‫תרגיל מס' ‪ 12‬במתמטיקה‬ ‫חלק א'‪ :‬משוואת הישר ‪ -‬המשך‬ ‫נקודות חיתוך‪ ,‬אורכי קטעים ושטחים‬ ‫‪ .1‬בציור מתוארת הפונקציה ‪y=2x+4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫חשב את שטח המשולש ‪AOB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ .2‬בציור מתוארים שני הישרים‪ y  12 x  2 :‬ו‪y  1 12 x  6 -‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪A‬‬ ‫חשב את שטחי המשולשים ‪ BDE‬ו‪ACE-‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .3‬בציור מתוארים שני הישרים‪ y  x  3 :‬ו‪y  4 x  6 -‬‬ ‫חשב את המרחק של הנקודה ‪ C‬מכל אחד מהצירים‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .4‬בציור מתוארים שני הישרים‪ y   12 x  2 :‬ו‪y  x  7 -‬‬ ‫נתון שהקטע ‪ BF‬מאונך לציר ה‪x-‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫חשב את שטח הטרפז ‪ ABFC‬ואת שטח המשולש ‪BEF‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .5‬בציור מתוארים הגרפים של הישרים‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪y-2x=4 ,x+y=7 ,x-3y=3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נתון ש‪ DE-‬מקביל לציר ה‪ y-‬ואורכו ‪ .2‬חשב את אורך ‪EF‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫אמצע קטע‪:‬‬ ‫‪xA  xB y A  yB ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫אמצע קטע שקצותיו הם ‪ A  xA , y A ‬ו‪ B  xB , yB  -‬הוא בנקודה‪ :‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ xm , ym   ‬‬ ‫‪ .6‬מצא את אמצעי הקטעים הבאים‪:‬‬ ‫א‪,(5,2) .‬‬ ‫)‪(3,4‬‬ ‫ג‪(-6k,4) ,(2k,-3) .‬‬ ‫ב‪(4,-8) ,(1,5) .‬‬ ‫‪ .7‬מצא את קצהו השני של קטע אם קצהו האחד הוא בנקודה )‪ (7,4‬ואמצע הקטע הוא בנקודה )‪.(2,-1‬‬ ‫‪ .8‬מצא את משוואת האנך העובר דרך אמצע הקטע )‪( .B(2,-1) ,A(6,3‬אנך זה נקרא אנך אמצעי לקטע ‪)AB‬‬ ‫‪ .9‬הישר ‪ 3y-x=12‬חותך את הצירים בנקודות ‪ A‬ו‪ .B-‬מצא את משוואת האנך האמצעי לקטע ‪.AB‬‬ ‫המרחק בין שתי נקודות‪:‬‬ ‫המרחק בין שתי נקודות ‪ A  xA , y A ‬ו‪ B  xB , yB  -‬נתון על ידי‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ xB  xA    yB  y A ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ .11‬מצא את המרחק בין הנקודות הבאות‪:‬‬ ‫א‪(5,7) ,(1,4) .‬‬ ‫ב‪,(2,-5) .‬‬ ‫)‪(9,-6‬‬ ‫‪ .11‬מצא את המרחק בין נקודות החיתוך של הישר ‪ y=3x+6‬עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .*12‬מצא את שטח המשולש שקודקודיו הם‪C(-2,-6) ,B(5,1) ,A(-1,3) :‬‬ ‫‪ .**13‬משוואות שתיים מצלעותיו של משולש הן ‪ y=x+2‬ו‪ .y=-2x+8-‬אמצע הצלע השלישית הוא בנקודה )‪.(0,1‬‬ ‫מצא את קודקודי המשולש‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חלק ב'‪ :‬הפרבולה ‪y  ax 2  bx  c -‬‬ ‫תכונות חשובות‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫א‪ – a>0 .‬פרבולה ישרה (מחייכת)‬ ‫‪ – a<0‬פרבולה הפוכה (עצובה)‬ ‫ב‪ .‬שיעור ה‪ x-‬של קדקוד הפרבולה‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪( x ‬את שיעור ה‪ y-‬ניתן לקבל על‬ ‫ידי הצבת ‪ x‬זה במשוואת הפרבולה)‬ ‫‪b‬‬ ‫ג‪ .‬הפרבולה סימטרית סביב הציר‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נקודות חיתוך עם הצירים‪:‬‬ ‫חיתוך עם ציר ה‪ :y-‬פרבולה תמיד תחתוך את ציר ה‪ y-‬בנקודה )‪(0,c‬‬ ‫הסבר‪ :‬פונקצית הפרבולה תמיד מוגדרת ב‪ ,x=0-‬וערכה בנק' זו הוא ‪) f  0   a  02  b  0  c  c‬‬ ‫חיתוך ציר ה‪:x-‬‬ ‫‪b  b 2  4ac‬‬ ‫נקודות החיתוך יהיו שורשי (פתרונות) המשוואה ‪ , 0  ax 2  bx  c‬כלומר ‪:‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫למשוואה שני שורשים‪:‬‬ ‫למשוואה שורש אחד‪:‬‬ ‫אין שורשים למשוואה‪:‬‬ ‫חיתוך בשתי נקודות‬ ‫חיתוך בנק' אחת (השקה)‬ ‫אין נקודות חיתוך‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x1 = x 2‬‬ ‫ציור פרבולה‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫א‪ .‬סמן את הקודקוד (שיעור ה‪ x-‬וה‪ )y-‬ואת ציר‬ ‫הסימטריה של הפרבולה*‬ ‫ב‪ .‬סמן את נקודת החיתוך עם ציר ה‪ y-‬ונקודה‬ ‫ב‬ ‫ב‬ ‫נוספת אשר מצדו השני של ציר הסימטריה‪,‬‬ ‫אשר נמצאת באותו גובה ומרחק מציר‬ ‫‪x‬‬ ‫הסימטריה כמו נק' החיתוך עם ציר ה‪y-‬‬ ‫ג‪( .‬אופציונאלי) מצא את נקודות החיתוך עם ציר‬ ‫ה‪ x-‬אם יש‪.‬‬ ‫* אם ציר הסימטריה הוא ציר ה‪ y-‬יש לצייר באמצעות טבלה‬ ‫‪3‬‬ ‫ג‬ ‫ג‬ ‫א‬ ‫‪x1,2 ‬‬ ‫תרגילים‪:‬‬ ‫‪ .1‬צייר את הפרבולות הבאות‪:‬‬ ‫‪a.) y  x 2  x  6‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪b.) y  2 x 2  4 x  2‬‬ ‫‪c.) y  x 2  x  4‬‬ ‫‪d.) y   x 2  4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e.) y    x  2 ‬‬ ‫‪f.) y  2 x 2  5 x‬‬ ‫‪g.) y    x  1 x  2 ‬‬ ‫הערה‪ :‬את סעיפים ‪ d-g ,b‬ניתן לפתור באמצעות פירוק לגורמים‬ ‫חלק ג'‪ :‬המעגל ‪ R 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x  a   y  b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מעגל שמרכזו בנקודה ‪ o‬ורדיוסו ‪ R‬מוגדר להיות אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה זו שווה ל‪.R-‬‬ ‫מהגדרה זו וממשוואת המרחק נקבל שהמשוואה המתארת מעגל שמרכזו בנקודה ‪  a, b ‬ורדיוסו ‪ R‬הינה‬ ‫‪ R2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x  a   y  b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ניתן לרשום את משוואת המעגל גם בצורה הבאה‪x2  y 2  2ax  2 yb  R2  a2  b2 :‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫‪ R2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x  a   y  b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 2  2ax  a 2  y 2  2 yb  b 2  R 2‬‬ ‫‪x 2  y 2  2ax  2 yb  R 2  a 2  b 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫תרגילים‪:‬‬ ‫‪ .15‬מצא את משוואת המעגל שרדיוסו ‪ R  30‬ומרכזו בנקודה‬ ‫‪1, 2 ‬‬ ‫‪ .16‬מצא את משוואת המעגל שרדיוסו ‪ R  5‬ומרכזו בראשית הצירים‬ ‫‪ .17‬מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪  1,5 ‬והוא עובר בנקודה ‪.  6, 4 ‬‬ ‫‪ .18‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל ‪  x  4    y  4   52‬עם הצירים‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .19‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל ‪  x  4    y  5  10‬עם הצירים‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .21‬נתון המעגל ‪ .  x  4    y  1  25‬מצא עבור הנקודות הבאות אם הן נמצאות בתוך המעגל ‪ /‬על‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המעגל ‪ /‬מחוץ למעגל‪.‬‬ ‫‪ 6, 4  ,  1,5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ 0, 4 ‬‬ ‫‪ .21‬הנקודות ‪  5,3‬ו‪ 1, 1 -‬הן קצוות של קוטר במעגל‪ .‬מצא את משוואת המעגל‬ ‫(הדרכה – מצא את הקוטר על פי המרחק בין שתי הנקודות‪ ,‬ואת מרכז המעגל על פי משוואת אמצע קטע)‬ ‫‪ *.22‬מצא את מרכז המעגל ואת הרדיוס של מעגל שמשוואתו היא‪x2  y 2  6 x  4 y  12 :‬‬ ‫‪.23‬‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה )‪ (-1,5‬והוא עובר בנקודה )‪.(6,4‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים‬ ‫ג‪ .‬הראה שהנקודה )‪ (4,10‬נמצאת על המעגל ומצא את משוואת הקוטר שעובר דרכה‬ ‫‪ .24‬מצא את משוואת המשיק למעגל ‪ x  4   y  1  25‬בנקודה ‪. 8,4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .25‬מצא את נקודות החיתוך של הישר ‪ y  2 x  5‬עם המעגל ‪ 20‬‬ ‫הראה כי נקודות החיתוך הנ"ל הן קצות של קוטר במעגל‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x  3   y  1‬‬ ‫‪2‬‬