‫חוברת קיץ‬ ‫למסיימי כתה ט'‬ ‫הקבצה א'‬ ‫פתרון משוואות ומערכות משוואות‬ :‫פתרו את המשוואות הבאות‬ 1 1) 3 x3 8 4    x 2 x  10 3 x  15 3 2) 4 3 x8  2  x  2 x x  3 x ( x  2)( x  3) 3) x2 x 18  5 x 2   2 x7 x7 x  49 2 3  2 1 2  2x  1 6x  3 4) 4x  1 5) 1 6) 2x 1 2 x  2  2 x  6 x  7 x  2 x  3 x  10 x  21 2 x x6 11   2 15  3 x 25  x 5 x 2 ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫פתרו את מערכות המשוואות הבאות‪:‬‬ ‫‪x y 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪y x 2‬‬ ‫‪3x  y  1‬‬ ‫)‪10‬‬ ‫‪x y 6‬‬ ‫‪7 5 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x y 4‬‬ ‫‪3x  2 y  6‬‬ ‫‪x  4 y  7‬‬ ‫‪x 2  2 y  11‬‬ ‫‪7 x 2  y 2  5x  1‬‬ ‫)‪11‬‬ ‫)‪8‬‬ ‫‪y  3x  2  0‬‬ ‫‪6 x  y  1‬‬ ‫)‪12‬‬ ‫‪49 y 2  3x 2  22‬‬ ‫‪( x  2) 2  ( y  1) 2  5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪7‬‬ ‫)‪9‬‬ ‫‪(7  4 x)(2 y  1)  45‬‬ ‫)‪13‬‬ ‫תשובות – פתרון משוואות ומערכות משוואות‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, 1‬‬ ‫‪5)  6 ,18.5‬‬ ‫‪6)  1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪9) (1,7) , ( ,4) 10) (4,2) (6,12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4) ‬‬ ‫)‪13) (0,0) (4,2‬‬ ‫‪3)  4, 1. 6‬‬ ‫‪2) ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1) 3,  2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫) ‪8) (1,1) , (2 , 5‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪11) (12,15) (4 ,4) 12) (1,3) (169,683‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪7) (3,10‬‬ ‫הפונקציה הקווית‬ ‫‪ .1‬התאם כל ישר משמאל לפונקציה המתאימה לו מימין‪:‬‬ ‫(הערה‪ :‬לשתי פונקציות אין ישר מתאים)‬ ‫‪4) y  4 x  4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5) y   x  2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6) y   3x  5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1) y  x  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2) y   x  3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3) y  x  4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫‪y‬‬ ‫(ד‬ ‫(ג‬ ‫(ב‬ ‫(א‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.5 x  3 5 x  3‬‬ ‫‪ .2‬נתונה הפונקציה הקווית‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬רשום את הפונקציה בצורת ‪ y=mx+n‬ומצא את ‪ m‬ואת ‪.n‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את נקודת האפס של הפונקציה (חיתוך עם ציר ‪.)x‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪.y -‬‬ ‫ד‪ .‬השלם את השיעור החסר של כל אחת מהנקודות הבאות אם נתון שהיא נמצאת‬ ‫על גרף הפונקציה הנ"ל‪. )__ ,1/2( , )__, -4 ( , ) -4 ,__( , )2,__( :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ .3‬נתונות הנקודות‪.C)-5,-8( ,B)-4,2( ,A)3,-8( :‬‬ ‫קבע איזה מבין הישרים ‪ ,BC , AB‬ו‪ AC -‬הוא פונקציה‪ :‬עולה‪ ,‬יורדת‪ ,‬קבועה‪.‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪ .1‬א‪ 3 .‬ב‪ 2 .‬ג ‪ 6 .‬ד‪1 .‬‬ ‫‪1 7‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫ד‪, ,12 ,5 .‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬א‪.‬‬ ‫‪y  3x ‬‬ ‫‪ AB .3‬יורדת‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪, 0 ) .‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ AC‬קבועה ‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪( 0,‬‬ ‫‪ BC‬עולה‬ ‫בתרגילים הבאים מצא את משוואת הישר‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫המקביל לישר ‪y=-6x+1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫המקביל לציר ‪ x‬והעובר בנקודה (‪.)-2 ,5‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫העובר בנקודות (‪ )1,5‬ו‪.)-2 ,4( -‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫העובר בנקודה (‪ )-2 ,8‬ויוצר עם הכיוון החיובי של ציר ‪ x‬זווית של ‪.1350‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫ששיפועו ‪ -6‬והוא חותך את ציר ה‪ y -‬בחלקו השלילי במרחק של שלוש יחידות מהראשית‪.‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫העובר בנקודה (‪ )4,4‬והמקביל לישר העובר בנקודות (‪ )1 , -3‬ו‪.)- 1 ,5( -‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫הראה שהישר העובר דרך הנקודות (‪ )4 ,-3‬ו‪ )-8 ,9( -‬מקביל לישר העובר דרך הנקודות‬ ‫(‪ )4 ,-6‬ו‪)-12 ,10( -‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫מצא את משוואת הישר העובר בנקודות (‪ )-3 ,6‬ו‪ ,)-9 ,2( -‬וקבע לאילו מהישרים הבאים‬ ‫הוא מקביל‪ :‬א‪3y-2x=6 .‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫והעובר בנקודה (‪.)4,-3‬‬ ‫ב‪2x=3y .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.3x-2y =1 .‬‬ ‫‪2x+3y=8‬‬ ‫מצא את משוואת הישר העובר בנקודת החיתוך של הישרים ‪y=2x-7‬‬ ‫ובנקודת החיתוך של הישרים ‪y=-1/2x-2‬‬ ‫תשובות ‪y = -6x +21 .1 :‬‬ ‫‪y = -6x-3 .5‬‬ ‫‪y = 5 .2‬‬ ‫‪y = -4x +20 .6‬‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫ו‪y=-x+2 -‬‬ ‫ו‪.y=x+1 -‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y = -x+6 .4‬‬ ‫‪ .8‬מקביל לישרים א' ב' ‪y=-1 .9 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פונקציה קווית עם פרמטרים‬ ‫נתון הישר ‪ y = (k2-9)x+k2+3k+2‬מצא לאיזה ערך של ‪ k‬שיפוע הישר הוא ‪ ,7‬והוא‬ ‫‪.10‬‬ ‫חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה (‪.)0 ,6‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ .y = (k2-4k)x+k2-2k-15‬מצא את הערך של ‪ k‬במקרים הבאים‪:‬‬ ‫‪.11‬‬ ‫(העזר בפירוק הטרינום)‬ ‫א‪ .‬התמונה של אפס היא ‪-15‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הפונקציה מקבילה לפונקציה ‪y = 12x‬‬ ‫ד‪ .‬הפונקציה היא קבועה‬ ‫הפונקציה עוברת בנקודה (‪.)-1 ,-9‬‬ ‫ה‪ .‬הפונקציה חותכת את ציר ה‪ y-‬באותה נקודה כמו הפונקציה‬ ‫‪.12‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪.y=(6-2k)x+k+2‬‬ ‫‪.y = x-7‬‬ ‫מצא לאיזה ערך של ‪ k‬הפונקציה מייצגת ישר‪:‬‬ ‫(רשום את משוואת הישר בכל מקרה)‪.‬‬ ‫א‪ .‬המקביל לציר ‪.x‬‬ ‫ב‪ .‬העובר בראשית הצירים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬העובר בנקודה (‪.)-1 ,11‬‬ ‫ד‪ .‬המקביל לישר ‪y=4x-1‬‬ ‫ה‪ .‬המקביל לציר ה‪.y -‬‬ ‫‪ y = (k2-5k)x-3k+2‬הוא ‪.-6‬‬ ‫‪ .13‬א‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ k‬שיפוע הישר‬ ‫ב‪ .‬רשום את משוואות הישרים עבור ערכי ‪ k‬שמצאת‪.‬‬ ‫‪.14‬‬ ‫מצא לאיזה ערך של ‪ k‬שתי הנקודות (שמימין) נמצאות על הישר ששיפועו ‪( m‬משמאל)‪:‬‬ ‫א‪)k ,3( ,)1 ,2k( .‬‬ ‫‪m=-2‬‬ ‫ב‪)3 ,-2k( ,)5 ,k2( .‬‬ ‫‪m=k+2‬‬ ‫‪ .15‬א‪ .‬מצא לאיזה ערך של ‪ k‬מייצגת המשוואה‬ ‫‪ (3-4k)x+(1-2k)y = 18‬ישר שלא חותך את‬ ‫ציר ה‪.x -‬‬ ‫ב מצא את משוואת הישר עבור ה‪ k -‬שמצאת בסעיף א'‪.‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫‪0,4‬‬ ‫‪-4 .10‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ה‪ .‬אין פתרון‬ ‫‪y  36 .15‬‬ ‫‪ .11‬א‪k = 0 , 2 .‬‬ ‫‪k = -2 , 4‬‬ ‫‪ .12‬א‪k = 3 .‬‬ ‫‪y= -4x-1 , k = 1 .13‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ב‪k = -2 , 6 .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪k = -3‬‬ ‫ב‪ k = -2 .‬ג‪k = 5 .‬‬ ‫ד‪k = .‬‬ ‫ד‪k = 1 .‬‬ ‫או ‪y = 6x-16 , k = 6‬‬ ‫‪k‬‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫‪4‬‬ ‫הפונקציה הריבועית‬ ‫‪ .1‬נתונה הפונקציה ‪.y = ax2+bx-35‬‬ ‫ציר הסימטריה הוא ‪ x=4‬וכן ידוע שמתקיים ‪.5a+b=9‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪ b‬ורשום את הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקודקוד של הפונקציה‪.‬‬ ‫‪ .2‬הפונקציה ‪ y = ax2+4x+c‬חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודות (‪ )-2 ,0‬ו‪.)6 ,0( -‬‬ ‫מצא את ‪ a‬ו‪ c-‬ואת נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪.y-‬‬ ‫‪ .3‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות הבאות ע"י חישוב ובעזרת תיאור גרפי‪:‬‬ ‫‪y = -x2-2x+8‬‬ ‫‪y = x2+x-12‬‬ ‫‪ .4‬היעזר בציורים הבאים וקבע לגבי כל פונקציה לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪:‬‬ ‫ב‪ .‬הפונקציה חיובית‬ ‫א‪ .‬הפונקציה שווה לאפס‪.‬‬ ‫‪y = x2-9 )1‬‬ ‫ג‪ .‬הפונקציה שלילית‪.‬‬ ‫‪y = -x2-5x )2‬‬ ‫‪y=x2-8x+7 )3‬‬ ‫‪ .5‬מצא לגבי הפונקציות הבאות את נקודת המינימום או נקודת המקסימום‪ ,‬תחומי עלייה וירידה‬ ‫א‪.‬‬ ‫)‪y = (x-6)(x-2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪y = (x-3)(7-x‬‬ ‫‪ .6‬התאם כל פונקציה מימין לגרף המתאים לה שמשמאל‪:‬‬ ‫א‪y = -x2-3x-5 .‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫ב‪y = x2+3x-5 .‬‬ ‫ג‪y = x2-3x+5 .‬‬ ‫ד‪y = -x2+3x+5 .‬‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫(‪)3‬‬ ‫(‪)4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ .7‬התאם (בעזרת נקודות האפס)‬ ‫(‪)2‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫לכל פונקציה שמימין את הגרף המתאים לה‬ ‫שמשמאל‪( :‬לאחת הפונקציות אין גרף‬ ‫מתאים)‪.‬‬ ‫א‪y = (x+4)(2-x) .‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫ב‪y = (x-4)(x+2) .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫(‪)4‬‬ ‫)‪y = (x-4)(x-2‬‬ ‫ד‪y = (4-x)(x+2) .‬‬ ‫ה‪y = (x+4)(x-2) .‬‬ ‫תשובות ‪ -‬פונקציה ריבועית‬ ‫‪y  3x 2  24 x  35 .1‬‬ ‫‪( 2.5 ,  3.25 ) (  4 , 8 ) .3‬‬ ‫ג‪-3 < x < 3 .‬‬ ‫( ‪) 4 , 13‬‬ ‫ד‪3 .‬‬ ‫‪ . 7‬א‪3 .‬‬ ‫ב‪ x < -3 .‬או ‪x > 3‬‬ ‫ב‪-5 < x < 0 .‬‬ ‫‪ )3‬א‪ x = 1 , 7 .‬ב‪ x > 7 .‬או ‪x < 1‬‬ ‫עולה לכל ‪x > 4‬‬ ‫‪(0,12) .2‬‬ ‫‪ )1 .4‬א‪x  3 .‬‬ ‫‪ )2‬א‪x = 0 , -5 .‬‬ ‫‪a  1 c  12‬‬ ‫ג‪1 < x < 7 .‬‬ ‫ג‪x < -5 .‬‬ ‫‪ .5‬א‪,) 4 , -4 ( .‬‬ ‫ב‪ , ) 5 , 4 ( .‬יורדת לכל ‪x > 5‬‬ ‫ב‪4 .‬‬ ‫ג‪ .‬אין‬ ‫ד‪1 .‬‬ ‫או ‪x > 0‬‬ ‫‪ .6‬א‪2 .‬‬ ‫ג‪1 .‬‬ ‫ב‪4 .‬‬ ‫ה‪2 .‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נקודות חיתוך‪ ,‬אורכי קטעים וחישובי שטחים‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ .1‬בציור מתוארת הפרבולה ‪. y = -x2+3x+10‬‬ ‫הפרבולה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬ואת ציר ה‪y -‬‬ ‫בנקודה ‪ .C‬דרך ‪ C‬מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ x -‬שחותך‬ ‫את הפרבולה בנקודה נוספת ‪.D‬‬ ‫א‪ .‬חשב את שיעורי הנקודות ‪A, B, C, D‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ .2‬מגרף הפרבולה ‪ y = x2-2x-8‬הורידו אנכים‬ ‫‪ AB‬ו‪ CD -‬לציר ה‪ x-‬בהתאם לציור‪.‬‬ ‫א‪ .‬נתון ‪ .AB=7‬חשב את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬ ‫ב‪ .‬נתון ‪ .CD=5‬חשב את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את שטחי המשולשים ‪ ABE‬ו‪CDF -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫‪6‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪.3‬בציור מתוארים הגרפים של הישר ‪y = -2x+6‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ושל הפרבולה‬ ‫‪.y = -x2+5x-4‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x‬‬ ‫מצא את שיעורי הנקודות‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A,B,C,D,E,F,G,H‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ .4‬בציור מתוארים הגרפים של הישר ‪ ,y = x+1‬ושל‬ ‫הפרבולה ‪.y = x2-4x+5‬‬ ‫א מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬ ‫ב‪ .‬דרך ‪ A‬מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ x -‬שחותך‬ ‫את הפרבולה בנקודה נוספת ‪ .C‬חשב את שיעורי ‪.C‬‬ ‫ג‪ .‬מה ניתן לומר על הישר העובר דרך ‪ B‬ודרך נקודת‬ ‫החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪ ,y -‬ועל הישר ‪?AC‬‬ ‫הוכח תשובתך‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .5‬בציור מתואר גרף הפרבולה ‪.y = -x2+6x-5‬‬ ‫ישר ששיפועו ¾‪ -‬עובר דרך הקודקוד ‪ A‬וחותך את ציר ה‪x -‬‬ ‫בנקודה ‪.C‬‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪AC‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.C -‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬ ‫‪ .6‬הפרבולה שבציור היא ‪.y = 4x - ½ x2‬‬ ‫הישר ‪ AB‬הוא ציר הסימטריה של הפרבולה‪.‬‬ ‫הנקודה ‪ C‬היא אמצע הקטע ‪.AB‬‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪.CD‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו‪.F-‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪.OBCF‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫בציור מתואר גרף הפונקציה ‪ ,y=x2-8x+15‬שקודקודה‬ ‫בנקודה ‪.D‬‬ ‫מצא את משוואות הישרים ‪ AB‬ו‪.CD -‬‬ ‫מצא את נקודת החיתוך של שני הישרים (הנקודה ‪.)E‬‬ ‫מצא את משוואת הישר העובר דרך ‪ E‬והמקביל‬ ‫לישר העובר דרך ‪ B‬ו‪.D-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫‪7‬‬ ‫תשובות‪ -‬נקודות חיתוך‪ ,‬אורכי קטעים וחישובי שטחים‬ ‫‪ )1‬א‪A(-2,0) B(5,0) C(0,10) D(3,10) .‬‬ ‫ב‪50. .‬‬ ‫‪ )2‬א‪)5 ,0( .‬‬ ‫ב‪)-1 ,0( .‬‬ ‫ג‪2 ½ , 3 ½ .‬‬ ‫‪A(0,6), B(3,0), C(0,-4), D(1,0), E(4,0), F(2,2) G(5,-4) )3‬‬ ‫‪ׂ)4‬א‪A(1,2) , B(4,5) .‬‬ ‫ב‪C(3,2) .‬‬ ‫ג‪ .‬מקבילים‪.‬‬ ‫‪ )5‬א‪y = -4/3x+8 .‬‬ ‫ב‪B(1,0) C(6,0) .‬‬ ‫ג‪10 .‬‬ ‫‪ )6‬א‪y = -x+8 .‬‬ ‫ב‪E(2,6), F(0,8) .‬‬ ‫ג‪24 .‬‬ ‫‪ )7‬א‪y = -3x+5, y = -x+3 .‬‬ ‫ב‪E(6,-3) .‬‬ ‫ג‪y = x-9 .‬‬ ‫גיאומטריה‬ ‫לתלמידי ‪ 4‬יח"ל בלבד‬ ‫חלק ב' ‪ -‬גיאומטריה‬ ‫‪ .1‬במשולש ‪ AD ,ABC‬הוא התיכון לצלע ‪.BC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ DE‬חוצה זווית ‪ DF . ADB‬חוצה זווית ‪( ADC‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי‪. EF || BC :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫נתון‪ 4 :‬ס"מ ‪ 2 , FC ‬ס"מ ‪ 9 , AF ‬ס"מ ‪. BC ‬‬ ‫חשב את הקטע ‪. EF‬‬ ‫‪ 3‬ס"מ‬ ‫תשובה‪( :‬ב)‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ .2‬במלבן ‪ ABCD‬בחרו נקודה ‪ F‬על ‪, CD‬‬ ‫כך שהקטע ‪ AF‬מאונך לאלכסון ‪( BD‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי‪. ΔADF ~ ΔDCB :‬‬ ‫‪AD DC‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי‪) . AD2  DF DC :‬‬ ‫‪DF AD‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‬ ‫נתון‪ 3 :‬ס"מ ‪ 4 , FD ‬ס"מ ‪. CF ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫חשב את אורך ‪. AD‬‬ ‫תשובה‪( :‬ג)‬ ‫‪ 8.37‬ס"מ ‪BD  70 ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ..3‬בתוך משולש ‪ ABC‬חסום מעוין ‪.BDEF‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון‪ 8 :‬ס"מ = ‪AB‬‬ ‫‪ 6‬ס"מ = ‪.BC‬‬ ‫חשב את צלע המעוין (דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫העשרונית)‪.‬‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ .4‬בשרטוט נתון‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪EF EB BF‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪FD BC FA‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫הוכח ‪<A = < C :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .5‬במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪(AB  AC) ABC‬‬ ‫חסום מלבן ‪ , EFGH‬כך שהאלכסון ‪ HF‬מאונך לשוק ‪. AC‬‬ ‫‪ AD‬תיכון לבסיס ‪( BC‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נתון‪AD  BC :‬‬ ‫‪GC 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ ,‬כי‬ ‫‪FG 2‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. ΔHGF ~ ΔFGC‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫נתון‪ 66 :‬ס"מ ‪ . HG ‬מצא את ‪.GC‬‬ ‫תשובה‪( :‬א)‬ ‫הוכחה (ב)‬ ‫‪E‬‬ ‫הוכחה (ג)‬ ‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ ‪GC ‬‬ ‫‪ .7‬נתון משולש ‪ ABC‬החוסם מעוין ‪( PQRB‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫נקודה ‪ P‬מחלקת את הצלע ‪AB‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫מצא את היחס בין הצלע ‪ AB‬לצלע ‪. BC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ביחס של ‪. AP : PB  3 : 5‬‬ ‫תשובה‪AB  3 :‬‬ ‫‪BC 5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ AM .8‬הוא התיכון לבסיס במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪. (AB  AC) ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ E‬נקודה על המשך הצלע ‪. AC‬‬ ‫המשך התיכון ‪ AM‬חותך את הקטע ‪ CE‬בנקודה ‪. D‬‬ ‫הקטע ‪ DK‬מקביל ל‪( BC -‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. A C  B K‬‬ ‫‪EK‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬ ‫תשובה‪( :‬א)‬ ‫‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 9‬ס"מ ‪ 3 , AB ‬ס"מ ‪ . B K ‬חשב את ‪. EK‬‬ ‫הוכחה (ב)‬ ‫‪ 6‬ס"מ ‪EK ‬‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ .9‬במשולש ‪ ABC‬הקטע ‪ DE‬מקביל לצלע ‪. BC‬‬ ‫הקטע ‪ AF‬חותך את הקטע ‪ DE‬בנקודה ‪( G‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪BF  GE  DG  FC :‬‬ ‫‪BF FC‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫‪DG GE‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪E‬‬ ‫)‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ 6‬ס"מ ‪DG ‬‬ ‫‪ 3‬ס"מ ‪GE ‬‬ ‫‪ 62‬ס"מ ‪BC ‬‬ ‫חשב את היחס בין שטח הטרפז ‪ BDGF‬לבין שטח הטרפז ‪. FGEC‬‬ ‫תשובה‪( :‬א)‬ ‫‪2‬‬ ‫הוכחה (ב)‬ ‫‪ .10‬במלבן ‪ ABCD‬הקטע ‪ BE‬מאונך לאלכסון ‪D, AC‬‬ ‫‪ F‬היא נקודת הפגישה של ‪ AC‬עם ‪( BE‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬ ‫תשובה‪( :‬א)‬ ‫‪AB AE‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪BC AB‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הוכחה (ב)‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪AB 2  B C  A E‬‬ ‫(‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 13‬ס"מ‬ ‫‪ .11‬במשולש ישר‪-‬זווית ‪ EF ( AEB  90) AEB‬הוא הגובה ליתר ‪AB‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬ ‫‪. EF 2  FB  AF‬‬ ‫‪EF FB‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫‪AF EF‬‬ ‫)‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ 5 :‬ס"מ ‪ 7 , FB ‬ס"מ ‪ . EB ‬חשב את אורך הצלע ‪. AB‬‬ ‫‪ 9.8‬ס"מ‬ ‫הוכחה (ב)‬ ‫תשובה‪( :‬א)‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ .62‬מנקודה ‪ P‬הנמצאת מחוץ למעגל ‪ O‬יוצאים שני חותכים (ראה שרטוט)‪.‬‬ ‫הוכח‪AP  BP  DP  CP :‬‬ ‫‪AP DP‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪CP BP‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .63‬הקטרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬מאונכים זה לזה ) ‪( AB  CD‬‬ ‫המיתר ‪ AE‬חוצה את הרדיוס ‪ OC‬בנקודה ‪.N‬‬ ‫א‪AON  AEB .‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי ‪ DE‬חוצה זווית ‪. AEB‬‬ ‫ג‪ .‬מהדמיון שהוכחת בסעיף א' נובע כי ‪AE = 2EB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח כי ‪OF  13 R‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ AB .11‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪.M‬‬ ‫‪ BCD  BAC‬ו ‪ CD -‬מאונך ל ‪.EB‬‬ ‫‪B D‬‬ ‫‪ E‬נמצאת על המשך המיתר ‪( AC‬ראה ציור)‬ ‫‪M‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫א‪AC  BC  AB  CD .‬‬ ‫(כלומר‪:‬‬ ‫‪AC CD‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AB BC‬‬ ‫ב‪BE .‬‬ ‫‪MC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ . 65‬המשולש ‪ ABC‬שחסום במעגל הוא שווה שוקיים‬ ‫(‪ . ) AB-AC‬הנקודה ‪ D‬היא נקודה כלשהי על הקשת הקטנה בין‬ ‫‪ A‬ל – ‪ . B‬המשך המיתר ‪ AD‬נפגש עם המשך הבסיס ‪ BC‬בנקודה‬ ‫‪c‬‬ ‫‪.E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הוכח ‪ADB  ABE :‬‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫‪11‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ . 11‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל ‪. O‬‬ ‫נתון ‪ . DE=7 , AC=12‬חשב את ‪. AD‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון‪    900 :‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הוכח‪BD ┴ AC :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.17‬מרובע ‪ ACBE‬חסום במעגל‪.‬‬ ‫דרך נקודה ‪ C‬עובר מיתר ‪ CD‬המקביל למיתר ‪.BE‬‬ ‫הוכח‪< CAE = < DCB :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫עבודה מהנה וחופש נעים!!!‬ ‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬ ‫‪12‬‬