‫טרנספורמציות לינאריות‬ ‫גרסת ‪19.4.2015‬‬ ‫משפט הבסיסים התקניים להצגת טרנספורמציה לינארית‪ :‬תהי ׂ ‪ T‬טרנספורמציה לינארית‬ ‫ממרחב ‪n‬־מימדי ‪ V‬למרחב ‪ .W‬הגרעין ) ‪ Ker (T‬של ‪ T‬זאת הקבוצה }‪.{v ∈ V | T v = 0‬‬ ‫הדרגה של ‪ ,T‬שנסמנה ב־‪ ,r‬היא מימד התמונה ) ‪ Im (T‬של ‪ .T‬קיים בסיס ) ‪(v1 , . . . , vn‬‬ ‫ל־ ‪ V‬כך ש־ ) ‪ (T v1 , . . . , T vr‬היא סדרת ווקטורים בלתי תלויה ב־ ‪ W‬ו־ ) ‪(vr+1 , . . . , vn‬‬ ‫היא בסיס ל־) ‪ .Ker (T‬במיוחד‪ ,‬המימד של ) ‪ Ker (T‬הוא ‪.n − r‬‬ ‫הסידרה הבלתי תלויה ) ‪ (T v1 , . . . , T vr‬פורשת את ) ‪ ,Im (T‬ולכן היא בסיס ל־) ‪.Im (T‬‬ ‫אפשר‪ ,‬כמובן‪ ,‬להשלים סידרה זאת לבסיס של ‪.U‬‬ ‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ k‬מימד ) ‪ ,Ker (T‬ויהי ) ‪ (vn−k+1 , . . . , vn‬בסיס ל־) ‪ .Ker (T‬נשלים את‬ ‫הסידרה הזאת לבסיס ) ‪ (v1 , . . . , vn‬של ‪ .V‬ברור כי הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn‬פורשת את‬ ‫) ‪ ,Im (T‬ומכיוון ש־ ) ‪ vn−k+1 , . . . , vn ∈ Ker (T‬קיים ‪ T vn−k+1 = . . . = T vn = 0‬ולכן‬ ‫גם הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn−k‬פורשת את ) ‪ .Im (T‬נוכיח עתה שסדרה זאת היא בלתי‬ ‫‪Pn−k‬‬ ‫‪ i=1‬ונוכיח‪P‬כי‬ ‫תלויה‪ .‬לשם כך יהיו ‪ a1 , . . . , an−k ∈ F‬כך ש־ ‪ ai T vi = 0‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫‪ ,T‬וזה אומר‬ ‫‪ .a1 = . . . = an−k = 0‬לאור לינאריות ‪ T‬קיים ‪= 0‬‬ ‫‪i=1 ai vi‬‬ ‫‪Pn−k‬‬ ‫ש־ )‪ . i=1 ai vi ∈ Ker (T‬מכיוון ש־ ) ‪ (vn−k+1 , . . . , vn‬בסיס ל־) ‪ Ker (T‬קיימים‬ ‫‪Pn−k‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪ bn−k+1 , . . . , bn ∈ F‬כך ש־ ‪ i=1 ai vi = n−k+1 bi vi‬ולכן‬ ‫‪Pn−k‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪ , i=1 ai vi +‬ומכיוון ש־ ) ‪ (v1 , . . . , vn‬היא בסיס לכן‬ ‫‪n−k+1 (−bi ) vi = 0‬‬ ‫‪ .a1 = . . . = an−k = −bn−k+1 = . . . = −bn = 0‬כך ראינו שהסדרה ) ‪(T v1 , . . . , T vn−k‬‬ ‫היא בסיס ל־) ‪ ,Im (T‬ולכן ‪ n − k = r‬ומכאן ‪.k = n − r‬‬ ‫מסקנה‪ .‬יהי) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס של מרחב ‪ V‬ותהי ‪ T : V → W‬טרנספורמציה‬ ‫לינארית‪ .‬הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn‬היא בלתי תלויה אםם }‪ ,Ker (T ) = {0‬אםם ‪ T‬היא‬ ‫חד חד ערכית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ .‬אם הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn‬היא בלתי תלויה אז דרגת ‪ ,T‬שהיא מימד ) ‪,Im (T‬‬ ‫היא ‪ n‬ולכן מימד ) ‪ Ker (T‬הוא ‪ , 0‬כלומר }‪ .Ker (T ) = {0‬מצד שני אם }‪Ker (T ) = {0‬‬ ‫אז מימד ) ‪ Ker (T‬הוא ‪ 0‬ולכן דרגת ‪ ,T‬שהיא דרגת הסדרה ) ‪ (T v1 , . . . , T vn‬הפורשת את‬ ‫) ‪ ,Im (T‬היא ‪ n‬ולכן סדרה זאת בלתי תלויה‪ .‬לכל טרנספורמציה לינארית ‪ T‬קיים כפי שקל‬ ‫לראות‪ ,‬ש־ ‪ T‬היא חד חד ערכית אםם }‪.Ker (T ) = {0‬‬ ‫משפט החפיפה של טרנספורמציות לינאריות ממרחב למרחב‪ .‬א‪ .‬יהיו ‪ V‬מרחב ווקטורי‬ ‫‪n‬־מימדי ו־ ‪ W‬מרחב ‪m‬־מימדי‪ ,‬שניהם מעל השדה ‪ ,F‬ותהיינה ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬טרנספורמציות‬ ‫לינאריות מ־ ‪ V‬ל־ ‪ .W‬אז אם ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬הן בעלות אותה דרגה ‪ r‬אז קיימים אוטומורפיזמים‬ ‫‪ F : V → V‬ו־ ‪ G : W → W‬כך שלכל ‪ .GT v = T 0 F v v ∈ V‬זה אומר שאם "נחפוף"‬ ‫את ‪ V‬על עצמו באמצעות ‪ F‬ואת ‪ W‬על עצמו באמצעות ‪ G‬אז הטרנספורמציה הלינארית‬ ‫‪ T‬תחפוף ל־ ‪ T 0‬כי לכל ‪ T v ∈ V‬מעתיקה את ‪ v‬ל־‪ T v‬ו־ ‪ T 0‬מעתיקה את ‪ ,F v‬ש־‪ v‬מותאם‬ ‫לו‪ ,‬ל־‪ ,GT v = T 0 F v‬ש־‪ T v‬מותאם לו‪.‬‬ ‫הרעיון העומד בבסיס משפט זה הוא שאם אנחנו מסתכלים על כל טרנספורמציה מדרגה‬ ‫‪ r‬מ־ ‪ V‬ל־ ‪ W‬מזווית מתאימה‪ ,‬כלומר מבסיס המתאים לטרנספורמציה‪ ,‬אז‪ ,‬לאור המשפט‬ ‫הקודם‪ ,‬אנו רואים אותו דבר והוא ‪ r‬וקטורי בסיס העוברים לווקטורים בלתי תלויים‪ ,‬ויתר‬ ‫ווקטורי הבסיס עוברים ל־‪.0‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ V, W, T, T 0‬הם כמו בא' פרט לכך שאיננו מניחים דבר על הדרגות של ‪ T‬ושל ‪T 0‬‬ ‫וקיימים אוטומורפיזמים ‪ F‬ו־‪ G‬כמו ב־א'‪ ,‬כלומר שאפשר לחפוף את ‪ V‬ואת ‪ W‬על עצמם‬ ‫‪1‬‬ ‫כך שהטרנספורמציה הלינארית ‪ T‬תחפוף ל־ ‪ ,T 0‬אז ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬הן בעלות אותה דרגה‪.‬‬ ‫‪Tv‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪T‬‬ ‫→‪−‬‬ ‫↓‬ ‫‪GT v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫→‪−‬‬ ‫↓‬ ‫‪Fv‬‬ ‫הוכחה‪ .‬א‪ .‬נבחר ל־ ‪ V‬בסיסים ‪ v1 , . . . , vn‬ו־ ‪ v10 , . . . , vn0‬כך ש־ ‪T v1 , . . . , T vr‬‬ ‫בסיס ל־ ) ‪ vr+1 , . . . , vn ,Im (T‬בסיס ל־ ) ‪ T 0 v10 , . . . , T 0 vr0 ,Ker (T‬בסיס ל־) ‪Im (T 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נשלים את ‪ T v1 , . . . , T vr‬לבסיס‬ ‫‪ vr+1‬בסיס ל־) ‪.Ker (T 0‬‬ ‫‪, . . . , vn0‬‬ ‫ו־‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לבסיס‬ ‫‪T v1 , . . . , T vr‬‬ ‫ואת‬ ‫‪W‬‬ ‫של‬ ‫‪T v1 , . . . , T vr , wr+1 , . . . , wm‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, . . . , wn0‬‬ ‫‪ T 0 v10 , . . . , T 0 vr0 , wr+1‬של ‪ .W‬נגדיר את ‪ F : V → V‬ע"י ‪ F vi = vi0‬עבור‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪ ,1 ≤ i ≤ n‬ואת ‪ G : W → W‬ע"י ‪ G (T vi ) = T vi‬עבור ‪ 1 ≤ i ≤ r‬ו־ ‪ Gwi = wi‬עבור‬ ‫‪ .r + 1 ≤ i ≤ N‬לפי הגדרות ‪ G‬ו־ ‪ F‬קיים לכל ‪GT vi = T 0 vi0 = T F vi 1 ≤ i ≤ r‬‬ ‫ולכל ‪ .GT vi = G0 = 0 = T 0 vi0 = T 0 F vi r + 1 ≤ i ≤ n‬מכיוון ש־ ‪ GT‬ו־ ‪ T 0 F‬הן‬ ‫טרנספרמציות לינארית המקבלות את אותם הערכים לכל איברי הבסיס ‪ v1 , . . . , vn‬של ‪V‬‬ ‫הן מקבלות את אותם הערכים לכל ‪ ,v ∈ V‬ולכן לכל ‪ v ∈ V‬קיים ‪.GT v = T 0 F v‬‬ ‫ב‪ .‬נניח שקיימים איזומורפיזמים ‪ F‬ו־‪ G‬כמו ב־א' כך שלכל ‪ v ∈ V‬קיים ‪GT v = T 0 F v‬‬ ‫ולכן‬ ‫)‪.Dim (Im (GT )) = Dim (Im (T 0 F )) (1‬‬ ‫מכיוון ש־‪ G‬הוא איזומורפיזם הוא שומר על המימדים של תתי המרחב של ‪ W‬ומכיוון‬ ‫שתמונת ‪ G‬של ) ‪ Im (T‬היא ) ‪ Im (GT‬לכן‬ ‫)‪.Dim (Im (GT )) = Dim (Im (T)) (2‬‬ ‫מכיוון ש־ ‪ Im (F ) = V‬קיים ) ‪ ,Im (T 0 F ) = Im (T 0‬ולכן‬ ‫)‪.Dim (Im (T0 F)) = Dim (Im (T 0 )) (3‬‬ ‫מ־)‪ (2) ,(1‬ו־)‪ (3‬נובע )) ‪ ,Dim (Im (T 0 )) = Dim (Im (T‬כלומר דרגת ‪ T 0‬שווה לדרגת ‪.T‬‬ ‫הגדרת הדימיון של טרנספורמציות לינאריות ממרחב לעצמו‪ .‬תהיינה ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬טרנספורמציות‬ ‫לינאריות ממרחב וקטורי ‪n V‬־מימדי מעל ‪ F‬לתוך עצמו‪ .‬נאמר ש־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ ,T‬אם קיימת‬ ‫"חפיפה" ‪F‬של ‪ V‬על עצמו‪ ,‬כלומר אוטומורפיזם ‪ F‬של ‪ ,V‬המעתיקה את ‪ T‬על ‪ T 0‬במובן‬ ‫שלכל ‪ v, w ∈ V‬אם ‪ T v = w‬אז ‪ ,T 0 F v = F w‬כלומר לכל ‪ ,T 0 F v = F T v v ∈ V‬כלומר‬ ‫‪ ,T 0 F = F T‬כלומר ‪.T 0 = F T F −1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫→‪−‬‬ ‫‪w = Tv‬‬ ‫‪F‬‬ ‫↓‬ ‫‪v‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫→‪−‬‬ ‫‪Fw = FTv‬‬ ‫↓‬ ‫‪Fv‬‬ ‫דוגמאות‪ .‬לטרנספורמצית הזהות ‪ 1‬של ‪ V‬דומה רק ‪ 1‬עצמה‪ ,‬כי אם ‪ T 0‬דומה ל־‪1‬‬ ‫באמצעות האוטומורפיזם ‪ F‬אז לכל ‪ v ∈ V‬מכיוון ש־‪ 1‬מעתיקה את ‪ v‬ל־‪ v‬אז ‪ T 0‬מעתיקה‬ ‫‪2‬‬ ‫את ‪ F v‬ל־‪ ,F v‬ולכן ‪ T 0‬היא העתקת הזהות על ) ‪ ,Im (F‬ומכיוון ש־ ‪ Im (F ) = V‬לכן ‪T 0‬‬ ‫היא טרנספורמצית הזהות של ‪.V‬‬ ‫אם ‪ T‬טרנספורמצית השיקוף של )‪ F(2‬ביחס לציר ה־‪ x‬ו־ ‪ T 0‬טרנספורמצית השיקוף של )‪F(2‬‬ ‫ביחס לציר ה־‪ T 0 .y‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות האוטומורפיזם ‪ F‬המחליף את צירי ה־‪ x‬וה־‪,y‬‬ ‫כלומר הנתון ע"י )‪ ,F (a, b) = (b, a‬כי לכל )‪(a, b) ∈ F(2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ F T (a, b) = F (a, −b) = (−b, a‬ו־ )‪.T F (a, b) = T 0 (b, a) = (−b, a‬‬ ‫אם ‪ T‬היא כמו לעיל‪ ,‬ו־ ‪ T 0‬היא טרנספורמצית "הסיבוב ב־ ‪ 90o‬בכיוון מתמטי חיובי" אז‬ ‫‪ T 0‬אינה דומה ל־ ‪ ,T‬כי לכל וקטור ‪ v‬על ציר ה־‪ x‬קיים ‪ T v = v‬ואז אם ‪ T 0‬היתה דומה‬ ‫ל־ ‪ T‬באמצעות ‪ F‬אז ‪ T 0‬היתה צריכה להעתיק את ‪ F v‬לעצמו כלומר ‪) T 0 F v = F v‬כי‬ ‫‪ ,(T 0 F v = F T v = F v‬אבל הווקטור היחיד ש־ ‪ T‬מעתיקה לעצמו הוא ווקטור ה־‪.0‬‬ ‫משפט‪ .‬יחס הדימיון של הטרנספורמציות הלינאריות ממרחב ‪ V‬לעצמו הוא יחס שקילות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ .‬א‪ .‬רפלקסיביות‪ .‬יהיה ‪ I‬אוטומורפיזם הזהות של ‪ V‬אז קיים ‪ IT = T I‬ו־ ‪T‬‬ ‫דומה לעצמה באמצעות ‪.I‬‬ ‫סימטריה‪ .‬אם ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬אז קיים אוטמורפיזם ‪ F‬של ‪ V‬כך ש־ ‪ ,T 0 F = F T‬ואז‬ ‫‪ ,F −1 T 0 = F −1 T 0 F F −1 = F −1 F T F −1 = T F −1‬ו־ ‪ T‬דומה ל־ ‪ T 0‬באמצעות ‪.F −1‬‬ ‫טרנזיטיביות‪ .‬אם ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות ‪ F‬ו־ ‪ T 0‬דומה ל־” ‪ T‬באמצעות ‪ G‬אז ‪F T = T 0 F‬‬ ‫ו־ ‪ GT 0 = T ”G‬ולכן ‪ ,GF T = GT 0 F = T ”GF‬ו־” ‪ T‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות ‪.GF‬‬ ‫הגדרת תת מרחב אינבאריאנטי‪ .‬תהי ‪ T : V → V‬טרנספורמצה לינארית‪ .‬תת מרחב ‪W‬‬ ‫של ‪ V‬נקרא תת מרחב אינבאריאנטי של ‪ T‬אם הוא סגור תחת ‪ ,F‬כלומר אם לכל ‪v ∈ W‬‬ ‫‪.T v ∈ W‬‬ ‫דוגמאות‪ .‬המרחב ‪ V‬עצמו‪ ,‬ותת מרחב האפס }‪ {0‬הם כמובן תתי מרחב אינבאריאנטיים של‬ ‫כל טרנספורמציה ‪ ,T‬והם נקראים תתי המרחב הטריביאליים‪ .‬כמו כן‪ ,‬הגרעין של ‪ T‬הוא תת‬ ‫מרחב אינבאריאנטי של ‪ .T‬אם ‪ F T‬היא טרנספורמצית השיקוף של )‪ F(2‬ביחס לציר ה־‪x‬‬ ‫אז תתי המרחב האינבאריאנטיים הלא טריביאליים שלה הם ציר ה־‪ {(a, 0) | a ∈ F} x‬וציר‬ ‫ה־‪ ,{(0, b) | b ∈ F} y‬ואלו הם היחידים‪ ,‬כי אם תת מרחב אינבאריאנטי כלשהו מכיל את‬ ‫הווקטור )‪ (a, b‬עם ‪ a, b 6= 0‬אז הוא מכיל גם את )‪ T (a, b) = (a, −b‬ומכיוון ששני וקטורים‬ ‫אלו הם בלתי תלויים הם פורשים את כל )‪ F(2‬ותת המרחב הוא )‪ F(2‬עצמו‪ .‬אם ‪ T‬היא‬ ‫טרנספורמצית הסיבוב ב־ ‪ 90o‬בכיוון מתמטי חיובי ב־ )‪ <(2‬נראה שאין ל־ ‪ T‬תתי מרחבים‬ ‫אינבאריאנטיים פרט לטריביאליים‪ ,‬ע"י שנראה שאם תת מרחב אינבאריאנטי של ‪ T‬מכיל‬ ‫וקטור שאינו ‪ 0‬אז הוא )‪ <(2‬כולו‪ .‬יהי ‪ W‬תת מרחב אינבאריאנטי ל־ ‪ T‬ויהי ‪,(a, b) ∈ W‬‬ ‫)‪ .(a, b) 6= (0, 0‬קיים ‪ T (a, b) = (−b, a) ∈ W‬והווקטורים )‪ (a, b‬ו־)‪ (−b, a‬הם בלתי‬ ‫תלויים )כי אם )‪ (−b, a) = t (a, b‬אז ‪ −b = ta‬ו־ ‪ a = tb‬ולכן ‪ ,−b = t2 b‬וזה לא יתכן כי‬ ‫‪ ,(b 6= 0‬ושני ווקטורים אלו פורשים את )‪.<(2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫משפט‪ .‬אם ‪ T : V → V‬טרנספורמציה לינארית ו־) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ V‬אז‬ ‫הווקטורים ‪ vk , . . . , vl‬פורשים תת מרחב אינבאריאנטי של ‪ T‬אםם במטריצה של ‪ T‬ביחס‬ ‫לבסיס זה בעמודות ‪ k‬עד ‪ l‬כל הרכיבים הם ‪ 0‬פרט לאלו הנמצאים בשורות ‪ k‬עד ‪ ,l‬כלומר‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫‪... 0 ... 0 ...‬‬ ‫‪a1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ak−1,1 . . . 0 . . . 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪k−1,n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ak1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪kk‬‬ ‫‪kl‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫צורת המטריצה היא ‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ al1‬‬ ‫‪. . . alk . . . all . . .‬‬ ‫‪aln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ al+1,1 . . . 0 . . . 0 . . . ai+1,n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪an,1‬‬ ‫‪... 0 ... 0 ...‬‬ ‫‪ann‬‬ ‫משפט‪ .‬אם ‪ T : V → V‬טרנספורמציה לינארית ו־ ‪ W1 , . . . , Wk‬תתי מרחבים‬ ‫אינבאריאנטיים של ‪ T‬אז גם סכומם ‪ W1 + . . . + Wk‬הוא תת מרחב אינבאריאנטי‬ ‫של ‪.T‬‬ ‫משפט‪ .‬אם ‪ T, T 0 : V → V‬ו־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות האוטומורפיזם ‪ F‬של ‪ V‬אז כל‬ ‫תת מרחב ‪ W‬של ‪ V‬אינבאריאנטי ל־ ‪ T‬אםם תמונת ‪ F‬שלו היא תת מרחב אינבאריאנטי‬ ‫ל־ ‪.T 0‬‬ ‫אם ‪ W‬הוא תת מרחב אינבאריאנטי ל־ ‪ T‬אז ‪ T (W ) ⊆ W‬ולכן‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫) ‪ ,T 0 (F (W )) = (T 0 F ) (W ) = (F T ) (W ) = F (T (W )) ⊆ F (W‬כלומר‪F (W ) ,‬‬ ‫אינבאריאנטי ל־ ‪ .T 0‬בכיוון השני‪ ,‬אם ) ‪ F (W‬אינבאריאנטי ל־ ‪ T 0‬אז מכיוון ש־ ‪ T‬דומה‬ ‫ל־ ‪ T 0‬באמצעות ‪ W = F −1 (F (W )) F −1‬אינבאריאנטי ל־ ‪.T‬‬ ‫מוסר השכל‪ .‬ראינו לעיל ששתי טרנספרמציות לינאריות ממרחב ‪ V‬למרחב ‪ W‬השונה‬ ‫ממנו הן דומות אם הן מאותה דרגה‪ ,‬וכעת ראינו שכאשר מדובר בטרנספורמציות לינאריות‬ ‫מ־ ‪ V‬ל־ ‪ V‬עצמו אז שוויון הדרגה אינו מבטיח דימיון כי בדוגמאות דלעיל ראינו שבכל מרחב‬ ‫ווקטורי טרנספורמצית הזהות ‪ 1‬דומה רק לעצמה‪ ,‬וגם ראינו שתי טרנספרמציות לינאריות‬ ‫מ־ )‪ <(2‬ל־ )‪ ,<(2‬שתיהן מדרגה ‪ ,2‬שלאחת יש תת מרחב אינבאריאנטי לא טריביאלי ולשניה‬ ‫אין‪ ,‬ולכן הן אינן דומות‪.‬‬ ‫וקטורים עצמיים וערכים עצמיים‪ .‬הגדרה ומשפט‪ .‬אם ‪ T : V → V‬טרנספורמציה‬ ‫לינארית ו־ ‪ W‬תת מרחב אינבאריאנטי של ‪ T‬חד־מימדי אז כל ווקטור ‪ 0 6= w ∈ W‬פורש‬ ‫את ‪ ,W‬ומכיוון ש־ ‪ T w ∈ W‬לכן קיים ‪ a ∈ F‬כך ש־‪ .T w = aw‬לכל ‪ v ∈ W‬קיים ‪b ∈ F‬‬ ‫כך ש־ ‪ v = bw‬ולכן ‪ .T v = T (bw) = bT w = baw = av‬לכן הפעולה של ‪ T‬על כל איברי‬ ‫‪ W‬היא פעולת "מתיחה" באותו גורם ‪ .a‬ואם ל־ ‪ 0 6= v ∈ V‬ו־ ‪ a ∈ F‬קיים ‪T v = av‬‬ ‫אנו אומרים ש־‪ v‬וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪ .a‬לכל ערך עצמי ‪ a‬של ‪ T‬קבוצת כל‬ ‫איברי ‪ V‬עם ערך עצמי זה‪ ,‬בתוספת ווקטור ה־‪ ,0‬היא תת מרחב של ‪ ,V‬הנקרא תת המרחב‬ ‫העצמי של ‪ .a‬ברור כי המרחב העצמי של הערך ‪ 0‬הוא הגרעין ) ‪ Ker (T‬של ‪.T‬‬ ‫משפט‪ .‬תהי ‪ T : V → V‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬התנאים הבאים שקולים זה לזה‪.‬‬ ‫א‪ .‬הווקטורים העצמיים של ‪ T‬פורשים את ‪.V‬‬ ‫ב‪ .‬ל־ ‪ V‬יש בסיס כך שהמטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס זה היא אלכסונית‪.‬‬ ‫משפט‪ .‬אם ‪ T, T 0 : V → V‬ו־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות האוטומורפיזם ‪ F‬של ‪ V‬אז‬ ‫‪ v ∈ V‬הוא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪ a‬אםם ‪ F v‬הוא ערך עצמי של ‪ T 0‬עם אותו‬ ‫ערך עצמי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ .‬מכיוון ש־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ T‬באמצעות ‪ F‬אז לכל ‪ u ∈ V‬קיים ‪ .F T u = T 0 F u‬אם‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ v ∈ V‬הוא ערך עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪ a‬אז ‪ T v = av‬ולכן = ‪T 0 F v = F T v = F av‬‬ ‫‪ ,aF v‬כלומר ‪ F v‬הוא ערך עצמי של ‪ T 0‬עם הערך העצמי ‪ .a‬בכוון השני‪ :‬אם ‪ F v‬הוא ערך‬ ‫עצמי של ‪ T 0‬עם הערך העצמי ‪ a‬אז ‪ F T v = T 0 F v = aF v = F av‬ולכן ‪,F T v = F av‬‬ ‫ומכיוון ש־ ‪ F‬חד חד ערכית ‪.T V = aV‬‬ ‫משפט‪ .‬תהי ‪ T : V → V‬טרנספורמציה לינארית‪ .‬נסמן ב־‪ 1‬את העתקת הזהות של ‪.V‬‬ ‫‪ a‬הוא ערך עצמי של ‪ T‬אםם הטרנספורמציה ‪ a1 − T‬היא סינגולרית‪ ,‬כלומר מימד הטווח‬ ‫שלה קטן ממימד ‪.V‬‬ ‫הוכחה‪ .‬אם ‪ a‬ערך עצמי של ‪ T‬אז קיים ‪ 0 6= v ∈ V‬כך ש־ ‪ T v = av = a1v‬ולכן‬ ‫‪ (a1 − T) v = a1v − T v = 0‬ומכיוון ש־ ‪ a1 − T v 6= 0‬היא טרנספורמציה סינגולרית‪.‬‬ ‫בכוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ a1−T‬היא טרנספורמציה סינגולרית אז קיים ‪ v 6= 0‬שטרנספורמציה זאת‬ ‫מעבירה ל־‪ ,0‬כלומר‪ ,(a1 − T ) v = 0 ,‬ולכן ‪av − T v = a1v − T v = (a1 − T) v = 0‬‬ ‫ומכאן ‪.T v = av‬‬ ‫כתיבת סדרת וקטורים כמטריצת שורה או עמוד‪ .‬כדי לכתוב נוסחאות בצורה יותר נוחה‬ ‫שורה או עמוד ונשתמש בהן בכפל מטריצות‬ ‫לטיפול נכתוב סדרות של ווקטורים‬ ‫כמטריצות ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Pn‬‬ ‫כאילו שהן מטריצות‪ .‬כך ‪ ,[v1 , . . . , vn ]  ...  = i=1 ai vi‬וכן‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1m‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .[v1 . . . . , vn ]  ...‬החישוב המוכיח‬ ‫] ‪ = [ i=1 ai1 vi , . . . , i=1 aim vi‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪an1 . . . anm‬‬ ‫שכפל מטריצות הוא אסוציאטיבי הוא תקף גם כאשר במקום אחת המטריצות מופיעה‬ ‫מטריצת וקטורים‪ ,‬וכך ‪ .[v1 , . . . , vn ] (AB) = ([v1 , . . . , vn ]) B‬לטרנספורמציה ‪ T‬נכתוב‬ ‫גם ] ‪ T [v1 , . . . , vn‬עבור ] ‪.[T v1 , . . . , T vn‬‬ ‫מטריצה של טרנספורמציה לינארית‪ .‬יהיו ) ‪ v = (v1 , . . . , vn‬בסיס למרחב ‪V‬‬ ‫‪ W‬יכול גם להיות ‪ V‬עצמו‪ ,‬כאשר הבסיס ‪w‬‬ ‫ו־ ) ‪ w = (w1 . . . , wn‬בסיס למרחב ‪.W‬‬ ‫שלו אינו בהכרח ‪ .v‬תהי ‪ T‬טרנספורמציה לינארית מ־ ‪ V‬ל־ ‪ .W‬המטריצה של ‪ T‬ביחס‬ ‫לבסיסים אלו היא המטריצה ‪ A‬בת ‪ m‬שורות ו־‪ n‬עמודות שהעמודה ה־‪ i‬שלה היא ‪m‬־ית‬ ‫מקדמי ‪ T vi‬בהצגה לפי ) ‪ ,(w1 , . . . , wm‬כלומר‬ ‫‪...‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T [v1 , . . . , vn ] = [w1 , . . . , wm ] A.‬‬ ‫מכיוון ש־‪ w‬הוא בסיס אז לכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬הצגת ‪ vi‬לפי בסיס זה היא יחידה‪ ,‬ולכן העמודה‬ ‫ה־‪ i‬היא יחידה‪ ,‬והמטריצה ‪ A‬היא יחידה‪.‬‬ ‫בכוון ההפוך‪ ,‬בהינתן מטריצה ‪ A‬בת ‪ m‬שורות ו־‪ n‬עמודות כלשהי אז הנוסחה‬ ‫‪ T [v1 , . . . , vn ] = [w1 , . . . , wm ] A‬מגדירה את ערכי הפונקציה ‪ T‬לכל איברי הבסיס ‪ v‬של‬ ‫‪ V‬ולכן קיימת טרנספרמציה לינארית ‪ T‬יחידה מ־ ‪ V‬ל־ ‪ W‬המקיימת את הנוסחה הזאת‪.‬‬ ‫נוסחת הטרנספורמציה לווקטור כלשהו ב־ ‪ V‬היא‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T ( i=1 bi vi ) = T [v1 , . . . , vn ]  ...  = T [v1 , . . . , vn ]  ... ‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= [w1 , . . . , wm ] A  ... ‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪5‬‬ ‫את משפט הבסיסים התיקניים להצגת טרנספורמציה לינארית אפשר לתרגם לשפת‬ ‫המטריצות כך‪ :‬אם ‪ T‬טרנספורמציה לינארית שדרגתה ‪ r‬ממרחב ‪n‬־מימדי ‪ V‬למרחב ‪m‬־‬ ‫מימדי ‪ W‬אז יש ל־ ‪ V‬ול ‪ W‬בסיסים ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ו־) ‪ (w1 , . . . , wm‬כך שהמטריה של ‪T‬‬ ‫ביחס לבסיסים אלו היא המטריצה ‪ Ir‬שכל רכיביה הם ‪ 0‬פרט ל־‪ r‬הרכיבים הראשונים‬ ‫לאורך האלכסון הראשי שהם ‪.1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪ 0 ..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .. . .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 ... 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Ir = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪ ..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מטריצת המעבר מבסיס לבסיס‪ .‬יהיו ) ‪ v = (v1 , . . . , vn‬ו־ ) ‪ w = (w1 . . . , wn‬בסיסים‬ ‫למרחב ‪ .V‬מטריצת המעבר מ־‪ v‬ל־‪ w‬היא המטריצת של טרנספורמצית הזהות של ‪ V‬עם‬ ‫הבסיס ‪ v‬על ‪ V‬עצמו עם הבסיס ‪ .w‬זאת היא המטריצה היחידה ‪ A‬בת ‪ n‬שורות ו־‪n‬‬ ‫עמודות שהעמודה ה־‪ i‬שלה היא עמודת מקדמי ‪ vi‬בהצגה לפי ‪ ,w‬כלומר‬ ‫‪[v1 , . . . , vn ] = [w1 , . . . , wm ] A‬‬ ‫‪ .‬שינוי הקואורדינטות של וקטור כללי הוא‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = [w1 , . . . , wm ] A ‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.[v1 , . . . , vn ] ‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫פעולות על טרנספורמציות ומטריצות‪ .‬משפט‪ .‬א‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס למרחב וקטורי‬ ‫‪ V‬ו־ ) ‪ (w1 , . . . , wm‬בסיס למרחב ‪ .W‬תהיינה ‪ S, T : V → W‬טרנספורמציות לינאריות‬ ‫שהמטריצות שלהן ביחס לבסיסים אלו הם ‪ .A, B‬אז המטריצה של ‪ S + T‬ביחס לבסיסים‬ ‫אלו היא ‪.A + B‬‬ ‫ב‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס למרחב וקטורי ‪ V‬ו־ ) ‪ (w1 , . . . , wm‬בסיס למרחב ‪ .W‬תהי‬ ‫‪ T : V → W‬טרנספורמציה לינארית שהמטריצה שלה ביחס לבסיסים אלו היא ‪ .A‬אז לכל‬ ‫סקלר ‪ c‬המטריצה של ‪ cT‬ביחס לבסיסים אלו היא ‪.cA‬‬ ‫ג‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס למרחב ‪ (u1 , . . . , um ) ,V‬בסיס למרחב ‪ U‬ו־) ‪ (w1 , . . . , wl‬בסיס‬ ‫למרחב ‪ .W‬יהיו ‪ S : V → U‬ו־ ‪ T : U → W‬טרנספורמציות לינאריות ותהינה ‪A‬‬ ‫המטריצה של ‪ S‬ו־‪ B‬המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיסים אלו‪ .‬אז המטריצה של ‪T S : V → W‬‬ ‫ביחס לבסיסים ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ו־ ) ‪ (w1 , . . . , wl‬היא ‪.BA‬‬ ‫ד‪ .‬יהיו ) ‪ v = (v1 , . . . , vn‬ו־ ) ‪ w = (w1 . . . , wn‬בסיסים למרחב ‪ V‬ותהי ‪ A‬מטריצת‬ ‫המעבר מן הבסיס ‪ v‬לבסיס ‪ w‬אז מטריצת המעבר מן הבסיס ‪ w‬לבסיס ‪ v‬היא ‪.A−1‬‬ ‫הוכחה‪ .‬ג‪ .‬לפי הגדרת מושג המטריצה של טרנספרמציה לינארית קיים‬ ‫‪(T S) [v1 , . . . , vn ] = T (S [v1 , . . . , vn ]) = T ([u1 . . . . , um ] A) = (T [u1 , . . . , um ]) A‬‬ ‫)‪= ([w1 , . . . , wl ] B) A = [w1 , . . . , wl ] (BA‬‬ ‫‪6‬‬ ‫וכך ‪ BA‬היא המטריצה של הטרנספורמציה ‪.T S‬‬ ‫ד‪ .‬תהי ‪ B‬מטריצת המעבר מן הבסיס ‪ w‬לבסיס ‪ v‬ואז‬ ‫)‪ .[w1 , . . . , wn ] = [v1 , . . . , vn ] B = ([w1 , . . . , wn ] A) B = [w1 , . . . , wn ] (AB‬זה אומר‬ ‫שמטריצת המעבר מ־‪v‬ל־‪ v‬היא ‪ .AB‬אבל גם מטריצת היחידה ‪ I‬היא מטריצת המעבר‬ ‫מ־‪ w‬ל־‪ w‬אז לאור יחידות מטריצת המעבר קיים ‪ AB = I‬ולכן ‪.B = A−1‬‬ ‫וקטורים עצמיים וערכים עצמיים מנקודת הראות של המטריצה‪ .‬יהי ‪ v‬וקטור עצמי של‬ ‫העצמי ‪ λ‬ותהי ‪ A‬המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪.(v1 , . . . , vn‬‬ ‫הערך ‪‬‬ ‫‪ T : V → V‬עם ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ל־‪ v‬ישנה הצורה ‪ ,[v1 , . . . , vn ]  ... ‬כאשר העמודה ‪  . . . ‬אינה עמודת אפסים‪.‬‬ ‫‪bb‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כפי שראינו לעיל‪ .T v = [v1 , . . . , vn ] A  ...  ,‬מכיוון ש־‪ v‬הוא ווקטור עצמי של ‪ T‬עם‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪ .. ‬‬ ‫ערך עצמי ‪ λ‬לכן ‪ T v = λv = λ [v1 , . . . , vn ]  . ‬לכן‪ ,‬כאשר אנו מסמנים ב־‪ I‬את‬ ‫‪bn‬‬ ‫מטריצת היחידה‪ ,‬מתקבל‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − [v1 , . . . , vn ] A ‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 = T v − T v = λ [v1 , . . . , vn ] ‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= [v1 , . . . , vn ] (λI − A) ‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫בסיס לכן ‪‬מקדמי הצגת ווקטור האפס לפיו כולם אפסים ומן‬ ‫‪ (v‬הוא‬ ‫‪ ‬‬ ‫מכיוון ש־ ) ‪1 , . . . , vn‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫הביטוי האחרון נובע ‪ .(λI − A)  ...  =  ... ‬את כל הצעדים שעשינו כאן עובדים‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫גם‪ ,‬ללא כל בעיות‪ ,‬בכיוון ההפוך ולכן אם ‪(λI − A)  ...  =  ... ‬אז הווקטור‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ v = [v1 , . . . , vn ] ‬הוא ווקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪ .λ‬זה מוביל להגדרה‬ ‫‪bn‬‬ ‫הבאה‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫וערך עצמי של מטריצה‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה ‪ .n × n‬עמודת סקלרים‬ ‫ווקטור ‪‬עצמי ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ...  6=  0 ‬נקראת ווקטור עצמי של ‪ A‬עם ערך עצמי ‪ λ‬אם‬ ‫‪0‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ,A  ...  = λ  ... ‬וזה שקול ל־ ‪ .(λI − A)  ...  =  ... ‬קבוצת הווקטורים‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫העצמיים עם ערך עצמי ‪ ,λ‬בתוספת ווקטור האפס‪ ,‬נקראת המרחב העצמי של ‪ .λ‬כפי שראינו‬ ‫‪ G : F(n) →‬הנתון ע"י‬ ‫האיזומורפיזם‪V‬‬ ‫זה עתה‪‬ההגבלה של‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ G  ...  = [v1 , . . . , vn ]  ... ‬למרחב העצמי של ‪ λ‬ב־ )‪ F(n‬הוא איזומורפיזם של‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫מרחב זה על המרחב העצמי של ‪ λ‬ב־ ‪ .V‬לכן הערכים העצמיים של הטרנספורמציה ‪ T‬ב־ֱ ‪V‬‬ ‫הם בדיוק אלו של המטריצה ‪ A‬של ‪ ,T‬ולכן ניגש עתה למציאת ערכים עצמיים אלו‪.‬‬ ‫‪ ‬הוא ערך עצמי של ‪ A‬אםם קיימת‬ ‫הסקלר ‪λ‬‬ ‫מטריצה‪ .‬כפי‬ ‫שראינו‪ ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫האופייני של ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הפולינום ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫עמודה ‪  ...  6=  ... ‬כך ש־ ‪ .(λI − A)  ...  =  ... ‬קיימת עמודה כזאת‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בדיוק אז כאשר המטריצה ‪ λI − A‬סינגולרית וזה קיים בדיוק אז כאשר ‪.|λI − A| = 0‬‬ ‫המקיימים = |‪|xI − A‬‬ ‫לכן הערכים העצמיים של ‪ A‬הם בדיוק הערכים של המשתנה ‪x‬‬ ‫‬ ‫‪ x − a11‬‬ ‫‪−a12‬‬ ‫‪...‬‬ ‫ ‪−a1n‬‬ ‫‬ ‫‪ −a21‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ ‪−a2n‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‬ ‫ וזה בברור פולינום‬ ‫‪0‬הדטרמיננטה |‪ |xI − A‬היא ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ −an1‬‬ ‫‪−an2‬‬ ‫ ‪. . . x − ann‬‬ ‫מתוקן ממעלה ‪ n‬במשתנה ‪.x‬‬ ‫פולינום זה נקרא הפולינום האופייני של ‪ .A‬לכן כדי למצוא את הערכים העצמיים של‬ ‫המטריצה ‪ A‬עלינו למצוא את השורשים של הפולינום האופייני שלה‪ .‬בשדה הממשיים יש‬ ‫שורש לכל פולינום ממעלה איזוגית‪ ,‬לכן אם המספר ‪ n‬של שורות ועמודי ‪ A‬הוא איזוגי אז‬ ‫יש ל־‪ A‬לפחות ערך עצמי אחד‪ .‬בשדה המרוכבים יש שורש לכל פולינום ממעלה ≤ ‪ 1‬ולכן‬ ‫יש ל־‪ ְ A‬תמיד לפחות ערך עצמי אחד‪ .‬נראה עתה דוגמה למציאת הערכים והווקטורים‬ ‫העצמיים‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a c‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫מציאת הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים למטריצות ‪ . 2 × 2‬תהי‬ ‫‪b d‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ x−a‬‬ ‫ ‪−b‬‬ ‫‬ ‫ויהי )‪= x2 − (a + d) x + (ad − bc‬‬ ‫ = )‪ p(x‬הפולינום האופייני שלה‪.‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫ ‪x−d‬‬ ‫קיימות האפשרויות הבאות‪:‬‬ ‫ היא בעלת הצורה )‪ .(x − s)(x − t‬הווקטורים‬ ‫אז )‪p(x‬‬ ‫‪.s‬‬ ‫שורש‬ ‫אפשרות א‪ .‬ל־)‪ p(x‬יש‬ ‫‬ ‫‪b1‬‬ ‫המקיימות‬ ‫במרחב העצמי של ‪ s‬הם העמודות‬ ‫‪b2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪s−a‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .‬מכיוון ש־‪ s‬הוא ערך עצמי דרגת המטריצה‬ ‫=‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪s − d b2‬‬ ‫ ‪0‬‬ ‫‪s−a‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫היא קטנה מ־‪ .2‬אם דרגת המטריצה הזאת היא ‪ 0‬אז היא מטריצת‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪s−d‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪ F(2‬כולו‪ ,‬וקיים‬ ‫המרחב ‬ ‫של ‪ A‬הוא ‬ ‫המרחב העצמי ‬ ‫‬ ‫אפסים ולכן‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪s−a‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪a c‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪ .‬אם דרגת המטריצה‬ ‫לכל עמודה‬ ‫‪=s‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪s−d‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪b d‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫כפולה שלה‬ ‫היא ‪ 1‬אז לפחות אחת משורותיה אינה שורת אפסים והשורה האחרת היא‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪b1‬‬ ‫בסקלר‪ .‬אם השורה הראשונה של מטריצה זאת אינה שורת אפסים אז העמודות‬ ‫‪b2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪c‬‬ ‫‪s−a‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫והמרחב‬ ‫הן בדיוק הכפולות של‬ ‫=‬ ‫המקיימות‬ ‫‪s−a‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪s−d‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫תת המרחב הנפרש ע"י עמודה זאת‪ .‬אם השורה הראשונה של המטריצה‬ ‫העצמי של ‪ s‬הוא ‬ ‫‬ ‫‪s−a‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫היא שורת אפסים אז השורה השניה שלה אינה שורת אפסים והמרחב‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪s−d‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪s−d‬‬ ‫‪.‬‬ ‫העצמי של ‪ s‬הוא תת המרחב הנפרש ע"י‬ ‫‪b‬‬ ‫אם‬ ‫שלו‪ .‬‬ ‫אם ‪ t = s‬אז ‪ s‬הוא הערך העצמי היחיד של ‪ ,A‬וחישבנו את המרחב העצמי ‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪ t 6= s‬אז גם ‪ t‬הוא ערך עצמי של ‪ A‬הווקטורים במרחב העצמי של ‪ t‬הם העמודות‬ ‫‪b2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪t − a −c‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ואלו הן הכפולות בסקלר של העמודה‬ ‫=‬ ‫המקיימות‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ ‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪t−d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫אחרת‪.‬‬ ‫‪ ,‬אם עמודה זאת אינה עמודת אפסים‪ ,‬ו־‬ ‫‪b‬‬ ‫‪t−a‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬בשדה הממשיים המטריצה של הסיבוב‬ ‫עצמיים‪.‬‬ ‫ערכים‬ ‫אין‬ ‫למטריצה‬ ‫ב‪.‬‬ ‫אפשרות‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫והפולינום האופייני שלה הוא ‪ x2 + 1‬שאין‬ ‫ב־ ‪ 90o‬בכוון מתמטי חיובי היא‬ ‫‪1 0‬‬ ‫שורשים ‪ i‬ו־‪ .−i‬המטריצה פחות ‪iI‬‬ ‫שני‬ ‫‬ ‫שדה המרוכבים יש לפולינום זה ‬ ‫שורשים‪ .‬מעל ‬ ‫לו ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−i −1‬‬ ‫‪ ,‬והוא פורש את המרחב העצמי‬ ‫והווקטור המאפס אותה הוא‬ ‫היא‬ ‫‪−i‬‬ ‫‪ 1 −i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פורש את המרחב העצמי של ‪.−i‬‬ ‫של ‪ .i‬באותו אופן‬ ‫‪i‬‬ ‫המטריצות השונות של טרנספררמציה לינארית ממרחב לעצמו‪ .‬משפט‪ :‬תהי ‪ A‬המטריצה‬ ‫של טרנספורמציה ‪ T : V → V‬ביחס לבסיס ) ‪ (v1 , . . . , vn‬של ‪ .V‬יהי ) ‪ (w1 , . . . , wn‬בסיס‬ ‫כלשהו של ‪ V‬כך שמטריצת המעבר מ־ ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ל־ ) ‪(w1 , . . . , wn‬היא ‪ ,D‬אז המטריצה‬ ‫של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪ (w1 , . . . , wn‬היא ‪ .DAD−1‬בכוון הפוך‪ ,‬אם ‪ D‬היא מטריצה ‪n × n‬‬ ‫הפיכה כלשהי אז ‪ DAD−1‬היא המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪(w1 , . . . , wn‬מסויים‪.‬‬ ‫הוכחה‪ .‬מכיוון ש־‪ D‬היא מטריצת המעבר מ־ ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ל־ ) ‪(w1 , . . . , wn‬לכן‬ ‫‪[v1 , . . . , vn ] = [w1 , . . . , wn ] D‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫מכיוון ש־‪ A‬היא המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪ (v1 , . . . , vn‬אז‬ ‫‪T [v1 , . . . , vn ] = [v1 , . . . , vn ] A‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫נציב ב־ )‪ [w1 , . . . , wn ] D (2‬עבור ] ‪ [v1 , . . . , vn‬ונקבל‬ ‫‪T ([w1 , . . . , wn ] D) = ([w1 . . . . , wn ] D) A‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪.T ([w1 , . . . , wn ] D) = (T [w1 , . . . , wn ]) D‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫מכיוון ש־ ‪ T‬לינארית קיים‬ ‫ומכיוון שמכפלת "מטריצה" של ווקטורים במטריצות סקלרים היא אסוציאטיבית קיים‬ ‫)‪([w1 , . . . , wn ] D) A = [w1 , . . . , wn ] (DA‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫)‪(T [w1 . . . , wn ]) D = [w1 , . . . , wn ] (DA‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫הצבת )‪ (4‬ו־)‪ (5‬ב־)‪ (3‬נותנת‬ ‫‪−1‬‬ ‫כפל מטריצות נותן‬ ‫וכפל מימין ב־ ‪ D‬ושימוש באסוציאטביות ‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪T [w1 . . . , wn ] = [w1 , . . . , wn ] DAD‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫וזה אומר שהמטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ) ‪ (w1 , . . . , wn‬היא ‪.DAD−1‬‬ ‫‬ ‫‪9‬‬ ‫‬ ‫בכוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ D‬היא מטריצה הפיכה אז ‪ [w1 , . . . , wn ] = [v1 , . . . , vn ] D−1‬ולכן‬ ‫] ‪ .[w1 , . . . , wn ] D = [v1 , . . . , vn‬זה אומר שהסידרה ) ‪ (w1 , . . . , wn‬פורשת את ‪ V‬ולכן‬ ‫סידרה זאת היא בסיס ל־ ‪ V‬ומטריצת המעבר מ־) ‪ (v1 , . . . , vn‬ל־) ‪ (w1 , . . . , wn‬היא ‪.D‬‬ ‫לכן‪ ,‬כפי שראינו לעיל‪ ,‬המטריצה של ‪ T‬ביחס לבסיס ־) ‪(w1 , . . . , wn‬היא ‪.DAD−1‬‬ ‫דימיון מטריצות ריבועיות‪ .‬הגדרה‪ :‬המטריצה ‪ B n × n‬דומה למטריצה ‪ Aְ n × n‬אם‬ ‫קיימת מטריצה ‪ n × n‬הפיכה ‪ D‬כך ש־ ‪.B = DAD−1‬‬ ‫יחס הדימיון הוא יחס שקילות‪.‬‬ ‫רפלקסיביות‪ A :‬דומה לעצמה כי ‪ A = IAI −1‬היכן ש־‪ I‬היא מטריצת היחידה‪ ,‬כי‬ ‫‪.T 0 = F T F −1 .I −1 = I‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫סימטריה‪ :‬אם ‪ B‬דומה ל־‪ A‬אז ‪ ,B = DAD‬ואז‬ ‫‪−1‬‬ ‫‬ ‫‪ D−1 B D−1‬ולכן ‪ A‬דומה ל־‪ B‬באמצעות‬ ‫‪= D−1 BD = D−1 DAD−1 D = A‬‬ ‫המטריצה ההפיכה ‪.D−1‬‬ ‫טרנזיטיביות‪ .‬אם ‪ C‬דומה ל־‪ B‬ו־‪ B‬דומה ל־‪ A‬אז קיימות מטריות הפיכות ‪ D‬ו־‪ E‬כך‬ ‫ש־ ‪ B = DAD−1‬ו־ ‪ ,C = EBE −1‬ולכן‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ C = E DAD‬ו־‪ C‬דומה ל־‪.A‬‬ ‫)‪E = (ED) A D−1 E −1 = (ED) A (ED‬‬ ‫ההתאמה בין מחלקות הדימיון של הטרנספורמציות והמטריצות‪ .‬ראינו לעיל כי אם ‪A‬‬ ‫היא המטריצה של הטרנספורמציה ‪ T‬ביחס לבסיס מסויים של ‪ T‬אז המטריצה של ‪ T‬ביחס‬ ‫לכל בסיס אחר של ‪ V‬היא דומה ל־‪ ,A‬ובכוון הפוך‪ ,‬כל מטריצה הדומה ל־‪ A‬היא המטריצה‬ ‫של ‪ T‬ביחס לבסיס מסויים של ‪ .V‬לכן קבוצת המטריצות של ‪ T‬ביחס לכל הבסיסים של ‪V‬‬ ‫היא מחלקת דימיון‪ ,‬כלומר מחלקת שקילות של יחס הדימיון‪.‬‬ ‫לעיל הגדרנו כי טרנספורמציה ‪ T 0 : V → V‬דומה לטרנספורמציה ‪ T : V → V‬אםם‬ ‫קיים אוטומורפיזם ‪ F‬של ‪ V‬כך ש־ ‪ .T 0 = F T F −1‬תהיינה ‪ A‬ו־ ‪ A0‬המטריצות של ‪T‬‬ ‫ו־ ‪ T 0‬ביחס לבסיס כלשהו ) ‪(v1 , . . . , vn‬של ‪ .V‬תהיינה ‪ D‬ו־‪ E‬המטריצות של ‪ F‬ו־ ‪ F −1‬אז‬ ‫‪ DE‬היא המטריצה של ‪ F F −1‬שהיא טרמספורמצית הזהות‪ ,‬שהמטריצה שלה היא מטריצת‬ ‫היחידה ‪ .I‬לכן ‪ D ,DE = I‬הפיכה והמטריצה של ‪ F −1‬היא ‪ .D−1 = E‬מכיוון ש־‬ ‫‪ T 0 = F T F −1‬לכן המטריצה של ‪ T 0‬היא ‪ DAD−1‬הדומה ל־‪ .A‬קבוצת כל המטריצות של‬ ‫‪ T 0‬ביחס לכל הבסיסים של ‪ V‬היא מחלקת הדימיון של ‪ ,DAD−1‬שהיא מחלקת הדימיון‬ ‫של ‪ A‬כי ‪ DAD−1‬דומה ל־‪ .A‬כך ראינו כי לטרנספורמציות דומות מתאימה אותה מחלקת‬ ‫דימיון של מטריצות‪.‬‬ ‫בכיוון ההפוך‪ ,‬תהיינה ‪ T‬ו־ ‪ T 0‬שתי טרנספורמציות לינאריות שקבוצות המטריצות שלהן‬ ‫שוות‪ ,‬ונוכיח כי ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ ,T‬ולכן למחלקת דימיון של מטריצות מתאימה מחלקת דימיון‬ ‫של טרנספורמציות‪ .‬יהי ) ‪(v1 , . . . , vn‬בסיס כלשהו של ‪ V‬ותהיינה ‪ A‬ו־ ‪ A0‬המטריצות של ‪T‬‬ ‫ו־ ‪ T 0‬ביחס ל־) ‪ .(v1 , . . . , vn‬מכיוון שלפי הנתון ‪ A0‬נמצאת בקבוצת המטריצות של ‪A0 T‬‬ ‫דומה ל־‪ A‬ולכן קיימת מטריצה הפיכה ‪ D‬כך ש־ ‪ .A0 = DAD−1‬תהי ‪ F‬הטרנספורמציה‬ ‫הלינארית של ‪ V‬שהמטריצה שלה ביחס ל־) ‪ (v1 , . . . , vn‬היא ‪ .D‬מכיוון ש־‪ D‬הפיכה‬ ‫‪ F‬היא אוטומורפיזם של ‪ .V‬תהי ‪ S‬הטרנספורמציה ‪ F T F −1‬של ‪ .V‬המטריצה שלה‬ ‫ביחס ל־) ‪(v1 , . . . , vn‬היא מכפלת המטריצות של ‪ F, T, F −1‬כלומר ‪DAD−1‬שהיא ‪ .A0‬כך‬ ‫ל־ ‪ T 0‬ול־ ‪ F T F −1‬ישנה אותה מטריצה ביחס ל־) ‪ (v1 , . . . , vn‬ולכן ‪ ,T 0 = F T F −1‬וזה אומר‬ ‫ש־ ‪ T 0‬דומה ל־ ‪ .T‬כך קבלנו שבכל מחלקת דימיון של מטריצות קבוצת הטרנספורמציות‬ ‫המתאימה לכל אחת מהן היא שווה והיא מחלקת דימיון של טרנספורמציות‪ ,‬וההתאמה בין‬ ‫הטרנספורמציות והמטריצות‪ ,‬ללא קשר לבסיסים‪ ,‬היא התאמה חד חד ערכית של מחלקות‬ ‫הדימיון של הטרנספורמציות למחלקות הדימיון של המטריצות‪.‬‬ ‫הפולינום האופייני של טרנספורמציה‪ .‬ראינו לעיל כי אם ‪ A‬היא המטריצה של טרנספורמציה‬ ‫‪T‬אז יש ל־‪ A‬ול־ ‪ T‬בדיוק אותם ערכים עצמיים‪ .‬הערכים העצמיים של ‪ A‬הם השורשים של‬ ‫הפולינום האופייני של ‪ ,A‬ומתעוררת השאלה כיצד תלוי הפולינום האופייני של ‪ A‬בבחירת‬ ‫‪10‬‬ ‫המטריצה המסויימת של ‪.T‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬ו־‪ B‬מטריצות דומות אז הפולינומים האופייניים שלהן שווים‪ .‬לכן בהינתן‬ ‫טרנספורמציה לינארית ‪ T‬נגדיר את הפולינום האופייני שלה כפולינום האופייני של מטריצה‬ ‫‪ A‬כלשהי של ‪ ,T‬וכפי שאמרנו פולינום שה אינו תלוי בבחירת ‪ .A‬בפוילנום האופייני של ‪A‬‬ ‫המקדם של ‪ xn−1‬הוא העיקבה של ‪ ,A‬כלומר סכום איברי האלכסון הראשי של ‪ ,A‬ולכן‬ ‫העיקבה של ‪ A‬היא שווה לכל הפולינומים האופייניים של ‪ ,T‬ונקרא לה העיקבה של ‪.T‬‬ ‫הוכחה‪ .‬יהיו |‪ f (x) = |Ix − A‬ו־ |‪ g(x) = |Ix − B‬הפולינומים האופייניים של ‪A‬‬ ‫ו־‪ .B‬מכיוון ש־‪ B‬דומה ל־‪ A‬קיימת מטריצה הפיכה ‪ D‬כך ש־ ‪ .B = DAD−1‬לכן‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ Ix − B = Ix‬ולכן‬ ‫‪= DIxD−1 − DAD‬‬ ‫‪ − DAD −1‬‬ ‫)‪ −1 = D (Ix − A‬‬ ‫ ‪ D−1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪g(x) = |Ix − B| = D (Ix − A) D‬‬ ‫‪= |D| |Ix − A| D‬‬ ‫ ‪= |Ix − A| |D| D‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪= |Ix − A| DD = |Ix − A| |I| = |Ix − A| · 1 = f (x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪11‬‬