חוברת קיץ לתלמידים המסיימים כתה ט` – הקבצה א`2 – הלומדים לקראת 4 יח&

‫חוברת קיץ‬
‫למסיימי כתה ט'‬
‫הקבצה א'‬
‫פתרון משוואות ומערכות משוואות‬
:‫פתרו את המשוואות הבאות‬
1
1)
3
x3
8
4



x 2 x  10 3 x  15 3
2)
4
3
x8
 2

x  2 x x  3 x ( x  2)( x  3)
3)
x2
x
18  5 x 2

 2
x7 x7
x  49
2
3
 2
1
2

2x  1 6x  3
4)
4x  1
5)
1
6)
2x
1
2 x
 2
 2
x  6 x  7 x  2 x  3 x  10 x  21
2
x
x6
11


2
15  3 x 25  x
5 x
2
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫פתרו את מערכות המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪x y 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪y x 2‬‬
‫‪3x  y  1‬‬
‫)‪10‬‬
‫‪x y 6‬‬
‫‪7 5 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x y 4‬‬
‫‪3x  2 y  6‬‬
‫‪x  4 y  7‬‬
‫‪x 2  2 y  11‬‬
‫‪7 x 2  y 2  5x  1‬‬
‫)‪11‬‬
‫)‪8‬‬
‫‪y  3x  2  0‬‬
‫‪6 x  y  1‬‬
‫)‪12‬‬
‫‪49 y 2  3x 2  22‬‬
‫‪( x  2) 2  ( y  1) 2  5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y x‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪7‬‬
‫)‪9‬‬
‫‪(7  4 x)(2 y  1)  45‬‬
‫)‪13‬‬
‫תשובות – פתרון משוואות ומערכות משוואות‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, 1‬‬
‫‪5)  6 ,18.5‬‬
‫‪6)  1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪9) (1,7) , ( ,4) 10) (4,2) (6,12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4) ‬‬
‫)‪13) (0,0) (4,2‬‬
‫‪3)  4, 1. 6‬‬
‫‪2) ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1) 3,  2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫) ‪8) (1,1) , (2 , 5‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪11) (12,15) (4 ,4) 12) (1,3) (169,683‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪7) (3,10‬‬
‫הפונקציה הקווית‬
‫‪ .1‬התאם כל ישר משמאל לפונקציה המתאימה לו מימין‪:‬‬
‫(הערה‪ :‬לשתי פונקציות אין ישר מתאים)‬
‫‪4) y  4 x  4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5) y   x  2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6) y   3x  5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1) y  x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2) y   x  3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3) y  x  4‬‬
‫‪2‬‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫‪y‬‬
‫(ד‬
‫(ג‬
‫(ב‬
‫(א‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5 x  3 5 x  3‬‬
‫‪ .2‬נתונה הפונקציה הקווית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬רשום את הפונקציה בצורת ‪ y=mx+n‬ומצא את ‪ m‬ואת ‪.n‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת האפס של הפונקציה (חיתוך עם ציר ‪.)x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪.y -‬‬
‫ד‪ .‬השלם את השיעור החסר של כל אחת מהנקודות הבאות אם נתון שהיא נמצאת‬
‫על גרף הפונקציה הנ"ל‪. )__ ,1/2( , )__, -4 ( , ) -4 ,__( , )2,__( :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .3‬נתונות הנקודות‪.C)-5,-8( ,B)-4,2( ,A)3,-8( :‬‬
‫קבע איזה מבין הישרים ‪ ,BC , AB‬ו‪ AC -‬הוא פונקציה‪ :‬עולה‪ ,‬יורדת‪ ,‬קבועה‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬א‪ 3 .‬ב‪ 2 .‬ג ‪ 6 .‬ד‪1 .‬‬
‫‪1 7‬‬
‫‪1 1‬‬
‫ד‪, ,12 ,5 .‬‬
‫‪3 6‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬א‪.‬‬
‫‪y  3x ‬‬
‫‪ AB .3‬יורדת‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪, 0 ) .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ AC‬קבועה ‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪) .‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪( 0,‬‬
‫‪ BC‬עולה‬
‫בתרגילים הבאים מצא את משוואת הישר‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫המקביל לישר ‪y=-6x+1‬‬
‫‪.2‬‬
‫המקביל לציר ‪ x‬והעובר בנקודה (‪.)-2 ,5‬‬
‫‪.3‬‬
‫העובר בנקודות (‪ )1,5‬ו‪.)-2 ,4( -‬‬
‫‪.4‬‬
‫העובר בנקודה (‪ )-2 ,8‬ויוצר עם הכיוון החיובי של ציר ‪ x‬זווית של ‪.1350‬‬
‫‪.5‬‬
‫ששיפועו ‪ -6‬והוא חותך את ציר ה‪ y -‬בחלקו השלילי במרחק של שלוש יחידות מהראשית‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫העובר בנקודה (‪ )4,4‬והמקביל לישר העובר בנקודות (‪ )1 , -3‬ו‪.)- 1 ,5( -‬‬
‫‪.7‬‬
‫הראה שהישר העובר דרך הנקודות (‪ )4 ,-3‬ו‪ )-8 ,9( -‬מקביל לישר העובר דרך הנקודות‬
‫(‪ )4 ,-6‬ו‪)-12 ,10( -‬‬
‫‪.8‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר בנקודות (‪ )-3 ,6‬ו‪ ,)-9 ,2( -‬וקבע לאילו מהישרים הבאים‬
‫הוא מקביל‪ :‬א‪3y-2x=6 .‬‬
‫‪.9‬‬
‫והעובר בנקודה (‪.)4,-3‬‬
‫ב‪2x=3y .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.3x-2y =1 .‬‬
‫‪2x+3y=8‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר בנקודת החיתוך של הישרים ‪y=2x-7‬‬
‫ובנקודת החיתוך של הישרים ‪y=-1/2x-2‬‬
‫תשובות ‪y = -6x +21 .1 :‬‬
‫‪y = -6x-3 .5‬‬
‫‪y = 5 .2‬‬
‫‪y = -4x +20 .6‬‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫ו‪y=-x+2 -‬‬
‫ו‪.y=x+1 -‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y = -x+6 .4‬‬
‫‪ .8‬מקביל לישרים א' ב' ‪y=-1 .9 .‬‬
‫‪3‬‬
‫פונקציה קווית עם פרמטרים‬
‫נתון הישר ‪ y = (k2-9)x+k2+3k+2‬מצא לאיזה ערך של ‪ k‬שיפוע הישר הוא ‪ ,7‬והוא‬
‫‪.10‬‬
‫חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה (‪.)0 ,6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ .y = (k2-4k)x+k2-2k-15‬מצא את הערך של ‪ k‬במקרים הבאים‪:‬‬
‫‪.11‬‬
‫(העזר בפירוק הטרינום)‬
‫א‪ .‬התמונה של אפס היא ‪-15‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה מקבילה לפונקציה ‪y = 12x‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה היא קבועה‬
‫הפונקציה עוברת בנקודה (‪.)-1 ,-9‬‬
‫ה‪ .‬הפונקציה חותכת את ציר ה‪ y-‬באותה נקודה כמו הפונקציה‬
‫‪.12‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪.y=(6-2k)x+k+2‬‬
‫‪.y = x-7‬‬
‫מצא לאיזה ערך של ‪ k‬הפונקציה מייצגת ישר‪:‬‬
‫(רשום את משוואת הישר בכל מקרה)‪.‬‬
‫א‪ .‬המקביל לציר ‪.x‬‬
‫ב‪ .‬העובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬העובר בנקודה (‪.)-1 ,11‬‬
‫ד‪ .‬המקביל לישר ‪y=4x-1‬‬
‫ה‪ .‬המקביל לציר ה‪.y -‬‬
‫‪ y = (k2-5k)x-3k+2‬הוא ‪.-6‬‬
‫‪ .13‬א‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ k‬שיפוע הישר‬
‫ב‪ .‬רשום את משוואות הישרים עבור ערכי ‪ k‬שמצאת‪.‬‬
‫‪.14‬‬
‫מצא לאיזה ערך של ‪ k‬שתי הנקודות (שמימין) נמצאות על הישר ששיפועו ‪( m‬משמאל)‪:‬‬
‫א‪)k ,3( ,)1 ,2k( .‬‬
‫‪m=-2‬‬
‫ב‪)3 ,-2k( ,)5 ,k2( .‬‬
‫‪m=k+2‬‬
‫‪ .15‬א‪ .‬מצא לאיזה ערך של ‪ k‬מייצגת המשוואה‬
‫‪ (3-4k)x+(1-2k)y = 18‬ישר שלא חותך את‬
‫ציר ה‪.x -‬‬
‫ב מצא את משוואת הישר עבור ה‪ k -‬שמצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪0,4‬‬
‫‪-4 .10‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ה‪ .‬אין פתרון‬
‫‪y  36 .15‬‬
‫‪ .11‬א‪k = 0 , 2 .‬‬
‫‪k = -2 , 4‬‬
‫‪ .12‬א‪k = 3 .‬‬
‫‪y= -4x-1 , k = 1 .13‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪k = -2 , 6 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪k = -3‬‬
‫ב‪ k = -2 .‬ג‪k = 5 .‬‬
‫ד‪k = .‬‬
‫ד‪k = 1 .‬‬
‫או ‪y = 6x-16 , k = 6‬‬
‫‪k‬‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫‪4‬‬
‫הפונקציה הריבועית‬
‫‪ .1‬נתונה הפונקציה ‪.y = ax2+bx-35‬‬
‫ציר הסימטריה הוא ‪ x=4‬וכן ידוע שמתקיים ‪.5a+b=9‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪ b‬ורשום את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקודקוד של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬הפונקציה ‪ y = ax2+4x+c‬חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודות (‪ )-2 ,0‬ו‪.)6 ,0( -‬‬
‫מצא את ‪ a‬ו‪ c-‬ואת נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪.y-‬‬
‫‪ .3‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות הבאות ע"י חישוב ובעזרת תיאור גרפי‪:‬‬
‫‪y = -x2-2x+8‬‬
‫‪y = x2+x-12‬‬
‫‪ .4‬היעזר בציורים הבאים וקבע לגבי כל פונקציה לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪:‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה חיובית‬
‫א‪ .‬הפונקציה שווה לאפס‪.‬‬
‫‪y = x2-9 )1‬‬
‫ג‪ .‬הפונקציה שלילית‪.‬‬
‫‪y = -x2-5x )2‬‬
‫‪y=x2-8x+7 )3‬‬
‫‪ .5‬מצא לגבי הפונקציות הבאות את נקודת המינימום או נקודת המקסימום‪ ,‬תחומי עלייה וירידה‬
‫א‪.‬‬
‫)‪y = (x-6)(x-2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪y = (x-3)(7-x‬‬
‫‪ .6‬התאם כל פונקציה מימין לגרף המתאים לה שמשמאל‪:‬‬
‫א‪y = -x2-3x-5 .‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)1‬‬
‫ב‪y = x2+3x-5 .‬‬
‫ג‪y = x2-3x+5 .‬‬
‫ד‪y = -x2+3x+5 .‬‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫(‪)3‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .7‬התאם (בעזרת נקודות האפס)‬
‫(‪)2‬‬
‫(‪)1‬‬
‫לכל פונקציה שמימין את הגרף המתאים לה‬
‫שמשמאל‪( :‬לאחת הפונקציות אין גרף‬
‫מתאים)‪.‬‬
‫א‪y = (x+4)(2-x) .‬‬
‫(‪)3‬‬
‫ב‪y = (x-4)(x+2) .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫(‪)4‬‬
‫)‪y = (x-4)(x-2‬‬
‫ד‪y = (4-x)(x+2) .‬‬
‫ה‪y = (x+4)(x-2) .‬‬
‫תשובות ‪ -‬פונקציה ריבועית‬
‫‪y  3x 2  24 x  35 .1‬‬
‫‪( 2.5 ,  3.25 ) (  4 , 8 ) .3‬‬
‫ג‪-3 < x < 3 .‬‬
‫( ‪) 4 , 13‬‬
‫ד‪3 .‬‬
‫‪ . 7‬א‪3 .‬‬
‫ב‪ x < -3 .‬או ‪x > 3‬‬
‫ב‪-5 < x < 0 .‬‬
‫‪ )3‬א‪ x = 1 , 7 .‬ב‪ x > 7 .‬או ‪x < 1‬‬
‫עולה לכל ‪x > 4‬‬
‫‪(0,12) .2‬‬
‫‪ )1 .4‬א‪x  3 .‬‬
‫‪ )2‬א‪x = 0 , -5 .‬‬
‫‪a  1 c  12‬‬
‫ג‪1 < x < 7 .‬‬
‫ג‪x < -5 .‬‬
‫‪ .5‬א‪,) 4 , -4 ( .‬‬
‫ב‪ , ) 5 , 4 ( .‬יורדת לכל ‪x > 5‬‬
‫ב‪4 .‬‬
‫ג‪ .‬אין‬
‫ד‪1 .‬‬
‫או ‪x > 0‬‬
‫‪ .6‬א‪2 .‬‬
‫ג‪1 .‬‬
‫ב‪4 .‬‬
‫ה‪2 .‬‬
‫‪y‬‬
‫נקודות חיתוך‪ ,‬אורכי קטעים וחישובי שטחים‬
‫‪C‬‬
‫‪ .1‬בציור מתוארת הפרבולה ‪. y = -x2+3x+10‬‬
‫הפרבולה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬ואת ציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה ‪ .C‬דרך ‪ C‬מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ x -‬שחותך‬
‫את הפרבולה בנקודה נוספת ‪.D‬‬
‫א‪ .‬חשב את שיעורי הנקודות ‪A, B, C, D‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .2‬מגרף הפרבולה ‪ y = x2-2x-8‬הורידו אנכים‬
‫‪ AB‬ו‪ CD -‬לציר ה‪ x-‬בהתאם לציור‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון ‪ .AB=7‬חשב את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ .CD=5‬חשב את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטחי המשולשים ‪ ABE‬ו‪CDF -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫‪6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.3‬בציור מתוארים הגרפים של הישר ‪y = -2x+6‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫ושל הפרבולה‬
‫‪.y = -x2+5x-4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪x‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות‬
‫‪B‬‬
‫‪A,B,C,D,E,F,G,H‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ .4‬בציור מתוארים הגרפים של הישר ‪ ,y = x+1‬ושל‬
‫הפרבולה ‪.y = x2-4x+5‬‬
‫א מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬
‫ב‪ .‬דרך ‪ A‬מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ x -‬שחותך‬
‫את הפרבולה בנקודה נוספת ‪ .C‬חשב את שיעורי ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬מה ניתן לומר על הישר העובר דרך ‪ B‬ודרך נקודת‬
‫החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪ ,y -‬ועל הישר ‪?AC‬‬
‫הוכח תשובתך‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .5‬בציור מתואר גרף הפרבולה ‪.y = -x2+6x-5‬‬
‫ישר ששיפועו ¾‪ -‬עובר דרך הקודקוד ‪ A‬וחותך את ציר ה‪x -‬‬
‫בנקודה ‪.C‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪AC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.C -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ .6‬הפרבולה שבציור היא ‪.y = 4x - ½ x2‬‬
‫הישר ‪ AB‬הוא ציר הסימטריה של הפרבולה‪.‬‬
‫הנקודה ‪ C‬היא אמצע הקטע ‪.AB‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪.CD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו‪.F-‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪.OBCF‬‬
‫‪.7‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בציור מתואר גרף הפונקציה ‪ ,y=x2-8x+15‬שקודקודה‬
‫בנקודה ‪.D‬‬
‫מצא את משוואות הישרים ‪ AB‬ו‪.CD -‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של שני הישרים (הנקודה ‪.)E‬‬
‫מצא את משוואת הישר העובר דרך ‪ E‬והמקביל‬
‫לישר העובר דרך ‪ B‬ו‪.D-‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫‪7‬‬
‫תשובות‪ -‬נקודות חיתוך‪ ,‬אורכי קטעים וחישובי שטחים‬
‫‪ )1‬א‪A(-2,0) B(5,0) C(0,10) D(3,10) .‬‬
‫ב‪50. .‬‬
‫‪ )2‬א‪)5 ,0( .‬‬
‫ב‪)-1 ,0( .‬‬
‫ג‪2 ½ , 3 ½ .‬‬
‫‪A(0,6), B(3,0), C(0,-4), D(1,0), E(4,0), F(2,2) G(5,-4) )3‬‬
‫‪ׂ)4‬א‪A(1,2) , B(4,5) .‬‬
‫ב‪C(3,2) .‬‬
‫ג‪ .‬מקבילים‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪y = -4/3x+8 .‬‬
‫ב‪B(1,0) C(6,0) .‬‬
‫ג‪10 .‬‬
‫‪ )6‬א‪y = -x+8 .‬‬
‫ב‪E(2,6), F(0,8) .‬‬
‫ג‪24 .‬‬
‫‪ )7‬א‪y = -3x+5, y = -x+3 .‬‬
‫ב‪E(6,-3) .‬‬
‫ג‪y = x-9 .‬‬
‫גיאומטריה‬
‫לתלמידי ‪ 4‬יח"ל בלבד‬
‫חלק ב' ‪ -‬גיאומטריה‬
‫‪ .1‬במשולש ‪ AD ,ABC‬הוא התיכון לצלע ‪.BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ DE‬חוצה זווית ‪ DF . ADB‬חוצה זווית ‪( ADC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. EF || BC :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ ‪ 2 , FC ‬ס"מ ‪ 9 , AF ‬ס"מ ‪. BC ‬‬
‫חשב את הקטע ‪. EF‬‬
‫‪ 3‬ס"מ‬
‫תשובה‪( :‬ב)‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .2‬במלבן ‪ ABCD‬בחרו נקודה ‪ F‬על ‪, CD‬‬
‫כך שהקטע ‪ AF‬מאונך לאלכסון ‪( BD‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. ΔADF ~ ΔDCB :‬‬
‫‪AD DC‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪) . AD2  DF DC :‬‬
‫‪DF AD‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫(‬
‫נתון‪ 3 :‬ס"מ ‪ 4 , FD ‬ס"מ ‪. CF ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את אורך ‪. AD‬‬
‫תשובה‪( :‬ג)‬
‫‪ 8.37‬ס"מ ‪BD  70 ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ..3‬בתוך משולש ‪ ABC‬חסום מעוין ‪.BDEF‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪ 8 :‬ס"מ = ‪AB‬‬
‫‪ 6‬ס"מ = ‪.BC‬‬
‫חשב את צלע המעוין (דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫העשרונית)‪.‬‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫‪8‬‬
‫‪ .4‬בשרטוט נתון‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪EF EB BF‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪FD BC FA‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫הוכח ‪<A = < C :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .5‬במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪(AB  AC) ABC‬‬
‫חסום מלבן ‪ , EFGH‬כך שהאלכסון ‪ HF‬מאונך לשוק ‪. AC‬‬
‫‪ AD‬תיכון לבסיס ‪( BC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪AD  BC :‬‬
‫‪GC 1‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ ,‬כי‬
‫‪FG 2‬‬
‫‪F‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. ΔHGF ~ ΔFGC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪ 66 :‬ס"מ ‪ . HG ‬מצא את ‪.GC‬‬
‫תשובה‪( :‬א)‬
‫הוכחה (ב)‬
‫‪E‬‬
‫הוכחה (ג)‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ 4‬ס"מ ‪GC ‬‬
‫‪ .7‬נתון משולש ‪ ABC‬החוסם מעוין ‪( PQRB‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נקודה ‪ P‬מחלקת את הצלע ‪AB‬‬
‫‪Q‬‬
‫מצא את היחס בין הצלע ‪ AB‬לצלע ‪. BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫ביחס של ‪. AP : PB  3 : 5‬‬
‫תשובה‪AB  3 :‬‬
‫‪BC 5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AM .8‬הוא התיכון לבסיס במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪. (AB  AC) ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ E‬נקודה על המשך הצלע ‪. AC‬‬
‫המשך התיכון ‪ AM‬חותך את הקטע ‪ CE‬בנקודה ‪. D‬‬
‫הקטע ‪ DK‬מקביל ל‪( BC -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. A C  B K‬‬
‫‪EK‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬
‫תשובה‪( :‬א)‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪K‬‬
‫‪AE‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 9‬ס"מ ‪ 3 , AB ‬ס"מ ‪ . B K ‬חשב את ‪. EK‬‬
‫הוכחה (ב)‬
‫‪ 6‬ס"מ ‪EK ‬‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫‪9‬‬
‫‪ .9‬במשולש ‪ ABC‬הקטע ‪ DE‬מקביל לצלע ‪. BC‬‬
‫הקטע ‪ AF‬חותך את הקטע ‪ DE‬בנקודה ‪( G‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪BF  GE  DG  FC :‬‬
‫‪BF FC‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪DG GE‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫)‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ 6‬ס"מ ‪DG ‬‬
‫‪ 3‬ס"מ ‪GE ‬‬
‫‪ 62‬ס"מ ‪BC ‬‬
‫חשב את היחס בין שטח הטרפז ‪ BDGF‬לבין שטח הטרפז ‪. FGEC‬‬
‫תשובה‪( :‬א)‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה (ב)‬
‫‪ .10‬במלבן ‪ ABCD‬הקטע ‪ BE‬מאונך לאלכסון ‪D, AC‬‬
‫‪ F‬היא נקודת הפגישה של ‪ AC‬עם ‪( BE‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫תשובה‪( :‬א)‬
‫‪AB AE‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪BC AB‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫הוכחה (ב)‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪AB 2  B C  A E‬‬
‫(‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 13‬ס"מ‬
‫‪ .11‬במשולש ישר‪-‬זווית ‪ EF ( AEB  90) AEB‬הוא הגובה ליתר ‪AB‬‬
‫‪E‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪. EF 2  FB  AF‬‬
‫‪EF FB‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪AF EF‬‬
‫)‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 5 :‬ס"מ ‪ 7 , FB ‬ס"מ ‪ . EB ‬חשב את אורך הצלע ‪. AB‬‬
‫‪ 9.8‬ס"מ‬
‫הוכחה (ב)‬
‫תשובה‪( :‬א)‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫‪10‬‬
‫‪ .62‬מנקודה ‪ P‬הנמצאת מחוץ למעגל ‪ O‬יוצאים שני חותכים (ראה שרטוט)‪.‬‬
‫הוכח‪AP  BP  DP  CP :‬‬
‫‪AP DP‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪CP BP‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫(‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .63‬הקטרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬מאונכים זה לזה ) ‪( AB  CD‬‬
‫המיתר ‪ AE‬חוצה את הרדיוס ‪ OC‬בנקודה ‪.N‬‬
‫א‪AON  AEB .‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪ DE‬חוצה זווית ‪. AEB‬‬
‫ג‪ .‬מהדמיון שהוכחת בסעיף א' נובע כי ‪AE = 2EB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח כי ‪OF  13 R‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ AB .11‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪.M‬‬
‫‪ BCD  BAC‬ו ‪ CD -‬מאונך ל ‪.EB‬‬
‫‪B D‬‬
‫‪ E‬נמצאת על המשך המיתר ‪( AC‬ראה ציור)‬
‫‪M‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫א‪AC  BC  AB  CD .‬‬
‫(כלומר‪:‬‬
‫‪AC CD‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB BC‬‬
‫ב‪BE .‬‬
‫‪MC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫)‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ . 65‬המשולש ‪ ABC‬שחסום במעגל הוא שווה שוקיים‬
‫(‪ . ) AB-AC‬הנקודה ‪ D‬היא נקודה כלשהי על הקשת הקטנה בין‬
‫‪ A‬ל – ‪ . B‬המשך המיתר ‪ AD‬נפגש עם המשך הבסיס ‪ BC‬בנקודה‬
‫‪c‬‬
‫‪.E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח ‪ADB  ABE :‬‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫‪11‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ . 11‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל ‪. O‬‬
‫נתון ‪ . DE=7 , AC=12‬חשב את ‪. AD‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪    900 :‬‬
‫‪α‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫הוכח‪BD ┴ AC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.17‬מרובע ‪ ACBE‬חסום במעגל‪.‬‬
‫דרך נקודה ‪ C‬עובר מיתר ‪ CD‬המקביל למיתר ‪.BE‬‬
‫הוכח‪< CAE = < DCB :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫עבודה מהנה וחופש נעים!!!‬
‫חוברת קיץ למסיימי כתה ט' הקבצה א‬
‫‪12‬‬