המרחב הדואלי
מרחבים דואליים
גרסת 4.4.2015
נעבוד עם שדה קבוע Fשלאיבריו נקרא סקלרים .תבנית מעל קבוצה Aזאת
פונקציה מ־ Aל־ .Fתבניות אלו הן מרחב וקטורי כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר
שלהם מוגדרות ,כמקובל לגבי חיבור וכפל של פונקציות ,ע"י
) .(cf )(a) = cf (a) ,(f + g)(a) = f (a) + g(aנכתוב ) (f, aעבור ) f (aואז
).(cf, a) = c(f, a) ,(f + g, a) = (f, a) + (g, a) (1
תבניות לינאריות )המכונות בספרות גם בשם פונקציונלים לינאריים( מעל מרחב
וקטורי Vהן תבניות fהמקיימות
לכל u, v ∈ V
).(f, av) = a(f, v) ,(f, u + v) = (f, u) + (f, v) (2
התבניות הלינאריות הן מרחב ,כי קל להוכיח שקבוצת התבניות הללו סגורה תחת החיבור
ותחת הכפל בסקלר .את המרחב שלהן נסמן ב־ ∨ Vוגם ב־ .W
תבנית כמו ) (f, vהמקיימת את ) (1ו־) (2נקראת תבנית בילינארית כי יש בה שני
משתנים f ,ו־ ,vהתנאי ) (1אומר שהיא לינארית ב־ fוהתנאי ) (2אומר שהיא לינארית
ב־.v
אנו נעסוק כאן רק במרחבים וקטוריים בעלי מימד סופי ,ולא תמיד נזכיר זאת
במפורש בהמשך.
תכונה מרכזית )*( של מרחב התבניות הלינאריות ∨ Vהיא
)*( אם ) (v1 , . . . , vnהוא בסיס ל־ Vו־) (a1 , . . . , anהיא n־יה של איברי Fאז
קיימת תבנית לינארית fיחידה כך שלכל .(f, vi ) = ai 1 ≤ i ≤ n
נפרק תכונה זאת לשני המקרים הפרטיים ) (3ו־) (4הבאים שלה .נשתמש בסימון
δi,jעבור הסקלר שהוא 1אם i = jו־ 0אם .i 6= j
) (3בהינתן בסיס ) (v1 , . . . , vnל־ Vקיים לכל ei ∈ W 1 ≤ i ≤ nכך שלכל
.(ei , vj ) = δi,j 1 ≤ j ≤ n
לינארית eiכזאת ,נשים תחילה לב לכך שאם היא
כדי לוודא שאמנם קיימת תבנית
P
קיימת אז הערך שלה לאיבר v = nj=1 aj vjכלשהו של Vהוא
P
P
P
, ei , nj=1 aj vj = nj=1 aj (ei , vj ) = nj=1 aj δi,j = aiכלומר הוא הקואורדינטה
ה־ iשל .vבדיקה פשוטה מראה שזאת באמת תבנית לינארית.
Pn
Pנבחר f = j=1 aj ejאז לכל
Pחלק הקיום של )*(.
נראה כי ) (3גורר ישירות את
.(f, vi ) = nj=1 aj (ej , vi ) = nj=1 aj δi,j = ai 1 ≤ i ≤ n
) (4אם f ∈ Wהוא כך שלכל v ∈ Vקיים ) (f, v) = 0ולשם כך די ,לפי ) ,(2שזה
יתקיים לכל איבר של בסיס כלשהו( אז .f = 0
) (4נראה מובן מאליו למרחב התבניות הלינאריות אבל אנו נדבר גם על מרחבים W
אחרים.
כתוצאה מ־) ,(4אם ל־ f,g∈Wמתקיים לכל ) (f, v) = (g, v) v ∈ Vודי שזה יתקיים
לכל איבר של בסיס כלשהו( אז .f = g
1
מכאן ואילך לא נשתמש בהגדרת המרחב Wאלא רק ב־ )(4־) .(1בכך לא ויתרנו
על דבר כי )*( ,הנובע מ־) (3ומ־) ,(4נותן לנו את אותה מידת חופש לבנות איברים
של Wכמו הגדרת מושג התבניות הלינאריות.
משפט .עבור בסיס ) (v1 , . . . , vnשל ,Vהאיברים e1 , . . . , enשל Wהקיימים לפי
) (3מהווים בסיס ) (e1 , . . . , enל־ Wהנקרא הבסיס הדואלי ל־ ) .(v1 , . . . , vnבמיוחד,
.dim W = dim V
Pn
a
e
=
0
אם
כי
שנראה
ע"י
תלויים
בלתי
e
,
.
.
.
,
e
ש־
נראה
הוכחה .תחילה
i
i
1
n
i=1
קיים
)(1
לפי
.a
=
0
1
≤
j
אז לכל Pn j ≤ n
Pn
Pn
= ) 0P= (0, vj ) = ( i=1 ai ei , vjולכן
I=1 ai δi,j = aj
= ) i=1 ai (ei , vj
.aj = 0כעת נראה שלכל f ∈ Wקיימים a1 , . . . , an ∈ Fכך ש־ .fP= ni=1 ai ei
Pכפי שראינו לעיל ,לכל ,( ni=1 ai ei , vj ) = (f, vj ) 1 ≤ j ≤ n
נקבע ) ai = (f, viואז,
ולכן ,לפי ).f = ni=1 ai ei ֵ (4
נקרא לכל מרחב Wעם תבנית בילינארית המקיימת את ) ,(1),..,(4ולכן גם את
)*( ,מרחב דואלי ל־ .Vלכל מרחב וקטורי בעל מימד סופי Vקיים מרחב דואלי כי
מרחב התבניות הלינאריות ∨ Vמעל Vהוא כזה .ראינו כי מרחב דואלי ל־ Vמימדו
כמימד .V
מטרתנו כעת היא להראות שהיחס בין המרחב Vלמרחב Wהדואלי לו הוא סימטרי,
בכך שאם Wדואלי ל־ Vאז גם Vדואלי ל־ .Wהתנאים ) (1ו־) (2סימטריים זה לזה,
נותר לנו להראות שמתקיימים גם התנאים הסימטריים ל־) (3ול־) ,(4ולכן גם התנאי )*(
הנובע מהם .נתחיל בכך שנשים לב לכך שגם למרחב Wהדואלי ל־ Vיש מרחב דואלי,
נסמן מרחב כזה ב־ .U
משפט .א .לכל v ∈ Vקיים u ∈ Uיחיד כך שלכל .(u, ei ) = (ei , v) 1 ≤ i ≤ n
ב .תהי F : V → Uההעתקה כך שלכל F (v) v ∈ Vהוא uכמו ב־א' ,כלומר לכל
1 ≤ i ≤ nקיים ) ,(F (v), ei ) = (ei , vאז Fהיא איזומורפיזם.
ג .האיזומורפים Fשל ב' שומר על התבנית הבילינארית ) (w, vבמובן שלכל v ∈ V
ו־ w ∈ Wקיים ).(F (v) , w) = (w, v
הוכחה .א .נובע ישירות מ־)*(.
ב .תחילה נראה כי Fהיא לינארית.
) (F (v + v 0 ) , ei ) = (ei , v + v 0 ) = (ei , v) + (ei , v 0 ) = (F (v) , ei ) + (F (v 0 ), ei
) = ((F (v) + F (v 0 )) , ei
,
ולפי ) .F (v + v 0 ) = F (v) + F (v 0 ) (4גם ל־ a ∈ Fקיים
) (F (av) , ei ) = (ei , av) = a (ei , v) = a (F (v), ei ) = (aF (v) , ei
,
ולפי ).F (av) = aF (v) (4
הסדרה )) (F (v1 ) , . . . , F (vnהיא בסיס ל־ Uוהיא הבסיס הדואלי ל־) (e1 , . . . , en
כי לכל .(F (vi ) , ej ) = (ej , vi ) = δi,j 1 ≤ i, j ≤ nכך Fהיא העתקה לינארית
המעתיקה בסיס של Vלבסיס של Uולכן Fהיא איזומורפיזם.
2
,w ∈ Wאז מכיוון ש־ ) (e1 , . . . , enבסיס ל־ Wקיימים a1 , . . . , anכך
ג .יהיPn
ואז
w
=
ש־ Pn i=1 ai ei
Pn
Pn
a
(F
)(v
,
e
)
=
a
e
)
=
)(F (v
,
)w
=
(F
)(v
,
i
)i=1 ai (ei , v
i=1 i
i=1 i i
Pn
)= ( i=1 ai ei , v) = (w, v
.
ניגש עתה להראות שקיים התנאי הסימטרי לחלק הקיום של )*( ,הגורר את ).(3
יהי ) (w1 , . . . , wnבסיס ל־ Wו־ a1 , . . . , an ∈ Fונראה שקיים v ∈ Vכך שלכל
1 ≤ i ≤ nקיים .(wi , v) = aiמכיוון ש־)*( קיים למרחב Uהדואלי ל־ Wקיים
u ∈ Uכך שלכל .(u, wi ) = ai 1 ≤ i ≤ nמכיוון ש־ Fהוא העתקה של Vעל W
קיים v ∈ Vכך ש־ ) .u = F (vקיים כעת לכל (wi , v) = (F (v) , wi ) = 1 ≤ i ≤ n
,(u, wi ) = aiוזה הוא מה שרצינו להראות .נשים לב שכשם שהוכחנו לעיל את קיום
הבסיס ) (e1 , . . . , enל־ Wהדואלי ל־) (v1 , . . . , vnאנו יכולים כעת להוכיח שקיים בסיס
) (v1 , . . . , vnל־ Vשהוא דואלי ל־) .ֱ(w1 , . . . , wnכעת נוכיח את התנאי הסימטרי ל־).(4
יהי a ∈ Vכך שלכל (w, a) = 0 w ∈ Wואז גם .(F (a) , w) = 0מכיוון ש־ Uמקיים
את ) (4ביחס ל־ Wקיים F (a) = 0ומכיוון ש־ Fאיזומורפיזם .a = 0
משפט .למרחב ווקטורי Vיש מרחב דואלי יחיד עד כדי איזומורפיזם .בין שני
מרחבים דואליים ל־ Vיש איזומורפיזם יחיד השומר על התבנית הבילינארית).(f, v
הסבר .כל המרחבים הדואליים ל־ Vהם בעלי מימד השווה לזה של Vולכן הם
איזומורפיים זה לזה ,כאשר לסתם איזומורפיזם שלהם אין כל קשר עם היותם מרחבים
דואליים ל־ .Vכדי להבין טוב יותר את מה שהמשפט אומר על האיזומורפיזם נסמן את
התבנית הבילינארית המקשרת את Vלמרחב Wהדואלי לו ב־ .( , )Wטענת המשפט
היא שאם Wו־ W 0הם שני מרחבים דואליים ל־ Vאז קיים איזומורפיזם F : W → W 0
יחיד ה"מניח" את ( , )Wעל ( , )W 0במובן שלכל v ∈ Vו־ w ∈ Wכאשר הביטוי
(v, w)Wמקבל ערך מסויים אז ערך זה נשמר כאשר Fמעבירה אותו ל־ ,(v, F (w))W 0
כלומר .(v, F (w))W 0 = (v, w)W
הוכחה .יהי ) (v1 , . . . , vnבסיס ל־ ,Vויהיו W, W 0מרחבים דואליים ל־ .Vאם
F : W → W 0הוא איזומורפיזם של Wעל W 0השומר על התבנית הבילינארית
ו־ ) (e1 , . . . , enהוא הבסיס של Wהדואלי ל־ ) (v1 , . . . , vnאז לכל
(F (ej ) , vi ) = (ej , vi ) = δi,j ֵ 1 ≤ i ≤ j ≤ nולכן )) (F (e1 ) , . . . , F (enהוא
הבסיס של W 0שהוא הדואלי לבסיס ) (e1 , . . . , enשל ,Vכלומר איזומורפיזם השומר את
התבנית הבילינארית חייב להעביר את הבסיס של Wשהוא הדואלי לבסיס ) (v1 , . . . , vn
של Vלבסיס של W 0שהוא דואלי ל־) .(v1 , . . . , vnברור שיש בדיוק איזומורפים אחד
כזה .מכיוון שהוא שומר על התבנית הבילינארית עבור הבסיסים של המרחבים V, W, W 0
הוא שומר עליה עבור כל הווקטורים במרחבים אלו.
המאפס של קבוצת ווקטורים
נתבונן באגף שמאל של משוואה לינארית הומוגנית a1 x1 + . . . + an xn = 0כעל
תבנית לינארית המעתיקה את הווקטור x = (x1, . . . , xn ) ∈ Fnלסקלר
.f (x) = a1 x1 + . . . + an xnכך פתרון מערכת של kמשוואות לינאריות הומוגניות
הוא מציאת הווקטורים ) x = (x1 , . . . , xnהמקיימים
.f1 (x) = . . . = fk (x) = 0אלו הם בדיוק הווקטורים המאפסים את
3
) .Span(f1 , . . . , fkל־ ∨ S ⊆ Vנסמן }.S0 = {a ∈ V | (∀f ∈ S) (f, a) = 0
S0הוא ,כמובן ,תת מרחב של .Vבתהליך הליכסון של גאוס־ז'ורדן ,מצאנו סדרה
ב"ת g1 , . . . , gmשל תבניות לינאריות ב־ ∨ ,Vהכתובות כשורות של מטריצה ,הפורשת
את ) .Span(f1 , . . . , fkנסמן את מספרי העמודות במטריצה זאת שבהן רכיב אחד
הוא 1ויתר הרכיבים הם 0ב־ ,r1 , . . . , rmואת מספרי יתר העמודות במטריצה נסמן
ב־ .t1 , . . . , tn−mבסיס לפתרונות הם n − mהווקטורים v1 , . . . , vn−mהיכן שלכל
vi 1 ≤ i ≤ n − mהוא הווקטור שרכיבו ה־ tiהוא ,1ולכל 1 ≤ j ≤ n − m
השונה מ־ iרכיבו ה־ tjהוא ,0ויתר רכיביו מחושבים מן המשוואות gi (x) = 0עבור
.1 ≤ i ≤ mנכליל זאת עתה למקרה בו במקום התבניות הלינאריות f1, . . . , fkנתונה
קבוצת וקטורים Sבמרחב וקטורי Vכלשהו.
הגדרה .לקבוצת וקטורים Sבמרחב וקטורי Vנסמן ב־ S0את קבוצת הווקטורים
במרחב Wהדואלי ל־ Vהמאפסים את כל איברי ,Sכלומר
} S0 ֵ .S0 = {w ∈ W | (∀b ∈ S) (w, b) = 0נקראת המאפס של .S
למה .א S0 .הוא תת מרחב של ,Wולכן Span (S)0 = S0
ב .אם S ⊆ Tאז .T0 ⊆ S0
משפט המאפס .יהי ) (v1 , . . . , vnבסיס ל־ Vו־ ) (e1 , . . . , enהבסיס הדואלי לו
של המרחב Wהדואלי ל־ .Vאז לכל 0 ≤ k < nהמאפס של } ,{v1 , . . . , vkשהוא גם
המאפס של ) ,Span (v1 , . . . , vkהוא ) .Span (ek+1 , . . . , en
הוכחה .לכל ej k + 1 ≤ j ≤ nמאפס כל ‘ viעם ,1 ≤ i ≤ kPולכן הוא מאפס את
) .Span (v1 , . . . , vkבכוון השני ,אם איבר f = ni=1 ai eiשל Wנמצא במאפס של
} {v1 , . . . , vkאז
Pn
Pn
Pלכל Pn 1 ≤ j ≤ k
0 = ( i=1 ai ei , vj ) = i=1 ai (ei , vj ) = ni=1 ai δi,j = ajולכן f = i=k+1 ai ei
ו־ ) .f ∈ Span (ek+1 , . . . , en
מסקנות .א .אם Vהוא מרחב וקטורי מעל Fממימד nו־ S ⊆ Vהיא מדרגה k
אז .dim (S0 ) = n − k
ב .לכל .S00 = Span (S) S ⊆ V
הוכחה .יהי ) (v1 , . . . , vkבסיס ל־) .Span (Sנשלים אותו לבסיס ) (v1 , . . . , vn
של Vויהי ) (e1 , . . . , enהבסיס של המרחב Wשהוא דואלי לבסיס זה .אז ,לפי משפט
המאפס (ek+1 , . . . , en ) ,הוא בסיס ל־ ,Span (S)0שהוא .S0הפעלה שניה של משפט
המאפס ,הפעם על המרחב Wוהמרחב Vהצמוד לו ,נותנת ש־ ) (v1 , . . . , vkהוא
הבסיס של המאפס S00של S0ולכן ).S00 = Span (v1 , . . . , vk ) = Span (S
הטרנספורמציה הלינארית הדואלית
משפט הבסיס הנוח לטיפול בטרנספורמציה לינארית :תהי ׂ Gטרנספורמציה לינארית
ממרחב Vממימד nלמרחב .Uהגרעין ) Ker (Gשל Gזאת הקבוצה }.{v ∈ V | Gv = 0
הדרגה של ,Gשנסמנה ב־ ,rהיא מימד התמונה ) Im (Gשל .Gקיים בסיס ) (v1 , . . . , vn
ל־ Vכך ש־ ) (Gv1 , . . . , Gvrהיא סדרת ווקטורים בלתי תלויה ב־ Wו־ ) (vr+1 , . . . , vn
היא בסיס ל־) ,Ker (Gובמיוחד ,המימד של ) Ker (Gהוא .n − r
הוכחה .יהי kמימד ) ,Ker (Gויהי ) (vn−k+1 , . . . , vnבסיס ל־) .Ker (Gנשלים את
הסידרה הזאת לבסיס ) (v1 , . . . , vnשל .Vברור כי הסדרה ) (Gv1 , . . . , Gvnפורשת את
4
) ,Im (Gומכיוון ש־ ) vn−k+1 , . . . , vn ∈ Ker (Gקיים Gvn−k+1 = . . . = Gvn = 0
שסדרה זאת היא
ולכן גם הסדרה ) (Gv1 , . . . , Gvn−kפורשת את ) .Im (Gנוכיח עתה Pn−k
ונוכיח כי
בלתי תלויה .לשם כך יהיו a1 , . . . , an−k ∈ Fכך ש־ i=1 ai Gvi = 0
= .a1לאור לינאריות Gקיים
. . . = an−k
P
=0
Pn−k
n−k
,Gוזה אומר ש־ ) . i=1 ai vi ∈ Ker (Gמכיוון
i=1 ai vi = 0
ל־) Ker (Gקיימים , . . . , bn ∈ F
(vn−k+1בסיס
ש־ ) Pn , . . . , vn
Pn−k
bn−k+1Pכך P
n
a
v
=
(−b
)
v
=
0
ולכן
a
v
+
, n−kומכיוון
i i
ש־ n−k+1 bi vi
i=1 i i
n−k+1
i=1 i i
ש־ ) (v1 , . . . , vnהיא בסיס לכן .a1 = . . . = an−k = −bn−k+1 = . . . = −bn = 0
כך ראינו שהסדרה ) (Gv1 , . . . , Gvn−kהיא בסיס ל־) ,Im (Gולכן n − k = rומכאן
.k = n − r
ננסח עתה משפט ,כאשר משמעות המשפט תובהר במהלך הוכחתו.
משפט .תהי ׂ Gטרנספורמציה לינארית ממרחב Vלמרחב ,Uאז קיימת טרנספורמציה
לינארית ∨ Gמן המרחב ∨ Uהדואלי ל־ Uלמרחב ∨ Vהדואלי ל־ Vכך שלכל ∨ f ∈ W
ולכל v ∈ Vקיים ) .(G∨ f, v) = (f, Gvיש לשים לב ששיוויון זה קובע את G∨ fבכך
שלכל v ∈ Vהוא נותן את הערך של ) ,(G∨ f, vולכן נקרא לו ,בהקשר הנוכחי ,בשם
"השיוויון המאפיין את ∨ ."Gהטרנספורמציה הלינארית ∨ Gנקראת הטרנספורמציה
הדואלית ל־.G
הוכחה והסבר .כדי להסביר את המשפט נוח להתבונן במרחבים ∨ Vו־ ∨ Wהדואליים
ל־ Vול־ Wכעל מרחבי תבניות לינאריות מעל Vו־ .Wלכן בהתחלה נצא מנקודת ראות
זאת ,נביא דוגמה ,וגם נוכיח את המשפט .לאחר מכן נוכיח את המשפט מנקודת הראות
שפיתחנו והיא שהמרחב הדואלי למרחב אינו דווקא מרחב התבניות הלינאריות מעל
למרחב אלא הוא מרחב כך שקיימת תבנית בילינארית ,עם שני משתנים שהם איבר של
המרחב ואיבר של המרחב הדואלי ,המקיימת את התנאים ) (3ו־).(4
איבר fבמרחב ∨ Uהדואלי ל־ Uזאת פונקציה מ־ Uל־ G ,Fזאת פונקציה מ־ V
ל־ Uלכן ההרכבה f Gזאת פונקציה מ־ Vל־ .Fנסמן את הפונקציה הזאת ב־ ,gכלומר
ׂ gהיא לינארית כי היא ההרכבה של שתי הפונקציות הלינאריות Gו־ ,f
.g = f G
ולכן ∨ .g ∈ Vאת השויון g = f Gאנחנו יכולים להביע ע"י התנאי שלכל v ∈ V
) .(g, v) = (f, Gvאת הפונקציה המעתיקה את ∨ f ∈ Uל־ ∨ g ∈ Vנסמן ב־ ∨ ,Gוכך
,g = G∨ fוזה אומר ש־ ∨ .G∨ f = f G ∈ Vכך ∨ Gמעתיקה כל ∨ f ∈ Uלאיבר
gשל ∨ Vכלומר ∨ Gהיא פונקציה מ־ ∨ Uל־ ∨ .Vלאור מה שאמרנו לעיל ,אנו יכולים
לומר שלכל ∨ f ∈ Uו־ v ∈ Vקיים ) ,(G∨ f, v) = (f, Gvוזהו השיוויון המאפיין את
∨. G
נבהיר את מה שאנו מדברים עליו ע"י דוגמה .לשם הקיצור נסמן ב־ ) (v1 , v2 , v3את
הבסיס התיקני של ) F (3שהוא )) .((1, 0, 0) , (0, 1.0) , (0, 0, 1תהי Gהטרנספורמציה
הלינארית מ־ ) F(3ל־ ) F(2הנתונה ע"י )G (v2 ) = (3, 4) ,G (v1 ) = (1, 2
)(2
)(3
Fו־ F
.Gהמטריצה של Gביחס לבסיסים התקניים של
(v3 ) = (5,
ו־) 6
1
3
5
.נסמן את הבסיס של ∨) F(2הדואלי לבסיס התיקני של )F(2
היא
2 4 6
ב־ ) ,(h1 , h2ואז לכל h1 (a1 , a2 ) = a1 a1 , a2 ∈ Fו־ .h2 (a1 , a2 ) = a2ל־ i = 1, 2
5
התבנית ,G∨ h1שהיא ההרכבה h1 Gנותנת ל־ v1 , v2 , v3את הערכים שהם הרכיבים
הראשונים של תמונות Gשלהם ,כלומר את ,1, 3, 5וכך G∨ h1היא התבנית ב־ ∨ V
הנתונה ע"י G∨ h1 (v2 ) = 3 ,G∨ h1 (v1 ) = 1ו־ .G∨ h1 (v3 ) = 5כמו כן ,התבנית
, G∨ h2שהיא ההרכבה h2 Gנותנת ל־ v1 , v2 , v3את הערכים שהם הרכיבים השניים
של תמונות Gשלהם ,כלומר את , 2, 4, 6וכך G∨ h2היא התבנית ב־ ∨ Vהנתונה ע"י
G∨ h2 (v2 ) = 4 , G∨ h2 (v1 ) = 2ו־. G∨ h2 (v3 ) = 6
∨
ראינו כי ∨ Gהיא פונקציה המעתיקה מ־ ∨ Uל־ ∨ ,Vנראה עתה כי Gהיא לינארית,
ולכן היא טרנספורמציה לינארית
∨
∨
∨
ראשית נראה כי לכל ∨ G (f1 + f2 ) = G (f1 ) + G (f2 ) f1 , f2 ∈ Uומכיוון
שמדובר בשוויון של שתי הפונקציות ) G∨ (f1 + f2ו־ ) G∨ (f1 ) + G∨ (f2שתחומן V
נוכיח זאת ע"י שנראה ,תוך שימוש בשיוויון המאפיין את ∨ ,Gשהן מקבלות את אותם
ערכים לכל .v ∈ V
)(G∨ (f1 + f2 ) , v) = (f1 + f2 , Gv) = (f1 , Gv)+(f2 , Gv) = (G∨ f1 , v)+(G∨ f2 v
)= (G∨ f1 , +G∨ f2 , v
.
כעת ,מתקיים גם השיוויון ) G∨ (af ) = a (G∨ fכי לכל v ∈ V
).(G∨ (af ) , v)=(af, Gv) = a (f, Gv) = a (G∨ f, v) = (a (G∨ f ) , v
מנקודת הראות שפיתחנו שהמרחבים הדואליים ל־ Vול־ Uאינם בהכרח מרחבי
התבניות הלינאריות מעל מרחבים אלו נפעל כך .יהי ) (v1 , . . . , vnבסיס כלשהו של .V
∨
בבהינתן ∨ , f ∈ Uקיים ∨ g ∈ Vהמקיים
מכיוון ש־ Vמקיים את )*( ביחס ל־ VלכןPn ,
(g, viPלכל ≤ i ≤ n
) ) = (f, Gvi
,V Pאז
יהי Pv = i=1 aiviאיבר כלשהו של
P.1
n
n
n
n
a
(f,
Gv
)
=
(f,
a
(g,
v
)
=
a
v
)
=
(g, v) = (g,
i
i
) i=1 ai Gvi
i=1 i
i=1 i
Pn i=1 i i
.
)= (f, G ( i=1 ai vi )) = (f, Gv
כך ראינו כי לכל ∨ f ∈ Uקיים ∨ g ∈ Vהמקיים ,לכל ,(g, v) = (f, Gv) ,v ∈ Vכמו
לעיל נגדיר את ∨ Gכפונקציה המעתיקה כל ∨ f ∈ Uל־ gכזה ,ואז קיים ,לכל ∨ f ∈ U
ו־ ,(G∨ f, v) = (f, Gv) v ∈ Vוזהו השיוויון המאפיין את ∨ .Gההוכחה ש־ ∨ Gהיא
לינארית היא בדיוק כמו לעיל.
משפט .תהיינה Gו־ ∨ Gכמו במשפט הקודם ,אז דרגת ∨ Gשווה לדרגת ׂ.G
הוכחה .נביא כאן הוכחה ישירה למשפט זה .המשפט נובע גם מן ההתבוננות במטריצות
של הטרנספורמציות ,כפי שיוסבר בהמשך.
יהיו ,dim(U ) = m ,dim(V ) = nודרגת .r Gיהי ) (v1 , . . . , vnבסיס ל־ Vכמו
במשפט על הבסיס הנוח לטיפול בטרנספורמציה לינארית ,ואז הסידרה ) (Gv1 , . . . , Gvr
היא בסיס ל־ ) Im(Gו־ ) (vr+1 , . . . , vnהיא בסיס ל־) .Ker (Gנשלים את הסידרה
יהי
.U
) (Gv1 , . . . , Gvrלבסיס Gv1 , . . . , Gvr , ur+1 , . . . , umשל
) (e1 , . . . , enהבסיס של ∨ Vהדואלי ל־ ) ,(v1 , . . . , vnויהי ) (h1 , . . . , hmהבסיס של
∨ Uהדואלי ל־ ) .(Gv1 , . . . , Gvr , ur+1 , . . . , umנוכיח כי
∨
א' :עבור G∨ hj = ej 1 ≤ j ≤ rו־ב' :עבור .G hj = 0 r + 1 ≤ j ≤ m
לכן תמונת ∨ Gהיא ) Span (e1 , . . . , ekומימדה .r
הוכחת א' :יהי .1 ≤ j ≤ rל־ .(G∨ hj , vi ) = (hj , Gvi ) = δi,j 1 ≤ i ≤ r
ול־ .(G∨ hj , vi ) = (hj , Gvi ) = (hj , 0) = 0 r + 1 ≤ i ≤ nלכן לכל 1 ≤ i ≤ n
6
.G∨ hj = ej . וזה אומר ש־,(G∨ hj , vi ) = δi,j
כלשהוv∈V ו־r + 1 ≤ j ≤ m ל־:'הוכחת ב
P
עבורGv = ki=1 ai Gvi לכן.G(v) ∈ Im(G) = Span (Gv1 , . . . , Gvr )
מתאימים ולכןa1, . . . , ar ∈ F
Pr
Pr
P
∨
.(G hj , v) = (hj , Gv) = (hj , i=1 Gvi ) = i=1 (hj , Gvi ) = kr
i=1 0 = 0
7
משפט .תהי Aהמטריצה של טרנספורמציה לינארית Gממרחב Vעם בסיס
) (v1 , . . . , vnלמרחב Uעם בסיס ) .(u1 , . . . , umאז המטריצה של הטרנספורמציה
הצמודה ∨ G∨ : U ∨ → Vביחס לבסיסים של ∨ Uו־ ∨ Vהדואליים ל־) (u1 , . . . , um
ול־) (v1 , . . . , vnהיא המטריצה Atהמשוחלפת ל־ .Aמכאן נובע גם כי הדרגה של
הטרנספורמציה ∨ Gשווה לזאת של ,Gכי דרגת Atשווה לזאת של .A
דוגמה .בדוגמה שהבאנו לעיל ,אחרי ההגדרה של ∨ ,Gהיתה Gהטרנספורמציה
)(3
ל־ ) F(2שהמטריצה שלה ,ביחס לבסיסים התיקניים של מרחבים אלו,
הלינארית מ־ F
1 3 5
∨)(3
Fהדואלי לבסיס
.נסמן ב־ ) (e1 , e2 , e3את הבסיס של
היא
2 4 6
)) ((1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1של ) .F(3ראינו שם כי G∨ h1נותן ל־ v1 , v2 , v3
את הערכים ,1, 3, 5שהם הערכים שנותן לווקטורים אלו גם ) e1 + 3e2 + 5e3כי
ולכן לפי ) G∨ h1 = e1 + 3e2 + 5e3 (4והעמודה הראשונה במטריצה
,((ei , vj ) = δij
1
∨
של ∨ Gהיא . 3 ראינו שם גם כי G h2נותן ל־ v1 , v2 , v3את הערכים 2, 4, 6
5
2
ולכן G∨ h2 = 2e1 + 4e2 + 6e3והעמודה השניהה במטריצה של ∨ Gהיא . 4 לכן
6
1 2
המטריצה של ∨ Gהיא , 3 4 והיא המטריצה המשוחלפת למטריצה של .G
5 6
הוכחה .יהיו ) (e1 , . . . , enו־ ) (h1 , . . . , hmהבסיסים של ∨ Vו־ ∨ Uהדואליים
ל־ ) (v1 , . . . , vnול־ ) .(u1 , . . . , umמכיוון ש־ Aהיא המטריצה של Gהמקדם של ui
בהצגת Gvjלפי ) (u1 , . . . , umהוא .aijמכיוון שלכל ווקטור uבמרחב (hi , u) Uהוא
המקדם של uiבהצגת uלפי ) (u1 , . . . , umלכן ,(hi , Gvj ) = aijולכן ,לפי הגדרת
Pהצרוף הלינארי של הבסיס ) (e1 , . . . , enהנותן
∨.(G∨ hi , vj ) = (hi , Gvj ) = ai,j ,G
aPהוא , nk=1 aik ekכי
לכל vjאת הערך ij
P
Pn
n
, vj ) = nk=1 aik δkj = aij
( k=1 aik ek , vj ) = k=1 aik (ek Pולכן ,לפי היחידות
∨
האמורה ב־ ) .G hi = nk=1 aik ek ,(4זה אומר שלכל n 1 ≤ i ≤ m־ית המקדמים
של G∨ hiבהצגתו כצרוף לינארי של ) ,(e1 , . . . , enשהיא העמודה ה־i־ית במטריצה של
∨ ,Gהיא ) ,(ai1 , . . . , ainוזאת היא השורה ה־ iבמטריצה .Aלכן המטריצה של ∨G
היא המטריצה המשוחלפת ל־.A
8
© Copyright 2024