ת מורכב תבונה ומורכבות התבונה
תבונה מורכבת
ומורכבות התבונה
Wisdom of Complexity
& Complex Wisdom
מאת :איריס קים
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
1
לוגיקה של לולאות מוזרות,
המתארות תודעה השואפת להתעלות על עצמה,
אל עבר השלמות.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
2
תוכן
תקציר הפרקים 4 .................. ................................ ................................
מבוא :האדם מחפש מורכבות 6 ............................... ................................
.1
מושג ה"העדר" והסדר המושלם 11 .................. ................................
.2
לולאות מוזרות כתבנית התבונה 16 ................. ................................
.3
'אפקט הפרפר' מת ,יחי 'אפקט הפרפר'! 23 .......................................
.4
רעיון להסבר טלאולוגי למעשה המרכבה 36 .......................................
.5
האחד לעומת האחדות 45 .............................. ................................
.6
Sacred Numbersו44 ............ Sacred Geometries
.7
סדר בחינם 53 ............................................. ................................
סיכום 61 ............................. ................................ ................................
ביבליוגרפיה (רשימה חלקית) 61 ............................. ................................
הפניות 62 ........................... ................................ ................................
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
3
תקציר הפרקים
פרק המבוא מציג את השאלה איתה נתמודד :כיצד מגיח סדר חדש מתוך
הכאוס? כיצד נוצרות מהפכות פתאומיות בעולם? כיצד נוצרות מהפכות
פתאומיות במחשבותינו? כל השאלות מסוג זה ,הן ווריאציות של שאלה אחת.
בין אם מדובר במהפכות חשיבתיות כגון מהפכות במדע ובין אם הטבע משתנה
לפתע לנגד עיננו ,בכל המקרים מדובר בהגחה של תבנית יסודית ,תשתיתית,
חדשה במציאות הנתפסת .התוצאה אליה אנו חותרים ,היא ,ניסוח תבנית
חשיבה בעלת תכונות מיוחדות העוקבת אחר הגורמים למהפכות פתאומיות
ופריצת סדר חדש לתודעה.
פרק ראשון מציע כי היסודות לתשובה מונחים ברעיון מסוים של אריסטו.
אריסטו מחפש את התחלת ההתחלות ,את העקרונות היסודיים ,ואת הגורמים
להתהוות ולהתכלות בטבע .העקרונות היסודיים אצל אריסטו ,הם מרכיבי בסיס
מופשטים ,הם הבחנות ,הם למעשה נקודות מבט .נשתמש בתובנות של
אריסטו כנקודת המוצא ,למבנה התבונה המורכבת החדשה שנפתח בחיבור.
פרק שני מוסיף להבחנות של אריסטו תכונות .מהלך פילוסופי מורכב ,המפורט
בספר "גדל ,אשר ,באך" ,שכתב דגלאס הופשטטר ,עוקב אחר התכונות
המיוחדות של התבונה המתמודדת עם הבחנות המגיעות לפרדוקסים .התכונות
המתוארות בספר ,דוגמת המבנה הלולאתי המפותל ,מביאות פרדיגמה
מקורית לבניית תבנית תבונה מורכבת .בפרק נציג בקצרה את התכונות
החשובות שפרט הופשטטר.
פרק שלישי חודר לרזולוציה גבוהה יותר ,ועוסק בחוקי ההתנהגות של מערכות
התארגנות עצמית בטבע .לצורך זה נעקוב אחר מדענים החוקרים מערכות
מורכבות בטבע הקיים סביבנו .סטיוארט קאופמן ,חוקר מערכות מורכבות ממכון
סנטה-פה יהווה מקור ההתייחסות העיקרי בפרק זה .גם בפרק זה נמצא קשר
בין הרעיונות של תורת המערכות המורכבות ,לתבניות המבט של אריסטו
והלולאות של הופשטטר ,שהן הקו המנחה את החיבור.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
4
פרק רביעי הוא הפרק בו אנו עוזבים את האחיזה בידם של ענקי הידע,
ומתחילים בזהירות לפלס את דרכנו החוצה מערפל הפרטים .אנו מנסים
בכוחות עצמנו ,לחבר את הפאזל של כל התכונות והמרכיבים היסודיים שאספנו
בפרקים הקודמים ,לתבנית תבונה מורכבת ,אחודה ושלמה כשלעצמה.
בפרק חמישי נבדוק את כוחה של התבנית שפיתחנו בפרק הקודם .בשלב
ראשון ,נברר האם בכוחה של התבנית המורכבת לתאר בדיעבד ,התהוויות יש
מאין של מרחבים מתמטיים קיימים .בשלב השני נבדוק האם התבנית היא
גנרית ,ומתאימה לתאר סוגי מרחבים חדשים שמתהווים באשר הם.
בפרק ששי נשאל האם לתבנית התבונה המורכבת החדשה שהרכבנו ,קיים
ערך פילוסופי .האם יתכן והיא ממפה את סוגי המציאויות שאנו חווים במופשט
ובמוחשי?
פרק שביעי מסב את תשומת ליבנו לעובדה ,כי אם טענת החיבור נכונה,
ולהתעוררות ספונטנית של מערכות מורכבות קיים תהליך עקיבה בלוגיקה
בהירה ,הרי שתהליך ספונטני של הופעת סדר מתוך הכאוס ,ניתן לתכנון וארגון
מראש .אבל המפתיע ביותר שכל זה בחינם .אז מי אמר שפרדוקסים מזיקים
ללוגיקה?...
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
5
מבוא :האדם מחפש מורכבות
לכל אורך ההיסטוריה האנושית ,המדע והתבונה האנושית מנסות להבין את
העולם לאשורו ללא הצלחה .ואולם ,כל עוד איננו יודעים על פי אילו חוקים
היקום נברא ופועל ,כלומר ,איננו יודעים מהי "האמת האבסולוטית" ,אנו בונים
לוגיקות פרשנות זמניות ,על מנת לפרש את העולם טוב ככל האפשר ולפעול בו
בצורה יעילה.
מטרת החיבור ,היא לדון דיון מודרני בשאלה העתיקה ,האם טבעי יותר לאדם
להניח כי הקיום המורכב הוא תוצאה של מזל אקראי ,או לחילופין של מהלך
מתוכנן מראש ,הטמון בחוקי טבע טלאולוגיים -תכליתיים.
ההתחבטות בסוגיה זו חשובה לאדם באשר הוא אדם ,על מנת לבחור
פילוסופיית חיים .אם נבחר להאמין כי היקום הוא אקראי וחסר תכלית
ומשמעות ,האסטרטגיה הנגזרת היא ,לנסות כמה שיותר כיווני עשייה שונים זה
מזה ,ובכך להעלות את סיכויי ההצלחה בחיינו ובפועלנו .בעולם אקראי מאמץ
לא יניב תוצאות ,אלא רק המזל יקבע את התוצאה .לעומת זאת ,בעולם מוכוון
תכלית ,כדאי להתאמץ ,להתייסר ובעיקר כדאי לפתח אסטרטגיות לקבלת
החלטות .בעולם בו קיימת תכלית ומשמעות ,עולם הפועל על פי חוקים
מובהקים להרכבת גורלות ומציאויות חדשות ,הבנת "חוקי המשחק" ורתימתם
לתעלתנו ,היא האסטרטגיה הטובה ביותר שתוביל לנתיב הייעוד.
אנשים ,ארגונים וחברות ,מגיעים לעיתים למצב תודעתי בו אינם יכולים לראות
קשר לוגי בין פעולות מסוימות שהם נוקטים לבין השפעתן על הדינאמיקה של
המציאות .במצב כזה אנו חשים אי-וודאות ולעיתים אף מניחים שתנאי ההצלחה
שרירותיים ולכן 'חייבים לירות לכל הכיוונים'.
הנחת היסוד של המהלך המתואר בחיבור זה ,היא ,כי פרשנות תכליתית עדיפה
על פרשנות שרירותית ,זאת במידה וניתן למצוא פרשנות תכליתית תקפה
העומדת במבחן של כוח פעולה.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
6
ציטוט מעניין ,מהספר החשוב " "Exploring Complexityשל זוכה פרס הנובל
בחקר המורכבות ,איליה פריגוג'ין ,לוקח אותנו צעד אחד קדימה:i
"In a way, symmetry breaking brings up from a static, geometrical view of
space to an "Aristotelian" view in which space is shaped or defined by the
functions going on in the system".
מטפורה התורמת להבנת טענת הציטוט היא :אם ברצונך להבין את הטבע ,אל
תסתכל על מתאר פני הנוף ,אלא הפנה תשומת לבך אל מערכת הלחצים
והדינאמיקה שמתחוללת מתחת לפני השטח ומעצבת את הגיאומטריה של
הנוף .הנוף הוא רק תיאור ,מערכת הלחצים – היא זו המסבירה.
אריסטו המוזכר בציטוט ,הוא פילוסוף של נקודות מבט .נקודות המבט הן 'אבני
היסוד' של המורכבות על-פי אריסטו כפי שיוסבר בפרק שיוחד לו .איליה
פריגוג'ין מלמד אותנו בציטטה ,שמבחינתו' ,נקודות מבט' הן פונקציות,
והפרשנות האריסטוטלית של יצירת משמעות וסדר מצויה בפונקציות
המחוללות.
התייחסות זו שונה מהותית מההתייחסות הקלאסית של המכאניקה
הסטטיסטית .נדגים מהו עולם שרירותי על פי המכאניקה הסטטיסטית ,בדוגמא
פשוטה .נתייחס למילה 'אנציקלופדיה' באורח שרירותי .במילה 'אנציקלופדיה'
משתתפות 11אותיות מתוך הא'-ב' העברי .כעת נניח שאין משמעות ביקום,
לכן ,מותר לנו לבנות את המילה בכל צורה שנרצה .נשתמש באילו אותיות
שנרצה ומספר מקומות שנרצה .מהלך כזה מייצג תכונה הנקראת בשפה
פשוטה 'אדישות לפרטים' או בשפה מתמטית 'סימטריה גיאומטרית' .במצב של
סימטריה גיאומטרית כל הווריאציות שוות משקל ושוות סיכוי.
ואולם ,בעולם כזה למילה הבודדת אין משמעות ,שכן כיצד נדע שהתכוונו דווקא
למילה 'אנציקלופדיה' .חשוב להבין כי בעולם בעל סימטריה גיאומטרית אין
לדברים משמעות.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
7
סדר הוא שבירת סימטריה ,הוא הכרעה בין אפשרויות וצמצום האפשרויות.
ברגע שבחרנו בצורה המסוימת "אנציקלופדיה" והוצאנו מסיכויי השימוש את
הווריאציות האחרות ,רק אז ,קיבלה המילה תפקיד ומשמעות.
המכאניקה הסטטיסטית הגדירה את המושג אנטרופיה כ 'מדד לאי הסדר' .אי-
הסדר נגזר באופן ישיר מכמות הצירופים האפשריים של אברי המערכת ,בדומה
לקומבינטוריקה הנובעת מהחופש להחליף אותיות במילה .מכאן אנו למדים ,כי
משוואות המכאניקה הסטטיסטית פועלות ברמת הרכיבים ,עוקבות אחר צורות
הסידור שלהם ,ואינן פועלות ברובד מחולליהן.
אנו מעוניינים להסיר את הלוט ולפוגג מעט את המיסטיקה המשוייכת להגחת
תופעות מתוך הכאוס .נחפש דרך לזהות את המחוללים הנסתרים של
התופעות ,ונרכיב אותם לפונקציה ,שתהווה תבנית רעיונית לתבונה ,כיצד
להתנהל בתנאי מורכבות וכאוס.
מבחינתנו ,צמצום הצירופים המתקבלים בסיפור גלגוליה של מילה ,משול
להתמודדות עם גלגוליהן של מערכות בטבע' .מורכבות' היא אותו התווך בו
יכולים להיווצר סדרים .מרכיבים זרים מצטרפים זה לזה עד כי הם הופכים
להיות שלם אחד ,תבנית בפני עצמה ,שמשמעותה אינה נובעת ממשמעות
מרכיביה .תפקיד המורכבות לעלות את רמת הסדר ובכך ליצור משמעות
חדשה.
אין בכוונתנו התימרות לעסוק באמיתות ובהוכחתן .הכוונה היא לגבש רעיון
לנוסחא לוגית חדשה ,שללא קשר לאמיתותה ,הנה מוצקה דיה ,וניתן להיאחז
בה על מנת לנסח אסטרטגיות מתקדמות יותר להתמודדות עם מורכבות.
מתוך עיון ברעיונות שעלו לאורך ההיסטוריה ,ננסה לגבש פרשנות רעיונית
חדשה ,שעשויה לקדם אותנו צעד קטן נוסף בחיפוש אחר תשובה ,כיצד הקיים
אפשרי ומדוע דווקא כפי שהוא קיים.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
8
סיכום המבוא :אנו ננסה להיתמך ולתמוך בסברה ,כי הטבע אינו תוצר של
אינטראקציות אקראיות המותירות אותנו חסרי אונים לחסדיו .אנו נחפש דרך
לעקוב אחר סוג של 'לוגיקה מורכבת' מובלעת במציאות ,ולזהות את הדרך בה
אינטראקציות מורכבות שוברות את הסימטריה והאדישות של חוסר המשמעות,
ומובילות להגחת מערכות מורכבות מלאות משמעות.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
9
.1מושג ה"העדר" והסדר המושלם
כפי שהזכרנו במבוא ,אנו מתחבטים באתגר פענוח תבניות ,שלכאורה 'מובלעות
במציאות' .לצורך זה נתרכז במושג אריסטוטאלי חשוב ,והוא ה"העדר" .בפרק
זה ננסה להבין מהו ה"העדר" מה הקשר בינו ובין ה'אין' ,וכיצד העיסוק בו קשור
לרעיון של לוגיקה המהווה תבנית פרשנות חדשה ,למצבים בהם פורץ סדר
חדש.
אריסטו היה פילוסוף של המדע ,ובעיקר השתייך לזרם המכונה היום פילוסופיה
של הביולוגיה .הוא עסק רבות בחקר מערכות מורכבות המתפתחות אל עבר
התכלית הסופית ,אותה כינה -אנטלאכיה .בהערת אגב מעניין לציין ,שגם
בזמננו ,הפילוסופיה של הביולוגיה היא בעלת חשיבות רבה עבור תורת
המערכות המורכבות .הפילוסופיה של הביולוגיה מובילה אינטואיציות פתוחות
ורעיונות משוחררים לעיתים אף יותר מהפיסיקה או המתמטיקה ,הכבולים
בצורך לייצר תאימות עם החוקים הפיסיקאליים הקיימים.
עבור אריסטו העולם הוא מורכב ותכליתי ,ופועל לפי כללים .שאלה שהעסיקה
אותו רבות ,הייתה ,כיצד תתכן התחלת ההתחלות .אריסטו פעל בתקופה של
ידע מדעי מצומצם .מתוך תמונת המצב שהצטיירה לפניו ,הוא הסיק שאבולוציה
אינה מן האפשר ,ואין היווצרות מינים חדשים על כדור -הארץ .אם כך כל דבר
חייב להיווצר מדבר מה אחר .ווריאציה אחרת לנושא מופיעה בציטטה מ"על
טבע היקום" שכתב לוקרציוס ,פילוסוף ומשורר רומי מהמאה הראשונה לפני
הספירה" :לו מן האין נוצר כל מאום מעצמו – הן לבטח כל הדברים אז יכלו
להוליד כל דבר ללא זרע" .אם נשתמש בשפתו של לוקרציוס ,הרי שאריסטו
הניח כהנחת יסוד את קיום הזרע במבנה הבסיסי של העולם .אריסטו גרס שכל
המינים היו מאז ומעולם ,וכל המינים הקיימים הם אלו שהיו ואלו שיהיו .ואם
אבולוציה אינה מן האפשר ,הרי שהגחת תכונות חדשות במינים אינה מן
האפשר .ובכל זאת ,למרות שהאמין שהשינוי במבנה הבסיסי של העולם אינו
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
11
אפשרי ,דווקא הוא ,אריסטו ,תרם רבות לדיון המדעי/פילוסופי בהתחלת
ההתחלות ובעקרונות היסודיים .במובן מסוים אריסטו נע בפער בין אמונתו
העיוורת באלוהים ובין הפיכחות שלו כחוקר וכפילוסוף.
לאור האמור לעיל ,אמנם נצא לדרך מהדיון האריסטוטאלי ,אך נרחיב את
הנחות היסוד שלו גם אל ה'אין' .אנו נרצה דווקא להתמודד עם השאלה כיצד
תתאפשר התגשמות של דבר בפעם הראשונה ,באופן שלא ניתן להסתמך על
קיום זרע המקדים אותה .התגשמות בראשיתית ,שלא מתוך זרע נכנה -
'הגחה' .אנו מכנים 'הגחה' כל הופעה פתאומית של תבנית מציאות חדשה ,כזו
שאיננו יודעים מאין באה וכיצד נוצרה .הופעת סדר פתאומי ,מתוך הכאוס .ננסה
להתמודד עם מסתוריות המושג 'הגחה' ,מתוך הסתמכות כלשהי על מושג
אחר' ,מיסתורי' בפני עצמו אך בעל משמעות לוגית -מושג ה'העדר' מתיאורית
ההתהוות של אריסטו.
בתורתו של אריסטו ,מכאניזם ההתהוות של המציאות ,מושתת על שלושה
עקרונות טבע ,שהם שלוש הבחנות ,שלושה היבטים של העולם המוחשי.
'היבטים' הוא מושג המגדיר ממדים .ממדים הם משתני מצב שונים ,המשמשים
ביחד על מנת לספק תיאור ממצה של מצב עולם .במובן זה שהם רק היבטים,
הם בלתי נפרדים ,כפי ששני צידי מטבע אינם נפרדים .ניתן להבין את המושג
'היבטים' גם כמושג מקביל ל'היטלים' בגיאומטריה.
על פי אריסטו ,טריאדת העקרונות האחראים באופן קבוע על השינוי בטבע,
המופשטים והבלתי נפרדים הם :הצורה ,המצע וההעדר.
הצורה היא ישות מופשטת ,נחלת השכל .היא אינה יכולה לייצר תנועה או שינוי.
היא שלמה כשלעצמה ,ואינה משתוקקת לדבר .כפי שזה מתואר בכתבי
אריסטו ,היא מופנית כלפי פנים בלבד על מנת לשמור על קיומה.
המצע הוא האפקט החומרי .חומר חסר צורה' ,טהור' .מאחר והוא חסר צורה,
הוא אינו ממומש ואינו מתגשם .החומר לפי אריסטו משתוקק לצורה.
ההשתוקקות שלו אל הצורה היא הפניה אל דבר הנמצא מחוץ לעצמו .להבדיל
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
11
מהצורה הרואה רק את עצמה ו'תודעתה' בוחנת את שלמותה ,החומר משתוקק
לדבר מה אחר מעצמו ו'תודעתו' אינה חווה תחושת שלמות עצמית ללא הצורה.
ההעדר הוא סך כל התכונות האפשריות ,אשר עדיין לא באו לידי ביטוי
במציאות .ההעדר מופנה אף הוא אל הצורה ,אך לא אל הצורה כשלעצמה ,אלא
אל הצורה הסופית והמושלמת היא התכלית .ההעדר מודד את עצמו ביחס
לתכלית כמעין 'נגטיב' שלה ,משמעותו קיומו הוא "העדרה" של התכלית
הסופית.
אריסטו הדגים אבחנות לסוגי העדר באמצעות תכונת הראיה .העדר הראייה
של הקיר ,מכונה 'שלילה' .העדר הראייה הפוקד את העיוור נובע על-פי אריסטו,
מחוסר התממשות הפוטנציאל .וישנו גם העדר שלישי שנמצא אצל התינוק בן
יומו ,שמפתח את ראייתו ואיננו יודעים בביטחון אם יראה בסופו של דבר או
שיהיה עיוור.
הרגישויות ודקויות המשמעות המובלעות במושג 'העדר' ,אינן דבר של מה בכך.
תהליך השתנות אצל אריסטו אינו מוגדר כמעבר מהפוטנציאלי לאקטואלי כפי
שנהוג לחשוב ,אלא כמעבר מן ההעדר -באִ בחָ ה אחת -אל האקטואלי תוך
הצבעה בדיעבד על קיומו של הפוטנציאלי .כל עוד המרכיב האקטואלי לא
התממש ,הפוטנציאלי לא הוגדר ,רק ההעדר נמצא .ואולם ,כשהאקטואלי
התממש גם הוא הדיר את רגלי הפוטנציאלי מלהתקיים .הפוטנציאלי על פי
אריסטו ניתן לאישור רק בדיעבד ,שכן פוטנציאלי אינו 'תכונה שעדיין לא
התממשה' ,פוטנציאלי הוא תנאי לוגי בלבד .תנאי המגדיר את 'מצב העניינים'
המאפשר לתכונה להתבטא .מאחר ולעולם לא נוכל לדעת מראש אם מצב
העניינים יאפשר בעתיד לתכונה להתבטא ,אלא רק ברגע שהתכונה התממשה
והופיעה באופן אקטואלי ,הרי שקיום המרכיב הפוטנציאלי הוכח בדיעבד .מאחר
ואיננו יכולים לתכלל את כל הנסיבות ,רק אם האקטואלי התאפשר והתרחש,
נדע בוודאות כי הפוטנציאלי עבר את מבחן הנסיבות .הוכחת קיום הפוטנציאלי
היא הוכחה נסיבתית .המונח המדויק לנסח את ההוויה של הפוטנציאלי הוא
'רטרוספקטיבה' -פרספקטיבה המתקבלת רק לאחר מעשה' .רטרוספקטיבה'
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
12
היא אחת מהתכונות החשובות של 'הגחה' .היא למעשה המילה המקצועית
לתכונת חוסר יכולת החיזוי שאנו חשים במצבים של כאוס.
לעומת ה'פוטנציאלי' שהוא מושג נסיבתי בעל זכות קיום רטרוספקטיבית
בתודעתנו ,ה'העדר' הוא מושג מוכלל ,אף הוא לוגי ,שזכות קיומו הינה מעבר
לנסיבות מקריות .הוא השלמות.
אריסטו כתב "שלושה הם המספר המינימאלי של ה'עקרונות' היסודיים של
המציאות ,ואילו בקרב העצמים המוגשמים -האחדות היא המספר
המקסימאלי" .הכוונה היא ,כי העצם מוגשם בפרט מסוים אחד ,כעץ אחד מסוים
וכדומה .העצם נוצר כאשר ה'עקרונות' (ההיבטים) מתחברים באופן בלתי נפרד
זה אל זה ,לאחדות ,ומתורגמים למציאות של דבר מה מובחן ,ושלם.
פרוש הדברים אליבא דה אריסטו הוא ,כי שלושה ההיבטים הם יוצרי
המציאות .ישנה דרך נוספת להבין את ההיבטים ,דרך הפוכה ,קנטיאנית יותר.
בפרשנות הקנטיאנית של אריסטו נתנסח ,כי התודעה האנושית חייבת להתבונן
במציאות האחודה בשלושה היבטים על מנת לפרשה .שלושת ההיבטים הם
מבנה התודעה .אם כך ,שלשת ההיבטים מיוחסת לעולמות ההכרה ,משול
הדבר למנסרה דמיונית הקיימת במוחנו אשר פועלת על האחדות (העצם
השלם) ,ויודעת לפצל את האחדות לשלושה ממדים ,כבסיס לתבנית פרשנות.
נמחיש את המנסרה הדמיונית של ההיבטים ,בדוגמא מהספקטרום של גווני
האור הנראה .נניח מבנה המנסרה מבצע נפיצה (פיצול והפרדה) של אור לבן ל:
אדום ,כחול וצהוב .יצירת נפיצת האור הלבן לצבעי יסוד ,מותירה בידינו כוח
פעולה לוגי להרכבת כל קשת הגוונים ,גם גוונים שלא פגשנו עדיין מתוך ניסיון
חיינו .חשוב להבין שהמנסרה שאנו מחפשים למציאת ממדי המציאות
הרלוונטית עבורנו ,אינה שרירותית .תארו לעצמכם מצב בו המנסרה הייתה
מפרקת את האור הנראה ל :ירוק ,כתום וסגול .או אז ,היינו מגיעים למצב
שאיננו מסוגלים לפרוס את קשת הגוונים כולה בשכלנו.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
13
הרעיון החשוב שלקחנו מדוגמת הצבעים ,הוא ,שבמידה וננסה לגזור את
המציאות שלנו מהיבטים שאינם יסודיים ,לא נוכל לפרש את כל התופעות
הכלולות בקשת התופעות אליהן אנו נחשפים.
פרשנות קנטיאנית לאריסטו ,בה התודעה היא מנסרה של היבטים ,תלווה אותנו
לאורך הדרך.
כעת נחזור לנושא ה'העדר' וחשיבותו -אילו הכל היה קבוע בטבע ,העצם
המוחשי ,או כפי שכינה זאת אריסטו ה'סינהולון' ,המורכב השלם ,היה יכול
להיות פונקצית היתוך רק בין החומר והצורה .את המיזוג בין שני עקרונות
היסוד האלו ,המצע (החומר) והצורה ,ניתן להבין אסוציאטיבית :משולש
מברונזה ,כסא-מעץ וכדומה .תפקידו של ה'העדר' כעקרון יסוד בהבנת הטבע
הוא חשוב ,בלעדיו לא ניתן להסביר את השינויים המתרחשים בטבע.
אריסטו הבין כי חומר וצורה אינם עקרונות מספיקים על מנת להסביר את
היתוך ,לשלם מתפתח ומשתנה תדיר .ברור כי הטבע בו אנו צופים ,משתנה:
מתכלה ,מתהווה ,נע .לכן חייב להיות עקרון נוסף בעצם הטבעי ,הקשור איכשהו
לתופעות אלה של השתנות והתהוות.
אריסטו מסכים עם פילוסופים בני דורו ,כי המתהווה אינו יכול להתהוות מהלא-
כלום וגם לא מהנמצא .לכן ההתהוות חייבת להתהוות מדבר שמבחינה אחת
נמצא ומבחינה אחרת לא נמצא .אריסטו יצק תוכן חדש למושג = Steresis
העדר והפכו לבחינת אי-המציאות שבנמצא .זהו היבט המאפשר את אין ספור
השינויים שהעצם המתגשם עובר.
הדיאלקטיקה האריסטוטאלית מציעה הסבר למערכת היחסים המתקיימת
לצורך יצירת התפתחות ,בין שלושת ההיבטים :צורה ,מצע ,העדר.
זהו מבנה שבו קיימים שני היבטים זרים זה לזה ,שאינם יכולים ליצור ריאקציה
בינם לבין עצמם :הצורה והמצע .רק דבר שלישי יכול לחבר ביניהם .אם כך
ה'העדר' מחבר בין איברים זרים לוגית.
ה'צורה' וה'העדר' הינם הפכים ,מנוגדים .הם למעשה ה'צורה' ו'החוסר בצורה'.
רק המפגש של צורה ,מצע ,והעדר מאפשר למנוגדים להיות משלימים וכך נוצר
השלם .כך הגענו למושג פילוסופי חשוב 'מנוגדים משלימים'.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
14
'מנוגדים משלימים' צירוף מילים תמים במבט ראשון ,אך מאחורי טענה זו
מסתתרת לוגיקה דמיונית ,שאינה מותאמת לשיפוטם של חושינו .דומה הדבר
להתבוננות בציורים של מ.ק .אשר ,או בציורים סוריאליסטיים של סלבדור דאלי.
הפריטים בציור מצוירים בצורה מציאותית ,חוסר המציאות מתבטאת ביחסים
שבין האובייקטים ולא באובייקטים עצמם.
באתגר שלנו לעקוב אחר הגחה ,נדרשת תבנית תפיסה מורכבת באופן הנתפס
כ"לא-מציאותי" ,תבנית היכולה ליישב מושגים הופכיים.
סיכום הפרק :בפרק זה רצינו לבסס מערכת מושגים תשתיתית ,הנדרשת
לצורך הניסיון לשרטט תבנית פרשנות ,המסוגלת לעקוב אחר תהליכי התהוות
והשתנות בתנאי המציאות .אריסטו בעקיפין תרם לנו שפה.
על פי ההבנה החדשה ,יש להביט במציאות בשלושה היבטים מנוגדים אך
משלימים ,בו זמנית :ההיבט המופנה פנימה ,ההיבט המופנה החוצה אל
הסביבה ,ההיבט המופנה אל התכלית המושלמת (אנטאלכיה).
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
15
.2לולאות מוזרות כתבנית התבונה
פרק זה עוקב אחר 'לולאות מוזרות' ,בדמותן של האיורים המפורסמים של
מאוריציוס קורניליוס אשר .אנו נעקוב אחר התכונות המיוחדות של הלולאות
המוזרות ,כפי שמתאר אותן דאגלס הופשטטר ,בספרו זוכה פרס הפוליצר "גדל,
אשר ,באך".
לולאות מוזרות הן הוליסטיות .הן האמצעי לחבר בין מושגים זרים לוגית כמו:
פנים וחוץ ,למעלה ולמטה ,אמת ושקר ,משום היותן קשורות ברצף לוגי אחד.
להמחשת הרעיון הופשטטר התייחס לאיור של מ.ק .אשר ,המלא בריצופי
סרטנים בשחור ולבן הצועדים אלו מול אלו ויוצרים אלו את אלו בגופם .אם
נתבונן ישירות בסרטן הלבן הרי הוא מקבל את תפקיד התוכן ,ואילו הסרטן
השחור ברקע הוא הקונטור שמשרטט את צורתו ,אך גם ההפך נכון .כל סרטן
משמש בו זמנית בשני התפקידים ,הוא תוכן עבור עצמו וצורה עבור זולתו.
הופשטטר ראה באיחוד מושגי זה רעיון חשוב .צורה ותוכן הם מושגים לוגיים
זרים ,באותו האופן שבו פנים וחוץ זרים ,אך באמצעות הציור של מ.ק .אשר
ממחיש לנו הופשטטר כי תוכן הוא אותו הדבר כמו צורה.
המושג לולאה ,מתייחס לדינאמיקה החוזרת על עצמה בחוג סגור .לולאה
'מוזרה' היא לולאה שמתקיים בה 'היפוך מבני' באחד השלבים בחוג הסגור.
לולאה מוזרה היא מטאפורה גיאומטרית ,המתארת את הזרימה בין המושגים
ההפוכים כמו :פנים וחוץ ,למעלה ולמטה ,אמת ושקר .על פי החוקים הלוגים,
מושגים אלו אינם אמורים "להצביע" זה על זה ,כלומר אין הם אמורים להוביל
זה אל זה .הובלה של מושג אל המושג ההפוך לו מחייבת היפוך מבני .נדמיין
שאנו הולכים לאורך חץ "מצביע" ,המוביל אותנו באופן חד -משמעי כלפי מטה,
אנו יורדים ויורדים ובסוף המסע מגיעים ...למעלה ...לעיתים אפילו גבוה
מהנקודה ממנה יצאנו .באופן דומה קיימים מצבים בהם ככל שנחדור עמוק יותר
פנימה ,לפתע ,נמצא את עצמנו באופן ספונטני חוצים מעין ממברנה וירטואלית
ויוצאים אל "חוץ" חיצוני יותר מזה שממנו יצאנו.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
16
הופשטטר מביא דוגמא משעשעת ומגרה את הדמיון למעברי מציאות כתוצאה
מהיפוך מיבני .הוא תאר 'מנורת אלאדין' אשר בתוכה מתגורר ג'יני נאיבי.
בסיפור משתתף גם אכילס מתוחכם ,אשר מצא את עקב האכילס של הג'יני.
אכילס ביקש מהג'יני" :משאלתי היא ,שמשאלתי לא תאושר" .אכילס גרם לכך
שה"האפשר" הצביע אל עבר ה"אי-אפשר" ,והמערכת של הג'יני קרסה .מאחר
ועולמו של הג'יני קרס ,אכילס מצא עצמו עומד ,במציאות חדשה שנקראה
בסיפור 'בלגניה'.
החשוב מבין מסרי הספר ,הוא המסר כי הגיע העת להפסיק ולהתייחס אל
פרדוקסים רק כאל 'חיה לוגית המכלה את עצמה' ,פרדוקסים מקיימים גם
משמעות של 'חיה לוגית המתעלה על עצמה' .למעשה מצבים כאלו מתרחשים
סביבנו כל הזמן .עלינו להבין כיצד מושגים שאינם אמורים לוגית "להצביע" זה
על זה ,אלא באופן שמכלה את עצמו ,עושים זאת בביטחה ,ואפילו מייצרים
מציאות חדשה ,ומאפשרת יותר מבחינה לוגית.
הטענה שננסה להמחיש בפרק זה ,היא ,שלולאות מוזרות ,הם האמצעי של
התודעה להתעלות על עצמה ,או בניסוח של הופשטטר" :להיות מטיפוס גבוה
יותר מהטיפוס שלה עצמה".
הגדרת התבונה בספר "גדל אשר באך" מנוסחת כך" :להגיב למצבים בגמישות
רבה מאוד; לנצל נסיבות מקריות; להבין מסרים לא ברורים או סותרים; לזהות
את החשיבות היחסית של גורמים שונים בתוך מצב; למצוא דמיון בין מצבים
למרות ההבדלים המפרידים ביניהם; למצוא הבדלים בין מצבים למרות קווי
דמיון המקשרים ביניהם; לייצר מושגים חדשים על-ידי צירוף מושגים קיימים
בדרכים חדשות; להעלות רעיונות מקוריים".
הדרך להשיג את הישגי התבונה היא ההתעלות אל ה'מטא' .הדוגמא שבחר
הופשטטר באמצעותה להמחיש לנו את המטא ,היא תל נמלים .מערכת הכללים
שחלה על הנמלה הבודדת ,שונה בתכלית השינוי ממערכת הכללים שחלה על
מושבת הנמלים כולה .תהליך המעבר אל ה'מטא' ,הוא תהליך הכללת כללים
פרטיים ,ל'מטא כלל' אחוד ,השונה מהם בתכלית השינוי .זהו תהליך הפוך
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
17
מרדוקציוניזם .ההנחיה בתהליך המעבר אל ה'מטא' היא ברוח :עצור את
הנבירה בנבכי התבניות הספציפיות של המערכת אותה אתה חוקר .החל
להתייחס אל אותה המערכת כאל 'פרט' ,ועבור לעיסוק בתבניות המוכללות של
כל המערכות מסוגה .התבוננות בנמלה תוביל את החוקר אל התבנית שנמלה
יכולה לשאת מטען הגדול ממשקל גופה .התבוננות בנמלה בודדת לעולם לא
תחשוף בפני החוקר את תבנית התקשורת עם חברי המושבה בעזרת
פרומונים .התבוננות מבודדת על מושבה של נמלים לעולם לא תחשוף בפני
החוקר את התובנה שנמלים מפתחות יחסי גומלין עם מינים אחרים של חרקים.
ההנחיה הזו מובילה אותנו למסקנה חשובה העולה מהספר של הופשטטר ,כי
תבונה קשורה לפרספקטיבה ,כלומר לרמות דיון .ידיעת פרטים רבים אודות
מערכת אינה תמצית התבונה .תבונה היא היכולת להפעיל את האופרטורים של
התבונה ,שפורטו בציטטה מספרו של הופשטטר ,על פרטי המידע הרבים
שהצטברו בידינו ,ולהגיע למטא תובנה .מטא תובנה הפורצת את גבולות
המערכת .במטא תובנה התיאורים והתבניות יכולים "לרחף" מעל המערכת,
מבלי להיות מעוגנים באף עצם ידוע מסוים .הופשטטר מכנה זאת 'תחשיב
תיאורים' אינטנציונאלי ולא אקסטנציונאלי.
הופשטטר מביא כדוגמא לחשיבה אינטנציונאלית את אומנות הזן .התעלות
עצמית לדעתו היא אולי הנושא המרכזי של הזן ,עד כדי עיסוק כפייתי ,בעיניו,
בהתעלות אל מעל המערכת.
הבא נוסיף לדיון שלנו כלי חשיבה נוסף ,שהציג הופשטטר בסיפרו -
ה"איזומורפיה" .הופשטטר מגדיר את האיזומורפיה כטרנספורמציה משמרת
מידע .גם אנו משתמשים באיזומורפיות בחיינו היומיומיים .נביא דוגמא
לאיזומורפיה באמצעות מספרים הטבעיים { .}1,2,3,4 ...המספרים הטבעיים
יכולים להיות משויכים ב"איזומורפיה" ,לחדרים בבית מלון ,אחד לאחד ,ולתת
לנו אינפורמציה רלוונטית על כמות החדרים ואפילו מבנה הסידור שלהם – מי
ראשון ומי אחרון .איזומורפיה היא כלי אינפורמטיבי חשוב לצורכי השוואה
ומדידה .כאשר מתחילים לגלוש לייצוגים מטא-מציאותיים ,אין-סופיים,
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
18
איזומורפיה היא הדרך היחידה להשוות בין סוגי אין-סוף ולבדוק מי יותר
אינטנסיבי ,אם בכלל קיים דבר כזה.
כדי לחוש את האניגמה שמסתתרת מאחורי מושג האינסוף ,נעזר בסיפור
משעשע שהציג הופשטטר .הגיע אדם לבית מלון המתהדר באינסוף חדריו.
ואולם ,בעת שהגיע נושא סיפורנו למקום ,המלון היה בתפוסה מלאה .בייאושו
מלמצוא מקום לינה ,עלה לפתע רעיון במוחו .מאחר ואינסוף הוא חסר קצה,
הוא ביקש מבעל בית המלון להעביר את האורח הלן בחדר הראשון לחדר
השני ,את האורח המתגורר בחדר השני יעביר לשלישי ,וכך הלאה יעביר בעל
המלון מספר חדר אחד את כל האורחים כולל זה שגר באינסוף ,שהרי תמיד
יהיה חדר אחריו .באופן זה פינה לעצמו גיבור סיפרנו ,את החדר הראשון ,מבלי
לגרוע אף אורח מחדר.
רגע קודם ,למדנו שעל מנת להבין מקרה עלינו להפוך אותו ל'פרט' בסיפור,
זאת נשיג אם יגיעו אחרי גיבור סיפורנו עוד אינסוף אורחים ,וכולם יפעילו את
אותו הפתרון .השאלה הנשאלת היא האם כעת ,אחרי שהוחדרו באמצעות
החדר הראשון עוד אינסוף אורחים בנוסף לאינסוף שכבר מילאו אותו ,אינסוף
החדרים במלון הוא עדיין אותו אינסוף? ומה אם נמשיך ונביא עוד הרבה
אינסופים של אורחים? היפה והמאתגר בחקירת האינסוף שאין דרך לעצור את
שטף המקרים ההיפותטיים.
מהעיסוק המדעי ההיפותטי באינסוף ,הולך ומתברר כי האינסוף הוא מוזר.
האינסוף הוא בעל תכונות מרובדות ולולאתיות כאלו ,שנתפסות בתודעה שלנו -
פרדוקסליות.
על מנת לעקוב אחר התכונות המרובדות והלולאתיות של האינסוף ,נוסיף מושג
לדיון -ה"רקורסיה" .בניסיון לתרגום מילולי פשוט נראה ברקורסיה התנהגות
סיבובית ,התנהגות המכילה נסיגה .הופשטטר משפר את האינטואיציה שלנו,
בהגדירו את הרקורסיה כתחום שבו המבנה "זהות-בתוך-שונות" ממלא תפקיד
מרכזי .רקורסיה מתבססת על כך שדבר "זהה" מתרחש בכמה רמות "שונות"
בו זמנית .האירועים ברמות השונות אינם זהים בפרטי הפרטים ,אך הם זהים
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
19
במובן שהם בני אותו מין .כדאי לבחון גם את ניסוחו ההפוך של המבנה "זהות-
בתוך-שונות" ולנסחו כ " -שונות-בתוך-זהות" .האם יש הבדל?
על פי הופשטטר "רקורסיה סבוכה" היא רקורסיה מורכבת דייה הפורצת את
גבולותיה של התבנית המוגדרת מראש .ניתן לדמות את הפריצה של תבנית
את גבולות עצמה .כאשר תבנית פורצת את גבולות עצמה ,הרי שהתבנית בונה
מרחב ,או יקום ,שלא ניתן לחזות אותו .האם אלוהים ברא עולם שאינו יכול
לחזות צפונותיו? הופשטטר הביא ציטוט קסום של אשר" :כאשר אני מצייר ,אני
חש לעיתים כאילו הייתי מדיום ספיריטואליסטי הנשלט בידי היצורים שאני
ממציא .כאילו הם עצמם מחליטים על הצורה בה הם בוחרים להופיע .הם אינם
מתחשבים במיוחד בדעה הביקורתית שיש לי בעת הולדתם ."...האינטואיציה
שהתחוללה בראשו של מ.ק .אשר ,בשרטטו את התמונות הלולאתיות ,שככל
שהתבנית שוקעת לרקורסיות יותר עמוקות בתוך עצמה ,היא מתחזקת ועולה
למעלה אל רובד אחר בלתי צפוי מבחינתו.
תבנית נוספת שעולה מתוך המאמץ אליו נרתמנו ,היא תבנית המקיימת "זהות-
בתוך-שונות" ,היא 'ההכלה של הפרט את הכלל' .לצורך זה נעבור אל לייבניץ,
מתמטיקאי מפורסם ,ומושג 'המונאדה' שפיתח .מונאדה על פי לייבניץ ,היא
נשאית האינפורמציה של אובייקטים .מונאדה היא ישות סגורה לחלוטין ואינה
מקיימת אינטראקציה עם המונאדות האחרות .המעניין ברעיון העולם
ה'לייבניצאי' הבנוי ממונאדות ,הוא כי כל מונאדה מכילה שיקופים של כל שאר
המונאדות בתוך עצמה .אם כל מונאדה מכילה שיקופים של כל המונאדות
מחוצה לה ,הרי שכל מונאדה היא מיקרוקוסמוס של המציאות כולה.
הרעיון של "זהות-בתוך-שונות" הזכיר להופשטטר גם את התמונה של הפיסיקה
של חלקיקים רה-מנורמלים :בכל אלקטרון יש פוטונים וירטואליים ,פוזיטרונים
וירטואליים ,חלקיקי נויטרינו וירטואליים ,מיואונים וירטואליים ,וכדומה; בכל
פוטון יש אלקטרונים וירטואליים ,פרוטונים וירטואליים ,חלקיקי נויטרינו
וירטואליים ,פיונים וירטואליים וכדומה; בכל פיון יש...
ניתן לסכם את הרעיון שמאחורי ה"רקורסיה" בכמה ניסוחים:
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
21
משמעות הוליסטית בה כל דבר שזור בכל דבר ,באופן שרק הסתכלות
מרובדת תראה בהם נפרדים.
מבנה של 'כלל המכיל פרט' ו'פרט המכיל כלל' ,כך שאין משמעות
לשאלה איזה אינסוף יותר אינטנסיבי .הרי תמיד נוכל לפתוח באינסוף
עוד צוהר ,על ידי שינוי רובד ההתבוננות ,ולמצוא אינסופים המובלעים
בו.
לכל מערכת מורכבת מספיק מסובכת ,קיימת תבנית התנהגות מתעצמת
ופורצת את גבולות עצמה.
הדגמה לרעיונות הללו ולקשר שלהם למגבלות התבונה היא האגדה
המפורסמת באשר לקשר הגורדי .על פי האגדה ,בנו של האיכר גורדיוס קשר
קשר חסר קצוות .האמונה שנפוצה הייתה שמי שיתיר את הקשר ,יכבוש את
אסיה .כשהחל אלכסנדר הגדול בכיבושיו ,שמע את סיפור המעשה .אלכסנדר
התבונן בקשר חסר הקצוות ,שלף את חרבו וביתק את הקשר .המיתוס אודות
ביתוק הקשר המפותל לתוך עצמו ללא קצוות ,שקול לגרוש האדם מגן העדן של
התבונה .האגדה לא ברכה את אלכסנדר הגדול בתבונה לפצח את הקשר
ברמה ההוליסטית ,אלא הובילה אותו לחתוך את החבל לרבדים ,כך שקצותיו
ישתלשלו ,פרומים מההוליזם הלולאתי ,בו היו שזורים זה בתוך זה .צורות
חשיבה מבותקות הותירו אותנו שבויים בתפיסת מרחב אאוקלידית ,פרומת
קצוות.
סיכום הפרק:
על פי הופשטטר המושגים הזרים מצביעים בטבעיות זה על זה במציאות
הוליסטית בה הם מתאחדים ברצף אינסופי של לולאה מוזרה.
מושגים זרים לוגית מתנהגים באופן פרדוקסאלי בהצביעם זה על זה ,רק
במציאות פרומת-קצוות.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
21
המושגים הם אחד (הצורה והתוכן של הסרטן לדוגמא) שכן הם נוצרים ממקור
זהה ש'נע לכיוונים מנוגדים'.
בנסיבות מורכבות מתאימות ,המושגים הזרים מתאחדים לאחד חדש המתעלה
מעל האחד המקורי.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
22
' .3אפקט הפרפר' מת ,יחי 'אפקט הפרפר'!
"מערכות התארגנות עצמית" ,הוא השם המקובל במדע להיווצרות ספונטנית
של מערכות מורכבות .השם מעיד על כך שאין יד חיצונית מתכננת ,בונה
ופועלת על המערכת .המערכת פורצת אל המציאות מתוך עצמה ,כמעיין
המתגבר .המדע הצליח לזקק תכונות רבות המאפיינות התנהגות מערכות מסוג
זה .התכונה המפורסמת ביותר היא 'אפקט הפרפר' המתייחסת לרגישות לתנאי
התחלה .רגישות לתנאי התחלה היא תכונה שכפי שהיא מנוסחת ,משאירה
אותנו חסרי אונים לחסדי הטבע .בפרק זה נעקוב אחר התכונות החשובות
שהתגלו ,אך נציע לחלקן ניסוח אחר ,ניסוח שמסיר חלק מחוסר האונים,
ומשאיר בידינו יכולת השפעה וכוח פעולה.
תכונת מורכבות ראשונה שנציג בפרק זה היא אוטו קטליזה .ההגדרה הפשוטה
של אוטו קטליזה היא :תהליך של זירוז תהליך מסוים ,המובנה בתוך התהליך
המסוים .רב האירועים האקראיים בטבע דועכים תוך זמן קצר .אוטו קטליזה
הוא חוק המסביר כיצד אירוע אינו דועך ,וכיצד מתגברת דינאמיקה של תנודה
אקראית לכדי תופעה .תנודה אמנם עשויה לשבור סימטריה ,אך ללא הסבר על
דינאמיקה אוטו-קטליטית שתישא את שבירת הסימטריה הרגעית לכלל שבירת
סימטריה גורפת ויציבה ,התנודה תדעך בוודאות .נביא את תאור התהליך כפי
שבחר לתאר אותו סטיוארט קאופמן ,חוקר מורכבות ממכון סנטה-פה.
בספרו " "At Home In The Universeעורך קאופמן חישובים על הסיכוי של
מולקולה מורכבת אקראית ,להיווצר ,מנוכחות שני מרכיבים מולקולאריים Aו ,B
אותם הוא מכנה .Feeding moleculesקאופמן מראה כי התחרות על
הווריאציות האפשריות בהרכבה תוצרים מולקולאריים חדשים ,תהא גדולה
וקשה כאשר הסיכוי להיווצרות וריאציות כגון ,A3B4 ,B2Aוכו' הוא סימטרי והוא
שואף לאפס.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
23
תהליכי הרכבה הם פעמים רבות גם הפיכים ,כלומר שהמולקולה המורכבת
מתפרקת חזרה למרכיבי היסוד שלה בקצב מסוים המוריד מכושר התחרות
שלה להיות ווריאציה מובילה .לפי קאופמן במצב עניינים אקראי של סיכוי
סימטרי להיווצרות כל מולקולה מורכבת ,לא תהא הכרעה בין המולקולות
המתחרות ,ולא תגיח מולקולה חדשה מתהליך תרכובת כימית בין Aו Bגם
בטווחי זמן יקומיים .הטענה מעוגנת בחישוביו של קאופמן ,המוצאים כי הסיכוי
הסטטיסטי לייצר הכרעה אקראית בין הווריאציות המתחרות ,דורש זמן ארוך
יותר מאורך חיי כדוה"א .מכאן ,שאין דרך להסביר את הסיכוי להיווצרות
המציאות שלנו ,ללא גילוי תהליכים מאיצי שבירת הסימטריה בתנאי ההיווצרות.
תהליך אוטו-קטליטי הוא התהליך שמאיץ את שבירת הסימטריה ומונע
התחרות הוגנת בין הווריאציות ,לצורך העדפה של היווצרות מערכות מורכבות
מסוימות .זהו תהליך שבונה את עצמו .ואולם ,שוב הגענו לשאלת הביצה
והתרנגולת היושבת בבסיס ההיווצרות הראשונית .אם אוטו-קטליט עצמו הוא
אחד המרכיבים הנוצרים בתהליך ההיווצרות האקראי הראשוני ,כיצד הוא נוצר
באופן מועדף?
קאופמן מדגים לנו את התשובה לכך בדוגמא לתהליך אוטו-קטליטי ,המאוירת
בספרו:
AB
BA
A
AB
BA
B
המולקולות המורכבות ABו BAאינן משמשות רק 'בתפקידן הראשי' כמולקולה
חדשה המגיחה מ'מרק' הווריאציות האפשריות ,אלא כל אחת משמשת גם
בתפקיד זרז (קטליזטור) של השנייה כפי שמתבטא בריבוע האפור בשרטוט.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
24
התבנית המוכרת לנו של לולאה מוזרה מתבטאת באוטוקטליזה כלולאת הזנה
הדדית של שתי מולקולות תוצר ,המעודדות זו את היווצרות רעותה ,תוך שהן
מתחרות על מרכיבים מולקולאריים חיוניים משותפים .המולקולות משמשות זו
עבור זו תפקיד דומה לזה של הסרטנים השחורים והסרטנים הלבנים בתמונה
של אשר ,שהיו אחראיים הדדית לקיומם המשותף.
מאחר ותהליך לולאתי לפי קאופמן הוא הכרחי בדינאמיקה הכאוטית של
המורכבות ,ננסה לייצר לו סימבוליקה שתשאיר בידינו אמצעי אנליטי להרחבת
הנושא בהמשך .האיברים והתהליכים בסיפור יקבלו ביטוי סימבולי:
- Xמולקולת תוצר AB
- Yמולקולת תוצר BA
- XXיתאר את תהליך הרכבת ,AB
- YYיתאר את תהליך הרכבת .BA
- XYיתאר את התהליך בו משמש Yכקטליזאטור של X
– YXיתאר את התהליך בו משמש Xכקטליזאטור של .Y
הנוסחה של האוטוקטליזה המתוארת ברישום נראית באופן סימבולי כך:
= ( XXהפעולה הישירה)
( XY ,הפעולה הקטליטית)
X
( YX = Yהפעולה הקטליטית) ( YY ,הפעולה הישירה)
אנו רואים כי Xו Yהם בלתי נפרדים וצמודים שכן גורלם כרוך זה בזה .למעשה
הם גם משלימים ,ולא ניתן להגדיר את תהליך ההגחה של האחד ללא שימוש
בשניהם.
כאמור בתחילת הפרק ,אנו נערוך הרחבות למשמעות המושגים על מנת לקבל
כח פעולה כבעלי התבונה .נשים לב למגבלה ברעיון האוטו-קטליזה כפי שהוא
מוצג ,שמונעת ממנו להיות ההסבר הממצה של תהליך הגחת סדר חדש אותו
אנו מחפשים .תהליך אוטו-קטליטי כזה ,המתואר אצל קאופמן ,מתרחש
במערכת בה משחקים שני מרכיבים משפיעים בלבד .זהו על פי אריסטו וגל-
מאן ,תהליך בעל כרוניקה ידועה מראש ו'עלילה' סגורה .תהליך כזה אינו יכול
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
25
להתפתח ולהתעלות על עצמו באופן רקורסיבי מתמשך .תאור כזה אינו הסבר
מספק לאי-סבירות ההסתברות הסטטיסטית של אבולוציה מורכבת ,והיווצרות
מערכות אבולוציוניות כגון מערכת הראייה .הרחבת הרעיון תופיע בהמשך
הפרק.
התכונה השנייה המהווה תנאי ל'הגחה' של מערכת מורכבת על פי המדע ,היא
שעל המערכת להיות פתוחה אל סביבתה .מערכת פתוחה היא מערכת
המאפשרת שטף של חומר ואנרגיה שיעבור דרכה .מערכות פתוחות הן
מערכות דיסיפאטיביות -הן מעכלות ומתמירות את השטף העובר דרכן ופולטות
את שאריותיו .כמו כן ,בעולם תכליתי משתנה ומתהווה ,על מערכת להיות
קיברנטית -בעלת יכולת לשפר את ביצועיה בכיוון השגת תכליתה .מערכת
תכליתית חייבת להכיל מנגנונים של שליטה ובקרה על מידת הקרוב של הסדר
העצמי שלה לסדר התכליתי המושלם .לצורך זה עליה לפעול בחוג סגור ,כלומר
להעביר משוב חזרה לתוך המערכת עצמה ,אודות טיב התוצאות של התהליכים
שהיא מקיימת .תנאי זה מונע את הכליאה בתהליך מסוג של כרוניקה ידועה
מראש .נשרטט זאת כמערכת מתורת הבקרה .מערכת בחוג סגור נראית כך:
FB
OP
S3
f
S2
S1 Feeding IP
במערכת כזו ניתן להבחין כי קיימים שלושה מקורות בלתי תלויים ,התורמים
לדינאמיקה ,ומסומנים באות .Sנתוני הקלט – המסומנים ב ,S1הם הפרמטרים
המזינים את המערכת .הם מגיעים אליה ממקור חיצוני ביחס אליה ,אין לה
שליטה עליו והיא מקבלת אותו כביטוי של העולם החיצון.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
26
הפונקציה – fהמסומנת ב ,S2היא המערכת המורכבת עצמה ,המוגדרת על ידי
הפונקציה הפנימית שלה .המערכת 'בחרה' לעצמה כלל התארגנות עצמית,
ושומרת על הכלל .המערכת היא מקור פנימי של עצמה ומעין הנובע מעצמו.
פונקציית הבקרה – מסומנת ב ,S3אומדת את הפלט המתקבל מול המטרה
המוגדרת ובמידת הצורך מפעילה מנגנון שיפור על פונקציה fלקרב את
פעילותה להגדרת המטרה .הבקרה היא המקור ידע חיצוני לפונקציה .הבקרה
אחראית על שיפור ביצועי המערכת לאורך זמן.
התוצרים ( )OPהם נגזרים פסיביים וחסרי מקור משל עצמם.
כפי שניתן לראות ,גם תורת הבקרה מושתתת על הפרדיגמה ,שעל מנת לבצע
תהליך שינוי מסתגל ומתפתח ,נדרשים להתקיים שלושה מקורות השפעה
שונים בתהליך .במקורות ההשפעה בתורת הבקרה ,יש מן הדמיון לשלושת
ההיבטים של תורת השינוי וההתהוות של אריסטו .הפונקציה פונה ושואלת
שלושה מקורות הזנה :היא פונה פנימה ובודקת את עצמה ,היא פונה החוצה
ואוספת קלט ,והיא פונה בכיוון השיפור באמצעות אינטראקציה עם הבקרה.
תכונה נוספת המאפיינת את מערכות ההתארגנות העצמית ,היא שההתנהגויות
שלהן מצייתות ל"מושך" .ה'מושך' הוא מושג חשוב בתורת המערכות
המורכבות ,המתאר את חוק ההתארגנות העצמית .המושך הוא גרף איכותי
המתאר את התנהגות מערכת כשאינה מופרעת או מוסתת ממסלולה .מושך
הוא 'חיה' מתמטית .המושך מוגדר כמבנה אליו מתכנסת דינאמיקה של מערכת
או מצב עניינים ,והוא מושג מקביל ל'יד הנעלמה' של אדם סמית בכלכלה.
ישנם מושכים מסוגים שונים .ישנם מושכים שקל לנסח את הפונקציה המייצגת
אותם .ישנם מושכים שלא תמיד ניתן לנסח אותם כפונקציה בהירה ,והם ניתנים
לניסוח מתמטי רק כקרובים או גרפים מתארים.
המצאות מערכת תחת השפעת מושך מסוים נקראת פאזה .מעבר מערכת
להשפעת מושך אחר ,נקראת מעבר פאזה .מקובל להציג מושך במרחב פאזה.
דיאגראמת פאזה ,היא גרף בו כל אחד מציריו מייצג ממד אחד של מרחב
הפאזה ,וציר הזמן אינו מיוצג בה .פונקציות וגרפים שאינם מיוצגים במונחי זמן,
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
27
מתארים מבנה איכותי .מבנה איכותי הוא ההתנהגות האיכותית של המערכת
(מתכנסת ,מתבדרת ,בעלת גבול בין הערכים.)...
המושך נוצר מתוך מערכת יחסים בין הממדים ה'מושכים' שבונים את מרחב
הפאזה ,ומניעים את המערכת להתנהגות מסוימת .היחסים בין הממדים
המושכים ,מייצגים את המכניזם הפועל מאחורי המושך ,המכניזם שבונה אותו.
מכאן שאנו רואים את המושך גם כמבנה וגם כתהליך.
ii
איור של מושך מוזר במרחב פאזה .
בשלב ראשון יקל עלינו אם נתייחס אל 'המושך' כאל גוף פיזי מושך ,דוגמת גוף
אסטרונומי :פלנטה ,ירח ,כוכב ,חור שחור וכד' .ממד מקבל משמעות של כיוון
השפעה מסוים.
המושך הפשוט ביותר הוא מושך נקודתי ,בעל ממד משיכה אחד .הדוגמא
הפשוטה היא כדוה"א ,המושך מסות לכיוון מרכזו .צורת מסלול התנועה של
מסה כלשהי ,תהא קווית ומתכנסת לנקודה.
מושך הבנוי משני ממדי משיכה ,מתאפיין בהתנהגות מחזורית .הגדרת מחזור
נעוצה ביכולתו לחזור לנקודת המוצא .סיבוב כדוה"א סביב השמש הוא מחזורי.
שני המושכים שתיארנו עד כה מושכים הנקראים 'פשוטים' .מושכים פשוטים
הם בעלי ממד אחד או שני ממדי משיכה במרחב הפאזה ,אך לא יותר.
מושך המורכב מיותר משני ממדי משיכה ,יהפוך להיות מושך מוזר .הוא יהיה
מושך בעל צורת מסלול אי-רגולרית ולעולם לא יחזור אל אותה נקודה פעמיים.
דוגמא חשובה למושך תלת ממדי מופיעה באסטרונומיה ,מנוסחת ומוכרת בשם
'בעיית שלושת הגופים' .בעיית שלושת הגופים ,הוא שמו של הקושי לנסח
פונקציה למסלול תנועת גופים שמימיים ,תחת השפעה הדדית של שלושת
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
28
הגופים זה על זה .מתוך סוגיה זו נבע משפט פואנקרה-בנדיקסון האומר,
שמושך מוזר יכול להיווצר במערכת דינאמית רציפה (בדומה למציאות
הפיסיקאלית) ,רק אם יהיה בעל שלושה או יותר ממדים .שוב אנו נתקלים
בקשר בין שלושה גורמים משפיעים ,ובין חוסר יכולת חיזוי של היווצרות תבניות
חדשות.
למרות שמו של ה'מושך' ,עלינו להשתחרר מהדימוי של 'גוף מושך' ,ולהרחיב
את הגדרת הממדים של המושך לכל דבר בעל השפעה ישירה ,מכרעת ובלתי
ניתנת להזנחה ,על ניסוח פונקצית המושך של ההתנהגות של המערכת .אנו
נתייחס ל'מושך' כאל משתנה מצב במציאות של המערכת ,המשפיע על גורלה.
לצורך המחשת ממדים שונים של 'מושך' בשפת 'משתני מצב' ,נציג שתי
דוגמאות.
דוגמא ראשונה היא המפורסמת מכולן -משוואות מזג האוויר של לורנץ:
הממד Xמייצג את משתנה המצב הגורם להסעה של האטמוספרה.
הממד Yמייצג את משתנה המצב המוגדר מהפרשי הטמפרטורה.
הממד Zמייצג את משתנה המצב המושפע משינויים בפרופיל הטמפרטורה.
נשים לב כי הממדים שונים מאוד מממדים מושכים כפי שהכרנו עד כה.
דוגמא מעניינת שנייה ,לתפיסת ממדים שאינם 'משיכה' במובן הפשוט של
המילה ,לקוחה מהספר 'העולם אינו ליניארי' iiiשם קיבלו משתני המצב מעמד
של 'חוקים' על פיהם נקבעות התנהגויות .דוגמא זו היא של סימולאטור נדידת
ציפורים.iv
Separation: steer to
avoid crowding local
flockmates
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
29
Alignment:
steer
towards the average
heading
of
local
flockmates
Cohesion: steer to move
toward the average
position
of
local
flockmates
ניסוח הממדים לפי רזי ויחזקאלי:
ממד ההפרדה – מנע הצטופפות בלהקה
ממד התיישרות – שמור על זווית בין כיוון טיסה והצפון
ממד התלכדות – נוע לכיוון המיקום הממוצע של הלהקה
קיימים ניסוחים מגוונים של משתני מצב שהם ממדים ,כמו :שיקולים ,חוקים,
הפרש מצבים.
לאחר שעסקנו בממדי המושך ,ננסה להציץ כעת אל מבנהו הפנימי של המושך
המוזר .לצורך זה נכיר יותר לעומק את המושך של לורנץ .מושך זה מאפיין
מערכות כאוטיות רבות .המשוואות של לורנץ הן רקורסיביות ,כלומר מציבים
בהן שלושה ערכים ,התוצאות המתקבלות מוזנות חזרה .זו מערכת שבונה את
עצמה .אתר מוזיאון הכאוס הוירטואלי vמציג עיבוד תלת ממדי של מושך לורנץ.
התמונה המתקבלת ממהלך זה נראית כך:
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
31
כל קו מקווי המושך המקבילים ,מתאר דינאמיקה ב'תנאי התחלה' שונים מאלו
של הקווים המקבילים לו .הקווים לעולם לא יחצו זה את זה ,או את עצמם.
מאחר וזו אינה תמונה מחזורית ,נמנע כושר החיזוי לכל תודעה שחיה ופועלת
בעולם המתכנס למבנה המושך.
אם נתבונן לעומק הגיאומטריה שבמרכז העיבוד התלת ממדי ,אנו מוצאים שם
מחזה המזכיר את ההשתלבויות ה'כיוונים' זה בזה ,כפי שמתקיים בלולאות
המוזרות של הופשטטר .כמו אצל הופשטטר ,גם אצל לורנץ החוויה הכאוטית
של תודעה מתקיימת במעבר בין כיוונים וממדים ,מעבר שאינו צפוי ואינו בטווח
החיזוי.
אם נתבונן שוב במשוואות מזג האוויר ,נראה כי אצל לורנץ הניסוח של השינוי
הוא הנגזרת בזמן ,לעומת המשוואות הלוגיות הרקורסיביות של התהליך האוטו
קטליטי ,בהן השינוי מבוטא ברקורסיה .ואולם ,נראה כי למרות הבדלי ניסוח
השינוי ,יש דמיון במבנה.
משוואת כל פרמטר יחיד ,מכילה בתוכה את הפרמטרים האחרים:
Xx ,Xy ,Xz = X
Yx ,Yy ,Yz = Y
Zx ,Zy ,Zz = Z
הדמיון במבנה המשוואות ,מוביל אותנו לתכונה נוספת של המושך המוזר ,והיא
תכונת הפרקטליות .המשמעות הפרקטלית המרכזית ,היא 'הדומות העצמית'.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
31
נמחיש דומות עצמית גיאומטרית .הצורה השלמה של משולש שרפינסקי ,בנויה
כך שלא ניתן להבדיל בין הרמה בה נמצא איור א' של התבוננות ובין רמת
ההתבוננות המיוצגת באיור ב' (שהיא תקריב לתוך הקטע המסומן בצידו הימני
התחתון של איור א').
איור ב'
איור א'
איור ב'
הדומות העצמית מתבטאת בתבנית ההגדרה הרקורסיבית שלנו ,בכך שכל
פרמטר נפרד Y X ,ו ,Zמכיל בתוך עצמו את כל הפרמטרים Y Xו ,Zובאופן
רקורסיבי בנוי בתבנית אם זהה לתבנית אליה הוא שייך ובה הוא 'פרט':
תבנית הפרקטל מתיישבת עם התבנית שראינו אצל הופשטטר ,התבנית בה
'הפרט מכיל את הכלל ,שמכיל את הפרט'.
תכונה נוספת של הפרקטל היא שממדיו הם שבר .הוא מתאר מצב לא שלם של
קיום הממדים .מקובל לחשוב שממדים הם מספרים שלמים טבעיים– 1 :
נקודה -1 ,קו -2 ,שטח – 3נפח .אך לא רק כך הוא הדבר .הפרקטל מייצג
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
32
ממדים לא-רגולאריים .כפי שמתאר קאופמן ,אם ניקח דף שטוח ונקמט אותו
בניסיון להפוך אותו לכדור ,הכדור לא יקבל מעמד של כדור תלת מימדי ,זה
יהיה כדור עם ממד המוגדר בין ( 2דף) ל ( 3כדור מוצק) .ממד הנייר המקומט
הוא בעל ערכים כמו 2.7או 2.2וכו' ,תלוי בדחיסות הקימוט.
הממדים השבורים של המושך המוזר מזכירים לנו את התבנית של הקווארק
בעל המטען החשמלי השבור לשברים.
התכונה הרביעית של המורכבות היא המפורסמת מכולן" .אפקט הפרפר" הוא
השם הפופולארי של התכונה המפורסמת ביותר של הכאוס" .אפקט הפרפר"
הוא דימוי ציורי לתאר רגישות להפרעות באשר הן ,אשר מניעות שרשרת
אירועים פרועה .מאחר וההפרעה מתניעה שרשרת האירועים ,מכנים את
"אפקט הפרפר" כרגישות לתנאי התחלה .לקבל את דין תכונה זו לחומרה,
פירושו לקבל את דין העולם האקראי .אך לא כך הוא הדבר.
קאופמן מנסה לנתק את הקשר בין המונח 'אפקט הפרפר' ,והרגישות
להפרעות ,ובין ההכרח ששינוי בתנאי התחלה יוביל להבדלים משמעותיים
בהתנהגות המערכת לאורך זמן .ישנן מצבים בהם הפרעות באשר הן מניעות
דווקא שרשרת אירועים המתכנסת לסדר.
כפי שראינו מושכים הם מסלולים במרחב הפאזות .מושכים מאופיינים בכך
שהם נמצאים ב'דומיננטיות' על מסלולים אחרים בעלי תנאי פתיחה שונים,
הנמצאים בטווח מרחק מסוים מהם .הטווח בו מסלולים אחרים 'נשפכים' אל
המסלול המושך ,מכונה אגן .תכונת הרגישות לתנאי התחלה שייכת רק למרחב
פאזה בו מסלולים אינם מייצרים אגן משיכה ואינם לוכדים אליהם מסלולים
אחרים .באיור הבא אנו רואים אזור של אגן המכונה איזור התכנסות.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
33
(איור מהספר של )Strogatz
בצורה ציורית מסביר קאופמן ,שהסדר נקבע מאוסף של התנהגויות 'אנוכיות',
שכמו בידי יד נעלמה ,מכווננות עצמן לסף כאוס ,שם כולן משחקות "פייר" זו עם
זו וכך נוצר סדר.
תהליך שיוצר מבנה חדש וסדר חדש ,חייב להיות מספיק יציב מכדי להתפרק
אך גם מספיק לא יציב על מנת להיות מושפע מהפרעות צדדיות בשכנותו.
דינאמיקה קולקטיבית מכנה זאת קאופמן.
vi
בשפתו של קאופמן:
מושך ( )Attractorמתקיים כאשר יותר ממסלול אקראי אחד ,כלומר מספר
מסלולים אקראיים ,הנוצרים מתנאי פתיחה שונים ,שואפים להתייצב באותו
המחזור היציב ).(state cycle
אגן המשיכה ) (basin of attractorהוא מרחב אוסף המסלולים האקראיים
המתכנסים אל המושך .המושך עצמו מהווה את המחזור שמתאר את הסדר.
ההמצאות באגן משיכה ,משכחת הפרעות ומונעת מהמסלולים להמשך
לתנועות אחרות.
מכאן ,טוען קאופמן ,תחת התנאים הנכונים המושכים יכולים להיות מקור הסדר
במערכות דינאמיות גדולות .זהו מצב בו לסדר יש עדיפות סטטיסטית ,והסדר
הוא מקום אליו המערכת מתייצבת.
ולסיום סקירת התכונות של המורכבות ,לא ניתן לדון במורכבות ללא התייחסות
לתכונת הקוהרנטיות.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
34
בגלים המושג קוהרנטיות מתאר הפרש פאזה קבוע.
בשרטוט לפנינו אנו רואים הפרש פאזה המיוצג בחץ שחור .אנו רואים כי הגלים
עולים ביחד ויורדים ביחד ,לאדם שעומד בנקודה כלשהי על הגל האדום לא
מתרחש כלל שינוי ביחס למרחקו מהגל הכחול.
לעומת זאת מבחינת אדם המתבונן במצב הבא מחכות הפתעות לגבי הפאזה
בין הגלים:
האיור הזה מבטא דה-קוהירנט ושינוי בהפרשי פאזה לאורך הפאזה.
בלוגיקה ובמתמטיקה ,עקביות או קונסיסטנטיות ,כלומר ,קוהרנטיות של
מערכת מסוימת פירושה שמערכת זו היא נטולת סתירות.
מערכת מורכבת חייבת לשמור על קוהרנטיות דינאמית .קוהרנטיות היא
התאימות הפנימית והחיצונית שלה .מערכת מוצאת את הקוהרנטיות מתוך
התנאים הנתונים .אין אפשרות אמיתית לכפות קוהרנטיות לאורך זמן.
הדוגמא המוחשית ביותר לניהול קוהרנטיות היא חתירה קבוצתית .בחתירה
קבוצתית התאימות בתנועות מייעלת את ביטוי האנרגיה המושקעת ומייצרת כח
פעולה רב יותר ביחס לחתירה לא קוהרנטית.
רק כאשר תתאים מערכת ,את הקצבים והזרימה של כל ההיבטים זה לזה –
תתקבל מערכת קוהרנטית .מערכת בעלת יעילות אנרגיה גבוהה וכח פעולה
רב.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
35
.4רעיון להסבר טלאולוגי למעשה המרכבה
לאחר ששוטטנו במרחבי הידיעה האנושית ,ודלינו תבניות לא קונבנציונאליות,
תבניות לולאתיות ,תבניות שמפתלות פרדוקסים ובכך פותרות אותן ,ננסה
לחבר את אוסף הרעיונות לשפה משותפת ולתובנה אחודה חדשה .לצורך זה,
נלך עקב בצעד אגודל ונחבר את הכללים ברבדים ,מהפשוט והקל אל המורכב
והמסובך.
נתחיל בחוויה של האיור מפורסם של הצייר מ.ק .אשר .איור בו נמלים מטיילות
לאורך טבעת מביוס.vii
הצורה המשורטטת היא וריאציה 'מגוהצת' של לולאת (טבעת) מביוס .נעזר
בדמיון המבורך של מ.ק .אשר ,שצייר שיירת נמלים מהלכות לאורך טבעת
מביוס ,והוביל אותנו לחוות כיצד הן 'מניחות' שהן הולכות לאורך הפאה
החיצונית ,או לחילופין לאורך הפאה הפנימית של טבעת רגילה .כלומר הן
מניחות עולם דו – ממדי הנראה כך:
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
36
מבחינת הנמלה X ,היא דופן פנימית Y ,היא דופן חיצונית .הניתוק המובנה בין
הדופן הפנימית והחיצונית מגדיר שני ממדים שונים .הממדים מוציאים זה את
זה במובן שהנמלה לא יכולה להימצא בשניהם בו זמנית.
לראיה ,נצבע את הדופן הפנימית Xבאדום ,והחיצונית Yבלבן .במצב כזה
הליכה על ממד אדום לעולם תוביל להליכה על ממד אדום .בהתאמה הליכה
לאורך הממד הלבן.
כעת נראה כיצד אנו רחבי התודעה ביחס לנמלה ,מבינים כי הנמלה טועה
בפרספקטיבה ובחיזוי הנתיב מאחר ויש כאן 'אחדות ממדים' .אותם Xו ,Y
מנקודת המבט שלנו הם אחד ללא יכולת הפרדה ,אך הנמלה לא תבין זאת ואף
תופתע.
בשונה מהנמלה אנו מבינים כי טבעת מביוס מכילה פיתול טרם סגרו את
קצותיה.
האדום והלבן אינם מסמנים יותר דבר .הם המשכיים זה לזה .הם תלויים
במיקום הפיתול ,ויכולים להיות חיצוניים או פנימיים כרצוננו .בהימצא פיתול
בטבעת ,מושגי פנימי וחיצוני הינם חסרי משמעות באותה מידה שלכדור הארץ
אין 'למעלה' ו'למטה'.
אמנם בטבעת מביוס לדפנות אין יותר תפקיד של פנימי וחיצוני ,אך הבה נותיר
אותן צבועות באדום ולבן בכדי להבין את ההפתעה המצפה לנמלה .כעת אין
יותר וודאות שהליכה לאורך המסלול הלבן תמשיך להוביל למסלול הלבן
והאדום אל האדום .כל מסלול יכול להוביל לכל מסלול.
ננסח את המסלול האמיתי של טבעת מביוס באמצעות המבנה שבנינו בפרקים
הקודמים.
אנו כבר יודעים ,שלא נוכל להגדיר יותר את המשתנים Xו Yבמונחים של פנימי
וחיצוני מפני שלאחר הפיתול ,הם אינם שומרים יותר על התכונה הזאת .לכן
נשתמש בייצוגים אחרים שלהם:
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
37
= Xהליכה לאורך דופן אדומה
= Yהליכה לאורך דופן לבנה
= ( XXאדום מוביל לאדום) ( XY ,לבן מוביל לאדום)
X
( YX = Yאדום מוביל ללבן)
( YY ,לבן מוביל ללבן)
כך אנו מתארים את האחדות והצימוד של Xו .Yהאחדות של שני היבטים,
פנימי וחיצוני .אילו הנמלה ,למרות היותה חסרת יכולת הבחנה חושית לאחדות,
הייתה יכולה להבין את הנוסחה לעיל ,הייתה נחסכת ממנה ההפתעה.
בהסבר על ממדי טבעת מביוס ,ישנה הסתמכות על הרעיון ,שממד הוא – צד.
צד הוא כזה ,אשר בתחומו ניתן להגיע ,פיסית או לוגית ,מכל נקודה שבו לכל
נקודה .הממד מבחינתנו מאופיין בכך שכל מרכיביו מקושרים לעצמם לוגית.
כאשר לא ניתן להגיע לנקודה אחרת בשום מסלול לוגי ,זו הדרך לדעת כי אותה
נקודה נמצאת בממד אחר – צד אחר( .חיבור בין ממד לצד הוא בחירה לצורך
פישוט ,טכנית לצד יכולים להיות יותר ממדים).
בשלב הבא נרצה לקבל עולם סגור על עצמו ללא קצוות .כזה שאי אפשר ליפול
מהקצה שלו .טבעת מביוס היא עולם שיש בו שפה ,קצה ,לאורך המסלול.
לצורך סגירת הקצוות נחבר את קצוות פס הנייר לגליל .את הגליל ,כמו בטבעת
הרגילה ,במקום להסגר לטורוס (כעך עגול) ,נסגור עם פיתול .נניח שהגליל אינו
מספיק ארוך כדי להתעקל בפשטות ולהפגיש את שני קצותיו .עלינו למצוא דרך
קצרה יותר .דרך כזו ממומשת בצורה הנקראת בקבוקי קליין.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
38
ההתבוננות בגיאומטריה של בקבוקי קליין viiiבאמצעות סרטוני המחשה ,מומלצת ביותר.
באיור הבא ,אנו רואים את רצועת הגליל לאחר שביצעה פיתול ,חודרת לתוך
עצמה ונפגשת בחלל הפנימי שלה עם פיתחה השני וסוגרת איתו מעגל.
כעת ניתן לומר ,שבקבוק קליין הוא בקבוק שמכיל את עצמו .הגליל הריק שהיה
דו-ממדי ,כאשר התקיימה הפרדה לוגית בין פנים וחוץ ,כעת הפך להיות בעל
ממד אחד .ניתן להגיע על שטח פניו ,מכל נקודה לכל נקודה.
לאחר ההכרות שערך לנו מ.ק .אשר עם מגבלות תפיסת המציאות של הנמלה,
כפי שאנו מבינים אותן ,נרצה להניח כי מגבלות התפיסה שלנו דומות לאלו של
הנמלה אך בממד אחד יותר גבוה.
בדומה לנמלה גם אנו ,בני האדם ,לעיתים תמונה חלקית של אחדות המציאות.
אנו תופסים מרחבים בשלושה ממדים אך לא תמיד מצליחים לנסח את האחדות
שלהם.
הממדים שאנו רגילים לחשוב באמצעותם על העולם ,הם הממדים האאוקלידיים
Y ,Xו ,Zהמתארים את העולם במושגי :עומק ,רוחב וגובה .ממדים אלו
אורתוגונאליים זה לזה .מכוונים לכיוונים זרים זה לזה.
אנו נרצה להחליף את המערכת האאוקלידית ,במערכת-מדידה-תפיסתית
מקבילה ,והיא :התייחסות פנימה (לתוך המערכת) ,התייחסות החוצה
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
39
(לסביבתה) ,והתייחסות אל השינוי הנערך בכיוון התכליתי .אלו האחרונים הם
ממדים של משמעות ולא של חלל ומקום .אם כך ,נצטרך לבנות טבעת מביוס
היוצרת אשליה של :צד פנימי ,צד חיצוני -בדומה לאשליית הנמלה ,אך בנוסף
לזה יוצר ממד אשלייתי של 'תכלית נעדרת' ,שלפי אריסטו הוא השלישי
בעקרונות היסודיים של המציאות המשתנה.
על מנת לנסות להבין את רעיון טבעת המביוס בעלת הממד האחד ,אך נתפסת
על ידי התודעה השרויה בה כתלת ממדית ,נעשה מהלך ,בו נעזוב לרגע את
האחיזה בהיגיון המוכר .לשם כך נעזר במתמטיקאי בשם Werner Boyאשר
מצא דרך להדגים לנו המראה למבט-על ,לכאורה ,מעל מישור ההסתכלות
האנושית ,באופן המזכיר הרחבה של הריחוף שלנו מעל מישור הסתכלות
הנמלה .המהלך מתואר בטופולוגיה גיאומטרית הנקראת מרחבי בוי ( Boy's
.)surfacesהגיאומטריה של המהלך מוצגת במלואה ע"י פרופ' אלוויס זאפ
בסרטון שמצורף בהפניות .ixאנו נעקוב באופן סכמטי אחר המהלך .המהלך
הטופולוגי אינו טריוויאלי להבנה ואפילו לתפיסה בדמיון .לכן בשלב זה נציג אותו
ברמה שמעוררת חוויה כללית אם כי לא הבנה מלאה.
תלת הממד של המרחב האאוקלידי המוכר לנו נראה כך:
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
41
העיקרון הראשון שמציג פרופ' זאפ הוא ,השקילות ,האיזומורפיה כפי שכינה
זאת הופשטטר ,בין צורת הטופולוגיה של המרחב האאוקלידי לטופולוגיה של
דיסקיות:
X=0
Y=0
Z=0
בשלב הבא פרופ' זאפ מניח שהממדים האורתוגונאלים האאוקלידים ,מתעקלים
כאילו היו עשויים חומר אלסטי ,לכיוון נקודת האפס וזורמים זה לתוך זה
כמתואר באיור הבא:
רישום מהמאמר של בוי וורנר ()1413
ניסינו לאייר את הקיפול השקול לזה שלעיל ,כפי שיתבטא בשלוש דיסקיות
הזורמות זו לתוך זו.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
41
איור זה ,המציע רעיון לטופולוגיה של העולם בו אנו שרויים ,מאוד קשה
לתפיסה .הסיבה שאיננו יכולים באמת לדעת כיצד נראה עולם המציאות שלנו,
היא כי עלינו להיות תודעה בעלת ממד אחד לפחות יותר מעצמנו כדי לראות את
עצמנו ועולמנו נכוחה.
בתיאור פשוט יותר טבעת מביוס נצייר כך:
ואת "טבעת" בוי נצייר כך:
כעת נבנה את הניסוח הפורמאלי בניסוח דומה לזה שהסברנו באופן פורמאלי
את מקרה הנמלה .דוגמת מרחבי בוי ,תהא מנוסחת בכלי הלוגי ,באופן הבא.
נניח נצבע את הממדים פנימי ,חיצוני והשינוי באופן אדיש לתוכן:
= Xממד אדום
= Yממד לבן
= Zממד כחול
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
42
אנו נוכל לעבור מכל צבע לכל צבע ,מאחר והכל חובר יחדיו באמצעות הפיתולים
של בוי לממד אחד .הממדים האורתוגונאליים האאוקלידיים אינם מוציאים יותר
זה את זה אלא מכילים הדדית זה את זה ומזינים הדדית זה את זה.
Xx ,Xy ,Xz = X
Yx ,Yy ,Yz = Y
Zx ,Zy ,Zz = Z
אין ממד העומד בפני עצמו באופן סגור אלא כולם מחוברים במערכת מעברים
רציפים אין סופיים .מ Xאדום ניתן להגיע ל Yלבן או ל Zכחול ,וההפך.
במהלך שעשינו בפרק הזה ,יצרנו מערכת לוגית לולאתית ,ללא קצוות ,תלת
ממדית לכאורה ,אך למעשה חד צדדית וחסרת נפח!!
אם ננסה לייצר אנלוגיה בין הנפח לבין 'תוכן' ,הרי חד ממדיות זו היא חסרת
תוכן .ממש כמו ה'אחד' שהיה קיים לבדו בעולם וחיפש משמעות לעצמו .מכאן
שההוליזם המורכב שומר על חוסר המשמעות הבראשיתי .המשמעות נמצאת
רק בנקודות מסוימות שנחתכו בתודעה מתוך ההוליזם ,בפרטים הפרומים.
המערכת כפי שנבנתה על פי הטופולוגיה של בוי ,מציירת תמונה אינטואיטיבית
למשפט מפורסם בלוגיקה שניסח הלוגיקן קורט גדל ' -משפט אי השלמות'.
המשפט עוסק בעובדה שמערכות לוגיות אינן יכולות להוכיח את העקביות
והשלמות של עצמן באמצעות מערכת האקסיומות שלהן בלבד .הפתרון
למציאת העקביות והשלמות ,עשוי להימצא במערכת אקסיומטית – מטא.
מערכת אם ,רחבה יותר ,שמכילה את המערכת הנדונה .מערכת אם שכנראה
היא בעצמה אינה חפה מעקרון אי השלמות .הופשטטר כבר הזהיר אותנו
מתבנית 'הדבר שמסתמך על דבר שמסתמך על דבר ,'....באופן שהכל עומד על
כרעי תרנגולת .לפי הופשטטר עקרון אי השלמות בפתרון המטא ,לעולם לא יגיע
אל סיפוקו .הפתרון שהציע הופשטטר הוא לולאה לוגית.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
43
הטופולוגיה של מרחבי בוי מתארת פרשנות לולאתית ל'משפט אי השלמות'.
Xכמרחב לוגי מבודד בפני עצמו ,איננו שלם ועיקבי עם עצמו .כך גם Yוכך גם
.Zבשל היותם כרוכים זה בזה ,ניזונים זה מזה ,ומשתנים ומתפתחים זה
באמצעות זה ,הרי שביחד הם מקיימים רקורסיה ,המתפתחת בכיוון האחדות
השלמה .מודל לולאתי כזה בו קיימת התפתחות על סולם השלמות ,הוא מעין
מצב בו השלמות משתלמת ועולה ברמה המטפיסית של עוצמתה .את טענת
ההתפתחות על סולם השלמות והסדר נפתח בפרק הבא.
סיכום הפרק :בפרק זה ציירנו תמונה של מערכת פורמאלית בסיסית אפשרית,
המתארת כיצד שלשה יסודית ,מחוברת לה יחדיו לאחדות דינאמית בלתי ניתנת
לעצירה.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
44
.5האחד לעומת האחדות
נניח כי המשוואות הרקורסיביות של התודעה ,כפי שהוצגו בפרק הקודם,
מתקבלות על דעתנו כקרוב מעניין לפיסיקה של היווצרות בראשיתית .עדיין
הקורא הסקרן לא קיבל תשובה מלאה לשאלה :כיצד הכל התחיל.
הפתרון שהוצג עד כה ,מתחיל ברגע שהנצו Y Xו Zראשונים ,ונותן תשובה
לדינאמיקה מאגברת ביניהם .כיצד נוצרה תהודה הדדית ,המאפשרת
אינטרקציה מספיק מורכבת שתיצור מטא תבניות חדשות .אך מניין הנצו
הממדים הראשונים?
לפי הטופולוגיה של בוי וורנר תארנו תיאור בו האחד מתח את עצמו לשלושה
כיוונים (היבטים ,צדדים ,ממדים) ופיתל עצמו חזרה לתוך עצמו .אך לא נניח ,כי
ניתן להישען על תיאור חסר הסבר שכזה.
בפרק זה נציע לוגיקה ,הממחישה תהליך אפשרי להיווצרותה של הטריאדה
הבראשיתית' ,יש' מ'אין' ,וננסה להימנע מהפתרון הפשוט ,לקבל אותה כשלשה
אקסיומטית.
לצורך פיתוח אינטואיציה של 'יש מאין' ,נדמיין סיפור של היווצרות ספונטנית
עולם המיתוג ,על מנת שישמש אינטואיציה למהלך התחקות אחר תהליך
ההגחה.
בלוגיקה הבוליאנית ( )1,1מתוארות הפעולות הלוגיות ההופכות את הקלט
לפלט .ללוגיקה הבוליאנית יש שלשת יסוד ,שלשה הפורסת את כל סוגי
המתגים הקיימים בטכנולוגית המחשוב.
היסודות במעגל הבוליאני הן פעולות הנקראות שערים לוגיים :שער ,NOT
שער ,ORושער .ANDטריאדת שערים לוגיים זאת נחשבת יסודית ,מאחר
וניתן לתאר כל פעולת מחשוב באמצעות שלושת הפעולות הלוגיות הבסיסיות
שהן מקיימות .שאלת הפרק היא ,כיצד ביקום ספונטני ,לוגי ,דמיוני ,תתכן
היווצרות השלשה?
הנחת היסוד שלנו נשענת על אקסיומה משותפת לפילוסופיה למדעים
ולמיתוסים רבים של בריאה ,שכל מרחב החל מקיום סוג של 'אחד' עלום ,טהור,
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
45
שעדיין לא התממש ולכן איננו יודעים עליו דבר .ה'אחד' הוא ה'אין' .נוכל לדעת
עליו יותר רק בדיעבד ,לאחר התממשות דבר מה מוחשי ממנו.
בעולם המיתוג ה'אחד' שהתקיים בבראשית ,ונכח בה ללא תכלית מיוחדת -
הוא אופרטור .השער הלוגי הפשוט ביותר -שער .NOTהפעולה הלוגית
שמקיים שער כזה הינה – היפוך .כאשר אופרטור מהפך ,NOTמקבל כקלט
ביט יחיד הוא מוציא כפלט את הביט ההפוך .אם התקבל 1הוא יוציא ,1ואם
התקבל 1הוא יוציא .1יש לזכור שהלוגיקה שלנו נערכת עבור עולם טרום
בראשיתי ,בו השער NOTהוא הקיום היחיד ואין דבר זולתו ,בעולם טרומי כזה
השער NOTנעדר משמעות ,נעדר יכולת התממשות ונעדר כוח פעולה.
ואולם ,מאחר ורק הוא קיים וכל שמסביבו ברציפות ,זה הוא ,לא ניתן למנוע
מה'אחד' ,לפעול על עצמו ולעשות אינטראקציות ספונטניות עם עצמו.
האחד מסוגל ליפגוש את עצמו או במקביל לעצמו מצדדיו ,או בטור לעצמו
מלפניו ומאחוריו .אלו שתי האפשרויות היחידות שלו לערוך אינטרקציה עם
עצמו .מתברר כי העמדה שכזו מייצרת שלשת ייסוד:
העמדה שלו בטור לעצמו ,הפועל על עצמו ,היא מימוש של שער AND
העמדה שלו במקביל לעצמו ,כאלטרנטיבה לעצמו ,היא מימוש שער .OR
והוא כשלעצמו מהווה את השער .NOT
כך ,האינטראקציה הספונטנית של האופרטור הלוגי 'היפוך' עם עצמו ,הולידה
מושגים יחסיים לו ,שהם' :או' (הקבלה) ו'גם' (טור) וביחד שלושתם פורשים את
המרחב הלוגי השלם של המיתוג .כך נוצרת שלשה מ'אין'.
כל שלשה בסיסית אשר מתפתחת ,מגיעה לנקודה בה היא מייצרת אחדות
חדשה .בדוגמא שלנו ,ככל שמרחב המיתוג הבתולי ,התבגר התפתח
והשתכלל ,הוא בנה יותר ויותר ווריאציות מתוך אינטראקציות ,שהן קומבינציות
מורכבות יותר של העמדה בטור ובמקביל של שערי היסוד .וכך נוצרה כל
האלקטרוניקה המודרנית.
לאורך הזמן ,התהליך עובר סוג של הבשלה והתבגרות ,שמתוכו הולך ונגלה
שער אחד ,שונה משערי היסוד ,שבאמצעותו ניתן לייצר כל לוגיקה אפשרית.
שער אוניברסאלי ,שער שהוא סוג של אחדות המייצגת את המרחב בכללותו,
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
46
ממש כשם שהשלשה היסודית ייצגה .שער זה נקרא . NANDזהו שער מורכב
ומשוכלל יותר משערי היסוד ,אשר באמצעותו בלבד ניתן להגיע לכל ייצוג לוגי
בעולם המיתוג .לאור תכונה זו ,השער NANDנקרא שער אוניברסאלי .שער
אוניברסאלי מייצג את האחדות.
לסיכום המהלך :השער NOTמייצג את המקור -את ה'אחד' .ה'אחד' הוא
הטהור הראשוני ה'אין' .האחד יצר עם עצמו אינטראקציות ספונטניות ובנה 3
היבטים עם עצמו .ההיבטים קבלו עצמאות והחלו לייצר אינטראקציות אלו עם
אלו .הכל הסתכם לבסוף ל'אחדות' המתבטאת בשער ,NANDהמורכב השלם
הממצה.
מכאן מסתמן תהליך של התעלות עצמית אינסופית של מרחב ,בו מ'אחד' חסר
משמעות ,נבעה שלשה יסודית ,ומהשלשה היסודית הורכב 'אחד' חדש בעל
משמעות אוניברסאלית גבוהה יותר ,מטא-משמעות ,שממנו אולי ניתן לצאת
למטא-משמעות חדשה .אולי נוכל לחזות אותה אם נבין כיצד העמדה של
NANDבטור לעצמו ובמקביל לעצמו יוצרת שלשה יסודית חדשה של עולם
חדש...
ננסה את כוחו של הרעיון הדמיוני שלנו בתיאור היווצרות מרחב הגלים:
נדמה עולם דמיוני בו מתקיימות פלוקטואציות (תנודות) .התנודה כזכור היא פיק
באנרגיה .באופן ספונטני ,התנודה עורכת אינטרקציה עם עצמה.
האינטראקציה הפשוטה ביותר שאנו מכירים היא התאבכות .התאבכות גלים
מתקבלת כאשר פיק מוצא עצמו מקביל לפיק אחר והם כאילו עושים קשר AND
זה עם זה .פעולת ANDבין שני גלים קובעת את האמפליטודה.
במקרה השני ימצא הפיק את עצמו בטור לפיק אחר ,וכך יתקבל מושג הפרש
הפאזה ביחס לפיק המקורי .כעת נוצרו שלושה מגדירי משמעות בעולם הגלים:
פאזה ,אמפליטודה ותדר (תנודת הפיק הראשוני).
מתוך תנודה ב'אין' הנץ עולם חדש ,רוחש גלים המקיימים זה עם זה
אינטראקציות יותר ויותר מורכבות .מתוך עולם זה ,ממשיך להתפתח מרחב של
ווריאציות מורכבות ,שעדיין לא התכנסו למשמעות בהירה ומאוחדת .לפתע
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
47
פתאום ,מגיח מתוך המורכבות ,באופן מובהק ,רכיב אוניברסאלי – גל הסינוס.
גל הסינוס הוא אוניברסאלי מאחר וניתן לייצג באמצעותו כל גל ,אי-רגולארי
ומורכב ככל שיהיה .גל הסינוס הוא ה'אחדות' .הוא מטא-תבנית של מרחב
הגלים והתנודות כולו.
סיכום הפרק :בפרק זה הגדרנו אופרטור 'אחד' טהור וחסר משמעות שהוא
ה'אין' והוא מקור היווצרות מרחב פיסיקאלי/לוגי מסוים .ה'אחד' מייצר
אינטראקציות ספונטניות עם עצמו ,כאשר הוא באופן ספונטני מעמיד את עצמו
בו-זמנית ,בטור (פועל על עצמו) ובמקביל (משווה את עצמו ל'אחר') .הלולאה
הספונטנית מייצרת שלשה יחסית לעצמה .השלשה חשובה מאחר והיא שלשה
יסודית ,בעזרתה ניתן לעשות הרחבה לוגית לכל המשמעויות המורכבות של
המרחב.
עם התפתחות העלילה ,השלשה מפתחת את האינטראקציות למורכבות יותר
ויותר .בשלות המרחב מושגת כאשר נוצר מורכב 'אטומי' חדש הנותן משמעות
ל'אחדות' של העולם הרוחש ,והוא גם 'אחד' אפשרי לעולם חדש .אם כל אחדות
של עולם ישן ,היא אחד טהור של עולם חדש ,הרי שמצטיירת כאן התפתחות
על סקאלת המורכבות.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
48
Sacred Numbers .6ו Sacred Geometries
הבריאה היא תחום של קדושה הן בעיני הפילוסוף ,והן בעיני המדען .קדושתה
מחלחלת עד אחרון האדם ,ללא תלות ברמה אינטלקטואלית .עוצמתה של
הבריאה טמונה בעובדה ,שהיא מסמנת את גבולות התבונה האפשרית של
האדם .בצילה לא ניתן להתחמק מקטנותנו ואוזלת ידינו כבני אנוש.
נהוג לייחס לבריאה גיאומטריות מיסטיות ומספרים מיסטיים.
איור של גיאומטריות קדושות
x
גיאומטריות ומספרים ,הם הכלי של התודעה לספר את סיפור העולם.
גיאומטריות ומספרים מיסטיים ,מקבלים מקום גם בנוסחאות לוגיות מדעיות.
מספרים טרנסצנדנטאלים דוגמת
והמספר הטבעי ,2.71828183 eמתקבלים
בטבעיות כמספרים יסודיים של הטבע ,והמיסטיפיקציה מתפוגגת ,למרות שלא
נפתרה .מכאן נוצר הרושם ,כי על מנת שתיאוריה תיתפס רצינית ,אין הכרח
לפצח את האקסיומות עליה היא מונחת ,אלא מספיק לחבר אותה לנוסחאות
קרות ומשכנעות.
האתגר בפרק זה הוא לחבר את התיאוריה שפרסנו בפרקים הקודמים ,לכלל
גיאומטריה משכנעת.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
49
נשתמש בדיאגראמות וואן כשפה .נבדוק כיצד מתקשרת הפילוסופיה של
אריסטו לייצוג הלוגי האנליטי .לא נוכל לייצג Aו ,Bשכן ישנו רק האחד בעל
שלוש הפנים .כזכור ,טען אריסטו שישנם שלושה היבטים יסודיים:
פנימה (צורה)
חוץ (החומר הוא חסר צורה)
והכיוון לאנטאלאכיה (העדר צורה)
נתאר את העקרונות של אריסטו כקבוצות בלוגיקה של תורת הקבוצות
המשתמש ב Aבלבד בעושה אינטראקציות עם עצמו .נגדיר:
– Aקבוצת כל ה'צורות הטהורות'
– )Not A( Āקבוצת כל 'חסרי הצורה'
Non A
– קבוצת כל ה'העדר' שטרם הוגדר.
נברר את משמעות היחסים בין הקבוצות בשפת תורת הקבוצות:
ההעדר A
Non
מבחינת אריסטו ,הוא ממין הצורה (תכונה) .כפי שהגדיר זאת
אריסטו :אי-ההימצאות שבנמצא .אם כך ( Aהצורה) ו ( Non Aהעדר הצורה).
היחס בין החומר והצורה יוצק את משמעות השער "וגם" A .הצורה וגם A
Not
החומר ,משלימים זה את זה לשלם .הם הדרך בה מתגשמת המציאות .זהו לא
השלם המושלם שהגיע לתכליתו הסופית ,אלא העצם השלם באשר הוא.
היחס בין החומר לבין ההעדר מתייחס אל זרים שמוציאים זה את זה .הם
יוצקים משמעות לשער "או" .החומר המקבל צורה ,מדיר את רגלי ההעדר.
מכל הכתוב לעיל ,עולה דיאגרמת ואן המתאימה לשרטט עולם לוגי משתנה
באמצעות שלוש קבוצות יסוד ,Non A ,A ,Ā :הנראית כך:
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
51
)6( AND
)1( NotA
A∩ NonA ∩Ā
)2( A
()7
היפוך
()4
)5( OR
– Aיסוד הצורה טהורה
– NotAיסוד המצע /חסר צורה
NonA
– NonAיסוד ההעדר ואי-ההמצאות
1,2,3נמצאים באזורים ללא חפיפה,
()3
היפוך – בין Aל NonA
ומייצגים את ה'אין'
- OR
בין NonAל Ā
- ANDבין Aל Ā
4,5,6נמצאים באזורים של חפיפה חלקית,
מייצגים את המציאות הלא מורכבת
A∩ NonA ∩ Ā
7נמצא באזור החפיפה שבו כל הטהורים נפגשים,
והוא מייצג את השלם האקטואלי ,המתפתח והמשתנה המורכב.
משלושה היבטים ,באמצעות שלוש סוגי אינטראקציה ,נוצרים 7עולמות 3 .לא
מוחשיים 4 ,מוחשיים .המוחשיים בתוך עצמם מתחלקים לשני סוגים:
המורכבים בעלי פוטנציאל להתעלות על עצמם ,ושאינם מסוגלים להתעלות על
עצמם.
– 7מייצג את המורכבים המתעלים על עצמם.
– 4מייצג את מרחב הקונפליקטים בו נפגשים היפוכים.
– 5מייצג את מרחב האופציות האלטרנטיביות בהינתן מצב נתון.
– 6מייצג את מרחב המצבים המוחשיים היציבים.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
51
סיכום הפרק :בפרק זה הלוגיקה מיישמת את עצמה על עצמה ,תוך עשיית
שימוש במרכיבים לוגיים בסיסים ביותר של הקיום. IS, NOT, NON :
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
52
' .7הגחה וסדר בחינם' או 'לוגיקה מעשית'
בפרקים הקודמים ,עסקנו בניסיון לגבש תאור לוגי של מכניזם אפשרי להגחה.
בתהליך ההגחה הלוגי לא השתתפו כוחות .זוהי אחת התובנות המעניינות.
הגחה הוא תהליך ספונטני אשר אינו מונע על ידי הפעלת כוחות ,כפי
שההיבטים אינם מפעילים כוחות זה על זה .זוהי מכונה הבונה את עצמה
ומפעילה את עצמה מכוח הצורה שלה.
תובנה זו היא בסיס להסבר כיצד ניתן לדבר על 'תכנון מראש של תהליך
ספונטני' מבלי לחטוא בסתירה פנימית .כאשר התכנון הוא מהסוג הלוגי והלא
קונקרטי ,הוא הופך את התוכנית ל'פונקציה' הפועלת על עצמה .התכנון הלוגי
אינו מתאר 'יעדים' ולא נדע איזה סדר חדש ייווצר ,הוא רק מתאר מערכת
יחסים המתכנסת לאחדות.
בתהליך של הסדר הספונטני ,ה'אחד' משמש גם כאובייקט וגם כתהליך ,לכן
הוא מהווה אינפורמציה ואנרגיה בו זמנית .ה'אחד' משמש בכל התפקידים
כאילו הוא 'קיט' של משחק הרכבה ,שמרכיב את עצמו.
ההרכבה היא בחינם .אין צורך במשאב חיצוני נוסף .התכנון הלוגי של ההרכבה
הספונטנית ,מגדיר את מקורות האנרגיה של שינוי ספונטני ,כך שיהיו זמינים
באופן טבעי ומתחדש בתוך התהליך .דוגמא למערכת סגורה המטעינה את
מקורות האנרגיה שלה עצמה ,היא המכונית המטעינה את המצבר שלה ,מעצם
פעולתה.
הטבע באופן קבוע ממיר את עצמו ספונטנית להיות מקור אנרגיה זמינה לעצמו.
אנו מכנים את התכונות בטבע הזמינות לשמש כאנרגיה ' -אנרגיה חופשית'.
ננסה להבין מהי אנרגיה חופשית ,וכיצד ניתן לדאוג כי תתחדש ולא תתכלה.
'אנרגיה חופשית' בהגדרה פשוטה ,היא אנרגיה שאינה יכולה לעשות עבודה
(להיקשר) בתוך המערכת בה היא אגורה .היא אגורה בה ,משום שאין לה
יכולת מעבר למערכת אחרת .כאשר מתאפשר המעבר של האנרגיה החופשית
למערכת אחרת ,המעבר יוצר ביקום 'עבודה בחינם'.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
53
התרמודינאמיקה מתייחסת לאנרגיה חופשית לכזו הנאגרת כחום ,דוגמת חום
האגור במאגר מים חמים .אם המאגר החם יבוא במגע עם מאגר מים קרים,
הסעת החום הספונטאנית תוביל את החום מהמאגר החם אל הקר .ניתן לנצל
מעבר זה של חום ,לביצוע עבודה ללא השקעת אנרגיה.
מאחר ואנו עוסקים בלוגיקה ולא במדע מדויק ,נפשט את מערכות המושגים
ונגדיר באופן כללי ,כי 'אנרגיה חופשית' זהו מצב בו מערכת נמצאת ,ברמת
ערכים גבוהה מנקודת שווי המשקל היציב שלה .זו הסיבה שניתן לחלץ ממנה
עבודה בחינם .רמת ערכים גבוהה ,היא מצב בו במערכת מצטברת 'יתירות'.
היתירות קשורה בקשר הדוק לרמת הסדר או לחילופין אי-הסדר במערכות
ביקום .יתירות היא עודף בערך של פרמטר מסוים במערכת ,שנוכחותו היא
חיובית רק אם הוא משמש כגיבוי ( )Bufferלאותו הפרמטר .במידה והוא אינו
משמש גיבוי ,הוא עומס מיותר שמשמעותו 'רעש'.
דוגמא ליתירות חיובית הוא הגליקוגן ,האגור אצלנו בכבד ומשחרר לשרירים
ברגעי דחק ,כמויות של גלוקוז כאנרגיה זמינה.
לעומת היתירות החיובית ,בחרנו להביא דוגמא ליתירות שהיא 'רעש' ,מעולם
התוכנה .שורות קוד שאינן הכרחיות ,מעלות את זמן החישוב שלא לצורך.
הקידוד המינימאלי של הקוד הוא הנחשב חיובי .קביעה זו ידועה בשם
"סיבוכיות קולמגורוב".
קיום היתירות הכרחית במערכות מורכבות .עובדה זו מוסכמת במדע .תפקידה
המדויק של היתירות ידוע פחות .לדוגמא ,בתוך הדנ"א שלנו קיים 'דנ"א זבל'
' 'noncoding DNAשאינו מקודד לפונקציה מזוהה ,אך גם אינו ניתן להסרה
ללא פגיעה בדנ"א המקודד .דוגמא נוספת היא העובדה שכ 43% -מתאי המוח
שלנו אינו מוכר כפונקציונאלי ,אך גם אינו ניתן להסרה ללא יצירת פגיעה
תפקודית' .יתירות' היא מושג מתעתע מבחינת מבחן הסדר:
מצד אחד הוספתה עשויה להעלות את הסדר כי היא גיבוי לסדר.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
54
מצד שני הוספתה עשויה להעלות את אי-הסדר במערכת כי היא מוסיפה
סיבוכיות במערכת ,צורכת משאבים ומתקיימת 'על חשבון' פונקציות
הכרחיות אלטרנטיביות.
קיומה של 'אנרגיה בחינם' ,אותו המעבר של אנרגיה חופשית בין מערכות,
נחשב בפיסיקה הסיבה לעלייה של האנטרופיה ביקום .על-פי הפיסיקה ,רמת
חוסר הסדר שהשאירה אחריה האנרגיה החופשית במערכת האם אותה עזבה,
עולה על רמת הסדר שהיא הביאה איתה למערכת החדשה אליה עברה.
ואולם ,מתברר כי פרדיגמה זו אינה מוחלטת ,שכן כפי שראינו' ,יתירות' היא
מושג מתעתע .מתברר כי יש בטבע מצב ,בו מערכת מאבדת אנרגיה חופשית
וכתוצאה מכך – מגדילה את הסדר שלה עצמה .דוגמא זו מגיעה מעולם
הכימיה .כאשר משחררים אנרגיה חופשית של מערכת כימית ,החלקיקים
במערכת 'יפלו לתחתית' ,במקרה זה הכוונה היא לבור הפוטנציאל הכימי ,ויהיו
ממוקמים קרוב יותר זה לזה כך שריכוזם יעלה .בשל עליית הריכוז,
האינטראקציות בין החלקיקים הכימיים חזקות יותר ,והן יוצרות תרכובות
ומעלות את רמת הסדר.
הגורם החשוב ליצירת סדר אינו 'המחיר' .אין תלות חד-משמעית בין כמות
האנרגיה במערכת לבין הסדר שבה .האינטראקציות הפנימיות ,המשפיעות על
המבנה ,הן הגורמות ליותר סדר במערכת.
רק אם החלקיקים המרכיבים את המערכת אינם בעלי פוטנציאל אינטראקציה,
ואינם תלויים זה בזה ,נקבל את הפרדיגמה של הפיסיקה על-פיה תמיד
תתרחש עליה באנטרופיה כתוצאה מאיבוד אנרגיה חופשית וירידה באנרגיה
פוטנציאלית.
חוק שימור האנרגיה מחייב אותנו לבנות יקום שהוא משחק סכום אפס .כיצד
תחת ההנחה של משחק סכום אפס ,ניתן לייצר תהליכי הרכבה הולכים
ומתגברים ,שאינם משלמים את מחיר חוסר הסדר? כיצד ניתן להציג אפשרות
בה העולם רק עולה ברמת הסדר שלו?
את התשובה נחפש מתוך התכונות הלוגיות שיצרנו בפרקים הקודמים.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
55
נייצג באופן לוגי את תכונת היתירות ( )+בעזרת ה"היפוך" .נאייר את ההיפוך
כך:
-
+
Non
את שער ה"או" נקבל באמצעות העמדה מקבילה הבונה את ההפרדה .שתי
אפשרויות לכך (כפי שמאויר למטה):
+ מול +
- מול -
-
+
-
Non
Non
+
Non
+
-
+
Non
שער ה'או' מתאר מצב ללא יכולת אינטראקציה .תפקידו לייצר לנו את ריבוי
הקבוצות ,לולא ה'או' היה לנו רק ה'אחד' .ה'או' תפקידו לייצר ריבוי.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
56
שער ה"וגם" מייצג את האינטראקציה המרכיבה .בדומה להרכבה של רכיבי
'לגו'.
+
-
+
Non
Non
בזכות השערים הלוגים אנו יכולים לעבור מעולם ללא אינטראקציה לעולם
המקיים אינטראקציה ,ובכך לשנות את חוקי המשחק של העולם .נוכל לבנות
עולם בו אנרגיה חופשית לכודה במבנה מעגלי מורכב ,שבכל איטרציה מוריד
את רמת האנטרופיה בעולם הזה .מבנה כזה מושתת על העברה הדדית
ומעגלית של אנרגיה חופשית ממערכת למערכת ,תוך ניצולה לייצור עבודת
הרכבה.
על מנת לייצר יכולת העברה הדדית של אנרגיה חופשית ,עלינו לייצר מערכת
יחסים מעגלית בין שתי קבוצות מערכת .כל אחת מהמערכות 'וויתרה' על
אנרגיה לא יעילה ,וקיבלה בתמורה אנרגיה יעילה .כך נוצרה ההתהוות
וההרכבה.
+-
+Non
Non
ואולם ,הסיפור אינו שלם .כזכור ,אריסטו תרם לנו את הסיבה מדוע לא נוכל
להסתפק בשני מרכיבים .שני מרכיבים אינם יכולים להסביר את ההתהוות
והשינוי המתמידים .צריך שלושה מרכיבים המייצרים אינטראקציה על מנת
להסביר התהוות ,המתעלה על עצמה ,לאורך זמן.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
57
במבט על שלוש העקרונות ,שלושת ההיבטים ,הדינאמיקה המרכיבה נראית
כך:
+
-
-
+
-
+
פוזיציה מאפשרת -הפוטנציאלית
הפוטנציאלית לא תוכל להתקיים כפי שהיא על ציר הזמן ,שכן מיידית תעבור
למצב הבא:
+
-
-
+
-
פוזיציה מורכבת - A∩NonA∩Ā
+
האקטואלית
העולם המורכב האקטואלי ,נמצא בחיתוך בין שלוש הקבוצות כפי שראינו בפרק
הקודם .מכאן אנו מבינים את הטענה הכל כך חשובה של אריסטו ,כי
הפוטנציאלי והאקטואלי מתרחשים בו זמנית .לא יתכן מצב שבו הפוטנציאלי
הורכב והאקטואלי לא מימש במידי.
בנוסף הדיאגרמה המכילה גם את NonAמסבירה מדוע ההעדר ,מכניס אלמנט
של אי-וודאות לגבי החידוש האפשרי ,הוא לא נושא איתו אינפורמציה לגבי
הדינאמיקה בה הוא לוקח חלק .ה Nonהוא חסר ייצוג .הוא אינו משלים את ה
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
58
Aל – ,1כמו ה .Notאין לא הגדרה פורמאלית .ה Nonהוא תמיד חלק
מהסיפור ,ולכן לא נוכל במורכבות להשתמש במשוואות חיזוי תקפות שלמות
ומלאות.
סיכום הפרק :מערכות מורכבות צריכות לנהל עודפים וחוסרים בצורה הרמונית.
צורה הרמונית היא צורה שאינה מפעילה כוחות אלא בנויה על זרימות אנרגיות
חופשיות טבעיות .כל מערכת היא בעלת עודפות ( )+וחוסר (–) .המערכות
מעבירות בינן לבין עצמן עודפים ,במשחק סכום אפס .כך קיבלנו סדר בחינם.
ואולם ,תמיד ישחק במשוואות פרמטר שלישי נסתר ( )Nonהמכניס לתהליך
אלמנט הסמוי מעינינו ומתודעתנו.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
59
סיכום
לוגיקה של הגחה עשויה לשמש פרדיגמה חדשה לתהליכי ניהול וקבלת
החלטות .ניתן לתאר מערכת ( ,)selfסביבה ומטרה -כשלושה 'כדורים' .עבור
כל כדור יש להגדיר את משתני המצב הספציפיים :צוואר הבקבוק ( ,)-היתירות
( ,)+והרצוי ( .)Nonיש לגבש עבורם מערכת תמסורות סינכרונית קוהרנטית.
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
61
ביבליוגרפיה (רשימה חלקית)
Stuart Kauffman." At home in the Universe - The search for the lows of self"organization and complexity
"Gregoire Nicolis, Ilya Prigogine "Exploring Complexity
יהודה לנדא .מבוא למטפיסיקה ולפילוסופיית-הטבע של אריסטו .אוניברסיטה
משודרת .הוצאת משרד הביטחון.1422 .
יהודא לנדא .השתוקקות החומר לצורה במחשבת אריסטו .אוניברסיטת תל אביב
.1472
אריסטו .על נפש .תרגום מנחם לוז .פירוש אהרון בן-זאב .הוצאת הקיבוץ המאוחד.
1424
אריסטו .פיזיקה א-ב .תרגום יהודא לנדא .ספרי-מופת פילוסופיים .הוצאת מגנס
האוניברסיטה העברית .תשס"ו.
ד .הופשטטר .גדל אשר באך הוצאת דביר .2111
כל הזכויות שמורות לאיריס קים ©
61
הפניות
Gregoire Nicolis Ilya Prigogine "Exploring Complexity" הספרi
13 'עמ
"Non-linear Equations" איור מהמאמרii
http://universe-review.ca/R01-09-chaos.htm
http://physicaplus.org.il/zope/home/he/2/Barrow iii
iv
סימולטור ציפורים שהוצג בספר "העולם איננו ליניארי" רזי עפרון ויחזקאלי פנחס
http://www.red3d.com/cwr/boids/
v
http://www.snunit.k12.il/vmuseum/chaos/lorenz/the_attractor.html
מוזיאון הכאוס הוירטואלי
At Home In the universe / סטיוארט קאופמןvi
74 ' עמThe search for the lows of self-organization & Complexity
vii
אשר.ק.טבעת מביוס של מ
http://imagecache2.allposters.com/images/pic/20/PRO3ESC.JPG
בקבוקי קלייןviii
http://translate.google.co.il/translate?hl=iw&langpair=en|iw&u=http://www.klein
bottle.com/whats_a_klein_bottle.htm
סרטון של אלויס זאפix
http://www.youtube.com/watch?v=ZLzEs2UbbPY
x
http://www.google.co.il/imgres?q=sacred+geometry&um=1&hl=iw&
kylepounds.org מהאתר
62
© כל הזכויות שמורות לאיריס קים
© Copyright 2024