ‪= q × ( p × 1F ) + r × 1F = q × 0 F + r ×1F = 0 F + r × 1F = r × 1F = [ a ⋅ b ] p × 1F = ( a ⋅ p b ) × 1F = f ( a ⋅ p b‬‬
‫מצאנו איזומורפיזם בין ‪ K‬ל‪ . p -‬לפי משפט )‪ p (5‬שדה‪ .‬לכן גם ‪ K‬שדה‪ ,‬והוא תת שדה של ‪ F‬כמובן‪ .‬מש"ל ☺‬
‫משפט ‪ :9‬אם ‪ F‬שדה ו‪ char F = 0 -‬אז קיים תת שדה ‪ K ⊂ F‬כך ש‪ K -‬איזומורפי ל‪. -‬‬
‫הערה‪ :‬זה הניסוח הפורמלי של הערה )‪ (3‬קודם לכן‪.‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪m‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר העתקה ‪ g : → F‬באופן הבא ) ‪ . g   = ( m ×1F )( n × 1F‬נגדיר ‪. K = g ( ) ⊂ F‬‬
‫‪n‬‬
‫ – הסיכומים של דינה‬1 ‫אלגברה לינארית‬
10
‫ ( וההעתקה מוגדרת‬n × 1F )
−1
‫ לכן קיים‬. n ×1F ≠ 0 F charF = 0 -‫ ומאחר ש‬n ≠ 0 .‫נראה שההעתקה מוגדרת היטב‬
‫ יהי‬.‫ כעת נראה שההעתקה פועלת באותו אופן לכל רציונלי ללא תלות בצורת ההצגה שלו‬. m n ‫לכל מספר רציונלי‬
m
m
 ml 
: g   = g   -‫ נראה ש‬. l ≠ 0 ‫ ∈ ויהי‬
n
n
 nl 
−1
−1
 ml 
g   = ( ( ml ) × 1F ) ( ( nl ) × 1F ) = ( ( m ×1F )( l × 1F ) ) ( ( n × 1F )( l ×1F ) ) =
nl
 
= ( ( m × 1F ) ( l × 1F ) ) ( ( l × 1F )( n × 1F ) ) = ( ( m ×1F )( l ×1F ) ) ( ( l × 1F ) ( n × 1F ) ) =
−1
(
= ( ( m × 1F ) ( l × 1F ) ) ( l × 1F )
−1
( n ×1F )
−1
−1
) = ( m ×1 ) ( ( l × 1
F
F
)( l ×1F ) ) ( n ×1F )
−1
−1
=
−1
−1
m
= ( m × 1F ) 1F ( n × 1F ) = ( m ×1F )( n × 1F ) = g  
n
‫ בעצם כפינו על‬. g ‫ אך הטווח שלה מצומצם לתמונה של‬g -‫ אשר פועלת בצורה זהה ל‬f : Q → g ( ) ‫כעת נסתכל על‬
m s
m
s
‫ כלומר‬. f   = f   -‫ כך ש‬, ∈ ‫ יהיו‬:‫ נראה שהיא חח"ע‬.‫ להיות על‬f
n t
n
t
−1
−1
 mt 
 ns 
‫ כלומר‬f   = f   ‫ אבל כמו כן מתקיים‬. ( m ×1F )( n × 1F ) = ( s × 1F )( t × 1F )
nt
nt
 
 
( ( mt ) ×1 ) = ( ( ns ) ×1 ) ‫ לכן‬. ( ( mt ) ×1 ) ( ( nt ) ×1 ) = ( ( ns ) ×1 ) ( ( nt ) ×1 )
. mt − ns = 0 ‫ ולכן‬char F = 0 ‫ אבל‬. ( mt − ns ) ×1 = ( ( mt ) ×1 ) − ( ( ns ) ×1 ) = 0
−1
‫כלומר‬
-‫ ומכאן ש‬mt = ns ‫כלומר‬
F
F
F
−1
F
F
F
F
F
F
.‫ חח"ע‬f ‫ כלומר‬.
:‫ אזי‬.
F
m s
=
n t
m s
, ∈ ‫ יהיו‬.‫ שומרת על הפעולות‬f -‫נראה ש‬
n t
−1
−1
m s
 mt + ns 
f  + = f 
 = ( ( mt + ns ) ×1F ) ( ( nt ) × 1F ) = ( ( mt ) × 1F + ( ns ) ×1F ) ( ( nt ) × 1F ) =
n
t
nt




−1
−1
 mt 
 ns 
m
s
= ( ( mt ) × 1F ) ( ( nt ) × 1F ) + ( ( ns ) ×1F ) ( ( nt ) × 1F ) = f   + f   = f   + f  
 nt 
 nt 
n
t
:‫ובאופן דומה לגבי הכפל‬
−1
−1
m s
 ms 
f  ⋅ = f 
 = ( ( ms ) ×1F ) ( ( nt ) × 1F ) = ( ( m ×1F )( s × 1F ) ) ( ( n × 1F )( t × 1F ) ) =
n t
 nt 
( t ×1 ) ) = ( m ×1 )( s ×1 )( n ×1 )
(
) (( s ×1 )(t ×1 ) ) = f  mn  ⋅ f  st 
= ( ( m × 1F )( s × 1F ) ) ( n ×1F )
(( m ×1 )( n ×1 )
F
F
−1
−1
−1
F
F
F
F
−1
( t ×1F )
−1
=
−1
F
F
☺ ‫ מש"ל‬.‫ שדה‬g ( ) ‫ לכן‬.‫ היא איזומורפיזם‬f : → g ( ) ‫אז‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪11‬‬
‫‪ .3‬מרחבים וקטוריים‬
‫הגדרת המרחב הוקטורי‬
‫‪.3.1‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬הוא קבוצה של איברים )שנקרא להם וקטורים( שמוגדרות עליה פעולת‬
‫חיבור של וקטורים ופעולת כפל באיברי השדה )שנקרא להם סקלרים(‪ ,‬כך שמתקיימות האקסיומות הבאות‪ :‬לכל ‪w, u, v ∈ V‬‬
‫ו‪: a , b ∈ F -‬‬
‫‪ .1‬אקסיומות חיבור וקטורים‬
‫‪ .a‬סגירות ‪u + v ∈ V‬‬
‫‪ .b‬חילופיות ‪u + v = v + u‬‬
‫‪ .c‬קיבוציות ) ‪( u + v ) + w = u + ( u + w‬‬
‫‪.d‬‬
‫‪.2‬‬
‫קיום איבר ניטרלי לחיבור שנמסמנו ‪ 0V‬כך ש‪v + 0V = v -‬‬
‫‪ .e‬קיום איבר נגדי לחיבור נסמנו ‪ −v‬ומקיים ‪v + ( −v ) = 0V‬‬
‫אקסיומות כפל בסקלר‬
‫‪ .a‬סגירות ‪a ⋅ v ∈ V‬‬
‫‪1F ⋅ v = v .b‬‬
‫‪.c‬‬
‫‪.d‬‬
‫) ‪( ab ) ⋅ v = a ⋅ ( b ⋅ v‬‬
‫‪( a + b ) .v = a ⋅ v + b ⋅ v‬‬
‫‪a ⋅ ( v + w) = a ⋅ v + a ⋅ w‬‬
‫נשים לב לכמה תכונות של מרחבים וקטוריים שנובעות ישירות מן האקסיומות‪:‬‬
‫יהי ‪ F‬שדה ויהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ . F‬אזי לכל ‪ c ∈ F‬ולכל ‪ u, v, s ∈ V‬מתקיימות התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪− ( −u ) = u‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪− ( u + v ) = −u − v‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪0 F ⋅ u = 0V‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪( −1F ) ⋅ u = −u‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫אם ‪ cu = 0V‬אז ‪ c = 0 F‬או ‪u = 0V‬‬
‫אם ‪ u + s = v + s‬אז ‪u = v‬‬
‫דוגמה פונדמנטלית ביותר‪:‬‬
‫יהי שדה ‪ F‬ויהי ∈ ‪ . 0 ≤ n‬נגדיר }‪) F = {( a1 , a2 ,..., an ) : ai ∈ F ,1 ≤ i ≤ n‬קבוצה של ‪- n‬יות של איברי השדה(‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫נגדיר חיבור וכפל בסקלר‪:‬‬
‫) ‪( a1 ,..., an ) + ( b1 ,..., bn ) = ( a1 + b1 ,..., an + bn‬‬
‫) ‪c ⋅ ( a1 ,..., an ) = ( c ⋅ a1 ,..., c ⋅ an‬‬
‫טענה ‪ F n :10‬מרחב וקטורי מעל ‪. F‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה את קיום כל אקסיומות השדה‪:‬‬
‫אקסיומות חיבור וקטורים‪:‬‬
‫‪ .1‬סגירות‪ F :‬שדה ולכן לכל ‪ a, b ∈ F‬מתקיים‪ . a + b ∈ F .‬כמו כן‪ ,‬לפי הגדרת החיבור בחיבור של שתי ‪- n‬יות‬
‫מתקבלת ‪- n‬יה‪ .‬לכן אם ‪ a = ( a1 ,..., an ) , b = ( b1 ,..., bn ) ∈ F n‬אזי ‪. a + b = ( a1 + b1 ,..., an + bn ) ∈ F n‬‬
‫‪.2‬‬
‫חילופיות‪ F :‬שדה ולכן לכל ‪ a, b ∈ F‬מתקיים ‪ . a + b = b + a‬לכן בהינתן ‪a, b ∈ F n‬‬
‫= ) ‪a + b = ( a1 ,..., an ) + ( b1 ,..., bn ) = ( a1 + b1 ,..., an + bn‬‬
‫‪= ( b1 + a1 ,..., bn + an ) = ( b1 ,..., bn ) + ( a1 ,..., an ) = b + a‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪.3‬‬
‫‪12‬‬
‫קיבוציות‪ :‬יהיו ‪ . a, b, c ∈ F n‬אזי לפי הגדרת החיבור ב‪ F n -‬ובגלל ש‪ F -‬שדה מתקיים‪:‬‬
‫= ) ‪a + ( b + c ) = ( a1 ,..., an ) + ( b1 ,..., bn ) + ( c1 ,..., cn )  = ( a1 ,..., an ) + ( b1 + c1 ,..., bn + cn‬‬
‫= ) ‪= ( a1 + ( b1 + c1 ) ,..., an + ( bn + cn ) ) = ( ( a1 + b1 ) + c1 ,..., ( an + bn ) + cn‬‬
‫‪= ( a1 + b1 ,..., an + bn ) + ( c1 ,..., cn ) = ( a1 ,..., an ) + ( b1 ,..., bn )  + ( c1 ,..., cn ) = ( a + b ) + c‬‬
‫‪.4‬‬
‫קיום איבר ניטרלי לחיבור‪ :‬נגדיר ) ‪ 0 F n = ( 0 F ,..., 0 F‬ונטען שלכל ‪ a ∈ F n‬מתקיים ‪ . a + 0F n = a‬לפי הגדרת‬
‫
‬
‫‪n times‬‬
‫החיבור ‪ . a + 0F n = ( a1 ,..., an ) + ( 0F ,..., 0 F ) = ( a1 + 0 F ,..., an + 0 F ) = ( a1 ,..., an ) = a‬לכן ‪ 0 F n‬כפי‬
‫‪.5‬‬
‫שהגדרנו אותו הוא איבר ניטרלי לחיבור‪.‬‬
‫קיום איבר נגדי לחיבור‪ :‬לכל ‪ a = ( a1 ,..., an ) ∈ F n‬נגדיר‬
‫) ‪ . − a = ( −a1 ,..., −an‬נראה שזה איבר נגדי לחיבור‪:‬‬
‫‪a + ( −a ) = ( a1 ,..., an ) + ( −a1 ,..., − an ) = ( a1 + ( − a1 ) ,..., an + ( −an ) ) = ( 0 F ,..., 0 F ) = 0F n‬‬
‫אקסיומות כפל בסקלר‪:‬‬
‫‪ .1‬סגירות‪ F :‬שדה ולכן לכל ‪ c, a ∈ F‬מתקיים ‪ . c ⋅ a ∈ F‬כמו כן‪ ,‬לפי הגדרת הכפל בסקלר בכפל של ‪- n‬יה‬
‫מתקבלת ‪- n‬יה‪ .‬לכן אם ‪ a = ( a1 ,..., an ) ∈ F n , c ∈ F‬אזי ‪. c ⋅ a = ( c ⋅ a1 ,..., c ⋅ an ) ∈ F n‬‬
‫‪.2‬‬
‫לפי הגדרת איבר היחידה בשדה נקבל שלכל ‪ a ∈ F n‬מתקיים‬
‫‪1F ⋅ a = 1F ⋅ ( a1 ,..., an ) = (1F ⋅ a1 ,...,1F ⋅ an ) = ( a1 ,..., an ) = a‬‬
‫‪.3‬‬
‫לפי הגדרת כפל בסקלר ב‪ F n -‬ובגלל האסוציאטיביות של ‪ F‬נקבל לכל ‪: a, b ∈ F , v ∈ F n‬‬
‫= ) ‪( a ⋅ b ) ⋅ v = ( a ⋅ b ) ⋅ ( v1 ,..., vn ) = ( ( a ⋅ b ) ⋅ v1 ,..., ( a ⋅ b ) ⋅ vn‬‬
‫) ‪= ( a ⋅ ( b ⋅ v1 ) ,..., a ⋅ ( b ⋅ vn ) ) = a ⋅ ( b ⋅ v1 ,..., b ⋅ vn ) = a ⋅ ( b ⋅ ( v1 ,..., vn ) ) = a ⋅ ( b ⋅ v‬‬
‫‪.4‬‬
‫יהיו ‪ a, b ∈ F‬ו‪ . u, v ∈ F n -‬אזי‬
‫= ) ‪( a + b ) ⋅ v = ( a + b ) ⋅ ( v1 ,..., vn ) = ( ( a + b ) ⋅ v1 ,..., ( a + b ) ⋅ vn ) = ( a ⋅ v1 + b ⋅ v1 ,..., a ⋅ vn + b ⋅ vn‬‬
‫‪= ( a ⋅ v1 ,..., a ⋅ vn ) + ( b ⋅ v1 ,..., b ⋅ vn ) = a ⋅ ( v1 ,..., vn ) + b ⋅ ( v1 ,..., vn ) = a ⋅ v + b ⋅ v‬‬
‫= ) ) ‪a ⋅ ( v + u ) = a ⋅ ( ( v1 ,..., vn ) + ( u1 ,..., un ) ) = a ⋅ ( v1 + u1 ,..., vn + un ) = ( a ⋅ ( v1 + u1 ) ,..., a ⋅ ( vn + un‬‬
‫= ) ‪= ( a ⋅ v1 + a ⋅ u1 ,..., a ⋅ vn + a ⋅ un ) = ( a ⋅ v1 ,..., a ⋅ vn ) + ( a ⋅ u1 ,..., a ⋅ un‬‬
‫‪= a ⋅ ( v1 ,..., vn ) + a ⋅ ( u1 ,..., un ) = a ⋅ v + a ⋅ u‬‬
‫הראנו שכל אקסיומות המרחב הווקטורי מתקיימות‪ .‬לכן ‪ F n‬מרחב וקטורי מעל ‪ . F‬מש"ל ☺‬
‫הערה‪ :‬המרחב הווקטורי מהדוגמה הוא מרחב חשוב מאוד אך לא כל המרחבים הווקטוריים הם מהצורה הזאת‪ .‬יש מרחבים‬
‫וקטוריים שונים ומשונים‪ .‬אנחנו עוד נראה דוגמאות רבות בעתיד‪.‬‬
‫בפרט אם ניקח = ‪ F‬ו‪ n = 2 -‬נקבל את ‪ . 2‬נגדיר לו מודל גיאומטרי‪:‬‬
‫לכל ‪ ( a, b ) ∈ 2‬נתאים את הנקודה במישור שהקואורדינטות שלה הן ) ‪: ( a, b‬‬
‫) ‪( a, b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫כיצד משתקפות הפעולות שהגדרנו על ‪ 2‬במודל הגיאומטרי?‬
‫חיבור ע"פ כלל המקבילית‪ :‬עבור ‪ ( a1 , a2 ) , ( b1 , b2 ) ∈ 2‬בונים מקבילית שקודקוד אחד שלה הוא ) ‪ ( 0, 0‬ושני הקודקודים‬
‫האחרים הם ) ‪ ( a1 , a2‬ו‪ . ( b1 , b2 ) -‬הקודקוד הרביעי הוא ) ‪ - ( a1 + b1 , a2 + b2‬כלומר זה האלכסון של המקבילית‪:‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪13‬‬
‫) ‪( a1 + b1 , a2 + b2‬‬
‫‪a2 + b2‬‬
‫‪a2‬‬
‫) ‪( a1 , a2‬‬
‫‪b2‬‬
‫) ‪( b1 , b2‬‬
‫‪a1 + b1‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪b1‬‬
‫) ‪( 0, 0‬‬
‫כפל בסקלר ע"י הארכת )או קיצור( הווקטור באופן מכוון )אם הסקלר חיובי הווקטור מוארך באותו הכיוון ואם הוא שלילי‬
‫בכיוון ההפוך(‪.‬‬
‫‪c >1> 0‬‬
‫) ‪( ca1 , ca2‬‬
‫‪ca2‬‬
‫) ‪( a1 , a2‬‬
‫‪ca1‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫) ‪( 0, 0‬‬
‫מודל גיאומטרי דומה אפשר להתאים למרחב הווקטורי ‪ 3‬מעל ‪ .‬אזי לכל וקטור ) ‪ ( a1 , a2 , a3‬תתאים נקודה במרחב‬
‫שהקואורדינטות שלה הן ) ‪. ( a1 , a2 , a3‬‬
‫‪.3.2‬‬
‫קוביות ב‪ n -‬‬
‫זה לא ממש חשוב אבל זה די מגניב לצייר קוביה בחמישה ממדים אז נעשה את זה‪:‬‬
‫‪I1 = {( a1 ) : 0 ≤ a1 ≤ 1} 1‬‬
‫‪ .1‬קטע היחידה ב‪: -‬‬
‫‪I 2 = {( a1 , a2 ) : 0 ≤ a1 , a2 ≤ 1} 2‬‬
‫‪ .2‬רביע היחידה ב‪: -‬‬
‫‪I 3 = {( a1 , a2 , a3 ) : 0 ≤ a1 , a2 , a3 ≤ 1} 3‬‬
‫‪ .3‬קוביית היחידה ב‪: -‬‬
‫‪ .4‬קובייה ב‪: 5 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪.3.3‬‬
‫‪14‬‬
‫בסיסים ומימד של מרחבים וקטוריים‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬נאמר ש‪ v1 ,..., vn ∈ V -‬תלויים לינארית אם קיימים סקלרים ‪c1 ,..., cn ∈ F‬‬
‫‪n‬‬
‫כך שקיים ‪ 1 ≤ i ≤ n‬שעבורו ‪) ci ≠ 0 F‬כלומר לא כולם אפס( ומתקיים ‪ . ∑ ci vi = 0V‬אחרת ‪ v1 ,..., vn‬נקראים בלתי‬
‫‪i =1‬‬
‫תלויים לינארית )להלן בת"ל(‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ U‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬יהיו ‪ u1 ,..., uk ∈ U‬ויהיו ‪ . a1 ,..., ak ∈ F‬הווקטור‬
‫‪k‬‬
‫‪∑a u‬‬
‫‪i i‬‬
‫נקרא צירוף‬
‫‪i =1‬‬
‫לינארי של ‪ u1 ,..., uk‬עם מקדמים ‪ . a1 ,..., ak‬צירוף לינארי טריוויאלי הוא צירוף לינארי עם מקדמים שכולם אפס‬
‫‪. a1 = ... = ak = 0 F‬‬
‫תחת הגדרה זו נאמר שהווקטורים ‪ v1 ,..., vn ∈ V‬הם תלויים לינארית אם קיים צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס‪ .‬אחרת‬
‫נאמר שהם בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪. F‬‬
‫‪ .1‬ויהי ‪ . v ∈ V‬אם ‪ v = 0V‬אזי ‪ , 1F v = 0V‬כלומר קיים צירוף לינארי לא טריוויאלי של ‪ v‬אשר מתאפס ולכן ‪v‬‬
‫תלוי לינארית‪.‬‬
‫אם ‪ v ≠ 0V‬ו‪ cv = 0V -‬אזי ‪ . c = 0 F‬אחרת קיים ‪ c −1‬ולכן ‪ v = 1F v = c −1 ( cv ) = c −1 0V = 0V‬וזאת סתירה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫כלומר קיבלנו שעבור וקטור אחד הוא תלוי לינארית אם הוא וקטור האפס‪ ,‬אחרת הוא בלתי תלוי לינארית‪.‬‬
‫יהיו ‪ . v1 , v2 ∈ V‬הווקטורים תלויים לינארית אם קיימים סקלרים ‪ c1 , c2 ∈ F‬לא כולם ‪ 0 F‬כך ש‪-‬‬
‫‪ . c1v1 + c2 v2 = 0V‬אזי ‪. c1v1 = −c2 v2‬‬
‫‪.a‬‬
‫אם ‪ c1 ≠ 0F‬אזי קיים ‪ c1−11‬ואז נוכל לרשום‬
‫‪( c1v1 ) = c ( −c2 v2 ) = ( −c‬‬
‫‪c ) v2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v1 = 1F v1 = ( c c ) v1 = c‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫כלומר ‪ v1‬הוא כפולה סקלרית של ‪. v2‬‬
‫‪.b‬‬
‫אם ‪ c2 ≠ 0 F‬אזי קיים ‪ c2−1‬ואז נוכל לרשום‬
‫‪c ) v1‬‬
‫‪( c2 v2 ) = c ( −c1v1 ) = ( −c‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v2 = 1F v2 = ( c c ) v2 = c‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫כלומר ‪ v2‬הוא כפולה סקלרית של ‪. v1‬‬
‫המסקנה‪ :‬עבור שני וקטורים הם תלויים לינארית אם אחד מהם הוא כפולה סקלרית של השני‪.‬‬
‫יהיו ‪ . v1 , v2 , v3 ∈ V‬באופן דומה למה שעשינו קודם ניתן לרשום שאם קיימים ‪ c1 , c2 , c3‬לא כולם ‪ 0 F‬כך ש‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪∑c v‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪.a‬‬
‫אזי מתקיים לפחות אחד מהבאים‪:‬‬
‫אם ‪ c1 ≠ 0F‬אזי ‪v1 = ( −c1−1c2 ) v2 + ( −c1−1c3 ) v3‬‬
‫‪.b‬‬
‫אם ‪ c2 ≠ 0 F‬אזי ‪v2 = ( −c2−1c1 ) v1 + ( −c2−1c3 ) v3‬‬
‫‪.c‬‬
‫אם ‪ c3 ≠ 0F‬אזי ‪v3 = ( −c3−1c1 ) v1 + ( −c3−1c2 ) v2‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם הווקטורים תלויים לינארית אזי אחד מהם הוא צירוף לינארי של השניים האחרים‪.‬‬
‫נחזור למודל הגיאומטרי של ‪ . 2‬איך תלות לינארית מתבטאת במודל הגיאומטרי?‬
‫עבור שני וקטורים‪ ,‬כפי שנאמר למעלה‪ ,‬הם תלויים אם אחד הוא כפולה סקלרית של השני‪ .‬ולכן במודל הגיאומטרי אם שני‬
‫וקטורים נמצאים על אותו הישר אזי הוא תלויים‪.‬‬
‫עבור שלושה וקטורים הם תלויים אם אחד מהם הוא צירוף לינארי של השניים האחרים‪ .‬מכאן ניתן להסיק שכל שלושה‬
‫וקטורים ב‪ 2 -‬הוא תלויים‪.‬‬
‫משפט ‪ :11‬יהי ∈ ‪ 0 ≤ m‬ויהי ‪ F‬שדה‪ .‬יהיו ‪ v1 ,..., vn ∈ F m‬כאשר ‪ . m < n‬אזי ‪ v1 ,..., vn‬תלויים לינארית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪. m‬‬
‫בסיס האינדוקציה‪ . m = 0 :‬אזי‬
‫)‬
‫( = ‪ . v1 = ... = vn‬לכן‬
‫‪0‬‬
‫})‬
‫‪) = 0F‬‬
‫({ = ‪ , F 0‬בפרט‬
‫)‬
‫( = ‪ . 0 F 0‬יהי ‪ 0 < n‬ויהיו ‪ . v1 ,..., vn ∈ F 0‬ברור ש‪-‬‬
‫( = ) ( ‪ . 1F ( ) + ... + 1F ( ) = ( ) + ... +‬קיבלנו צירוף לינארי לא טריוויאלי‬
‫‬
‫‬
‫
‬
‫‪n times‬‬
‫שמתאפס‪ .‬לכן הווקטורים תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪n times‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪15‬‬
‫הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח שעבור ‪ m‬אם ‪ v1 ,..., vn ∈ F m‬ו‪ m < n -‬אזי ‪ v1 ,..., vn‬תלויים לינארית‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נוכיח את נכונות הטענה עבור ‪ . m + 1‬יהיו ‪ w1 ,..., wl ∈ F m +1‬כאשר ‪ . m + 1 < l‬נרצה להוכיח ש‪-‬‬
‫‪ w1 ,..., wl‬תלויים לינארית‪.‬‬
‫נרשום את הווקטורים בצורה מפורשת‪:‬‬
‫) ‪w1 = ( a1,1 ,..., a1, m , a1, m +1‬‬
‫‬
‫) ‪wl −1 = ( al −1,1 ,..., al −1, m , al −1, m +1‬‬
‫) ‪wl = ( al ,1 ,..., al , m , al , m +1‬‬
‫נסתכל ראשית במקרה הפרטי שבו ‪ ai , m +1 = 0 F‬לכל ‪ . 1 ≤ i ≤ l‬נגדיר‬
‫‪w1 ' = ( a1,1 ,..., a1, m ) ∈ F m‬‬
‫‬
‫‪wl ' = ( al ,1 ,..., al , m ) ∈ F m‬‬
‫‪ m < m + 1 < l‬ולכן לפי הנחת האינדוקציה הווקטורים ‪ w1 ',..., wl ' ∈ F m‬תלויים לינארית‪ .‬לכן קיימים סקלרים‬
‫‪l‬‬
‫‪ l‬‬
‫‪ l‬‬
‫‪ c1 ,..., cl ∈ F‬לא כולם ‪ 0 F‬כך ש‪ .  ∑ ci ai ,1 ,..., ∑ ci ai , m  = ∑ ci wi ' = 0 F m = ( 0F ,..., 0 F ) -‬אזי‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ l‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪w‬‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪,...,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪,‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪,...,‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪,‬‬
‫(‬
‫)‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪i i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i ,1‬‬
‫‪i ,m‬‬
‫‪i , m +1‬‬
‫= ‪i i , m ∑ ci ai , m +1 ‬‬
‫‪ ∑ i i ,1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪=  0F ,..., 0 F , ∑ ci 0 F  = ( 0 F ,..., 0F , 0F ) = 0 F m+1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כעת אם לא כל ‪ ai , m +1‬הם אפס אזי קיים ‪ 1 ≤ i ≤ l‬כך ש‪ . ai , m +1 ≠ 0F -‬בה"כ ‪) i = l‬אחרת נשנה את סדר הווקטורים(‪.‬‬
‫נגדיר‬
‫‪wl‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1, m +1 l , m +1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪u1 = w1 − a‬‬
‫‬
‫‪ul −1 = wl −1 − al −1, m +1al−,1m +1 wl‬‬
‫נשים לב שלכל ‪ 1 ≤ i ≤ l − 1‬מתקיים ‪ . ai , m +1 − ai , m +1al−,1m +1al , m +1 = ai , m +1 − ai , m +11F = 0 F‬ולכן נוכל לרשום‪:‬‬
‫) ‪u1 = ( b1,1 ,..., b1, m , 0 F‬‬
‫‬
‫) ‪ul −1 = ( bl −1,1 ,..., bl −1, m , 0 F‬‬
‫נגדיר וקטורים חדשים‪:‬‬
‫‪u1 ' = ( b1,1 ,..., b1, m ) ∈ F m‬‬
‫‬
‫‪ul −1 ' = ( bl −1,1 ,..., bl −1, m ) ∈ F m‬‬
‫‪ l − 1 < m ⇐ l > m + 1‬ולכן נוכל להשתמש בהנחת האינדוקציה‪ .‬קיימים ‪ d1 ,..., dl −1 ∈ F‬לא כולם ‪ 0 F‬כך ש‪-‬‬
‫‪l −1‬‬
‫‪. ∑ d i ui ' = 0 F m‬‬
‫‪i =1‬‬
‫אזי כמו קודם‬
‫‪l −1‬‬
‫‪l −1‬‬
‫‪ l −1‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪di ui =  ∑ di ( ai ,1 − ai , m +1al−,1m +1al ,1 ),..., ∑ di ( ai , m − ai , m +1al−,1m +1al , m ), ∑ di ( ai , m +1 − ai , m +1al−,1m +1al , m +1 ) ‬‬
‫∑‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪l −1‬‬
‫‪l −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪=  0F ,..., 0 F , ∑ di 0 F  = ( 0 F ,..., 0 F , 0 F ) = 0 F m+1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪l −1‬‬
‫נגדיר ‪ dl = −∑ di ai , m +1al−,1m +1‬ונקבל‬
‫‪i =1‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪16‬‬
‫‪  l −1‬‬
‫‪ ‬‬
‫= ‪+ ai , m +1al−,1m +1 wl ) +  −  ∑ di ai , m +1al−,1m +1  wl ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  i =1‬‬
‫‪l −1‬‬
‫‪l −1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪l −1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪l −1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪∑ d w = ∑ d w + d w = ∑ d (u‬‬
‫‪l‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪l‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪l −1‬‬
‫‪= ∑ ( di ui + di ai , m +1al−,1m +1 wl − di ai , m +1al−,1m +1 wl ) = ∑ ( di ui + 0V ) = ∑ di ui = 0 F m+1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫קיבלנו צירוף לינארי של ‪ w1 ,..., wl‬במקדמים לא טריויאליים‪ .‬ולכן הם תלויים לינארית‪.‬‬
‫מכאן שלפי עיקרון האינדוקציה המשפט נכון לכל ∈ ‪ . 0 ≤ m‬מש"ל ☺‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬נאמר שהווקטורים ‪ v1 ,..., vn ∈ V‬פורשים )או יוצרים( את ‪ V‬כאשר כל‬
‫וקטור ב‪ V -‬ניתן להצגה כצירוף לינארי של ‪ . v1 ,..., vn‬במקרה כזה נאמר ש‪ V -‬נוצר סופית‪.‬‬
‫משפט ‪ :12‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬ויהיו ‪ v1 ,..., vm ∈ V‬פורשים את ‪ . V‬אם ‪ w1 ,..., wl ∈ V‬ו‪ m < l -‬אזי‬
‫‪ w1 ,..., wl‬תלויים לינארית‪.‬‬
‫הוכחה‪ v1 ,..., vn :‬פורשים ולכן ניתן לרשום‪:‬‬
‫‪w1 = a1,1v1 + ... + a1, m vm‬‬
‫‬
‫‪wl = al ,1 + ... + al , m vm‬‬
‫נגדיר לכל ‪ . ui = ( ai ,1 ,..., ai , m ) ∈ F m 1 ≤ i ≤ l‬מכיוון ש‪ m < l -‬ו‪ u1 ,..., ul ∈ F m -‬נקבל לפי המשפט הקודם ש‪-‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ u1 ,..., ul‬תלויים לינארית‪ .‬לכן קיימים ‪ c1 ,..., cl ∈ F‬לא כולם ‪ 0 F‬כך ש‪ . ∑ ci ui = 0 F m -‬אזי‬
‫‪i =1‬‬
‫‪m  l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪v j = ∑  ∑ c j a j ,i  vi = ∑ 0 F vi = 0V‬‬
‫‪i =1  j =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪‬‬
‫ולכן ‪ w1 ,..., wl‬תלויים לינארית‪ .‬מש"ל ☺‬
‫‪m‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪∑c w = ∑c ∑a‬‬
‫‪i, j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j =1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬קבוצת הווקטורים } ‪ v = {v1 ,..., vn‬תיקרא בסיס אם ‪ V‬נפרש ע"י ‪ v‬ו‪v -‬‬
‫בלתי תלויה לינארית‪.‬‬
‫דוגמה‪ F = :‬ו‪V = 2 -‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪u2‬‬
‫ברור ש‪ v1 -‬ו‪ v2 -‬בלתי תלויים לינארית כי הם לא נמצאים על ישר אחד וגם כל וקטור אפשר להציג כצירוף לינארי שלהם‬
‫)ע"י ההיטלים על ‪ v1‬ו‪ .( v2 -‬ולכן הם מהווים בסיס‪ .‬בעצם‪ ,‬ב‪ 2 -‬כל שני וקטורים שאינם נמצאים על ישר אחד הם בסיס‪.‬‬
‫מכאן נובע שלמרחב וקטורי יכולים להיות כמה בסיסים‪ .‬כלומר‪ ,‬אין הבסיס של המרחב‪ .‬למשל‪ ,‬בציור גם } ‪ {v1 , v2‬וגם‬
‫} ‪ {u1 , u2‬הם בסיסים ל‪. 2 -‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪17‬‬
‫משפט ‪ :13‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬אם ‪ v1 ,..., vn ∈ V‬בסיס וגם ‪ w1 ,..., wl ∈ V‬בסיס אזי ‪. n = l‬‬
‫הסבר‪ :‬המשפט לא מבטיח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס‪ .‬אבל אם למרחב וקטורי יש בסיס אזי בכל בסיס יש אותו מספר‬
‫איברים‪.‬‬
‫הוכחה‪ V :‬נפרש ע"י ‪ . v1 ,..., vn‬נניח ש‪ . n < l -‬אזי ‪ w1 ,..., wl‬תלויים לינארית‪ .‬בסתירה לכך שהם בסיס‪ .‬באותו אופן‪,‬‬
‫אם נניח ש‪ l < n -‬נקבל ש‪ v1 ,..., vn -‬תלויים לינארית שכן ‪ V‬נפרש ע"י ‪ w1 ,..., w2‬בסתירה להיותם בסיס‪ .‬האפשרות‬
‫היחידה שנשארת היא ‪ . l = n‬מש"ל ☺‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית‪ .‬מספר האיברים בבסיס של ‪ V‬נקרא המימד של ‪ V‬ומסומן ‪. dim F V‬‬
‫דוגמה‪ :‬נטען שלכל שדה ‪ F‬מתקיים ‪dim F F n = n‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם נמצא בסיס של ‪ F n‬שבו ‪ n‬איברים נקבל את הטענה משום שלפי המשפט הקודם בכל בסיס של ‪ V‬יש אותו‬
‫מספר איברים‪.‬‬
‫נסתכל‪ ,‬אם כן‪ ,‬על הווקטורים‪:‬‬
‫) ‪e1 = (1F , 0F ,..., 0 F‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ei =  0F ,..., 1F ,..., 0F ‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i-th place‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫) ‪en = ( 0 F ,..., 0 F ,1F‬‬
‫נוכיח כי ‪ e1 ,..., en ∈ F n‬בסיס של ‪ . F n‬לשם כך נראה שהוא פורשים ושהם בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫פורשים‪ :‬יהי ‪ . ( a1 ,..., an ) ∈ F n‬ברור ש‪ . ( a1 ,..., an ) = ∑ ai ei -‬כלומר כל וקטור ב‪ F n -‬ניתן להצגה כצירוף לינארי של‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ . e1 ,..., en‬כלומר ‪ F n‬נפרש ע"י ‪. e1 ,..., en‬‬
‫‪n‬‬
‫אי‪-‬תלות‪ :‬נניח כי עבור סקלרים ‪ a1 ,..., an ∈ F‬מתקיים ‪ . ∑ ai ei = 0 F n‬ברור לפי הגדרת החיבור ש‪-‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪ . ∑ ai ei = ( a1 ,..., an‬ולכן ) ‪ ( a1 ,..., an ) = ( 0 F ,...,0 F‬ולכן ‪ . a1 = ... = an = 0 F‬לכן ‪ e1 ,..., en‬בלתי תלויים‬
‫‪i =1‬‬
‫לינארית‪.‬‬
‫הראנו שהווקטורים פורשים ובלתי תלויים לינארית‪ .‬לכן הם בסיס‪ .‬ומכאן ש‪ . dim F F n = n -‬מש"ל ☺‬
‫הגדרה‪ :‬הבסיס ‪ e1 ,..., en‬ל‪ F n -‬כפי שהוגדר בדוגמה נקרא הבסיס הסטנדרטי של ‪. F n‬‬
‫משפט ‪ :14‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬יהיו ‪ . v1 ,..., vn ∈ V‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ v1 ,..., vn‬בסיס של ‪V‬‬
‫לכל וקטור ‪ v ∈ V‬קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של ‪v1 ,..., vn‬‬
‫‪.2‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫) ‪ v1 ,..., vn ( 2 ⇐ 1‬בסיס‪ .‬בפרט הם פורשים את ‪ . V‬לכן לכל וקטור ‪ v ∈ V‬קיימת הצגה כצירוף לינארי שלהם‪ .‬נוכיח‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫שהיא יחידה‪ .‬יהי ‪ v ∈ V‬ויהיו ‪ a1 ,..., an ∈ F‬כך ש‪ . ∑ ai vi = v -‬נניח שקיימים גם ‪ b1 ,..., bn ∈ F‬כך ש‪. ∑ bi vi = v -‬‬
‫נסתכל על ההפרש ביניהם‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪0V = v − v = ∑ ai vi − ∑ bi vi = ∑ ( ai − bi ) vi‬‬
‫‪ v1 ,..., vn‬בסיס‪ .‬בפרט הם בלתי תלויים לינארית ולכן אם השוויון למעלה נכון חייב להתקיים ‪ ai − bi = 0 F‬לכל‬
‫‪ . 1 ≤ i ≤ n‬ולכן ‪ , ai = bi‬כלומר הההצגה כצירוף לינארי של ‪ v1 ,..., vn‬יחידה‪.‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪18‬‬
‫) ‪ ( 1 ⇐ 2‬נניח שלכל ‪ v ∈ V‬קיימת הצגה יחידה בצירוף לינארי של ‪ . v1 ,..., vn‬בפרט ברור שהם פורשים‪ .‬נותר לנו להוכיח‬
‫‪n‬‬
‫כי הם בלתי תלויים לינארית‪ .‬ברור ש‪ . 0V = ∑ 0 F vi -‬ההצגה הזאת היא יחידה ולכן לכל ‪ a1 ,..., an ∈ F‬אשר מקיימים‬
‫‪i =1‬‬
‫‪= 0V‬‬
‫‪n‬‬
‫‪∑a v‬‬
‫‪i i‬‬
‫מתקיים ‪ , a1 = ... = an = 0 F‬כלומר הווקטורים בלתי תלויים לינארית‪ .‬לכן נקבל כי ‪ v1 ,..., vn‬בסיס‪☺ .‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪.3.4‬‬
‫תתי מרחבים‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬תת‪-‬קבוצה ‪ U ⊂ V‬נקראת תת‪-‬מרחב אם ‪ U‬מקיימת את כל אקסיומות‬
‫המרחב הווקטורי ביחס לפעולות שמוגדרות על ‪. V‬‬
‫משפט ‪ :15‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬תהי ‪ U ⊂ V‬תת קבוצה‪ U .‬תת מרחב אם ורק אם‪:‬‬
‫‪ U .1‬לא ריקה‬
‫‪ U .2‬סגורה תחת חיבור של וקטורים‬
‫‪ U .3‬סגורה תחת כפל בסקלר‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫) ⇐ ( הכיוון הזה טריוויאלי ונובע מהגדרת תת מרחב כמרחב וקטורי‪.‬‬
‫) ⇒ ( נניח שמתקיימים התנאים לעיל ונוכיח כי ‪ U‬מקיימת את כל אקסיומות המרחב הווקטורי‪.‬‬
‫אקסיומות חיבור וקטורים‪:‬‬
‫‪ .1‬סגירות‪ :‬נתון בתנאי המשפט‪.‬‬
‫‪ .2‬חילופיות‪ :‬נובע מכך ש‪ U ⊂ V -‬ומוגדרות עליה אותן פעולות‪ V .‬מרחב וקטורי ולכן לכל ‪ u, v ∈ V‬מתקיים‬
‫‪ . u + v = v + u‬בפרט זה נכון לכל ‪. v, u ∈ U ⊂ V‬‬
‫‪ .3‬קיבוציות‪ :‬מתקיימת מאותו שיקול כמו )‪.(2‬‬
‫‪ .4‬קיום איבר האפס‪ U :‬לא ריקה ולכן קיים ‪ U . v ∈ U‬סגורה לכפל בסקלר ולכן ‪ U . ( −1F ) v ∈ U‬סגורה‬
‫תחת חיבור ולכן ‪ . v + ( −1F ) v = 1F v + ( −1F ) v = (1F + ( −1F ) ) v = 0F v = 0V‬כלומר ‪ . 0W = 0V‬אגב‪,‬‬
‫‪.5‬‬
‫נשים לב שנעשה כאן שימוש בדיסטריביוטיביות שאותה נוכיח תכף‪...‬‬
‫קיום איבר נגדי‪ :‬כפי שראינו קודם לכל ‪. −v = ( −1F ) v ∈ U v ∈ U‬‬
‫אקסיומות כפל בסקלר‪:‬‬
‫‪ .1‬סגירות‪ :‬נתון בנתאי המשפט‪.‬‬
‫‪ .2‬שאר התכונות של כפל בסקלר נכונות לכל ‪ u, v ∈ V‬ולכל ‪ . a, b ∈ F‬בפרט הן נכונות לגבי כל ‪. u, v ∈ U ⊂ V‬‬
‫הראנו שמתקיימות כל אקסיומות המרחב הווקטורי‪ .‬לכן ‪ U‬תת מרחב וקטורי של ‪ . V‬מש"ל ☺‬
‫דוגמה‪ :‬נסתכל על המרחב הווקטורי ‪ 3‬מעל ‪ .‬אזי תת המרחבים של ‪ 3‬הם‪:‬‬
‫‪ .1‬הראשית }) ‪{( 0, 0‬‬
‫‪.2‬‬
‫כל הישרים שעוברים דרך הראשית } ∈ ‪lt = {( a, ta ) : a‬‬
‫‪.3‬‬
‫כל המישורים שעוברים דרך הראשית } ∈ ‪st , p = {( a, ta, sa ) : a‬‬
‫‪3‬‬
‫קל לבדוק שכל אלה הם תת מרחבים‪ .‬למעשה אלה הם כל תת המרחבים של אבל לא נוכיח את זה כרגע‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . F‬יהיו ‪ u1 ,..., uk ∈ V‬כאשר ‪ . 1 ≤ k‬נגדיר‪ :‬תת המרחב הנפרש ע"י ‪u1 ,..., uk‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪‬‬
‫הוא ‪ . Sp ( u1 ,..., uk ) = ∑ ci ui : ci ∈ F ‬עבור ‪ k = 0‬נגדיר‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Sp ( u1 ,..., uk ) ⊂ V‬‬
‫} ‪) = {0V‬‬
‫( ‪ . Sp‬בכל מקרה ברור ש‪-‬‬
‫משפט ‪ :16‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬ויהיו ‪ . u1 ,..., uk ∈ V‬אזי ) ‪ Sp ( u1 ,..., un‬תת מרחב וקטורי של ‪. V‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור ‪k = 0‬‬
‫ברור ש‪) = {0V } -‬‬
‫( ‪ Sp‬תת מרחב וקטורי‪.‬‬
‫נסתכל במקרה שבו ‪ . 1 ≤ k‬נראה את קיום ‪ 3‬התנאים מהמשפט הקודם‪:‬‬
‫‪ .1‬ברור ש‪ Sp ( u1 ,..., uk ) -‬לא ריקה‪ ,‬כי כל צירוף לינארי של ‪ u1 ,..., uk‬נמצא בה‪.‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪19‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫יהיו ) ‪ . v, w ∈ Sp ( u1 ,..., uk‬אזי קיימים סקלרים ‪ c1 ,..., ck , d1 ,..., d k ∈ F‬כך ש‪. v = ∑ ci ui , w = ∑ di ui -‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫אזי ‪ . v + w = ∑ ci ui + ∑ di ui = ∑ ( ci + di ) ui‬קיבלנו ש‪ v + w -‬הוא צירוף לינארי של ‪ u1 ,..., uk‬עם‬
‫מקדמים ‪ ci + di ∈ F‬כאשר ‪ . 1 ≤ i ≤ k‬לכן ) ‪ . v + w ∈ Sp ( u1 ,..., uk‬כלומר יש סגירות תחת חיבור‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫יהי ) ‪ v ∈ Sp ( u1 ,..., uk‬ויהי ‪ . c ∈ F‬קיימים ‪ a1 ,..., ak ∈ F‬כך ש‪ . v = ∑ ai ui -‬נסתכל על המכפלה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ . cv = c ∑ ai ui = ∑ ( cbi ) ui‬קיבלנו ש‪ cv -‬הוא צירוף לינארי של ‪ u1 ,..., uk‬עם מקדמים ‪ cbi ∈ F‬עבור‬
‫‪ . 1 ≤ i ≤ k‬כלומר יש סגירות תחת כפל בסקלר‪.‬‬
‫לכן לפי משפט קודם ) ‪ Sp ( u1 ,..., uk‬תת מרחב וקטורי של ‪ .V‬מש"ל ☺‬
‫נעיר רק ש‪ Sp ( u1 ,..., uk ) -‬וא תת המרחב המינימלי שמכיל את ‪ . u1 ,..., uk‬כלומר‪ ,‬אם ‪ S ⊂ V‬תת מרחב שמקיים‬
‫‪ u1 ,..., uk ∈ S‬אז בגלל הסגירות תחת חיבור ותחת כפל בסקלר כל קומבינציה לינארית של ‪ u1 ,..., uk‬חייבת להיות גם היא‬
‫ב‪ . S -‬כלומר ‪. Sp ( u1 ,..., uk ) ⊂ S‬‬
‫הערה‪ :‬עבור ‪ Sp ( u1 ,..., uk ) = V u1 ,..., uk ∈ V‬אם ורק אם ‪ u1 ,..., uk‬פורשים את ‪. V‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ F‬שדה ו‪ x -‬משתנה‪ .‬נגדיר ‪ - F [ x ] = ∑ ai x i : ai ∈ F , 0 ≤ n ‬קבוצת כל הפולינומים במשתנה ‪ x‬עם‬
‫‪ i=0‬‬
‫‪‬‬
‫מקדמים משדה ‪ . F‬חיבור פולינומים וכפל בסקלר יתבצעו בצורה המוכרת לנו‪.‬‬
‫טענה ‪ F [ x ] :17‬מרחב וקטורי מעל ‪. F‬‬
‫הטענה מובאת ללא הוכחה‪ .‬ההוכחה פשוטה וישירה‪.‬‬
‫משפט ‪ :18‬ב‪ F [ x ] -‬אין בסיס סופי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה ש‪ v1 ,..., vn ∈ F [ x ] -‬בסיס של ] ‪ . F [ x‬נניח שלכל ‪ vi 1 ≤ i ≤ n‬הוא פולינום ממעלה ‪. 0 ≤ mi‬‬
‫נגדיר ‪ . m = max {mi }i =1‬אזי כל צירוף לינארי של ‪ v1 ,..., vn‬הוא פולינום שמעלתו קטנה או שווה ל‪ . m -‬בפרט‬
‫‪n‬‬
‫) ‪ . x m +1 ∉ Sp ( v1 ,..., vn‬כלומר‪ v1 ,..., vn ,‬אינם פורשים את ] ‪ F [ x‬ולכן אינם בסיס‪ .‬זאת סתירה ולכן לא קיים בסיס סופי‬
‫ל‪ . F [ x ] -‬מש"ל ☺‬
‫משפט ‪ :19‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬שקיים לו בסיס ‪ . v1 ,..., vn‬יהי ‪ U ⊂ V‬תת מרחב‪ .‬אזי ל‪ U -‬קיים בסיס‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לצורך הוכחת המשפט ניעזר בטענת עזר‪:‬‬
‫טענת עזר‪ :‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ w1 ,..., wl ∈ V .1‬בלתי תלויים לינארית‬
‫‪.2‬‬
‫‪ w1 ≠ 0V‬ו‪ wi ∉ Sp ( w1 ,..., wi −1 ) -‬לכל ‪2 ≤ i ≤ l‬‬
‫הוכחת הטענה‪:‬‬
‫) ‪ ( 2 ⇐ 1‬נניח ש‪ w1 ,..., wl ∈ V -‬בלתי תלויים לינארית‪ .‬אם ‪ w1 = 0V‬ניתן לרשום‬
‫‪ . 0V = 1F 0V + 0 F w2 + ... + 0 F wl = 1F w1 + 0 F w2 + ... + 0 F wl‬כלומר יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של‬
‫‪ w1 ,..., wl‬שמתאפס‪ .‬כלומר הווקטורים תלויים לינארית בסתירה לנתון‪ .‬לכן ‪. w1 ≠ 0V‬‬
‫כעת נניח שקיים ‪ 2 ≤ i ≤ l‬כך שמתקיים ) ‪ . wi ∈ Sp ( w1 ,..., wi −1‬כלומר קיימים ‪ a1 ,..., ai −1 ∈ F‬לא כולם ‪ 0 F‬כך‬
‫ש‪ . wi = a1 w1 + ... + ai −1 wi −1 -‬אזי מתקיים‬
‫‪ 0V = wi + ( −a1 w1 ) + ... + ( −ai −1 wi −1 ) = ( −a1 w1 ) + ... + ( −ai −1 wi −1 ) + wi + 0 F wi +1 + ... + 0 F wl‬כלומר קיים‬
‫צירוף לינארי לא טריוויאלי של הווקטורים שמתאפס‪ .‬ולכן הם תלויים לינארית‪ .‬בסתירה להנחה‪ .‬לכן‬
‫) ‪ wi ∉ Sp ( w1 ,..., wi −1‬לכל ‪. 2 ≤ i ≤ l‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪20‬‬
‫) ‪ ( 1 ⇐ 2‬נתון ש‪ w1 ≠ 0V -‬ו‪ wi ∉ Sp ( w1 ,..., wi −1 ) -‬לכל ‪ . 2 ≤ i ≤ l‬נראה ש‪ w1 ,..., wl -‬בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪l‬‬
‫נניח שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי שמקיים ‪ . ∑ ci wi = 0V‬יהי ‪ k‬האינדקס המקסימלי שעבורו ‪ . ck ≠ 0 F‬אזי‬
‫‪i =1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ . ck +1 ,..., cl = 0 F‬לכן ‪wi = ∑ ci wi‬‬
‫‪l‬‬
‫‪F‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪k‬‬
‫‪∑ c w = ∑c w + ∑ 0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i = k +1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i = k +1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ . 0V = ∑ ci wi = ∑ ci wi +‬נעביר אגפים‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫ונקבל ‪ . ck wk = −c1 w1 − ... − ck −1 wk −1‬הנחנו ש‪ ck ≠ 0 F -‬לכן קיים ‪ . ck−1‬לכן‬
‫) ‪ wk = ( −ck−1c1 ) w1 + ... + ( −ck−1ck −1 ) wk −1 ∈ Sp ( w1 ,..., wk −1‬בסתירה לנתון‪ .‬לכן ‪ w1 ,..., wl‬בלתי תלויים‬
‫לינארית‪ .‬מש"ל ☺‬
‫נחזור להוכחת המשפט‪ .‬אם ‪ U = {0V } ⊂ V‬אזי קיים ל‪ U -‬בסיס והוא הקבוצה הריקה‪.‬‬
‫אחרת קיים וקטור ‪ . 0V ≠ w1 ∈ U‬לפי טענת העזר ‪ w1‬בלתי תלוי לינארית‪ .‬אם } ‪ U = Sp { w1‬אזי ‪ w1‬בסיס של ‪. U‬‬
‫אחרת קיים ‪ w2 ∈ U‬כך ש‪ . w2 ∉ Sp ( w1 ) -‬לפי טענת העזר ‪ w1 , w2‬בלתי תלויים לינארית‪ .‬אם ) ‪ U = Sp ( w1 , w2‬אזי‬
‫‪ w1 , w2‬בסיס של ‪. U‬‬
‫כעת נגדיר באינדוקציה‪ :‬נניח שמצאנו ‪k < n‬‬
‫וקטורים בת"ל ב‪ . w1 ,..., wk U -‬אם הם פורשים את ‪ U‬אזי הם בסיס‪.‬‬
‫אחרת קיים ‪ wk +1 ∈ U‬כך ש‪ . wk +1 ∉ Sp ( w1 ,..., wk ) -‬לפי טענת העזר ‪ w1 ,..., wk +1‬בלתי תלויים לינארית‪ .‬כעת נחזור על‬
‫התהליך עד שיתקיים אחד מהבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬נמצא בסיס של ‪U‬‬
‫‪ .2‬נקבל ‪ n‬וקטורים בלתי תלויים לינארית‪ .‬במקרה זה הווקטורים יהיו חייבים להיות פורשים משום ש‪-‬‬
‫‪. dim F V = n‬‬
‫בתהליך הזה מצאנו בסיס סופי ל‪ . U -‬יתר על כן ברור שמתקיים ‪ . dim F U ≤ dim F V‬מש"ל ☺‬
‫משפט ‪ :20‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬ויהי ‪ U ⊂ V‬תת מרחב‪ .‬אם ‪ dim F V = dim F U‬אז ‪. U = V‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה ש‪ . U ≠ V -‬לפי המשפט הקודם ל‪ U -‬קיים בסיס‪ .‬נניח ‪ v1 ,..., vn‬בסיס ל‪ V -‬ו‪ u1 ,..., un -‬בסיס ל‪-‬‬
‫‪ . U‬יהי ‪ un +1 ∈ V‬כך ש‪) un +1 ∉ U -‬קיים כזה כי הנחנו ש‪ .( U ≠ V -‬לפי טענת העזר ‪ u1 ,..., un +1‬בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫וזאת סתירה לכך ש‪ V -‬נפרש ע"י ‪) v1 ,..., vn‬מאחר ש‪ n < n + 1 -‬הוכחנו שחייב להתקיים שכל ‪ n + 1‬וקטורים הם‬
‫תלויים(‪ .‬לכן ‪ . U = V‬מש"ל ☺‬
‫משפט ‪ :21‬יהי ) ‪ . V = Sp ( u1 ,..., um‬אזי הקבוצה }) ‪ B = {ui : u1 ≠ 0V ,1 ≤ i ≤ m, ui ∉ Sp ( u1 ,..., ui −1‬היא בסיס ל‪. V -‬‬
‫משמעות‪ :‬המשפט בעצם אומר שבהינתן קבוצה פורשת של וקטורים ניתן לדלל אותה עד כדי בסיס‪ ,‬כלומר ניתן להוציא ממנה‬
‫איברים עד שנקבל קבוצה בלתי תלויה לינארית אך היא עדיין פורשת‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח ש‪ B -‬קבוצה פורשת ובלתי תלויה לינארית‪ . u1 ≠ 0V .‬נניח ‪ . B = n ≤ m‬לפי הגדרת ‪ B‬לכל ‪2 ≤ i ≤ m‬‬
‫מתקיים ) ‪ ui ∉ Sp ( u1 ,..., ui −1‬ולכן לפי טענת העזר ממשפט )‪ u1 ,..., un (19‬בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫נראה שהם פורשים את ‪ . V‬נסמן ב‪ βi1 ,..., β im−n -‬את הווקטורים שהושמטו מבין ‪ . u1 ,..., um‬לפי ההגדרה כל וקטור כזה‬
‫הוא צירוף לינארי של ‪. u1 ,..., um‬‬
‫למה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ויהיו ‪ . α1 ,..., α k ∈ V‬אם ) ‪ α k ∈ Sp (α1 ,..., α k −1‬אזי‬
‫) ‪Sp (α1 ,..., α k ) = Sp (α1 ,..., α k −1‬‬
‫‪k −1‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור ש‪ . Sp (α1 ,..., α k −1 ) ⊂ Sp (α1 ,..., α k ) -‬אם ) ‪ α k ∈ Sp (α1 ,..., α k −1‬אזי ‪ . α k = ∑ ciα i‬יהי‬
‫‪i =1‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪ . v = ∑ diα i ∈ Sp (α1 ,..., ak‬אזי‬
‫‪i =1‬‬
‫‪k −1‬‬
‫‪k −1‬‬
‫‪k −1‬‬
‫‪k −1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪k −1‬‬
‫) ‪v = ∑ diα i + d k ∑ ciα i = ∑ diα i + ∑ ( d k ci ) α i = ∑ ( di + d k ci ) α i ∈ Sp (α1 ,..., α k −1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫ולכן ) ‪ . Sp (α1 ,..., α k −1 ) ⊃ Sp (α1 ,..., α k‬לכן ) ‪ . Sp (α1 ,..., α k ) = Sp (α1 ,..., α k −1‬מש"ל ☺‬
‫כעת נמספר מחדש את הווקטורים ‪ u1 ,..., um‬כך ש‪ βi1 ,..., β im−n -‬יופיעו בסוף הרשימה‪ .‬ע"י שימוש בלמה ‪ m − n‬פעמים‬
‫נקבל ש‪ . V = Sp ( B ) -‬לכן ‪ B‬בסיס ל‪ . V -‬מש"ל ☺‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪21‬‬
‫משפט ‪ :22‬יהי ) ‪ V = Sp ( u1 ,..., um‬ויהיו ‪ v1 ,..., vk ∈ V‬בלתי תלויים לינארית‪ .‬ניתן להשלים את ‪ v1 ,..., vk‬לבסיס ע"י‬
‫וקטורים מ‪. {u1 ,..., um } -‬‬
‫משמעות‪ :‬בהינתן קבוצת וקטורים בלתי תלויה לינארית במרחב נוצר סופית ניתן להרחיב אותה לבסיס של המרחב בשימוש‬
‫בוקטורים היוצרים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור ש‪ v1 ,..., vk . V = Sp ( u1 ,..., um ) = Sp ( v1 ,..., vk , u1 ,..., um ) -‬בלתי תלויים לינארית ולכן כל אחד מהם אינו‬
‫צירוף לינארי של קודמיו‪ .‬לכן על סמך המשפט הקודם נקבל בסיס של ‪ V‬מהצורה ‪ v1 ,..., vk , u j1 ,..., u jl‬שכן הוקטורים‬
‫‪ v1 ,..., vk‬יעברו את תהליך הסינון שהצגנו‪ .‬מש"ל ☺‬
‫טענה ‪ :23‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ותהי } ‪ B = {v1 ,..., vn‬קבוצת וקטורים ב‪ . V -‬אזי התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ B‬בסיס של ‪V‬‬
‫‪ B‬קבוצה פורשת מינימלית‬
‫‪ B‬קבוצה בלתי תלויה לינארית מקסימלית‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)א ⇐ ב( אם ‪ B‬בסיס אזי היא קבוצה פורשת‪ .‬נוכיח שהיא מינימלית‪ .‬נניח בשלילה שהיא לא מינימלית‪ .‬אזי קיים וקטור‬
‫‪ vi ∈ B‬שניתן להשמיט אותו מ‪ B -‬ובכל זאת לקבל קבוצה פורשת‪ .‬כלומר } ‪ B ' = {v1 ,..., vi −1 , vi +1 ,..., vn‬פורשת את ‪. V‬‬
‫ברור ש‪ B ' -‬בלתי תלויה לינארית‪ .‬ולכן ' ‪ B‬בסיס‪ .‬אבל ‪ B ' = n − 1‬בסתירה לכך שבכל בסיס של ‪ V‬יש אותו מספר‬
‫איברים‪.‬‬
‫)ב ⇐ א( אם ‪ B‬קבוצה פורשת מינימלית בפרט היא פורשת‪ .‬נראה שהיא בלתי תלויה לינארית‪ .‬נניח שקיימת תלות‬
‫לינארית‪ .‬לפי טענת עזר קודמת קיים ‪ 1 ≤ i ≤ n‬כך ש‪ . vi ∈ Sp ( v1 ,..., vi −1 ) -‬אזי‬
‫) ‪ V = Sp ( v1 ,..., vi −1 , vi +1 ,..., vn ) = Sp ( v1 ,..., vi −1 , vi , vi +1 ,..., vn‬בסתירה למינימליות של ‪ . B‬לכן ‪ B‬בלתי תלויה‬
‫לינארית ולכן היא בסיס‪.‬‬
‫)א ⇐ ג( אם ‪ B‬בסיס אז היא בלתי תלויה לינארית ופורשת‪ .‬לכן לכל ‪ vn +1 ∈ V‬מתקיים‬
‫) ‪ . vn +1 ∈ Sp ( v1 ,..., vn‬לכן‬
‫‪ v1 ,..., vn , vn +1‬תלויים לינארית‪ .‬כלומר ‪ B‬קבוצה בלתי תלויה לינארית מקסימלית‪.‬‬
‫)ג ⇐ א( אם ‪ B‬קבוצה בלתי תלויה לינארית מקסימלית אזי היא בפרט בלתי תלויה לינארית‪ .‬נוכיח שהיא פורשת‪ .‬נניח‬
‫בשלילה ש‪ . V ≠ Sp ( v1 ,..., vn ) -‬אזי קיים ‪ vn +1 ∈ V‬כך ש‪ . vn +1 ∉ Sp ( v1 ,..., vn ) -‬לכן לפי טענת העזר ‪ v1 ,..., vn +1‬בלתי‬
‫תלויה לינארית‪ ,‬בסתירה למקסימליות של ‪ . B‬מש"ל ☺‬
‫טענה ‪ :24‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬ויהיו ‪ U ,W ⊂ V‬תת מרחבים‪ .‬אזי החיתוך ‪ U ∩ W‬גם כן תת מרחב של‬
‫‪.V‬‬
‫הוכחה‪ 0V ∈ U , 0V ∈ W :‬משום שהם תת מרחבים ולכן ‪ 0V ∈ U ∩ W‬כלומר ∅ ≠ ‪. U ∩ W‬‬
‫יהיו ‪ . u, w ∈ U ∩ W‬אזי ‪ . u, w ∈ V , u , w ∈ W‬לכן ‪ u + w ∈ V , u + w ∈ W‬ומכאן ש‪ u + w ∈ U ∩ W -‬כלומר יש‬
‫סגירות תחת חיבור‪.‬‬
‫יהיו ‪ v ∈ U ∩ W‬ו‪ . c ∈ F -‬אזי ‪ v ∈ U , v ∈ W‬ולכן ‪ . cv ∈ U , cv ∈ W‬מכאן ש‪ cv ∈ U ∩ W -‬כלומר יש סגירות תחת‬
‫כפל בסקלר‪ .‬לכן ‪ U ∩ W‬תת מרחב וקטורי של ‪ . V‬מש"ל ☺‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ויהיו ‪ U ,W ⊂ V‬תת מרחבים‪ .‬נסמן‬
‫} ‪U + W = {u + w : u ∈ U , w ∈ W‬‬
‫טענה ‪ :25‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ויהיו ‪ U ,W ⊂ V‬תת מרחבים‪ .‬אזי ‪ U + W‬תת מרחב וקטורי של ‪. V‬‬
‫הוכחה‪ 0V ∈ U , 0V ∈ W :‬משום שהם תת מרחבים ולכן ‪ 0V = 0V + 0V ∈ U + W‬כלומר ∅ ≠ ‪. U + W‬‬
‫יהיו ‪ . v1 , v2 ∈ U + W‬אזי ‪ v1 = u1 + w1 , v2 = u2 + w2‬כאשר ‪ . u1 , u2 ∈ U , w1 , w2 ∈ W‬לכן‬
‫‪ u1 + u2 ∈ U , w1 + w2 ∈ W‬ו‪ v1 + v2 = ( u1 + w1 ) + ( u2 + w2 ) = ( u1 + u2 ) + ( w1 + w2 ) ∈ V + W -‬ומכאן ש‪-‬‬
‫‪ v1 + v2 ∈ U + W‬כלומר יש סגירות תחת חיבור‪.‬‬
‫יהיו ‪ v ∈ U + W‬ו‪ . c ∈ F -‬אזי ‪ v = u + w‬כאשר ‪ . u ∈ U , w ∈ W‬אזי ‪ cu ∈ U , cw ∈ W‬ולכן‬
‫‪ . cv = c ( u + w ) = cu + cw ∈ U + W‬מכאן ש‪ cv ∈ U + W -‬כלומר יש סגירות תחת כפל בסקלר‪ .‬לכן ‪ U + W‬תת‬
‫מרחב וקטורי של ‪ . V‬מש"ל ☺‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪22‬‬
‫נעיר רק שאם ‪ U ,W ⊂ V‬תת מרחבים אזי ‪ U ∪ W‬אינו בהכרח תת מרחב‪ .‬למשל אם נסתכל על ‪ 3‬ועל תת המרחבים‬
‫שלו – הציר האופקי והציר האנכי – ניווכח שהאיחוד שלהם אינו תת מרחב כמובן‪ .‬למשל )‪ ( 0,1) + (1, 0 ) = (1,1‬ונקודה זו‬
‫אינה נמצאת על אף אחד מהצירים‪ .‬כלומר בדוגמה זו אין סגירות תחת חיבור‪.‬‬
‫אבל‪ ,‬אם ‪ W ∪ U‬תת מרחב אזי בהכרח ‪ W ⊂ U‬או ‪. U ⊂ W‬‬
‫משפט ‪ :26‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית‪ .‬יהיו ‪ U ,W ⊂ V‬תת מרחבים‪ .‬אזי‬
‫) ‪dim F (U + W ) = dim F U + dim F V − dim F (U ∩ W‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נראה ציור סכמטי של המצב‪:‬‬
‫‪V‬‬
‫‪U +W‬‬
‫‪U ∩W‬‬
‫‪W‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ U ∩ W‬תת מרחב של מרחב וקטורי נוצר סופית ‪ V‬ולכן ניתן לבחור לו בסיס ‪ U ∩ W . v1 ,..., vm‬הוא גם תת מרחב של‬
‫‪ U‬ולכן ניתן להשלים את ‪ v1 ,..., vm‬לבסיס של ‪ U‬כך‪ . v1 ,..., vm , u1 ,..., uk :‬אבל ‪ U ∩ W‬הוא גם תת מרחב של ‪W‬‬
‫ולכן ניתן להשלים את ‪ v1 ,..., vm‬לבסיס של ‪ W‬כך‪. v1 ,..., vm , w1 ,..., wl :‬‬
‫נטען שהווקטורים ‪ v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wl‬הם בסיס של ‪. U + W‬‬
‫נראה שהקבוצה פורשת‪ :‬יהי ‪ . v ∈ U + W‬אזי קיימים ‪ u ∈ U , w ∈ W‬כך ש‪ . v = u + w -‬ניתן לרשום אז‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ u = ∑ ai vi + ∑ bi ui‬ו‪ w = ∑ ci vi + ∑ di wi -‬ואז‬
‫‪l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪v = u + w = ∑ ai vi + ∑ bi ui + ∑ ci vi + ∑ di wi‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪m‬‬
‫) ‪= ∑ ( ai + ci ) vi + ∑ bi ui + ∑ di wi ∈ Sp ( v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wl‬‬
‫‪i =1‬‬
‫משום ש‪ v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wl ∈ U + W -‬נקבל שהם פורשים את ‪. U + W‬‬
‫נראה שהקבוצה בלתי תלויה לינארית‪ :‬נניח ש‪= 0V -‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪∑a v + ∑b u + ∑d w‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫ונראה שכל המקדמים הם איבר האפס של‬
‫‪i =1‬‬
‫השדה‪.‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫נסמן ‪ . z = ∑ ai vi + ∑ bi ui = −∑ di wi‬לכן ‪ z ∈ U‬וגם ‪ z ∈ W‬ולכן ‪ . z ∈ U ∩ W‬לכן נוכל לרשום‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ z = ∑ ci vi = ∑ ci vi + ∑ 0 F ui‬כלומר ל‪ z -‬יש שתי הצגות כצירוף לינארי של הבסיס של ‪ . U‬בגלל יחידות ההצגה‬
‫‪l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫נקבל ‪ . 1 ≤ i ≤ k , bi = 0 F‬לכן ‪ . ∑ ai vi + ∑ di wi = 0V‬אבל ‪ v1 ,..., vm , w1 ,..., wl‬בסיס של ‪ W‬ולכן הם בלתי תלויים‬
‫לינארית ולכן נקבל ‪ . d1 = ... = dl = a1 = ... = am = 0F‬כלומר ‪ v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wl‬בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫מכאן נובע ש‪ v1 ,..., vm , u1 ,..., uk , w1 ,..., wl -‬הם בסיס‪.‬‬
‫כעת נקבל‪:‬‬
‫) ‪dim F (U + W ) = m + k + l = ( m + k ) + ( m + l ) − m = dim F U + dim F W − dim F (U ∩ W‬‬
‫כלומר ) ‪ . dim F (U + W ) = dim F U + dim F W − dim F (U ∩ W‬מש"ל ☺‬
‫לסיכום‪ ,‬נציין טענה מגניבה‪ :‬יהי ‪ F‬שדה בעל מציין ‪ . p > 0‬אזי קיים ‪ n‬כך ש‪. F = p n -‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נשים לב שאם ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד סופי מעל ‪ , p‬אזי קיים איזומורפיזם בין ‪ V‬לבין מרחב ה‪- n -‬יות‬
‫} ‪ , {( a1 ,..., an ) : ai ∈ p‬שהרי כל וקטור ניתן להציג באופן יחיד כצירוף לינארי של איברי הבסיס‪ ,‬ואז ) ‪ ( a1 ,..., an‬היא ה‪-‬‬
‫‪- n‬יה שמייצגת את המקדמים בהצגה זו‪ .‬ברור ש‪-‬‬
‫‪n‬‬
‫‪{( a ,..., a ) : a ∈ } = p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן ‪. V = p n‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪23‬‬
‫כעת נחזור לבעיה שלנו‪ .‬לפי משפט )‪ (8‬קיים ל‪ F -‬תת שדה ‪ K‬איזומורפי ל‪ . p -‬כעת נסתכל על ‪ F‬כמרחב וקטורי מעל‬
‫‪ . K‬ברור אז ש‪ F -‬נוצר סופית‪ ,‬שהרי ‪ F‬עצמו סופי‪ .‬נניח שהמימד הוא ‪ n‬ואז לפי מה שאמרנו קודם ‪ . F = p n‬מש"ל‬
‫☺‬
‫‪ .4‬העתקות לינאריות‬
‫‪.4.1‬‬
‫תכונות כלליות של העתקות‬
‫יהיו ‪ A, B‬קבוצות של איברים כלשהם‪ f : A → B .‬העתקה מ‪ A -‬ל‪ B -‬היא התאמה של איבר אחד ויחיד מ‪ B -‬לכל‬
‫איבר של ‪ . A‬אם ל‪ a ∈ A -‬מותאם ‪ b ∈ B‬מסמנים ‪. f ( a ) = b‬‬
‫על כל קבוצה ‪ A‬ניתן להגדיר העתקה שלא עושה דבר‪ ,‬והיא נקראת העתקת הזהות ‪ Id A : A → A‬ולכל ‪ a ∈ A‬מתקיים‬
‫‪. Id A ( a ) = a‬‬
‫נאמר שההעתקה ‪ f‬היא חד‪-‬חד‪-‬ערכית )להלן חח"ע( כאשר לכל ‪ , a, b ∈ A‬אם ) ‪ f ( a ) = f ( b‬אז ‪. a = b‬‬
‫נאמר שההעתקה ‪ f‬היא על אם לכל ‪ b ∈ B‬קיים ‪ a ∈ A‬כך ש‪. f ( a ) = b -‬‬
‫נשים ♥ שמראש תנאים אלה לא נתונים לנו‪ .‬ההעתקה מתאימה איבר אחד ויחיד ‪ b ∈ B‬לכל איבר ‪ . a ∈ A‬כלומר לא יכול‬
‫להיות '' ‪ f ( a ) = b ', f ( a ) = b‬אבל '' ‪ b ' ≠ b‬וכן לא יכול להיות שקיים ‪ a ∈ A‬שלא מותאם לו איבר ב‪ . B -‬אבל יכול‬
‫להיות ש‪ f ( a ') = f ( a '') -‬ו‪ a ' ≠ a '' -‬וכן יכול להיות שיש איזה ‪ b ∈ B‬שלא קיים ‪ a ∈ A‬כך ש‪. f ( a ) = b -‬‬
‫אם העתקה ‪ f : A → B‬היא חח"ע ועל קיימת העתקה שנקראת ההעתקה ההפכית שנסמנה ‪ f −1 : B → A‬והיא מקיימת ש‪-‬‬
‫‪) f ( a ) = b ⇔ f −1 ( b ) = a‬לא נוכיח זאת במסגרת זו(‪.‬‬
‫יהיו ‪ A, B, C‬קבוצות ויהיו ‪ f : A → B, g : B → C‬העתקות‪ .‬נגדיר את ההרכבה ‪ g f : A → C‬באופן הבא‪ :‬לכל‬
‫‪ .†††† ( g f )( a ) = g ( f ( a ) ) a ∈ A‬כלומר קודם מפעילים את ‪ f‬על ‪ a‬ולאחר מכן מפעילים את ‪ g‬על התוצאה‪.‬‬
‫באופן סכמטי‪:‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫)) ‪g ( f ( a‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪g f‬‬
‫אם ‪ f : A → B, f −1 : B → A‬הופכיות אזי ‪. f f −1 = Id B , f −1 f = Id A‬‬
‫נטען שפעולת הרכבת ההעתקות היא אסוציאטיבית‪ .‬יהיו ‪ . f : A → B, g : B → C , h : C → D‬אזי לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים‬
‫)‬
‫(‬
‫) ‪ . ( h ( gf ) ) ( a ) = h ( ( gf )( a ) ) = h g ( f ( a ) ) = ( hg ) ( f ( a ) ) = ( ( hg ) f ) ( a‬כלומר ) ‪. ( hg ) f = h ( gf‬‬
‫†††† להבא נשמיט את הסימן ‪ .‬מההקשר יהיה ברור למה הכוונה‪.‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪.4.2‬‬
‫‪24‬‬
‫העתקות לינאריות של מרחבים וקטוריים‬
‫אם הקבוצות הן מרחבים וקטוריים אזי ההעתקה היא בין מרחבים וקטוריים )דה!(‪ .‬אנחנו נתעניין בסוג מסוים של העתקות‪:‬‬
‫העתקות לינאריות‪ .‬העתקות אלה מוגדרות על מרחבים וקטוריים רק במקרה ששניהם מוגדרים מעל אותו השדה‪.‬‬
‫יהי‪ ,‬אם כן שדה ‪ F‬ויהיו ‪ V , W‬מרחבים וקטוריים מעל ‪ . F‬ותהי ‪ f : V → W‬העתקה ביניהם‪ .‬נאמר שההעתקה ‪ f‬היא‬
‫לינארית כאשר מתקיימים שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪∀v1 , v2 ∈ V‬‬
‫) ‪f ( v1 + v2 ) = f ( v1 ) + f ( v2‬‬
‫) ‪f ( cv ) = cf ( v‬‬
‫‪∀v ∈ V , ∀c ∈ F‬‬
‫ההגדרה מסבירה לנו מדוע קבענו שהמרחבים צריכים להיות מעל אותו השדה‪ .‬אחרת אין משמעות לביטוי ) ‪. cf ( v‬‬
‫נשים ♥ שהעתקת הזהות על מרחב וקטורי היא לינארית‪ . IdV : V → V :‬אזי לכל ‪ v1 , v2 , v ∈ V , c ∈ F‬מתקיימים התנאים‬
‫הנחוצים‪:‬‬
‫) ‪IdV ( v1 + v2 ) = v1 + v2 = IdV ( v1 ) + IdV ( v2‬‬
‫) ‪IdV ( cv ) = cv = cIdV ( v‬‬
‫טענה ‪ :27‬יהיו ‪ V ,U ,W‬מרחבים וקטוריים מעל שדה ‪ . F‬יהיו ‪ f : V → U‬ו‪ g : U → W -‬העתקות לינאריות‪ .‬אזי‬
‫‪ g f : V → W‬לינארית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה שמתקיימים שני התנאים של הגדרת העתקה לינארית‪ .‬יהיו ‪ . v1 , v2 , v ∈ V , c ∈ F‬אזי‪:‬‬
‫) ‪( g f )( v1 + v2 ) = g ( f ( v1 + v2 ) ) = g ( f ( v1 ) + f ( v2 ) ) = g ( f ( v1 ) ) + g ( f ( v2 ) ) = ( g f )( v1 ) + ( g f )( v2‬‬
‫) ) ‪( g f )( cv ) = g ( f ( cv ) ) = g ( cf ( v ) ) = cg ( f ( v ) ) = c ( ( g f )( v‬‬
‫הראינו שמתקיימות שתי התכונות של העתקות לינאריות‪ .‬לכן ‪ g f‬לינארית‪ .‬מש"ל ☺‬
‫טענה ‪ :28‬אם ‪ f : V → W‬העתקה לינארית חח"ע ועל אזי גם ‪ f −1 : W → V‬לינארית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ . w1 , w2 , w ∈ W , c ∈ F‬נראה שמתקיימים שני התנאים של ההגדרה של העתקה לינארית‪.‬‬
‫נסמן ‪ v1 = f −1 ( w1 ) , v2 = f −1 ( w2 ) ∈ V‬כלומר ‪ . f ( v1 ) = w1 , f ( v2 ) = w2 ∈ W‬כעת‬
‫‪ . f ( v1 + v2 ) = f ( v1 ) + f ( v2 ) = w1 + w2‬נפעיל את ‪ f −1‬משני האגפים ונקבל‬
‫) ‪f −1 ( w1 ) + f −1 ( w2 ) = v1 + v2 = IdV ( v1 + v2 ) = ( f −1 f ) ( v1 + v2 ) = f −1 ( f ( v1 + v2 ) ) = f −1 ( w1 + w2‬‬
‫באופן דומה נסמן ) ‪ v = f −1 ( w‬כלומר ) ‪ . w = f ( v‬אזי ‪ . f ( cv ) = cf ( v ) = cw‬נפעיל את ‪ f −1‬משני האגפים ונקבל‬
‫) ‪ . cf −1 ( w ) = cv = IdV ( cv ) = ( f −1 f ) ( cv ) = f −1 ( cw‬מש"ל ☺‬
‫טענה ‪ :29‬תהי ‪ f : V → W‬העתקה לינארית‪ .‬אזי ‪. f ( 0V ) = 0W‬‬
‫הוכחה‪ . f ( 0v ) = f ( 0V + 0V ) = f ( 0V ) + f ( 0V ) :‬נחבר לשני האגפים ) ‪ − f ( 0V‬ונקבל ‪ . f ( 0V ) = 0W‬מש"ל ☺‬
‫תהי ‪ f : V → W‬העתקה לינארית‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫הגרעין של ההעתקה‪Ker f = {v ∈ V : f ( v ) = 0} :‬‬
‫התמונה של ההעתקה‪Im f = {w ∈ W : ∃v ∈ V f ( v ) = w} :‬‬
‫טענה ‪ :30‬יהיו ‪ V , W‬מרחבים וקטוריים מעל ‪ F‬ותהי העתקה לינארית ‪ . f : V → W‬אזי‬
‫א‪ .‬הגרעין של ההעתקה הוא תת מרחב של ‪V‬‬
‫ב‪ .‬התמונה של ההעתקה היא תת מרחב של ‪W‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫א‪ .‬לפי טענה )‪ . 0V ∈ Ker f (29‬נראה סגירות לחיבור ולכפל בסקלר‪ :‬יהיו ‪ . v1 , v2 , v ∈ Ker f , c ∈ F‬אזי‬
‫‪ f ( v1 + v2 ) = f ( v1 ) + f ( v2 ) = 0W + 0W = 0W‬וכן ‪ . f ( cv ) = cf ( v ) = c ⋅ 0W = 0W‬קיבלנו ש‪-‬‬
‫‪ . v1 + v2 , cv ∈ Ker f‬לפי משפט קודם ‪ Ker f‬תת מרחב וקטורי‪.‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫ב‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫לפי טענה )‪ . 0W ∈ Im f (29‬נראה סגירות לחיבור ולכפל בסקלר‪ :‬יהיו ‪ . w1 , w2 , w ∈ Im f , c ∈ F‬אזי קיימים‬
‫‪ v1 , v2 , v ∈ V‬כך ש‪ . f ( v1 ) = w1 , f ( v2 ) = w2 , f ( v ) = w -‬אזי ‪ f ( v1 + v2 ) = w1 + w2‬וכן ‪f ( cv ) = cw‬‬
‫כלומר ‪ . w1 + w2 , cw ∈ Im f‬לפי משפט קודם ‪ Im f‬הוא תת מרחב וקטורי‪ .‬מש"ל ☺‬
‫טענה ‪ f : V → W :31‬חח"ע אמ"מ } ‪Ker f = {0V‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫) ⇐ ( לפי טענה )‪ . f ( 0V ) = 0W (29‬משום ש‪ f -‬חח"ע לא קיים אף איבר אחר ‪ v ≠ 0V‬שעבורו ‪ f ( v ) = 0‬ולכן‬
‫} ‪. Ker f = {0V‬‬
‫) ⇒ ( יהיו ‪ v1 , v2‬כך ש‪ . f ( v1 ) = f ( v2 ) -‬אזי ) ‪ . 0W = f ( v1 ) − f ( v2 ) = f ( v1 − v2‬כלומר ‪ v1 − v2 ∈ Ker f‬אבל‬
‫} ‪ , Ker f = {0V‬כלומר ‪ v1 − v2 = 0V‬ולכן ‪ . v1 = v2‬כלומר ‪ f‬חח"ע‪ .‬מש"ל ☺‬
‫נשים לב שהעתקה חח"ע מעבירה וקטורים בלתי תלויים לינארית לווקטורים בלתי תלויים לינארית‪ .‬כלומר אם ‪v1 ,..., vk‬‬
‫בת"ל ו‪ f : V → W -‬חח"ע אז ) ‪ f ( v1 ) ,..., f ( vk‬בת"ל‪ .‬מדוע? אם ‪ v1 ,..., vk‬בת"ל אז אם ‪= 0V‬‬
‫‪k‬‬
‫‪∑a v‬‬
‫‪i i‬‬
‫אז‬
‫‪i =1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . ai = 0 F‬נניח ש‪ . ∑ ci f ( vi ) = 0W -‬אבל בגלל הלינאריות של ‪ . ∑ ci f ( vi ) = f  ∑ ci vi  f‬כלומר‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪k‬‬
‫} ‪ . ∑ ci vi ∈ Ker f = {0V‬לכן ‪ . ci = 0 F‬ולכן ) ‪ f ( v1 ) ,..., f ( vk‬בת"ל‪.‬‬
‫‪i =1‬‬
‫טענה ‪ :32‬יהיו ‪ . f : V → W , g : W → U‬אזי ) ‪Ker f ⊆ Ker ( gf‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ . v ∈ Ker f‬אזי ‪ . ( gf )( v ) = g ( f ( v ) ) = g ( 0 ) = 0‬כלומר ) ‪ . v ∈ Ker ( gf‬מכאן הטענה‬
‫) ‪ . Ker f ⊆ Ker ( gf‬מש"ל ☺‬
‫משפט ‪) 32‬משפט המימדים(‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית ותהי ‪ f : V → W‬העתקה לינארית‪ .‬אזי‬
‫‪dim F Ker f + dim F Im f = dim F V‬‬
‫הערה‪ :‬במשפט מובלעות בעצם עוד שתי טענות‪ :‬שקיים בסיס לגרעין )אבל זה ברור כי הוא תת מרחב של מרחב וקטורי נוצר‬
‫סופית ולכן לפי משפט קודם קיים לו בסיס( וקיים בסיס לתמונה )התמונה היא בכלל תת מרחב של ‪ W‬ואנחנו לא יודעים עליו‬
‫דבר(‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫למה‪ :‬אם ) ‪ V = Sp ( z1 ,..., zm‬אזי ) ) ‪. Im f = Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zm‬‬
‫הערה‪ :‬הלמה מסבירה מדוע קיים בסיס לתמונה של ‪ f‬ולכן השוויון שלעיל מוגדר היטב‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח הכלה בשני הכיוונים‪:‬‬
‫) ⊇ ( ‪ f ( z1 ) ∈ Im f‬שהרי ‪ z1 ∈ V‬הוא מקור שלו‪ .‬באותו אופן ‪ f ( zi ) ∈ Im f‬לכל ‪ . 2 ≤ i ≤ m‬והוכחנו‬
‫ש‪ Im f ⊆ W -‬הוא תת מרחב‪ .‬לכן הוא סגור לחיבור ולכפל בסקלר‪ .‬לכן ) ) ‪. Im f ⊇ Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zm‬‬
‫) ⊆ ( יהי ‪ . w ∈ Im f‬אזי קיים ‪ v ∈ V‬כך ש‪ . f ( v ) = w -‬אבל ) ‪ V = Sp ( z1 ,..., zm‬ולכן ניתן לרשום‬
‫‪m‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪ v = ∑ ai zi‬כאשר ‪ . ai ∈ F‬אז ) ) ‪ . f ( v ) = f  ∑ ai zi  = ∑ ai f ( zi ) ∈ Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zm‬כלומר‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫) ) ‪. Im f ⊆ Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zm‬‬
‫הראנו הכלה בשני היכוונים ומכאן ש‪☺ . Im f = Sp ( f ( z1 ) ,..., f ( zm ) ) -‬‬
‫נעשה ציור סכמטי של המצב‪:‬‬
‫‪f‬‬
‫‪W‬‬
‫‪V‬‬
‫‪0W‬‬
‫‪Im f‬‬
‫‪Ker f‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪26‬‬
‫נבחר בסיס ‪ u1 ,..., uk‬ל‪) Ker f -‬זה אפשרי משום ש‪ V -‬נוצר סופית והגרעין הוא תת מרחב שלו(‪.‬‬
‫נבחר בסיס ‪ w1 ,..., wl‬ל‪) Im f -‬זה אפשרי לפי הלמה(‪ .‬כלומר קיימים ‪ v1 ,..., vl ∈ V‬כך ש‪ f ( vi ) = wi -‬לכל ‪. 1 ≤ i ≤ l‬‬
‫אם נראה ש‪ u1 ,..., uk , v1 ,..., vl -‬הם בסיס של ‪ V‬נקבל את השוויון הדרוש כי אז‬
‫‪ . dim F Ker f + dim F Im f = k + l = dim F V‬נראה אם כן ש‪ u1 ,..., uk , v1 ,..., vl -‬פורשים את ‪ V‬ובת"ל‪.‬‬
‫פורשים‪ u1 ,..., uk , v1 ,..., vl ∈ V :‬ולכן ‪ . Sp ( u1 ,..., uk , v1 ,..., vl ) ⊆ V‬נראה הכלה בכיוון השני‪ :‬יהי ‪ . v ∈ V‬נראה ש‪-‬‬
‫) ‪ . v ∈ Sp ( u1 ,..., uk , v1 ,..., vl‬נסתכל על ‪ . f ( v ) ∈ Im f‬נפתח את ) ‪ f ( v‬לפי הבסיס ‪: w1 ,..., wl‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ l‬‬
‫‪‬‬
‫‪ l‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . f ( v ) = ∑ ai wi = ∑ ai f ( vi ) = f  ∑ ai vi ‬לכן ‪ f ( v ) − f  ∑ ai vi  = 0‬כלומר ‪ . v − ∑ ai vi ∈ Ker f‬נפתח‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪k‬‬
‫‪l‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫וקטור זה לפי הבסיס ‪ . v − ∑ ai vi = ∑ bi ui ∈ Ker f : u1 ,..., uk‬נעביר אגפים ונקבל‬
‫‪l‬‬
‫‪k‬‬
‫) ‪ Sp ( u1 ,..., uk , v1 ,..., vl ) ⊇ V . v = ∑ ai vi + ∑ bi ui ∈ Sp ( v1 ,..., vl , u1 ,..., uk‬לכן ‪Sp ( u1 ,..., uk , v1 ,..., vl ) = V‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪k‬‬
‫אי תלות‪ :‬נניח ש‪ . ∑ ai vi + ∑ bi ui = 0V -‬אזי‪:‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0W = f ( 0V ) = f  ∑ ai vi + ∑ bi ui  = ∑ ai f ( vi ) + ∑ bi f ( ui ) = ∑ ai wi + ∑ bi ⋅ 0W = ∑ ai wi + 0W = ∑ ai wi‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪k‬‬
‫‪l‬‬
‫‪k‬‬
‫‪l‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪l‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫אבל ‪ w1 ,..., wl‬בסיס ובפרט בת"ל‪ ,‬לכן ‪ . ai = 0‬כלומר ‪ . 0V = ∑ ai vi + ∑ bi ui = 0W + ∑ bi ui = ∑ bi ui‬אבל‬
‫‪ u1 ,..., uk‬בסיס ובפרט בת"ל ולכן ‪ . bi = 0‬קיבלנו שכל המקדמים הם ‪ . 0‬לכן ‪ u1 ,..., uk , v1 ,..., vl‬בת"ל‪.‬‬
‫קיבלנו ש‪ u1 ,..., uk , v1 ,..., vl -‬פורשים ובת"ל ולכן הם בסיס ל‪ V -‬וכפי שראינו כבר מכאן נובע המשפט‪ .‬מש"ל ☺‬
‫משפט המימדים הוא יעיל מאוד ומשתמשים בו רבות‪ .‬למשל‪ ,‬הוכחנו שהעתקה היא חח"ע ועל אמ"מ‬
‫‪ . Ker f = {0V } , Im f = W‬אז נקבל ‪. dim F V = dim F Ker f + dim F Im f = 0 + dim F W = dim F W‬‬
‫יהיו ‪ V , W‬מרחבים וקטוריים מעל ‪ . F‬נסמן }‪ . Hom F (V ,W ) = { f : V → W | f is linear‬נגדיר על קבוצה זו‬
‫)קבוצת כל ההעתקות הלינאריות מ‪ V -‬ל‪ ( W -‬מבנה של מרחב וקטורי מעל ‪. F‬‬
‫‪f‬‬
‫‪+‬‬
‫‪g‬‬
‫‪v‬‬
‫(‬
‫חיבור‪ :‬אם ) ‪ f , g ∈ Hom F (V ,W‬אז נגדיר לכל ‪)( ) = f ( v ) + g ( v ) v ∈ V‬‬
‫כפל בסקלר‪ :‬אם ‪ f ∈ Hom F (V , W ) , c ∈ F‬נגדיר לכל ‪. ( cf )( v ) = cf ( v ) v ∈ V‬‬
‫טענה ‪ Hom F (V ,W ) :33‬עם הפעולות שהגדרנו למעלה הוא מרחב וקטורי מעל ‪. F‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה שמתקיימות כל אקסיומות המרחב הווקטורי‪:‬‬
‫אקסיומות החיבור‪:‬‬
‫‪ .1‬סגירות‪ :‬יהיו ) ‪ . f , g ∈ Hom F (V ,W‬נראה ש‪: f + g ∈ Hom F (V , W ) -‬‬
‫‪.i‬‬
‫יהיו ‪ . v1 , v2 ∈ V‬אזי‪:‬‬
‫= ) ‪+ g )( v1 + v2 ) = f ( v1 + v2 ) + g ( v1 + v2 ) = f ( v1 ) + f ( v2 ) + g ( v1 ) + g ( v2‬‬
‫‪(f‬‬
‫) ‪= f ( v1 ) + g ( v1 ) + f ( v2 ) + g ( v2 ) = ( f + g )( v1 ) + ( f + g )( v2‬‬
‫‪.ii‬‬
‫יהיו ‪ . v ∈ V , c ∈ F‬אזי‪:‬‬
‫) ) ‪+ g )( cv ) = f ( cv ) + g ( cv ) = cf ( v ) + cg ( v ) = c ( f ( v ) + g ( v ) ) = c ( ( f + g )( v‬‬
‫‪(f‬‬
‫הראנו שמתקיימות התכונות של העתקה לינארית‪ .‬לכן ) ‪. f + g ∈ Hom F (V , W‬‬
‫‪.2‬‬
‫קומוטטיביות‪ :‬לכל ‪ v ∈ V‬מתקיים ) ‪ . ( f + g )( v ) = f ( v ) + g ( v ) = g ( v ) + f ( v ) = ( g + f )( v‬לכן‬
‫‪.3‬‬
‫‪. f +g = g+ f‬‬
‫אסוציאטיביות‪ :‬לכל ‪ v ∈ V‬מתקיים‬
‫= ) ) ‪( f + ( g + h ) ) ( v ) = f ( v ) + ( g + h )( v ) = f ( v ) + ( g ( v ) + h ( v‬‬
‫) ‪= ( f ( v ) + g ( v ) ) + h ( v ) = ( f + g )( v ) + h ( v ) = ( ( f + g ) + h ) ( v‬‬
‫לכן ‪. f + ( g + h ) = ( f + g ) + h‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪.4‬‬
‫‪27‬‬
‫קיום אפס‪ :‬נגדיר העתקה ‪ 0V ,W : V → W‬באופן הבא‪ . 0V ,W ( v ) = 0W :‬ראשית נטען ש‪-‬‬
‫) ‪ . 0V ,W ∈ Hom F (V ,W‬יהיו ‪ . v1 , v2 , v ∈ V , c ∈ F‬אזי‬
‫) ‪0V ,W ( v1 + v2 ) = 0W = 0W + 0W = 0V ,W ( v1 ) + 0V ,W ( v2‬‬
‫) ‪0V ,W ( cv ) = 0W = c ⋅ 0W = c ⋅ 0V ,W ( v‬‬
‫כעת נראה שהעתקה זו היא אכן איבר ניטרלי לחיבור ב‪ . Hom F (V ,W ) -‬תהי ) ‪ . f ∈ Hom F (V , W‬אזי‬
‫) ‪ . ( f + 0V ,W ) ( v ) = f ( v ) + 0V ,W ( v ) = f ( v ) + 0W = f ( v‬לכן ‪ , f + 0V ,W = f‬כלומר‪ ,‬העתקה זו‬
‫‪.5‬‬
‫ניטרלית לחיבור‪.‬‬
‫קיום איבר נגדי‪ :‬לכל‬
‫) ‪ f ∈ Hom F (V , W‬נגדיר ‪ − f : V → W‬באופן הבא‪ . ( − f )( v ) = − f ( v ) :‬ראשית‬
‫נראה ש‪ . − f ∈ Hom F (V , W ) -‬יהיו ‪ . v1 , v2 , v ∈ V , c ∈ F‬אזי‬
‫) ‪( − f )( v1 + v2 ) = − f ( v1 + v2 ) = − ( f ( v1 ) + f ( v2 ) ) = − f ( v1 ) + ( − f ( v2 ) ) = ( − f )( v1 ) + ( − f )( v2‬‬
‫) ) ‪( − f )( cv ) = − f ( cv ) = − ( cf ( v ) ) = c ( − f ( v ) ) = c ( ( − f )( v‬‬
‫לכן ) ‪ . − f ∈ Hom F (V , W‬נראה כעת שהיא נגדית ל‪ . f -‬לכל ‪ v ∈ V‬מתקיים‬
‫‪ , ( f + ( − f ) ) ( v ) = f ( v ) + ( − f )( v ) = f ( v ) + ( − ( f ( v ) ) ) = 0W‬כנדרש!‬
‫אקסיומות כפל בסקלר‪:‬‬
‫‪ .1‬סגירות‪ :‬יהיו ) ‪ f ∈ Hom F (V , W‬ו‪ . c ∈ F -‬נראה ש‪: cf ∈ Hom F (V ,W ) -‬‬
‫‪.i‬‬
‫יהיו ‪ . v1 , v2 ∈ V‬אזי‪:‬‬
‫) ‪( cf )( v1 + v2 ) = cf ( v1 + v2 ) = c ( f ( v1 ) + f ( v2 ) ) = cf ( v1 ) + cf ( v2 ) = ( cf )( v1 ) + ( cf )( v2‬‬
‫‪.ii‬‬
‫יהיו ‪ . v ∈ V , a ∈ F‬אזי‪:‬‬
‫) ) ‪( cf )( av ) = cf ( av ) = c ( af ( v ) ) = ( ca ) f ( v ) = ( ac ) f ( v ) = a ( cf ( v ) ) = a ( ( cf )( v‬‬
‫הראנו שמתקיימות התכונות של העתקה לינארית‪ .‬לכן ) ‪. cf ∈ Hom F (V ,W‬‬
‫‪ .2‬לכל ) ‪ f ∈ Hom F (V , W‬מתקיים ) ‪ (1F f )( v ) = 1F f ( v ) = f ( v‬ולכן ‪. 1F f = f‬‬
‫‪ .3‬לכל ) ‪ f , g ∈ Hom F (V ,W‬ו‪ a, b ∈ F -‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪ ( ( a + b ) f ) ( v ) = ( a + b ) f ( v ) = af ( v ) + bf ( v ) = ( af )( v ) + ( bf )( v‬כלומר ‪( a + b ) f = af + bf‬‬
‫) ‪ ( a ( f + g ) ) ( v ) = a ( ( f + g )( v ) ) + a ( f ( v ) + g ( v ) ) = af ( v ) + ag ( v ) = ( af )( v ) + ( ag )( v‬כלומר‬
‫‪. a ( f + g ) = af + ag‬‬
‫הוכחנו שמתקיימות כל אקסיומות המרחב הווקטורי‪ .‬לכן ) ‪ Hom F (V ,W‬מרחב וקטורי ביחס לפעולות שהגדרנו‪ .‬מש"ל ☺‬
‫משפט ‪ :34‬יהי ‪ V , W‬מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה‪ .‬יהיו ‪ v1 ,..., vn ∈ V‬בסיס‪ .‬אזי לכל ‪ w1 ,..., wn ∈ W‬קיימת‬
‫העתקה לינארית יחידה ‪ f : V → W‬כך ש‪ f ( vi ) = wi -‬לכל ‪. 1 ≤ i ≤ n‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‪ :‬לכל ‪ v ∈ V‬קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס ‪ . v = ∑ ai vi‬נגדיר ‪ f : V → W‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ . f ( v ) = ∑ ai wi‬נראה שהעתקה זו מקיימת את התנאים הדרושים‪:‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ f : V → W‬לינארית‪:‬‬
‫‪.i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫יהיו ‪ . v ' = ∑ ci ' vi , v '' = ∑ ci '' vi ∈ V‬אזי‬
‫‪n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪f ( v '+ v '') = f  ∑ ci ' vi + ∑ ci '' vi  = f  ∑ ( ci '+ ci '') vi ‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫) '' ‪= ∑ ( ci '+ ci '') wi = ∑ ci ' wi + ∑ ci '' wi = f ( v ') + f ( v‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.ii‬‬
‫יהיו ‪ v = ∑ ci vi ∈ V‬ו‪ . a ∈ F -‬אזי‬
‫‪i =1‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪.2‬‬
‫‪28‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n‬‬
‫) ‪f ( av ) = f  a ∑ ci vi  = f  ∑ aci vi  = ∑ aci wi = a ∑ ci wi = af ( w‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫לכל ‪ : f ( vi ) = wi 1 ≤ i ≤ n‬ברור ש‪ . vi = ∑ 0 ⋅ v j + 1 ⋅ vi -‬לכן‬
‫‪j ≠i‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  ∑ 0 ⋅ v j + 1⋅ vi  = ∑ 0 ⋅ w j + 1 ⋅ wi = wi‬‬
‫‪ j ≠i‬‬
‫‪ j ≠i‬‬
‫‪ f : V → W‬עם תכונות אלה היא יחידה‪ :‬תהי ‪ g : V → W‬העתקה לינארית שמקיימת ‪ . g ( vi ) = wi‬נראה‬
‫‪n‬‬
‫שלכל ‪ v ∈ V‬מתקיים ) ‪ g ( v ) = f ( v‬ומכאן ינבע כי ‪ . f = g‬נניח כי ‪ . v = ∑ ai vi‬מהלינארית של ‪ g‬נקבל‬
‫‪i =1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n‬‬
‫ש‪. g ( v ) = g  ∑ ai vi  = ∑ ai g ( vi ) = ∑ ai wi = f ( v ) -‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫הראנו את הדרוש‪ .‬מש"ל ☺‬
‫‪.4.3‬‬
‫העתקות לינאריות ומטריצות‬
‫מטריצה היא טבלה של איברים בשדה מסוים‪ .‬אם מספר השורות במטריצה הוא ‪ m‬ומספר העמודות הוא ‪ n‬אומרים‬
‫שהמטריצה היא מסדר ‪ . m × n‬מסמנים‪:‬‬
‫‪ a1,1 … a1, n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A = ( ai , j ) =  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m,1 am, n ‬‬
‫נסמן את האיבר של ‪ A‬שעומד בשורה ‪ i‬ובטור ‪ j‬ע"י ‪. [ A]i , j‬‬
‫יהיו ‪ V , W‬מרחבים וקטוריים מעל שדה ‪ F‬ויהיו ‪ A = {v1 ,..., vn } ⊆ V‬ו‪ B = {w1 ,..., wm } ⊆ W -‬בסיסים שלהם‪.‬‬
‫כלומר ‪ . dim F V = n, dim F W = m‬תהי ‪ f : V → W‬העתקה לינארית‪ .‬נבדוק איך היא פועלת על איברי הבסיס של‬
‫‪m‬‬
‫‪ : V‬נניח שלכל ‪ 1 ≤ j ≤ n‬מתקיים ‪ f ( v j ) = ∑ ai , j wi‬כאשר ‪. ai , j ∈ F‬‬
‫‪i =1‬‬
‫נוכל להתאים להעתקה הזו מטריצה שנסמנה ב‪) Af -‬או ב‪ ( [ f ]B -‬מסדר ‪ m × n‬כך‪ . Af = ( ai , j ) :‬כלומר בטור ה‪- j -‬י של‬
‫‪A‬‬
‫המטריצה נרשום את המקדמים בפיתוח של ) ‪ f ( v j‬לפי הבסיס שבחרנו ל‪ . W -‬ברור שאם היינו בוחרים בסיס אחר‬
‫המטריצה הייתה אחרת‪ ,‬כלומר האיברים היו שונים‪ ,‬אבל הסדר של המטריצה היה נשאר אותו הסדר‪ .‬נשים לב שיש משמעות‬
‫לסדר הווקטורים בבסיס‪ .‬כלומר כשאנחנו בוחרים כאן בסיס אנחנו בוחרים בסיס סדור!!! כמובן הדברים לא שונים בצורה‬
‫מהותית לכל סדר שנבחר‪ ,‬אך יש להיות עקביים בחישובים שלנו‪ .‬מטריצה כזאת כמובן מוגדרת באופן יחיד בהינתן שני‬
‫בסיסים‪ ,‬שהרי כידוע שההצגה של וקטור כצירוף לינארי של בסיס היא יחידה!‬
‫דוגמה‪ :‬נסתכל על ‪ f : 3 → 2‬שמוגדרת כך‪. f ( x, y, z ) = ( 3x − 2 y + 5 z , − x + 2 y − 10 z ) :‬‬
‫קל להיווכח שזו אכן העתקה לינארית‪.‬‬
‫כעת נסתכל על הבסיסים הסטנדרטיים של ‪: ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫) )‪ . E2 = ( (1, 0 ) , ( 0,1) ) , E3 = ( (1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1‬נבדוק‬
‫איך ההעתקה פועלת על הבסיס ‪: E3‬‬
‫)‪f (1, 0, 0 ) = ( 3, −1) = 3 (1, 0 ) + ( −1)( 0,1‬‬
‫)‪f ( 0,1, 0 ) = ( −2, 2 ) = −2 (1, 0 ) + 2 ( 0,1‬‬
‫)‪f ( 0, 0,1) = ( 5, −10 ) = 5 (1, 0 ) + ( −10 )( 0,1‬‬
‫לכן לפי מה שהגדרנו למעלה המטריצה המתאימה ל‪ f -‬היא מסדר ‪ 2 × 3 = dim 2 × dim 3‬והיא‬
‫‪ 3 −2 5 ‬‬
‫‪Af = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −1 2 −10 ‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪29‬‬
‫משפט ‪ :35‬יהי ‪ v1 ,..., vn ∈ V‬בסיס של ‪ V‬ויהי ‪ w1 ,..., wm ∈ W‬בסיס של ‪ . W‬אזי לכל מטריצה ‪ A‬מסדר ‪m × n‬‬
‫קיימת העתקה לינארית ‪ f : V → W‬יחידה כך ש‪. Af = A -‬‬
‫‪m‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתונה ) ‪ A = ( ai , j‬מסדר ‪ . m × n‬נגדיר ‪ u j = ∑ ai , j wi ∈ W‬לכל ‪ . 1 ≤ j ≤ n‬לפי משפט )‪ (9‬קיימת העתקה‬
‫‪i =1‬‬
‫‪m‬‬
‫לינארית ‪ f : V → W‬יחידה כך ש‪ f ( v j ) = u j -‬לכל ‪ . 1 ≤ j ≤ n‬כלומר ‪ . f ( v j ) = ∑ ai , j wi‬אבל לפי ההגדרה‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ . Af = ( ai , j ) = A‬מש"ל ☺‬
‫נסמן את קבוצת כל המטריצות מסדר ‪ m × n‬שהאיברים שלהן ב‪ F -‬ע"י ) ‪ . M m, n ( F‬נגדיר חיבור של מטריצות‪ :‬יהיו‬
‫) ‪ . A, B ∈ M n , m ( F‬אם ) ‪ A = ( ai , j ) , B = ( bi , j‬נגדיר ) ‪) A + B = ( ai , j + bi , j‬כלומר מחברים את כל איברי המטריצה‬
‫איבר‪-‬איבר(‪.‬‬
‫נגדיר גם כפל של מטריצה בסקלר‪ .‬אם ) ‪ A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( F‬ו‪ c ∈ F -‬נגדיר ) ‪) cA = ( cai , j‬כלומר כופלים כל איבר‬
‫במטריצה בסקלר(‪.‬‬
‫טענה ‪ :36‬בהינתן ‪ f , g ∈ Hom F (V , W ) , c ∈ F‬מתקיים ‪. Af + g = Af + Ag , Acf = cAf‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ f , g , c‬כנ"ל‪ .‬יהי ‪ v1 ,..., vn ∈ V‬בסיס של ‪ V‬ויהי ‪ w1 ,..., wm ∈ W‬בסיס של ‪ . W‬אם‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ f ( v j ) = ∑ ai , j wi , g ( v j ) = ∑ bi , j wi‬אז לפי הגדרה ) ‪ . Af = ( ai , j ) , Ag = ( bi , j‬לכל ‪ v j‬מתקיים‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫) ‪ . ( f + g ) ( v j ) = f ( v j ) + g ( v j‬לכן ‪ ( f + g ) ( v j ) = ∑ ai , j wi + ∑ bi , j wi = ∑ ( ai , j + bi , j ) wi‬ואז לפי ההגדרה‬
‫‪. Af + g = ( ai , j + bi , j ) = Af + Ag‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫כעת אם ‪ ( cf ) ( v j ) = cf ( v j ) = c ∑ ai , j wi = ∑ cai , j wi‬ולכן לפי ההגדרה ‪ . Acf = ( cai , j ) = c ( ai , j ) = cAf‬מש"ל ☺‬
‫טענה ‪ :37‬יהיו ‪ V , W‬מרחבים וקטוריים מעל ‪ F‬ממימד ‪ n, m‬בהתאמה‪ .‬נגדיר ) ‪ ϕ : Hom F (V ,W ) → M m, n ( F‬באופן‬
‫הבא‪ . ϕ ( f ) = Af :‬אזי ‪ ϕ‬איזומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יש להראות שמתקיימות כל ההגדרות של איזומורפיזם‪ .‬ההנחה היא כמובן שנתונים בסיסים לשני המרחבים‪.‬‬
‫‪ ϕ : Hom F (V ,W ) → M m, n ( F ) .1‬לינארית‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.i‬‬
‫יהיו ) ‪ . f , g ∈ Hom F (V ,W‬אזי לפי טענה )‪ϕ ( f + g ) = Af + g = Af + Ag = ϕ ( f ) + ϕ ( g ) (36‬‬
‫‪.ii‬‬
‫תהי ) ‪ f ∈ Hom F (V , W‬ויהי ‪ . c ∈ F‬אזי לפי טענה )‪ϕ ( cf ) = Acf = cAf = cϕ ( f ) (36‬‬
‫) ‪ ϕ : Hom F (V ,W ) → M m, n ( F‬חח"ע‪ :‬יהיו ) ‪ f , g ∈ Hom F (V ,W‬כך ש‪ , ϕ ( f ) = ϕ ( g ) -‬כלומר‬
‫‪ . Af = Ag‬נראה שלכל ‪ f ( v j ) = g ( v j ) v j‬ומכאן ינבע כי ‪ f = g‬שהרי אם העתקות פועלות באותו אופן על‬
‫בסיס הן פועלות באותו אופן לכל וקטור‪ .‬ובכן‪ ,‬לפי ההגדרה‪wi = g ( v j ) :‬‬
‫‪m‬‬
‫‪∑b‬‬
‫‪i, j‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪A f = Ag‬‬
‫‪m‬‬
‫= ‪. f ( v j ) = ∑ ai , j wi‬‬
‫‪i =1‬‬
‫כלומר ‪ f = g‬ולכן ‪ ϕ‬חח"ע‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫) ‪ ϕ : Hom F (V ,W ) → M m, n ( F‬על‪ :‬לפי משפט )‪ (35‬לכל ) ‪ A ∈ M m, n ( F‬קיימת ) ‪ f ∈ Hom F (V , W‬כך‬
‫ש‪ A = Af -‬כלומר ‪. ϕ ( f ) = Af = A‬‬
‫הראנו ש‪ ϕ -‬לינארית‪ ,‬חח"ע ועל‪ ,‬ולכן היא איזומורפיזם‪ .‬מש"ל ☺‬
‫מסקנה ‪ M m, n ( F ) :38‬מרחב וקטורי מעל ‪. F‬‬
‫הוכחה‪ :‬הראנו איזומורפיזם בין הקבוצה ) ‪ M m, n ( F‬לבין המרחב הוקטורי ) ‪ Hom F (V ,W‬ולכן גם הקבוצה ) ‪M m, n ( F‬‬
‫היא מרחב וקטורי‪ .‬מש"ל ☺‬
‫הערה‪ :‬ניתן כמובן גם להוכיח את המסקנה ע"י בדיקה ישירה של קיום אקסיומות המרחב הווקטורי‪ ,‬אבל אין שום סיבה לעשות‬
‫את זה‪ .‬כבר כשדיברנו על שדות ציינו שאיזומורפיזמים הם העתקות יעילות ביותר!‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪30‬‬
‫משפט ‪dim F M m , n ( F ) = m ⋅ n :39‬‬
‫הוכחה‪ :‬לכל ‪ 1 ≤ j ≤ n,1 ≤ i ≤ m‬נגדיר ) ‪ Eij = ( ek ,l ) ∈ M m, n ( F‬כאשר ‪ ek ,l = 0‬לכל ‪ k ≠ i, l ≠ j‬ו‪. ei , j = 1 -‬‬
‫כלומר כל איברי המטריצה עם אפסים מלבד השורה ה‪ i -‬בטור ה‪ j -‬ושם יש ‪ . 1‬ברור שיש ‪ m ⋅ n‬מטריצות כאלה‪ .‬נטען ש‪-‬‬
‫‪ { Ei , j }1≤ i ≤ m‬בסיס של ) ‪. M m, n ( F‬‬
‫‪1≤ j ≤ n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫נראה שהקבוצה ‪ { Ei , j }1≤i ≤ m‬פורשת‪ :‬תהי ) ‪ . A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( F‬ברור ש‪Ei , j = ∑∑ ai , j Ei , j -‬‬
‫‪1≤ j ≤ n‬‬
‫‪∑a‬‬
‫‪i, j‬‬
‫‪i =1 j =1‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נראה שהקבוצה ‪ { Ei , j }1≤ i ≤ m‬בת"ל‪ :‬נניח ש‪=   -‬‬
‫‪1≤ j ≤ n‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ai , j = 0 1 ≤ j ≤ n,1 ≤ i ≤ m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫=‪.A‬‬
‫‪1≤ i ≤ m‬‬
‫‪1≤ j ≤ n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ . ∑∑ ai , j Ei , j‬אבל ) ‪ . ∑∑ ai , j Ei , j = ( ai , j‬לכן לכל‬
‫‪i =1 j =1‬‬
‫‪i =1 j =1‬‬
‫מצאנו בסיס של ) ‪ M m, n ( F‬ובו ‪ m ⋅ n‬איברים‪ .‬מכאן ‪ . dim F M m , n ( F ) = m ⋅ n‬מש"ל ☺‬
‫משפט ‪ :40‬יהי ‪ U‬מרחב וקטורי ממימד ‪ . n‬אזי אם ' ‪ f : U → U‬איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים אז‬
‫' ‪. dim F U = dim F U‬‬
‫הוכחה‪ f :‬לינארית וחח"ע ולכן לפי טענה )‪ Ker f = {0V } (31‬כלומר ‪ f . dim F Ker f = 0‬על ולכן ' ‪. Im f = U‬‬
‫לפי משפט המימדים ‪ . dim F V = dim F Ker f + dim F Im f‬כלומר ' ‪ . n = 0 + dim F Im f = dim F U‬מש"ל ☺‬
‫מסקנה ‪dim F Hom F (V , W ) = dim F V ⋅ dim F W :41‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ . dim F V = n, dim F W = m‬לפי טענה )‪ M m, n ( F ) (37‬איזומורפי ל‪ . Hom F (V ,W ) -‬לכן לפי משפט‬
‫)‪ . dim F Hom F (V , W ) = dim F M m, n ( F ) (40‬לפי משפט )‪ dim F M m , n ( F ) = m ⋅ n (39‬ומכאן המסקנה‪ .‬מש"ל ☺‬
‫ראינו שלסכום של העתקות מתאים סכום של מטריצות ולכפל של העתקה בסקלר מתאים כפל של מטריצה בסקלר‪ .‬נשאלת‬
‫אפוא השאלה מהי המטריצה של הרכבה של העתקות?‬
‫יהיו ‪ V ,W ,U‬מרחבים וקטוריים מעל ‪ . F‬יהיו ‪ v1 ,..., vn ∈ V , w1 ,..., wm ∈ W , u1 ,..., ul ∈ U‬בסיסים שלהם‪ .‬יהיו‬
‫‪ f : V → W , g : W → U‬העתקות לינאריות‪ .‬אזי ‪ ( g f ) : V → U‬לינארית גם היא‪ .‬נניח ש‪-‬‬
‫) ‪ Af = ( ai , j ) ∈ M m, n ( F ) , Ag = ( bk ,i ) ∈ M l , m ( F ) , Ag f = ( ck , j ) ∈ M l , n ( F‬המטריצות המתאימות להעתקות‪ .‬מה‬
‫הקשר בין ‪ Ag f‬לבין ‪ ? Ag , Af‬נבדוק איך ‪ g f‬פועלת על איברי הבסיס ‪ . v1 ,..., vn‬ראשית‪ ,‬לפי הגדרת המטריצות לכל‬
‫‪l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ 1 ≤ j ≤ n‬מתקיים ‪ f ( v j ) = ∑ ai , j wi‬ולכל ‪ 1 ≤ i ≤ m‬מתקיים ‪. g ( wi ) = ∑ bk ,i uk‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪ m‬‬
‫= ‪= g  ∑ ai , j wi  = ∑ ai , j g ( wi ) = ∑ ai , j ∑ bk ,i uk‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫‪ i =1‬‬
‫)) ‪( g f ) ( v j ) = g ( f (v j‬‬
‫‪m‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪‬‬
‫‪= ∑∑ ai , j bk ,i uk = ∑∑ bk ,i ai , j uk = ∑∑ bk ,i ai , j uk = ∑  ∑ bk ,i ai , j  uk‬‬
‫‪i =1 k =1‬‬
‫‪i =1 k =1‬‬
‫‪k =1 i =1‬‬
‫‪k =1  i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫לכן אם ‪ ( g f ) ( v j ) = ∑ ck , j uk‬אז ‪ . ck , j = ∑ bk ,i ai , j‬זה הקשר שחיפשנו‪ .‬על סמך קשר זה מגדירים כפל של‬
‫מטריצות‪ .‬אם ) ‪ B = ( bk ,i ) ∈ M l , m ( F‬ו‪ A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( F ) -‬מגדירים את המכפלה ) ‪BA = ( ck , j ) ∈ M l , n ( F‬‬
‫‪m‬‬
‫כאשר ‪ . ck , j = ∑ bk ,i ai , j‬נשים לב שמספר העמודות של המטריצה הראשונה צריך להתאים למספר השורות של המטריצה‬
‫‪i =1‬‬
‫השנייה‪.‬‬
‫משפט ‪Agf = Ag Af :42‬‬
‫הוכחה‪ :‬פשוט ככה הגדרנו את כפל המטריצות – כדי שתהיה ההתאמה הזאת‪☺ .‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪31‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪1 2 3 4 ‬‬
‫‪ 2 3 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪5 6 7 8 ‬‬
‫‪ 1 −1 0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 9 10 11 12 ‬‬
‫‪ 2 ⋅1 + 3 ⋅ 5 + 1 ⋅ 9 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 6 + 1 ⋅10 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 7 + 1 ⋅11 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 8 + 1 ⋅12 ‬‬
‫‪=‬‬
‫=‪‬‬
‫‪ 1 ⋅1 − 1 ⋅ 5 + 0 ⋅ 9 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 6 + 0 ⋅10 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ 7 + 0 ⋅11 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 8 + 0 ⋅12 ‬‬
‫‪ 26 32 38 44 ‬‬
‫‪=‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −4 −4 −4 −4 ‬‬
‫משפט ‪ :43‬כפל מטריצות‪ ,‬כאשר הוא מוגדר‪ ,‬הוא אסוציאטיבי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ) ‪ A ∈ M p , q ( F ) , B ∈ M q , r ( F ) , C ∈ M r , s ( F‬מטריצות‪ .‬נשים לב שגם ‪ ( AB ) C‬וגם ) ‪ A ( BC‬מוגדרות‬
‫מבחינת התאמת הסדרים של המטריצות‪.‬‬
‫נראה ש‪ ( AB ) C  h , k =  A ( BC )  h, k -‬ומכאן ינבע המשפט‪.‬‬
‫‪q‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ q‬‬
‫‪‬‬
‫‪( AB ) C  h , k = ∑ [ AB ]h, j [ C ] j , k = ∑  ∑ [ A]h ,i [ B ]i , j  [C ] j , k = ∑∑ [ A]h ,i [ B ]i , j [C ] j , k‬‬
‫‪j =1‬‬
‫‪j =1  i =1‬‬
‫‪j =1 i =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A ( BC )  h , k = ∑ [ A]h ,i [ BC ]i , k = ∑ [ A]h ,i  ∑ [ B ]i , j [ C ] j , k  = ∑∑ [ A]h,i [ B ]i , j [C ] j , k‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ j =1‬‬
‫‪ i =1 j =1‬‬
‫אבל מאחר שמדובר בסכומים סופיים ניתן להחליף את סדר הסכימה ואז‬
‫‪r‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ . ( AB ) C  h , k = ∑∑ [ A]h ,i [ B ]i , j [C ] j , k = ∑∑ [ A]h ,i [ B ]i , j [C ] j , k =  A ( BC )  h , k‬מש"ל ☺‬
‫‪j =1 i =1‬‬
‫‪i =1 j =1‬‬
‫טענה ‪ :44‬כאשר כפל המטריצות מוגדר‪,‬‬
‫‪P ( Q1 + Q2 ) = PQ1 + PQ2‬‬
‫‪+ P2 Q‬‬
‫‪( P1 + P2 ) Q = PQ‬‬
‫‪1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ) ‪ P1 , P2 , P ∈ M p , q ( F‬ו‪ . Q1 , Q2 , Q ∈ M q , r ( F ) -‬אז הכפל מוגדר‪ .‬כעת נחשב את המטריצות‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪k =1‬‬
‫= ‪ P ( Q1 + Q2 )  i , j = ∑ [ P ]i , k [Q1 + Q2 ]k , j = ∑ [ P ]i , k [Q1 ]k , j + [ P ]i , k [ Q2 ] j , j‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪= ∑ [ P ]i , k [Q1 ]k , j + ∑ [ P ]i , k [Q1 ]k , j = [ PQ1 ]i , j + [ PQ2 ]i , j‬‬
‫ובאופן דומה‬
‫(‬
‫)‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪k =1‬‬
‫= ‪( P1 + P2 ) Q  i , j = ∑ [ P1 + P2 ]i , k [Q ]k , j = ∑ [ P1 ]i , k [Q ]k , j + [ P2 ]i , k [Q ] j , j‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪= ∑ [ P1 ]i , k [Q ]k , j + ∑ [ P2 ]i , k [Q ]k , j = [ PQ‬‬
‫‪1 ]i , j + [ P2 Q ]i , j‬‬
‫מכאן שמתקיים הדרוש‪ .‬מש"ל ☺‬
‫טענה ‪ :45‬יהיו ) ‪ P ∈ M p , q ( F ) , Q ∈ M q , r ( F‬ויהי ‪ . a ∈ F‬אזי ) ‪. ( aP ) Q = P ( aQ ) = a ( PQ‬‬
‫הוכחה‪ :‬באופן דומה להוכחת הטנות הקודמות‪.‬‬
‫יהיו ‪ V , W‬מרחבים וקטוריים מעל ‪ F‬ויהיו ‪ A = {v1 ,..., vn } ⊆ V , B = {w1 ,..., wm } ⊆ W‬בסיסים‪ .‬יהיו‬
‫‪ A ' = {v1 ',..., vn '} ⊆ V , B ' = {w1 ',..., wm '} ⊆ W‬זוג בסיסים נוסף‪ .‬תהי ) ‪ . f ∈ Hom F (V , W‬נניח ש‪-‬‬
‫) ‪ [ f ]B = Af = ( ai , j‬המטריצה המתאימה ל‪ f -‬לפי זוג הבסיסים הראשון ואילו )' ‪ [ f ]B' = Af ' = ( ai , j‬המטריצה לפי זוג‬
‫'‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫הבסיסים השני‪.‬‬
‫ברור ש‪ . f = IdW f IdV -‬הוכחנו שהרכבה של העתקות היא פעולה אסוציאטיבית ושהיא מתאימה לכפל של מטריצות‪.‬‬
‫לכן ‪ Af ' = PAf Q‬כאשר '‪ P = [ IdW ]B‬ו‪ P, Q . Q = [ IdV ]A -‬אינן תלויות ב‪ f -‬אלא רק בבסיסים שבחרנו ולכן הקשר‬
‫‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪ Af ' = PAf Q‬נכון לכל העתקה‪ .‬המטריצות ‪ P, Q‬נקראת מטריצות מעבר בסיס‪.‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪32‬‬
‫משפט ‪ :46‬אם ‪ P‬מטריצת מעבר בסיס מ‪ A -‬ל‪ A' -‬ו‪ Q -‬מטריצת מעבר בסיס מ‪ A' -‬ל‪ A -‬אזי ‪. PQ = I = QP‬‬
‫‪IdV‬‬
‫‪IdV‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל על ההעתקה הלינארית ‪ . IdV : V → V → V‬ראינו קודם ש‪ . [ IdV ]A = [ IdV ]A [ IdV ]A' = QP -‬אבל לכל‬
‫‪A‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪=‬‬
‫‬
‫‪ IdV ( v j ) = v j = ∑ 0 ⋅ vi + 1 ⋅ v j 1 ≤ j ≤ n‬כאשר ‪ . v j ∈ A‬ולכן ‪‬‬
‫‪i≠ j‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪IdV‬‬
‫‪IdV‬‬
‫‪‬‬
‫‪=‬‬
‫‬
‫באותו אופן‪ ,‬אם נסתכל על ' ‪ IdV : VA ' → VA → VA‬נקבל ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪QP = [ IdV ]A‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪ . PQ = [ IdV ]A‬כלומר ‪☺ . PQ = I = QP‬‬
‫'‪A‬‬
‫אם שתי מטריצות ‪ A, B‬מקיימות ש‪ AB = I = BA -‬אומרים שהן הופכיות אחת לשנייה ומסמנים ‪. A = B −1 , B = A−1‬‬
‫נסתכל במקרה הפרטי שבו ‪ W = V‬כלומר ‪ . f : V → V‬נבחר שני בסיסים ' ‪ A, A‬ל‪ V -‬ונסתכל על ההעתקה‬
‫‪IdV‬‬
‫‪IdV‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ . f : V → V → V →V‬לפי המשפט שכרגע הוכחנו ‪ . Q = P −1‬ואז ‪. Af ' = PAf P −1‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪A‬‬
‫כעת‪ ,‬נניח שיש לנו מטריצה ‪ Af‬של העתקה לינארית‬
‫‪ f : V → W‬בהתאם לבסיסים כלשהם‪ .‬איך נדע איך ההעתקה‬
‫‪w1 ,..., wm‬‬
‫‪v1 ,..., vn‬‬
‫‪n‬‬
‫פועלת על וקטור? ראישת נציג את הווקטור כצירוף לינארי של איברי הבסיס של התחום ‪ . v = ∑ c j v j‬נסתכל על‬
‫‪j =1‬‬
‫‪ c1 ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ - Cv =   ∈ F n‬טור המקדמים של ‪ v‬בפיתוח שלו ביחס לבסיס ‪ . v1 ,..., vn‬נניח ש‪ f ( v ) = w = ∑ di wi -‬ונסתכל על‬
‫‪i =1‬‬
‫‪c ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ d1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ - C f ( v ) =   ∈ F m‬טור המקדמים של ‪ f ( v ) = w‬בפיתוח שלו לפי הבסיס ‪. w1 ,..., wm‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪ m‬‬
‫משפט ‪C f ( v ) = Af Cv :47‬‬
‫‪ d1 ‬‬
‫‪ c1 ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ . v = ∑ c j v j‬ונניח ‪ . f ( v ) = w = ∑ di wi‬אז ‪ Cv =  ‬ו‪=   -‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪j =1‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪c ‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪ n‬‬
‫) ‪ . C f ( v‬אבל‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n  n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . f ( v ) = f  ∑ c j v j  = ∑ c j f ( v j ) = ∑ c j ∑ ai , j wi = ∑  ∑ c j ai , j  wi‬כלומר ‪. di = ∑ ai , j c j‬‬
‫‪j =1‬‬
‫‪j =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1  j =1‬‬
‫‪ j =1‬‬
‫‪ j =1‬‬
‫‪‬‬
‫אז לפי הגדרה של כפל מטריצות נקבל‪:‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ∑ a1, j c j ‬‬
‫‪ a11 … a1n   c1   j =1‬‬
‫‪  d1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪= ‬‬
‫‬
‫‪   = ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ m1 amn   cn   a c   d n ‬‬
‫‪n, j j ‬‬
‫∑‪‬‬
‫‪ j =1‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר ‪ . C f ( v ) = Af Cv‬מש"ל ☺‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪33‬‬
‫‪ .5‬מערכות משוואות לינאריות‬
‫נזכור שכשרק התחלנו לדבר על מרחבים וקטוריים דיברנו על דוגמה פונדמנטלית ביותר ‪ . F n -‬אז היה זה מרחב וקטורי של‬
‫שורות של איברים של השדה ‪ . F‬כעת נעשה העמסה לסימון הזה ומעתה ‪ F n‬יסמן טורים בגובה ‪ . n‬אז בעצם ) ‪M n ,1 ( F‬‬
‫זה כמו ‪. F n‬‬
‫בהינתן מטריצה ) ‪ A ∈ M m, n ( F‬נגדיר העתקה ‪ f A : F n → F m‬שפועלת באופן הבא‪ :‬לכל ‪ . f A ( c ) = Ac c ∈ F n‬האם‬
‫זו העתקה לינארית? ברור שכן‪ ,‬אחרת לא היינו מדברים עליה בכלל‪.‬‬
‫יהיו ‪ c ', c '' ∈ F n‬ויהי ‪ . a ∈ F‬לפי חוק הפילוג שהוכחנו קודם‬
‫)'' ‪. f A ( c '+ c '') = A ( c '+ c '') = Ac '+ Ac '' = f A ( c ' ) + f A ( c‬‬
‫ולפי טענה אחרת שלא הוכחנו אבל ההוכחה שלה זהה להוכחה של חוק הפילוג‬
‫) ' ‪f A ( ac ' ) = A ( ac ') = a ( Ac ') = af A ( c‬‬
‫אז ‪ f A‬משמרת חיבור וכפל בסקלר ולכן היא העתקה לינארית‪ .‬אם היא העתקה לינארית אפשר לדבר על המטריצה שלה‪.‬‬
‫טענה ‪ :48‬המטריצה של ‪ f A‬ביחס לבסיסים הסטנדרטיים של ‪ ‡‡‡‡ d1 ,..., d m ∈ F m , e1 ,..., en ∈ F n : F m , F n‬היא ‪: A‬‬
‫הוכחה‪ :‬פשוט נחשב איך ההעתקה פועלת על איברי הבסיס של ‪: F n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪… a1, n     a1,1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪    =   = a1,1   + ... + am ,1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ am, n     am,1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ a1,1‬‬
‫‪‬‬
‫ ‪f A ( e1 ) = Ae1 = ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ m,1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ a1,1 … a1, n     a1, n ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f A ( en ) = Aen =     =   = a1, n   + ... + am, n  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫ ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ m ,1 am , n   0   am , n ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫או באופן כללי ‪ f A ( e j ) = Ae j = ∑ ai , j di‬עבור ‪ . 1 ≤ j ≤ n‬כעת נרשום את המקדמים במטריצה ונקבל‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ a1,1 … a1, n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= = A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m ,1 am , n ‬‬
‫} ‪{e‬‬
‫} ‪ . [ f A ]{di‬ראו איזה פלא! מש"ל‪☺ .‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‬
‫נסמן ב‪ I k -‬את המטריצה ) ‪ ∈ M k ( F‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫משפט ‪ :49‬תהי ) ‪ A ∈ M m, n ( F‬ותהי ) ‪ B ∈ M n, m ( F‬כך ש‪ . AB = I m , BA = I n -‬אזי ‪. m = n‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסתכל על ההעתקות הלינאריות ‪ f A : F n → F m‬ו‪ . f B : F m → F n -‬כמו כן שים לב שמתקיים‬
‫‪fB‬‬
‫‪fA‬‬
‫‪fA‬‬
‫‪fB‬‬
‫‪Id F m : F m ‬‬
‫‪→ F n ‬‬
‫‪ Id F n : F n ‬ו‪→ F m -‬‬
‫‪→ F m ‬‬
‫‪→ Fn‬‬
‫= ) ‪B ( Ac‬‬
‫= ‪= ( BA ) c‬‬
‫‪= Inc =c‬‬
‫‬
‫‪AC‬‬
‫‬
‫‪c‬‬
‫= ) ‪A( Bd‬‬
‫= ‪= ( AB ) d‬‬
‫‪= Im d = d‬‬
‫‬
‫‪Bd‬‬
‫‬
‫‪d‬‬
‫כלומר ‪ f A , f B‬הופכיות זו לזו‪ .‬אזי הן איזומופרפיזמים של מרחבים וקטוריים‪ .‬ז"א ‪ F n‬איזומורפי ל‪ . F m -‬כבר ראינו‬
‫שאם שני מרחבים נוצרים סופית איזומורפיים אז יש להם אותו מימד‪ .‬ולכן‬
‫‪n = dim F F n = dim F F m = m‬‬
‫שזה מה שרצינו‪☺ .‬‬
‫המסקנה מהמשפט הזה היא שרק למטריצות ריבועיות יכולה להיות מטריצה הופכית‪.‬‬
‫‡‡‡‡‬
‫‪ d‬זה בשביל ‪ Dina‬וחשוב מאוד לזכור את זה אחרת יורדות נקודות במבחן‪☺ ...‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪34‬‬
‫עכשיו נשתמש בכל מה שאנחנו יודעים כדי לפתור מערכות של משוואות לינאריות‪ .‬תכינו את עצמכם‪ ,‬זה הולך להיות מרתק‪.‬‬
‫או שלא‪...‬‬
‫נניח שיש לנו מערכת של משוואות לינאריות ‪ m -‬משוואת ב‪ n -‬נעלמים‪:‬‬
‫‪ a1,1 x1 + a1,2 x2 + ... + a1, n xn = b1‬‬
‫‪ a x + a x + ... + a x = b‬‬
‫‪ 2,1 1 2,2 2‬‬
‫‪2, n n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪ am,1 x1 + am,2 x2 + ... + am , n xn = bm‬‬
‫הנעלמים הם ‪ x1 ,..., xn‬והמקדמים הם ‪ ai , j ∈ F‬באיזשהו שדה‪ .‬האיברים החופשיים הם ‪ . b1 ,..., bm ∈ F‬כשאנחנו אומרים‬
‫שמצאנו פיתרון למערכת משוואת‪ ,‬למה אנחנו מתכוונים? ובכן האיברים ‪ α1 ,..., α n ∈ F‬הם פיתרון של מערכת המשוואות‬
‫למעלה אם כאשר נרשום אותם במקום הנעלמים ‪ x1 ,..., xn‬בהתאמה נקבל שכל השוויונים הם נכונים‪ .‬כלומר אכן מתקיים‪:‬‬
‫‪a1,1α1 + a1,2α 2 + ... + a1, nα n = b1‬‬
‫‪a2,1α1 + a2,2α 2 + ... + a2, nα n = b2‬‬
‫‬
‫‪am ,1α1 + am,2α 2 + ... + am, nα n = bm‬‬
‫באופן טבעי נשאלות כל מיני שאלות‪ :‬האם תמיד יש פיתרון למערכת משוואות? אם יש‪ ,‬האם הוא יחיד? האם יש דרך לדעת‬
‫אם קיים פיתרון מבלי ממש למצוא אותו? ועוד‪...‬‬
‫לכל אלה ננסה לתת תשובה במהלך הדיון הבא‪.‬‬
‫את מערכת המשוואת אפשר לרשום בצורת מטריציונית באופן הבא‪:‬‬
‫‪ a11 … a1n  x1   b1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪   =  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ amn ‬‬
‫‪xn   bm ‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪
‬‬
‫עמודת‬
‫האיברים‬
‫החופשיים‬
‫עמודת‬
‫הנעלמים‬
‫מטריצת המקדמים‬
‫או בקיצור ‪ Ax = b‬כאשר ‪ A‬מטריצת המקדמים‪ b ,‬עמודת האיברים החופשיים ו‪ x -‬עמודת הנעלמים‪.‬‬
‫לפני שאנחנו ונכנסים לנושא במלואו נדון במקרה פרטי שבו ‪ m = n‬ולמטריצה ‪ A‬יש מטריצה הופכית ‪ . A−1‬במקרה זה אם‬
‫נכפיל משמאל את שני האגפים של ‪ Ax = b‬ב‪ A−1 -‬נקבל ‪ . x = Ix = ( A−1 A ) x = A−1 ( Ax ) = A−1b‬כלומר קיים פיתרון‬
‫למערכת המשוואת ויתר על כן הוא יחיד!!‬
‫נחזור כעת למקרה הכללי‪ .‬נניח יש לנו מערכת משוואות ‪ Ax = b‬כאשר ‪. A ∈ M m, n ( F ) , x ∈ F n , b ∈ F m‬‬
‫‪ c ∈ F n‬הוא פיתרון אם מתקיים ‪ . Ac = b‬אז מציאת פיתרון של המערכת הזו בעצם שקולה למציאת מקור של ‪ b‬תחת‬
‫ההעתקה הלינאריות ‪ f A‬שכזכור הייתה מוגדרת ע"י ‪. f A ( x ) = Ax‬‬
‫‪Fm‬‬
‫‪Ac = b‬‬
‫‪fA‬‬
‫‪Fn‬‬
‫הפתרונות‬
‫‪c‬‬
‫) ‪ f A −1 ( b‬אוסף המקורות של ‪b‬‬
‫ברור גם שלמערכת ‪ Ax = b‬יש פיתרון אמ"מ ) ‪ b ∈ Im ( f A‬שהרי אחרת לא נוכל למצוא ‪- x‬ים כך ש‪. Ax = b -‬‬
‫ראינו שהעתקה לינארית ‪ f‬היא חח"ע אמ"מ }‪ . Ker f = {0‬זה אומר שלכל איבר בתמונה יש מקור יחיד‪ .‬אז מפה נובע‬
‫שלמערת ‪ Ax = b‬יש פיתרון יחיד אמ"מ יש פיתרון וגם }‪. Ker f A = {0‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪35‬‬
‫משפט ‪ :50‬אם ‪ f : V → W‬העתקה לינארית ו‪ f ( c ) = b -‬אז ‪f −1 ( b ) = c + Ker f‬‬
‫הוכחה‪ :‬כרגיל כאשר יש להוכיח שיוויון בין שתי קבוצות נוכיח הכלה בשני הכיוונים‪:‬‬
‫) ⊂ ( יהי ) ‪ . a ∈ f −1 ( b‬אזי ‪ . f ( a ) = b‬נרצה להציג את ‪ a‬בצורה ' ‪ c + c‬כאשר ‪ . c ' ∈ Ker f‬ברור ש‪-‬‬
‫) ‪ . a = c + ( a − c‬נראה ש‪ . f ( a − c ) = f ( a ) − f ( c ) = b − b = 0W : a − c ∈ Ker f -‬לכן ‪. a ∈ c + Ker f‬‬
‫) ⊃ ( יהי ‪ . c ' ∈ Ker f‬אזי ‪ . f ( c + c ') = f ( c ) + f ( c ' ) = b + 0W = b‬כלומר ) ‪ . c + c ' ∈ f −1 ( b‬מש"ל ☺‬
‫אם נשתמש במשפט הזה כדי לנתח את המצב שלנו נראה שאם מערכת המשוואת שלנו היא ‪ Ax = b‬אז‬
‫‪ f A −1 ( b ) = c + Ker f A‬כאשר ‪ c‬הוא פיתרון כלשהו של המערכת‪ .‬זוהי טענה מאוד חשובה משום שהיא אומרת בעצם‬
‫שאם אנחנו יודעים פיתרון יחיד כלשהו של המערכת אז אנחנו יכולים לבטא באמצעותו את כל הפתרונות‪ .‬זה לא עוזר לנו‬
‫למצוא את הפיתרון הזה‪ .‬אבל אם בטעות מצאנו את הפיתרון אז מצאנו את כולם‪.‬‬
‫נשים לב רק‪ ,‬שאם ההעתקה ‪ f A‬היא חח"ע‪ ,‬כלומר }‪ Ker f A = {0‬אז הפיתרון הוא יחיד!‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ U ⊂ V‬תת מרחב‪ .‬ויהי ‪ . v ∈ V‬הקבוצה } ‪ v + U = {v + u : u ∈ U‬נקראת ישרייה‪ U .‬נקרא תת המרחב‬
‫המכוון של הישרייה‪.‬‬
‫דוגמה‪ V = 2 :‬וניקח תת מרחב שהוא איזה ישר העובר דרך הראשית‪ .‬ניקח ‪ . v ∈ V‬אז הישרייה ‪ v + U‬היא ישר מקביל‬
‫ל‪ U -‬שעובר דרך ‪. v‬‬
‫‪v +U‬‬
‫‪U‬‬
‫‪v‬‬
‫אזהרה‪ v + U :‬בכלל לא חייב להיות תת מרחב‪.‬‬
‫טענה ‪ v + U :51‬הוא תת מרחב של ‪ V‬אמ"מ ‪ v ∈ U‬ואז ‪. v + U = U‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫) ⇐ ( נניח ש‪ v + U -‬תת מרחב של ‪ V‬ונראה ש‪ . v ∈ U -‬נניח בשלילה כי ‪ v + U . v ∉ U‬תת מרחב ולכן ‪. 0V ∈ v + U‬‬
‫כלומר קיים ‪ u ∈ U‬כך ש‪ . 0V = v + u -‬אבל חייב להתקיים אז ‪ . u = −v‬אבל מכאן ש‪ . v ∈ U -‬בסתירה להנחה‪ .‬לכן‬
‫‪. v ∈U‬‬
‫) ⇒ ( נניח כי ‪ v ∈ U‬ונראה כי ‪ . v + U = U‬ברור ש‪ v + U ⊂ U -‬כי ‪ U‬סגור לחיבור‪ .‬מצד שני‪ ,‬יהי ‪ . u ∈ U‬ברור‬
‫ש‪ . u = v + ( u − v ) -‬אבל מאחר ש‪ v ∈ U -‬גם ‪ −v ∈ U‬ולכן ‪ . u − v ∈ U‬לכן ‪ . v + U ⊃ U‬כלומר ‪. v + U = U‬‬
‫בפרט ‪ v + U‬תת מרחב‪ .‬מש"ל ☺‬
‫תחת הגדרה זו ברור שאוסף כל הפתרונות של מערכת משוואות לינארית הוא ישרייה שהמרחב המכוון שלה הוא הגרעין של‬
‫ההעתקה שנקבעת ע"י המטריצה של המקדמים של המערכת‪.‬‬
‫טענה ‪ :52‬יהיו ‪ U1 ,U 2 ⊂ V‬תתי מרחבים ו‪ v1 , v2 ∈ V -‬כך ש‪ . v1 + U1 = v2 + U 2 -‬אזי ‪. U1 = U 2‬‬
‫משמעות‪ :‬הטענה הזאת בעצם אומרת שהמימד המכוון של ישרייה הוא יחיד‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬משום ש‪ 0V ∈ U1 -‬נקבל ‪ . v1 = v1 + 0V ∈ v1 + U1 = v2 + U 2‬כלומר קיים ‪ u2 ∈ U 2‬כך ש‪ . v1 = v2 + u2 -‬ולכן‬
‫‪ . v2 − v1 = −u2 ∈ U 2‬מהשוויון ‪ v1 + U1 = v2 + U 2‬נובע‬
‫‪☺ U1 = ( −v1 ) + ( v1 + U1 ) = ( −v1 ) + ( v2 + U 2 ) = ( v2 − v1 ) + U 2 = ( −u2 ) + U 2 = U 2‬‬
‫‪u2 ∈U 2‬‬
‫הגדרה‪ :‬נאמר שהמימד של הישרייה ‪ v + U‬הוא ‪ . dim F ( v + U ) = dim F U‬בגלל הטענה הקודמת המימד מוגדר היטב‪.‬‬
‫אם ישריית הפתרונות של ‪ Ax = b‬היא ‪ c + Ker f A‬נוכל לכתוב ‪ . dim F ( c + Ker f A ) = dim F Ker f A‬כמו כן לפי‬
‫משפט המימדים ‪ . n = dim F F n = dim F Im f A + dim F Ker f A‬לכן ‪. dim F ( c + Ker f A ) = n − dim F Im f‬‬
‫ – הסיכומים של דינה‬1 ‫אלגברה לינארית‬
36
:‫ נסמן‬. A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( F ) ‫ תהי‬.‫נגדיר כמה סימונים חדשים‬
a1* = ( a1,1 … a1, n )
: A ‫השורות של‬
am* = ( am,1 … am, n )
 a1,1 
 a1, n 




a*1 =   ,..., a*n =   : A ‫העמודות של‬
a 
a 
 m ,1 
 m, n 
Im f A = Sp ( a*1 ,..., a*n ) ⊂ F m ‫ אז‬f A ( c ) = Ac ‫ מוגדרת ע"י‬f A : F n → F m ‫ אם‬:53 ‫משפט‬
‫ זה נובע מהמשפט‬. A ‫ הוא המספר המקסימלי של עמודות בלתי תלויות של המטריצה‬dim F Sp ( a*1 ,..., a*n ) :‫הערה‬
. V -‫{ היא בסיס ל‬ui :1 ≤ i ≤ m, ui ∉ Sp ( u1 ,..., ui −1 )} ‫ אזי הקבוצה‬. V = Sp ( u1 ,..., um ) ‫שהוכחנו שאם‬
. Im f = Sp ( f ( v1 ) ,..., f ( vn ) ) ‫ אז‬V = Sp ( v1 ,..., vn ) -‫ העתקה לינארית ו‬f : V → W ‫ הוכחנו כבר שאם‬:‫הוכחה‬
:‫ פועלת עליהן‬f A ‫ נבדוק איך‬.‫ ברור שהן פורשות אותו‬. F n -‫נסתכל על העמדודות הסטנדרטיות ב‬
1
1
1
 
   a1,1 … a1, n     a1,1 
0
0

 0


f A   = A   =     =   = a*1



 
   am,1 am, n     am,1 
0
0
0
0
0
0
 
   a1,1 … a1, n     a1, n 

 

f A   = A   =     =   = a*n
0
0
0
 
   am,1 am, n     am, n 
1
1
1
 1
0
  
 
0
☺ ‫ מש"ל‬. Im f A = Sp  f A   ,..., f A    = Sp ( a*1 ,..., a*n ) ‫לכן‬
 
0
  
  
1
 0
rank c A = dim F Sp ( a*1 ,..., a*n ) ‫ לפי העמודות היא‬A ∈ M m, n ( F ) ‫הדרגה של מטריצה‬
:‫הגדרה‬
rank r A = dim F Sp ( a1* ,..., am* ) ‫ לפי השורות היא‬A ∈ M m, n ( F ) ‫הדרגה של מטריצה‬
rank c C = rank r C C ∈ M n , p ( F ) ‫ לכל מטריצה‬:54 ‫משפט‬
:‫ נרשום אותה באופן מפורש‬. AB ∈ M m , p ( F ) ‫ אזי מוגדרת המכפלה‬. B = ( bi , j ) ∈ M n , p ( F ) ‫ תהי‬:‫הוכחה‬
 a1,1 … a1, n   b1,1 … b1, p 



AB =     =
a


 m ,1 am, n  bn ,1 bn , p 
 a1,1b1,1 + ... + a1, n bn ,1 … a1,1b1, p + ... + a1, n bn , p   a1,1b1* + ... + a1, n bn* 

 

=
=

 a b + ... + a b
  a b + ... + a b 
a
b
+
...
+
a
b
m
,1
1,1
m
,
n
n
,1
m
,1
1,
p
m
,
n
n
,
p
m
,1
1*
m
,
n
n
*


 
. A -‫ עם מקדמים מ‬B ‫ הן צירופים לינאריים של השורות של‬AB ‫כלומר השורות של‬
‫אבל אפשר גם לרשום‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪37‬‬
‫‪ a1,1 … a1, n   b1,1 … b1, p   a1,1b1,1 + ... + a1, n bn ,1 … a1,1b1, p + ... + a1, n bn , p ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB =     = ‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫=‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m ,1 am, n  bn ,1 bn , p   am,1b1,1 + ... + am, n bn ,1 am ,1b1, p + ... + am , n bn, p ‬‬
‫) ‪= ( b1,1a*1 + ... + bn ,1a*n … b1, p a*1 + ... + bn , p a*n‬‬
‫כלומר העמודות של ‪ AB‬הן צירופים לינאריים של העמודות של ‪ A‬עם מקדמים מ‪. B -‬‬
‫נסמן ‪ . C = AB‬אזי‬
‫) ‪Sp ( c*1 ,..., c* p ) ⊂ Sp ( a*1 ,..., a*n‬‬
‫) *‪Sp ( c1* ,..., cm* ) ⊂ Sp ( b1* ,..., bn‬‬
‫תהי ) ‪ . C ∈ M n , p ( F‬נראה ש‪ . dim F Sp ( c*1 ,..., c* p ) = dim F Sp ( c1* ,..., cm* ) -‬נניח ש‪. dim F Sp ( c1* ,..., cm* ) = n -‬‬
‫נבנה פירוק של ‪ C‬למכפלה ‪ AB‬כאשר ) ‪ A ∈ M m, n ( F‬ו‪. B ∈ M n, p ( F ) -‬‬
‫לפי ההנחה ל‪ Sp ( c1* ,..., cm* ) -‬יש בסיס ובו ‪ n‬וקטורים‪ ,‬כלומר ‪ n‬שורות באורך ‪ . p‬נסמן‬
‫*‪… b1, p ) = b1‬‬
‫‪(b‬‬
‫‪1,1‬‬
‫‬
‫*‪… bn, p ) = bn‬‬
‫‪(b‬‬
‫‪n ,1‬‬
‫נגדיר ) ‪ . B = ( bi , j ) ∈ M n , p ( F‬בגלל שזה בסיס ) *‪ . Sp ( c1* ,..., cm* ) = Sp ( b1* ,..., bn‬כמו כן ניתן להציג את *‪c1* ,..., cm‬‬
‫כצירוף לינארי של איברי הבסיס‪:‬‬
‫*‪c1* = a1,1b1* + ... + a1, n bn‬‬
‫‬
‫*‪cm* = am ,1b1* + ... + am, n bn‬‬
‫נגדיר ) ‪ . A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( F‬ברור ש‪ . C = AB -‬כעת לפי מה שעשינו קודם ) ‪. Sp ( c*1 ,..., c* p ) ⊂ Sp ( a*1 ,..., a*n‬‬
‫ואז ‪!! rank c C = dim F Sp ( c*1 ,..., c* p ) ≤ dim F Sp ( a1* ,..., an* ) ≤ n = rank r C‬‬
‫כעת נניח ש‪ . dim F Sp ( c*1 ,..., c* p ) = n -‬אזי נסתכל על הבסיס של ) ‪: Sp ( c*1 ,..., c* p‬‬
‫נגדיר ) ‪. A = ( ai , j ) ∈ M m , n ( F‬‬
‫‪ a1,1 ‬‬
‫‪ a1, n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a*1 =   ,..., a*n =  ‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m ,1 ‬‬
‫‪ am , n ‬‬
‫נבטא את ‪ c*1 ,..., c* p‬ע"י איברי הבסיס‪:‬‬
‫‪c*1 = b1,1a*1 + ... + bn ,1a*n‬‬
‫‬
‫‪c* p = b1, p a*1 + ... + bn , p a*n‬‬
‫ונגדיר ) ‪ . B = ( bi , j ) ∈ M n , p ( F‬אזי ‪ C = AB‬וכמו קודם‬
‫‪!! rank r C = dim F Sp ( c1* ,..., cm* ) ≤ dim F Sp ( b1* ,..., bn* ) ≤ n = rank c C‬‬
‫מכאן ש‪ . rank r C = rank c C -‬מש"ל ☺‬
‫נשים לב לשתי תכונות מעניינות‪ .‬אם ‪ A‬מייצגת טרנספורמציה לינארית חח"ע אז ‪ , rank c A = n‬כלומר דרגת העמודות היא‬
‫המקסימלית שיכולה להיות‪ .‬ואם ‪ A‬מייצגת טרנספורמציה לינארית על אז ‪ , rank r A = m‬כלומר דרגת השורות היא‬
‫המקסימלית שיכולה להיות‪ .‬אבל דרגת השורות שווה לדרגת העמודות‪ .‬לכן מפה נובע שאם מטריצה היא הפיכה )כלומר‬
‫ההעתקה שהיא מייצגת היא גם חח"ע וגם על( אז היא חייבת להיות ריבועית!‬
‫נגדיר ‪rank A = rank c A = rank r A‬‬
‫למערכת המשוואות ‪ Ax = b‬קיים פיתרון אמ"מ ‪ . b ∈ Im f A‬אמרנו ש‪ . Im f A = sp ( a*1 ,..., a*n ) -‬אז למערכת יש‬
‫פיתרון אמ"מ ) ‪ . b ∈ sp ( a*1 ,..., a*n‬ואפשר לנסח זאת גם כך‪ :‬יש פיתרון אמ"מ ) ‪. sp ( a*1 ,..., a*n , b ) = sp ( a*1 ,..., a*n‬‬
‫נגדיר את מטריצת המקדמים המורחבת של המערכת‪ . A* = ( a*1 ,..., a*n , b ) = ( A b ) :‬אז נוכל לסכם את מה שהגענו אליו‪:‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪38‬‬
‫משפט ‪ :55‬למערכת המשוואת ‪ Ax = b‬יש פיתרון אמ"מ ‪. rank A* = rank A‬‬
‫אז עשכיו אנחנו יודעים מתי יש פיתרון למערכת משוואות‪ .‬אבל איך מוצאים אותו? באופן כללי השיטה די דומה למה שלמדנו‬
‫בתיכון על צמצום משתנים‪ .‬אנחנו נפתח את זה בצורה פורמלית יותר‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬שתי מערכות משוואות ‪ Ax = b‬ו‪ A ' x = b ' -‬נקראות שקולות אם יש להן בדיוק אותם הפיתרונות‪.‬‬
‫משפט ‪ :56‬תהי ‪ C‬מטריצה הפיכה מסדר ‪ . m × m‬אזי המערכת ‪ Ax = b‬שקולה למערכת ‪. ( CA ) x = Cb‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ . B = C −1‬אם ‪ Ac = b‬אזי ‪ . ( CA ) c = C ( Ac ) = Cb‬להפך אם ‪ ( CA ) c = Cb‬אזי‬
‫‪☺ . Ac = ( BC )( Ac ) = B ( ( CA ) c ) = B ( Cb ) = ( BC ) b = b‬‬
‫המוטיבציה שלנו תהיה להפוך את ‪ Ax = b‬למערכת משוואות שקולה לה שקל לנו יותר לפתור‪ .‬זה ייעשה ע"י סדרה של‬
‫הכפלות במטריצות הפיכות‪.‬‬
‫נגדיר כמה מטריצות‪:‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לכל ‪ 0 ≠ a ∈ F‬נגדיר ‪ Di ( a ) =  a ‬כך ש‪  Di ( a )  i ,i = a -‬ובכל מקום אחר ‪. 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a‬‬
‫לכל ‪ a ∈ F‬עבור ‪ i ≠ j‬נסמן ‪‬‬
‫‪ Ei , j ( a ) = ‬כך ש‪  Eij ( a )  = 1,  Eij ( a )  = a -‬ובכל מקום אחר‬
‫‪k ,k‬‬
‫‪i, j‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪ i ≠ j‬נסמן ‪‬‬
‫‪ Pi , j = ‬כלומר מטריצת היחידה שבה הוחלפו במקומן שורות ‪ i‬ו‪. j -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫קל לראות שלכל מטריצה ‪ A‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ a1* ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪Di ( a ) A =  a ⋅ ai* ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ a ‬‬
‫‪ m* ‬‬
‫כמו כן מאותה הסיבה ברור ש‬
‫*‪a1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ei , j ( a ) A =  ai* + a ⋅ a j * ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫*‪m‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪−1‬‬
‫‪Di ( a ) = Di ( a‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪Ei , j ( a ) = Ei , j ( −a‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Pi , j −1 = Pi , j‬‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצה ‪ D‬נקראת מדורגת כאשר צורתה כלהלן‪:‬‬
‫‪ .1‬יש בה עמודות סטנדרטיות לפי הסדר שלהן‪.‬‬
‫‪ .2‬ניתן להעביר קו מדרגות כאשר כל עמודה סטנדרטית קובעת מדרגה‪.‬‬
‫‪ .3‬מתחת לקו המדרגות יש רק אפסים‪.‬‬
‫‪ a1* ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ a j* ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Pi , j A =  ‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪ i* ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪ m* ‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪39‬‬
‫משפט ‪ :57‬לכל מטריצה ) ‪ A ∈ M m, n ( F‬קיימת מטריצה הפיכה ) ‪ B ∈ M m ( F‬כך ש‪ BA -‬היא מדורגת‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ההוכחה נעשית באינדוקציה על ‪ n‬ובעצם מה שקורה שם זה שכופלים את המטריצה בכל שלב באחת מהמטריצות‬
‫שהגדרנו למעלה וככה לאט לאט מאפסים את כל מה שצריך‪ .‬בגלל שכל המטריצות האלה הן הפיכות אז גם המכפלה שלהן‬
‫הפיכה‪.‬‬
‫שלב ראשון‪ :‬התבונן בעמודה הראשונה של המטריצה ‪ A‬אשר אינה כולה אפסים‪ .‬לשם נוחיות נניח כי זו העמודה הראשונה‪.‬‬
‫הבא איבר שונה מאפס לראש העמודה ע"י החלפת שורות )מטריצה ‪ ( Pi , j‬וכפול לאחר מכן את השורה הראשונה בהפכי של‬
‫איבר זה )מטריצה ‪ .( Di‬ע"י כך תתקבל מטריצה חדשה ) ‪ B = ( bi , j‬אשר בה ‪ . b1,1 = 1‬כעת אפס כל איבר ‪) bi ,1 ≠ 0‬פרט‬
‫ל‪ ( b1,1 -‬שעוד נותר בעמודה הראשונה ע"י הוספת השורה הראשונה כפולה ב‪ −bi ,1 -‬לשורה ה‪) i -‬מטריצה ‪ .( Ei , j‬ע"י כך‬
‫תתקבל מטריצה חדשה מהצורה‪:‬‬
‫‪ 1 c1,2 c1, n   1 c1,2 c1, n ‬‬
‫‪ c2,2 … c2, n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 c2,2 c2, n   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫ ‪ C ' = ‬כאשר ) ‪  = C ∈ M m −1, n −1 ( F‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m ,2 cm , n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 cm ,2 cm, n   0‬‬
‫נשים לב שכל הפעולות שבוצעו הן פעולות אלמנטריות על שורות המטריצה‪.‬‬
‫שלב שני‪ :‬המשך בפעולות אלמנטריות על השורות ‪ 2,..., m‬של ' ‪ C‬על מנת לאפס איברים בעמודתה השנייה‪ .‬היות והאפסים‬
‫בעמודה הראשונה של ' ‪ C‬לא "יתקלקלו" ע"י פעולות אלה‪ ,‬ניתן להעלם מהם‪ ,‬ולבצע את הפעולות רק על שורות המטריצה‬
‫החלקית ‪ . C‬חזוא על התהליך של השלב הראשון לגבי העמודה הראשונה של ‪. C‬‬
‫השלבים הבאים‪ :‬ממשיכים כבשלבים הקודמים‪ ,‬כאשר בשלב ה‪ k + 1 -‬מבצעים פעולות אלמטריות על ‪ n − k‬השורות‬
‫האחרונות בלבד‪ ,‬עד שמגיעים למספר ‪ r‬שעבורו ‪ n − r‬השורות האחרונות מכילות אפסים בלבד )ייתכן גם ‪ r = n‬ואז אין‬
‫שורות שמכילות אפסים בלבד(‪ .‬נתאר את המטריצה ‪ D = Di , j‬שהתקבלה בשלב זה‪ :‬עבור ‪ i = 1,..., r‬קיימים מספרים‬
‫טבעיים ‪ 1 ≤ t1 < ... < tr ≤ n‬כך ש‪ di ,1 = ... = di ,ti −1 = 0, di ,ti = 1 -‬ואילו ‪ n − r‬השורות האחרונות מכילות אפסים בלבד‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪*‬‬
‫‪‬‬
‫‪*‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪*  ← row r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪D=‬‬
‫‪t1 t2‬‬
‫‪tr‬‬
‫‪‬‬
‫↓‬
‫↓‬
‫↓‬
‫* ‪0 0 1‬‬
‫‪‬‬
‫* ‪0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪D = 0‬‬
‫* ‪0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫וזואת צורה מדורגת‪ .‬מש"ל ☺‬
‫אז למה זה עזר לנו? מאוד קל לפתור מערכת משוואות שרשומה בצורה מדורגת וחוץ מזה זה גם נותן לנו מידע לגבי מספר‬
‫הפתרונות‪.‬‬
‫נסתכל במטריצת המקדמים המורחבת של מערכת המשוואת ‪ . A* = ( A b ) - Ax = b‬קיימת * ‪ B‬כך ש‪ B * A * -‬מדורגת‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬אם העמודה האחרונה היא סטנדרטית אז אין פיתרון למערכת המשוואת כי אז בעצם נקבל שאחת מהמשוואות היא‬
‫מהצורה ‪ 0 ⋅ x1 + ... + 0 ⋅ xn = 1‬וזה כמובן בלתי אפשרי‪.‬‬
‫אם העמודה האחרונה אינה עמודה סטנדרטית אזי יש פתרונות‪.‬‬
‫סטנדרטית‪ .‬נחלק את המשתנים לשתי קבוצות‪.‬‬
‫הראשונה‪} ,‬‬
‫נניח ש‪{ jk }k =1 -‬‬
‫‪,..., x jr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪j1‬‬
‫הן העמודות ב‪ B * A * -‬שבהן יש עמודה‬
‫‪ {x‬והשנייה }‬
‫מהקבוצ הראשונה מופיע במערכת המשוואות פעם אחת בלבד‪ .‬לכן נוכל לרשום‪:‬‬
‫‪) ⇐ x j + ( variables from second set ) = c1‬‬
‫‪= c2 − ( ) ⇐ x j + ( variables from second set ) = c2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫{‬
‫‪ . { x1 ,..., xn } \ x j1 ,..., x jr‬כל נעלם‬
‫( ‪x j1 = c1 −‬‬
‫‪x j2‬‬
‫‬
‫‪) ⇐ x j + ( variables from second set ) = cr‬‬
‫‪r‬‬
‫( ‪x jr = cr −‬‬
‫לנעלמים מהקבוצה השנייה ניתן לתת ערכים שרירותיים והנעלמים מהקבוצה הראשונה נקבעים באופן חד ערכי ע"י ערכים‬
‫אלה‪.‬‬
‫אלגברה לינארית ‪ – 1‬הסיכומים של דינה‬
‫‪40‬‬
‫משפט ‪ :58‬אם ‪ D1 = B1 A, D2 = B2 A‬כאשר ‪ B1 , B2‬הפיכות ו‪ D1 , D2 -‬מדורגות אז ‪. D1 = D2‬‬
‫הוכחה‪ :‬גם כאן צריך לרשום מלא מטריצות ולא ממש בא לי‪.‬‬
‫המשפט הזה חשוב כי הוא אומר שהצורה המדורגת של מטריצה היא יחידה‪ .‬לכן זה לא משנה בפועל באיזה סדר פעולות‬
‫ננקוט‪ ,‬תמיד נגיע לאותה התוצאה! אם זה לא היה כך‪ ,‬היינו בצרות‪...‬‬
‫בזאת נגמר החומר למבחן‪ .‬בהצלחה לכולם‪.‬‬