טרנספורמציות לינאריות

‫טרנספורמציות לינאריות‬
‫גרסת ‪19.4.2015‬‬
‫משפט הבסיסים התקניים להצגת טרנספורמציה לינארית‪ :‬תהי ׂ ‪ T‬טרנספורמציה לינארית‬
‫ממרחב ‪n‬־מימדי ‪ V‬למרחב ‪ .W‬הגרעין ) ‪ Ker (T‬של ‪ T‬זאת הקבוצה }‪.{v ∈ V | T v = 0‬‬
‫הדרגה של ‪ ,T‬שנסמנה ב־‪ ,r‬היא מימד התמונה ) ‪ Im (T‬של ‪ .T‬קיים בסיס ) ‪(v1 , . . . , vn‬‬
‫ל־ ‪ V‬כך ש־ ) ‪ (T v1 , . . . , T vr‬היא סדרת ווקטורים בלתי תלויה ב־ ‪ W‬ו־ ) ‪(vr+1 , . . . , vn‬‬
‫היא בסיס ל־) ‪ .Ker (T‬במיוחד‪ ,‬המימד של ) ‪ Ker (T‬הוא ‪.n − r‬‬
‫הסידרה הבלתי תלויה ) ‪ (T v1 , . . . , T vr‬פורשת את ) ‪ ,Im (T‬ולכן היא בסיס ל־) ‪.Im (T‬‬
‫אפשר‪ ,‬כמובן‪ ,‬להשלים סידרה זאת לבסיס של ‪.U‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ k‬מימד ) ‪ ,Ker (T‬ויהי ) ‪ (vn−k+1 , . . . , vn‬בסיס ל־) ‪ .Ker (T‬נשלים את‬
‫הסידרה הזאת לבסיס ) ‪ (v1 , . . . , vn‬של ‪ .V‬ברור כי הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn‬פורשת את‬
‫) ‪ ,Im (T‬ומכיוון ש־ ) ‪ vn−k+1 , . . . , vn ∈ Ker (T‬קיים ‪ T vn−k+1 = . . . = T vn = 0‬ולכן‬
‫גם הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn−k‬פורשת את ) ‪ .Im (T‬נוכיח עתה שסדרה זאת היא בלתי‬
‫‪Pn−k‬‬
‫‪ i=1‬ונוכיח‪P‬כי‬
‫תלויה‪ .‬לשם כך יהיו ‪ a1 , . . . , an−k ∈ F‬כך ש־ ‪ ai T vi = 0‬‬
‫‪n−k‬‬
‫‪ ,T‬וזה אומר‬
‫‪ .a1 = . . . = an−k = 0‬לאור לינאריות ‪ T‬קיים ‪= 0‬‬
‫‪i=1 ai vi‬‬
‫‪Pn−k‬‬
‫ש־ )‪ . i=1 ai vi ∈ Ker (T‬מכיוון ש־ ) ‪ (vn−k+1 , . . . , vn‬בסיס ל־) ‪ Ker (T‬קיימים‬
‫‪Pn−k‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ bn−k+1 , . . . , bn ∈ F‬כך ש־ ‪ i=1 ai vi = n−k+1 bi vi‬ולכן‬
‫‪Pn−k‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ , i=1 ai vi +‬ומכיוון ש־ ) ‪ (v1 , . . . , vn‬היא בסיס לכן‬
‫‪n−k+1 (−bi ) vi = 0‬‬
‫‪ .a1 = . . . = an−k = −bn−k+1 = . . . = −bn = 0‬כך ראינו שהסדרה ) ‪(T v1 , . . . , T vn−k‬‬
‫היא בסיס ל־) ‪ ,Im (T‬ולכן ‪ n − k = r‬ומכאן ‪.k = n − r‬‬
‫מסקנה‪ .‬יהי) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס של מרחב ‪ V‬ותהי ‪ T : V → W‬טרנספורמציה‬
‫לינארית‪ .‬הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn‬היא בלתי תלויה אםם }‪ ,Ker (T ) = {0‬אםם ‪ T‬היא‬
‫חד חד ערכית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn‬היא בלתי תלויה אז דרגת ‪ ,T‬שהיא מימד ) ‪,Im (T‬‬
‫היא ‪ n‬ולכן מימד ) ‪ Ker (T‬הוא ‪ , 0‬כלומר }‪ .Ker (T ) = {0‬מצד שני אם }‪Ker (T ) = {0‬‬
‫אז מימד ) ‪ Ker (T‬הוא ‪ 0‬ולכן דרגת ‪ ,T‬שהיא דרגת הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn‬הפורשת את‬
‫) ‪ ,Im (T‬היא ‪ n‬ולכן סדרה זאת בלתי תלויה‪ .‬לכל טרנספורמציה לינארית ‪ T‬קיים כפי שקל‬
‫לראות‪ ,‬ש־ ‪ T‬היא חד חד ערכית אםם }‪.Ker (T ) = {0‬‬
‫משפט החפיפה של טרנספורמציות לינאריות ממרחב למרחב‪ .‬א‪ .‬יהיו ‪ V‬מרחב ווקטורי‬
‫‪n‬־מימדי ו־ ‪ W‬מרחב ‪m‬־מימדי‪ ,‬שניהם מעל השדה ‪ ,F‬ותהיינה ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬טרנספורמציות‬
‫לינאריות מ־ ‪ V‬ל־ ‪ .W‬אז אם ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬הן בעלות אותה דרגה ‪ r‬אז קיימים אוטומורפיזמים‬
‫‪ F : V → V‬ו־ ‪ G : W → W‬כך שלכל ‪ .GT v = T 0 F v v ∈ V‬זה אומר שאם "נחפוף"‬
‫את ‪ V‬על עצמו באמצעות ‪ F‬ואת ‪ W‬על עצמו באמצעות ‪ G‬אז הטרנספורמציה הלינארית‬
‫‪ T‬תחפוף ל־ ‪ T 0‬כי לכל ‪ T v ∈ V‬מעתיקה את ‪ v‬ל־‪ T v‬ו־ ‪ T 0‬מעתיקה את ‪ ,F v‬ש־‪ v‬מותאם‬
‫לו‪ ,‬ל־‪ ,GT v = T 0 F v‬ש־‪ T v‬מותאם לו‪.‬‬
‫הרעיון העומד בבסיס משפט זה הוא שאם אנחנו מסתכלים על כל טרנספורמציה מדרגה‬
‫‪ r‬מ־ ‪ V‬ל־ ‪ W‬מזווית מתאימה‪ ,‬כלומר מבסיס המתאים לטרנספורמציה‪ ,‬אז‪ ,‬לאור המשפט‬
‫הקודם‪ ,‬אנו רואים אותו דבר והוא ‪ r‬וקטורי בסיס העוברים לווקטורים בלתי תלויים‪ ,‬ויתר‬
‫ווקטורי הבסיס עוברים ל־‪.0‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ V, W, T, T 0‬הם כמו בא' פרט לכך שאיננו מניחים דבר על הדרגות של ‪ T‬ושל ‪T 0‬‬
‫וקיימים אוטומורפיזמים ‪ F‬ו־‪ G‬כמו ב־א'‪ ,‬כלומר שאפשר לחפוף את ‪ V‬ואת ‪ W‬על עצמם‬
‫‪1‬‬
‫כך שהטרנספורמציה הלינארית ‪ T‬תחפוף ל־ ‪ ,T 0‬אז ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬הן בעלות אותה דרגה‪.‬‬
‫‪Tv‬‬
‫‪G‬‬
‫‪T‬‬
‫→‪−‬‬
‫↓‬
‫‪GT v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T0‬‬
‫→‪−‬‬
‫↓‬
‫‪Fv‬‬
‫הוכחה‪ .‬א‪ .‬נבחר ל־ ‪ V‬בסיסים ‪ v1 , . . . , vn‬ו־ ‪ v10 , . . . , vn0‬כך ש־ ‪T v1 , . . . , T vr‬‬
‫בסיס ל־ ) ‪ vr+1 , . . . , vn ,Im (T‬בסיס ל־ ) ‪ T 0 v10 , . . . , T 0 vr0 ,Ker (T‬בסיס ל־) ‪Im (T 0‬‬
‫‪0‬‬
‫נשלים את ‪ T v1 , . . . , T vr‬לבסיס‬
‫‪ vr+1‬בסיס ל־) ‪.Ker (T 0‬‬
‫‪, . . . , vn0‬‬
‫ו־‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫לבסיס‬
‫‪T v1 , . . . , T vr‬‬
‫ואת‬
‫‪W‬‬
‫של‬
‫‪T v1 , . . . , T vr , wr+1 , . . . , wm‬‬
‫‪0‬‬
‫‪, . . . , wn0‬‬
‫‪ T 0 v10 , . . . , T 0 vr0 , wr+1‬של ‪ .W‬נגדיר את ‪ F : V → V‬ע"י ‪ F vi = vi0‬עבור‬
‫‪0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪ ,1 ≤ i ≤ n‬ואת ‪ G : W → W‬ע"י ‪ G (T vi ) = T vi‬עבור ‪ 1 ≤ i ≤ r‬ו־ ‪ Gwi = wi‬עבור‬
‫‪ .r + 1 ≤ i ≤ N‬לפי הגדרות ‪ G‬ו־ ‪ F‬קיים לכל ‪GT vi = T 0 vi0 = T F vi 1 ≤ i ≤ r‬‬
‫ולכל ‪ .GT vi = G0 = 0 = T 0 vi0 = T 0 F vi r + 1 ≤ i ≤ n‬מכיוון ש־ ‪ GT‬ו־ ‪ T 0 F‬הן‬
‫טרנספרמציות לינארית המקבלות את אותם הערכים לכל איברי הבסיס ‪ v1 , . . . , vn‬של ‪V‬‬
‫הן מקבלות את אותם הערכים לכל ‪ ,v ∈ V‬ולכן לכל ‪ v ∈ V‬קיים ‪.GT v = T 0 F v‬‬
‫ב‪ .‬נניח שקיימים איזומורפיזמים ‪ F‬ו־‪ G‬כמו ב־א' כך שלכל ‪ v ∈ V‬קיים ‪GT v = T 0 F v‬‬
‫ולכן‬
‫)‪.Dim (Im (GT )) = Dim (Im (T 0 F )) (1‬‬
‫מכיוון ש־‪ G‬הוא איזומורפיזם הוא שומר על המימדים של תתי המרחב של ‪ W‬ומכיוון‬
‫שתמונת ‪ G‬של ) ‪ Im (T‬היא ) ‪ Im (GT‬לכן‬
‫)‪.Dim (Im (GT )) = Dim (Im (T)) (2‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ Im (F ) = V‬קיים ) ‪ ,Im (T 0 F ) = Im (T 0‬ולכן‬
‫)‪.Dim (Im (T0 F)) = Dim (Im (T 0 )) (3‬‬
‫מ־)‪ (2) ,(1‬ו־)‪ (3‬נובע )) ‪ ,Dim (Im (T 0 )) = Dim (Im (T‬כלומר דרגת ‪ T 0‬שווה לדרגת ‪.T‬‬
‫הגדרת הדימיון של טרנספורמציות לינאריות ממרחב לעצמו‪ .‬תהיינה ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬טרנספורמציות‬
‫לינאריות ממרחב וקטורי ‪n V‬־מימדי מעל ‪ F‬לתוך עצמו‪ .‬נאמר ש־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ ,T‬אם קיימת‬
‫"חפיפה" ‪F‬של ‪ V‬על עצמו‪ ,‬כלומר אוטומורפיזם ‪ F‬של ‪ ,V‬המעתיקה את ‪ T‬על ‪ T 0‬במובן‬
‫שלכל ‪ v, w ∈ V‬אם ‪ T v = w‬אז ‪ ,T 0 F v = F w‬כלומר לכל ‪ ,T 0 F v = F T v v ∈ V‬כלומר‬
‫‪ ,T 0 F = F T‬כלומר ‪.T 0 = F T F −1‬‬
‫‪T‬‬
‫→‪−‬‬
‫‪w = Tv‬‬
‫‪F‬‬
‫↓‬
‫‪v‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T0‬‬
‫→‪−‬‬
‫‪Fw = FTv‬‬
‫↓‬
‫‪Fv‬‬
‫דוגמאות‪ .‬לטרנספורמצית הזהות ‪ 1‬של ‪ V‬דומה רק ‪ 1‬עצמה‪ ,‬כי אם ‪ T 0‬דומה ל־‪1‬‬
‫באמצעות האוטומורפיזם ‪ F‬אז לכל ‪ v ∈ V‬מכיוון ש־‪ 1‬מעתיקה את ‪ v‬ל־‪ v‬אז ‪ T 0‬מעתיקה‬
‫‪2‬‬
‫את ‪ F v‬ל־‪ ,F v‬ולכן ‪ T 0‬היא העתקת הזהות על ) ‪ ,Im (F‬ומכיוון ש־ ‪ Im (F ) = V‬לכן ‪T 0‬‬
‫היא טרנספורמצית הזהות של ‪.V‬‬
‫אם ‪ T‬טרנספורמצית השיקוף של )‪ F(2‬ביחס לציר ה־‪ x‬ו־ ‪ T 0‬טרנספורמצית השיקוף של )‪F(2‬‬
‫ביחס לציר ה־‪ T 0 .y‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות האוטומורפיזם ‪ F‬המחליף את צירי ה־‪ x‬וה־‪,y‬‬
‫כלומר הנתון ע"י )‪ ,F (a, b) = (b, a‬כי לכל )‪(a, b) ∈ F(2‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪ F T (a, b) = F (a, −b) = (−b, a‬ו־ )‪.T F (a, b) = T 0 (b, a) = (−b, a‬‬
‫אם ‪ T‬היא כמו לעיל‪ ,‬ו־ ‪ T 0‬היא טרנספורמצית "הסיבוב ב־ ‪ 90o‬בכיוון מתמטי חיובי" אז‬
‫‪ T 0‬אינה דומה ל־ ‪ ,T‬כי לכל וקטור ‪ v‬על ציר ה־‪ x‬קיים ‪ T v = v‬ואז אם ‪ T 0‬היתה דומה‬
‫ל־ ‪ T‬באמצעות ‪ F‬אז ‪ T 0‬היתה צריכה להעתיק את ‪ F v‬לעצמו כלומר ‪) T 0 F v = F v‬כי‬
‫‪ ,(T 0 F v = F T v = F v‬אבל הווקטור היחיד ש־ ‪ T‬מעתיקה לעצמו הוא ווקטור ה־‪.0‬‬
‫משפט‪ .‬יחס הדימיון של הטרנספורמציות הלינאריות ממרחב ‪ V‬לעצמו הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬א‪ .‬רפלקסיביות‪ .‬יהיה ‪ I‬אוטומורפיזם הזהות של ‪ V‬אז קיים ‪ IT = T I‬ו־ ‪T‬‬
‫דומה לעצמה באמצעות ‪.I‬‬
‫סימטריה‪ .‬אם ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬אז קיים אוטמורפיזם ‪ F‬של ‪ V‬כך ש־ ‪ ,T 0 F = F T‬ואז‬
‫‪ ,F −1 T 0 = F −1 T 0 F F −1 = F −1 F T F −1 = T F −1‬ו־ ‪ T‬דומה ל־ ‪ T 0‬באמצעות ‪.F −1‬‬
‫טרנזיטיביות‪ .‬אם ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות ‪ F‬ו־ ‪ T 0‬דומה ל־” ‪ T‬באמצעות ‪ G‬אז ‪F T = T 0 F‬‬
‫ו־ ‪ GT 0 = T ”G‬ולכן ‪ ,GF T = GT 0 F = T ”GF‬ו־” ‪ T‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות ‪.GF‬‬
‫הגדרת תת מרחב אינבאריאנטי‪ .‬תהי ‪ T : V → V‬טרנספורמצה לינארית‪ .‬תת מרחב ‪W‬‬
‫של ‪ V‬נקרא תת מרחב אינבאריאנטי של ‪ T‬אם הוא סגור תחת ‪ ,F‬כלומר אם לכל ‪v ∈ W‬‬
‫‪.T v ∈ W‬‬
‫דוגמאות‪ .‬המרחב ‪ V‬עצמו‪ ,‬ותת מרחב האפס }‪ {0‬הם כמובן תתי מרחב אינבאריאנטיים של‬
‫כל טרנספורמציה ‪ ,T‬והם נקראים תתי המרחב הטריביאליים‪ .‬כמו כן‪ ,‬הגרעין של ‪ T‬הוא תת‬
‫מרחב אינבאריאנטי של ‪ .T‬אם ‪ F T‬היא טרנספורמצית השיקוף של )‪ F(2‬ביחס לציר ה־‪x‬‬
‫אז תתי המרחב האינבאריאנטיים הלא טריביאליים שלה הם ציר ה־‪ {(a, 0) | a ∈ F} x‬וציר‬
‫ה־‪ ,{(0, b) | b ∈ F} y‬ואלו הם היחידים‪ ,‬כי אם תת מרחב אינבאריאנטי כלשהו מכיל את‬
‫הווקטור )‪ (a, b‬עם ‪ a, b 6= 0‬אז הוא מכיל גם את )‪ T (a, b) = (a, −b‬ומכיוון ששני וקטורים‬
‫אלו הם בלתי תלויים הם פורשים את כל )‪ F(2‬ותת המרחב הוא )‪ F(2‬עצמו‪ .‬אם ‪ T‬היא‬
‫טרנספורמצית הסיבוב ב־ ‪ 90o‬בכיוון מתמטי חיובי ב־ )‪ <(2‬נראה שאין ל־ ‪ T‬תתי מרחבים‬
‫אינבאריאנטיים פרט לטריביאליים‪ ,‬ע"י שנראה שאם תת מרחב אינבאריאנטי של ‪ T‬מכיל‬
‫וקטור שאינו ‪ 0‬אז הוא )‪ <(2‬כולו‪ .‬יהי ‪ W‬תת מרחב אינבאריאנטי ל־ ‪ T‬ויהי ‪,(a, b) ∈ W‬‬
‫)‪ .(a, b) 6= (0, 0‬קיים ‪ T (a, b) = (−b, a) ∈ W‬והווקטורים )‪ (a, b‬ו־)‪ (−b, a‬הם בלתי‬
‫תלויים )כי אם )‪ (−b, a) = t (a, b‬אז ‪ −b = ta‬ו־ ‪ a = tb‬ולכן ‪ ,−b = t2 b‬וזה לא יתכן כי‬
‫‪ ,(b 6= 0‬ושני ווקטורים אלו פורשים את )‪.<(2‬‬
‫‪3‬‬
‫משפט‪ .‬אם ‪ T : V → V‬טרנספורמציה לינארית ו־) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ V‬אז‬
‫הווקטורים ‪ vk , . . . , vl‬פורשים תת מרחב אינבאריאנטי של ‪ T‬אםם במטריצה של ‪ T‬ביחס‬
‫לבסיס זה בעמודות ‪ k‬עד ‪ l‬כל הרכיבים הם ‪ 0‬פרט לאלו הנמצאים בשורות ‪ k‬עד ‪ ,l‬כלומר‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪... 0 ... 0 ...‬‬
‫‪a1n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ak−1,1 . . . 0 . . . 0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪k−1,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ak1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪kk‬‬
‫‪kl‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫צורת המטריצה היא ‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ al1‬‬
‫‪. . . alk . . . all . . .‬‬
‫‪aln ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ al+1,1 . . . 0 . . . 0 . . . ai+1,n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪an,1‬‬
‫‪... 0 ... 0 ...‬‬
‫‪ann‬‬
‫משפט‪ .‬אם ‪ T : V → V‬טרנספורמציה לינארית ו־ ‪ W1 , . . . , Wk‬תתי מרחבים‬
‫אינבאריאנטיים של ‪ T‬אז גם סכומם ‪ W1 + . . . + Wk‬הוא תת מרחב אינבאריאנטי‬
‫של ‪.T‬‬
‫משפט‪ .‬אם ‪ T, T 0 : V → V‬ו־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות האוטומורפיזם ‪ F‬של ‪ V‬אז כל‬
‫תת מרחב ‪ W‬של ‪ V‬אינבאריאנטי ל־ ‪ T‬אםם תמונת ‪ F‬שלו היא תת מרחב אינבאריאנטי‬
‫ל־ ‪.T 0‬‬
‫אם ‪ W‬הוא תת מרחב אינבאריאנטי ל־ ‪ T‬אז ‪ T (W ) ⊆ W‬ולכן‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫) ‪ ,T 0 (F (W )) = (T 0 F ) (W ) = (F T ) (W ) = F (T (W )) ⊆ F (W‬כלומר‪F (W ) ,‬‬
‫אינבאריאנטי ל־ ‪ .T 0‬בכיוון השני‪ ,‬אם ) ‪ F (W‬אינבאריאנטי ל־ ‪ T 0‬אז מכיוון ש־ ‪ T‬דומה‬
‫ל־ ‪ T 0‬באמצעות ‪ W = F −1 (F (W )) F −1‬אינבאריאנטי ל־ ‪.T‬‬
‫מוסר השכל‪ .‬ראינו לעיל ששתי טרנספרמציות לינאריות ממרחב ‪ V‬למרחב ‪ W‬השונה‬
‫ממנו הן דומות אם הן מאותה דרגה‪ ,‬וכעת ראינו שכאשר מדובר בטרנספורמציות לינאריות‬
‫מ־ ‪ V‬ל־ ‪ V‬עצמו אז שוויון הדרגה אינו מבטיח דימיון כי בדוגמאות דלעיל ראינו שבכל מרחב‬
‫ווקטורי טרנספורמצית הזהות ‪ 1‬דומה רק לעצמה‪ ,‬וגם ראינו שתי טרנספרמציות לינאריות‬
‫מ־ )‪ <(2‬ל־ )‪ ,<(2‬שתיהן מדרגה ‪ ,2‬שלאחת יש תת מרחב אינבאריאנטי לא טריביאלי ולשניה‬
‫אין‪ ,‬ולכן הן אינן דומות‪.‬‬
‫וקטורים עצמיים וערכים עצמיים‪ .‬הגדרה ומשפט‪ .‬אם ‪ T : V → V‬טרנספורמציה‬
‫לינארית ו־ ‪ W‬תת מרחב אינבאריאנטי של ‪ T‬חד־מימדי אז כל ווקטור ‪ 0 6= w ∈ W‬פורש‬
‫את ‪ ,W‬ומכיוון ש־ ‪ T w ∈ W‬לכן קיים ‪ a ∈ F‬כך ש־‪ .T w = aw‬לכל ‪ v ∈ W‬קיים ‪b ∈ F‬‬
‫כך ש־ ‪ v = bw‬ולכן ‪ .T v = T (bw) = bT w = baw = av‬לכן הפעולה של ‪ T‬על כל איברי‬
‫‪ W‬היא פעולת "מתיחה" באותו גורם ‪ .a‬ואם ל־ ‪ 0 6= v ∈ V‬ו־ ‪ a ∈ F‬קיים ‪T v = av‬‬
‫אנו אומרים ש־‪ v‬וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪ .a‬לכל ערך עצמי ‪ a‬של ‪ T‬קבוצת כל‬
‫איברי ‪ V‬עם ערך עצמי זה‪ ,‬בתוספת ווקטור ה־‪ ,0‬היא תת מרחב של ‪ ,V‬הנקרא תת המרחב‬
‫העצמי של ‪ .a‬ברור כי המרחב העצמי של הערך ‪ 0‬הוא הגרעין ) ‪ Ker (T‬של ‪.T‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ T : V → V‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬התנאים הבאים שקולים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬הווקטורים העצמיים של ‪ T‬פורשים את ‪.V‬‬
‫ב‪ .‬ל־ ‪ V‬יש בסיס כך שהמטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס זה היא אלכסונית‪.‬‬
‫משפט‪ .‬אם ‪ T, T 0 : V → V‬ו־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות האוטומורפיזם ‪ F‬של ‪ V‬אז‬
‫‪ v ∈ V‬הוא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪ a‬אםם ‪ F v‬הוא ערך עצמי של ‪ T 0‬עם אותו‬
‫ערך עצמי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬מכיוון ש־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות ‪ F‬אז לכל ‪ u ∈ V‬קיים ‪ .F T u = T 0 F u‬אם‬
‫‪4‬‬
‫‪ v ∈ V‬הוא ערך עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪ a‬אז ‪ T v = av‬ולכן = ‪T 0 F v = F T v = F av‬‬
‫‪ ,aF v‬כלומר ‪ F v‬הוא ערך עצמי של ‪ T 0‬עם הערך העצמי ‪ .a‬בכוון השני‪ :‬אם ‪ F v‬הוא ערך‬
‫עצמי של ‪ T 0‬עם הערך העצמי ‪ a‬אז ‪ F T v = T 0 F v = aF v = F av‬ולכן ‪,F T v = F av‬‬
‫ומכיוון ש־ ‪ F‬חד חד ערכית ‪.T V = aV‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ‪ T : V → V‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬נסמן ב־‪ 1‬את העתקת הזהות של ‪.V‬‬
‫‪ a‬הוא ערך עצמי של ‪ T‬אםם הטרנספורמציה ‪ a1 − T‬היא סינגולרית‪ ,‬כלומר מימד הטווח‬
‫שלה קטן ממימד ‪.V‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ a‬ערך עצמי של ‪ T‬אז קיים ‪ 0 6= v ∈ V‬כך ש־ ‪ T v = av = a1v‬ולכן‬
‫‪ (a1 − T) v = a1v − T v = 0‬ומכיוון ש־ ‪ a1 − T v 6= 0‬היא טרנספורמציה סינגולרית‪.‬‬
‫בכוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ a1−T‬היא טרנספורמציה סינגולרית אז קיים ‪ v 6= 0‬שטרנספורמציה זאת‬
‫מעבירה ל־‪ ,0‬כלומר‪ ,(a1 − T ) v = 0 ,‬ולכן ‪av − T v = a1v − T v = (a1 − T) v = 0‬‬
‫ומכאן ‪.T v = av‬‬
‫כתיבת סדרת וקטורים כמטריצת שורה או עמוד‪ .‬כדי לכתוב נוסחאות בצורה יותר נוחה‬
‫שורה או עמוד ונשתמש בהן בכפל מטריצות‬
‫לטיפול נכתוב סדרות של ווקטורים‬
‫כמטריצות ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Pn‬‬
‫כאילו שהן מטריצות‪ .‬כך ‪ ,[v1 , . . . , vn ]  ...  = i=1 ai vi‬וכן‬
‫‪an‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1m‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .[v1 . . . . , vn ]  ...‬החישוב המוכיח‬
‫] ‪ = [ i=1 ai1 vi , . . . , i=1 aim vi‬‬
‫‪...‬‬
‫‪.‬‬
‫‪an1 . . . anm‬‬
‫שכפל מטריצות הוא אסוציאטיבי הוא תקף גם כאשר במקום אחת המטריצות מופיעה‬
‫מטריצת וקטורים‪ ,‬וכך ‪ .[v1 , . . . , vn ] (AB) = ([v1 , . . . , vn ]) B‬לטרנספורמציה ‪ T‬נכתוב‬
‫גם ] ‪ T [v1 , . . . , vn‬עבור ] ‪.[T v1 , . . . , T vn‬‬
‫מטריצה של טרנספורמציה לינארית‪ .‬יהיו ) ‪ v = (v1 , . . . , vn‬בסיס למרחב ‪V‬‬
‫‪ W‬יכול גם להיות ‪ V‬עצמו‪ ,‬כאשר הבסיס ‪w‬‬
‫ו־ ) ‪ w = (w1 . . . , wn‬בסיס למרחב ‪.W‬‬
‫שלו אינו בהכרח ‪ .v‬תהי ‪ T‬טרנספורמציה לינארית מ־ ‪ V‬ל־ ‪ .W‬המטריצה של ‪ T‬ביחס‬
‫לבסיסים אלו היא המטריצה ‪ A‬בת ‪ m‬שורות ו־‪ n‬עמודות שהעמודה ה־‪ i‬שלה היא ‪m‬־ית‬
‫מקדמי ‪ T vi‬בהצגה לפי ) ‪ ,(w1 , . . . , wm‬כלומר‬
‫‪...‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪T [v1 , . . . , vn ] = [w1 , . . . , wm ] A.‬‬
‫מכיוון ש־‪ w‬הוא בסיס אז לכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬הצגת ‪ vi‬לפי בסיס זה היא יחידה‪ ,‬ולכן העמודה‬
‫ה־‪ i‬היא יחידה‪ ,‬והמטריצה ‪ A‬היא יחידה‪.‬‬
‫בכוון ההפוך‪ ,‬בהינתן מטריצה ‪ A‬בת ‪ m‬שורות ו־‪ n‬עמודות כלשהי אז הנוסחה‬
‫‪ T [v1 , . . . , vn ] = [w1 , . . . , wm ] A‬מגדירה את ערכי הפונקציה ‪ T‬לכל איברי הבסיס ‪ v‬של‬
‫‪ V‬ולכן קיימת טרנספרמציה לינארית ‪ T‬יחידה מ־ ‪ V‬ל־ ‪ W‬המקיימת את הנוסחה הזאת‪.‬‬
‫נוסחת הטרנספורמציה לווקטור כלשהו ב־ ‪ V‬היא‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T ( i=1 bi vi ) = T [v1 , . . . , vn ]  ...  = T [v1 , . . . , vn ]  ... ‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= [w1 , . . . , wm ] A  ... ‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪5‬‬
‫את משפט הבסיסים התיקניים להצגת טרנספורמציה לינארית אפשר לתרגם לשפת‬
‫המטריצות כך‪ :‬אם ‪ T‬טרנספורמציה לינארית שדרגתה ‪ r‬ממרחב ‪n‬־מימדי ‪ V‬למרחב ‪m‬־‬
‫מימדי ‪ W‬אז יש ל־ ‪ V‬ול ‪ W‬בסיסים ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ו־) ‪ (w1 , . . . , wm‬כך שהמטריה של ‪T‬‬
‫ביחס לבסיסים אלו היא המטריצה ‪ Ir‬שכל רכיביה הם ‪ 0‬פרט ל־‪ r‬הרכיבים הראשונים‬
‫לאורך האלכסון הראשי שהם ‪.1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ 0 ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .. . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 ... 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ir = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫מטריצת המעבר מבסיס לבסיס‪ .‬יהיו ) ‪ v = (v1 , . . . , vn‬ו־ ) ‪ w = (w1 . . . , wn‬בסיסים‬
‫למרחב ‪ .V‬מטריצת המעבר מ־‪ v‬ל־‪ w‬היא המטריצת של טרנספורמצית הזהות של ‪ V‬עם‬
‫הבסיס ‪ v‬על ‪ V‬עצמו עם הבסיס ‪ .w‬זאת היא המטריצה היחידה ‪ A‬בת ‪ n‬שורות ו־‪n‬‬
‫עמודות שהעמודה ה־‪ i‬שלה היא עמודת מקדמי ‪ vi‬בהצגה לפי ‪ ,w‬כלומר‬
‫‪[v1 , . . . , vn ] = [w1 , . . . , wm ] A‬‬
‫‪ .‬שינוי הקואורדינטות של וקטור כללי הוא‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ = [w1 , . . . , wm ] A ‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.[v1 , . . . , vn ] ‬‬
‫‪bn‬‬
‫פעולות על טרנספורמציות ומטריצות‪ .‬משפט‪ .‬א‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס למרחב וקטורי‬
‫‪ V‬ו־ ) ‪ (w1 , . . . , wm‬בסיס למרחב ‪ .W‬תהיינה ‪ S, T : V → W‬טרנספורמציות לינאריות‬
‫שהמטריצות שלהן ביחס לבסיסים אלו הם ‪ .A, B‬אז המטריצה של ‪ S + T‬ביחס לבסיסים‬
‫אלו היא ‪.A + B‬‬
‫ב‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס למרחב וקטורי ‪ V‬ו־ ) ‪ (w1 , . . . , wm‬בסיס למרחב ‪ .W‬תהי‬
‫‪ T : V → W‬טרנספורמציה לינארית שהמטריצה שלה ביחס לבסיסים אלו היא ‪ .A‬אז לכל‬
‫סקלר ‪ c‬המטריצה של ‪ cT‬ביחס לבסיסים אלו היא ‪.cA‬‬
‫ג‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס למרחב ‪ (u1 , . . . , um ) ,V‬בסיס למרחב ‪ U‬ו־) ‪ (w1 , . . . , wl‬בסיס‬
‫למרחב ‪ .W‬יהיו ‪ S : V → U‬ו־ ‪ T : U → W‬טרנספורמציות לינאריות ותהינה ‪A‬‬
‫המטריצה של ‪ S‬ו־‪ B‬המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיסים אלו‪ .‬אז המטריצה של ‪T S : V → W‬‬
‫ביחס לבסיסים ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ו־ ) ‪ (w1 , . . . , wl‬היא ‪.BA‬‬
‫ד‪ .‬יהיו ) ‪ v = (v1 , . . . , vn‬ו־ ) ‪ w = (w1 . . . , wn‬בסיסים למרחב ‪ V‬ותהי ‪ A‬מטריצת‬
‫המעבר מן הבסיס ‪ v‬לבסיס ‪ w‬אז מטריצת המעבר מן הבסיס ‪ w‬לבסיס ‪ v‬היא ‪.A−1‬‬
‫הוכחה‪ .‬ג‪ .‬לפי הגדרת מושג המטריצה של טרנספרמציה לינארית קיים‬
‫‪(T S) [v1 , . . . , vn ] = T (S [v1 , . . . , vn ]) = T ([u1 . . . . , um ] A) = (T [u1 , . . . , um ]) A‬‬
‫)‪= ([w1 , . . . , wl ] B) A = [w1 , . . . , wl ] (BA‬‬
‫‪6‬‬
‫וכך ‪ BA‬היא המטריצה של הטרנספורמציה ‪.T S‬‬
‫ד‪ .‬תהי ‪ B‬מטריצת המעבר מן הבסיס ‪ w‬לבסיס ‪ v‬ואז‬
‫)‪ .[w1 , . . . , wn ] = [v1 , . . . , vn ] B = ([w1 , . . . , wn ] A) B = [w1 , . . . , wn ] (AB‬זה אומר‬
‫שמטריצת המעבר מ־‪v‬ל־‪ v‬היא ‪ .AB‬אבל גם מטריצת היחידה ‪ I‬היא מטריצת המעבר‬
‫מ־‪ w‬ל־‪ w‬אז לאור יחידות מטריצת המעבר קיים ‪ AB = I‬ולכן ‪.B = A−1‬‬
‫וקטורים עצמיים וערכים עצמיים מנקודת הראות של המטריצה‪ .‬יהי ‪ v‬וקטור עצמי של‬
‫העצמי ‪ λ‬ותהי ‪ A‬המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪.(v1 , . . . , vn‬‬
‫הערך ‪‬‬
‫‪ T : V → V‬עם ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ל־‪ v‬ישנה הצורה ‪ ,[v1 , . . . , vn ]  ... ‬כאשר העמודה ‪  . . . ‬אינה עמודת אפסים‪.‬‬
‫‪bb‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כפי שראינו לעיל‪ .T v = [v1 , . . . , vn ] A  ...  ,‬מכיוון ש־‪ v‬הוא ווקטור עצמי של ‪ T‬עם‬
‫‪b‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫ערך עצמי ‪ λ‬לכן ‪ T v = λv = λ [v1 , . . . , vn ]  . ‬לכן‪ ,‬כאשר אנו מסמנים ב־‪ I‬את‬
‫‪bn‬‬
‫מטריצת היחידה‪ ,‬מתקבל‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − [v1 , . . . , vn ] A ‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 = T v − T v = λ [v1 , . . . , vn ] ‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= [v1 , . . . , vn ] (λI − A) ‬‬
‫‪bn‬‬
‫בסיס לכן ‪‬מקדמי הצגת ווקטור האפס לפיו כולם אפסים ומן‬
‫‪ (v‬הוא‬
‫‪ ‬‬
‫מכיוון ש־ ) ‪1 , . . . , vn‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫הביטוי האחרון נובע ‪ .(λI − A)  ...  =  ... ‬את כל הצעדים שעשינו כאן עובדים‬
‫‪bn‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫גם‪ ,‬ללא כל בעיות‪ ,‬בכיוון ההפוך ולכן אם ‪(λI − A)  ...  =  ... ‬אז הווקטור‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ v = [v1 , . . . , vn ] ‬הוא ווקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪ .λ‬זה מוביל להגדרה‬
‫‪bn‬‬
‫הבאה‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫וערך עצמי של מטריצה‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה ‪ .n × n‬עמודת סקלרים‬
‫ווקטור ‪‬עצמי ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ...  6=  0 ‬נקראת ווקטור עצמי של ‪ A‬עם ערך עצמי ‪ λ‬אם‬
‫‪0‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ,A  ...  = λ  ... ‬וזה שקול ל־ ‪ .(λI − A)  ...  =  ... ‬קבוצת הווקטורים‬
‫‪bn‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪0‬‬
‫‪bn‬‬
‫העצמיים עם ערך עצמי ‪ ,λ‬בתוספת ווקטור האפס‪ ,‬נקראת המרחב העצמי של ‪ .λ‬כפי שראינו‬
‫‪ G : F(n) →‬הנתון ע"י‬
‫האיזומורפיזם‪V‬‬
‫זה עתה‪‬ההגבלה של‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ G  ...  = [v1 , . . . , vn ]  ... ‬למרחב העצמי של ‪ λ‬ב־ )‪ F(n‬הוא איזומורפיזם של‬
‫‪bn‬‬
‫‪bn‬‬
‫מרחב זה על המרחב העצמי של ‪ λ‬ב־ ‪ .V‬לכן הערכים העצמיים של הטרנספורמציה ‪ T‬ב־ֱ ‪V‬‬
‫הם בדיוק אלו של המטריצה ‪ A‬של ‪ ,T‬ולכן ניגש עתה למציאת ערכים עצמיים אלו‪.‬‬
‫‪ ‬הוא ערך עצמי של ‪ A‬אםם קיימת‬
‫הסקלר ‪λ‬‬
‫מטריצה‪ .‬כפי‬
‫שראינו‪ ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫האופייני של ‪‬‬
‫‪‬‬
‫הפולינום ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫עמודה ‪  ...  6=  ... ‬כך ש־ ‪ .(λI − A)  ...  =  ... ‬קיימת עמודה כזאת‬
‫‪bn‬‬
‫‪0‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪0‬‬
‫בדיוק אז כאשר המטריצה ‪ λI − A‬סינגולרית וזה קיים בדיוק אז כאשר ‪.|λI − A| = 0‬‬
‫המקיימים = |‪|xI − A‬‬
‫לכן הערכים העצמיים של ‪ A‬הם בדיוק הערכים של המשתנה ‪x‬‬
‫‬
‫‪ x − a11‬‬
‫‪−a12‬‬
‫‪...‬‬
‫ ‪−a1n‬‬
‫‬
‫‪ −a21‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ ‪−a2n‬‬
‫‪22‬‬
‫‬
‫ וזה בברור פולינום‬
‫‪0‬הדטרמיננטה |‪ |xI − A‬היא ‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ −an1‬‬
‫‪−an2‬‬
‫ ‪. . . x − ann‬‬
‫מתוקן ממעלה ‪ n‬במשתנה ‪.x‬‬
‫פולינום זה נקרא הפולינום האופייני של ‪ .A‬לכן כדי למצוא את הערכים העצמיים של‬
‫המטריצה ‪ A‬עלינו למצוא את השורשים של הפולינום האופייני שלה‪ .‬בשדה הממשיים יש‬
‫שורש לכל פולינום ממעלה איזוגית‪ ,‬לכן אם המספר ‪ n‬של שורות ועמודי ‪ A‬הוא איזוגי אז‬
‫יש ל־‪ A‬לפחות ערך עצמי אחד‪ .‬בשדה המרוכבים יש שורש לכל פולינום ממעלה ≤ ‪ 1‬ולכן‬
‫יש ל־‪ ְ A‬תמיד לפחות ערך עצמי אחד‪ .‬נראה עתה דוגמה למציאת הערכים והווקטורים‬
‫העצמיים‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪a c‬‬
‫=‪A‬‬
‫מציאת הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים למטריצות ‪ . 2 × 2‬תהי‬
‫‪b d‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ x−a‬‬
‫ ‪−b‬‬
‫‬
‫ויהי )‪= x2 − (a + d) x + (ad − bc‬‬
‫ = )‪ p(x‬הפולינום האופייני שלה‪.‬‬
‫‪−c‬‬
‫ ‪x−d‬‬
‫קיימות האפשרויות הבאות‪:‬‬
‫ היא בעלת הצורה )‪ .(x − s)(x − t‬הווקטורים‬
‫אז )‪p(x‬‬
‫‪.s‬‬
‫שורש‬
‫אפשרות א‪ .‬ל־)‪ p(x‬יש‬
‫‬
‫‪b1‬‬
‫המקיימות‬
‫במרחב העצמי של ‪ s‬הם העמודות‬
‫‪b2‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪s−a‬‬
‫‪−c‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .‬מכיוון ש־‪ s‬הוא ערך עצמי דרגת המטריצה‬
‫=‬
‫‪−b‬‬
‫‪s − d b2‬‬
‫ ‪0‬‬
‫‪s−a‬‬
‫‪−c‬‬
‫היא קטנה מ־‪ .2‬אם דרגת המטריצה הזאת היא ‪ 0‬אז היא מטריצת‬
‫‪−b‬‬
‫‪s−d‬‬
‫‪8‬‬
‫)‪ F(2‬כולו‪ ,‬וקיים‬
‫המרחב ‬
‫של ‪ A‬הוא ‬
‫המרחב העצמי ‬
‫‬
‫אפסים ולכן‬
‫‬
‫‬
‫‪s−a‬‬
‫‪−c‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪ .‬אם דרגת המטריצה‬
‫לכל עמודה‬
‫‪=s‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪s−d‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪b d‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪b2‬‬
‫כפולה שלה‬
‫היא ‪ 1‬אז לפחות אחת משורותיה אינה שורת אפסים והשורה האחרת היא‬
‫‬
‫‬
‫‪b1‬‬
‫בסקלר‪ .‬אם השורה הראשונה של מטריצה זאת אינה שורת אפסים אז העמודות‬
‫‪b2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪c‬‬
‫‪s−a‬‬
‫‪−c‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪0‬‬
‫והמרחב‬
‫הן בדיוק הכפולות של‬
‫=‬
‫המקיימות‬
‫‪s−a‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪s−d‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪0‬‬
‫תת המרחב הנפרש ע"י עמודה זאת‪ .‬אם השורה הראשונה של המטריצה‬
‫העצמי של ‪ s‬הוא ‬
‫‬
‫‪s−a‬‬
‫‪−c‬‬
‫היא שורת אפסים אז השורה השניה שלה אינה שורת אפסים והמרחב‬
‫‪−b‬‬
‫‪s−d‬‬
‫‬
‫‬
‫‪s−d‬‬
‫‪.‬‬
‫העצמי של ‪ s‬הוא תת המרחב הנפרש ע"י‬
‫‪b‬‬
‫אם‬
‫שלו‪ .‬‬
‫אם ‪ t = s‬אז ‪ s‬הוא הערך העצמי היחיד של ‪ ,A‬וחישבנו את המרחב העצמי ‬
‫‪b1‬‬
‫‪ t 6= s‬אז גם ‪ t‬הוא ערך עצמי של ‪ A‬הווקטורים במרחב העצמי של ‪ t‬הם העמודות‬
‫‪b2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪t − a −c‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪0‬‬
‫ואלו הן הכפולות בסקלר של העמודה‬
‫=‬
‫המקיימות‬
‫‪−b‬‬
‫‪t‬‬
‫‪−‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫ ‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪t−d‬‬
‫‪c‬‬
‫אחרת‪.‬‬
‫‪ ,‬אם עמודה זאת אינה עמודת אפסים‪ ,‬ו־‬
‫‪b‬‬
‫‪t−a‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בשדה הממשיים המטריצה של הסיבוב‬
‫עצמיים‪.‬‬
‫ערכים‬
‫אין‬
‫למטריצה‬
‫ב‪.‬‬
‫אפשרות‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫והפולינום האופייני שלה הוא ‪ x2 + 1‬שאין‬
‫ב־ ‪ 90o‬בכוון מתמטי חיובי היא‬
‫‪1 0‬‬
‫שורשים ‪ i‬ו־‪ .−i‬המטריצה פחות ‪iI‬‬
‫שני‬
‫‬
‫שדה המרוכבים יש לפולינום זה ‬
‫שורשים‪ .‬מעל ‬
‫לו ‬
‫‪1‬‬
‫‪−i −1‬‬
‫‪ ,‬והוא פורש את המרחב העצמי‬
‫והווקטור המאפס אותה הוא‬
‫היא‬
‫‪−i‬‬
‫‪ 1 −i‬‬
‫‪1‬‬
‫פורש את המרחב העצמי של ‪.−i‬‬
‫של ‪ .i‬באותו אופן‬
‫‪i‬‬
‫המטריצות השונות של טרנספררמציה לינארית ממרחב לעצמו‪ .‬משפט‪ :‬תהי ‪ A‬המטריצה‬
‫של טרנספורמציה ‪ T : V → V‬ביחס לבסיס ) ‪ (v1 , . . . , vn‬של ‪ .V‬יהי ) ‪ (w1 , . . . , wn‬בסיס‬
‫כלשהו של ‪ V‬כך שמטריצת המעבר מ־ ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ל־ ) ‪(w1 , . . . , wn‬היא ‪ ,D‬אז המטריצה‬
‫של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪ (w1 , . . . , wn‬היא ‪ .DAD−1‬בכוון הפוך‪ ,‬אם ‪ D‬היא מטריצה ‪n × n‬‬
‫הפיכה כלשהי אז ‪ DAD−1‬היא המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪(w1 , . . . , wn‬מסויים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬מכיוון ש־‪ D‬היא מטריצת המעבר מ־ ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ל־ ) ‪(w1 , . . . , wn‬לכן‬
‫‪[v1 , . . . , vn ] = [w1 , . . . , wn ] D‬‬
‫)‪(1‬‬
‫מכיוון ש־‪ A‬היא המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪ (v1 , . . . , vn‬אז‬
‫‪T [v1 , . . . , vn ] = [v1 , . . . , vn ] A‬‬
‫)‪(2‬‬
‫נציב ב־ )‪ [w1 , . . . , wn ] D (2‬עבור ] ‪ [v1 , . . . , vn‬ונקבל‬
‫‪T ([w1 , . . . , wn ] D) = ([w1 . . . . , wn ] D) A‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪.T ([w1 , . . . , wn ] D) = (T [w1 , . . . , wn ]) D‬‬
‫)‪(4‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ T‬לינארית קיים‬
‫ומכיוון שמכפלת "מטריצה" של ווקטורים במטריצות סקלרים היא אסוציאטיבית קיים‬
‫)‪([w1 , . . . , wn ] D) A = [w1 , . . . , wn ] (DA‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪(T [w1 . . . , wn ]) D = [w1 , . . . , wn ] (DA‬‬
‫)‪(6‬‬
‫הצבת )‪ (4‬ו־)‪ (5‬ב־)‪ (3‬נותנת‬
‫‪−1‬‬
‫כפל מטריצות נותן‬
‫וכפל מימין ב־ ‪ D‬ושימוש באסוציאטביות ‬
‫‪−1‬‬
‫‪T [w1 . . . , wn ] = [w1 , . . . , wn ] DAD‬‬
‫)‪(7‬‬
‫וזה אומר שהמטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪ (w1 , . . . , wn‬היא ‪.DAD−1‬‬
‫‬
‫‪9‬‬
‫‬
‫בכוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ D‬היא מטריצה הפיכה אז ‪ [w1 , . . . , wn ] = [v1 , . . . , vn ] D−1‬ולכן‬
‫] ‪ .[w1 , . . . , wn ] D = [v1 , . . . , vn‬זה אומר שהסידרה ) ‪ (w1 , . . . , wn‬פורשת את ‪ V‬ולכן‬
‫סידרה זאת היא בסיס ל־ ‪ V‬ומטריצת המעבר מ־) ‪ (v1 , . . . , vn‬ל־) ‪ (w1 , . . . , wn‬היא ‪.D‬‬
‫לכן‪ ,‬כפי שראינו לעיל‪ ,‬המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ־) ‪(w1 , . . . , wn‬היא ‪.DAD−1‬‬
‫דימיון מטריצות ריבועיות‪ .‬הגדרה‪ :‬המטריצה ‪ B n × n‬דומה למטריצה ‪ Aְ n × n‬אם‬
‫קיימת מטריצה ‪ n × n‬הפיכה ‪ D‬כך ש־ ‪.B = DAD−1‬‬
‫יחס הדימיון הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫רפלקסיביות‪ A :‬דומה לעצמה כי ‪ A = IAI −1‬היכן ש־‪ I‬היא מטריצת היחידה‪ ,‬כי‬
‫‪.T 0 = F T F −1 .I −1 = I‬‬
‫‪−1‬‬
‫סימטריה‪ :‬אם ‪ B‬דומה ל־‪ A‬אז ‪ ,B = DAD‬ואז‬
‫‪−1‬‬
‫‬
‫‪ D−1 B D−1‬ולכן ‪ A‬דומה ל־‪ B‬באמצעות‬
‫‪= D−1 BD = D−1 DAD−1 D = A‬‬
‫המטריצה ההפיכה ‪.D−1‬‬
‫טרנזיטיביות‪ .‬אם ‪ C‬דומה ל־‪ B‬ו־‪ B‬דומה ל־‪ A‬אז קיימות מטריות הפיכות ‪ D‬ו־‪ E‬כך‬
‫ש־ ‪ B = DAD−1‬ו־ ‪ ,C = EBE −1‬ולכן‬
‫‪ −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ C = E DAD‬ו־‪ C‬דומה ל־‪.A‬‬
‫)‪E = (ED) A D−1 E −1 = (ED) A (ED‬‬
‫ההתאמה בין מחלקות הדימיון של הטרנספורמציות והמטריצות‪ .‬ראינו לעיל כי אם ‪A‬‬
‫היא המטריצה של הטרנספורמציה ‪ T‬ביחס לבסיס מסויים של ‪ T‬אז המטריצה של ‪ T‬ביחס‬
‫לכל בסיס אחר של ‪ V‬היא דומה ל־‪ ,A‬ובכוון הפוך‪ ,‬כל מטריצה הדומה ל־‪ A‬היא המטריצה‬
‫של ‪ T‬ביחס לבסיס מסויים של ‪ .V‬לכן קבוצת המטריצות של ‪ T‬ביחס לכל הבסיסים של ‪V‬‬
‫היא מחלקת דימיון‪ ,‬כלומר מחלקת שקילות של יחס הדימיון‪.‬‬
‫לעיל הגדרנו כי טרנספורמציה ‪ T 0 : V → V‬דומה לטרנספורמציה ‪ T : V → V‬אםם‬
‫קיים אוטומורפיזם ‪ F‬של ‪ V‬כך ש־ ‪ .T 0 = F T F −1‬תהיינה ‪ A‬ו־ ‪ A0‬המטריצות של ‪T‬‬
‫ו־ ‪ T 0‬ביחס לבסיס כלשהו ) ‪(v1 , . . . , vn‬של ‪ .V‬תהיינה ‪ D‬ו־‪ E‬המטריצות של ‪ F‬ו־ ‪ F −1‬אז‬
‫‪ DE‬היא המטריצה של ‪ F F −1‬שהיא טרמספורמצית הזהות‪ ,‬שהמטריצה שלה היא מטריצת‬
‫היחידה ‪ .I‬לכן ‪ D ,DE = I‬הפיכה והמטריצה של ‪ F −1‬היא ‪ .D−1 = E‬מכיוון ש־‬
‫‪ T 0 = F T F −1‬לכן המטריצה של ‪ T 0‬היא ‪ DAD−1‬הדומה ל־‪ .A‬קבוצת כל המטריצות של‬
‫‪ T 0‬ביחס לכל הבסיסים של ‪ V‬היא מחלקת הדימיון של ‪ ,DAD−1‬שהיא מחלקת הדימיון‬
‫של ‪ A‬כי ‪ DAD−1‬דומה ל־‪ .A‬כך ראינו כי לטרנספורמציות דומות מתאימה אותה מחלקת‬
‫דימיון של מטריצות‪.‬‬
‫בכיוון ההפוך‪ ,‬תהיינה ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬שתי טרנספורמציות לינאריות שקבוצות המטריצות שלהן‬
‫שוות‪ ,‬ונוכיח כי ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ ,T‬ולכן למחלקת דימיון של מטריצות מתאימה מחלקת דימיון‬
‫של טרנספורמציות‪ .‬יהי ) ‪(v1 , . . . , vn‬בסיס כלשהו של ‪ V‬ותהיינה ‪ A‬ו־ ‪ A0‬המטריצות של ‪T‬‬
‫ו־ ‪ T 0‬ביחס ל־) ‪ .(v1 , . . . , vn‬מכיוון שלפי הנתון ‪ A0‬נמצאת בקבוצת המטריצות של ‪A0 T‬‬
‫דומה ל־‪ A‬ולכן קיימת מטריצה הפיכה ‪ D‬כך ש־ ‪ .A0 = DAD−1‬תהי ‪ F‬הטרנספורמציה‬
‫הלינארית של ‪ V‬שהמטריצה שלה ביחס ל־) ‪ (v1 , . . . , vn‬היא ‪ .D‬מכיוון ש־‪ D‬הפיכה‬
‫‪ F‬היא אוטומורפיזם של ‪ .V‬תהי ‪ S‬הטרנספורמציה ‪ F T F −1‬של ‪ .V‬המטריצה שלה‬
‫ביחס ל־) ‪(v1 , . . . , vn‬היא מכפלת המטריצות של ‪ F, T, F −1‬כלומר ‪DAD−1‬שהיא ‪ .A0‬כך‬
‫ל־ ‪ T 0‬ול־ ‪ F T F −1‬ישנה אותה מטריצה ביחס ל־) ‪ (v1 , . . . , vn‬ולכן ‪ ,T 0 = F T F −1‬וזה אומר‬
‫ש־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ .T‬כך קבלנו שבכל מחלקת דימיון של מטריצות קבוצת הטרנספורמציות‬
‫המתאימה לכל אחת מהן היא שווה והיא מחלקת דימיון של טרנספורמציות‪ ,‬וההתאמה בין‬
‫הטרנספורמציות והמטריצות‪ ,‬ללא קשר לבסיסים‪ ,‬היא התאמה חד חד ערכית של מחלקות‬
‫הדימיון של הטרנספורמציות למחלקות הדימיון של המטריצות‪.‬‬
‫הפולינום האופייני של טרנספורמציה‪ .‬ראינו לעיל כי אם ‪ A‬היא המטריצה של טרנספורמציה‬
‫‪T‬אז יש ל־‪ A‬ול־ ‪ T‬בדיוק אותם ערכים עצמיים‪ .‬הערכים העצמיים של ‪ A‬הם השורשים של‬
‫הפולינום האופייני של ‪ ,A‬ומתעוררת השאלה כיצד תלוי הפולינום האופייני של ‪ A‬בבחירת‬
‫‪10‬‬
‫המטריצה המסויימת של ‪.T‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬ו־‪ B‬מטריצות דומות אז הפולינומים האופייניים שלהן שווים‪ .‬לכן בהינתן‬
‫טרנספורמציה לינארית ‪ T‬נגדיר את הפולינום האופייני שלה כפולינום האופייני של מטריצה‬
‫‪ A‬כלשהי של ‪ ,T‬וכפי שאמרנו פולינום שה אינו תלוי בבחירת ‪ .A‬בפוילנום האופייני של ‪A‬‬
‫המקדם של ‪ xn−1‬הוא העיקבה של ‪ ,A‬כלומר סכום איברי האלכסון הראשי של ‪ ,A‬ולכן‬
‫העיקבה של ‪ A‬היא שווה לכל הפולינומים האופייניים של ‪ ,T‬ונקרא לה העיקבה של ‪.T‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהיו |‪ f (x) = |Ix − A‬ו־ |‪ g(x) = |Ix − B‬הפולינומים האופייניים של ‪A‬‬
‫ו־‪ .B‬מכיוון ש־‪ B‬דומה ל־‪ A‬קיימת מטריצה הפיכה ‪ D‬כך ש־ ‪ .B = DAD−1‬לכן‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ Ix − B = Ix‬ולכן‬
‫‪= DIxD−1 − DAD‬‬
‫‪ − DAD −1‬‬
‫)‪ −1 = D (Ix − A‬‬
‫ ‪ D−1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪g(x) = |Ix − B| = D (Ix − A) D‬‬
‫‪= |D| |Ix − A| D‬‬
‫ ‪= |Ix − A| |D| D‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪= |Ix − A| DD = |Ix − A| |I| = |Ix − A| · 1 = f (x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪11‬‬