המרחב הדואלי

‫מרחבים דואליים‬
‫גרסת ‪4.4.2015‬‬
‫נעבוד עם שדה קבוע ‪ F‬שלאיבריו נקרא סקלרים‪ .‬תבנית מעל קבוצה ‪ A‬זאת‬
‫פונקציה מ־‪ A‬ל־‪ .F‬תבניות אלו הן מרחב וקטורי כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר‬
‫שלהם מוגדרות‪ ,‬כמקובל לגבי חיבור וכפל של פונקציות‪ ,‬ע"י‬
‫)‪ .(cf )(a) = cf (a) ,(f + g)(a) = f (a) + g(a‬נכתוב )‪ (f, a‬עבור )‪ f (a‬ואז‬
‫)‪.(cf, a) = c(f, a) ,(f + g, a) = (f, a) + (g, a) (1‬‬
‫תבניות לינאריות )המכונות בספרות גם בשם פונקציונלים לינאריים( מעל מרחב‬
‫וקטורי ‪ V‬הן תבניות ‪ f‬המקיימות‬
‫לכל ‪u, v ∈ V‬‬
‫)‪.(f, av) = a(f, v) ,(f, u + v) = (f, u) + (f, v) (2‬‬
‫התבניות הלינאריות הן מרחב‪ ,‬כי קל להוכיח שקבוצת התבניות הללו סגורה תחת החיבור‬
‫ותחת הכפל בסקלר‪ .‬את המרחב שלהן נסמן ב־ ∨ ‪ V‬וגם ב־ ‪.W‬‬
‫תבנית כמו )‪ (f, v‬המקיימת את )‪ (1‬ו־)‪ (2‬נקראת תבנית בילינארית כי יש בה שני‬
‫משתנים‪ f ,‬ו־‪ ,v‬התנאי )‪ (1‬אומר שהיא לינארית ב־ ‪ f‬והתנאי )‪ (2‬אומר שהיא לינארית‬
‫ב־‪.v‬‬
‫אנו נעסוק כאן רק במרחבים וקטוריים בעלי מימד סופי‪ ,‬ולא תמיד נזכיר זאת‬
‫במפורש בהמשך‪.‬‬
‫תכונה מרכזית )*( של מרחב התבניות הלינאריות ∨ ‪ V‬היא‬
‫)*( אם ) ‪ (v1 , . . . , vn‬הוא בסיס ל־ ‪ V‬ו־) ‪ (a1 , . . . , an‬היא ‪n‬־יה של איברי ‪ F‬אז‬
‫קיימת תבנית לינארית ‪ f‬יחידה כך שלכל ‪.(f, vi ) = ai 1 ≤ i ≤ n‬‬
‫נפרק תכונה זאת לשני המקרים הפרטיים )‪ (3‬ו־)‪ (4‬הבאים שלה‪ .‬נשתמש בסימון‬
‫‪ δi,j‬עבור הסקלר שהוא ‪ 1‬אם ‪ i = j‬ו־‪ 0‬אם ‪.i 6= j‬‬
‫)‪ (3‬בהינתן בסיס ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ל־ ‪ V‬קיים לכל ‪ ei ∈ W 1 ≤ i ≤ n‬כך שלכל‬
‫‪.(ei , vj ) = δi,j 1 ≤ j ≤ n‬‬
‫לינארית ‪ ei‬כזאת‪ ,‬נשים תחילה לב לכך שאם היא‬
‫כדי לוודא שאמנם קיימת תבנית‬
‫‪P‬‬
‫קיימת אז הערך שלה לאיבר ‪ v = nj=1 aj vj‬כלשהו של ‪ V‬הוא‬
‫‪ P‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ , ei , nj=1 aj vj = nj=1 aj (ei , vj ) = nj=1 aj δi,j = ai‬כלומר הוא הקואורדינטה‬
‫ה־‪ i‬של ‪ .v‬בדיקה פשוטה מראה שזאת באמת תבנית לינארית‪.‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ P‬נבחר ‪ f = j=1 aj ej‬אז לכל‬
‫‪ P‬חלק הקיום של )*(‪.‬‬
‫נראה כי )‪ (3‬גורר ישירות את‬
‫‪.(f, vi ) = nj=1 aj (ej , vi ) = nj=1 aj δi,j = ai 1 ≤ i ≤ n‬‬
‫)‪ (4‬אם ‪ f ∈ W‬הוא כך שלכל ‪ v ∈ V‬קיים ‪) (f, v) = 0‬ולשם כך די‪ ,‬לפי )‪ ,(2‬שזה‬
‫יתקיים לכל איבר של בסיס כלשהו( אז ‪.f = 0‬‬
‫)‪ (4‬נראה מובן מאליו למרחב התבניות הלינאריות אבל אנו נדבר גם על מרחבים ‪W‬‬
‫אחרים‪.‬‬
‫כתוצאה מ־)‪ ,(4‬אם ל־‪ f,g∈W‬מתקיים לכל ‪) (f, v) = (g, v) v ∈ V‬ודי שזה יתקיים‬
‫לכל איבר של בסיס כלשהו( אז ‪.f = g‬‬
‫‪1‬‬
‫מכאן ואילך לא נשתמש בהגדרת המרחב ‪ W‬אלא רק ב־ )‪(4‬־)‪ .(1‬בכך לא ויתרנו‬
‫על דבר כי )*(‪ ,‬הנובע מ־)‪ (3‬ומ־)‪ ,(4‬נותן לנו את אותה מידת חופש לבנות איברים‬
‫של ‪ W‬כמו הגדרת מושג התבניות הלינאריות‪.‬‬
‫משפט‪ .‬עבור בסיס ) ‪ (v1 , . . . , vn‬של ‪ ,V‬האיברים ‪ e1 , . . . , en‬של ‪ W‬הקיימים לפי‬
‫)‪ (3‬מהווים בסיס ) ‪ (e1 , . . . , en‬ל־ ‪ W‬הנקרא הבסיס הדואלי ל־ ) ‪ .(v1 , . . . , vn‬במיוחד‪,‬‬
‫‪.dim W = dim V‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪a‬‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫אם‬
‫כי‬
‫שנראה‬
‫ע"י‬
‫תלויים‬
‫בלתי‬
‫‪e‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪e‬‬
‫ש־‬
‫נראה‬
‫הוכחה‪ .‬תחילה‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫קיים‬
‫)‪(1‬‬
‫לפי‬
‫‪.a‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫≤‬
‫‪j‬‬
‫אז לכל ‪Pn j ≤ n‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫= ) ‪ 0P= (0, vj ) = ( i=1 ai ei , vj‬ולכן‬
‫‪I=1 ai δi,j = aj‬‬
‫= ) ‪i=1 ai (ei , vj‬‬
‫‪ .aj = 0‬כעת נראה שלכל ‪ f ∈ W‬קיימים ‪ a1 , . . . , an ∈ F‬כך ש־ ‪.fP= ni=1 ai ei‬‬
‫‪P‬כפי שראינו לעיל‪ ,‬לכל ‪,( ni=1 ai ei , vj ) = (f, vj ) 1 ≤ j ≤ n‬‬
‫נקבע ) ‪ ai = (f, vi‬ואז‪,‬‬
‫ולכן‪ ,‬לפי )‪.f = ni=1 ai ei ֵ (4‬‬
‫נקרא לכל מרחב ‪ W‬עם תבנית בילינארית המקיימת את )‪ ,(1),..,(4‬ולכן גם את‬
‫)*(‪ ,‬מרחב דואלי ל־ ‪ .V‬לכל מרחב וקטורי בעל מימד סופי ‪ V‬קיים מרחב דואלי כי‬
‫מרחב התבניות הלינאריות ∨ ‪ V‬מעל ‪ V‬הוא כזה‪ .‬ראינו כי מרחב דואלי ל־ ‪ V‬מימדו‬
‫כמימד ‪.V‬‬
‫מטרתנו כעת היא להראות שהיחס בין המרחב ‪ V‬למרחב ‪ W‬הדואלי לו הוא סימטרי‪,‬‬
‫בכך שאם ‪ W‬דואלי ל־ ‪ V‬אז גם ‪ V‬דואלי ל־ ‪ .W‬התנאים )‪ (1‬ו־)‪ (2‬סימטריים זה לזה‪,‬‬
‫נותר לנו להראות שמתקיימים גם התנאים הסימטריים ל־)‪ (3‬ול־)‪ ,(4‬ולכן גם התנאי )*(‬
‫הנובע מהם‪ .‬נתחיל בכך שנשים לב לכך שגם למרחב ‪ W‬הדואלי ל־ ‪ V‬יש מרחב דואלי‪,‬‬
‫נסמן מרחב כזה ב־ ‪.U‬‬
‫משפט‪ .‬א‪ .‬לכל ‪ v ∈ V‬קיים ‪ u ∈ U‬יחיד כך שלכל ‪.(u, ei ) = (ei , v) 1 ≤ i ≤ n‬‬
‫ב‪ .‬תהי ‪ F : V → U‬ההעתקה כך שלכל ‪ F (v) v ∈ V‬הוא ‪ u‬כמו ב־א'‪ ,‬כלומר לכל‬
‫‪ 1 ≤ i ≤ n‬קיים )‪ ,(F (v), ei ) = (ei , v‬אז ‪ F‬היא איזומורפיזם‪.‬‬
‫ג‪ .‬האיזומורפים ‪ F‬של ב' שומר על התבנית הבילינארית )‪ (w, v‬במובן שלכל ‪v ∈ V‬‬
‫ו־ ‪ w ∈ W‬קיים )‪.(F (v) , w) = (w, v‬‬
‫הוכחה‪ .‬א‪ .‬נובע ישירות מ־)*(‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחילה נראה כי ‪ F‬היא לינארית‪.‬‬
‫) ‪(F (v + v 0 ) , ei ) = (ei , v + v 0 ) = (ei , v) + (ei , v 0 ) = (F (v) , ei ) + (F (v 0 ), ei‬‬
‫) ‪= ((F (v) + F (v 0 )) , ei‬‬
‫‪,‬‬
‫ולפי )‪ .F (v + v 0 ) = F (v) + F (v 0 ) (4‬גם ל־ ‪ a ∈ F‬קיים‬
‫) ‪(F (av) , ei ) = (ei , av) = a (ei , v) = a (F (v), ei ) = (aF (v) , ei‬‬
‫‪,‬‬
‫ולפי )‪.F (av) = aF (v) (4‬‬
‫הסדרה )) ‪ (F (v1 ) , . . . , F (vn‬היא בסיס ל־ ‪ U‬והיא הבסיס הדואלי ל־) ‪(e1 , . . . , en‬‬
‫כי לכל ‪ .(F (vi ) , ej ) = (ej , vi ) = δi,j 1 ≤ i, j ≤ n‬כך ‪ F‬היא העתקה לינארית‬
‫המעתיקה בסיס של ‪ V‬לבסיס של ‪ U‬ולכן ‪ F‬היא איזומורפיזם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,w ∈ W‬אז מכיוון ש־ ) ‪ (e1 , . . . , en‬בסיס ל־ ‪ W‬קיימים ‪ a1 , . . . , an‬כך‬
‫ג‪ .‬יהי‪Pn‬‬
‫ואז‬
‫‪w‬‬
‫=‬
‫ש־ ‪Pn i=1 ai ei‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪a‬‬
‫‪(F‬‬
‫)‪(v‬‬
‫‪,‬‬
‫‪e‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪e‬‬
‫)‬
‫=‬
‫)‪(F (v‬‬
‫‪,‬‬
‫)‪w‬‬
‫=‬
‫‪(F‬‬
‫)‪(v‬‬
‫‪,‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪i=1 ai (ei , v‬‬
‫‪i=1 i‬‬
‫‪i=1 i i‬‬
‫‪Pn‬‬
‫)‪= ( i=1 ai ei , v) = (w, v‬‬
‫‪.‬‬
‫ניגש עתה להראות שקיים התנאי הסימטרי לחלק הקיום של )*(‪ ,‬הגורר את )‪.(3‬‬
‫יהי ) ‪ (w1 , . . . , wn‬בסיס ל־ ‪ W‬ו־ ‪ a1 , . . . , an ∈ F‬ונראה שקיים ‪ v ∈ V‬כך שלכל‬
‫‪ 1 ≤ i ≤ n‬קיים ‪ .(wi , v) = ai‬מכיוון ש־)*( קיים למרחב ‪ U‬הדואלי ל־ ‪ W‬קיים‬
‫‪ u ∈ U‬כך שלכל ‪ .(u, wi ) = ai 1 ≤ i ≤ n‬מכיוון ש־ ‪ F‬הוא העתקה של ‪ V‬על ‪W‬‬
‫קיים ‪ v ∈ V‬כך ש־ )‪ .u = F (v‬קיים כעת לכל ‪(wi , v) = (F (v) , wi ) = 1 ≤ i ≤ n‬‬
‫‪ ,(u, wi ) = ai‬וזה הוא מה שרצינו להראות‪ .‬נשים לב שכשם שהוכחנו לעיל את קיום‬
‫הבסיס ) ‪ (e1 , . . . , en‬ל־ ‪ W‬הדואלי ל־) ‪ (v1 , . . . , vn‬אנו יכולים כעת להוכיח שקיים בסיס‬
‫) ‪(v1 , . . . , vn‬ל־ ‪ V‬שהוא דואלי ל־) ‪ .ֱ(w1 , . . . , wn‬כעת נוכיח את התנאי הסימטרי ל־)‪.(4‬‬
‫יהי ‪ a ∈ V‬כך שלכל ‪ (w, a) = 0 w ∈ W‬ואז גם ‪ .(F (a) , w) = 0‬מכיוון ש־ ‪ U‬מקיים‬
‫את )‪ (4‬ביחס ל־ ‪ W‬קיים ‪ F (a) = 0‬ומכיוון ש־ ‪ F‬איזומורפיזם ‪.a = 0‬‬
‫משפט‪ .‬למרחב ווקטורי ‪ V‬יש מרחב דואלי יחיד עד כדי איזומורפיזם‪ .‬בין שני‬
‫מרחבים דואליים ל־ ‪ V‬יש איזומורפיזם יחיד השומר על התבנית הבילינארית)‪.(f, v‬‬
‫הסבר‪ .‬כל המרחבים הדואליים ל־ ‪ V‬הם בעלי מימד השווה לזה של ‪ V‬ולכן הם‬
‫איזומורפיים זה לזה‪ ,‬כאשר לסתם איזומורפיזם שלהם אין כל קשר עם היותם מרחבים‬
‫דואליים ל־ ‪ .V‬כדי להבין טוב יותר את מה שהמשפט אומר על האיזומורפיזם נסמן את‬
‫התבנית הבילינארית המקשרת את ‪ V‬למרחב ‪ W‬הדואלי לו ב־ ‪ .( , )W‬טענת המשפט‬
‫היא שאם ‪ W‬ו־ ‪ W 0‬הם שני מרחבים דואליים ל־ ‪ V‬אז קיים איזומורפיזם ‪F : W → W 0‬‬
‫יחיד ה"מניח" את ‪ ( , )W‬על ‪ ( , )W 0‬במובן שלכל ‪ v ∈ V‬ו־ ‪ w ∈ W‬כאשר הביטוי‬
‫‪ (v, w)W‬מקבל ערך מסויים אז ערך זה נשמר כאשר ‪ F‬מעבירה אותו ל־ ‪,(v, F (w))W 0‬‬
‫כלומר ‪.(v, F (w))W 0 = (v, w)W‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס ל־ ‪ ,V‬ויהיו ‪ W, W 0‬מרחבים דואליים ל־ ‪ .V‬אם‬
‫‪ F : W → W 0‬הוא איזומורפיזם של ‪ W‬על ‪ W 0‬השומר על התבנית הבילינארית‬
‫ו־ ) ‪ (e1 , . . . , en‬הוא הבסיס של ‪ W‬הדואלי ל־ ) ‪ (v1 , . . . , vn‬אז לכל‬
‫‪ (F (ej ) , vi ) = (ej , vi ) = δi,j ֵ 1 ≤ i ≤ j ≤ n‬ולכן )) ‪ (F (e1 ) , . . . , F (en‬הוא‬
‫הבסיס של ‪ W 0‬שהוא הדואלי לבסיס ) ‪ (e1 , . . . , en‬של ‪ ,V‬כלומר איזומורפיזם השומר את‬
‫התבנית הבילינארית חייב להעביר את הבסיס של ‪ W‬שהוא הדואלי לבסיס ) ‪(v1 , . . . , vn‬‬
‫של ‪ V‬לבסיס של ‪ W 0‬שהוא דואלי ל־) ‪ .(v1 , . . . , vn‬ברור שיש בדיוק איזומורפים אחד‬
‫כזה‪ .‬מכיוון שהוא שומר על התבנית הבילינארית עבור הבסיסים של המרחבים ‪V, W, W 0‬‬
‫הוא שומר עליה עבור כל הווקטורים במרחבים אלו‪.‬‬
‫המאפס של קבוצת ווקטורים‬
‫נתבונן באגף שמאל של משוואה לינארית הומוגנית ‪ a1 x1 + . . . + an xn = 0‬כעל‬
‫תבנית לינארית המעתיקה את הווקטור ‪ x = (x1, . . . , xn ) ∈ Fn‬לסקלר‬
‫‪ .f (x) = a1 x1 + . . . + an xn‬כך פתרון מערכת של ‪ k‬משוואות לינאריות הומוגניות‬
‫הוא מציאת הווקטורים ) ‪ x = (x1 , . . . , xn‬המקיימים‬
‫‪ .f1 (x) = . . . = fk (x) = 0‬אלו הם בדיוק הווקטורים המאפסים את‬
‫‪3‬‬
‫) ‪ .Span(f1 , . . . , fk‬ל־ ∨ ‪ S ⊆ V‬נסמן }‪.S0 = {a ∈ V | (∀f ∈ S) (f, a) = 0‬‬
‫‪ S0‬הוא‪ ,‬כמובן‪ ,‬תת מרחב של ‪ .V‬בתהליך הליכסון של גאוס־ז'ורדן ‪ ,‬מצאנו סדרה‬
‫ב"ת ‪ g1 , . . . , gm‬של תבניות לינאריות ב־ ∨ ‪ ,V‬הכתובות כשורות של מטריצה‪ ,‬הפורשת‬
‫את ) ‪ .Span(f1 , . . . , fk‬נסמן את מספרי העמודות במטריצה זאת שבהן רכיב אחד‬
‫הוא ‪ 1‬ויתר הרכיבים הם ‪ 0‬ב־ ‪ ,r1 , . . . , rm‬ואת מספרי יתר העמודות במטריצה נסמן‬
‫ב־ ‪ .t1 , . . . , tn−m‬בסיס לפתרונות הם ‪ n − m‬הווקטורים ‪ v1 , . . . , vn−m‬היכן שלכל‬
‫‪ vi 1 ≤ i ≤ n − m‬הוא הווקטור שרכיבו ה־ ‪ ti‬הוא ‪ ,1‬ולכל ‪1 ≤ j ≤ n − m‬‬
‫השונה מ־‪ i‬רכיבו ה־ ‪ tj‬הוא ‪ ,0‬ויתר רכיביו מחושבים מן המשוואות ‪ gi (x) = 0‬עבור‬
‫‪ .1 ≤ i ≤ m‬נכליל זאת עתה למקרה בו במקום התבניות הלינאריות ‪ f1, . . . , fk‬נתונה‬
‫קבוצת וקטורים ‪ S‬במרחב וקטורי ‪ V‬כלשהו‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬לקבוצת וקטורים ‪ S‬במרחב וקטורי ‪ V‬נסמן ב־ ‪ S0‬את קבוצת הווקטורים‬
‫במרחב ‪ W‬הדואלי ל־ ‪ V‬המאפסים את כל איברי ‪ ,S‬כלומר‬
‫}‪ S0 ֵ .S0 = {w ∈ W | (∀b ∈ S) (w, b) = 0‬נקראת המאפס של ‪.S‬‬
‫למה‪ .‬א‪ S0 .‬הוא תת מרחב של ‪ ,W‬ולכן ‪Span (S)0 = S0‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ S ⊆ T‬אז ‪.T0 ⊆ S0‬‬
‫משפט המאפס‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס ל־ ‪ V‬ו־ ) ‪ (e1 , . . . , en‬הבסיס הדואלי לו‬
‫של המרחב ‪ W‬הדואלי ל־ ‪ .V‬אז לכל ‪ 0 ≤ k < n‬המאפס של } ‪ ,{v1 , . . . , vk‬שהוא גם‬
‫המאפס של ) ‪ ,Span (v1 , . . . , vk‬הוא ) ‪.Span (ek+1 , . . . , en‬‬
‫הוכחה‪ .‬לכל ‪ ej k + 1 ≤ j ≤ n‬מאפס כל ‘‪ vi‬עם‪ ,1 ≤ i ≤ kP‬ולכן הוא מאפס את‬
‫) ‪ .Span (v1 , . . . , vk‬בכוון השני‪ ,‬אם איבר ‪ f = ni=1 ai ei‬של ‪ W‬נמצא במאפס של‬
‫} ‪ {v1 , . . . , vk‬אז‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ P‬לכל ‪Pn 1 ≤ j ≤ k‬‬
‫‪ 0 = ( i=1 ai ei , vj ) = i=1 ai (ei , vj ) = ni=1 ai δi,j = aj‬ולכן ‪f = i=k+1 ai ei‬‬
‫ו־ ) ‪.f ∈ Span (ek+1 , . . . , en‬‬
‫מסקנות‪ .‬א‪ .‬אם ‪ V‬הוא מרחב וקטורי מעל ‪ F‬ממימד ‪ n‬ו־ ‪ S ⊆ V‬היא מדרגה ‪k‬‬
‫אז ‪.dim (S0 ) = n − k‬‬
‫ב‪ .‬לכל ‪.S00 = Span (S) S ⊆ V‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vk‬בסיס ל־)‪ .Span (S‬נשלים אותו לבסיס ) ‪(v1 , . . . , vn‬‬
‫של ‪ V‬ויהי ) ‪ (e1 , . . . , en‬הבסיס של המרחב ‪ W‬שהוא דואלי לבסיס זה‪ .‬אז‪ ,‬לפי משפט‬
‫המאפס‪ (ek+1 , . . . , en ) ,‬הוא בסיס ל־ ‪ ,Span (S)0‬שהוא ‪ .S0‬הפעלה שניה של משפט‬
‫המאפס‪ ,‬הפעם על המרחב ‪ W‬והמרחב ‪ V‬הצמוד לו‪ ,‬נותנת ש־ ) ‪ (v1 , . . . , vk‬הוא‬
‫הבסיס של המאפס ‪ S00‬של ‪ S0‬ולכן )‪.S00 = Span (v1 , . . . , vk ) = Span (S‬‬
‫הטרנספורמציה הלינארית הדואלית‬
‫משפט הבסיס הנוח לטיפול בטרנספורמציה לינארית‪ :‬תהי ׂ‪ G‬טרנספורמציה לינארית‬
‫ממרחב ‪ V‬ממימד ‪ n‬למרחב ‪ .U‬הגרעין )‪ Ker (G‬של ‪ G‬זאת הקבוצה }‪.{v ∈ V | Gv = 0‬‬
‫הדרגה של ‪ ,G‬שנסמנה ב־‪ ,r‬היא מימד התמונה )‪ Im (G‬של ‪ .G‬קיים בסיס ) ‪(v1 , . . . , vn‬‬
‫ל־ ‪ V‬כך ש־ ) ‪ (Gv1 , . . . , Gvr‬היא סדרת ווקטורים בלתי תלויה ב־ ‪ W‬ו־ ) ‪(vr+1 , . . . , vn‬‬
‫היא בסיס ל־)‪ ,Ker (G‬ובמיוחד‪ ,‬המימד של )‪ Ker (G‬הוא ‪.n − r‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ k‬מימד )‪ ,Ker (G‬ויהי ) ‪(vn−k+1 , . . . , vn‬בסיס ל־)‪ .Ker (G‬נשלים את‬
‫הסידרה הזאת לבסיס ) ‪(v1 , . . . , vn‬של ‪ .V‬ברור כי הסדרה ) ‪ (Gv1 , . . . , Gvn‬פורשת את‬
‫‪4‬‬
‫)‪ ,Im (G‬ומכיוון ש־ )‪ vn−k+1 , . . . , vn ∈ Ker (G‬קיים ‪Gvn−k+1 = . . . = Gvn = 0‬‬
‫שסדרה זאת היא‬
‫ולכן גם הסדרה ) ‪ (Gv1 , . . . , Gvn−k‬פורשת את )‪ .Im (G‬נוכיח עתה ‪Pn−k‬‬
‫ונוכיח כי‬
‫בלתי תלויה‪ .‬לשם כך יהיו ‪ a1 , . . . , an−k ∈ F‬כך ש־ ‪i=1 ai Gvi = 0‬‬
‫= ‪ .a1‬לאור לינאריות ‪ G‬קיים‬
‫‪. . . = an−k‬‬
‫‪P‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪Pn−k‬‬
‫‪n−k‬‬
‫‪ ,G‬וזה אומר ש־ )‪ . i=1 ai vi ∈ Ker (G‬מכיוון‬
‫‪i=1 ai vi = 0‬‬
‫ל־)‪ Ker (G‬קיימים ‪, . . . , bn ∈ F‬‬
‫‪ (vn−k+1‬בסיס‬
‫ש־ ) ‪Pn , . . . , vn‬‬
‫‪Pn−k‬‬
‫‪ bn−k+1P‬כך ‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪v‬‬
‫=‬
‫‪(−b‬‬
‫)‬
‫‪v‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫ולכן‬
‫‪a‬‬
‫‪v‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ , n−k‬ומכיוון‬
‫‪i i‬‬
‫ש־ ‪n−k+1 bi vi‬‬
‫‪i=1 i i‬‬
‫‪n−k+1‬‬
‫‪i=1 i i‬‬
‫ש־ ) ‪ (v1 , . . . , vn‬היא בסיס לכן ‪.a1 = . . . = an−k = −bn−k+1 = . . . = −bn = 0‬‬
‫כך ראינו שהסדרה ) ‪ (Gv1 , . . . , Gvn−k‬היא בסיס ל־)‪ ,Im (G‬ולכן ‪ n − k = r‬ומכאן‬
‫‪.k = n − r‬‬
‫ננסח עתה משפט‪ ,‬כאשר משמעות המשפט תובהר במהלך הוכחתו‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהי ׂ‪ G‬טרנספורמציה לינארית ממרחב ‪ V‬למרחב ‪ ,U‬אז קיימת טרנספורמציה‬
‫לינארית ∨‪ G‬מן המרחב ∨ ‪ U‬הדואלי ל־ ‪ U‬למרחב ∨ ‪ V‬הדואלי ל־ ‪ V‬כך שלכל ∨ ‪f ∈ W‬‬
‫ולכל ‪ v ∈ V‬קיים )‪ .(G∨ f, v) = (f, Gv‬יש לשים לב ששיוויון זה קובע את ‪ G∨ f‬בכך‬
‫שלכל ‪ v ∈ V‬הוא נותן את הערך של )‪ ,(G∨ f, v‬ולכן נקרא לו‪ ,‬בהקשר הנוכחי‪ ,‬בשם‬
‫"השיוויון המאפיין את ∨‪ ."G‬הטרנספורמציה הלינארית ∨‪ G‬נקראת הטרנספורמציה‬
‫הדואלית ל־‪.G‬‬
‫הוכחה והסבר‪ .‬כדי להסביר את המשפט נוח להתבונן במרחבים ∨ ‪ V‬ו־ ∨ ‪ W‬הדואליים‬
‫ל־ ‪ V‬ול־ ‪ W‬כעל מרחבי תבניות לינאריות מעל ‪V‬ו־ ‪ .W‬לכן בהתחלה נצא מנקודת ראות‬
‫זאת‪ ,‬נביא דוגמה‪ ,‬וגם נוכיח את המשפט‪ .‬לאחר מכן נוכיח את המשפט מנקודת הראות‬
‫שפיתחנו והיא שהמרחב הדואלי למרחב אינו דווקא מרחב התבניות הלינאריות מעל‬
‫למרחב אלא הוא מרחב כך שקיימת תבנית בילינארית‪ ,‬עם שני משתנים שהם איבר של‬
‫המרחב ואיבר של המרחב הדואלי‪ ,‬המקיימת את התנאים )‪ (3‬ו־)‪.(4‬‬
‫איבר ‪ f‬במרחב ∨ ‪ U‬הדואלי ל־ ‪ U‬זאת פונקציה מ־ ‪ U‬ל־‪ G ,F‬זאת פונקציה מ־ ‪V‬‬
‫ל־ ‪ U‬לכן ההרכבה ‪ f G‬זאת פונקציה מ־ ‪ V‬ל־‪ .F‬נסמן את הפונקציה הזאת ב־‪ ,g‬כלומר‬
‫ׂ‪ g‬היא לינארית כי היא ההרכבה של שתי הפונקציות הלינאריות ‪ G‬ו־ ‪,f‬‬
‫‪.g = f G‬‬
‫ולכן ∨ ‪ .g ∈ V‬את השויון ‪ g = f G‬אנחנו יכולים להביע ע"י התנאי שלכל ‪v ∈ V‬‬
‫)‪ .(g, v) = (f, Gv‬את הפונקציה המעתיקה את ∨ ‪ f ∈ U‬ל־ ∨ ‪ g ∈ V‬נסמן ב־ ∨‪ ,G‬וכך‬
‫‪ ,g = G∨ f‬וזה אומר ש־ ∨ ‪ .G∨ f = f G ∈ V‬כך ∨‪ G‬מעתיקה כל ∨ ‪ f ∈ U‬לאיבר‬
‫‪ g‬של ∨ ‪ V‬כלומר ∨‪ G‬היא פונקציה מ־ ∨ ‪ U‬ל־ ∨ ‪ .V‬לאור מה שאמרנו לעיל‪ ,‬אנו יכולים‬
‫לומר שלכל ∨ ‪ f ∈ U‬ו־ ‪ v ∈ V‬קיים )‪ ,(G∨ f, v) = (f, Gv‬וזהו השיוויון המאפיין את‬
‫∨‪. G‬‬
‫נבהיר את מה שאנו מדברים עליו ע"י דוגמה‪ .‬לשם הקיצור נסמן ב־ ) ‪ (v1 , v2 , v3‬את‬
‫הבסיס התיקני של )‪ F (3‬שהוא ))‪ .((1, 0, 0) , (0, 1.0) , (0, 0, 1‬תהי ‪ G‬הטרנספורמציה‬
‫הלינארית מ־ )‪ F(3‬ל־ )‪ F(2‬הנתונה ע"י )‪G (v2 ) = (3, 4) ,G (v1 ) = (1, 2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪ F‬ו־ ‪F‬‬
‫‪ .G‬המטריצה של ‪ G‬ביחס לבסיסים התקניים של‬
‫‪ (v3 ) = (5,‬‬
‫ו־)‪ 6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .‬נסמן את הבסיס של ∨)‪ F(2‬הדואלי לבסיס התיקני של )‪F(2‬‬
‫היא‬
‫‪2 4 6‬‬
‫ב־ ) ‪ ,(h1 , h2‬ואז לכל ‪ h1 (a1 , a2 ) = a1 a1 , a2 ∈ F‬ו־ ‪ .h2 (a1 , a2 ) = a2‬ל־ ‪i = 1, 2‬‬
‫‪5‬‬
‫התבנית ‪ ,G∨ h1‬שהיא ההרכבה ‪ h1 G‬נותנת ל־ ‪ v1 , v2 , v3‬את הערכים שהם הרכיבים‬
‫הראשונים של תמונות ‪ G‬שלהם‪ ,‬כלומר את ‪ ,1, 3, 5‬וכך ‪ G∨ h1‬היא התבנית ב־ ∨ ‪V‬‬
‫הנתונה ע"י ‪ G∨ h1 (v2 ) = 3 ,G∨ h1 (v1 ) = 1‬ו־ ‪ .G∨ h1 (v3 ) = 5‬כמו כן‪ ,‬התבנית‬
‫‪ , G∨ h2‬שהיא ההרכבה ‪ h2 G‬נותנת ל־ ‪ v1 , v2 , v3‬את הערכים שהם הרכיבים השניים‬
‫של תמונות ‪ G‬שלהם‪ ,‬כלומר את ‪ , 2, 4, 6‬וכך ‪ G∨ h2‬היא התבנית ב־ ∨ ‪ V‬הנתונה ע"י‬
‫‪ G∨ h2 (v2 ) = 4 , G∨ h2 (v1 ) = 2‬ו־‪. G∨ h2 (v3 ) = 6‬‬
‫∨‬
‫ראינו כי ∨‪ G‬היא פונקציה המעתיקה מ־ ∨ ‪ U‬ל־ ∨ ‪ ,V‬נראה עתה כי ‪ G‬היא לינארית‪,‬‬
‫ולכן היא טרנספורמציה לינארית‬
‫∨‬
‫∨‬
‫∨‬
‫ראשית נראה כי לכל ∨ ‪ G (f1 + f2 ) = G (f1 ) + G (f2 ) f1 , f2 ∈ U‬ומכיוון‬
‫שמדובר בשוויון של שתי הפונקציות ) ‪ G∨ (f1 + f2‬ו־ ) ‪ G∨ (f1 ) + G∨ (f2‬שתחומן ‪V‬‬
‫נוכיח זאת ע"י שנראה‪ ,‬תוך שימוש בשיוויון המאפיין את ∨‪ ,G‬שהן מקבלות את אותם‬
‫ערכים לכל ‪.v ∈ V‬‬
‫)‪(G∨ (f1 + f2 ) , v) = (f1 + f2 , Gv) = (f1 , Gv)+(f2 , Gv) = (G∨ f1 , v)+(G∨ f2 v‬‬
‫)‪= (G∨ f1 , +G∨ f2 , v‬‬
‫‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬מתקיים גם השיוויון ) ‪ G∨ (af ) = a (G∨ f‬כי לכל ‪v ∈ V‬‬
‫)‪.(G∨ (af ) , v)=(af, Gv) = a (f, Gv) = a (G∨ f, v) = (a (G∨ f ) , v‬‬
‫מנקודת הראות שפיתחנו שהמרחבים הדואליים ל־ ‪ V‬ול־ ‪ U‬אינם בהכרח מרחבי‬
‫התבניות הלינאריות מעל מרחבים אלו נפעל כך‪ .‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס כלשהו של ‪.V‬‬
‫∨‬
‫בבהינתן ∨ ‪ , f ∈ U‬קיים ∨ ‪ g ∈ V‬המקיים‬
‫מכיוון ש־ ‪ V‬מקיים את )*( ביחס ל־ ‪ V‬לכן‪Pn ,‬‬
‫‪ (g, viP‬לכל ‪≤ i ≤ n‬‬
‫) ‪) = (f, Gvi‬‬
‫‪ ,V P‬אז‬
‫יהי ‪Pv = i=1 aivi‬איבר כלשהו של‬
‫‪P.1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪(f,‬‬
‫‪Gv‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪(f,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪(g,‬‬
‫‪v‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪v‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪(g, v) = (g,‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫) ‪i=1 ai Gvi‬‬
‫‪i=1 i‬‬
‫‪i=1 i‬‬
‫‪Pn i=1 i i‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪= (f, G ( i=1 ai vi )) = (f, Gv‬‬
‫כך ראינו כי לכל ∨ ‪ f ∈ U‬קיים ∨ ‪ g ∈ V‬המקיים‪ ,‬לכל ‪ ,(g, v) = (f, Gv) ,v ∈ V‬כמו‬
‫לעיל נגדיר את ∨‪ G‬כפונקציה המעתיקה כל ∨ ‪ f ∈ U‬ל־‪ g‬כזה‪ ,‬ואז קיים‪ ,‬לכל ∨ ‪f ∈ U‬‬
‫ו־ ‪ ,(G∨ f, v) = (f, Gv) v ∈ V‬וזהו השיוויון המאפיין את ∨‪ .G‬ההוכחה ש־ ∨‪ G‬היא‬
‫לינארית היא בדיוק כמו לעיל‪.‬‬
‫משפט‪ .‬תהיינה ‪ G‬ו־ ∨‪ G‬כמו במשפט הקודם‪ ,‬אז דרגת ∨‪ G‬שווה לדרגת ׂ‪.G‬‬
‫הוכחה‪ .‬נביא כאן הוכחה ישירה למשפט זה‪ .‬המשפט נובע גם מן ההתבוננות במטריצות‬
‫של הטרנספורמציות‪ ,‬כפי שיוסבר בהמשך‪.‬‬
‫יהיו ‪ ,dim(U ) = m ,dim(V ) = n‬ודרגת ‪ .r G‬יהי ) ‪ (v1 , . . . , vn‬בסיס ל־ ‪ V‬כמו‬
‫במשפט על הבסיס הנוח לטיפול בטרנספורמציה לינארית‪ ,‬ואז הסידרה ) ‪(Gv1 , . . . , Gvr‬‬
‫היא בסיס ל־ )‪ Im(G‬ו־ ) ‪ (vr+1 , . . . , vn‬היא בסיס ל־)‪ .Ker (G‬נשלים את הסידרה‬
‫יהי‬
‫‪.U‬‬
‫) ‪ (Gv1 , . . . , Gvr‬לבסיס ‪ Gv1 , . . . , Gvr , ur+1 , . . . , um‬של‬
‫) ‪ (e1 , . . . , en‬הבסיס של ∨ ‪ V‬הדואלי ל־ ) ‪ ,(v1 , . . . , vn‬ויהי ) ‪ (h1 , . . . , hm‬הבסיס של‬
‫∨ ‪ U‬הדואלי ל־ ) ‪ .(Gv1 , . . . , Gvr , ur+1 , . . . , um‬נוכיח כי‬
‫∨‬
‫א'‪ :‬עבור ‪ G∨ hj = ej 1 ≤ j ≤ r‬ו־ב'‪ :‬עבור ‪.G hj = 0 r + 1 ≤ j ≤ m‬‬
‫לכן תמונת ∨‪ G‬היא ) ‪ Span (e1 , . . . , ek‬ומימדה ‪.r‬‬
‫הוכחת א'‪ :‬יהי ‪ .1 ≤ j ≤ r‬ל־ ‪.(G∨ hj , vi ) = (hj , Gvi ) = δi,j 1 ≤ i ≤ r‬‬
‫ול־ ‪ .(G∨ hj , vi ) = (hj , Gvi ) = (hj , 0) = 0 r + 1 ≤ i ≤ n‬לכן לכל ‪1 ≤ i ≤ n‬‬
‫‪6‬‬
.G∨ hj = ej .‫ וזה אומר ש־‬,(G∨ hj , vi ) = δi,j
‫ כלשהו‬v∈V ‫ ו־‬r + 1 ≤ j ≤ m ‫ ל־‬:'‫הוכחת ב‬
P
‫ עבור‬Gv = ki=1 ai Gvi ‫ לכן‬.G(v) ∈ Im(G) = Span (Gv1 , . . . , Gvr )
‫ מתאימים ולכן‬a1, . . . , ar ∈ F
Pr
Pr
P
∨
.(G hj , v) = (hj , Gv) = (hj , i=1 Gvi ) = i=1 (hj , Gvi ) = kr
i=1 0 = 0
7
‫משפט‪ .‬תהי ‪ A‬המטריצה של טרנספורמציה לינארית ‪ G‬ממרחב ‪ V‬עם בסיס‬
‫) ‪ (v1 , . . . , vn‬למרחב ‪ U‬עם בסיס ) ‪ .(u1 , . . . , um‬אז המטריצה של הטרנספורמציה‬
‫הצמודה ∨ ‪ G∨ : U ∨ → V‬ביחס לבסיסים של ∨ ‪ U‬ו־ ∨ ‪ V‬הדואליים ל־) ‪(u1 , . . . , um‬‬
‫ול־) ‪ (v1 , . . . , vn‬היא המטריצה ‪ At‬המשוחלפת ל־‪ .A‬מכאן נובע גם כי הדרגה של‬
‫הטרנספורמציה ∨‪ G‬שווה לזאת של ‪ ,G‬כי דרגת ‪ At‬שווה לזאת של ‪.A‬‬
‫דוגמה‪ .‬בדוגמה שהבאנו לעיל‪ ,‬אחרי ההגדרה של ∨‪ ,G‬היתה ‪ G‬הטרנספורמציה‬
‫)‪(3‬‬
‫ל־ )‪ F(2‬שהמטריצה שלה‪ ,‬ביחס לבסיסים התיקניים של מרחבים אלו‪,‬‬
‫הלינארית מ־ ‪ F‬‬
‫‬
‫‪1 3 5‬‬
‫∨)‪(3‬‬
‫‪ F‬הדואלי לבסיס‬
‫‪ .‬נסמן ב־ ) ‪ (e1 , e2 , e3‬את הבסיס של‬
‫היא‬
‫‪2 4 6‬‬
‫))‪ ((1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1‬של )‪ .F(3‬ראינו שם כי ‪ G∨ h1‬נותן ל־ ‪v1 , v2 , v3‬‬
‫את הערכים ‪ ,1, 3, 5‬שהם הערכים שנותן לווקטורים אלו גם ‪) e1 + 3e2 + 5e3‬כי‬
‫ולכן לפי )‪ G∨ h1 = e1 + 3e2 + 5e3 (4‬והעמודה הראשונה במטריצה‬
‫‪ ,((ei , vj ) = δij‬‬
‫‪1‬‬
‫∨‬
‫‪‬‬
‫של ∨‪ G‬היא ‪ . 3 ‬ראינו שם גם כי ‪ G h2‬נותן ל־ ‪ v1 , v2 , v3‬את הערכים ‪2, 4, 6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫ולכן ‪ G∨ h2 = 2e1 + 4e2 + 6e3‬והעמודה השניהה במטריצה של ∨‪ G‬היא ‪ . 4 ‬לכן‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2‬‬
‫המטריצה של ∨‪ G‬היא ‪ , 3 4 ‬והיא המטריצה המשוחלפת למטריצה של ‪.G‬‬
‫‪5 6‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהיו ) ‪ (e1 , . . . , en‬ו־ ) ‪ (h1 , . . . , hm‬הבסיסים של ∨ ‪ V‬ו־ ∨ ‪ U‬הדואליים‬
‫ל־ ) ‪ (v1 , . . . , vn‬ול־ ) ‪ .(u1 , . . . , um‬מכיוון ש־‪ A‬היא המטריצה של ‪ G‬המקדם של ‪ui‬‬
‫בהצגת ‪ Gvj‬לפי ) ‪ (u1 , . . . , um‬הוא ‪ .aij‬מכיוון שלכל ווקטור ‪ u‬במרחב ‪ (hi , u) U‬הוא‬
‫המקדם של ‪ ui‬בהצגת ‪ u‬לפי ) ‪ (u1 , . . . , um‬לכן ‪ ,(hi , Gvj ) = aij‬ולכן‪ ,‬לפי הגדרת‬
‫‪ P‬הצרוף הלינארי של הבסיס ) ‪ (e1 , . . . , en‬הנותן‬
‫∨‪.(G∨ hi , vj ) = (hi , Gvj ) = ai,j ,G‬‬
‫‪ aP‬הוא ‪ , nk=1 aik ek‬כי‬
‫לכל ‪ vj‬את הערך ‪ij‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪, vj ) = nk=1 aik δkj = aij‬‬
‫‪ ( k=1 aik ek , vj ) = k=1 aik (ek P‬ולכן‪ ,‬לפי היחידות‬
‫∨‬
‫האמורה ב־ )‪ .G hi = nk=1 aik ek ,(4‬זה אומר שלכל ‪n 1 ≤ i ≤ m‬־ית המקדמים‬
‫של ‪ G∨ hi‬בהצגתו כצרוף לינארי של ) ‪ ,(e1 , . . . , en‬שהיא העמודה ה־‪i‬־ית במטריצה של‬
‫∨‪ ,G‬היא ) ‪ ,(ai1 , . . . , ain‬וזאת היא השורה ה־‪ i‬במטריצה ‪ .A‬לכן המטריצה של ∨‪G‬‬
‫היא המטריצה המשוחלפת ל־‪.A‬‬
‫‪8‬‬