‫וקטורים‬ ‫הגדרה ‪.1‬‬ ‫סידרה בת ‪ n‬איברים ‪ a1 ,..., an‬שאיבריה מספרים ממשיים נקראת ‪- n‬יה סדורה או ‪- n‬וקטור (או‬ ‫וקטור)‪ .‬מספרים ‪ a1 ,..., an‬נקראים רכיבים של ה‪- n -‬יה‪ .‬ה ‪- n‬יה עצמה מסומנת כ‪. (a1 ,..., an ) -‬‬ ‫כאשר ‪ n  2‬נקבל שני רכיבים בלבד‪ ,‬לכן נאמר זוג סדור במקום ‪- 2‬יה סדורה‪ ,‬כאשר ‪ n  3‬נאמר‬ ‫שלשה סדורה וכו'‪ .‬מספר רכיבים ב ‪- n‬יה נקרא אורך ה ‪- n‬יה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪.1‬‬ ‫הסדרה )‪ (1,2‬היא דוגמה של זוג סדור‪ .‬הסדרה )‪ (0, 1 2 , 2 ,1‬היא רבעיה סדורה‪ ,‬הרכיב הראשון‬ ‫שלה שווה ל‪ , 0 -‬השני שווה ל‪ , 1 2 -‬השלישי שווה ל‪2 -‬‬ ‫והרביעי ‪.  1 -‬‬ ‫כדי להבדיל בין וקטורים לבין מספרים ממשיים אנו נסמן וקטורים ע"י אותיות לטיניות עם קו למלה‪,‬‬ ‫למשל )‪. a  (0,1,2,3‬‬ ‫סדר הרכיבים (מספרים) בתוך הוקטור הינו חשוב מאוד‪ .‬שינוי הסדר משנה גם את הוקטור‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫)‪. (1,2,3)  (3,2,1‬‬ ‫שוויון בין וקטורים‪.‬‬ ‫שני וקטורים ) ‪ a  (a1 ,..., am ), b  (b1 ,..., bk‬שווים אם ורק אם הם מקיימים שני תנאים‪:‬‬ ‫א‪. m  k .‬‬ ‫ב‪ .‬הרכיבים של הוקטורים שווים בהתאם‪ ,‬כלומר הרכיב הראשונים שווים זה לזה‪ ,‬השניים וכו'‪.‬‬ ‫בכתיב מתמטי ‪. a1  b1 , a2  b2 ..., am  bm‬‬ ‫הערה‪ .‬שני וקטורים לא ניתן להשוות אם מספר הרכיבים שלהם שונה‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫)‪. (1,3,2)  (1,3,2,0‬‬ ‫פעולות עם וקטורים‪.‬‬ ‫חיבור וחיסור‪.‬‬ ‫אם ) ‪ a  (a1, a2 ,..., an ), b  (b1, b2 ,..., bn‬אז‬ ‫) ‪a  b : (a1  b1, a2  b2 ,..., an  bn‬‬ ‫הערה‪ :‬לא ניתן לחבר וקטורים מאורכים שונים‪ ,‬למשל הסכם )‪ (0,1,2)  (1,2‬אינו מוגדר‪.‬‬ ‫מכוון שחיבור וחיסור של וקטורים מוגדר לפי רכיביהם‪ ,‬הפעולות האלה מקיימות את רוב החוקים‬ ‫שמתקיימים לפעולות חיבור וחיסור של המספרים הממשיים‪ .‬להלן מופיעים את החוקים האלה‪.‬‬ ‫‪ .A1‬אם ‪ a , b  R n‬אז ‪. a  b  R n‬‬ ‫‪ .A2‬חוק קומוטטיבי (חוק החילוף)‪.‬‬ ‫לכל שני וקטורים ‪ a, b‬מאותו האורך מתקיים ‪. a  b  b  a‬‬ ‫‪ .A3‬חוק אסוציאטיבי (חוק הקיבוץ)‬ ‫לכל שלושה וקטורים ‪ a , b , c‬מאותו האורך מתקיים ) ‪. (a  b )  c  a  (b  c‬‬ ‫‪ .A4‬קיום וקטור‪-‬האפס‪.‬‬ ‫קיים וקטור‪-‬אפס )‪ 0n  (0,...,0‬כך שלכל ) ‪ a  (a1, a2 ,..., an‬מתקיים ‪. a  0  0  a  a‬‬ ‫‪ .A5‬קיום וקטור נגדי‪.‬‬ ‫ללכל וקטור ) ‪ a  (a1, a2 ,..., an‬קיים וקטור נגדי ) ‪  a  (a1,a2 ,...,an‬כך ש‬ ‫‪. a  ( a )  ( a )  a  0‬‬ ‫כפל בסקלר(מספר)‬ ‫כל וקטור ) ‪ a  (a1, a2 ,..., an‬ניתן להכפיל בכל סקלר (מספר) ‪: b‬‬ ‫) ‪. b  a : (ba1, ba2 ,..., ban‬‬ ‫תכונות של הכפל‪:‬‬ ‫‪ .M1‬לכל מספר ‪ b  R‬ולכל וקטור ‪ a  R n‬מתקיים ‪. b  a  R n‬‬ ‫‪ .M2‬חוק אסוציאטיבי ‪. c  (b  a )  (c  b)  a ‬‬ ‫‪ .M3‬חוק היחידה ‪. 1 a  a‬‬ ‫‪ .D1‬חוק דיסטריבוטיבי (חוק הפילוג) שמאלי‪. c(a  b )  ca  cb :‬‬ ‫‪ .D2‬חוק דיסטריבוטיבי (חוק הפילוג) ימני‪. (b  c)a  ba  ca :‬‬ ‫משוואות לינאריות‬ ‫משוואה לינארית‪. a1x1  a2 x2  ...  an xn  b :‬‬ ‫‪ - x1, x2 ,..., xn‬נעלמים‪/‬משתנים של המשוואה‪,‬‬ ‫‪ - a1, a2 ,..., an , b‬מקדמים של המשוואה (מספרים קבועים)‪ b ,‬מקדם חופשי‪.‬‬ ‫וקטור ) ‪ v  (v1,..., vn‬נקרא פתרון (פרטי או מספרי) המשוואה ‪ a1x1  a2 x2  ...  an xn  b‬אם‬ ‫אחרי ההצבה ‪ x1  v1,..., xn  vn‬המשוואה תהפוך לזהות מספרית‪ .‬למשל הוקטור )‪ ( 2 ,1,2‬הינו‬ ‫פתרון של המשוואה ‪. 2  x1  x2  0.5x3  2‬‬ ‫אוסף של כל הפתרונות של המשוואה נקרא קבוצת הפתרונות שלה‪ .‬למשל קבוצת הפתרונות של‬ ‫המשוואה ‪ x  2 y  2‬היא אוסף של כל הזוגות מהצורה ) ‪ (t ,1  0.5t‬כאשר ‪ t‬הינו פרמטר חופשי‬ ‫שיכול לקבל ערך מספרי כלשהו‪ .‬מבחינה גאומרטאית קבוצת הפתרונות של המשוואה ‪ x  2 y  2‬היא‬ ‫קו ישר ‪: y  1 0.5x‬‬ ‫מערכת שבה יש ‪ m‬משוואות לינאריות שכל אחת מהן מכילה ‪ n‬נעלמים נקראת ממ"ל מסדר ‪. m  n‬‬ ‫‪ a11x1  a11x2  ...  a1n xn  b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a21x1  a21x2  ...  a2 n xn  b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪......‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm‬‬ ‫וקטור ) ‪ v  (v1,..., vn‬נקרא פתרון (פרטי או מספרי) של המערכת כאשר הוא מקיים כל אחת‬ ‫מהמשוואות שלה‪ .‬אוסף של כל הפתרונות של המערכת נקראת קבוצת הפתרונות שלה‪.‬‬ ‫דוגמא‪ .‬ממ"ל מסדר ‪: 2  3‬‬ ‫‪ x1  x2  x3  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x1  x2  2 x3  2‬‬ ‫הוקטור )‪ (1,1,0‬הינו פתרון פרטי של הממ"ל‪ .‬לאומת זאת הוקטור )‪ (1,1,2‬אינו פתרון‪ ,‬כי לא מקיים‬ ‫את המשוואה השנייה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ .2‬שתי מערכות משוואות לינאריות נקראות שקולות אם יש להן אותם פתרונות‪ ,‬ז"א קבוצות‬ ‫הפתרונות שלהם שוות זו לזו‪.‬‬ ‫הפעולות הבאות לא משנות את הקבוצת הפתרונות של ממ"ל‪:‬‬ ‫א‪ .‬החלפת סדר המשוואות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כפל משוואה כלשהי בסקלר (מספר) שונה מאפס‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הוספת משוואה אחת כפולה במספר כלשהו למשוואה אחרת‪.‬‬ ‫‪ x  2 y  3z  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא‪ .‬נביט בממ"ל ‪  2 x  3 y  2 z  2‬נחלץ נעלם ‪ x‬מהמשוואה השנייה בעמצאות המשוואה‬ ‫‪ x  y  2 z  8‬‬ ‫‪‬‬ ‫הראשונה‪ .‬לצורך זה נחסיר מהמשוואה השנייה את הראשונה כפולה ב‪( 2-‬פעולה מסוג ג')‪ .‬נקבל‬ ‫‪ x  2 y  3z  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y  4z  0‬‬ ‫‪ . ‬כדי להפתר מ‪ x -‬מהמשוואה השלישית נוסיף לה את המשוואה הראשונה‪ .‬נקבל‬ ‫‪ x  y  2 z  8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  2 y  3z  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y  4z  0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 y  5z  7‬‬ ‫‪‬‬ ‫עכשיו נחלץ את ה‪ y -‬מהמשוואה השלישית‪ .‬לצורך זה נוסיף לה את המשוואה השנייה כפולה ב‪ .3-‬נקבל‬ ‫‪ x  2 y  3z  1‬‬ ‫‪ x  2 y  3 1  1‬‬ ‫‪ x  2  ( 4)  3  1  1  x  6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y  4z  0  ‬‬ ‫‪ y  4 1  0  ‬‬ ‫‪y  4   y  4‬‬ ‫‪ . ‬אז לממ"ל‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z 1‬‬ ‫‪ 7 z  7‬‬ ‫‪z 1 ‬‬ ‫‪z 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫המקורית יש פתרון יחיד ‪ x  6, y  4, z  1‬או )‪. ( x, y, z )  (6,4,1‬‬